在我国的钢结构建筑物中，钢塔架结构的应用广泛. 塔柱是钢塔架结构的主要受力构件，承受较大的轴向压力，容易在达到钢材的屈服强度前发生失稳破坏^[1]. 局部失稳会导致整体破坏，钢塔架结构发生倾覆. 因此，失稳破坏是钢结构建筑物中不容忽视的问题^[2].

Timoshenko 等^[3]针对杆间有支撑两端简支压杆的稳定承载力问题进行了理论推导. 谢鹏^[2]对Timoshenko 等^[3]的理论推导结果进行了试验验证. 王祖能^[1]的研究表明，压杆稳定承载力随着拉压弹簧刚度的增加而线性增加，在拉压弹簧刚度达到一定值后，压杆稳定承载力达到峰值，此时杆间的拉压弹簧支撑可视作无穷刚度的横向支撑. Foster等^[4]通过计算机程序计算验证了钢结构设计中支撑构件的作用. 王述红等^[5] 使用稳定函数计算并分析了带支撑结构的整体稳定性. 石永久等^[6-7]提出高性能钢材未来的发展方向以及稳定设计方法. Bleich^[8]补充了压杆失稳理论计算的方法. Peng^[9]研究了具有支撑结构系统的整体失稳性能. 刘占科等^[10]系统归纳了不同国家和地区的现行钢结构设计规范，分析了钢结构稳定设计的研究现状. 于春海等^[11]通过试验研究了Q420角钢构件轴心受压承载力. 在压杆失稳方面，许多学者针对构件几何初始缺陷、残余应力、杆间约束等因素进行了理论计算及有限元分析^[12-18].

王祖能等^[1-2]分别将实际工程中的钢塔架结构简化成为杆间仅存在拉压弹簧支撑的两端简支以及两端固定压杆模型，将压杆周边支撑杆件考虑为仅存在拉压刚度支撑，不存在扭转刚度约束. 实际上，压杆周围支撑构件的抗扭作用是不能忽略的，扭转约束对压杆的稳定承载力影响也尤为明显. 针对具有杆间弹性支撑的压杆稳定性问题已有相关理论和试验研究，但针对具有杆间扭转约束的压杆失稳问题的相关理论和试验研究鲜有. 为此，将针对具有杆间扭转约束的两端固定压杆进行失稳研究.

简化工程中的钢塔架局部模型以便进行理论推导. 如图1所示为钢塔架局部受力模型，受压杆为受力分析杆件，支撑梁和支撑柱共同组成受压杆的支撑系统. 压杆失稳问题是三维问题，若将图1模型看作三维模型，坐标系包含轴x、y、z，将杆间支撑系统对压杆的约束作用简化为具有一定刚度的横向约束和扭转约束，则在平面x-y、x-z、y-z内支撑系统对压杆中点均存在2个约束（横向约束、扭转约束）. 为了简化研究，一般在压杆失稳的平面内讨论压杆失稳问题，王祖能^[1]研究了压杆在平面x-z内的横向约束刚度对稳定承载力的影响，但忽略了扭转约束的影响.

在杆间支撑系统作用下，图1模型的压杆在平面x-y发生失稳. 本研究在王祖能^[1]讨论杆间弹性支撑的基础上，讨论杆间的扭转约束对压杆稳定承载力的影响，根据文献[1]的结论将图1简化为如图2所示理论模型，即杆间具有横向无穷刚度支撑及扭转弹簧约束的两端固定压杆模型，针对简化理论模型推导受压杆的稳定承载力与扭转弹簧刚度的关系. 图中，c为中部扭转弹簧刚度， $ \theta $为杆件中部转角，扭转弹簧对杆件产生弯矩 $ c\theta $， M_A为压杆底端点A的弯矩，M_B为压杆顶端点B的弯矩，F_A、F_B分别为对应点的剪力，l为压杆的长度，P为压杆承载力.

轴压杆件的稳定性问题本质上属于整体变形效应，宜在微小弯曲平衡状态下计算. 因此，基于小挠度理论，运用挠度曲线微分方程推导压杆稳定承载力与扭转弹簧刚度的关系. 确定坐标系如下：杆件轴向为x方向，杆件挠度变形方向为y方向，弯矩cθ以逆时针方向为正方向. 以扭转弹簧约束为界限，截取上下侧截面作为隔离体分别讨论.

