浙江大学学报(工学版)

浙江大学学报(工学版), 2023, 57(10): 2018-2027 doi: 10.3785/j.issn.1008-973X.2023.10.011

计算机技术、自动化技术

考虑客户等级和时变路况的无人物流配送路径

李家碧,, 韩曙光,

1. 浙江理工大学 经济管理学院，浙江 杭州 310018

2. 浙江理工大学 理学院，浙江 杭州 310018

Unmanned logistics distribution route considering customer level and time-varying road conditions

LI Jia-bi,, HAN Shu-guang,

1. School of Economics and Management, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China

2. School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China

通讯作者: 韩曙光，男，教授，博士. orcid.org/0000-0003-1416-6960. E-mail： dawn1024@zstu.edu.cn

收稿日期: 2022-12-7  

基金资助: 国家自然科学基金资助项目（12071436）

Received: 2022-12-7  

Fund supported: 国家自然科学基金资助项目（12071436）

作者简介 About authors

李家碧（1998—），女，硕士生，从事无人城市物流的模型与算法研究.orcid.org/0000-0002-0079-5566.E-mail：18940904238@163.com , E-mail：18940904238@163.com

摘要

针对物流企业因配送资源的有限、无法及时应对客户的多样化需求和道路状况的不断变化等难题，建立时变道路状况和时间窗关联的无人车配送路径优化数学模型。通过云模型将客户划分为3个等级，以车辆配送成本、未满足客户配送时间的惩罚成本、车辆充电成本的总和极小化作为优化目标函数. 在遗传算法的基础上，结合模拟退火算法构造混合算法，对模型进行求解并验证正确性. 根据模型的特性构造9组不同规模和类型的算例进行数值实验，并验证算法的有效性. 实验结果表明，混合遗传-模拟退火算法下配送过程中产生的总配送成本最多能够节省42.81%，整体客户满意度最高提升80.23%，提出混合遗传-模拟退火算法能够在有效降低成本的基础上，最大程度提升客户的满意度，并且相较于2种传统算法，其优化效果更好.

关键词： 客户等级 ; 时变路况 ; 无人物流配送 ; 混合遗传-模拟退火算法 ; 云模型

Abstract

A mathematical model for optimizing unmanned vehicle delivery paths was established, addressing the challenges faced by the logistics enterprises such as limited distribution resources, the diverse needs of customers unable to respond in a timely manner, and constantly changing road conditions. The model was related to time-varying road conditions and time windows. Customers were divided into three levels by using a cloud model. The optimization objective function was to minimize the sum of vehicle delivery costs, penalty costs for not meeting customer delivery times, and vehicle charging costs. A hybrid algorithm was constructed based on the genetic algorithm in combination with the simulated annealing algorithm to solve the model and verify the correctness. Nine sets of arithmetic examples of different sizes and types were constructed according to the properties of the model for numerical experiments and to verify the effectiveness of the algorithm. Experimental results showed that the total distribution cost incurred in the distribution process under the hybrid genetic-simulated annealing algorithm could be saved by up to 42.81% and the overall customer satisfaction could be increased by up to 80.23%. The proposed hybrid genetic-simulated annealing algorithm was able to maximise customer satisfaction on the basis of effective cost reduction and was better optimised compared to the two traditional algorithms.

Keywords： customer level ; time varying road conditions ; unmanned logistics distribution ; hybrid genetic simulated annealing algorithm ; cloud-based model

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本文引用格式

李家碧, 韩曙光. 考虑客户等级和时变路况的无人物流配送路径. 浙江大学学报(工学版)[J], 2023, 57(10): 2018-2027 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2023.10.011

LI Jia-bi, HAN Shu-guang. Unmanned logistics distribution route considering customer level and time-varying road conditions. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)[J], 2023, 57(10): 2018-2027 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2023.10.011

随着“构建智慧城市”理念的不断深入，“无人化”和“去快递员化”的配送模式脱颖而出. 物流业的发展加重交通拥堵，道路交通状况影响配送车辆行驶速度，继而影响物流运输效率，而配送的末端服务质量，会直接关联客户体验. 《浙江省基本公共服务体系建设2020年工作要点》中明确，要推进智能收投终端和末端公共服务平台建设的方针政策[1]，给“无接触配送”带来发展机遇[2].

