随着物联网技术和无线通信技术^[1]的迅速发展，海量设备将接入物联网，网络数据将呈指数型激增. 工作时间和工作效率成为物联网设备的2个重要指标. 以远程实时监控系统为例，其须实现低信息年龄和高能效. 然而，这2个要求互相矛盾，越新鲜的信息所需的能耗越多. 因此，须在信息年龄和能量之间进行权衡.

大多数物联网应用都涉及远程监控，通过部署传感器来监控各种物理过程，例如，空气污染水平和工厂中运行机器的工作状况. 将感知到的信息报告给一个远程实体，以进行进一步的分析. 在这些情况下，信息越新鲜越有价值. 对于一个状态更新系统来说，源节点希望将时变过程的状态传递给多个用户. 传统的性能指标不能恰当地描述状态更新的及时性，因此，一个新的性能指标“信息年龄（age of information，AoI）”^[2]被提出，从接收端的角度来度量状态监控系统中信息的新鲜度. 具体来说，在t时刻，系统中的状态更新年龄被定义为t−U(t)，其中U(t)为目的地接收到的最新更新的时间时隙，即AoI被定义为最新收到的状态自生成到接收所经历的时间.

虽然已有少量文献从物理层的角度考虑了状态更新系统的保密性能，但其仍须进一步深入研究，尤其是在考虑安全状态更新的系统中，关于能耗对信息年龄的影响还鲜有研究，如何在安全状态更新系统中实现信息年龄和能量的权衡有待进一步研究. 此外，为了提高无线设备的能量可持续性和稳定性，本研究利用能源收集（energy harvesting，EH）技术来为无线终端设备提供持续不断的能量. 本研究提出一个多用户的安全状态更新系统，研究在被动窃听下，多个传感器的安全信息年龄和能量权衡问题.

本研究的主要贡献如下. 1）提出一个由多个传感器构成的安全状态更新系统，多个传感器由EH装置收集能量，并采用截段自动重复请求（truncated automatic repeat request，TARQ）方案向基站发送更新状态信息. 2）利用TARQ方案导出了传感器平均AoI年龄能耗的封闭表达式. 3）基于导出的平均AoI和平均能耗的封闭表达式，利用TARQ描述了所考虑的低频率广域（low power wide area，LPWA）通信系统的年龄-能量权衡.

AoI具有良好的前景，对其的研究越来越广泛. 这些研究主要是分析不同系统的AoI性能，这些系统采用不同的排队模型. Chang等^[3]以AoI峰值和违反概率为约束，分析状态更新的最优到达率. Wang等^[4]为了提高多用户共享衰落信道的信息新鲜度，提出跨层调度策略，采用概率调度方法来最小化AoI. Arafa等 ^[5]考虑了一种状态更新系统，其中来自多个来源的数据由能量收集传感器采样，并通过擦除通道传输到远程目标. 大多数AoI相关工作是对各种通信系统的信息新鲜度进行分析或优化. Bevtur等^[6]研究了物联网数据的信息新鲜度问题. 重传机制可以降低AoI^[7-9]，对于固定的错误概率，Xie等^[7]考虑了抢占和非抢占方案，在无反馈的情况下，研究经典的自动重传请求（automatic repeat request，ARQ）方案，其中每一轮传输包含相同的信息. Shi等^[8]研究了无限增量冗余混合自动重传请求（hybrid automatic repeat request，HARQ）和固定冗余HARQ这2种重传方案. Arafa等^[9]假设目标信道状态信息是可用的，且源信道随时都能产生更新，采用马尔可夫决策过程对AoI的演化进行建模，并在给定平均传输数时最小化AoI.

