锂离子电池因其能量比高、自放电率低、高低温适应性强和维护成本低等优点，被广泛应用于储能系统、便携式设备和电动汽车等多个领域^[1-4]. 随着电池充放电循环次数的增加，电池内部会发生不可逆的电化学反应，导致内阻增大、最大峰值功率下降和容量衰减等问题，严重时甚至会发生人身安全事故^[5]. 实时监测锂离子电池的健康状态对于电池系统的安全运行十分必要. 目前，关于锂离子电池SOH的估计方法主要分为基于模型的方法和基于数据驱动的SOH估计方法.

基于模型的方法主要是通过电化学机制或等效电路模型来模拟电池复杂的内部变化，可以在线辨识内阻和容量. 一系列的滤波算法如卡尔曼滤波^[6]、粒子滤波^[7]及其扩展的算法被应用到SOH估计中. 这类方法通常只适用于固定的工况条件，当开展内阻和容量的在线识别时传感器很容易受到环境因素的干扰，使得模型的准确性和可靠性较低^[8].

基于数据驱动的方法通过监测的电池外部特性来挖掘健康因子(health factor, HF)，利用机器学习模型建立HF与SOH的映射关系. 常用的SOH估计模型有高斯过程回归(Gaussian process regression，GPR)^[9]、极限学习机(extreme learning machine, ELM)^[10]、支持向量机(support vector machine，SVM)^[11]和神经网络模型等. 樊亚翔等^[12]提出基于日常充电片段电压的锂电池SOH估计，利用容量增量曲线确定相关度较高的电压区间，从而提取HF. 韩乔妮等^[13]提出变温度下锂电池的SOH估计，分别从充电和放电电压数据中提取HF，估计电池常温和高低温下的SOH. 上述方法虽然取得了较好的效果，但所构建的HF往往只关注与SOH相关性的强弱，忽略了电池日常使用过程中的温度变化和实际SOC使用范围引起的特征提取所需数据量不足的问题.

为了解决上述问题，本文设计基于锂离子电池温度和SOC的健康因子提取及SOH在线估计的方法. 当电池处于常温和高温充电时，恒流充电阶段较长，将从日常SOC区间内的电压区间中提取等采样间隔的电压差作为HF₁. 当电池处于低温充电时，若恒流充电阶段的电压数据不足以提取HF，则模型将从恒压阶段中提取等采样间隔的电流差作为HF₂. 利用爬山算法-遗传算法(genetic algorithm-hill climbing algorithm, GA-HC)优化的ELM模型，建立HF和SOH的非线性映射关系，使用NASA锂离子电池老化数据集中的9组电池数据进行验证.

本文实验验证部分所采用的数据均来自NASA锂离子电池老化数据集^[14]，从中选择了不同老化工况条件下的9块电池数据作为实验数据，具体信息如表1所示. 表中，I_d为放电电流，Q_N为额定容量，t_e为环境温度，V_e为截止电压. 5、6和18号电池为24 ℃下进行的老化试验，30、31和32号电池为43 ℃下进行的老化试验，53、54和55号电池为4 ℃下进行的老化试验. 在老化实验中，对锂离子电池进行1.5 A恒定电流充电，直至电压升至4.2 V；在恒压阶段，电流逐渐减少至20 mA，分别使用2 A或4 A的恒定电流放电至截止电压.

电池当前最大可用容量间接反映了电池的老化情况. SOH一般定义为电池当前最大可用容量与额定容量的比值：

(1) $ {\rm{SOH}} = \frac{{{C_{{\rm{cur}}}}}}{{{C_{{\rm{nom}}}}}} \times 100{\text{%}} . $

式中：C_cur为电池当前最大容量，C_nom为电池标称容量. 随着电池使用次数的增加，SOH会不断降低. 当SOH下降到70%~80%时，认为达到了电池的寿命终止(EOL).

对于SOH在线估计来说，健康因子的选择直接影响模型的精度和计算速度. 由于电池的放电阶段受负荷随机放电的影响较大，不宜提取稳定的健康特征，而充电时的工况比较固定，通常为恒流恒压模式，可以通过BMS直接获得比较稳定的电压、电流和温度数据.

