合理的闭环供应链网络设计能令各层级节点企业保持良好运作，同时减少供应链活动对环境的不利影响. 由于外部环境的动态变化，不确定性存在于供应链各个环节，为了减少不确定因素影响，决策者往往建立结构复杂度高的网络，而高复杂度意味着供应链维护和运作成本随之增加，管控不确定因素成为构建高效闭环供应链网络的关键.

供应链网络不确定因素涉及供应端、需求端和中间层^[1].国内外学者对不确定因素的研究主要集中在需求端和供应端不确定性上. 王珂等^[2-3]将需求不确定参数设为模糊数，建立模糊规划模型；Fattahi等^[4]利用随机规划处理需求不确定性，建立两阶段随机规划模型；Hatefi等^[5-6]引入p-robust准则控制设施节点中断场景下的模型可靠性，利用调节p的大小反映决策者的风险态度. 现有研究多关注单一端不确定性，而闭环供应链网络运作通常受需求波动和节点中断多种不确定因素共同影响，须同时考虑，而鲁棒优化方法对不确定因素处理得到的最优解对于参数的敏感性较低，能够保证任何随机情景下模型解均可行或接近最优，较好地弥补解在稳定性上的不足.

在不确定环境下，决策者希望保持较多的备用连接和节点开放以应对不确定事件导致的风险. 从实践角度看，网络结构变得复杂，会增加网络运作计划和物流协调难度，增加额外成本或无形成本，降低供应链效率. Bozarth等^[7-8]通过实证研究得出复杂性增加会降低绩效的结论；Wang等^[9]通过分析中断风险背景下供应链网络结构的复杂性，证明网络结构复杂度随网络规模增大而增加；Lin等^[10]考虑网络复杂度进行2级鲁棒网络设计，提出可同时提高鲁棒性和降低复杂性的情景；Olivares Aguila等^[11]对复杂性与成本、鲁棒性与成本之间的权衡进行成本分析，结果表明实现鲁棒性需要复杂性，实现复杂性和鲁棒性平衡需要增加成本. 现有研究较少考虑网络结构复杂度进行闭环供应链网络设计，大多集中于传统供应链网络，而闭环供应链网络和传统网络相比，结构更为复杂，网络设计结果受结构复杂度因素影响更大，因此考虑复杂度因素进行闭环供应链网络设计具有一定的现实意义。

目前，国内外学者对于单一不确定性的研究较为深入，针对需求端和供应端不确定性，同时考虑网络结构复杂度影响因素进行闭环供应链网络模型设计的较少. 本研究针对考虑顾客需求波动和设施节点中断不确定性进行闭环供应链网络设计的问题，引入结构复杂度影响因素，考虑节点和连接一致性，基于信息熵理论对熵基复杂度公式进行改进，提出结构复杂度量化公式，同时采用鲁棒对等式理论和情景分析法处理不确定因素，构建考虑复杂度成本的鲁棒优化模型，最后通过算例与随机规划方案进行对比，验证模型的有效性. 创新点如下：1）综合考虑不确定因素和网络结构复杂度影响，提出鲁棒闭环供应链网络设计模型；2）在信息熵理论基础上改进网络结构复杂度量化公式，使其更贴合鲁棒模型特性.

在传统正向供应链基础上，构建涵盖再制造、再利用多个环节，包括“生产中心—配送中心—顾客点—回收中心—其他处理点”的3层动态闭环供应链网络，结构如图1所示.

网络模型的正向流包括生产中心、配送中心、顾客点3层，逆向流包括顾客点、回收中心、生产中心/其他处理点3层. 在正向流中，生产中心负责生产制造产品，通过配送中心将产品运送至多个顾客点以满足顾客的需求. 在逆向流中，顾客退回的产品运送至回收中心进行质量检验以便回收/废弃处理，将可回收产品运送至生产中心进行二次利用，不可回收产品运送至其他处理点.

针对不确定环境下的闭环供应链网络优化模型设计研究，在网络结构层面，须从备选设施节点确定各层级设施节点开放数量；在运作层面，根据客户需求以及各层级之间运营成本的考虑，以闭环供应链网络总成本最低为目标，确定各层级设施节点之间流量分配决策.

在不确定因素方面，考虑顾客需求和设施节点中断不确定性. 为了刻画不确定条件下的参数情况，采用鲁棒优化理论处理顾客需求不确定性，采用情景分析法对设施节点中断不确定性进行描述. 其中，涉及节点开放选择网络结构层面的决策须在中断场景构建之前做出，基于初始节点开放决策进行中断场景的构建，从而建立鲁棒优化模型求解得到网络设施节点的二次选择和流量的二次分配结果.

