以电网换相高压直流输电(line commutated converter based high voltage DC, LCC-HVDC)和电压源型高压直流输电(voltage source converter based high voltage DC，VSC-HVDC)为代表的直流输电技术由于在远距离大容量输电方面的优势，已成为“西电东送”实施的有效途径^[1]. 交直流系统的电压稳定性取决于馈入交流系统的电压支撑强度，因此，准确量化交流系统相对直流系统的强度(以下简称电网强度)对指导交直流系统的规划、设计和运行十分重要^[2].

交流电网静态电压稳定研究与多直流馈入(multi-infeed DC, MIDC)系统电压稳定研究经常采用同样的分析理论和方法，归纳前者的发展规律有助于理清后者的发展趋势^[3-12]. 一方面，复杂系统电压稳定的研究核心在于，找到稳健的模型降阶方法，将复杂系统的电压稳定转化为简单系统的电压稳定问题，再利用射频电路的阻抗匹配^[3]和无功负荷/电压(或有功/电流)灵敏度^[8]这2个基本原理进行稳定性评估. 所用到的模型降阶方法主要有电路等值(功率等值^[9]、阻抗等值^[10])和模态解耦^[11]. 复杂交流系统静态电压稳定研究经历从电路等值-局部指标^[13]到模态解耦-全局指标^[14]的发展过程. 另一方面，直流侧与交流侧耦合复杂^[15-19]，难以直观刻画交直流系统电压稳定的物理机理，因此国内外学者将单直流母线接入无穷大电网或单馈入(single-infeed HVDC, SIDC)系统作为反映电压稳定机理的最小系统，并致力于将在SIDC系统中所发现的规律推广到MIDC系统. 在SIDC系统中，交流侧的短路比(short circuit ratio, SCR)对交直流系统的无功/电压、有功/电流灵敏度影响最为明显，因此被作为具有良好可观性的电压稳定裕度评估指标. 但是，在将SCR推广应用到MIDC系统时遇到如下研究难题：1）在MIDC系统中，不同LCC-HVDC通过交流电网发生耦合，交直流系统间的相互作用不再存在一一对应性，导致SIDC系统的稳定机理在推广到MIDC系统时缺乏理论保证；2）不同控制方式下的LCC-HVDC对MIDC系统的电压稳定性或灵敏度特性存在显著影响，SCR只与交流系统的拓扑结构、参数相关，缺乏LCC-HVDC控制方式与电压稳定性的本质联系，因而弱化了SCR指标在实际工程中的实用性. 为此，国内外学者借鉴交流系统静态电压稳定研究思路，从有功/电流^[15-16]或无功/电压^[17-18]灵敏度出发，提出多种类型的多馈入短路比(multi-infeed short circuit ratio, MISCR). 该类研究的共同点是，将MIDC系统转化为SIDC系统后，再回归电路等值(功率等值^[19])或模态解耦(网络模态解耦^[15,17])，这跟复杂交流系统电压稳定的研究思路无异. 以广义短路比(Generalized short circuit ratio, gSCR)^[15,17]为代表的研究引入模态解耦的思路，针对LCC-HVDC存在同构性的标称MIDC系统，借鉴文献[12]的思路将交流网络解耦，可以获得与MIDC系统稳定性保持一致的SIDC系统，从理论层面指出MISCR存在稳健临界值的条件.

尽管不同LCC-HVDC控制方式的影响效果已经有了数值计算和动态仿真的确认，但是大部分计及LCC-HVDC控制方式的SCR计算仍立足于电路等值类的方法，未能建立LCC-HVDC控制方式与系统雅克比矩阵奇异性的本质联系. 为此，本研究提出基于交流系统雅克比矩阵主导模式灵敏度性质的定性分析方法. 统一LCC-HVDC不同控制方式下直流侧电压稳定雅克比矩阵(voltage stability Jacobian matrix, VSJM)的建模方法，得到不同控制方式下直流端口特性的数值特征^[20]，同时揭示此类研究的建模思路本质.

交直流系统电压稳定研究采用的LCC-HVDC单馈入系统等效电路如图1所示，该电路包含直流逆变器与交流电网2个部分. 其中直流侧有功功率、电压、电流、关断角和换相电抗，分别用 ${P_d}$、 ${U_d}$、 ${I_d}$、 $\gamma $和 $X$表示；交流电网经戴维南等值后，用电压源E与阻抗Z串联表示. 为了方便后续分析，假定交流电网为纯感性网络.