如图1(a)、(b)所示，图中曲线颜色从浅到深代表电池的老化程度加重，此时电池的恒流充电电压到达截止电压的时间随老化加重会逐渐缩短，恒压充电阶段电流的下降速率随老化加重会减缓. 结果表明，这些现象与电池的健康状态存在相同的变化趋势. 此前，HF的提取通常采取遍历法在整个恒流充电阶段寻找与SOH相关性最强的2个特定电压点之间的数据来获得. 该类方法虽然能够实现不错的估计效果，但是构建的健康因子往往只关注HF与SOH的相关性强弱，忽略了温度和SOC变化导致特征提取所需数据不足的问题. 为了解决该问题，以电池日常SOC使用区间为背景，使用20%~80% SOC区间下的电压和电流数据为研究基础，进行健康特征筛选.

以NASA电池老化数据集的5、32和54号电池为例，如图1(c)所示为5号电池在常温条件下，充电初始SOC为20%时对应的充电电压随老化加重从3.9 V逐渐升高至4.05 V. 如图1(d)所示，32号电池在高温条件下，随着老化的加重，电池充电电压从3.9 V逐渐升高至3.95 V. 对于常温和高温下的电池来说，通过舍弃一定的相关性，将提取HF所使用的起始充电电压设置为4.05 V，使对应的充电起始SOC更接近50%区域，能够覆盖大多数电池的运行工况.

从图1(e)可知，54号电池在低温充电时，因扩散阻抗和化学反应速率下降引起的阻抗增大导致端电压的抬升速率变大^[15-16]. 此时恒流充电阶段电压数据将难以进行HF提取，因此选择从恒压阶段中的电流区间内提取健康特征.

在确定SOC实用区间下电压和电流数据的可用范围后，为了避免采样间隔较大时无法识别特定点电压的问题，选择构建以等采样间隔下的电压差HF₁作为常温和高温条件下的健康因子，以等采样间隔下的电流差HF₂作为低温条件下的健康因子，如图2所示.

健康特征具体的计算公式如下：

(2) $ \left. \begin{gathered} {{\rm{HF}}}_1 = \Delta V = V_{\rm{cc}}({t_0}+N \times \Delta t) - V_{\rm{cc}}({t_0}) , \\ \\ {{\rm{HF}}}_2 = \Delta I = I_{\rm{cv}}({t_1}+N \times \Delta t) - I_{\rm{cv}}({t_1}) . \\ \end{gathered} \right\} $

式中： $V_{{\rm{c}}{{\rm{c}}}} $和 $I_{{\rm{c}}{{\rm{v}}}} $分别为恒流充电电压和恒压充电电流，t₀和t₁分别为起始电压的时间和起始电流的时间，N为采样点数量，Δt为采样间隔时间.

从式（1）可以看出，不同的电压起点、电流起点和采样间隔可以描述不同的老化状态. 为了定量评价不同区间下HF与SOH之间的相关程度，采用Pearson相关系数确定最佳的起始电压电流和采样间隔时间. 相关系数P的计算公式如下：

(3) $ P = \frac{{E({\boldsymbol{X \cdot Y}}) - E({\boldsymbol{X}})E({\boldsymbol{Y}})}}{{\sqrt {E({{\boldsymbol{X}}^2}) - {E^2}({\boldsymbol{X}})} \sqrt {E({{\boldsymbol{Y}}^2}) - {E^2}({\boldsymbol{Y}})} }}\;\;.$

式中：X和Y为样本总体，x_i和y_i为样本个体. 相关系数为−1~+1，相关系数的绝对值越接近1，表示两者的相关程度越高.

传统的前馈神经网络由于梯度下降，导致计算量大，训练时间慢. Huang等^[17]提出单隐藏层的前馈神经网络-极限学习机，验证了ELM的训练速度远高于传统的神经网络. ELM的主要思想是随机分配输入层与隐藏层的连接权重w和偏置b. 假定数据集{x, y| x_k∈R, y_k∈R, k = 1, 2, 3, ···, N}，y_k为锂电池第k次循环的SOH，x_k为第k次循环的健康因子，隐藏节点数为L，隐藏层的输出记为h(x)，则ELM的结构如图3所示.