须指出，在网络层面和运作层面的2次节点开放决策与流量分配决策均考虑结构复杂度的影响，采用基于信息熵的测度方法将其量化作为优化目标进行模型构建，由于复杂度量化的固有非线性特征，构建模型为混合整数非线性规划模型.

基于问题描述，对闭环供应链网络设计模型提出如下假设.

假设1：顾客点和其他处理点已知，在相应备选点中，对生产中心、配送中心和回收中心进行选址；

假设2：生产中心、配送中心及回收中心进出产品量平衡；

假设3：供应链网络各层级备选节点均有容量限制，不同层级节点之间的运营成本（运输成本、搬运成本、装卸成本等总和）已知；

假设4：仅考虑生产中心、配送中心及回收中心单层级单节点中断场景（不包括顾客和其他处理点）.

采用p-robust准则构建多情景下考虑需求、设施节点中断不确定因素的鲁棒优化模型.

假设 ${P_s}$为不同场景 $s$下的确定性优化问题，其中，s∈S， $S$为设施节点中断情景集合， $s = 0$表示无节点中断场景. 设 $X$为对于所有情境 $s \in S$下均成立的一个可行解， ${z_s}(X)$为基于可行解 $X$的 ${P_s}$目标函数值. 对于任意 $s \in S$，存在常数 $p \geqslant 0$使得如下约束始终成立时， $X$被称作p-robust解^[12]：

(1) $ \frac{{{z_s}(X) - z_s^*}}{{z_s^*}} \leqslant p. $

式中： $z_s^*$为场景 $s$下问题 ${P_s}$的最优解； $p$表示决策者对不同情境下成本变动的容忍水平，用以衡量模型的鲁棒性水平；公式左侧表示相对遗憾值.

风险型决策者往往更关注无中断场景下的成本（名义成本），但名义成本不同情景下的成本波动较为敏感. 本研究考虑保守型决策，即在所有中断场景下均能有较好表现的决策方式，以中断场景下总期望成本为目标函数构建p-robust优化模型1. 模型1目标函数如下：

(2) $ \min \;z = \sum\limits_{s \in S} {{b_s}} {z^s}, $

(3) $ {z^s} = L_{\rm{c}}^s+\theta {\pi ^s}. $

式中： ${b_s}$为不同中断情景发生中断的概率， ${z^s}$为单一场景下闭环供应链网络成本， $L_{\rm{c}}^s$为网络物流成本， $\theta $为复杂度成本调节系数， ${\pi ^s}$为场景 $s$下网络结构复杂度量化值.

目标函数为闭环供应链网络总成本，由物流成本 $L_{\rm{c}}^s$和复杂度成本 $\theta {\pi ^s}$两部分组成.

1）物流成本. 表达式如下：

(4) $ \begin{split} L_{\rm{c}}^s =& \sum\limits_{i \in I} {{C_i}} h_i^s+\sum\limits_{j \in J} {{C_j}} h_j^s+\sum\limits_{r \in R} {{C_r}} h_r^s+\sum\limits_{i \in I} {\sum\limits_{j \in J} {q_{i,j}^s} } c_{i,j}^s+ \\ &\sum\limits_{j \in J} {\sum\limits_{k \in K} {q_{j,k}^s} } c_{j,k}^s+\sum\limits_{k \in K} {\sum\limits_{r \in R} {q_{k,r}^s} } c_{k,r}^s+\sum\limits_{r \in R} {\sum\limits_{i \in I} {q_{r,i}^s} } c_{r,i}^s+ \\ &\sum\limits_{r \in R} {\sum\limits_{m \in M} {q_{r,m}^s} } c_{r,m}^s+\sum\limits_{k \in K} {c_k^u} u_k^s. \end{split} $

