双功能雷达通信(dual-functional radar and communication, DFRC)系统与智能超表面(reconfigurable intelligence surface, RIS)都是下一代无线通信网络的关键技术. DFRC系统可以实现频谱资源共享与硬件平台共享，缓解频谱资源的限制，实现无线通信与雷达传感功能的双赢^[1-2]. RIS可以通过大量低成本元件巧妙地调节信号传播，实现可重构的无线通信环境，提高未来无线通信系统的频谱与能量利用效率. 为了支持同步信息传输和目标检测，有学者开展了DFRC波形设计研究：Liu等^[3]研究了多输入多输出(multiple-input multiple-output, MIMO)雷达探测，设计了多用户MIMO通信的波束赋形；Ma等^[4]设计了DFRC系统的隐蔽波束赋形.

RIS的每个智能超表面单元的振幅和相位参数都可以调整，以便增强基站的输入信号，并实时反射给用户，从而经济有效地提高网络性能^[5]. RIS处的无源波束赋形可由基站(base station, BS)通过RIS控制. 为了使RIS的增益最大化，基站和RIS的波束赋形通常是联合设计的^[6]. RIS已在辅助雷达系统方面显示出优势^[7]. 为了提高检测性能，Wu等^[8]分别对MIMO雷达上用于目标检测的主动波束赋形和RIS上的被动波束赋形进行优化，提出RIS辅助检测算法，基于该算法的仿真结果表明RIS可以产生更好的Cramér−Rao界. 上述研究用于RIS建模的为单连接可重构阻抗网络，Buzzi等^[9]提出广义RIS模型，其中RIS网络是全连接，区别于传统的单连接RIS网络模型^[5-8]. 在DFRC系统中，雷达和通信之间存在不可避免的折中^[10]，这表明需要降低雷达性能以提高通信性能，反之亦然. 在DFRC传输方面，包含在探测波形中的关键信息很有可能会暴露给雷达目标，这些目标有可能成为对方的窃听者. 因此，DFRC系统的安全问题不容忽视. 已有从物理层安全的角度开展的DFRC系统的保密性研究^[11-12]. Deligiannis等^[11]考虑了带有恶意雷达接收机的统一通信和无源雷达系统，通过设计雷达波形和通信发射协方差矩阵，在不同的资源调度方案下，最大化雷达接收机的信噪比. Chalise等^[12]针对窃听雷达目标采用人工噪声辅助的安全传输方案，考虑到对目标位置和信道状态信息(channel state information, CSI)不确定性的不同假设，根据通信用户的信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)约束，将目标的信噪比降至最低. 隐蔽通信与上述物理层安全技术^[13]不同，隐蔽通信可以实现通信各方信息的隐蔽传输，防止通信信号被恶意窃听者发现^[14-15]. Ma等^[16]研究在隐蔽通信中部署RIS的性能增益，通过联合设计Alice处的发射功率和RIS处的反射波束赋形矢量，最大化Bob处接收信噪比. Zhou等^[17]研究窃听者Willie的位置对隐蔽通信速率的影响. 该研究结果表明，当Willie比合法用户Bob离RIS更近时，RIS会提高隐蔽通信速率. 上述有关隐蔽通信的研究中部署的RIS均为单连接方式，未考虑全连接RIS给隐蔽通信带来的影响.

本研究设计在双功能基站天线分离部署背景下的RIS辅助多天线DFRC隐蔽通信系统，联合设计双功能基站的主动波束赋形和RIS相位偏转矩阵，最大化Bob的隐蔽通信速率和目标处的探测功率. 从Bob隐蔽通信速率与目标处雷达探测功率增强方面，分析广义RIS模型对DFRC系统的影响，并与传统单连接RIS模型进行比较. 1)研究RIS辅助的DFRC隐蔽通信系统，针对双功能BS天线的分离部署，提出多策略交替优化(multi strategy alternating optimization, MSAO) 算法，对通信波束赋形向量、雷达信号协方差矩阵和RIS相位偏转矩阵进行联合设计，最大化Bob的隐蔽通信速率和目标探测功率，使得通信和感知功能达到性能的折中. 2)研究更为现实的场景，即Willie的非完美CSI场景，通过利用所提MSAO算法优化通信波束赋形向量、雷达信号协方差矩阵和RIS相位偏转矩阵，来解决这一现实场景下的问题. 在该场景下，隐蔽约束问题可通过S引理与半定松弛(semidefinite relaxation, SDR)技术进行变换处理. 3)从隐蔽通信速率、探测功率、波束方向图等方面与基准方案进行对比分析. 仿真结果验证所提方案在实现通信质量和目标感知质量之间性能折中的有效性.

如图1所示为RIS辅助DFRC的隐蔽通信系统, 该系统包含BS、无人机目标用户、合法接收器(Bob)与窃听者(Willie). Bob接收来自BS的直接信号和RIS反射的信号. 由于RIS部署在远离目标的地方，目标在低空飞行，并且与BS有很强的视距链路，因此通过RIS反射的雷达回波信号相对较弱，可以忽略^[18]. 在该模型中，假设BS的 $ M $根天线以均匀线性阵列(uniform linear array, ULA)的形式部署. RIS中部署 $N$个反射元件. 该系统在跟踪模式下作为雷达工作，以跟踪方位角为 ${\varphi_{\rm{m}}}$的目标. Bob为单天线用户，假设Bob可以忽略来自目标的反射信号^[16]. 单天线Willie在不断检测BS与Bob之间的通信信号，并试图识别BS是否正在向Bob发送信息. 在BS的分离部署中，有2组天线： ${{M}_{\rm{r}}}$根天线传输雷达信号、 ${{M}_{\rm{c}}}$根天线传输通信信号. 雷达天线和通信天线的功率分别为 ${{P}_{\rm{r}}}$、 ${{P}_{\rm{c}}}$. 假设 $ {{\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}} \in {{\bf{C}}^{N \times 1}} $、 $ {{\boldsymbol{h}}_{\rm{w}}} \in {{\bf{C}}^{N \times 1}} $分别为RIS到Bob和Willie的信道， $ {{\boldsymbol{H}}_{\rm{c}}} \in {{\bf{C}}^{N \times {M_{\rm{c}}}}} $、 $ {{\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}} \in {{\bf{C}}^{N \times {M_{\rm{r}}}}} $分别为从通信天线和雷达天线到RIS的信道. 从通信天线和雷达天线到Bob的直连信道分别为 $ {{\boldsymbol{d}}_{\rm{b,c}}} \in {{\bf{C}}^{{M_{\rm{c}}} \times 1}} $、 $ {{\boldsymbol{d}}_{\rm{b,r}}} \in {{\bf{C}}^{{M_{\rm{r}}} \times 1}} $，到Willie的直连信道分别为 ${{\boldsymbol{d}}_{\rm{w,c}}} \in {{\bf{C}}^{{M_{\rm{c}}} \times 1}}$、 $ {{\boldsymbol{d}}_{\rm{w,r}}} \in {{\bf{C}}^{{M_{\rm{r}}} \times 1}} $. 假设所有信道遵循瑞利衰落，Bob处的接收信号为

(1) $ \begin{gathered} {x_{{\rm{b}}}} = \left( {{{\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{\varTheta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{c}}} + {\boldsymbol{d}}_{{\rm{b,c}}}^{\rm{H}}} \right){\boldsymbol{p}}s + \left( {{{\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{\varTheta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}}+{\boldsymbol{d}}_{{\rm{b,r}}}^{\rm{H}}} \right){\boldsymbol{q}} + {n_{\rm{b}}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