情况1：截取隔离体的截面在扭转弹簧约束下侧，即0≤x≤l/2时，如图3所示. 根据隔离体建立平衡方程，对点A取矩，计算式为

(1) $ {M_{{A}}}+Py - M\left( x \right) - {F_{{A}}}x = 0. $

将挠度的二次微分等效为曲率，得到

(2) $ {M_{{A}}}+Py+EIy'' - {F_{{A}}}x = 0. $

令 ${k^2} = P/EI$，化简式（2）为

(3) $ y''+{k^2}y+\frac{1}{{EI}}\left( {{M_{{A}}} - {F_{{A}}}x} \right) = 0. $

求解式（3），得到杆件挠度曲线为

(4) $ {y = }{{A}_1}\sin{(kx)+}{{B}_1}\cos{(kx)} - \frac{1}{{P}}\left( {{{M}_A} - {{F}_A}{x}} \right) . $

利用边界条件： $ {y}\left( 0 \right) = 0,\;{y'}\left( 0 \right) = 0 $.求解A₁、B₁后代入式（4），得到

(5) $ {y = } - \frac{{{{F}_A}}}{{{kP}}}\sin{(kx)+}\frac{{{{M}_A}}}{{P}}\cos{(kx)} - \frac{1}{{P}}\left( {{{M}_A} - {{F}_A}{x}} \right) . $

将边界条件 $ {y}\left( {{l/}2} \right){ = }0 $代入式（5），得到

(6) $ {y}\left( {\frac{{l}}{2}} \right){ = }\frac{1}{{{kP}}}\left[ {{k}\left( {\cos \left(\frac{{{kl}}}{2}\right) - 1} \right){M_{{A}}} + \left({\frac{{{kl}}}{2} - \sin \left(\frac{{{kl}}}{2} \right)}\right){{F}_{{A}}}} \right]{ = }{\text{0 }}{.} $

情况2：截取隔离体的截面在扭转弹簧约束上侧，即l/2≤x≤l时，如图4所示. 对隔离体的顶点取矩，此时隔离体的平衡方程为

(7) $ - {M_{{A}}}+Py+{F_{{A}}}x - M\left( x \right) - c\theta = 0. $

参照情况1，得到微分方程

(8) $ y''+{k^2}y+\frac{1}{{EI}}\left( {{F_{{A}}}x - {M_{{A}}} - c\theta } \right) = 0. $

求解式（8），得到杆件挠度曲线为

(9) $ y = {A_2}\sin (kx)+{B_2}\cos (kx) - \frac{1}{P}\left( {{F_{{A}}}x - {M_{{A}}} - c\theta } \right). $

常数A₂、B₂由边界条件求得，代入 $ {y}\left( {l} \right) = 0, {y'}\left( {l} \right) = 0 $，

$ \left. \begin{array}{c}{{A}}_{2} = \dfrac{{{F}}_{{A}}\left({(kl)}\sin{(kl)}+\cos{(kl)}\right)-{k}{{M}}_{{A}}\sin{(kl)}-{kc}\theta \sin{(kl)}}{{kP}}{，}\\ {{B}}_{2} = \dfrac{{{F}}_{{A}}\left({(kl)}\cos{(kl)}-\sin{(kl)}\right)-{k}{{M}}_{{A}}\cos{(kl)}-{kc}\theta \cos{(kl)}}{{kP}}. \end{array} \right \} $

代入A₂，B₂及边界条件 $ {y}\left( {{{l}}/{2}} \right){ = }0 $，得到

(10) $\begin{split} {y}\left( {{{l}}/{2}} \right) = &{\dfrac{1}{kP}}\left[{{{k}{{M}_{{A}}}\left( {1 - \cos \left(\dfrac{{kl}}{2}\right)} \right)+{{F}_{{A}}}\bigg( {{kl}\cos \left({\dfrac {kl}{2}} \right)- }}}\right.\\ & {\sin \left(\dfrac{{{kl}}}{2}\right )- \dfrac{{{kl}}}{2}} \bigg)+\left.{{k{c}\theta \left( {1 - \cos \left(\dfrac{{kl}}{2}\right)} \right)}}\right] = 0 . \end{split} $