式中： $I$、 $J$、 $K$、 $R$、 $M$分别为生产中心、配送中心、顾客点、回收中心和其他处理点节点集合； ${C_i}$、 ${C_j}$和 ${C_r}$分别为备选生产中心、配送中心和回收中心的固定运作成本； $h_i^s$为决策变量，场景 $s$下若备选生产中心节点 $i$开放，为1，否则为0； $h_j^s$为决策变量，场景 $s$下若备选配送中心节点 $j$开放，为1，否则为0； $h_r^s$为回收中心决策变量，场景 $s$下若备选回收中心节点开放，为1，否则为0； $q_{i,j}^s$、 $q_{j,k}^s$、 $q_{k,r}^s$、 $q_{r,i}^s$、 $q_{r,m}^s$为决策变量，分别表示场景 $s$下设施节点 $i$和 $j$、 $j$和 $k$、 $k$和 $r$、 $r$和 $i$、 $r$和 $m$之间的运输量； $c_{i,j}^s$、 $c_{j,k}^s$、 $c_{k,r}^s$、 $c_{r,i}^s$、 $c_{r,m}^s$表示场景 $s$下产品分别在设施节点 $i$和 $j$、 $j$和 $k$、 $k$和 $r$、 $r$和 $i$、 $r$和 $m$之间流转的单位运营成本； $c_k^u$为未满足顾客点 $k$需求时的单位惩罚成本， $u_k^s$为场景 $s$下顾客点 $k$需求未满足的数量.

物流成本 $L_{\rm{c}}^s$由生产中心、配送中心和回收中心3个层级投入使用的固定运作成本、产品从生产中心运往配送中心、从配送中心运往顾客点、从顾客点回收至回收中心、从回收中心运往生产中心以及运往其他处理点的流转成本和顾客点需求未满足时的惩罚成本组成.

2）复杂度成本.

$\theta {\pi ^s}$表征网络结构复杂度总成本，其中 $\theta $表征决策者对复杂度成本的重视程度，允许决策者根据相应策略确立θ. 当 $\theta {\text{ = }}0$时，模型退化为仅考虑需求端和供应端不确定因素的鲁棒优化模型. ${\pi ^s}$表征供应链网络结构各层上下游之间的连接维护成本. 复杂度量化公式为

(5) $ {\pi ^s} = 2f\left( {{r^s}} \right) - \sum\limits_{l \in \{ I,J,K,R,M\} } f \left( {I_l^s} \right) - \sum\limits_{l \in \{ I,J,K,R,M\} } f \left( {O_l^s} \right). $

式中： ${r^s}$为场景 $s$下网络节点数和连接数之和， $I_l^s$为场景 $s$下节点总入度， $O_l^s$为场景 $s$下节点总出度， $f\left( x \right) = x{\log _2}\;x$. 式（5）为熵基复杂度公式，用于量化网络结构复杂度.

式（5）的约束条件如下：

(6) $ \sum\limits_{j \in J} {q_{j,k}^s} +u_k^s \geqslant \tilde {{D_k}} . $

(7) $ \sum\limits_{r \in R} {q_{k,r}^s} = {\rm{A}}{{\rm{R}}_k} \left( {\tilde {{D_k}}- u_k^s} \right). $

(8) $ \sum\limits_{k \in K} {q_{k,r}^s} = \sum\limits_{i \in I} {q_{r,i}^s} +\sum\limits_{m \in M} {q_{r,m}^s} . $

(9) $ \sum\limits_{i \in I} {q_{i,j}^s} = \sum\limits_{k \in K} {q_{j,k}^s} . $

(10) $ \sum\limits_{i \in I} {q_{r,i}^s} \leqslant {\rm{A}}{{\rm{M}}_r}\sum\limits_{k \in K} {q_{k,r}^s} . $

(11) $ \sum\limits_{m \in M} {q_{r,m}^s} \leqslant \left( {1 - {\rm{A}}{{\rm{M}}_r}} \right)\sum\limits_{k \in K} {q_{k,r}^s} . $

(12) $ \sum\limits_{i \in I} {q_{r,i}^s} \leqslant \sum\limits_{j \in J} {q_{i,j}^s} . $

(13) $ \sum\limits_{j \in J} {q_{i,j}^s} +\sum\limits_{r \in R} {q_{r,i}^s} \leqslant {N_i}h_i^s. $

(14) $ \sum\limits_{k \in K} {q_{j,k}^s} \leqslant {N_j}h_j^s. $

(15) $ \sum\limits_{k \in K} {q_{k,r}^s} \leqslant {N_r}h_r^s. $

(16) $ \sum\limits_{r \in R} {q_{r,m}^s} \leqslant {N_m}. $

(17) $ \sum\limits_{j \in J} {X_{j,k}^s = 1;\;k \in K} . $

(18) $ O_i^s = \sum\limits_{j \in J} {X_{i,j}^s} ;\;i \in I,s \in S . $

(19) $ O_j^s = \sum\limits_{k \in K} {X_{j,k}^s} ;\;j \in J,s \in S . $

(20) $ O_k^s = \sum\limits_{r \in R} {X_{k,r}^s} ;\;k \in K,s \in S . $

(21) $ O_r^s = \sum\limits_{i \in I} {X_{r,i}^s+} \sum\limits_{m \in M} {X_{r,m}^s} ;\;r \in R,s \in S . $