式中： $s$为BS在信道中传输的信号， ${n_{\rm{b}}} \sim {\rm{N}}\left( {0,\sigma _{\rm{b}}^2} \right)$为Bob处的复高斯噪声， $ {\boldsymbol{p}} \in {{\bf{C}}^{{M_{\rm{c}}} \times 1}} $为通信波束赋形向量， $ {\boldsymbol{q}} \in {{\bf{C}}^{{M_{\rm{r}}} \times 1}} $为雷达波束赋形向量，雷达信号的协方差矩阵为 ${\boldsymbol{Q}} = {E}\left( {{\boldsymbol{q}}{{\boldsymbol{q}}^{\rm{H}}}} \right)$， ${E}(·)$为期望. $ {\boldsymbol{\varTheta}} \in {{\bf{C}}^{N \times N}} $为RIS相位偏转矩阵，其广义组连接网络^[19]建模为

$ \tag{2a}{\boldsymbol{\varTheta}} = {\rm{diag}}\left( {{{\boldsymbol{\varTheta}} _1},{{\boldsymbol{\varTheta}} _2},\cdots,{{\boldsymbol{\varTheta}} _{{G}}}} \right){\text{ ;}} $

(2.b) $\tag{2b} {{\boldsymbol{\varTheta}} _{{g}}} = {\boldsymbol{\varTheta}} _{{g}}^{{{\rm{T}}}},\;{\boldsymbol{\varTheta}} _{{g}}^{\rm{H}}{{\boldsymbol{\varTheta}} _{{g}}} = {\boldsymbol{I}};\;\forall g \in{G}{\text{ }}{\text{.}} $

式中： $ G $为网络的组数， ${{\boldsymbol{\varTheta}} _{{g}}} \in {{\bf{C}}^{{N_{{G}}} \times {N_{{G}}}}}$为全矩阵， ${N_{{G}}} = N/G$为每一组网络的元件数. 若 $G = 1$，则RIS为全连接网络；若 $G = N$，则RIS为单连接网络. Bob的SINR、通信速率分别为

(3) $ \gamma = \frac{{{{\left| {{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}}} \right|}^2}}}{{{\boldsymbol{r}}_{\rm{_b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}}+\sigma _{\rm{b}}^2}}{\text{ ,}} $

(4) $ R = {{\rm{lb}}}\left( {1+\gamma } \right){\text{ }}{\text{.}} $

式中： ${{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}} = {\boldsymbol{H}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{\varTheta }}{{\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}}+{{\boldsymbol{d}}_{{\rm{b,c}}}}$， ${{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}} = {\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{\varTheta}} {{\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}}+{{{\boldsymbol{d}}_{{\rm{b,r}}}}}$. 式(1)可重新表述为

(5) $ {x_{{\rm{b}}}} = {\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}}s+{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{q}}+{n_{\rm{b}}}{\text{ }}{\text{.}} $

沿 ${\varphi_{\rm{m}}}$方向上的探测功率为

(6) $ \beta \left( {{\varphi_{\rm{m}}}} \right) = {{\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}}({\varphi _{\rm{m}}}){\boldsymbol{Ca}}({\varphi _{\rm{m}}}){\text{ }}{\text{.}} $

式中： ${\boldsymbol{a}}({\varphi _{\rm{m}}}) \in {{\bf{C}}^{M \times 1}}$为方向导向向量，对于ULA部署，

(7) $ \begin{split} &{\boldsymbol{a}}({\varphi_{\rm{m}}}) = \left[ {1,\exp \left( {{\rm{j}}\frac{{2\text{π} }}{\lambda }d\sin \left( {\varphi_{\rm{m}}} \right)} \right),\cdots,}\right.\\ &\qquad \left.{\exp {{\left( {{\rm{j}}\frac{{2\text{π} }}{\lambda }d\left( {M - 1} \right)\sin \left( {\varphi_{\rm{m}}} \right)} \right)}}} \right]^{\rm{T}}. \end{split} $

其中 $\lambda $为信号波长， $d$为天线间距，在不损失一般性的情况下，设置 $d = {\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda 2}} \right. } 2}$; ${\boldsymbol{C}} \in {{\bf{C}}^{M \times M}}$为整个发射信号的协方差矩阵，通信信号与雷达信号不相关，协方差矩阵可以表示为

(8) $ {\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{ Q}} &{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{ 0}}&{{{\boldsymbol{pp}}^{\rm{H}}}} \end{array}} \right]{\text{ }}{\text{.}} $

式(6)改写为

(9) $ \beta \left( {{\varphi_{\rm{m}}}} \right) = {\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi _{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi _{\rm{m}}})+{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi _{\rm{m}}}){{\boldsymbol{pp}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi _{\rm{m}}}){\text{ }}{\text{.}} $

式中： ${{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi _{\rm{m}}})$、 ${{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi _{\rm{m}}})$分别为雷达天线和通信天线的方向导向向量.

在本研究考虑的系统中，Willie的目的是确定Bob是否在与BS进行通信. 因此， Willie的接收信号 ${x_{\rm{w}}}$须进行2种假设测试， ${\rm{H}0}$为假设BS仅发送雷达信号； ${\rm{H}1}$为假设BS同时发送雷达信号和通信信号. $ {x_{\rm{w}}} $表达式为

(10) $ {x_{\rm{w}}} = \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} \left( {{\boldsymbol{h}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{{\boldsymbol{\varTheta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}} + {\boldsymbol{d}}_{{\rm{w,r}}}^{\rm{H}}} \right){\boldsymbol{q}} + {n_{\rm{w}}},&{\rm{H}0} \\ \left( {{\boldsymbol{h}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{{\boldsymbol{\varTheta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{c}}} + {\boldsymbol{d}}_{{\rm{w,c}}}^{\rm{H}}} \right){\boldsymbol{p}}s + \left( {{\boldsymbol{h}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{{\boldsymbol{\varTheta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}} + {\boldsymbol{d}}_{{\rm{w,r}}}^{\rm{H}}} \right){\boldsymbol{q}} + {n_{\rm{w}}}. &{\rm{H}1} \\ \end{array} \right. $

式中： ${n_{\rm{w}}} \sim \rm{N}\left( {0,\sigma _{\rm{w}}^2} \right)$为Willie的复高斯噪声. 引入隐蔽约束来描述隐蔽性. 对于Willie，令 ${p_{_0}}({x_{\rm{w}}})$、 ${p_{_1}}({x_{\rm{w}}})$分别为 $ {x_{\rm{w}}} $在 ${\rm{H}0}$、 ${\rm{H}1}$下的似然函数，根据式(10)， ${p_{_0}}({x_{\rm{w}}})$、 ${p_{_1}}({x_{\rm{w}}})$的表达式^[16]分别为

$ \tag{11a}{p_{_0}}({x_{\rm{w}}}) = \frac{1}{{\text{π} {\lambda _0}}}\exp \left( { - \frac{{|{x_{\rm{w}}}{|^2}}}{{{\lambda _0}}}} \right){\text{ ,}} $

$ \tag{11b}{p_{_1}}({x_{\rm{w}}}) = \frac{1}{{\text{π} {\lambda _1}}}\exp \left( { - \frac{{|{x_{\rm{w}}}{|^2}}}{{{\lambda _1}}}} \right){\text{ }}{\text{.}} $