车辆路径问题(vehicle routing problem，VRP)是由Dantzig等[3]于1959年提出的. 随着物流的不断发展，VRP得到大量关注，众多学者在VRP的基础上进行大量的延申研究，引出VRP的不同变体[4-5]. 针对带时间窗的车辆路径问题(vehicle routing problem with time windows, VRPTW)，Solomon[6]于1987年将时间窗的约束加入到VRP中. Kang等[7]将时间窗和惩罚函数相结合，对VRP进行了更全面的研究. homberger等[8]基于遗传算法提出分别在变异和交叉操作上改进的2种策略来求解VRPTW. Fan等[9]针对具有模糊需求的时效绿色车辆路由问题，提出自适应邻域搜索时间的策略和劣质解接受机制. 针对电动车辆配送问题(electric vehicle routing problem, EVRP)，Conrad等[10]在VRP上提出1个电动车能够在特定客户点进行充电的EVRP模型. 更多学者从不同方面对EVRP分析结合更多现实因素展开进一步研究[11]. 郭放等[12]研究了货物需求的差异及电动车换电的策略. 肖建华等[13]以道路限行为背景，研究电动车和燃油车的混合配送路径优化问题. Desaulniers等[14]考虑带时间窗的电动车辆路径问题的4种变体. Ye等[15]介绍电动车辆路径问题模型的4种类型，指出理论方法的发展趋势. 在考虑客户等级问题中，Alexiou等[16]考虑配送成本与不利情况的因素相结合，不同客户等级设置相应权重，利用支树结构搜索算法确定最优路线. Calvet等[17]提出考虑市场细分策略，将统计学习技术与元启发式框架相结合的混合方法. 马向国等[18]研究在配送需求随机，当客户不同等重要性下，通过自适应遗传算法求解总成本最小化的数学模型. 杨培颖等[19]研究减少成本的同时，并提高客户满意度的多目标VRPTW模型. 王力锋等[20]在考虑客户等级划分的基础上，设计新的多目标冷链物流配送优化方法.

针对时变路况方面，Malandraki等[21]研究时变速度的VRP，提出行驶时间分段函数. 刘长石等[22]设计考虑交通拥堵指数的交通拥堵规避方法. 葛显龙等[23]考虑车辆配送过程中在2个客户点间路段等待的情况，以极小化碳排放量和车辆行驶时间为双目标，建立优化模型. Keskin等[24]考虑部分充电下的电动车辆路径优化问题，并利用变邻域搜索算法求解. Roberti等[25]提出可以在短计算时间内解决20个客户实例的混合整数线性公式，以及基于通用变量邻域搜索和动态规划的三阶段启发式算法. 张晓楠等[26]结合时变旅行时间和基于关键点构建的道路网路，建立以总旅行时间最小为目标的优化模型.

目前在大多数关于物流路径优化的研究中，对于带有时变路况的车辆路径问题，尚未出现同时考虑到电动车辆和客户等级的研究成果. 不同等级的客户能够给物流公司带来的收益不同，物流公司开展阶梯式服务更有利于长久发展. 在考虑客户等级和时变路况2个要素的基础上，提出电动车辆路径优化问题，建立以配送总成本极小化为目标函数的路径优化模型，通过混合遗传-模拟退火算法（genetic simulated annealing algorithm，GA-SA）对Solomon数据集改造后的9组数据进行数值实验，并与遗传算法（GA）、模拟退火（SA）进行对比分析，验证GA-SA的有效性等.

1. 问题描述及模型建立

1.1. 问题描述

某物流企业有一个配送中心，负责给若干客户点配送货物，配送区域内有若干充电站点，并有一定数量的装载容量相同和电池容量相同的无人电动车. 已知每个客户的等级分类、送货需求、各节点之间的距离、道路状况以及行驶过程中不同时间段对应的车速. 从仓库点出发，电动无人车对每个客户点进行访问，并回到仓库点. 无人车的实时载重量要满足装载容量的约束，剩余电量要足以支撑其完成服务，目标为极小化所有无人车行驶总成本，如图1所示，D为仓库或配送中心.

图 1

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图 1   考虑客户等级和时变路况的城市无人物流配送示意图

Fig.1   Schematic diagram of urban unmanned logistics distribution considering customer grade and time-varying road conditions


1.2. 基于云模型的客户等级评价方法

1.2.1. 客户等级的划分及等级评价指标体系建立

参考已有的客户细分理论相关研究，构建客户价值评价指标体系[27]如图2所示.

图 2

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图 2   配送客户的价值评价指标体系

Fig.2   Value evaluation index system for delivery customer


1.2.2. 客户等级评价模型

将客户等级的评分集假定为3个级别 $V = \left\{ {{V_1},{V_2},{V_3}} \right\}$，分别为VIP客户、主要客户和普通客户，并运用云模型的期望、熵和超熵3个数字特性相应进行表示. 运用云模型建立存在双边约束 $\left[ {{C_{\min }},{C_{\max }}} \right]$的评分集， ${C_{\min }}$、 ${C_{\max }}$分别为该评分集可取值的最小边界值和最大边界值，评价云模型的云参数计算式[28]为

$ \left.\begin{array}{l} E_x=({C}_{\mathrm{min}}+{C}_{\mathrm{max}})/2,\\ E_n=({C}_{\mathrm{max}}-{C}_{\mathrm{min}})/6,\\ H_e=\eta .\end{array}\right\} $
(1)

式中：Ex为期望，En为熵，He为超熵.