(22) $ I_i^s = \sum\limits_{r \in R} {X_{r,i}^s} ;\;i \in I,s \in S . $

(23) $ I_j^s = \sum\limits_{i \in I} {X_{i,j}^s} ;\;j \in J,s \in S . $

(24) $ I_k^s = \sum\limits_{j \in J} {X_{j,k}^s} ;\;k \in K,s \in S . $

(25) $ I_r^s = \sum\limits_{k \in K} {X_{k,r}^s} ;\;r \in R,s \in S . $

(26) $ {z^s} \leqslant \left( {1+p} \right)z_s^*;\;s \in {{S}}. $

(27) $ q_{i,j}^s,q_{j,k}^s,q_{k,r}^s,q_{r,i}^s,q_{r,m}^s,u_k^s \geqslant 0. $

(28) $ h_i^s,h_j^s,h_r^s \in \left\{ {0,1} \right\}. $

(29) $ X_{i,j}^s,X_{j,k}^s,X_{k,r}^s,X_{r,i}^s,X_{r,m}^s \in \left\{ {0,1} \right\}. $

式中： $ \tilde {{D_k}} $为顾客点 $k$的不确定需求量， ${\text{A}}{{\text{R}}_k}$为顾客点 $k$的平均回收率， ${\text{A}}{{\text{M}}_r}$为顾客点 $k$的平均再制造率， ${N_i}$、 ${N_j}$、 ${N_r}$和 ${N_m}$分别为生产中心、配送中心、回收中心和其他处理点的容量限制； $ O_i^s $、 $ O_j^s $、 $ O_k^s $和 $ O_r^s $分别为场景 $s$下设施节点 $i$、 $j$、 $k$和 $r$的出度； $ I_i^s $、 $ I_j^s $、 $ I_k^s $和 $ I_r^s $分别为场景 $s$下设施节点 $i$、 $j$、 $k$和 $r$的入度； $ X_{i,j}^s $为决策变量，场景 $s$下若设施节点 $i$和 $j$之间存在连接关系，为1，否则为0，其他类似； $p$为遗憾值限定系数，又称鲁棒系数，用于调节所建模型的鲁棒性水平； $z_s^*$为单一确定中断场景下最优目标函数值.

式（6）保证顾客点的需求尽可能被满足；式（7）表示由顾客点运输到回收中心的货物量满足回收率；式（8）、（9）分别表示回收中心节点和配送中心节点处流入与流出的货物量相同；式（10）~（12）保证回收中心的回收量和运输到其他处理点的废弃产品量满足回收率；式（13）~（16）分别为生产中心、配送中心、回收中心以及其他处理点的容量约束；式（17）表示每个顾客点由一个配送中心负责服务；式（18）~式（25）表示各层级节点的出度和入度；式（26）表示所有中断场景均添加了p-robust准则约束；式（27）表明供应链网络中运送货物的变量均是非零变量；式（28）中的二元变量表示备选节点是否投入使用；式（29）中的二元变量表示各层级节点之间是否存在连接.

式（26）中 $z_s^*$可以通过优化模型2求得. 模型2表达式为 $\min\; {z^s}$，约束条件为式（6）~式（25）.

不同中断场景对应不同的节点开放与流量分配最优解，构建得到的网络结构不尽相同. 联合考虑所有设施节点中断场景，构建以期望成本最小为目标的鲁棒优化模型进行网络重构，使得设计的供应链网络具有较好的抵抗风险能力.

在闭环供应链网络模型中，顾客需求量为不确定参数，复杂度量化方法具有非线性特性，模型难求解. 首先，须对不确定参数和非线性约束进行线性重构，以提高模型求解效率和解的可靠性. 其次，对无中断场景下初始节点开放进行决策；最后，构建中断场景，求解鲁棒模型得到最终的节点开放决策. 具体求解步骤包括：需求不确定参数处理、复杂度量化和线性化处理、初始节点开放决策、中断场景构建和节点开放二次决策.

1）顾客需求不确定参数处理.

已知顾客需求在一定范围内波动，鲁棒优化方法一般采用不同的不确定集对参数进行描述，通常情况下很难求解. 本研究采用鲁棒对等式理论对网络需求不确定参数进行转换.