对式（9）求导，并代入边界条件 $ {y'}\left( {{{l}}/{2}} \right) = \theta $，得到

(11) $\begin{split} {y'}\left( ({{{l}}/{2}} \right) ={\dfrac{1}{P}} &{ }\left[{{{{F}_{{A}}}\left( {{kl}\sin \left(\dfrac{{{kl}}}{2}\right)+\cos \left(\dfrac{{{kl}}}{2}\right) - 1} \right)}} -\right.\\ & \left. {{{k}{{M}_{{A}}}\sin \left(\dfrac{{{kl}}}{2}\right) -}}{{k{c}\theta \sin \left(\dfrac{{{kl}}}{2}\right) }}\Bigg) \right] = \theta . \end{split} $

结合式（6）、（10），得到

(12) $ {{F}_{{A}}} = \dfrac{{{kc}\theta \left( {1 - {\text{cos}}\left(\dfrac{{kl}}{2}\right)} \right)}}{{{kl}\cos\left(\dfrac{{kl}}{2}\right) - 2\sin \left(\dfrac{{kl}}{2}\right)}}{,}\;{{M}_{{A}}} = \dfrac{{{c}\theta \left( {\dfrac{{{kl}}}{2} - \sin\left(\dfrac{{kl}}{2}\right)} \right)}}{{{kl}\cos\left(\dfrac{{kl}}{2}\right) - 2\sin\left(\dfrac{{kl}}{2}\right)}}. $

结合式（11）、（12），得到

(13) $ \dfrac{{{kc}\theta \left( {2 - 2\cos\left(\dfrac{{kl}}{2}\right) - \dfrac{{{kl}}}{2}\sin\left(\dfrac{{kl}}{2}\right)} \right)}}{{{P}\left( {{kl}\cos\left(\dfrac{{kl}}{2}\right) - 2\sin\left(\dfrac{{kl}}{2}\right)} \right)}} = \theta . $

为了方便、直观地绘制两端固定压杆在杆间有扭转弹簧约束情况下的稳定承载力与扭转弹簧刚度的关系曲线，进行如下简化：规定杆间无任何约束时两端简支压杆稳定承载力 $ {P_0} = {{\text{π } }^2}EI/{l^2} $，引入稳定承载力系数 $ \eta $，杆间扭转弹簧约束下的两端固定压杆的稳定承载力 $ P = {\eta ^2}{{\text{π } }^2}EI/{l^2} = {\eta ^2}{P_0} $；规定扭转弹簧刚度基本值 $ {c_0} = {{\text{π } }^2}EI/l $，引入弹簧扭转刚度系数 $ \gamma $，扭转弹簧刚度 $ c = \gamma {{\text{π } }^2}EI/l = \gamma {c_0} $. 式（13）表达为

(14) $ \dfrac{{{\text{π }} \gamma }}{\eta } = \dfrac{{{\text{π }} \eta \cos \left(\dfrac{{{\text{π }} \eta }}{2}\right) - 2\sin\left(\dfrac{{{\text{π }} \eta }}{2}\right)}}{{2 - 2\cos\left(\dfrac{{{\text{π }} \eta }}{2}\right) - \dfrac{{{\text{π }} \eta }}{2}\sin \left(\dfrac{{{\text{π }} \eta }}{2}\right)}} . $

求解不同弹簧扭转刚度系数时对应的 $ \eta $，将弹簧扭转刚度系数 $ \gamma = c/{c_0} $作为横坐标， $ {\eta ^2} = P/{P_0} $作为纵坐标，绘制归一化曲线，如图5所示. 可以看出，杆间有扭转弹簧约束的两端固定压杆稳定承载力随杆间扭转弹簧刚度的增大而增加，但不会无限增加，当扭转弹簧刚度趋于无穷时，压杆稳定承载力无限接近 $ 16{{\text{π } }^2}EI/{l^2} $. 需要注意的是，采用理论推导得到的压杆稳定承载力是不考虑初始缺陷的屈曲荷载. 另外，理论推导方法限于小挠度理论，大变形分析对压杆屈曲后性能的研究计划在后续工作中开展.