根据公式可以计算如表1所示. 参考二八理论，企业利润的80%是由企业20%的客户所创造，企业创造利润价值的客户数量仅为企业客户群体中的小部分. 若是客户评价值为区间边界，则该客户应取较低等级. 假设客户等级的指标集为 $U$，每个指标对应的权重为 ${v_i}$， ${v_i} \geqslant 0$且 ${v_1}+{v_2}+ \cdots + {v_m} = 1$，相应的评价矩阵为 ${\boldsymbol{W}}$. 通过每位专家对权重 $V$进行打分 ${X_i}$，运用统计的方法，利用逆向云发生器计算出统计样本对应的云参数 $Ex$、 $En$和 $He$，得到权重矩阵 ${\boldsymbol{V}}'$. 对m个客户等级影响指标进行打分，利用逆向云发生器计算得到相应云的数字特征 $Ex$、 $En$和 $He$，得到综合评价矩阵 ${\boldsymbol{W}}'$. 利用模糊合成算子计算综合评价结果，得到综合评价云模型，具体的云运算原理参考文献[29]. 通过Matlab将评价集云模型和等级综合评价云模型分别仿真显示出来，评价集云模型与综合评价云模型距离最近的，也就是最终的客户等级.

表 1   客户等级评价云模型相关数字特征值

Tab.1  Customer rating cloud model related digital eigenvalue

客户等级 普通客户 主要客户 VIP客户
评价值区间 [0, 5] [5, 8] [8, 10]
评价云模型 （2.5, 0.833, 0.1） （6.5, 0.5, 0.1） （9, 0.333, 0.1）

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1.3. 模型假设

模型基本假设如下：1)仅对客户提供送货服务，每个客户服务时长相同，单个客户送货量不超过车辆最大装载量；2)车辆均为同类型、装载量及电池容量相同；3)只有1个配送中心，并且所有车辆由此出发，为所有规定的交付目的地提供服务后返回起点；4)车辆出发时为满电，途中可以多次去充电站充电，充电后电池均为满电；5)客户点位置信息和服务时间窗均为已知；6)充电站位置和数量已知，不考虑排队充电；7)客户点之间的车辆行驶时间和能源消耗与交付距离成正比；8)车辆在服务客户的过程中无电量消耗.

1.4. 模型建立
1.4.1. 目标函数

优化目标为极小化物流配送总成本：

$ {\min} Z = {Z_1}+{Z_2}+{Z_3}+{Z_4}{\text{ }}{\text{.}} $
(2)

(1)车辆的固定成本

$ {Z_1} = \sum\limits_{k \in K} {\sum\limits_{j \in N} {{c_1}x_{0,j}^k} } {\text{ }}{\text{.}} $
(3)

式中： $K$为车辆集合； $N$为配送中心、客户点集合与充电站集合的并集； ${c_1}$为固定成本； $x_{i,j}^k$=0~1，如果无人车 $k$从客户点 $i$通过到客户点 $j$时为1.0，否则为0.

(2)车辆的运输成本，该成本和行驶距离成正比.

$ {Z_2} = \sum\limits_{k \in K} {\sum\limits_{i \in N} {\sum\limits_{j \in N} {{c_2}{d_{i,j}}x_{i,j}^k} } } {\text{ }}{\text{.}} $
(4)

式中： ${c_2}$为单位行驶成本， ${d_{i,j}}$为客户点 $ i、j $之间的距离.

(3)车辆的充电成本，由车辆到达充电站充满电.

$ {Z_3} = \sum\limits_{k \in K} {\sum\limits_{i \in N} {{c_3}\alpha (R - R_{i,k}^1)} z_i^k} {\text{ }}{\text{.}} $
(5)

式中： ${c_3}$为单位充电成本； $\alpha $为无人车的充电系数； $R$为电池最大容量； $R_{i,k}^1$为到客户点 $i$时无人车 $k$的电量； $z_i^k$=0~1，如果无人车 $k$通过充电站 $i$充电为1.0，否则为0.

(4)惩罚成本. 在物流配送的过程中，如果未在客户的期望服务的时间窗内配送，而是在客户可接受的服务时间窗内，将受到不同程度的惩罚；在客户可接受服务的时间外才能送到，客户可以选择终止服务，惩罚成本将为无穷大. 惩罚成本计算式为

$ {C_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\theta _1}({{\rm{ET}}_i} - {a_{i,k}}),}&{{{\rm{EET}}_i} \leqslant {a_{i,k}} \leqslant {{\rm{ET}}_i};} \\ {0,}&{ {{\rm{ET}}_i} \leqslant {a_{i,k}} \leqslant {{\rm{LT}}_i};} \\ {{\theta _2}({a_{i,k}} - {{\rm{LT}}_i}),}&{{{\rm{ET}}_i} \leqslant {a_{i,k}} \leqslant {{\rm{LLT}}_i};} \\ {\infty ,}&{其他.} \end{array}} \right.{\text{ }} $
(6)

式中： ${C_i}$为配送客户 $i$时产生的惩罚成本， ${\theta _1}$为早到的惩罚系数， ${\theta _2}$为晚到的惩罚系数， ${a_{i,k}}$为无人车 $k$到客户点 $i$的时间， ${{\rm{ET}}_i、{\rm{LT}}_i}$为客户 $i$期望服务的时间窗， $ {{\rm{EET}}_i、{\rm{LLT}}_i} $为客户i可以接受服务的时间窗. 故惩罚成本为