本研究在单馈入系统的准稳态方程组^[21]基础上，采用文献[22]中的标幺化方法，建立标幺值模型：

(1) $ {U_d} = 3\sqrt 2 {\text{π} ^{ - 1}}NK{k^{ - 1}}U\cos \gamma - 3{\text{π} ^{ - 1}}N{k^{ - 2}}X{I_d}， $

(2) $ {P_d} = {U_d}{I_d}， $

(3) $ {Q_d} = - {P_d}\tan \varphi ， $

(4) $ \cos \varphi = \cos \gamma - \frac{{X{I_d}}}{{\sqrt 2 KkU}}， $

(5) $ P = {P_d} - {{UE\sin \theta } \mathord{\left/ {\vphantom {{UE\sin \theta } Z}} \right. } Z}， $

(6) $ Q = {Q_d}+\omega {B_{\rm{c}}}{U^2} - {{\left( {{U^2} - UE\cos \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{U^2} - UE\cos \theta } \right)} Z}} \right. } Z}. $

式中：k为直流侧电压基准值与交流测电压基准值的比值，其余变量定义见文献[21]、[22]. 式(1)~(4)均表示逆变器端口特性，式(5)、(6)表示交直流系统耦合特性. 式(1)~(6)可以直接代入各变量标幺值进行计算. LCC-HVDC存在4种主要控制方式：定功率定息弧角(constant power constant extinction angle, CP-CEA)，定电流定息弧角(constant current constant extinction angle, CC-CEA)，定功率定电压(constant power constant voltage, CP-CV)和定电流定电压(constant current constant voltage, CC-CV)，本研究具体分析LCC-HVDC控制方式对直流侧雅克比矩阵的影响.

LCC-HVDC交直流系统电压稳定的前提是节点吸收的无功功率与交流电压存在负反馈关系，若当增加直流并网点无功补偿时交流电压下降，则认为发生电压失稳. 文献[19]提出二阶雅克比矩阵奇异作为交直流系统临界电压稳定判据：

(7) $ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta P}， &{\Delta Q} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{\boldsymbol{J}}_{{\text{SVS}}}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \theta }， &{{{\Delta U} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta U} U}} \right. } U}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}. $

$ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{SVS}}}} $是直流端口灵敏度与交流端口灵敏度的组合，

(8) $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{SVS}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{p\theta }}}&{{J_{pv}}+{{J'}_{{P_d}U}}} \\ {{J_{q\theta }}}&{{J_{qv}}+{{J'}_{{Q_d}U}}} \end{array}} \right]. $

式中： $ {J_{p\theta }} $、 $ {J_{pv}} $、 $ {J_{q\theta }} $和 $ {J_{qv}} $为交流网络侧雅克比矩阵的各个组成部分(含滤波电容 ${B_{\rm{c}}}$)； $ {J'_{{P_d}U}} $为直流侧雅克比矩阵中的有功/电压灵敏度， $ {J'_{{Q_d}U}} $为直流侧雅克比矩阵中的无功/电压灵敏度，在不同控制方式下 $ {J'_{{P_d}U}} $、 $ {J'_{{Q_d}U}} $的具体表达式不同.

CP-CEA、CC-CEA控制下的直流端口灵敏度及其推导过程分别如下. 1）在CP-CEA控制方式下，直流传输功率 ${P_d}$为给定的指令值，令 $\Delta {P_d} = 0$，有如下公式成立：

(9) $ {J'_{{P_d}U}} = \frac{{\partial {P_d}}}{{\partial U}} = 0， $

(10) $ {J'_{{Q_d}U}} = \frac{{\partial {Q_d}}}{{\partial U}} = 2{P_d}cK\left( c \right). $

式中： $ c $、 $ K\left( c \right) $的定义见附录A. 式(9)、(10)的推导过程详见附录A. 2）在CC-CEA控制方式下，直流电流 ${I_d}$为给定的指令值，令 $\Delta {I_d} = 0$，有如下公式成立：

(11) $ {J'_{{P_d}U}} = \frac{{\partial {P_d}}}{{\partial U}} = 3\sqrt 2 {{\text{π}} ^{ - 1}}NK{k^{ - 1}}{I_d}\cos \gamma ， $

(12) $ {J'_{{Q_d}U}} = \frac{{\partial {Q_d}}}{{\partial U}} = - \left( {{U_d}+3{\text{π} ^{ - 1}}NX{k^{ - 2}}{I_d}} \right){I_d}\tan \varphi +{P_d}cK\left( c \right). $

式(11)、(12)的推导过程详见附录A.