式（6）中，顾客需求 $\tilde {{D_k}} $属于不确定参数，设其隶属于以下区间：

(30) $ {\tilde D_k} \in \left[ {{D_k} - {{\hat D}_k},{D_k}+{{\hat D}_k}} \right],\;k \in K . $

式中： ${D_k}$表示单周期内的顾客名义需求， ${\hat D_k}$表示顾客需求在周期内的最大偏移量.

引入不确定参数 $ {\tilde D_k} $的标称值参数 ${\varepsilon _k}$， ${\varepsilon _k}$为 ${{[ - 1.0,1.0]}}$的对称分布随机变量，定义如下：

(31) $ {\varepsilon _k} = \frac{{{{\tilde D}_k} - {D_k}}}{{{{\hat D}_k}}} . $

根据鲁棒对等式理论^[13-14]，存在约束：

(32) $ {Z}_{k}=\{{\varepsilon }_{k}|\;{\varepsilon }_{k}\leqslant {\varGamma }_{k}\text{，}|{\varepsilon }_{k}|\leqslant 1\} . $

式中： ${\varGamma _k}$为与需求不确定参数 $k$相关的预算不确定参数，取值范围为 $[0,1.0]$. 当 ${\varGamma _k} = 0$或 ${\varGamma _k} = 1.0$时，模型为确定性问题或完全保守规划问题，当且仅当 ${\varGamma _k} \in \left( {0,1.0} \right)$时，决策者可以根据解的鲁棒性水平调整模型约束的鲁棒性.

因此，式（6）可以转换为

(33) $ \sum\limits_{j \in J} {q_{j,k}^s+u_k^s \geqslant {D_k}+\min \;\left( {{{\hat D}_k}{\varepsilon _k}} \right)} . $

利用对等式理论以及对偶理论进行转换，则式（6）被改写为

(34) $ \sum\limits_{j \in J} {q_{j,k}^s+u_k^s \geqslant {D_k}+{\varGamma _k}{{\hat D}_k}} . $

同理，利用对偶理论对约束进行转换，可以将式（7）改写为

(35) $ \sum\limits_{r \in R} {q_{k,r}^s} \leqslant {\rm{A}}{{\rm{R}}_k} \left( {{D_k}+\varGamma _k^1{{\hat D}_k} - u_k^s} \right), $

(36) $ \sum\limits_{r \in R} {q_{k,r}^s} \geqslant {\rm{A}}{{\rm{R}}_k} \left( {{D_k} - \varGamma _k^1{{\hat D}_k} - u_k^s} \right). $

式中： $ \varGamma _k^1 $为调节需求不确定性水平的预算不确定参数. 此时，决策者可以根据风险指数进行不确定水平调节，从而决定各层级节点选择.

2）结构复杂度参数线性化处理.

结合复杂网络相关理论，供应链网络的结构复杂度取决于网络二级节点之间的连接数，以及各节点的入度及出度. Lin等^[15]提出能够解决一致性问题的熵基复杂度衡量方法：

(37) $ \pi = 2f\left( r \right) - \sum\limits_{v \in V} {f\left( {{I_v}} \right) - } \sum\limits_{v \in V} {f\left( {{O_v}} \right)} . $

式中： $f\left( x \right) = x{\log _2}x$，视作熵函数， $x \in \bf{Z}$，且存在 $f\left( 0 \right) = 0$； $r$表示供应链网络的总连接数； ${I_v}$表示网络中节点 $v$的入度； ${O_v}$表示网络中节点 $v$的出度.

针对节点失效不确定性，采用情景分析法构建中断场景，事先考虑对应供应链各层级设施节点分别发生单一失效的情况，建立鲁棒模型，以提前开放备用节点，增强供应链网络抵抗外部风险的能力. 基于此考虑，将 $ r $定义为供应链网络的总连接数和开放的节点数之和，即

(38) $ \begin{split} {r^s} = & \sum\limits_{i \in {{I}}} \sum\limits_{j \in {{J}}} \sum\limits_{r \in {{R}}} \sum\limits_{m \in {{M}}} \left( X_{i,j}^s+X_{j,k}^s+X_{k,r}^s+X_{r,i}^s+ \right. \\ &\left. X_{r,m}^s+h_i^s+h_j^s+h_r^s \right) . \end{split} $

由式（38）可知，复杂度量化公式是非凸非线性函数，构建模型为混合整数非线性模型. 为了便于求解，采用分段线性逼近方法重新构建结构复杂度函数，具体方法如下.