$ {Z_4} = \sum\limits_{i \in N} {{C_i}} {\text{ }}{\text{.}} $
(7)

1.4.2. 约束条件

客户满意度计算，与客户时间敏感度系数相关. 在给定 $\theta $为客户整体满意度的下限，使得配送路径方案能够达到一定的客户满意度，具体计算式为

$ {U_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left(\dfrac{{{a_{i,k}} - {{\rm{EET}}_i}}}{{{{\rm{ET}}_i} - {{\rm{EET}}_i}}}\right)}^\sigma },}&{{{\rm{EET}}_i} \leqslant {a_{i,k}} \leqslant {{\rm{ET}}_i};} \\ {1.0,}&{{{\rm{ET}}_i} \leqslant {a_{i,k}} \leqslant {{\rm{LT}}_i};} \\ {{{\left(\dfrac{{{{\rm{LLT}}_i} - {a_{i,k}}}}{{{{\rm{LLT}}_i} - L{T_i}}}\right)}^\sigma },}&{{{\rm{LT}}_i} \leqslant {a_{i,k}} \leqslant {{\rm{LLT}}_i};} \\ {0,}&{其他.} \end{array}} \right.{\text{ }} $
(8)

式中： ${U_i}$为配送客户 $i$的满意度， $\sigma $为客户时间敏感系数.

${n}^{-1} {{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{U_i}} }} \geqslant \theta {\text{ }}{\text{.}} $
(9)

(5)路径约束：

$ \left.\begin{array}{l} 0 \leqslant d_{i,j}^{k,h} \leqslant {d_{i,j}}y_{i,j}^{k,h}; \\ \forall (i,j) \in N,i \ne j,k \in N,h \in H{\text{.}} \\ \end{array} \right\}$
(10)

约束（10）为车辆在任一时间段 $h$内在 $i$和 $j$这2个客户点之间行驶的距离不超过 $ i、j $两点之间的距离. 式中： $d_{i,j}^{k,h}$为在时间段 $h$内无人车 $k$在客户点 $(i,j)$之间行驶的距离； $H$为所有时间段的集合； $y_{i,j}^{k,h}$=0~1，如果无人车 $k$在时间段 $h$从客户点 $i$通过到客户点 $j$时为1.0，否则为0.

$ \sum\limits_{h = 1}^m {d_{i,j}^{k,h} = {d_{i,j}}x_{i,j}^k} {\text{ ; }}\forall (i,j) \in N,i \ne j,k \in N{\text{.}} $
(11)

约束（11）为无人车在任何时间段在 $i$和 $j$之间行驶的总距离等于 $i,j$两点之间的距离.

$\left. \begin{array}{l}{y}_{{i}_{2},{i}_{3}}^{k,{h}_{1}}\leqslant 2-{y}_{{i}_{1},{i}_{2}}^{k,{h}_{2}}-{x}_{{i}_{1},{i}_{2}}^{k}\text{; }\\ \forall k\in K,{h}_{1},{h}_{2}\in H,{h}_{1} < {h}_{2},{i}_{1}、{i}_{2}、{i}_{3}\in N\text{.}\end{array}\right\} $
(12)

约束（12）为消除路线中可能存在的所有子回路.

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\sum\limits_{k \in K} {\displaystyle\sum\limits_{i \in N} {x_{i,j}^k} } = 1;}{\forall j \in N} . \end{array} $
(13)

约束（13）为每个客户点只被无人车服务一次，且只能由一辆无人车服务.

$ \sum\limits_{i \in N,i \ne j} {x_{j,i}^k} - \sum\limits_{i \in N,i \ne j} {x_{i,j}^k} = 0;{\text{ }}\forall j \in N,k \in K{\text{.}} $
(14)

约束（14）为进入和离开的车流量相等.

(6)行程时间计算：

$ \begin{array}{cc}{t}_{i,j}^{k,h}=\dfrac{{d}_{i,j}^{k,h}}{{v}_{h}};\; \forall (i,j)\in N,i\ne j,k\in K,h\in H.\end{array} $
(15)

式中： $t_{i,j}^{k,h}$为在时间段 $h$内无人车 $k$在客户点 $(i,j)$之间行驶的时间. 约束(15)为无人车在每个时间段内的行驶距离与行驶时间成正比.

$ \begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\sum\limits_{(i,j) \in N} {t_{i,j}^{k,h}} \leqslant {e_h} - {b_h};}\; {k \in K,h \in H} . \end{array} $
(16)

式中： $\left[ {{b_h},{e_h}} \right]$为时间段 $h$的开始时间和结束时间. 约束(16)为无人车 $k$在时间段 $h$内的总行驶时间不大于时间段长度.