式中： ${\lambda _0} \; ^{\underline{\underline {{\rm{def}}}}}\;\; {\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}}\,+\,\sigma _{\rm{w}}^2$， ${\lambda _1}\; ^{\underline{\underline {{\rm{def}}}}}\;\; |{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}} {\boldsymbol{p}}{|^2}\,+\,{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}}\,+\,\sigma _{\rm{w}}^2$， ${{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}} = {\boldsymbol{H}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{\varTheta}} {{\boldsymbol{h}}_{\rm{w}}}+{{\boldsymbol{d}}_{{\rm{w,c}}}}$， ${{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}} = {\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{\varTheta}} {{\boldsymbol{h}}_{\rm{w}}}+{{\boldsymbol{d}}_{{\rm{w,r}}}}$.令 $D({p_{_0}}||{p_{_1}})$为从 ${p_{_0}}({x_{\rm{w}}})$到 ${p_{_1}}({x_{\rm{w}}})$的KL (kullback-leibler) 散度；令 $D({p_{_1}}||{p_{_0}})$为从 ${p_{_1}}({x_{\rm{w}}})$到 ${p_{_0}}({x_{\rm{w}}})$的KL散度. 根据式(11a)与(11b)， $D({p_{_0}}||{p_{_1}})$与 $D({p_{_1}}||{p_{_0}})$的表达式为

$ \tag{12a} D({p_{_0}}||{p_{_1}}) =\int_{ - \infty }^{+\infty } {{p_{_0}}({x_{\rm{w}}})\ln \frac{{{p_{_0}}({x_{\rm{w}}})}}{{{p_{_1}}({x_{\rm{w}}})}}} {\rm{d}}y = \ln \frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _0}}}+\frac{{{\lambda _0}}}{{{\lambda _1}}} - 1{\text{ ,}} $

$ \tag{12b} D({p_{_1}}||{p_{_0}}) = \int_{ - \infty }^{+\infty } {{p_{_1}}({x_{\rm{w}}})\ln \frac{{{p_{_1}}({x_{\rm{w}}})}}{{{p_{_0}}({x_{\rm{w}}})}}} {\rm{d}}y = {\text{ }} \ln \frac{{{\lambda _0}}}{{{\lambda _1}}}+\frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _0}}} - 1{\text{ }}{\text{.}} $

$P \left\{ {{\rm{D}1}|{\rm{H}0}} \right\}$与 $P \left\{ {{\rm{D}0}|{\rm{H}1}} \right\}$分别为 ${\rm{H}0}$下的虚警概率和 ${\rm{H}1}$下的漏检概率. ${\rm{D}1}$和 ${\rm{D}0}$分别为对应于 ${\rm{H}0}$和 ${\rm{H}1}$的二元决策，即D1为Willie检测到Bob正在通信，D0为Willie未检测到Bob正在通信. 检测错误概率是虚警概率与漏检概率的总和^[20]:

(13) $ \xi = P \left\{ {{\rm{D}1}|{\rm{H}0}} \right\}+P\left\{ {{\rm{D}0}|{\rm{H}1}} \right\}{\text{ }}{\text{.}} $

式中： $0 \leqslant \xi \leqslant 1.0$. 若 $\xi = 0$，则Willie可以完美地检测到BS的信号传输. 若 $\xi = 1.0$，则Willie无法执行正确的检测，Willie希望最小化条件错误概率 $\xi $. 似然比检验为

(14) $ \frac{{{p_{_1}}({x_{\rm{w}}})}}{{{p_{_0}}({x_{\rm{w}}})}}\frac{{\mathop > }}{{\mathop < }}1{\text{ }}{\text{.}} $

在D1决策下，式(14)取大于等于1；在D0的决策下，式(14)取小于等于1.

隐蔽通信中，窃听者Willie试图找到使得总条件检测错误概率 ${\xi ^*}$最小的最佳检测器^[21]. 对于任何给定的小常数 $\varepsilon \in [0,1.0]$， ${\xi ^*}$满足标准 ${\xi ^*} \geqslant 1 - \varepsilon $^[20].因此，隐蔽约束为

$\tag{15a} D({p_{_0}}||{p_{_1}}) \leqslant 2{\varepsilon ^2}{\text{ ,}} $

$ \tag{15b} D({p_{_1}}||{p_{_0}}) \leqslant 2{\varepsilon ^2}{\text{ }}{\text{.}} $

下文将式(15a)表示为隐蔽约束 ${\rm{d}}1$，式(15b)表示为隐蔽约束 ${\rm{d}}2$.

本研究旨在通过联合设计通信波束赋形向量、雷达信号协方差矩阵和RIS相位偏转矩阵，在满足隐蔽约束、雷达恒模约束与总功率约束的条件下，最大化通信速率和雷达探测功率. 将本系统的优化问题表示为

$ \tag{16} \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} } {\text{ }}\rho R({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} )+{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}}) + {\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}}{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi_{\rm{m}}}){\text{ .}} $

$ \tag{16a} {\rm{s}}.{\rm{t}}. \;\;\;\; {\rm{diag}}\;({\boldsymbol{Q}}) = \frac{{{P_{\rm{r}}}}}{{{M_{\rm{r}}}}}{{\bf{1}}^{{M_{\rm{r}}} \times 1}}{\text{ ;}} $

$ \tag{16b} {\rm{tr}}\;({\boldsymbol{p}}{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}) \leqslant {P_{\rm{c}}}{\text{ ;}} $

$ \tag{16c} {\boldsymbol{Q}}\geqslant{\bf{0}},{\text{ }}{\boldsymbol{Q }}= {{\boldsymbol{Q}}^{\rm{H}}}{\text{ ;}} $

$\tag{16d} 式(2{\rm{a}}), 式(2{\rm{b}}); $

$ 式(15{\rm{a}}) 或式(15{\rm{b}}) . $

式中： $\;\rho $为正则化参数，Q$\geqslant $0表示矩阵Q的所有特征值都大于或等于零，即Q为半正定矩阵. 式(16)的第一部分为Bob的隐蔽通信速率，其余部分为沿 ${\varphi_{\rm{m}}}$方向上的探测功率；式(16a)为雷达施加的恒模约束，目的是保证最佳的低峰均功率比，减少雷达信号失真^[22]；式(16b)为通信施加的总功率约束；式(16c)将雷达信号的协方差矩阵 ${\boldsymbol{Q}}$为赫米特半正定矩阵；式(16d)为RIS的相位约束.

考虑以下典型的场景：Bob处的信道状态信息完全已知，Willie是非法用户. 在此场景下，BS可能会获得 ${{\boldsymbol{h}}_{\rm{w}}}$的完整CSI，使得Bob在H1下躲避Willie ^[23]. 此时，隐藏约束变为

$ \tag{17a} D({p_{_0}}||{p_{_1}}) = 0{\text{ ,}} $

$\tag{17b} D({p_{_1}}||{p_{_0}}) = 0{\text{ }}{\text{.}} $

根据上述隐蔽约束条件，优化问题式(16)可以重新表述为

(18) $ \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} } {\text{ }}\rho R({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} )+{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}}) + {\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}}{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi_{\rm{m}}}){\text{ .}} $

$\tag{18a} {\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\; {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}} = 0{\text{ ;}} $

$ 式(16{\rm{a}}),\; 式(16{\rm{b}});$

$ 式(16{\rm{c}}),\; 式(16{\rm{d}}). $

注意，当隐蔽约束式(17a)与式(17b)同时满足时，可通过式(12a)与式(12b)推导出 ${\lambda _0} = {\lambda _1}$，从而得到 ${\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}} = 0$，且在 ${{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}}$的零空间中可以找到 ${\boldsymbol{p}}$的可行解. 因此式(18a)可解. 利用本研究提出的MSAO算法，将问题式(18)分别转化为关于 $ \{ {\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}\} $和 ${\boldsymbol{\varTheta}} $的2个优化子问题，利用二次约束二次规划(quadratical constraint quadratic programming, QCQP)和SDR技术来求解优化子问题.

