在软土地区，深基坑开挖往往会引起较大的基坑围护结构和周边地层变形，对基坑周边的建（构）筑物、道路、地下管线及其他基础设施产生影响^[1]. 尤其是对于一些变形要求高的建（构）筑物，例如古建筑、大型桥梁、地铁隧道等，基坑变形的控制要求可达mm级^[2]，因此开展软黏土基坑开挖的变形预测至关重要.

预测基坑开挖引起围护结构变形的常用方法包括半经验法^[3-5]、数值分析法^[6-8]和算法分析法^[9-11]. 半经验法和算法分析法相似，都是根据大量已有数据总结变形趋势，进而预测变形. 这2种方法在实际使用时较方便，但建立不同地层区域的数据库很困难，数据库规模会限制预测精度. 数值分析法是基于各种土体本构模型实现变形预测，但本构模型较复杂且包含大量不易校准的参数，实际使用时很麻烦.

针对上述不足，Osman等^[12]在塑性变形机制和虚功原理的基础上提出动员强度设计(mobilizable strength design, MSD)方法，用于预测悬臂式挡土墙变形. 随后，MSD法不断发展^[12-14]，成功应用于内支撑基坑施工引起的围护结构侧移和墙后地表沉降的计算^[15]. Klar等^[16]使用能量守恒定律，进一步阐述了MSD法. Lam等^[17]在Osman等^[15]的基础上对宽基坑和窄基坑进行区分，讨论了分步开挖切应变增量和围护结构弹性变形能的影响. 在计算中考虑不同深度土体抗剪强度的差异，使之适用于分层地层的计算中. Wang等^[18-19]没有延续Lam等^[17]有关分层地层的研究，而是修正了MSD法中的塑性变形机制，将该机制中三角函数形式的增量位移曲线改成更加符合实际的指数族函数形式，得到修正MSD法(modified mobilizable strength design, MMSD). 虽然利用MMSD法预测的墙体侧移的大小和形状都更接近实测值，但MMSD法变形机制不能很好地反映土体的真实变形情况. 该机制中的墙后影响区域随着开挖而减小，没有考虑分层地层和围护结构变形的影响，造成较大的误差.

综上所述，为了更好地预测软土地区深基坑围护结构的变形，本文在Lam等^[17-19]研究的基础上改进塑性变形机制. 基于圆弧滑动模式，提出新的位移场. 将增量位移曲线设置成指数族函数形式，通过基坑开挖主要影响深度来量化位移场尺寸. 改进后的MMSD法还能兼顾分层地层和围护结构弹性变形的影响. 将改进后的方法预测结果与上海软土地区的6个工程实例及MMSD法的预测结果进行对比验证. 研究成果可以为软土地区以柔性挡土墙和多道内支撑为支护结构的深基坑变形预测提供理论支撑.

基坑塑性变形机制的确定是本文方法的关键. Osman等^[15]认为内撑式基坑围护结构侧移等于架设内支撑前悬臂变形与架设首道内支撑后分步开挖增量变形之和. 在架设内支撑前，基坑围护结构发生悬臂变形，变形机制如图1所示，墙体不发生弯曲变形，最大侧移位于墙顶. 通过力和力矩平衡条件，可以算得围护结构的最大侧移. 图中，θ为墙体偏转角，γ_mob为不排水切应变.

在MMSD法中，架设首道内支撑后的基坑塑性变形机制由位移场和增量位移曲线组成，墙体发生弯曲变形，最大侧移位于基坑底部. 在不排水剪切的条件下，位移场与文献[12]相同，如图2所示. 图中，L为最低一道支撑以下的围护结构长度，S为最低一道支撑到坑底的距离，H_e为基坑开挖深度. 位移场包括4个剪切区，土体在各区边界处连续剪切，无相对滑动. 带虚线的箭头显示变形流向，沿着每一条线，增量位移都是常数. 该增量位移用指数族函数表示为

(1)$ {{\delta}}{{w}} = \delta {{w}}_{{\mathrm{m}}} \frac{{4y}}{\lambda }\exp \left(\frac{1}{2} - \frac{{8{y^2}}}{{{\lambda ^2}}}\right) . $