$\left. \begin{gathered} {{l_{i,k}} \leqslant {e_h} - t_{i,j}^{k,h}+M(1 - y_{i,j}^{k,h});} \\ \forall (i,j) \in N,i \ne j,k \in K,h \in H{\text{.}} \\ \end{gathered} \right\}$
(17)

式中： ${l_{i,k}}$为无人车 $k$从客户点 $i$离开的时间. 约束(17)为时间段 $h$的结束时刻减去无人车在该时间段内在客户点 $(i,j)$之间的行驶时间，晚于无人车离开客户点 $i$的时间.

$ \left.\begin{gathered} {{a_{j,k}} \geqslant {b_h} - t_{i,j}^{k,h} - M(1 - y_{i,j}^{k,h});} \\ \forall (i,j) \in N,i \ne j,k \in K,h \in H{\text{.}} \\ \end{gathered} \right\}$
(18)

约束(18)为时间段 $h$的起始时间加上该时间段内在客户点 $(i,j)$之间的行驶时间小于或等于无人车到达客户点 $j$的时间.

$ \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{j,k}} \geqslant {l_{i,k}}+\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^k {\displaystyle\sum\limits_{h = 1}^m {t_{i,j}^{k,h}} - M(1 - x_{i,j}^k);} }&{} \end{array} \\ \qquad \forall (i,j) \in N,k \in K{\text{.}} \\ \end{gathered} $
(19)

约束(19)为从客户点 $i$出发后到达客户点 $j$的时间转换关系.

$ \begin{array}{cc}{a}_{i,k}+{s}_{i}\leqslant {l}_{i,k};\; \forall i\in C,k\in K.\end{array} $
(20)

式中： ${s_i}$为客户 $i$的服务时间， $C$为客户点集合. 约束(20)确保无人车在客户点的出发时间必须大于或等于到达时间和服务时间之和.

(7)车辆载重约束：

$ \sum\limits_{j \in ,i \ne j} {f_{j,i}^k} - {q_i} = \sum\limits_{j \in C,i \ne j} {f_{i,j}^k} {\text{; }}\forall i \in C,k \in K{\text{.}} $
(21)

式中： $f_{i,j}^k$为无人车 $k$在客户点 $(i,j)$之间行驶时的载重量， ${q_i}$为客户 $i$的需求量. 约束(21)为无人车到达客户点 $i$时的负重等于离开客户点 $i$的负重和客户点 $i$的需求之和.

$ \begin{array}{*{20}{c}} {0 \leqslant f_{i,j}^k \leqslant Qx_{i,j}^k;}\;{\forall k \in K,(i,j) \in N} . \end{array}$
(22)

式中： $Q$为车辆最大载重. 约束(22)为无人车 $k$不能携带超过其最大容量的货物.

(8)电量约束：

$ \begin{array}{cc}{a}_{D,k}\leqslant {t}_{\mathrm{max}};\; k\in K.\end{array} $
(23)

式中： $D$为配送中心， ${a_{D,k}}$为车辆从配送中心出发的时间， ${t_{\max }}$为车辆返回配送中心的最晚时间. 约束(23)确保在配送中心工作时间内提供所有服务.

$ \begin{array}{cc}{a}_{i,k}+\alpha (R-{R}_{i,k}^{1})\leqslant {l}_{i,k};\; \forall i\in F,k\in K.\end{array} $
(24)

约束(24)规定车辆离开充电站的时间小于或者等于无人车到达时间和从开始充电至完全充电的时间之和.

$ \left.\begin{gathered} {0 \leqslant R_{j,k}^1 \leqslant R_{i,k}^1 - \displaystyle\sum\limits_{h = 1}^m {d_{i,j}^{k,h}\beta } +R(1 - x_{i,j}^k);} \\ k \in K,\forall i \in C,\forall j \in N,i \ne j{\text{ }}{\text{.}} \\ \end{gathered}\right\} $
(25)

约束(25)为无人车从客户 $i$点出发到客户点 $j$的电量状态提供边界条件.

$ R_{i,k}^2 = R_{i,k}^1(1 - z_i^k)+Rz_i^k{\text{; }}k \in K,\forall i \in F{\text{.}} $
(26)

式中： $R_{i,k}^{\text{2}}$为离开客户点 $i$时无人车 $k$的电量， $F$为充电站集合， $\;\beta $为电池耗电速率. 约束(26)规定，当车辆离开充电站时，保证有充足的电量，其余情况为车辆剩余电量不变.

$ \begin{array}{*{20}{c}} {R_{1,k}^2 = R;}&{k \in K}. \end{array} $
(27)

约束(27)规定，车辆离开配送中心开始送货时，电池已充满电.

$\left. \begin{gathered} {y_{i,j}^{k,h} \leqslant x_{i,j}^k \leqslant \displaystyle\sum\limits_{h = 1}^m {y_{i,j}^{k,h}} }; \\ \forall (i,j) \in N,i \ne j,k \in N,h \in H{\text{.}} \\ \end{gathered} \right\}$
(28)

约束(28)为 $ y_{i,j}^{k,h} $和 $ x_{i,j}^k $之间的限制关系.