对于单个极限学习机，隐藏层输出的数学表达式为

(4) $ {h}({\boldsymbol{x}}) = g({\boldsymbol{wx}}+{{\boldsymbol{b}}}). $

式中：h(x)为隐藏层的输出，g为激活函数. 根据ELM的结构和式（4），可以得到ELM的输出为

(5) $ {\boldsymbol{y}} = {\boldsymbol{H\beta }} . $

式中：β为隐藏层到输出层之间的连接权重矩阵，H = [h₁(x) , ··· , h_L(x)], β = [β₁ , ··· , β_L]^T. ELM学习过程的目标是找到使误差最小的最优β，这可以通过矩阵运算进行求解. 最优β的计算过程如下所示：

(6) $ {{\boldsymbol{\beta }}^*} = {{\boldsymbol{H}}^+}{\boldsymbol{y}} . $

式中：H⁺为H的Moore–Penrose广义逆矩阵. ELM的学习过程不需要通过传统神经网络的训练算法迭代调整网络权重，因此ELM具有更快的训练速度和更好的泛化性能. 此外，由于结构简单，需要调整的参数只有隐藏神经元的数量和激活函数. 考虑到上述优点，采用ELM作为机器学习模型.

ELM在训练速度和泛化能力方面具有优势，但由于输入权重的随机性可能导致输出结果的不稳定性. 采取遗传-爬山算法协同优化模型，确定ELM模型的权重和偏差，可以提高模型的稳定性.

遗传算法通过模仿自然界的选择与遗传的机理来寻找最优解，是并行随机搜索全局最优解的算法. 遗传算法的群体搜索特性可以避免传统的单点搜索方法在对多峰分布的搜索空间进行搜索时很容易陷入局部某个单峰的极值点，体现遗传算法的并行化和较好的全局搜索性. 当寻求精度更高的解时，遗传算法的局部寻优能力不足，导致收敛速度过慢. 通过融合局部择优能力强的爬山算法，提出遗传-爬山(GA-HC)搜索算法，使其能够快速寻找最优解，具体流程框架如图4所示.

锂离子电池SOH估计模型在离线阶段时，收集日常SOC使用区间范围内的充电电压和电流数据，提取不同起始点和采样间隔的HF. 利用皮尔逊相关性分析法选择合适的HF作为GA-HC-ELM模型的输入进行训练，得到电池老化模型. 在线运行阶段，通过BMS系统获得充电电压和电流数据，结合不同工况条件进行HF₁或HF₂提取. 将提取的HF代入训练好的电池老化模型中，得到SOH的在线估计结果.

为了验证本文方法的准确性和可靠性，采取平均绝对误差(mean absolute error，MAE)、平均绝对百分比误差(mean absolute percentage error，MAPE)、均方根误差(root mean square error，RMSE)来评价模型性能，定义如下.

(7) $ {\rm{MAE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {|{y_i} - \widehat {{y_i}}|} \text{，} $

(8) $ {\rm{MAPE}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left|\frac{{{y_i} - \widehat {{y_i}}}}{y}\right|} \times 100{\text{%}} \text{，} $

(9) $ {\rm{RMSE}} = \sqrt {\frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{({y_i} - \widehat {{y_i}})}^2}} }}{n}} . $

在常温或高温环境下，若充电电压数据量满足要求，应从恒流充电末端数据区间内进行特征提取，采集等采样间隔下的电压差作为HF. 采取遍历法，以相关性系数最大为目标，得到最合适的起始电压点和采样间隔，相关系数的计算结果如表2所示. 表中，V_o为起始电压，Δt为间隔时间. 结果显示，所构建的健康因子的相关系数均大于0.9，表明所选的HF与电池的SOH之间存在很强的相关性. 特征提取所使用的数据量不超过完整充电数据的10%，在充电初始SOC较高的情况下也能进行提取.