式中：y为最低一道支撑以下任意点到D点的距离； $ \mathrm{\delta }w $为最低一道支撑以下任意距离y处的墙体增量位移；$ {\mathrm{\delta }w}_{{\mathrm{m}}} $为$ \mathrm{\delta }w $的最大值；$ \lambda $为变形的波长，是从最低一道支撑到围护墙固定在坚硬土层处的有效垂直距离^[20]，整个位移场的尺寸取决于波长$ \lambda $. Osman等^[15]认为$ \lambda $ 应该取决于围护结构的固定程度，

(2)$ \lambda = \alpha L . $

式中： $ \alpha $为表征围护结构固定程度的参数($ 1.0 < \alpha < 2.0 $)，根据墙底固定程度进行取值.

当基坑开挖宽度小于2倍三角形区域宽度时，坑底土体会同时受到两侧土体位移的影响，图2中的变形机制不再适用. Lam等^[17]提出相应的窄基坑塑性变形机制，如图3所示，窄基坑机制使用矩形区域EFGH代替宽基坑机制中的三角形区域EGH，在体现围护结构墙面-土体-墙面相互作用的同时，保证整个区域的体积应变为零，即满足不排水剪切条件.

尽管MMSD法对围护结构侧移最大值及最大侧移发生深度的预测结果优于MSD法，但与实测值相比有较大的差距.

MMSD法采用的塑性变形机制位移场建立在如图4所示的Terzaghi模式^[21]的基础上，而该破坏模式被认为更加适用于宽浅的基坑^[22]. 此外，MMSD法采用式(2)来确定整个位移场的尺寸，引入能量最小耗散原理，提高了$ 1.0 < \alpha < 2.0 $区间的取值准确性. 这种简单的取值方法虽然在一定程度上简化了计算流程，但是存在如下缺陷. 1)只给出$ \alpha $的取值范围（$ 1.0 < \alpha < 2.0） $，取值标准模糊，不符合实际. 2)当计算分层开挖的增量位移时，每层开挖都采用相同的$ \alpha $，无法体现分步开挖的影响范围差异. 3)如图5所示，随着基坑开挖的进行，最低一道支撑以下的围护结构长度会减小，即L减小，使得波长 $ \lambda $ 减小，导致基坑开挖深度增加而开挖影响区域变小的情况，与实际工程不匹配.

针对上述问题，从以下方面对MMSD法进行改进.

1)采用更加适合于软土地区柔性支护体系深基坑的位移场.

2)从深基坑开挖主要影响区域角度考虑塑性变形机制的影响范围问题，提出更加准确的变形机制影响方位的确定方法.

3)将围护结构的弹性应变能纳入MMSD法计算体系. 围护结构墙体的强度远大于软土的强度，特别是当采取灌浆、土钉、锚杆支护等措施限制坑底土隆起的时候，墙后土体变形引起的土体内能增量相对较小，主要是结构系统本身的刚度限制了位移的增大^[17].

基坑塑性变形机制是MMSD法计算准确度的关键，变形机制由位移场和增量位移曲线组成. 为了解决MMSD中基于Terzaghi模式提出的位移场在软土深基坑中表现不佳的问题，参考图6中的圆弧滑动模式，提出新的位移场 ，如图7所示. 如图7(a)所示为宽基坑变形机制，基坑开挖宽度大于$ 2\sqrt{{\lambda }^{2}-{S}^{2}} $，新位移场包括3个剪切区域：在最低一道支撑以上靠近围护结构的矩形区ABCD、以最低一道支撑为圆心的扇形区CDF、顶点位于墙体与开挖面交界处且圆心位于最低一道支撑处的扇形区EFH. 对于如图7(b)所示的窄基坑变形机制，基坑开挖宽度小于$ 2\sqrt{{\lambda }^{2}-{S}^{2}} $，坑底的矩形区EFGH的宽度是改进后窄基坑位移场与改进前窄基坑位移场的唯一区别.