$ \left.\begin{gathered} {x_{i,j}^k,y_{i,j}^{k,h},z_i^k \in \{ 0,1\} ;} \\ k \in K,h \in H,i \in N,j \in N{\text{.}} \\ \end{gathered}\right\} $
(29)

约束(29)明确了决策变量的具体定义域.

2. 算法设计

2.1. 混合遗传-模拟退火算法原理

遗传算法和模拟退火算法都是基于概率分布的启发式搜索优化算法但是拥有不同特性. SA由Metropolis等[30]于1953年提出，由于固体退火原理, 优化过程中以一定的概率接受较差解，有效防止陷入局部极值并逐渐趋于全局最优. GA是模拟生物进化过程的方法，使用达尔文的自然选择理论和遗传机制来寻找最优解，是密歇根大学的Holland[31]在1975年开发的全局搜索优化算法. 混合遗传-模拟退火算法将2种方法相结合，可以一定程度上弥补2种算法的缺陷，在全局或者局部情况下都提高算法的搜索能力和效率.

2.2. 算法基本步骤

GA-SA的主要实现过程为1)对种群进行模拟退火操作；2)产生的新种群完成遗传算法的交叉操作和变异操作，产生下一代种群；3)循环反复以上步骤直到满足迭代次数，终止计算输出最优解. GA-SA的具体求解步骤如下.

1)初始化模型和算法参数. 确定种群大小 $N$，交叉概率 ${P_c}$，变异概率 ${P_m}$，初始温度 ${T_0}$以及算法完成前的最大进化代数等.

2)初始化种群. 初始种群由随机产生的 $N$个可行解 ${X_i}$组成，进行编码并计算种群适应度，在每一代中获得最优个体和最高适应度. 适应度函数为

$ F(x) = - f(x){\text{ }}{\text{.}} $
(30)

式中： $F(x)$为适应度函数， $f(x)$为目标函数.

3) 温度逐渐下降，进行随机扰动. 随机置换2个不同城市的坐标，计算新状态适应度值 $F({x'})$. 如果 $F({x'}) > F(x)$，则接受新状态；反之，则以一定概率选择接受新状态，如果接受则替换旧状态，否则旧状态保持不变.

4)交叉操作. 设定概率 $p$，在染色体中任意选择基因点，产生随机数与概率 $p$相比较. 若小于 $p$，则在同一个体中选取另一个基因点 ${G_2}$，将2个基因点之前的部分倒置；反之，则在种群中选择新个体，找到 ${G_1}$在该个体中前一个位置的点 ${G_3}$，再回到原来的个体中找到 ${G_3}$，将 ${G_1}$和 ${G_3}$之间的部分倒置.

5)变异操作. 每个基因都有一定的变异概率与任意基因进行互换.

6)精英保留策略. 在父代和子代中出现的精英个体，不进行交叉配对直接复制到下一代，保证最优个体不会被破坏.

7)更新当前最优解，判断是否达到最大进化代数. 如果满足，则终止计算，解码后输出最优解，如果不满足则返回步骤3)，直到满足算法终止条件. GA-SA优化流程图如图3所示.

图 3

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图 3   遗传-模拟退火算法的优化流程图

Fig.3   Optimization flowchart of hybrid genetic simulated annealing algorithm


GA-SA存在循环嵌套，代入时间复杂度计算方法，循环的时间复杂度为循环部分的复杂度中循环运行次数的乘积，分析得到内循环的时间复杂度为O(n). 对于外层的循环，为内部时间复杂度为O(n)的语句，再进行n次循环，则这段算法的时间复杂度为O(n2). 当外循环的循环次数更改为m，时间复杂度为O(m $* $n).

3. 算例分析

3.1. 算例构造

从Solomon[20]标准算例（C1、R1、RC1）中分别选取25、50和100个客户点的数据，模拟形成9组测试算例. C型数据是通过聚类操作之后生成的，客户的分布区域较为集中，R型数据为随机生成的客户分布，RC型数据客户的分布则是混合R型数据和C型数据分布的. 应用Matlab R2021a，在Windows 10操作系统的环境，Intel(R) Core(TM) i7-10710U CPU @ 1.10 GHz、内存16 GB的笔记本电脑上进行仿真求解.

设定模型的相关参数如下：车辆载重为2 kg/辆，电池容为40 kwh/辆，耗电系数为4 km/kwh，充电系数为0.60 kwh/min，单位充电成本为0.75元/kwh，车辆发车成本为20元/辆，单位行驶成本为2元/km，单位等待成本为0.40 元/min，早到和晚到的惩罚成本为2元/min、3元/min.

采取车辆在两客户点之间的配送路上不停靠策略, 即车辆从客户点 $i$行驶到客户点 $j$的过程中, 始终处于行驶状态，不在2个客户点中间路段停留. 在时变的道路条件下，车辆速度的波动是已知的并且随时间变化[32]. 参考杭州市交通拥堵大数据在线监测平台提供的数据[33]，模拟不同时间段车辆行驶速度如图4所示. 图中V为车辆在不同时间段的行驶速度，t为相对应的时间段.