基于 Christensen等^[24]提出最小均方误差(minimum mean square error, MMSE)方法，将式(18)中的最大化Bob隐蔽通信速率的问题转化为最小化均方误差的问题，过程如下. Bob通过接收机 ${{g}_{\rm{b}}}$接收到的信号为

(19) $ \hat {\boldsymbol{s}} = {g_{\rm{b}}}{x_{{\rm{b}}}} = {g_{\rm{b}}}{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}}s+{g_{\rm{b}}}{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{q}}+{g_{\rm{b}}}{n_{\rm{b}}}{\text{ }}{\text{.}} $

均方误差为

(20) $ e = {E} \left( {{{\left| {\hat s - s} \right|}^2}} \right) = {\left| {{{g}_{\rm{b}}}} \right|^2} \left( {{{\left| {{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}}} \right|}^2} + {\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}} + \sigma _{\rm{b}}^2} \right) - 2{{\rm{R}}}{\rm{e}}\{ {{g}_{\rm{b}}}{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}}\} + 1{\text{ }}{\text{.}} $

MMSE接收机 $g_{\rm{b,M}}$为

(21) $ g_{\rm{b,M}} = \arg \; \mathop {\min }\limits_{{g_{\rm{b}}}} e = \frac{{{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}}}{{{{\left| {{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}}} \right|}^2}+{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}}+\sigma _{\rm{b}}^2}}{\text{ }}{\text{.}} $

在 ${\boldsymbol{\varTheta}} $已固定的情况下，式(18)可以转换成最小化均方误差和最大化探测功率的问题，即

(22) $ \mathop {\min } \limits_{{\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}} {\text{ }}\rho e({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}) - {\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}}) -{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}}{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi_{\rm{m}}}){\text{ ;}} $

$ {\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\;\;式(16{\rm{a}}),\; 式(16{\rm{b}}),\; 式(16{\rm{c}}),\; 式 (18{\rm{a}}). $

由于式(22)中最后一项非凸，根据Xu等^[10]提出的变换方法，最后一项可以变换为

(23) $ - {\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}}{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi_{\rm{m}}}) = {{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}} - {{M}_{\rm{c}}} {{P}_{\rm{c}}}{\text{ }}{\text{.}} $

式中： ${\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}}) = {{M}_{\rm{c}}}{\boldsymbol{I}} - {{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}})$，优化问题式(22)等价为

(24) $ \mathop {\min }\limits_{{\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}} {\text{ }}\rho e({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}) - {\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}})+{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}}{\text{ ;}} $

$ {\rm{s}}.{\rm{t}}.\;\;\;\;式(16{\rm{a}}),\; 式(16{\rm{b}}),\; 式(16{\rm{c}}),\; 式(18{\rm{a}}). $

式(24)是QCQP问题，先进行该问题的均匀化. 将式(20)改写为

(25) $ \begin{split} e =& {E}\left( {{{\left| {\hat s - s} \right|}^2}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}},& 1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left| {{{g}_{\rm{b}}}} \right|}^2}{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}}&{ - {g}_{\rm{b}}^*{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}} \\ { - {{g}_{\rm{b}}}{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{p}} \\ 1 \end{array}} \right] +\\ & {\left| {{{g}_{\rm{b}}}} \right|^2}\left( {{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}}+\sigma _{\rm{b}}^2} \right)+1{\text{ }}{\text{.}} \\[-10pt] \end{split} $

同理可以得到

(26) $ {{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}},& 1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}})}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{\rm{0}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{ p}} \\ 1 \end{array}} \right]{\text{ }}{\text{.}} $

利用SDR技术^[25]松弛 $ {\boldsymbol{T}} = \hat {\boldsymbol{p}}{\hat {\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}} $，可以得到齐次QCQP优化问题：

(27) $ \begin{split} \mathop {\min }\limits_{{\boldsymbol{T}},{\boldsymbol{Q}}} {\text{ }}\rho \left( {{\rm{tr}}\;({{\boldsymbol{C}}_{\rm{b}}}{\boldsymbol{T}})+{{\left| {{{g}_{\rm{b}}}} \right|}^2}\left( {{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}}+\sigma _{\rm{b}}^2} \right)+1} \right) - \\ {\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}})+{\rm{tr}}\left( {\hat {\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{T}}} \right){\text{ .}} \\ \end{split} $

$ \tag{27a} {\rm{s.t.}} \;\;\;\;{\left[ {{T}} \right]_{{{M}_{\rm{c}}}+1,{{M}_{\rm{c}}}+1}} = 1{\text{ ;}} $

$ \tag{27b} {\boldsymbol{T}}\geqslant {\bf{0}},{\text{ }}{\boldsymbol{T}} = {{\boldsymbol{T}}^{\rm{H}}}{\text{ ;}} $

$ \tag{27c} 式(16{\rm{a}}), \;式(16{\rm{b}}), \;式(16{\rm{c}}), \; 式(18{\rm{a}}). $

式中： $ {\hat {\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}},& 1 \end{array}} \right] $， $\hat {\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}})}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}& 0 \end{array}} \right]$， ${{\boldsymbol{C}}_{\rm{b}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left| {{{g}_{\rm{b}}}} \right|}^2}{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}}&{ - {g}_{\rm{b}}^*{{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}}} \\ { - {{g}_{\rm{b}}}{\boldsymbol{c}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}}&0 \end{array}} \right]$，

${\left[ {{T}} \right]_{{{M}_{\rm{c}}}+1,{{M}_{\rm{c}}}+1}}$为T中第(M_c+1)行、 $ \left( {{{M}_{\rm{c}}}+1} \right) $列元素. 当 ${\boldsymbol{\varTheta}} $固定时，Bob的隐蔽通信速率与雷达探测功率的最大化问题可以通过求解式(27)解决. 式(27)的问题可以用CVX工具箱解出 $ {\boldsymbol{T}}、{\boldsymbol{Q}} $，最优波束赋形向量 $ {{\boldsymbol{p}}^*} $通过特征值分解 $ {\boldsymbol{T}} $近似求解.