设计具有杆间横梁支撑的压杆稳定性试验，验证理论关系公式. 如图6所示，受压杆件采用截面尺寸为Φ16 mm×5 mm的无缝圆钢管，计算长度l=1 600 mm，材料采用Q235钢. 无缝圆钢管满足文献[19]的初始缺陷要求. 使用5根钢管样本进行抗弯刚度测定试验，取其中3根钢管样本的有效结果，分别为642.3、630.4、634.6 N·m²，取平均值，得到试验压杆的抗弯刚度EI=635.8 N·m². 由EI得到对应扭转弹簧刚度基本值 $ {c_0} = $3 921.9 N·m，杆间无任何约束时两端简支杆件稳定承载力 $ {P_0} = $2 451.2 N. 使用杆间横梁支撑代替杆间横向约束和扭转弹簧约束. 共设计不同刚度约束下的6组试验模型，共有6种不同截面的横梁支撑，圆钢管截面尺寸分别为Φ10 mm×1 mm、Φ22 mm×1 mm、Φ22 mm×2 mm、Φ26 mm×2 mm、Φ26 mm×4 mm、Φ26 mm×8 mm，材料采用Q235钢. 每种横梁支撑由2根横梁组成，每根横梁计算长度为0.33 m. 如图7所示，横梁间采用钢板焊接，压杆可以通过钢板的预留孔，并通过夹块与横梁刚接，横梁两端与带连接孔的钢板焊接，以便与滑轨连接.

依托烟台新天地试验技术有限公司YJ-IIA-W 型结构力学组合试验装置，本试验模型如图8所示. 试验模型对应的理论模型如图9所示. 压杆中部具有横梁支撑，且无竖向位移约束，存在横向约束和扭转约束（试验结果表明，压杆在平面x-y发生失稳）. 当横梁对压杆的横向约束达到一定刚度值后（经计算，6种横梁支撑均大于该刚度值），可以将杆间横梁视为无穷刚度的约束^[1]，即图9的理论模型可以对应为图2的理论模型，扭转弹簧的刚度c对应为横梁截面的扭转刚度GJ，2根横梁的截面抗扭刚度 $ GJ = 2G{I_{\rm{P}}}/{l_{\rm{b}}} $，其中I_P为横梁截面的极惯性矩，G为钢材的切变模量，l_b为单根横梁的计算长度.

为了得到试验所用圆钢管钢材的弹性模量E与切变模量G，取3根出厂时的钢管样本制作成标准试件，分别进行拉伸试验，取3次结果的平均值作为最终结果. 使用YDD-LN-I型多功能拉扭试验机进行标准试件拉伸试验. 标准试件满足文献[20]的要求，截面尺寸为Φ16 mm×5 mm，在试件中部分别粘贴1组纵向应变片和1组横向应变片，进行拉伸试验，如图10所示.

拉伸试验开始时，使用YDD-2数据采集分析系统同时采集2组应变片的应变和拉力. 根据力-应变曲线得到钢材的弹性模量E，由纵向应变和横向应变的比值得到钢材的泊松比 $ \nu $，钢材的切变模量 $ G = 0.5E/(1+\nu ) $. 3次试验得到的结果如表1所示. 试验受压钢管和支撑横梁所用Q235钢的E=204 GPa，G=78 GPa.

当轴压杆件失稳时，顶端位移继续增加，荷载开始下降. 本研究量测杆端力和杆件顶端位移，绘制荷载-位移曲线. 试验采用5 t电动缸进行加载，按照位移控制单调加载，使用YDD-2数据采集分析系统、力与位移信号，当荷载下降到峰值的65%~75%时停止加载，存储数据、卸载、更换杆件，重复以上加载步骤.

根据理论关系曲线设计不同扭转刚度（通过调整横梁截面实现）的试验模型. 共设计6组编号分别为MX-1~MX-6的试验模型，同步采集竖向荷载P、压杆顶部竖向位移Δ，并绘制P-Δ曲线. 每组试验模型试验4~6次，取其中3次有效数据，计算平均值后作为试验结果. 以MX-1中的1次试验为例进行详细介绍，其余试验同理. MX-1发生面外失稳，为整体弹性失稳，失稳形态呈S形，如图11所示. 压杆失稳时带动杆间横梁发生扭转，如图12所示.