事实上，Terzaghi模式和圆弧滑动模式均属于地基隆起破坏上限分析的容许运动速度场，采用不同的模式进行上限分析. 当假设的模式更符合实际工程情况时，计算的上限解更准确. Hsieh等^[23]使用圆弧滑动法对软土地区基坑隆起进行分析，中国、日本规范采用基于圆弧滑动模式的极限平衡法. 近些年，王洪新等^[24-25]从不同的角度出发，改进了圆弧滑动法，均取得了不错的效果；黄茂松等^[22，26]提出基于不排水强度的圆弧机构上限分析方法，通过实际工程验证，认为该方法能够更加合理地评价不排水软黏土基坑的抗隆起稳定性.

确定基坑变形位移场的影响范围是基坑塑性变形机制的基础. 在Osman等^{[15, 27-28]}的研究中，将开挖深度作为预测开挖影响范围的唯一参数. 此外，大多数经验方法都是假定软土中开挖的沉降影响区约等于开挖深度的2倍. Ou等^[29]研究发现，前述方法不具备普遍性，无法兼顾不同基坑形状和土层特性. Ou等^[29]采用有限元参数研究结果和稳定机理，提出凹形沉降剖面的沉降影响区，在与实际案例的对比中验证良好. 本文在Ou等^[29]的研究成果基础上，提出与MMSD法相适配的位移场影响范围确定方法.

软黏土中的深基坑开挖会引发基底隆起，如图8所示，开挖的主要影响区可以假定为“潜在”基底隆起破坏面，即以围护墙顶端为圆心、对角线为半径的圆弧面. 图中，B为基坑开挖宽度， $ {H}_{\mathrm{e}} $为开挖深度，$ {H}_{\mathrm{f}} $为软黏土底部深度. 破坏面是指基底隆起发生时所有土体均处于破坏状态的面. 在现实中，基坑可能不会发生坍塌，但存在应变相对较大的区域，当土体的强度逐渐降低时，会形成破坏区. 将包围了高应变区的表面假定为“潜在”破坏面. 如图8(a)所示为软黏土厚度较大的情况，基坑开挖主要影响深度(primary influence depth, PID)为$ \sqrt{{B}^{2}+{H}_{\mathrm{e}}^{2}} $. 如图8(b)所示为当软黏土厚度有限时，“潜在”破坏面将与软黏土底面相切，此时$ \mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}={H}_{\mathrm{f}} $. 在考虑基底隆起破坏模式的情况下，基坑开挖主要影响深度可以表示为

(3)$ {\mathrm{PI{D_1}}} = \min\;{\left\{\sqrt {{B^2}+{H_{\text{e}}}^2} ,{H_{\text{f}}}\right\}} . $

当基坑开挖时，围护墙体通常会向开挖区移动，造成主动土压力的产生，即使在初步开挖阶段也会产生主动土压力，墙后可能发生主动破坏. 与基底隆起破坏仅仅发生在软黏土中不同，主动破坏还可以发生在粉土、砂土及硬黏土中. 假定土体移动不受限制，高应变区呈现以围护墙顶端为顶点的等腰三角形区域，宽度约为开挖深度的2倍($ {2H}_{\mathrm{e}} $). 当坚硬土层足够深($ {{H}_{\mathrm{g}} > 2H}_{\mathrm{e}} $)时，基坑开挖主要影响深度与墙后破坏区宽度相等，如图9(a)所示. 图中，$ H_{\text{g}} $为坚硬土层的深度. 当坚硬土层足够浅($ {{H}_{\mathrm{g}}\leqslant 2H}_{\mathrm{e}} $)时，土体的移动会被限制，高应变区形状不变，其范围与坚硬土层深度相等，如图9(b)所示. 在前述模式下，基坑主要影响区的深度可以表示为

(4)$ {\mathrm{PI{D_2}}} = \min\;\{2{H_{\text{e}}},{H_{\text{g}}}\} . $

对于软黏土地区深基坑开挖而言，基坑开挖主要影响深度应取$ {\mathrm{{PID}}}_{1} $和$ {\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}_{2} $中的最大值，如下所示：

(5)$ {\mathrm{PID}} = \max\; \{{\mathrm{PI{D_1}}},{\mathrm{PI{D_2}}}\} . $

基坑变形位移场影响范围可以通过式(6)确定. 在实际计算过程中，每次开挖步骤的计算都需要重新计算一次波长，解决了MMSD法中随着开挖的进行，机制影响范围减小的问题，考虑了分层地层对波长的影响，如图10所示.