根据本研究选择的无功正方向，当电压稳定时，有下列条件成立：

(13) $ \Delta Q={J}_{\text{S}}\Delta U/U\text{，}{J}_{\text{S}} < 0. $

式中： $ {J_{\text{S}}} = {J_{qv}}+{J'_{{Q_d}U}} - \left( {{J_{pv}}+{{J'}_{{P_d}U}}} \right)J_{p\theta }^{ - 1}{J_{q\theta }} $，为交直流系统的无功/电压灵敏度，负值说明当直流侧消耗的无功功率增加时交流电网电压幅值下降，即交直流系统电压稳定.

文献[21]、[22]中的推导方法可以概括为从交直流系统准稳态方程组入手，结合观察和变量替换实现的方法. 这类方法缺乏系统性，难以对多种控制方式下的直流端口灵敏度进行统一推导. 为了能够系统地从消元法角度推导出CP-CEA/CC-CEA/CP-CV/CC-CV4种控制方式下适用于电压稳定分析的雅克比矩阵，在自变量中补充关断角微增量 $\Delta \gamma $和 $ \Delta {I_d} $，并在因变量中补充直流侧电压微增量 $\Delta {U_d}$和 $ \Delta {P_d} $，据此建立包含所有控制方式的四阶雅克比矩阵为

(14) $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {U_d}} \\ {\Delta {P_d}} \\ {\Delta P} \\ {\Delta Q} \end{array}} \right] = {{\boldsymbol{J}}_{{\text{total}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta \gamma } \\ {\Delta {I_d}} \\ {\Delta \theta } \\ {{{\Delta U} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta U} U}} \right. } U}} \end{array}} \right]. $

$ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{total}}}} $是直流端口特性与交流端口特性的组合，具体表达式见附录B.

补充变量的方式不是唯一的，为了简化雅克比矩阵的建模过程，须遵循的原则如下. 1）成对补充具有相关性的变量. 如当 $ \Delta {I_d} $为正时常对应正的 $ \Delta {P_d} $；当受端的 $\Delta \gamma $为正时，常带来负的 $\Delta {U_d}$. 因此，变量之间具有明确的相关性是选取变量的原则之一. 2）所选2对变量分别为送端的控制变量，如 $ \Delta {I_d} $、 $ \Delta {P_d} $；或者受端的控制变量，如 $\Delta \gamma $、 $\Delta {U_d}$. 这样可以将控制方式的转化直接对应到线性方程系统的消元，即通过消除方程左侧或右侧的变量进行控制方式的切换. 该过程均可对应直接的矩阵变换，如舒尔补或删除一行和一列.

CP-CV/CC-CV控制方式下的VSJM均通过对相应四阶雅克比矩阵进行消元变换得到. 对于CP-CV控制方式， $\Delta {U_d} = \Delta {P_d} = 0$，VSJM是式(14)代表的线性方程组消除变量 $\Delta {U_d}$、 $\Delta {P_d}$，或者矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{total}}}} $向右下角做舒尔补的结果，表示为

(15) $ \begin{split} {{\boldsymbol{J}}_{{\text{SVS}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{p\theta }}}&{{J_{pv}}} \\ {{J_{q\theta }}}&{{J_{qv}}+{J_{{Q_d}U}} - {J_{{Q_d}\gamma }}{J_{{U_d}\gamma }}^{ - 1}{J_{{U_d}U}} - \varSigma } \end{array}} \right] = \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {U^2}{Z^{ - 1}}}&{ - {P_d}} \\ { - {P_d}}&{\left( {1 - \cos \gamma } \right){P_d}cK\left( c \right)+2\omega {B_{\rm{c}}}{U^2} - \dfrac{{{U^2}}}{Z}} \end{array}} \right]. \\ \end{split} $