针对式（37）中3个未知离散整数变量 $r$、 ${I_v}$和 ${O_v}$，引入凸组合系数变量 ${\gamma _n}$， ${\gamma _{in}}$， ${\gamma _{vn}} \in [0,1.0]$， $\forall i, v \in V \cup K \cup M$，存在下列约束：

(39) $ \sum\limits_{n = 1}^N {{\gamma _n} = 1},\quad\sum\limits_{n = 1}^N {{\gamma _{in}} = 1} , \quad \sum\limits_{n = 1}^N {{\gamma _{vn}} = 1} .$

假设函数 $f\left( x \right)$可以由线性区间 $[\left( {{x_n},f\left( {{x_n}} \right)} \right), \left( {{x_{n+1}},f\left( {{x_{n+1}}} \right)} \right)]\left( {n = 1,\cdots , N - 1} \right)$表示，且 $N$为 $x$域的上界. 此时引入0-1变量 ${\chi _n}$、 ${\chi _{in}}$、 ${\chi _{vn}} \in \left\{ {0,1} \right\}$定义第 $n$个区间 $[{x_n},{x_{n+1}}]$，定义如下：

(42) $ \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {{\chi _n} = 1} ,\quad \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {{\chi _{in}} = 1} ,\quad \sum\limits_{n = 1}^{N - 1} {{\chi _{vn}} = 1}.$

因此，对于复杂度量化公式中的未知离散变量 $r$、 ${I_v}$和 ${O_v}$，可以转换为

(45) $ r = \sum\limits_{n - 1}^N {{\gamma _n}{\chi _n}},\quad {I_v} = \sum\limits_{n - 1}^N {{\gamma _{in}}{\chi _{in}}} ,\quad {O_v} = \sum\limits_{n - 1}^N {{\gamma _{vn}}{\chi _{vn}}} .$

并且，在凸组合系数变量和0-1变量之间存在下列约束：

(48) $ {\gamma _n} \leqslant {\chi _{n - 1}}+{\chi _n},\quad {\gamma _{in}} \leqslant {\chi _{i,n - 1}}+{\chi _{in}}, \quad {\gamma _{vn}} \leqslant {\chi _{v,n - 1}}+{\chi _{vn}}. $

同时，当 $n = 1$时，存在 ${\gamma _1} \leqslant {\chi _1}$；当 $n = N$时，存在 ${\gamma _N} \leqslant {\chi _{N - 1}}$， ${\gamma _{in}}$与 ${\gamma _{vn}}$同理. 结构复杂度公式可以改写为

(51) $ \begin{split} \pi =\;& 2\sum\limits_{n = 1}^N {{\gamma _n}f\left( {{x_n}} \right)} - \sum\limits_{i \in {{V}} \cup {{K}} \cup {{M}}} {\sum\limits_{n = 1}^N {{\gamma _{in}}f\left( {{x_n}} \right)} } - \\ \;&\sum\limits_{v \in {{V}} \cup {{K}} \cup {{M}}} {\sum\limits_{n = 1}^N {{\gamma _{vn}}f\left( {{x_n}} \right)} } . \end{split} $

式中： $N$为所设计网络的总连接数和节点总数之和， $N \in \left\{ {N|1 \leqslant N < {N_{\max }}} \right\}$， ${N_{\max }}$为网络全连接时连接数和节点数之和.

为了验证鲁棒闭环网络设计模型的有效性，以某种制造商产品的供应链结构为例，分别已知制造商备选工厂地点4个，备选配送中心6个，备选回收中心6个，已知顾客需求点和其他处理点分别为6个和2个. 在文献[16]基础上，考虑配送中心靠近顾客点、回收中心靠近生产中心设施节点选址原则，设定算例参数，如表1~6所示. 其中，表1为备选设施节点相关参数，包括备选设施节点固定运作成本、顾客需求波动区间和单位缺货成本、节点容量限制，以及回收率、废弃率和中断场景出现概率等；表2、3分别为生产中心到配送中心、配送中心到顾客点的单位产品运营成本参数；表4~6分别为回收中心从顾客点回收产品、运输可再制造回收产品和废弃产品的单位产品运营成本.

由于不确定因素对网络成本影响最大，首先分析需求波动对模型可调鲁棒水平的影响，确定供应链网络的鲁棒性变化范围；其次分析不同鲁棒水平对总成本的影响，以便决策者根据实际需求确定合适的鲁棒水平，得到最优网络设计方案；最后，设定不确定性水平和鲁棒水平，基于不同中断场景，对鲁棒模型和随机规划模型进行对比，分析网络总成本和平均相对遗憾值，验证模型的鲁棒性.