(6)$ \lambda = {\mathrm{PID}} - {H_{\text{e}}}+S . $

在确定了基坑开挖位移场和影响范围后，增量位移曲线随之变化. MMSD法对原MSD法中增量位移曲线的改进较合理，保留MMSD法中的增量位移曲线为指数族函数的形式，将围护墙增量位移最值点深度修正为$ \lambda /3 $^[29]. 以最低一道支撑端点为坐标原点，竖直向上为纵坐标方向，水平指向坑内为横坐标方向，修正后的增量位移曲线为

(7)$ \delta w = \delta w_{{\mathrm{m}}} \frac{{ - 3y}}{\lambda }\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{y^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) . $

基于图7中改进后的基坑塑性变形机制，在矩形区域ABCD内，以围护墙体顶端B为坐标系原点，可得

(8)$ \delta w_y = \delta w_{\mathrm{m}}\frac{{3x}}{\lambda }\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{x^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) . $

(9)$ \delta w_x = 0 . $

对于宽基坑开挖，在扇形区域CDF和扇形区域EFG内，以最低一道支撑端点D为圆心，令$ r=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} $，可得

(10)$ \delta w_y = \delta w_{\mathrm{m}}\frac{{3x}}{\lambda }\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{r^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) , $

(11)$ \delta w_x = \delta w_{\mathrm{m}}\frac{{ - 3y}}{\lambda }\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{r^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) . $

对于窄基坑开挖，在矩形EFGH区域内，以最低一道支撑端点D为圆心，可得

(12)$ \delta w_y = \delta w_{\mathrm{m}}\frac{{{\text{π}} \lambda }}{{3B}}\left[ \begin{gathered} \exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{y^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) - {{{\mathrm{e}}} ^{ - 4}} \\ \end{gathered} \right]\sin \left(\frac{{{\text{π}} x}}{B}\right) , $

(13)$ \delta w_x = \delta w_{\mathrm{m}}\frac{{ - 3y}}{\lambda }\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{y^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right)\cos \left(\frac{{{\text{π}} x}}{B}\right) . $

由于土体变形机制与围护墙体位移是相容的，机制中各个区域的切应变增量应该和归一化增量围护墙体位移($ {\delta w}_{{\mathrm{m}}}/\lambda $)成正比. 根据给出的不同区域增量土体位移函数，切应变增量可以用土体位移的偏微分函数表示：

(14)$ \delta \gamma = \sqrt {{{\left(\frac{{\partial \delta w_{x}}}{{\partial y}}+\frac{{\partial \delta w_{y}}}{{\partial x}}\right)}^2} - 4\frac{{\partial \delta w_{x}}}{{\partial x}}\frac{{\partial \delta w_{y}}}{{\partial y}}} . $

在矩形区域ABCD内，以围护墙体顶端B为坐标系原点，可得

(15)$ \delta \gamma = \delta w_{\mathrm{m}}\frac{{3{\lambda ^2} - 27{x^2}}}{{{\lambda ^3}}}\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{r^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) . $

对于宽基坑开挖，在扇形区域CDF和扇形区域EFG内，以最低一道支撑端点D为圆心，可得

(16)$ \delta \gamma = \delta w_{\mathrm{m}}\frac{{27{r^2}}}{{{\lambda ^3}}}\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{r^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) . $

对于窄基坑开挖，在矩形EFGH区域内，以最低一道支撑端点D为圆心，可得

(17)$ \begin{split} \delta \gamma = & \delta w_{\mathrm{m}}\left| {\exp \left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{y^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) \times \left( \frac{{ - 3}}{\lambda }+\frac{{27{y^2}}}{{{\lambda ^3}}}+\right.}\right.\\ & \left.{\left.\frac{{ - {{\text{π}} ^2}\lambda }}{{3{B^2}}} \right) - \frac{{{{\text{π}} ^2}\lambda {e^{ - 4}}}}{{3{B^2}}}} \right|\cos \left(\frac{{{\text{π}} x}}{B}\right) .\end{split} $

在分步开挖计算时，除第1个开挖阶段外，下一步开挖的累计切应变应叠加上步开挖的切应变增量，所有后续的塑性变形机制会覆盖先前的塑性变形机制，如图10所示. 利用面积平均法来推导土体累计切应变：

(18)$ \begin{split} \gamma (m,n) = &{{A^{-1}(m,n)}}\left[ \delta \gamma (m,n) \times A(m,n)+ \right.\\ &\left.\gamma (m - 1,n) \times A(m - 1,n) \right] .\end{split} $

式中： $ \gamma \left(m,n\right) $为第m步开挖时第n层土层的总切应变， $ A\left(m,n\right) $为第m步开挖时第n层土层的变形面积.