其中 $\varSigma = \dfrac{{\left( {{J_{{Q_d}{I_d}}} - {J_{{Q_d}\gamma }}{J_{{U_d}\gamma }}^{ - 1}{J_{{U_d}{I_d}}}} \right)\left( {{J_{{P_d}U}} - {J_{{P_d}\gamma }}{J_{{U_d}\gamma }}^{ - 1}{J_{{U_d}U}}} \right)}}{{\left( {{J_{{P_d}{I_d}}} - {J_{{P_d}\gamma }}{J_{{U_d}\gamma }}^{ - 1}{J_{{U_d}{I_d}}}} \right)}}$,矩阵元素具体内容详见附录B. CP-CV控制方式对应的直流端口外特性表示为 $ {J'_{{P_d}U}} = 0 $， ${J'_{{Q_d}U}} = \left( {1 - \cos \gamma } \right){P_d}cK\left( c \right)$.

对于CC-CV控制方式， $\Delta {U_d} = \Delta {I_d} = 0$，VSJM是式(14)代表的线性方程组消除变量 $ \Delta {U}_{d}、\Delta {I}_{d} $，或者分2步进行矩阵变换：1）将矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{total}}}} $第1行和第1列舒尔补后得到3阶矩阵：

(16) $ \begin{split} &{{\boldsymbol{J}}_{{\text{PB}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{{P_d}{I_d}}}}&0&{{J_{{P_d}U}}} \\ {{J_{{P_d}{I_d}}}}&{{J_{p\theta }}}&{{J_{pv}}+{J_{{P_d}U}}} \\ {{J_{{Q_d}{I_d}}}}&{{J_{q\theta }}}&{{J_{qv}}+{J_{{Q_d}U}}} \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{{P_d}\gamma }}} \\ {{J_{{P_d}\gamma }}} \\ {{J_{{Q_d}\gamma }}} \end{array}} \right] \times \\ &{J_{{U_d}\gamma }}^{ - 1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{J_{{U_d}{I_d}}}}， &0， &{{J_{{U_d}U}}} \end{array}} \right] = \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{U_d}} & 0 &0 \\ {{U_d}} & { - {U^2}{Z^{ - 1}}} & { - {P_d}} \\ { - {U_d}\tan \varphi } & { - {P_d}} & {\left( {1 - \cos \gamma } \right){P_d}cK\left( c \right) + 2\omega {B_{\rm{c}}}{U^2} - \displaystyle\frac{{{U^2}}}{Z}} \end{array}} \right]. \end{split}$

2）删除矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{PB}}}} $的第1行和第1列后的结果:

(17) $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{SVS}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {U^2}{Z^{ - 1}}}&{ - {P_d}} \\ { - {P_d}}&{\left( {1 - \cos \gamma } \right){P_d}cK\left( c \right)+2\omega {B_{\rm{c}}}{U^2} - \dfrac{{{U^2}}}{Z}} \end{array}} \right]. $

对比式(15)和(17)可知，CP-CV/CC-CV控制方式下的VSJM完全一致. Lee等^{[19, 23]}大多从控制特性出发，启发式地认为CP-CV/CC-CV控制方式下的VSJM一致，并利用CP-CV控制方式进行简化推导，缺乏严格的数学理论基础. 本研究基于消元法思路系统地通过CP-CV/CC-CV下的VSJM，揭示这2种控制方式下VSJM一致的原因：当 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{total}}}} $消元为三阶矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{PB}}}} $时， $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{PB}}}} $的第1行存在的2个零元素，使得矩阵舒尔补和直接消除第1行和第1列的效果等价.

四阶雅克比矩阵推导CP-CEA/CC-CEA控制方式下VSJM的过程如下：1）针对CP-CEA，可以直接由 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{total}}}} $在删除第1行和第1列后，向右下角做舒尔补得到对应的二阶VSJM；2）针对CC-CEA，由 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{total}}}} $删除前面2行和2列后，得到对应的VSJM.

4种控制方式下的LCC-HVDC端口外特性具有3种表达式，对应3种数值特征. 本研究采用CIGRE标准直流测试系统参数^[20]，将系统参数代入所得外特性矩阵式(9)~(12)和(15)、(17)，得到外特性数值特征列表. 观察并总结发现：只有CP-CEA控制方式下的无功/电压灵敏度是正数，其余都是负数；只有当该灵敏度为正时，配合弱电网才有可能导致电压不稳定.