在低温环境下，若充电电压数据不足以HF提取，应在恒压阶段的前端电流数据进行特征提取，使用等采样间隔下的电流差作为健康因子. 以相关性系数最大为目标，筛选出最佳的起始电流点和采样间隔，相关系数的计算结果如表3所示. 表中，I_o为起始电流. 从表3可以看出，所构建的健康因子的相关系数均大于0.9，使用的数据仅约占完整充电数据的20%，可以在电池实际运行工况中提取.

实验部分选取NASA数据集中的5、6和18号电池进行常温下的SOH估计实验，将每个电池老化数据的前50%设置为训练集，后50%设置为测试集. 常温下锂离子电池的SOH估计结果如图5所示，估计误差如表4所示. 图中，k为循环次数.

从图5可以看出，利用本文方法不仅能够有效地追踪电池老化的主要趋势，而且能较好地捕捉局部容量波动部分，而单一的ELM由于随机给定网络权重，会导致部分估计结果偏离严重. 经过GA-HC优化后的ELM模型的SOH估计误差除了少数估计点的误差约为3%，大部分误差小于1%，估计精度较高. 如表4所示为对估计结果的定量评价，SOH估计结果的MAE、MAPE和RMSE均小于1%，表明本文所提出的SOH估计方法在常温下具有较高的估计精度.

在低温充电情况下，使用恒压阶段的电流数据进行HF提取来估计SOH. 选取NASA数据集中的54、55和56号电池开展低温下的SOH估计实验，将数据集的前50%作为训练集，后50%作为测试集，估计结果如图6所示.

从图6可以看出，所提模型的整体跟踪效果良好，仅有部分波动位置的估计效果变差. 这是由于电池循环实验中产生的热量导致电池的温度上升，使得容量再生现象比较明显，但大部分的相对误差小于3%. 表5给出3块电池的MAE、MAPE和RMSE的计算结果，相比于没有优化过的ELM，所提方法的3个误差指标均小于2%. 结果表明，在电压数据不足的情况下，从电流数据中提取的健康特征HF₂具有较高的SOH估计精度.

选取NASA数据集中的30、31和32号电池，开展高温下的锂电池SOH估计实验. 采取锂离子电池老化数据集中的前40%作为训练集，剩余的60%作为测试集，估计结果如图7所示.

从图7可以看出，在高温条件下，老化过程的波动部分更加剧烈，估计难度会增大，而所构建的健康因子能够准确地跟踪电池容量衰减的主要趋势和波动部分，仅有极少数点的误差大于2%，其余均小于1%. 未优化的ELM模型因随机权重过大或过小，会导致估计结果的严重偏离，如图7(a)所示. 表6给出MAE、MAPE和RMSE的计算结果，优化后ELM的3个误差指标均小于1%. 由此可见，在高温情况下，所提框架仍然具有较高的估计精度.

为了验证本文方法的有效性，选择与当下的主流算法进行性能比较，不同方法的估计结果如表7所示. 表中，RMSE_av为RMSE平均值，t_av为平均计算时间. 从表7可以看出，经过GA-HC算法优化后的ELM模型参数的全局寻优能力更强，相比于ELM、LSTM和GPR，本文所提模型的估计精度最高. 虽然智能算法的参数优化过程会增加模型的计算复杂度，但由于ELM网络架构简单，平均计算时间比传统的神经网络模型短. 结果表明，相比于其他预测模型，本文方法在锂离子电池健康状态的预测方面具有更优越的性能.

本文针对锂离子电池的日常运行工况，提出基于锂电池温度和SOC的健康因子提取及SOH在线估计方法. 在充电过程中，根据初始SOC条件和环境温度的不同，选取合适的电压或电流作为HF，提取HF所需的数据量仅为完整充电数据量的5%~20%，相比于完整的充电数据，更易在实际中提取. 使用GA-HC对传统的ELM网络进行参数优化，提高了模型的稳定性和准确性. 从NASA电池老化数据集中选择9块不同老化实验下的锂离子电池，进行实验验证. 在常温和高温的情况下，模型的RMSE均小于1%；在低温情况下，模型的RMSE小于2%. 实验结果验证了基于GA-HC-ELM的锂离子电池SOH在线估计方法具有较高的预测精度和可靠性.