固定 ${\boldsymbol{p}}$、 ${\boldsymbol{Q}}$，优化问题式(18)中涉及目标探测功率的部分可以省略：

(28) $ \mathop {\max }\limits_{\boldsymbol{\varTheta}} {\text{ }}{f_1}\left( {\boldsymbol{\varTheta}} \right) = {{\rm{lb}} }\left( {1+\gamma } \right){\text{ ,}} $

$ {\rm{s.t.}}\;\;式 (16{\rm{d}}).$

对式(28)进行拉格朗日对偶变换^[26]可以得到

(29) $ \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{\varTheta}} ,{\text{ }}\alpha } {\text{ }}{f_2}\left( {{\boldsymbol{\varTheta}} ,\alpha } \right) = {{\rm{lb}} }\left( {1+\alpha } \right) - \alpha +\frac{{\left( {1+\alpha } \right)\gamma }}{{1+\gamma }}{\text{ ,}} $

$ {\rm{s.t.}}\;\;式 (16{\rm{d}}). $

式中： $ \alpha $为拉格朗日乘子. 固定 ${\boldsymbol{\varTheta}} $时，式(29)是关于 $ \alpha $的无约束凸优化问题，最优 $ {\alpha ^*} $通过 ${{\partial {f_2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {f_2}} {\partial \alpha }}} \right. } {\partial \alpha }} = 0$得到 $ {\alpha ^*} = \gamma $. 固定 $ \alpha $时，式(29)可化简为分式规划问题. 令 ${\boldsymbol{\theta }}= {\rm{vec}}\left( {{{\boldsymbol{\varTheta}} ^{\rm{T}}}} \right)$， $y \in \bf{C}$，应用Shen等^[27]提出的二次变换(quadratic transform, QT)，将问题式(29)变换为

(30) $ \begin{split} \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{\theta}} ,{\text{ }}y} &{\text{ }}2{\rm{{R}e}}\left\{ {{y^*}\sqrt {1+\alpha } \left( {{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}}+{d_{\rm{p}}}} \right)} \right\}- {\left| y \right|^2}\left( {{\left| {{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}}+{d_{\rm{p}}}} \right|}^2}+\right.\\ &\left.{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{\theta}} +2{\rm{{R}e}}\left\{ {{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{f}}} \right\}+m \right){\text{ ;}} \\[-10pt] \end{split} $

$ \tag{30a} {\rm{s.t.}} \;\;{\boldsymbol{\theta}} = {\rm{vec}}\left( {{{\boldsymbol{\varTheta}} ^{\rm{T}}}} \right){\text{ ,}} $

$ 式(16{\rm{d}}). $

式中： ${\boldsymbol{B}}_{\rm{p}} \;=\; {\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{c}}}{\boldsymbol{p}}$， $ {d_{\rm{p}}} \;=\; {\boldsymbol{d}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}} $， ${\boldsymbol{D }}\;=\; {\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}}{\boldsymbol{Q}}{\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}{{\boldsymbol{B}}^{\rm{H}}}$ ， $ {\boldsymbol{f}} \;=\; {\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{H}}_{\rm{r}}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{d}}_{\rm{r}}} $， $m \;=\; {\boldsymbol{d}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{d}}_{\rm{r}}}+\sigma _{\rm{b}}^2$， ${\tilde {\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}} = {\left[ {{\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}^{\rm{H}},{\boldsymbol{0}}_{(N - 1)N}^{\rm{T}}} \right]^{\rm{T}}} \in {\bf{C}}^{NN \times 1}$ ， ${\boldsymbol{B}}\; =\; [{{\boldsymbol{J}}^0}{\tilde {\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}},\;{{\boldsymbol{J}}^N}{\tilde {\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}},\;$ ${{\boldsymbol{J}}^{2N}}{\tilde {\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}},\;\cdots,\;{{\boldsymbol{J}}^{(N - 1)N}}{\tilde {\boldsymbol{h}}_{\rm{b}}}]$，J= $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{0}}_{NN - 1}^{\rm{T}}}&{{0}} \\ {{{\boldsymbol{I}}_{NN - 1}}}&{{{\boldsymbol{0}}_{NN - 1}}} \end{array}} \right]$.

针对问题式(30)，再次通过固定 ${\boldsymbol{\theta}} $或 $y$，优化另一个变量来解决. 固定 ${\boldsymbol{\theta}} $，得到最优解 $ {y^*} $：

(31) $ {y^*} = \frac{{\sqrt {1+\alpha } \left( {{{{{\boldsymbol{\theta}} }}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}}+{d_{\rm{p}}}} \right)}}{{{{\left| {{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}}+{d_{\rm{p}}}} \right|}^2}+{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{\theta}} +2{\rm{{R}e}}\left\{ {{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{f}}} \right\}+m}}{\text{ }}{\text{.}} $

在固定 $y$的条件下，问题式(30)简化为最小化问题：

(32) $ \mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{\theta}} {\text{ }}{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{U}}{\boldsymbol{\theta}} - 2{\rm{{R}e}}\left\{ {{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{v}}} \right\}{\text{ .}} $

$ \tag{32a} {\rm{s.t.}}\;\;式(2{\rm{a}}),\; 式(30{\rm{a}}); $

$ \tag{32b} {{\boldsymbol{\varTheta}} _{{g}}} = {(j{{\boldsymbol{Z}}_{{g}}}+{R_0}{\bf{I}})^{ - 1}}(j{{\boldsymbol{Z}}_{{g}}} - {R_0}{\bf{I}}),\;\forall g \in G{\text{ ;}} $

$ \tag{32c} {{\boldsymbol{Z}}_{{g}}} = {\boldsymbol{Z}}_{{g}}^{\rm{T}},\;\forall g \in G{\text{ .}} $

式中： ${\boldsymbol{U }}= {\left| y \right|^2}\left( {{\boldsymbol{D}}+{{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}}{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}^{\rm{H}}} \right), {\boldsymbol{v}} = {y^*}\sqrt {1+\alpha } {{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}} -\left| y \right|^2\left( {\boldsymbol{f}}+\right.$

$\left. d_{\rm{p}}^*{{\boldsymbol{B}}_{\rm{p}}} \right) ,{R_0} = 50\;\Omega$为特性阻抗. 式(32)等价为关于 ${\boldsymbol{\theta}} $的无约束优化问题，可利用拟牛顿法优化得到 ${\boldsymbol{\varTheta}} $.

在 $G = N$(即RIS为单连接)的特殊情况下，相位偏转矩阵 ${\boldsymbol{\varTheta}} $为对角矩阵，按照推导式(32)的相同路径，可以将 ${\boldsymbol{\varTheta}} $优化问题转换为凸的二次规划问题，利用CVX工具箱求解. 本研究提出多策略交替优化算法MSAO来解决问题式(18)，算法流程如算法1所示.

算法1　Willie完美CSI场景下的MSAO算法

　　 输入： $t = 0,{\text{ }}{{\boldsymbol{p}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{Q}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$;　　 输出：Bob隐蔽通信速率与雷达探测功率之和;　　　　 通过 ${{\boldsymbol{p}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{Q}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$计算Bob的隐蔽通信速率 ${{{R}}^t}$;　　1. 重复;　　2. $t = t+1$;　　3. 通过式(21)计算 ${g^t}$;　　4. 通过求解式(27)更新通信波束赋形矩阵 ${{\boldsymbol{p}}^t}$和雷达协方差矩阵 ${{\boldsymbol{Q}}^t}$ 　　5. 通过求解公式(32)更新RIS相位偏转矩阵 ${{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$;　　6. 通过 ${{\boldsymbol{p}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{Q}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$计算Bob的隐蔽通信速率 ${{{R}}^t}$;　　7. 直到 $\left| {{{{R}}^{t - 1}} - {R^t}} \right| \leqslant \varepsilon $.