以MIDC系统交流电网部分的雅克比矩阵为标称矩阵，把接入的直流雅克比矩阵当作对标称矩阵的摄动，研究摄动后标称矩阵主导特征值的运动方向，即定性分析不同控制方式下的直流接入对系统电压稳定主导模式的影响.

如图2所示为直流多馈入系统的拓扑图. 本研究分析交流网络侧(外电网的戴维南等值电路)的雅克比矩阵性质(不含滤波电容 $ {B_{\rm{c}}} $). 将直流系统当作恒功率负荷 $ {P_i} $，直流系统的无功功率就地补偿( $ {Q_i} = {Q_j} = 0 $)，交流电网为纯感性网络，列写交流侧潮流方程组并进行线性化，得到交流网络的雅克比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $为^[2]

(18) $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\Delta {\boldsymbol{P}}}}/{{\boldsymbol{U}}}} \\ {{{\Delta {\boldsymbol{Q}}}}/{{\boldsymbol{U}}}} \end{array}} \right] \approx \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{H}}&{\boldsymbol{N}} \\ {\boldsymbol{M}}&{\boldsymbol{L}} \end{array}} \right]}_{{{\boldsymbol{J}}_{{\text{ne}}t}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {\delta }} \\ {\Delta {\boldsymbol{U}}/{\boldsymbol{U}}} \end{array}} \right]. $

4个分块矩阵的元素分别为

(19) $ {H_{ij}} =\left\{ \begin{array}{l} {{U_i}{U_j}{B_{ij}}\cos \left( {{\theta _i} - {\theta _j}} \right)}, \qquad {i \ne j}; \\ {U_i^2{B_{ii}}}, \, \ \ \ \quad \qquad \qquad \qquad {i = j}. \\ \end{array} \right. $

(20) $ {N_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} { - {U_i}{U_j}{B_{ij}}\sin \left( {{\theta _i} - {\theta _j}} \right)},\qquad {i \ne j} ; \\ { - {P_i}} , \, \quad \qquad \qquad \qquad \qquad {i = j} . \\ \end{array} \right. $

(21) $ {M_{ij}} = \left\{ \begin{array}{l} {{U_i}{U_j}{B_{ij}}\sin \left( {{\theta _i} - {\theta _j}} \right)}, \;\;\qquad{i \ne j}; \\ { - {P_i}} , \; \ \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad {i = j} . \\ \end{array} \right. $

(22) $ {L_{ij}} =\left\{ \begin{array}{l} {{U_i}{U_j}{B_{ij}}\cos \left( {{\theta _i} - {\theta _j}} \right)}, \,\;\; \qquad {i \ne j}; \\ {U_i^2{B_{ii}}} , \ \ \qquad \qquad \qquad \qquad {i = j}. \\ \end{array} \right. $

考虑额定运行时直流并网点的电压幅值约为1p.u.( ${U_i} \approx {U_j} \approx 1{\rm{p.u.}}$)，同时考虑2条直流馈入点之间的相角差较小( $ \cos \left( {{\theta _i} - {\theta _j}} \right) \approx 1,\sin \left( {{\theta _i} - {\theta _j}} \right) \approx 0 $)，近似后的交流网络侧雅克比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $为^[15]

(23) $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\Delta {\boldsymbol{P}}}}/{{\boldsymbol{U}}}} \\ { {{\Delta {\boldsymbol{Q}}}}/{{\boldsymbol{U}}}} \end{array}} \right] \approx \underbrace {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{B}}&{ - {\rm{diag}}({P_i})} \\ { - {\rm{diag}}({P_i})}&{\boldsymbol{B}} \end{array}} \right]}_{{{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {\delta }} \\ {\Delta {\boldsymbol{U}}/{\boldsymbol{U}}} \end{array}} \right]. $

对角矩阵 ${\rm{diag}}({P_i})$的对角元为各个直流的额定功率 ${P_i}$；交流系统导纳矩阵B中自导纳符号满足B_ii<0，表达式为

(24) $ {\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_{11}}}&{{B_{12}}}& \cdots &{{B_{1n}}} \\ {{B_{21}}}&{{B_{22}}}& \cdots &{{B_{2n}}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {{B_{n1}}}&{{B_{n2}}}& \cdots &{{B_{nn}}} \end{array}} \right]. $

注1：B为对角占优的负定(对称)矩阵， ${\rm{diag}}({P_i})$为对角元均大于0的正定矩阵.