决策者可以根据网络不确定参数的大小，选择开放合适的生产中心、分销中心以及回收中心节点，在此基础上，仅考虑单一节点中断，构建生产中心、配送中心或回收中心各单节点失效的8种中断场景 ${S_1}\sim {S_8}$，以及无中断场景 ${S_0}$. 对于鲁棒优化模型，决策者通过动态调整 $p$控制闭环供应链网络的鲁棒水平，当鲁棒系数足够大时，存在许多满足条件的鲁棒解，此时供应链网络的鲁棒性较差；当鲁棒系数过小时，可能导致不存在满足条件的鲁棒解，须确定鲁棒系数的上下界，在区间范围内进行鲁棒水平调控，决策者须根据自身偏好确定合适的鲁棒水平. 在不同确定性水平下求得 $p$上下界，如表7所示. 表中， $p_{\rm{ub}}$为遗憾值限定系数上界， $p_{\rm{lb}}$为遗憾值限定系数下界. 可以看出，鲁棒系数的上界和下界均随需求不确定参数的增大而减少. 说明顾客需求波动越大，模型可调控鲁棒水平区间范围越小，则需求波动越大，模型的鲁棒性越差.

考虑不同 $p$对模型目标函数的影响，令表征不确定水平的参数 ${\varGamma _k} = \varGamma _k^1 = 0$，得到不同 $p$下模型目标函数值如表8所示，变化趋势如图2所示. 表中，z为目标函数值. 由图2可知，模型目标函数值随着鲁棒系数值的增加而减小，且 $z$的递减率呈现先快后慢的趋势. 由此可知，模型的鲁棒系数越小，闭环供应链网络模型的鲁棒性越好，此时则须付出更高的成本代价.

根据构建的中断场景建立鲁棒优化模型，得到不同不确定水平下遗憾值模型的鲁棒系数取值范围，决策者可根据遗憾值和系统总成本进行权衡，选取合适的供应链网络设计方案. 为了验证所提出鲁棒模型的有效性，将模型与基础模型和随机规划模型对比分析，模型参数取值保持一致，令 ${\varGamma _k} = \varGamma _k^1 = 0.2$， $p = 0.5$， $\theta = 1$，比较得到的供应链网络结构性能. 结果如表9所示. 表中， $z_0^s$为基础模型成本， ${z^s}$为鲁棒规划模型成本， $z_1^s$为随机规划模型成本， ${\text{DI}}{{\text{F}}_0}$、 ${\text{DI}}{{\text{F}}_1}$为基础模型、随机规划模型分别和鲁棒规划模型之间相对遗憾值. 可以看出，基础模型的期望成本全局最优解为539199.1元，而鲁棒规划和随机规划的全局最优解分别为482094.7、481904.5元，均小于基础模型最优值，说明鲁棒优化模型和随机规划模型均能降低物流系统的运作成本. 但对于鲁棒规划模型，所有场景的平均相对遗憾值为30.33%，小于随机规划情形得到的平均相对遗憾值32.04%. 同时，随机规划情形下8种中断场景和无中断场景的最优目标函数值的相对遗憾值最大为105.20%，最小为6.36%，而鲁棒优化情形下相对遗憾值最大为34.19%，最小为28.66%. 表明鲁棒规划模型目标函数值波动比随机规划小，针对不确定情景发生的情况下，鲁棒模型得到的供应链网络设计方案具有稳定性，面对外部风险时具有更好的性能.

需求不确定水平、复杂度成本调节系数和鲁棒系数是闭环供应链网络设计的关键影响因素. 通过敏感性分析，分析需求不确定水平和网络总成本之间的关系、复杂度成本调节系数和网络总成本及鲁棒性之间的关系，以及复杂度成本调节系数和鲁棒系数与网络总成本之间的关系，研究上述3个因素对网络设计的影响.

1）需求不确定参数 ${\varGamma _k} = \varGamma _k^1$分析.

假设无中断场景产生，不考虑顾客需求不确定性和网络结构复杂度对网络设计的影响，即令 ${\varGamma _k} = \varGamma _k^1 = \theta = 0$，此时求解模型2，得到网络选址策略如表10所示. 此时模型求得的全局最优解为355721.8元.