一般来说，BS很难获得Willie的CSI，为此考虑更实际的应用场景如下：Willie是窃听用户，不完美的信道状态信息 ${{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}$被建模为^[28]

(33) $ {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}} = {\hat {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}+\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}{\text{ }}{\text{.}} $

式中： ${\hat {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}$为估计的CSI， $\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}$为相应的CSI误差矢量. $\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}$以椭球区域为特征，即

(34) $ {\varepsilon _{\rm{w}}} = \left\{ {\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}\;|\;\Delta {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{{\boldsymbol{A}}_{\rm{w}}}\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}} \leqslant {{{v}}_{\rm{w}}}} \right\}{\text{ }}{\text{.}} $

式中： ${{\boldsymbol{A}}_{\rm{w}}} = {\boldsymbol{A}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}\geqslant {\boldsymbol{0}}$控制椭球的轴， ${{{v}}_{\rm{w}}} > 0$为椭球的体积^[29]. 由于BS不知道完整的WCSI，很难实现式(17a)与式(17b)的完美隐蔽传输，采用式(15a)或式(15b)作为隐蔽性约束条件.

在隐蔽约束为 $D({p_{_0}}||{p_{_1}}) \leqslant 2{\varepsilon ^2}$的场景下，式(18)的优化问题可以改写为

(35) $ \mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} } {\text{ }}\rho R({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} )+{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}}) {\text{ }}+{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}}{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi_{\rm{m}}}){\text{ ;}} $

$ {\rm{s.t.}}\;\;式(15{\rm{a}}),\; 式(16{\rm{a}}),\; 式 (16{\rm{b}}),\;式(16{\rm{c}}),\; 式(16{\rm{d}}), \;式(33).$

问题式(35)是非凸问题，很难直接获得最优解，为此利用函数 $f(x) = \ln x+{x^{-1}} - 1,{\text{ }}x > 0$的性质重新构造隐蔽约束，隐蔽约束 $D({p_{_0}}||{p_{_1}}) = \ln \;({{{\lambda _1}}}/{{{\lambda _0}}})+ {{{\lambda _0}}}/ {{{\lambda _1}}} - 1 \leqslant 2{\varepsilon ^2}$等价为

(36) $ a \leqslant \frac{{{\lambda _1}}}{{{\lambda _0}}} \leqslant b{\text{ }}{\text{.}} $

式中： $a$、 $b$为方程 $\ln\; ({{{\lambda _1}}}/{{{\lambda _0}}})+{{{\lambda _0}}}/{{{\lambda _1}}} - 1 = 2{\varepsilon ^2}$的2个根. 式(36)重新表述为

(37) $ a \leqslant \frac{{|{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{p}}{|^2}+{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}}+\sigma _{\rm{w}}^2}}{{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}}+\sigma _{\rm{w}}^2}} \leqslant b{\text{ }}{\text{.}} $

将 ${{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}} = {\hat {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}+\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}}$代入式(37)，利用SDR技术松弛 ${\boldsymbol{T}} = \hat {\boldsymbol{p}}{\hat {\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}$，可以得到

$ \tag{38a}\begin{split} \Delta \overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}& \Delta {{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}+2{\rm{{R}e}}\left\{ {\Delta \overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}} \right\}+ \\ &{\text{ }}\overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}+\left( {1 - a} \right){\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}} \geqslant \sigma _{\rm{w}}^2\left( {a - 1} \right){\text{ ,}} \\ \end{split} $

$ \tag{38b}\begin{split} \Delta \overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}& \Delta {{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}+2{\rm{Re}}\left\{ {\Delta \overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}} \right\}+ \\ &{\text{ }}\overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}+\left( {1 - b} \right){\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}} \geqslant \sigma _{\rm{w}}^2\left( {b - 1} \right){\text{ }}{\text{.}} \end{split} $

式中： $ \Delta {\overline{\boldsymbol{ c}}_{\rm{w}}} = \left[ {\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}},0} \right] $， $ {\overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}} = \left[ {{{\hat {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}},0} \right] $， ${\hat {\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}} = \left[ {{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}},\;\;\; 1 \right]$.由于 $\Delta {{\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}} \in {\varepsilon _{\rm{w}}}$涉及无限多的约束，使得优化问题仍然不能计算，应用S引理^[30]将式(38a)、(38b)转化为线性矩阵不等式(linear matrix inequality, LMI)，即

$\tag{39a} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{T}} + {\eta _1}{{\boldsymbol{A}}_{\rm{w}}}} & {{\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}} \\ {\overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}} & {\overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}} + \left( {1 - a} \right) {\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}} - \sigma _{\rm{w}}^2 \left( {a - 1} \right) - {\eta _1}{{{v}}_{\rm{w}}}} \end{array}} \right]{ \geqslant } {\bf{0}}{\text{ ,}} $

$ \tag{39b} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\boldsymbol{T}} + {\boldsymbol{}}{\eta _2}{{\boldsymbol{A}}_{\rm{w}}}} & { - {\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}}} \\ { - \overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}} & { - \overline {\boldsymbol{c}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{T}}\;{{\overline {\boldsymbol{c}}}_{\rm{w}}} - \left( {1 - {\text{b}}} \right){\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{w}}} + \sigma _{\rm{w}}^2\left( {b - 1} \right) - {\eta _2}{{{v}}_{\rm{w}}}} \end{array}} \right]{ \geqslant } {\bf{0}}{\text{ }}{\text{.}} $

式中： $ {\eta _1} > 0 $， $ {\eta _2} > 0 $. 将问题式(35)近似为

$ \tag{40}\mathop {\max }\limits_{{\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} } {\text{ }}\rho R({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} )+{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}}) + {\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{p}}{{\boldsymbol{p}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{c}}}({\varphi_{\rm{m}}}){\text{ ;}} $

$ {\rm{s.t.}}\;\;式(16{\rm{a}}),\; 式(16{\rm{b}}), \; 式(16{\rm{c}}),\;式(16{\rm{d}}), \;式(39{\rm{a}}),\; 式(39{\rm{b}}). $

式(40)为非凸优化问题，可以沿用完美WCSI场景下的MASO算法优化 $\{ {{\boldsymbol{p}}},{\boldsymbol{Q}}\}$、 ${\boldsymbol{\varTheta}} $. 当固定 ${\boldsymbol{\varTheta}} $时，将优化问题式(40)重新表述为

$ \tag{41}\begin{split} \mathop {\min }\limits_{{\boldsymbol{T}},{\boldsymbol{Q}}} &{\text{ }}\rho \left( {{\rm{tr}}\;({{\boldsymbol{C}}_{\rm{b}}}{\boldsymbol{T}})+{{\left| {{{g}_{\rm{b}}}} \right|}^2}\left( {{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}^{\rm{H}}{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{r}}_{\rm{b}}}+\sigma _{\rm{b}}^2} \right)+1} \right) -\\ & {\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}^{\rm{H}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{r}}}({\varphi_{\rm{m}}})+{\rm{tr}}\left( {\hat {\boldsymbol{Y}}({\varphi_{\rm{m}}}){\boldsymbol{T}}} \right){\text{ ;}} \\ \end{split} $

$ {\rm{s.t.}}\;\;式(27{\rm{a}}), 式(27{\rm{b}}), 式(27{\rm{c}}) ,\;式(39{\rm{a}}),\; 式(39{\rm{b}}). $

固定 $ \{ {\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}\} $，将优化问题(40)重新表述为

$ \tag{42}\mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{\theta}} \;\; {\text{ }}\left\{{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{U}}{\boldsymbol{\theta}} - 2{\rm{Re}}\left\{ {{{\boldsymbol{\theta}}^{\rm{H}}}{\boldsymbol{v}}} \right\}\right\}{\text{ ;}} $

$ {\rm{s.t.}}\;\;式(32{\rm{a}}),\; 式(32{\rm{b}}),\; 式(32{\rm{c}}),\;式(39{\rm{a}}),\; 式(39{\rm{b}}). $

Willie非完美CSI场景下MSAO算法如算法2所示.