分析交流雅克比矩阵 ${{\boldsymbol{J}}_{{{{\rm{net}}}}}}$(标称矩阵)的主导模态对应特征向量的性质，考虑该矩阵为对称矩阵，左右特征向量相等，由特征向量的性质直接得到 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $的特征值对 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $所有元素的灵敏度矩阵. 推导过程如下.

1）定义矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $的特征值为 $\lambda $，特征方程满足

(25) $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{B}}&{ - {\rm{diag}}({P_i})} \\ { - {\rm{diag}}({P_i})}&{\boldsymbol{B}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{x}} \\ {\boldsymbol{y}} \end{array}} \right] = \lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{x}} \\ {\boldsymbol{y}} \end{array}} \right]. $

式中： ${\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{y}} \in {{\bf{R}}^n}$为n维非零列向量，这2个向量排列后为矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $的特征向量. 将式(25)的2个方程组分别相加和相减得到

(26) $\;\;\;\,\left[ {{\boldsymbol{B}} - {\rm{diag}}({P_i})} \right]\left( {{\boldsymbol{x}}+{\boldsymbol{y}}} \right) = \lambda \left( {{\boldsymbol{x}}+{\boldsymbol{y}}} \right)， $

(27) $ \left[ {{\boldsymbol{B}}+{\rm{diag}}({P_i})} \right]\left( {{\boldsymbol{x}} - {\boldsymbol{y}}} \right) = \lambda \left( {{\boldsymbol{x}} - {\boldsymbol{y}}} \right). $

${\boldsymbol{x}} - {\boldsymbol{y}}$和 ${\boldsymbol{x}}+{\boldsymbol{y}}$不可能同时为0， $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $的特征值 $\lambda $同时也是矩阵 ${\boldsymbol{B}} - {\rm{diag}}({P_i})$或 ${\boldsymbol{B}}+{\rm{diag}}({P_i})$的特征值. 2）结合注1中的矩阵性质可知，矩阵 ${\boldsymbol{B}}+{\rm{diag}}({P_i})$可能奇异，矩阵 ${\boldsymbol{B}} - {\rm{diag}}({P_i})$始终负定. 因此，令 ${\boldsymbol{z}} \in {{\bf{R}}^n}$为矩阵 ${\boldsymbol{B}}+{\rm{diag}}({P_i})$关于特征值 $\lambda $的特征向量，

(28) $ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{B}}&{ - {\rm{diag}}({P_i})} \\ { - {\rm{diag}}({P_i})}&{\boldsymbol{B}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{z}} \\ { - {\boldsymbol{z}}} \end{array}} \right] = \lambda \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{z}} \\ { - {\boldsymbol{z}}} \end{array}} \right]. $

特征值对矩阵元素的灵敏度由特征向量构成^[20]，将特征值 $\lambda $关于 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $所有元素的灵敏度表示为

(29) $ \frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}{{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{z}} \\ { - {\boldsymbol{z}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{z}}^{\text{T}}}}，&{ - {{\boldsymbol{z}}^{\text{T}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{z}}{{\boldsymbol{z}}^{\text{T}}}}&{ - {\boldsymbol{z}}{{\boldsymbol{z}}^{\text{T}}}} \\ { - {\boldsymbol{z}}{{\boldsymbol{z}}^{\text{T}}}}&{{\boldsymbol{z}}{{\boldsymbol{z}}^{\text{T}}}} \end{array}} \right]. $

工程上LCC-HVDC单馈入系统的短路比近似满足条件^[22]：

(30) $ {\text{SCR}} = - \frac{{{B_{ii}}+\displaystyle \sum\limits_{i \ne j} {{B_{ij}}} }}{{{P_i}}} \geqslant a > 1. $

式(30)等价于B的元素( $ {B_{ii}} < 0,{B_{ij}} > 0 $)满足：

(31) $ {B_{ii}}+{P_i} \leqslant - \sum\limits_{i \ne j} {{B_{ij}}} - \left( {a+1} \right){P_i} < - \sum\limits_{i \ne j} {{B_{ij}}} . $

因此，矩阵 $- \left( {{\boldsymbol{B}}+{\rm{diag}}({P_i})} \right)$仍然是对角占优的M矩阵^[20]. 若所分析的特征值 $\lambda $为 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}} $的主导特征值(等价于矩阵 ${\boldsymbol{B}}+{\rm{diag}}({P_i})$的主导特征值)，向量 ${\boldsymbol{z}}$的所有元素同正或负号(M矩阵的主导特征值对应的特征向量元素同号^[20])，则灵敏度矩阵具有符号分布性质，即