图 4

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图 4   车辆在不同时间段的行驶速度

Fig.4   Vehicle speed in different time periods


3.2. 算例求解及比较分析

设置种群规模 $N = 100$最大进化代数 $G = 3\;000$，交叉概率 ${P_c} = 0.60$，变异概率 ${P_m} = 0.01$，马尔科夫链长度 $L = 1.00$，温度衰减系 $k = 0.99$，用GA-SA、GA和SA各求解了9组测试算例10次，并使用当前的最优值和平均值进行比较和分析，求解结果如表2所示. 在 ${B_1}$、 ${B_2}$和 ${B_3}$列中，3个算法求解10次后的当前最优解；在 ${\bar B_1}$、 ${\bar B_2}$和 ${\bar B_3}$列中，10次运行结果的平均值； ${{\rm{GAP}}_1}$为当前最优解差值比较的百分比 ${{\rm{GAP}}_1} = ({B_1} - {B_2})/{B_2} \times 100{\text{%}} $， ${{\rm{GAP}}_2}$为平均值差值比较的百分比 ${{\rm{GAP}}_2} = ({\bar B_1} - {\bar B_2})/{\bar B_2} \times 100{\text{%}} $， ${{\rm{GAP}}_3}$和 ${{\rm{GAP}}_4}$的运算参考 ${{\rm{GAP}}_1}$和 ${{\rm{GAP}}_2}$. 从表2的求解结果可以看出，无论是25个、50个或者100个客户点的规模，还是随机分布、聚类分布和混合分布的客户点类型，得到的当前最优解和平均解，GA-SA算法均优于GA和SA. 与GA和SA对比，混合后的GA-SA在不同算例中配送过程中产生的总成本均减少在−1.65%~−11.66%和−5.46%~−42.81%. 由此可以得到混合后的GA-SA是可行的、有效且优化效果显著.

表 2   不同方法以成本最小为目标的优化结果

Tab.2  Optimization results of different methods aiming at minimizing cost

测试算例 GA-SA GA SA GAP1/% GAP2/% GAP3/% GAP4/%
${B_1}$ ${\bar B_1}$ ${B_2}$ ${\bar B_2}$ ${B_3}$ ${\bar B_3}$
C1-25 1624.18 2072.32 1838.61 2271.71 2393.47 2680.41 −11.66 −8.78 −32.14 −22.69
C1-50 4380.78 5010.68 4729.82 5235.70 5648.66 6287.47 −7.38 −4.30 −22.45 −20.31
C1-100 15865.97 16028.50 16156.72 16477.42 16392.10 16849.24 −1.80 −2.73 −3.21 −4.87
R1-25 2564.81 2878.42 2800.74 3126.75 3229.33 3805.56 −8.42 −7.94 −35.84 −36.49
R1-50 4998.37 5460.09 5565.07 5872.42 8278.14 9245.20 −10.18 −7.02 −30.21 −29.01
R1-100 15670.87 16164.71 15981.58 16530.93 16363.92 17316.70 −1.94 −5.61 −4.24 −6.65
RC1-25 2071.81 2416.91 2275.78 2577.36 3622.77 3978.08 −8.96 −6.23 −42.81 −39.24
RC1-50 5777.58 6563.26 6334.06 7100.76 8806.61 9202.14 −8.79 −7.57 −34.39 −28.68
RC1-100 15120.79 16018.82 15967.02 16287.75 16445.17 16943.83 −5.30 −1.65 −8.05 −5.46

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在 ${U_1}$、 ${U_2}$和 ${U_3}$列中，GA-SA、GA和SA分别运行10次后的当前最优客户满意度. 在 ${\bar U_1}$、 ${\bar U_2}$和 ${\bar U_3}$列中，10次运行结果的平均客户满意度. 其余运算仍参考 ${{\rm{GAP}}_1}$和 ${{\rm{GAP}}_2}$，求解结果如表3所示. 可以看出，GA-SA优化后的车辆路径优化方案达到的客户满意度明显优于GA和SA求出的配送方案，在C型客户分布类型中较为明显. 结合表2、3的结果可以发现，GA-SA在优化的过程中和降低配送总成本的同时，也提高了配送客户的整体满意度. 车辆数在配送过程中对每项成本有着不同程度的影响，使用上述的算例结果得到车辆数与成本的关系图如图5所示. 图中Co为车辆在行驶过程中产生的不同成本，k为相对应的车辆数. 从图5可以看出，当车辆数为6时，配送方案的总成本最小. 当车辆数减少时，虽然发车成本随之减少，但存在配送无法满足客户的时间窗要求的情况，从而产生更多的惩罚成本. 随着车辆数的增加，车辆的固定成本、充电成本以及等待成本都会相应增加，因此配送总成本会出现明显增高. 合适的车辆数可以在配送路径优化过程中有效地降低总配送成本. 不同的道路状况会改变车辆的行驶速度，进而影响到达客户点的配送时间，规划出不同的配送方案. 通过将道路状况设置为畅通（20 km/h）、时变和拥堵（50 km/h）3种情况进行运行，得到的相应结果如图6所示. 图6中U为配送完成的整体客户满意度. 从图6可以看出，道路状况由畅通逐渐变为拥堵时，配送方案的总成本在逐步增加，客户满意度却在相应地减小. 在车辆数相同的情况下，道路拥堵行驶时间和成本增加，且无法在客户期望的时间窗内完成服务的情况增多，导致惩罚成本相应增加，最终造成配送总成本增加，客户满意度下降.