算法2　Willie非完美CSI场景下的MSAO算法

输入： $t = 0,{\text{ }}{{\boldsymbol{p}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{Q}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$;　　输出：Bob隐蔽通信速率与雷达探测功率之和;　　通过 ${{\boldsymbol{p}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{Q}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$计算Bob的隐蔽通信速率 ${R^t}$;　　1. 重复;　　2. $t = t+1$;　　3. 通过式(21)计算 ${g^t}$;　　4. 通过求解式(41)更新通信波束赋形矩阵 ${{\boldsymbol{p}}^t}$和雷达协方差矩阵 ${{\boldsymbol{Q}}^t}$ 　　5. 通过求解式(42)更新RIS相位偏转矩阵 ${{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$;　　6. 通过 ${{\boldsymbol{p}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{Q}}^t},{\text{ }}{{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}$计算Bob的隐蔽通信速率 ${R^t}$;　　7. 直到 $ \left| {{R^{t - 1}} - {R^t}} \right| \leqslant \varepsilon $.

在 $D({p_{_1}}||{p_{_0}}) \leqslant 2{\varepsilon ^2}$的场景下得到的优化问题与问题(33)除了隐蔽性约束条件不同，其他条件类似. 同理， $D({p_{_1}}||{p_{_0}}) \leqslant 2{\varepsilon ^2}$场景下的隐蔽约束条件 $D({p_{_1}}||{p_{_0}}) = \ln\; ({{{\lambda _0}}}/{{{\lambda _1}}})+{{{\lambda _1}}}/{{{\lambda _0}}} - 1 \leqslant 2{\varepsilon ^2}$等价为

$ \tag{43}c \leqslant \frac{{{\lambda _0}}}{{{\lambda _1}}} \leqslant d{\text{ }}{\text{.}} $

其中 $c$与 $d$是方程 $\ln \;({{{\lambda _0}}}/{{{\lambda _1}}})+{{{\lambda _1}}}/{{{\lambda _0}}} - 1 = 2{\varepsilon ^2}$的2个根. 应用MSAO方法来解决优化问题，这里省略详细的推导过程. 虽然在这2种场景中使用的方法相同，但在2种不同的信号约束下，可实现的隐蔽率是完全不同的.

针对算法1，求解问题式(27)的复杂度表示为 ${o_{1,1}} = { O}\,([{({M}_{{{\rm{c}}}}^2\,+\,{M}_{{{\rm{r}}}}^2)^2}\sqrt {2({{M}_{{{\rm{c}}}}}\,+\,{{M}_{{{\rm{r}}}}})}\, (2({({{ M}_{\rm{c}}}\,+\,1)^3}\,+\,{\rm M}_{\rm{r}}^3)$+ $2{n_1}({({{M}_{{{\rm{c}}}}}+1)^2}+{M}_{{{\rm{r}}}}^2)+n_1^2)])$，其中 ${n_1} = { O}({M}_{{{\rm{c}}}}^2+{M}_{{{\rm{r}}}}^2)$；求解问题式(30)的复杂度表示为 ${o_{1,2}} = {O}([{n_2}\sqrt {N+{N_G}+{N^2}}\times$ $ ({N^3}+N_G^3+{({N^2})^3}+{n_2}({N^2}+$ $ N_G^2+{({N^2})^2})+n_2^2)]) $，其中 ${n_2} = {\rm O}({N^2})$. 因此，算法1的整体复杂度为 ${o_{1,1}}+{o_{1,2}}$. 同理，在算法2中，求解问题式(41)的复杂度表示为 ${o_{2,1}} \,= \,{ O}([{n_1}\sqrt {4{{M}_{{{\rm{c}}}}} + 7} (2{({{M}_{{{\rm{c}}}}} + 1)^3} + 2{({{M}_{{{\rm{c}}}}}+ 2)^3}+ {n_1}(2({{M}_{{{\rm{c}}}}}$+ $1{)^2}+ 2{({{M}_{{{\rm{c}}}}} + 2)^2}) + n_1^2)])$； 求解问题式(42)的复杂度表示为 ${o_{2,2}} = { O}([{n_2} \sqrt {N+{N_G}+{N^2}} ({N^3}+N_G^3 +{({N^2})^3}+2{({{M}_{{{\rm{c}}}}}+2)^3}$+ ${n_2}({N^2}+N_G^2+{({N^2})^2}+2({{M}_{{{\rm{c}}}}}+$ $ 2{)^2})+n_2^2)]) $. 因此，算法2的整体复杂度为 ${o_{2,1}}+{o_{2,2}}$.

以算法1为例，令问题式(16)的目标函数为 $ f({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} ) $，这是最大化隐蔽通信速率和雷达探测功率的问题，在功率约束、雷达恒模约束和隐蔽约束约束条件下， $ f({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}},{\boldsymbol{\varTheta}} ) $具有上界. 引入 $t$作为算法迭代次数，当固定{p，Q}时，根据式(28)与式(29)，有

$ \tag{44}\begin{split} &{f_1}({{\boldsymbol{\varTheta}} ^{t + 1}}) = {f_2}\left( {{{\boldsymbol{\varTheta}} ^{t + 1}},{\alpha ^{t + 1}}} \right) \geqslant {f_2}\left( {{{\boldsymbol{\varTheta}} ^{t + 1}},{\alpha ^t}} \right) \geqslant \\ &\qquad{f_2}\left( {{{\boldsymbol{\varTheta}} ^t},{\alpha ^t}} \right) = {f_1}({{\boldsymbol{\varTheta}} ^t}){\rm{ ,}} \end{split} $

且依据式(2a)与式(2b)对Θ的约束，可以得到f₁(Θ)收敛.

$ \tag{45} f({{\boldsymbol{p}}^{t + 1}},{{\boldsymbol{Q}}^{t + 1}},{\boldsymbol{\varTheta}} ^{t + 1}) \geqslant f({{\boldsymbol{p}}^{t + 1}},{{\boldsymbol{Q}}^{t + 1}},{\boldsymbol{\varTheta}} ^t). $

令问题式(22)的目标函数为f₃(p,Q)，根据文献[25]对MMSE算法收敛性的分析，可以判断出 $ {f_3}({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}) $的第一部分是单调不增的，同时 $ {f_3}({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}) $其余部分也满足单调不增，即 ${f_3}({{\boldsymbol{p}}^{{{t + 1}}}},{{\boldsymbol{Q}}^{{{t + 1}}}}) \ge {f_3}({{\boldsymbol{p}}^{{t}}},{{\boldsymbol{Q}}^{{t}}}) $. 在功率约束、雷达恒模约束和隐蔽约束约束条件下， $ {f_3}({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}) $具有下界，因此 $ {f_3}({\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{Q}}) $整体收敛， 继而得到

$ \tag{46} f({{\boldsymbol{p}}^{t + 1}},{{\boldsymbol{Q}}^{t + 1}},{\boldsymbol{\varTheta}} {}^{t + 1}) \geqslant f({{\boldsymbol{p}}^{t + 1}},{{\boldsymbol{Q}}^{t + 1}},{\boldsymbol{\varTheta}} {}^t){\rm{ }} \geqslant f({{\boldsymbol{p}}^t},{{\boldsymbol{Q}}^t},{\boldsymbol{\varTheta}} {}^t){\rm{ }}{\rm{.}}$

即算法1的收敛性分析成立. 算法2的收敛性分析与算法1相同.