(32) $ {{\rm{sgn}}} \left( {\frac{{{\rm{d}}\lambda }}{{{\rm{d}}{{\boldsymbol{J}}_{{\text{net}}}}}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} +&+& - & - \\ +&+& - & - \\ - & - &+&+ \\ - & - &+&+ \end{array}} \right]. $

式中： $ \mathrm{sgn}(·) $为符号函数，+代表矩阵元素为正，−代表矩阵元素为负.

本研究所提的定性分析方法的全部内容如图3所示. 由图可知，定性分析的基本思路是将交流侧雅克比矩阵视为标称矩阵，将直流侧雅克比矩阵作为摄动矩阵，二者相加得到交直流系统的雅克比矩阵；利用交流侧雅克比矩阵的主导特征值，加上特征值摄动，以近似计算交直流系统的主导特征值；利用式(32)中标称矩阵主导模态灵敏度的符号分布特征，可以直接得到在不同控制方式下特征值摄动量的正负符号，据此可知交流系统在接入CP-CEA控制方式下的LCC-HVDC后，系统电压稳定裕度下降；接入其余3种控制方式下的LCC-HVDC后(已忽略滤波电容)，系统电压稳定裕度上升. 定性分析的具体过程如下. CP-CEA控制方式下的直流侧雅克比矩阵的符号与式(32)的符号分布一致，导致标称矩阵主导特征值 $\lambda $从负半轴沿着实数轴向原点运动，同时降低交直流系统的电压稳定裕度；其余3种控制方式下雅克比矩阵符号均与式(32)的符号分布相反. 因此，可以根据本文所提的交流网络雅克比矩阵主导模态灵敏度符号分布特征，定性比较LCC-HVDC的4种控制方式对系统电压稳定性的影响.

为了对本研究所提矩阵建模方法和主导模态灵敏度符号分布性质进行有效性分析，采用如图1、2所示的LCC-HVDC单/多馈入系统准稳态模型进行算例分析. LCC-HVDC采用CIGRE标准直流测试系统参数^[20]，直流侧额定功率为1 000 MW，额定电压为500 kV，交流侧额定线电压有效值为230 kV，变压器变比K=211.42/230，交直流电压基准值的比例k=500/230. 假定直流端口电压 $U = 1$p.u.，本研究采用SCR度量交流系统强度对相互作用的影响， ${\text{SCR}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 Z}} \right. } Z}$.

LCC-HVDC交直流系统电压稳定性受到逆变侧有功功率和无功功率对换相电压幅值灵敏度的影响，因此需要对单馈入系统在4种控制方式下的电压灵敏度 $ {J'_{{P_d}U}} $和 $ {J'_{{Q_d}U}} $进行数值分析. CIGRE标准直流测试系统在4种控制方式下的电压灵敏度计算结果如表1所示. 表中，只有当直流系统处于CP-CEA控制方式下时，直流系统发出的无功功率(在本研究中为负数)与电压幅值之间的灵敏度J_s为正，这表明当系统电压跌落时，直流将吸收更多无功，加剧交流侧电压跌落程度. 其余3种控制方式下均具有较好的电压稳定性. 对比文献[23]中表2的数据可以看出，表1前3行的数据与文献[23]的基本一致(仅有的差异来源于准稳态模型和参数设置的区别)，说明所提四阶雅克比矩阵建模方法的有效性.

如图4所示为4种控制方式下 ${J_{\rm{s}}}$在不同SCR时的计算结果. 图中，曲线 ${J_{{\rm{s}}1}}$、 ${J_{{\rm{s}}2}}$、 ${J_{{\rm{s}}3}}$和 ${J_{{\rm{s}}4}}$，分别代表CP-CEA、CC-CEA、CP-CV和CC-CV控制方式下的计算结果. 当 $ {J_s} < 0 $时，系统静态电压稳定，可以看出：CP-CEA控制的静态电压稳定裕度最小，易发生电压稳定问题，CC-CEA稳定裕度处于中间，CP-CV/CC-CV控制方式下静态电压稳定裕度最大. 此外，在CP-CEA控制下，当 $ {J_s} = 0 $时，对应的临界短路比约为2.06.