在软黏土中，不排水抗剪强度一般随深度和剪切方向的变化而变化. 如图11所示为改进后宽基坑开挖塑性变形机制中各个剪切区域内的最大主应力方向以及各区域为了获得不排水抗剪强度的土体试验构型. 在矩形ABCD区域，假定土体垂直剪切，获得不排水抗剪强度的理想试验是简单直接剪切试验(direct simple shear test, DSS). 在扇形CDF区域和扇形EFG区域，剪切发生在与水平呈45°的方向上，这2个区域分别通过平面应变主动试验(plain-strain active, PSA)和平面应变被动试验(plain-strain passive, PSP)获取不排水抗剪强度^[17]. 在一般的工程地质勘探报告上不会有如此详细的勘察数据，O`Rourke^[20]建议采用简单直接剪切试验结果近似代替PSA和PSP区域的不排水抗剪强度.

为了简化计算，采用平均值来表示每层土体的不排水抗剪强度. 在基坑开挖过程中，土体未破坏，此时土体的不排水抗剪强度的发挥程度表示如下：

(19)$ c_{\mathrm{{u,mob}}}(m,n) = \beta (m,n)c_{\mathrm{u}}(n) . $

式中： $ {c}_{\mathrm{{u,mob}}}(m,n) $为第m步开挖时第n层土层的不排水抗剪强度平均动员值； $ \beta \left(m,n\right) $为第m步开挖时第n层土层的平均强度动员率，可以通过合适的应力-应变曲线获得； $ {c}_{{\mathrm{u}}}\left(n\right) $为第n层土层的平均不排水抗剪强度.

基坑分布开挖时，主动区土体会发生沉降，被动区土体向上隆起，基坑每步开挖总重力势能增量可以表示为

(20)$ \Delta P(m) = \sum\nolimits_{n = 1}^N {\left[ {\int_V {\gamma_{\text{sat}}(n)\delta w_{y}(m,n){\mathrm{d}}V} } \right]} . $

式中：$ \Delta P(m) $为第m步开挖时地面沉降带来的土体势能增量；m为开挖分层，共M层；n为土层分层，共N层； $ {\gamma }_{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}\left(n\right) $为第n层土层中的土体饱和重度； $ {\delta w}_{y}\left(m,n\right) $为第m步开挖时第n层土层中的土体竖向位移.

由于变形机制影响范围内的土体位移连续，土体内能增量等于土体切应力和切应变之积在变形区域内的体积分，即

(21)$ \Delta W(m) = \sum\limits_{n = 1}^N {\left[ {\int_V {c_{\mathrm{{u,mob}}}(m,n)\left| {\delta \gamma (m,n)} \right|{\mathrm{d}}V} } \right]} . $

式中：$ \mathrm{\Delta }W\left(m\right) $为第m步开挖时土体应力发展产生的内能增量； $ \delta \gamma \left(m,n\right) $为第m步开挖时第n层土层中土体切应变的体平均值，

(22)$ \delta \gamma (m,n) = \frac{{\displaystyle \int {\delta \gamma {\mathrm{d}}V} }}{{\displaystyle \int {{\mathrm{d}}V} }} . $

基坑开挖会引起围护墙体的变形，因此在MMSD法的基础上加入围护墙体弹性变形能$ \mathrm{\Delta }U $的影响. 此时，围护墙体因变形而产生的弹性变形能增量可以通过下式计算：

(23)$ \Delta U = \frac{{EI}}{2}{\int_0^{L+H_{\text{e}} - S} {\left[ {\frac{{{{\mathrm{d}}^2}\delta w_{y}}}{{{\mathrm{d}}{y^2}}}} \right]} ^2}{\mathrm{d}}x . $