试验采集得到的MX-1模型的P-Δ曲线如图13所示. 可以看出，试验模型失稳类型为极值点失稳. 理论推导得到的压杆稳定承载力是不考虑初始缺陷的屈曲荷载，由试验模型发生的是极值点失稳可知，试验中的压杆是存在初始缺陷的不完善杆，取压杆的极限承载力（荷载最大值）作为压杆稳定承载力，试验结果如表2所示. 表中，n为试验次数，P_e为压杆承载力的试验值. 根据6种试验模型的横梁抗扭刚度GJ，利用式（14）得到压杆稳定承载力的理论值. 比较试验值与理论值的误差e，如表3所示. 表中，P_t为压杆承载力的理论值. 将6组模型的试验值绘在理论关系曲线中，如图14所示.

由表3可以得到，试验值和理论值误差在9%~13%，且试验值普遍低于理论值. 分析产生误差的原因，有两个方面：支座约束和初始缺陷. 试验采用的两端刚接支座，没有达到理论模型中的完全刚接，是介于刚性支座和铰支座间的约束. 为了验证支座未达到完全刚接，同时为了证明误差与横梁约束无关，设计第7组试验模型，去掉横梁约束，杆间不存在任何约束，进行两端刚接的压杆失稳试验. 试验流程同前6组试验，得到3次有效试验结果，极限承载力分别为9.17、9.08、9.01 kN，取平均值，得到P_e=9.09 kN，P_t=4P₀=4×2451.2 N=9.80 kN，e=−7.2%. 另外，理论推导得到的压杆稳定承载力不考虑初始缺陷的屈曲荷载，试验中的压杆是存在初始缺陷的不完善杆，考虑初始缺陷后压杆的试验承载力比理论承载力小.

使用有限元软件Abaqus 进行数值分析，计算压杆稳定承载力. 根据试验模型MX-1~MX-6建立有限元模型，杆长l=1.6 m，截面尺寸为Φ16 mm×5 mm，设置材料的E=204 GPa，v=0.3. 横梁尺寸根据试验模型设置（边界条件同图9），使用Abaqus进行特征值屈曲分析，压杆失稳前后形态如图15所示. 将压杆稳定承载力与试验值和理论值进行比较，如表4所示. 表中，P_f为压杆承载力的有限元值，e_f为P_f与P_e的误差，e_t为P_t与P_e的误差. 可以看出， 6种试验模型的试验值与有限元值误差在11%~16%，且试验值普遍低于有限元值，误差原因与前述误差分析相同. 试验中的压杆由于存在初始缺陷，得到的承载力低于理论推导中不考虑初始缺陷的压杆稳定承载力. 本研究为了验证理论公式，有限元模型未设置初始缺陷. 与e_t相比，6种试验模型的e_f更接近，试验模型的有限元值和理论值互为验证. 对比6种试验模型的试验值、理论值、有限元值，使在误差允许范围内有限元模型的准确性得以验证.

由于试验数据有限，为了验证理论公式的正确性，使用经试验模型结果验证的有限元模型，通过特征值屈曲分析方法计算压杆稳定承载力. 使用扭转弹簧约束和横向约束代替图15（a）中的支撑横梁（边界条件同图2）. 根据图5所示的理论关系曲线，取12种不同扭转弹簧刚度，使用Abaqus求解压杆的稳定承载力，对比理论解和有限元解，结果如表5所示. 可以看出，不同弹簧刚度下的有限元解与理论解误差绝对值均不超过0.5%，有限元结果验证了理论曲线的正确性. 将有限元结果绘制到理论关系曲线中进行比较，如图16所示. 可以看出，2条曲线基本吻合. 调整截面参数及杆件材料进行重复计算，依然可以得到理论曲线与有限元曲线吻合较好的结论，说明此结论具有可靠性.

在具有杆间扭转弹簧约束的情况下，对两端固定压杆进行稳定承载力与杆间扭转弹簧刚度关系的理论推导，弥补了理论研究的不足，提出了可供工程设计使用的简化计算公式：已知杆间扭转弹簧的刚度，可以得到两端固定压杆的稳定承载力. 通过6组试验模型探究理论推导的正确性，在误差允许范围内，认为理论推导的结果是正确的. 根据试验结果验证有限元模型的可靠性，基于经过验证的模型进行大量算例分析，与理论曲线比较，得到有限元分析结果与理论关系曲线拟合较好的结论，进一步验证了理论推导结果的正确性. 试验中发现，两端简支或两端固定压杆的两端支座均无法达到理想的铰接或者刚接支座，实际工程中也是如此，后续计划进行关于弹性支座的深入研究.