鉴于有源受端电网正常运行时普遍采用定息弧角控制方式(定电压易遭受换相失败)，补充基于PSCAD平台的电磁暂态仿真分析(采用软件自带的CIGRE标准模型). 如图5所示，当交流电网强度下降时，即通过增大SIDC系统交流侧阻抗，使SCR减小到2以下，可见CP-CEA控制下交流侧电压跌落到0.5 p.u.，CC-CEA控制下交流侧电压在1 p.u. 处等幅振荡. 图5(a)、(b)中对应的SCR，分别为1.88、1.68. 上述结果说明，CP-CEA控制下的直流受端系统可能发生电压崩溃，CC-CEA控制下的直流受端系统可能发生电压振荡，这与本研究的数值计算结果匹配，进一步说明所提分析方法的有效性.

在灵敏度矩阵符号分布性质的推导过程中对交流网络潮流提出假设条件，为此通过数值计算分析当假设条件不完全满足时，所得结论的有效性. 给出交流网络参数，按照图2中的图示，设置三馈入系统的外电网等值电压幅值 ${\boldsymbol{E}}$均为1 p.u.，直流侧注入系统的功率均为1 p.u.，节点导纳矩阵为

$ {\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 13}&1&1 \\ 1&{ - 8}&{1.5} \\ 1&{1.5}&{ - 7} \end{array}} \right]. $

直流并网点的电压相角分别为5.2°、10.5°和12.8°. 代入简化前的雅克比矩阵式(18)后，得到灵敏度矩阵的分布特性如图6所示. 当考虑直流馈入节点之间的相角差存在时，通过近似雅克比矩阵分析得到的网络侧主导模态灵敏度的符号分布特性依然存在，说明了所提定性分析方法的有效性.

采用基于PSCAD仿真平台的时域仿真进一步说明定性分析所得结论的有效性. 为了说明LCC-HVDC不同控制方式对系统电压稳定裕度的影响，采用电磁暂态仿真分析含CP-CEA和CC-CV2种控制方式直流的两馈入系统临界稳定条件. 仿真设置情况如下：P₁为CP-CEA控制下的LCC-HVDC输出有功功率，P₂为CC-CV控制下的LCC-HVDC输出有功功率，动态模型采用PSCAD自带的CIGRE标准模型. 两馈入系统的节点导纳矩阵为

$ {\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2.35}&{1.19} \\ {1.19}&{ - 3.04} \end{array}} \right]. $

此时两馈入系统对应的临界广义短路比约为1.56 (若两馈入均为CP-CEA控制，则临界广义短路比约为2.06^[17])，平衡点已经接近电压失稳边界，因此，在0.7s时增大直流电流指令后功率开始振荡. 如图7所示，CP-CEA控制下功率下跌程度比CC-CV控制下更大，CC-CV控制对电压稳定有一定的支撑作用.

（1）为了统一分析LCC-HVDC的4种常规控制方式对交直流系统电压稳定性的影响，提出基于四阶雅克比矩阵的建模方法和基于网络灵敏度的定性分析方法，取得如下分析结果. 1）直流不同控制方式下的电压稳定雅克比矩阵均可由同个四阶雅克比矩阵通过消元法思路转化而来. 2）通过本研究所提四阶雅克比矩阵，从方程组消元角度提出CP-CV/CC-CV控制方式下电压灵敏度的推导过程，发现2种控制下的VSJM或电压灵敏度完全一致，数学机理在于四阶雅克比矩阵经一次消元所对应的三阶雅克比矩阵的第1行中有2个零元素. 3）通过对单馈入系统电压稳定性分析和对多馈入系统网络模态灵敏度的定性分析，给出CP-CEA控制方式下系统更易发生电压失稳的数学机理，为多馈入系统的电压稳定裕度判断提供定性分析的思路.

（2）鉴于当前直流多馈入系统的评估方法研究普遍采用电路等值+局部指标的研究思路，未能建立不同控制方式与系统雅克比矩阵奇异性之间的联系，导致评估指标缺乏稳健的临界值. 广义短路比等模态解耦类指标尚未覆盖全部4种控制方式，本研究在一定程度上推动了模态分析在多馈入短路比研究中的应用，未来将根据本研究的定性分析结果研究多馈入短路比的实用计算方法.