将式(8)代入式(24)，可以获得第m步开挖造成的围护墙体弹性变形能增量：

(24)$ \begin{split} \Delta U(m) = & \frac{{EI}}{2}{\int_{ - L - H_{\text{e}}+S}^0} {\left[ \delta w_{\mathrm{m}} \left(\frac{{81{\lambda ^2}y - 243{y^3}}}{{{\lambda ^5}}}\right) \times \right.}\\ & \exp{\left.\left(\frac{{{\lambda ^2} - 9{y^2}}}{{2{\lambda ^2}}}\right) \right]} ^2{\mathrm{d}}y .\end{split} $

式中：$ \mathrm{\Delta }U\left(m\right) $为第m步开挖时围护墙体的弹性变形能.

在基坑开挖的过程中，MMSD法认为地面沉降带来的土体势能增量$ \mathrm{\Delta }P $、土体应力发展产生的内能增量$ \mathrm{\Delta }W $与围护墙体弹性变形能$ \mathrm{\Delta }U $之和为零. 考虑分层土层的计算，能量守恒方程扩展为

(25)$ \Delta P(m)+\Delta W(m)+\Delta U(m) = 0 . $

联立式(20)、(21)、(24)、(25)，可得关于分步开挖围护墙体侧移最大值$ {\mathrm{\delta }w}_{{\mathrm{m}}} $的一元方程. 通过matlab编程计算出结果后，将每步开挖的增量位移曲线叠加，可以得到最终变形.

基坑开挖案例来自上海软黏土中6个有完整记录的深基坑工程^[30-32]，对比MMSD法预测值、本文方法预测值及工程实测值，验证本文方法的准确性.

选用的工程案例均采用地下连续墙支护. 基坑尺寸和支护结构参数分别如表1所示.表中，T_w为地连墙厚度，EI为墙体刚度，H_w为地连墙深度，L_p为基坑开挖长度，H_i为内支撑深度. 表1中包括4个窄基坑案例和2个宽基坑案例.

在增量计算中，强度动员率$ \beta $和土体不排水抗剪强度$ {c}_{{\mathrm{u}}} $的准确程度直接影响计算结果的精度. 考虑到缺少地面以下30 m甚至更深处的地层强度现场数据，本文采用Wang等^[18]推荐的半经验公式确定. 综上所述，地面下的土体不排水抗剪强度可用下式表示：

(26)$ c_{\mathrm{u}} = \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} 15+1.7Z\;, & {\text{ Z}} \leqslant 15\;{\mathrm{m}} \;; \\ - 49.5+6.0Z\;, & 15\;{\mathrm{m}} < Z \leqslant 30\;{\mathrm{m}} \;; \\ 37.5+3.1Z\;, & 30\;{\mathrm{m}} < Z\;. \\ \end{array} \right. $

对于强度动员率$ \beta $的取值，在之前的研究中已有详细描述^[17]. 本节的6个工程案例均来自上海地区，但每个工程案例都缺少详细的原位土体应力应变数据，因此采用上海地区已有的土体数据代替，如图12所示. 图12给出上海黏土强度动员率与动员切应变之间的关系，这些数据来自Li^[33]的不排水三轴试验和Wang等^[18]的简单直接剪切试验，试验土样均来自上海软土地区的基坑工程. 3条实测的黏土强度动员率曲线表现出非常相似的趋势，说明上海黏土有着良好的均匀性，因此采用这些数据对本文案例进行计算是可行的. 利用幂函数对实测数据进行拟合，可得强度动员率与动员切应变之间的关系：

(27)$ \beta = \left\{ \begin{gathered} \frac{\gamma }{{0.003\;5+\gamma - 1.003\;5{\gamma ^2}}}\;,{\text{ }}\gamma \leqslant 0.06 \;; \\ {\text{ }}1,{\text{ }}0.06 < \gamma \leqslant 0.1\;. \\ \end{gathered} \right. $

式中：$ \beta \left(m,n\right) $为土层的平均动员强度，$ \gamma \left(m,n\right)\mathrm{为} $土层的平均切应变.