表 3   不同方法考虑客户满意度的优化结果

Tab.3  Optimization results of different methods considering customer satisfaction

测试算例 GA-SA GA SA GAP5/% GAP6/% GAP7/% GAP8/%
${U_1}$ ${\bar U_1}$ ${U_2}$ ${\bar U_2}$ ${U_3}$ ${\bar U_3}$
C1-25 0.925 0.846 0.838 0.812 0.680 0.588 10.38 4.13 36.03 43.88
C1-50 0.982 0.898 0.888 0.864 0.610 0.540 10.59 3.95 60.98 66.29
C1-100 0.803 0.768 0.774 0.725 0.692 0.632 3.74 5.93 16.04 21.52
R1-25 0.847 0.819 0.824 0.728 0.685 0.598 2.79 12.41 45.84 57.02
R1-50 0.991 0.908 0.904 0.857 0.708 0.575 9.62 5.94 41.24 71.30
R1-100 0.784 0.706 0.729 0.657 0.654 0.619 7.54 7.46 19.88 14.05
RC1-25 0.999 0.939 0.988 0.934 0.666 0.521 1.11 0.55 50.00 80.23
RC1-50 1.000 0.985 0.981 0.947 0.679 0.583 1.94 4.05 47.28 68.95
RC1-100 0.799 0.713 0.682 0.631 0.486 0.448 17.16 12.30 64.40 59.15

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图 5

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图 5   车辆数对成本优化结果的影响

Fig.5   Influence of vehicle number on cost optimization results


图 6

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图 6   不同路况对成本与满意度的优化影响

Fig.6   Optimising impact of different road conditions on cost and satisfaction


客户满意度的阈值限制在配送方案中客户满意度的可接受下限. 当设置不同的满意度阈值时，即代表接受更低或者更高的整体客户满意度配送方案，配送的目标也会收到满意度阈值的限制而产生不同结果. 设置满意度阈值为40%~100%时2种算法得到的成本结果对比图，如图7所示. 可以发现，GA-SA与GA相比，在相同客户满意度的条件下求得的总成本较低，表明GA-SA能够有限求解问题且优于GA. 当满意度阈值低于80%时，总成本基本稳定，是因为满意度阈值为更易达到的低值，在路径规划中对于总成本的波动影响不大. 当满意度阈值由80%增长至90%的过程中，GA-SA和GA得到的总成本分别增长了8.65%和7.29%；当满意度阈值超过90%时，增长率分别为16.99%和11.39%，总成本增长较迅猛；当满意度阈值增长为100%时，总成本最高. 由于100%的客户满意度难以达到，可以看出80%~90%的客户满意度在制定配送方案时是更合适的选择.

图 7

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图 7   客户满意度对成本优化结果的影响

Fig.7   Influence of customer satisfaction on cost optimization results


图8为划分与不划分客户等级的配送路径变化. 通过图8可以看出，在划分客户等级进行配送后，全体客户的整体满意度由88.9%降至80.2%. 由于高级客户的时间敏感程度更高，存在优先配送的情况，高级客户群体的整体满意度增加. 车辆的行驶成本、充电成本和惩罚成本都相应的增大，说明在路径规划中存在满足高等级客户的期望时间窗要求，尽管当前路况较为拥堵，仍优先配送高等级客户而放弃近距离的其他等级客户的情况. 当配送资源不能满足所有客户时，路线规划时可以考虑客户分类，尽可能满足高层次客户的服务要求，并根据客户的重要性合理分配配送资源. 从全局的角度来说，能够为企业制定更持久稳健的发展战略，增强顾客黏性，带来更稳定的收入来源.

图 8

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图 8   电动车辆的路径结果

Fig.8   Path results of electric vehicles


4. 结　语

在智慧物流背景下, 对客户不同等级、时变速度和电动车辆等因素进行研究，针对道路状况建立车辆行驶速度的分段函数，通过建立云等级评价模型对客户进行分级，建立以物流配送总成本极小化为目标的模型，采用GA-SA和GA、SA对比求解. 论文从标准的Solomon算例中选取9组不同类型和规模的时变电动车辆路径规划测试算例，测试了所建模型和算法的有效性，数值结果表明如下. 1）在时变的道路行驶速度下，合理的出发时间，分等级地选择服务客户的顺序，能明显减少车辆的配送总成本，提高客户的整体满意度. 2）根据GA-SA与GA、SA的对比实验结果表明，GA-SA具有更好的优化效果. 考虑诸如车辆碳排放等环境因素，在经济效益基础上如何进一步优化和平衡，设计更优的快速算法，是后续值得研究的方向.

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