在本研究考虑的RIS辅助DRFC隐蔽通信系统中，资源平均分配给雷达和通信功能，即 ${{M}_{\rm{c}}} = {{M}_{\rm{r}}} = {M \mathord{\left/ {\vphantom {M 2}} \right. } 2}$和 ${{P}_{\rm{c}}} = {{P}_{\rm{r}}} = {P \mathord{\left/ {\vphantom {P 2}} \right. } 2}$，系统功率为 $P = 20\;{\text{dBm }}$. 基站配备有 $M = 16$的天线ULA阵列，RIS配备有 $N = 20$反射元件. 在不失一般性的情况下，假设 $\sigma _{\rm{b}}^2 = \sigma _{\rm{w}}^2 = 0\;{\text{dBm }}$^[31]. 仿真模拟的相关具体参数如表1所示. 如图2所示为在Willie完美CSI场景下和非完美CSI场景下，Bob的隐蔽通信速率 $R$与算法迭代回合数 $S$的关系. 该图表明所提算法的收敛性. 可以看出，适当改变 $\;\rho $的大小可以提高Bob的隐蔽通信速率，且所提算法可以在15次迭代中达到收敛状态，表明所提算法复杂度较低. 对比2个场景可以明显看出，当 $\;\rho $相同时，相较于Willie非完美CSI场景，完美CSI场景下可以得到更大的Bob隐蔽通信速率.

图3为当Bob隐蔽通信速率为7.6 bit/s/Hz时，2种Willie场景下的波束方向图(beam pattern, BP). 图中，P_Z为功率增益，φ_m为角度. 选择无RIS辅助的通信感知一体化隐蔽通信系统^[4]作为对比的基准方案. 图3(b)中，全连接RIS辅助相较于基准方案，可对波束方向图功率增益提高1.3 dBm，与单连接DFRC隐蔽通信系统相比，波束方向图主瓣功率增益提高0.97 dBm. 由图可以看出，有RIS辅助的波束方向图优于无RIS辅助的波束方向图，有RIS辅助对旁瓣具有更大的抑制，且在全连接RIS辅助下实现了目标处的最大探测功率. 在Willie完美CSI场景下，全连接RIS辅助的系统探测功率比无RIS辅助下的探测功率提高5.81%. 对仅有雷达感知功能的波束方向图进行仿真，结果表明全连接RIS辅助的波束方向图的主瓣更加接近仅雷达感知时的性能.

由于问题式(16)是多目标优化问题，可以通过改变正则化参数 $\;\rho $来获得帕累托最优前沿，这能够揭示不同目标之间的权衡关系，即目标探测功率 $ \;\beta $和Bob的隐蔽通信速率. 如图4所示为RIS辅助和正常DFRC系统的帕累托最优前沿. 由图可以观察到通信与感知性能的折中现象，即必须降低探测功率以提高Bob隐蔽通信速率，反之亦然. 同样明显的是，与没有RIS辅助的DFRC系统相比，有RIS辅助的情况下，系统的整体性能更具有优势. 图中无RIS辅助可实现速率区域完全包含在有RIS辅助的可实现的速率区域中，相对无RIS和单连接模式，广义全连接RIS辅助的折中曲线向右上角扩张，这表明广义全连接RIS部署可以提高隐蔽通信系统通信和感知的自由度. 还可以观测到，在非完美CSI场景下，无RIS辅助时，Bob隐蔽通信速率明显低于完美CSI场景下的速率，但在部署RIS后，Bob隐蔽通信速率仅略低于完美CSI场景下的速率，这表明RIS辅助通信系统具有帮助提高通信速率的优点. 在Willie非完美CSI场景下，Bob的隐蔽通信速率在单连接RIS辅助下较无RIS辅助提高了3.99%. 虽然RIS实现了Bob隐蔽通信速率的较高上限，但探测功率的上限保持不变，原因是探测功率完全由BS决定，有无RIS基本上没有区别.

如图5所示为RIS反射元件数量对目标处探测功率的影响. 由于全连接和单连接RIS在视距信道中的性能相同，图中只考虑单连接RIS. 可以看到，随着RIS元件数量的增加，在目标处可以实现更好的波束方向图和更高的探测功率，提升系统性能，但这种改进不是无限增长的，而是渐近地达到上限的. 如图6所示为在不同水平位置部署RIS对波束方向图的影响. 仿真可以看到，RIS的最佳水平位置靠近Bob位置，RIS部署在(200, 0) m的位置，实现了最优波束方向图. 同时，在RIS从靠近BS的位置向Bob位置移动的过程中，波束方向图体现出逐渐提升的效果. 在超过最佳水平位置后，波束方向图是在逐渐衰减，系统性能降低.

如图7所示为在CSI误差 ${v_w} = 0.001$的条件下， $\varepsilon $与Bob隐蔽通信速率的关系. 由于只考虑了单连接RIS，图中展示的模拟结果与理论分析一致，即当 $\varepsilon $增大时，隐蔽性约束变得松散，导致Bob的隐蔽通信速率增大. 还可以观测到，在隐蔽约束 ${\rm{d}}1$条件下的Bob隐蔽通信速率略高于隐蔽约束 ${\rm{d}}2$条件下的值. 如图8所示为当CSI误差 ${v_w} = 0.001$时，2种KL散度情况下的检测误差概率与 $\varepsilon $的关系. 图中， $P_1 \text{-} {\rm{d}}1$表示在 $D({p_{_0}}||{p_{_1}}) \leqslant 2{\varepsilon ^2}$条件下的虚警概率， $P_2 \text{-}{\rm{d}}1$表示在 $D({p_{_0}}||{p_{_1}}) \leqslant 2{\varepsilon ^2}$条件下的漏检概率，其中P₁为虚警概率P{D1|H0}，P₂为漏检概率P{D0|H1}，其他符号被类似地定义. 仿真发现，在2种隐蔽约束的条件下， $P_1$与 $P_2$均随着 $\varepsilon $的增加而减小，且虚警概率总是低于漏检概率. 检测误差概率随 $\varepsilon $的增加而减小这一现象表明，隐蔽性约束越宽松，Willie的检测性能越好. 此外，虽在 $\varepsilon = 0.01$时，无RIS辅助的场景中虚警和漏检概率略高于有RIS辅助下的概率值，但随着 $\varepsilon $的增大，有RIS辅助场景中的虚警和漏检概率均高于无RIS辅助下的概率值，验证了本研究提出的波束赋形器设计在隐蔽通信中的有效性.

本研究通过部署RIS来提高DFRC隐蔽通信系统的性能. 针对RIS辅助DRFC隐蔽通信系统，提出MASO优化算法，联合设计通信波束赋形矩阵、雷达信号协方差矩阵和RIS相位偏转矩阵，在满足隐蔽约束、雷达恒模约束和总功率约束的条件下，最大化Bob的隐蔽通信速率和目标处的雷达探测功率. 所提MSAO算法旨在解决BS天线分离部署中的主动与被动波束赋形的非凸优化问题. 采用广义全连接RIS模型，并与广泛使用的传统单连接RIS模型进行比较. 实验仿真结果证实了所提方案的可行性与有效性. 本研究的RIS辅助DFRC隐蔽通信系统基于BS天线分离部署，并未考虑BS天线共享部署的场景，因此所提方法是否适用于共享部署的场景有待结合RIS辅助定位的性能进行进一步研究.