在MMSD法的计算中，利用能量守恒原理计算每步开挖整体平均强度动员率，根据图12得到动员切应变. 利用相关关系求出围护结构最大侧向位移$ {\delta w}_{{\mathrm{m}}} $，叠加增量位移曲线获得. 考虑土体分层和围护结构弹性应变能对基坑变形体系的影响，本文方法的计算过程与MMSD法不同，如图13所示，具体计算过程如下.

1)在每个开挖步骤，假设围护墙体最大侧移为$ {\delta w}_{{\mathrm{m}}} $，将变形机制影响范围内的土体参考地层信息划分为N层，分别计算每层土体的主动侧和被动侧面积.

2)参照地层信息，根据式(6)确定变形机制影响范围(波长 $ \lambda $)和每个土层的平均动员率$ \beta $.

3)对于每一步开挖，通过式(20)推导出重力势能增量的函数式，联立式(18)、(19)、(21)、(26)和(27)可得土体内能增量的函数式，使用式(24)计算储存在围护墙体中的弹性弯曲变形能函数式.

4)将步骤3)的计算结果代入能量守恒方程(见式(25))，可得围护墙体最大侧移为$ {\mathrm{\delta }w}_{{\mathrm{m}}} $.

5)通过式(7)计算每步开挖增量位移曲线，累加所有步骤的增量位移曲线，得到围护结构的最终变形.

如图14(a)~(d)所示，对比了所选案例中4个窄基坑在2个典型阶段，即1个基坑开挖中间阶段和基坑最终开挖阶段的围护墙体侧移的实测值和预测值. 图中，H/H_e为地表下归一化深度，$\delta_{\mathrm{w}}/H_{\mathrm{e}} $为归一化墙体侧移. 如图15(a)、(b)所示，对比了所选案例中2个宽基坑的预测值. 图中，H_m为基坑开挖中间阶段的开挖深度. 为了证明本文方法的有效性，加入弹性支点法的计算结果进行对比.

如图14(a)~(d)所示，在中间开挖阶段，弹性法、本文方法和MMSD法均表现欠佳. 利用MMSD法预测的位移变形曲线轮廓较实测值和本文方法的预测值均偏大，影响深度偏大. MMSD法的影响深度取值存在下限，即MMSD法中任何一步的开挖影响深度不小于围护墙体长度. 在基坑前几步开挖时，尤其是在深基坑开挖中，受开挖影响的土体深度可能小于围护墙体埋深. 这可能是造成MMSD法的预测值偏大的原因.

利用本文方法预测的变形曲线轮廓影响深度优于MMSD法的预测结果. 与实测值相比，本文方法除西藏南路外均略偏小. 造成这种误差的原因可能是原MSD法假设围护结构与土体变形相容，忽略了围护结构本身刚性的影响，导致预测的围护墙体变形长度偏小. 实际上，本文方法对基坑开挖影响深度的取值是合理的，随着开挖步骤的推进，当预测影响深度大于围护墙体长度时，预测结果和实测值吻合，如图14(a)所示. 这一点从侧面反映了MMSD法中有关影响深度的取值不合理，以至于结果偏大的情况. 此外，基坑开挖中间阶段的情况复杂，存在盆式开挖、抽条留土的情况，难以准确地提取计算模型. 以图15(a)展示的上海南站基坑为例，在中间开挖阶段，该基坑南侧挖土深度大于其他侧挖土深度. 以南侧挖土深度作为中间开挖阶段标准深度，导致计算工况的挖土量大于实际工况，使得计算结果偏大. 无论是MMSD法、弹性法还是本文方法，准确预测中间开挖阶段的变形均较困难.

对于最终开挖阶段位移曲线的预测，以图14(a)为例，利用本文方法预测的变形曲线和实测曲线近似重合，尤其是最大侧移以下的变形曲线轮廓的变化趋势与实测值相符合. 利用MMSD法预测的位移曲线有着更大的最大侧移，且斜率更大，位移更快减小到零. 利用弹性法预测的位移轮廓与实测值相差较远. 这说明MMSD方法中的开挖影响深度取值不准确，证明本文方法对基坑开挖影响深度的取值是合理的.

如图15(a)、(b)所示，在中间开挖阶段， 利用MMSD法预测的位移变形曲线轮廓较实测值和本文方法的预测值均偏大，影响深度偏大. 这一预测结果与窄基坑一致，可能是MMSD法中影响深度取值不合理导致的.