当固定复杂度调节参数为0，分别在无中断场景和中断场景下调节需求不确定参数大小时，模型最优总成本的大小和变化趋势分别如表11和图3所示. 由表11可知，在无中断场景产生时，当设定复杂度成本调节系数 $\theta $为定值时，调节 ${\varGamma _k} = \varGamma _k^1$，网络最优总成本随 ${\varGamma _k} = \varGamma _k^1$的增大而增加，网络选址决策随之发生改变，网络结构复杂度也随之发生改变. 当中断场景产生时，对于鲁棒模型，由图3可知，随着不确定水平参数的增大，不同中断场景下闭环供应链网络最优总成本随之增加，不同不确定水平下各中断场景呈现相同波动趋势.

2）复杂度成本调节系数 $\theta $分析.

在无中断场景发生时，固定网络需求不确定水平，当 $\theta $增加时，网络结构复杂度减少，网络选址决策随之发生改变，最优总成本随之而增加，最优物流成本亦随之增加，变化结果趋势如表12所示.可以看出，当 $\theta $增加为原来的10倍时，网络最优物流成本仅增加0.3%. 当 $ \theta $较大时，控制复杂度成本仅使物流成本小幅度上升，此时设计的供应链网络结构复杂度下降，可降低网络结构冗余度，提高闭环供应链网络结构维护稳定性. 同时，当 ${\varGamma _k} = \varGamma _k^1 = 0.2$， $p = 0.5$时，调节 $\theta $得到鲁棒规划期望成本与理想情况下最优解期望成本结果，如表13所示. 表中， ${z^*}$为理想情况下最优解期望成本, $z_{\text{c}}^*$为最优期望物流成本， ${\pi ^*}$为最优复杂度， ${z_{\text{a}}}$为鲁棒规划期望成本， $z_{\text{c}}^{\text{a}}$为鲁棒期望物流成本， ${\pi ^{\text{a}}}$为鲁棒期望复杂度， ${\text{DIF}}(z)$表示鲁棒规划期望成本与最优解期望成本之间的相对遗憾值， ${{{\text{DIF}}(\pi )}}$表示鲁棒期望复杂度与最优复杂度之间相对遗憾值. 可以看出，期望成本相对遗憾值 ${\text{DIF}}(z)$随着复杂度调节系数的增加而保持相对稳定，复杂度相对遗憾值 ${{{\text{DIF}}(\pi )}}$呈现先减小后增大的趋势，且物流成本均呈现小幅增加趋势.

3）鲁棒系数 $p$和复杂度调节系数 $\theta $联立分析.

为了检验鲁棒规划成本与复杂度以及鲁棒系数之间的关系，可以将考虑中断场景下的鲁棒优化模型转换为双目标模型，分别令复杂度调节系数 $\theta = 0$、1、10、50、100，调节复杂度成本大小；同时令鲁棒系数 $p = 0.5$、1.1，比较不同情况下鲁棒规划成本和复杂度相对遗憾值的大小，变化趋势如图4、5所示.

由图4可知，当复杂度成本调节系数变大时，供应链网络结构复杂度随之减小，此时鲁棒规划模型总成本增加，且成本的递增率呈现先小后大的特点. 由图5可知，当鲁棒系数减小即网络鲁棒性增加时，网络结构复杂度随之增加，不同复杂度成本调节系数下的复杂度相对遗憾值随之增加，而两者复杂度相对遗憾值均呈现先减小后增大的趋势，均存在最低点.

结果显示，模型的鲁棒水平与网络的结构复杂度呈正相关关系，鲁棒优化系数越小，网络结构复杂度越高，模型的鲁棒性越高，而鲁棒水平和结构复杂度增加，均会导致网络总成本的增加.

综上所述，利用鲁棒规划模型，决策者考虑复杂度成本进行供应链网络设计时，以期望物流成本小幅增加为代价，可降低复杂度相对遗憾值，使得网络结构复杂度大大降低，即所设计网络在面对设施节点中断风险时，能够维持较少的备用连接达到较好的抵御风险的效果从而得到同时具有一定鲁棒性和稳定性的供应链网络设计方案.

本研究考虑需求和节点失效的不确定性以及网络复杂度构建非线性整数规划模型，利用鲁棒优化方法进行不确定因素处理，利用信息熵理论进行结构复杂度量化，结合分段线性方法进行线性重构，以最小化物流成本和复杂度成本总和为目标，建立鲁棒优化模型. 基于单一产品、有容量限制的闭环供应链网络设计优化算例，验证了模型的有效性.

相比于以往研究，本研究在供应链网络设计过程中考虑网络结构复杂度在网络构建与运行过程中产生的隐性成本，提出的闭环网络设计模型综合考虑了网络结构复杂度和需求不确定性，模型更贴近现实情况. 下一步研究将考虑多产品、多周期及有库存的情况，进一步对模型进行拓展和深化.