利用本文方法和弹性法预测得到的位移变形曲线轮廓优于MMSD法，具体表现如下：对于坑底以下的围护结构变形轮廓，本文方法的预测值和实测值基本重合. 在中间开挖阶段，本文方法对宽基坑的预测效果比对窄基坑的预测效果更好. 造成这种差别的原因可能是本文选取的宽基坑案例围护结构侧移较小，墙体刚度的影响相对较小. 宽基坑案例数据更加详实，能够更加精准地确定中间开挖阶段，使得坑底以下围护结构侧移的预测轮廓与实测相差不大.

对于最终开挖阶段位移曲线的预测，以图15(a)为例，利用本文方法预测的变形曲线和实测曲线误差较小，尤其是最大侧移以下的变形曲线轮廓的变化趋势与实测值相符合，比MMSD预测结果好. 这一现象与窄基坑预测结果保持一致. 相对而言，利用弹性法得到的预测效果较差.

在这6个工程案例中，预测效果最差的是浦东南路地铁站基坑，此基坑地下连续墙存在朝向主动区的变形，因此预测的最大侧移偏大. 实际上，围护结构总挠度的实测值与本文方法的预测值相近.

为了量化利用本文方法和MMSD法预测围护结构最大侧移的准确度，从图14、15中提取相关数据，绘制在图16中. 图中，${\text{δ}} w_{\mathrm{mea}}$为围护结构最大侧移的实测值.兴业大厦基坑受到初期放坡开挖的影响，中间开挖阶段围护结构侧移的最大值在地表处，因此不在图16中表示.

如图16(a)所示，在开挖中间阶段，利用MMSD法预测的侧移最大值为实测值的1.0~2.0倍，利用本文方法得到的预测结果为实测值的0.5~1.7倍. 在最终开挖阶段，如图16(b)所示，对于窄基坑而言，本文方法的预测结果小于实测值的135%，预测效果明显优于MMSD法(实测值的170%). 对于宽基坑而言，利用本文方法得到的预测结果为实测值的1.00~1.17倍，利用MMSD法得到的预测结果为实测值的1.00~1.70倍. 这说明本文对MMSD法的改进是成功的，但该类方法对开挖中间阶段的预测效果有待改进.

如图17所示为围护结构最大侧移深度的准确性. 图中，H_m、H_P分别为围护结构最大侧移深度的实测值和预测值.该结果受到了基坑开挖影响深度取值的影响. 在开挖中间阶段，如图17(a)所示，本文方法的预测结果大多偏小，只有西藏南路的预测较准确，利用MMSD法得到的预测结果均偏大. 这与3.1节的规律相同. 如图17(b)所示，对于开挖最终阶段，本文方法和MMSD法的预测结果都较理想，均为实测值的80%~117%，对窄基坑和宽基坑的预测效果相同. 这说明本文调整后的增量位移曲线与改进后的基坑变形机制的适配度高，既保留了MMSD法的优点，又提升了预测精度.

(1) 通过基坑开挖影响深度来确定波长更加符合实际. 与原MSD法和MMSD法中确定的波长相比，本文方法确定的波长更长，指向性更明确，兼顾了地层分层的影响.

(2) 改进后的基坑塑性变形机制的影响区域随基坑开挖而增大，更加适用于软土地区深基坑工程，计算程序更加简单，较MMSD法更加符合实际. 新的增量函数与改进后的变形机制相适配，提高了计算精度.

(3) 在能量守恒计算时，考虑分层地层的影响，引入围护结构的弹性变形能，使得能量守恒方程更加完善，比MMSD法中的能量守恒考虑更加全面.

(4) 利用本文方法预测到的围护结构最大侧移和发生最大侧移的深度相较于MMSD法的预测结果更加接近实测值，证明了本文方法的可行性.

(5)本文方法未考虑基坑横向支撑的影响. 这是本文方法预测结果偏大的原因之一. 基坑横向支撑的形式多样，可以根据具体的设计方案列出横向支撑的压缩变形能表达式，再代入式(25)进行计算，可以在一定程度上提高本文方法的精确性.