能量是物联网设备的另一个重要指标，研究基于AoI的能量传输，实现能量年龄均衡具有重要意义. Jaiswal等^[10]同时考虑更新感知能量和传输能量，研究无线传感器网络的AoI性能. He等^[11]提出了一种优化算法来解决AoI约束下的最小能量调度问题. Yi等^[12]开发了一种随机在线节能调度算法，以确定是否下载最新信息. Valehi 等 ^[13]导出了一个联合方案，用于在AoI约束下优化状态更新系统的能量效率. 有文献^[14–18]讨论了状态更新系统的年龄-能量权衡. Gu等^[14]研究了瑞利信道上基于截断自动重复请求的状态更新的能量年龄权衡. Xie等^[16]在IoT网络中提出了一种无模型强化学习算法，以平衡年龄和能量. Yu等^[15]研究了只有一个传输者的网络中分组传输的年龄-能量权衡问题. Abbas等^[17]使用K-均值聚类和最近邻算法研究物联网网络的年龄能量优化问题. 最近，通过使用TARQ，Grybosi等^[18]比较了选择组合和最大比率组合的年龄-能量权衡. 然而，现有的基于能量和AOI的研究主要集中在单用户网络上，而在实际应用场景中一般都是多用户网络.

无线信道固有的广播特点使得用户的数据信息很容易被窃听，这将带来严重的安全和隐私问题. 因此，为了保护计算机网络的安全，提出了各种各样的加密技术，并在更高的层次上加以应用. 然而，这些方法通常涉及密集的计算，对于低成本和低复杂度的物联网设备来说是一项消耗时间和能量的工作. 物理层安全技术^[19]是提高无线通信系统安全性能的一种有效方法，它以信息论为基础，利用无线信道固有的干扰和衰落特性实现安全传输，现已被广泛研究. 关于物理层安全的研究，Wyner^[20]首次提出并证明了当从源到窃听者的信道是从源到目的信道的降级版本时，完全保密可以实现. 已有的一些研究主要建立在基于信息论信道容量概念的保密能力和保密中断概率之类的保密性能指标的基础上. 然而在状态更新系统中也须考虑安全问题，已有研究考虑了在主动干扰攻击下如何保持信息的新鲜度. 不过，被动窃听攻击还鲜有文献涉及.

另外，随着无线网络和物联网的发展，越来越多的无线设备接入互联网. 由于大多数无线设备的电池容量都是受限的，须手动充电或者更换电池，操作十分不便. 为了提供稳定和可持续的能源，延长这些能源网络的寿命，能源收集^[21]被广泛研究和应用. 收集自然能源（例如，风力和太阳能）用于发射信息，会使射频信号更稳定、更可控，因此无线电力传输已经吸引了大量的关注，例如，无线通信网络（wireless communication networks，WPCNs）^[22]供电.

以一个LPWA系统为例，考虑由N个单天线传感器节点（sensor nodes，SNs），一个窃听者（E），以及基站组成的状态更新系统. 如图1所示，N个单天线传感器节点将状态更新信息发送到基站. 每个SN配备一个EH电源，每个SN都会受到来自太阳辐射、振动和无线电波等环境源的能量的影响. 同时系统中存在一个被动窃听者，试图掌握每一个传感器节点的最新状态信息. 假设总时间被划分为持续时间不变的时间段，并且每个时隙传输一个状态更新. 假设状态更新系统中的信道均遵循平坦瑞利衰落，即瞬时信道增益在每个时隙内保持不变，在不同时隙之间独立变化. 引入AoI指标来衡量通信的时延性. 为了降低AoI，采用重传机制. 抢占方案在平均AoI上优于非抢占方案，因此本研究考虑抢占方案，为了简化，系统没有引入反馈. 因此，在考虑的LPWA通信中存在着一种年龄-能量的权衡，为了研究这种权衡，采用一种截断自动重复请求TARQ方案.

设N=1，2 $, \cdots , $ n，表示传感器节点的个数，设L=1，2 $, \cdots , $ l，表示包括初始传输次数在内的每次信息更新的最大允许传输次数. 如果经过L次传输后，基站仍不能解码状态更新，则状态更新将被物联网设备丢弃. 所有收集到的能量（无损耗）存储在每个EH电源中，假设每个电源初始储能为0 J. 在系统中采用平坦瑞利衰落信道，信道增益为h_k，其中 $ k \in {\bf{N}} $. 在基站处有方差为 $ {\sigma ^2} $，均值为0的加性白色高斯噪声，噪声功率谱密度为N₀，且系统总带宽为B.

当基站无法成功解码状态更新时，就会发生停止工作. 每一轮传输的互信息可以表示为

(1) $ {I_k} = {\log _2}\left(1+{{{P_k}{h_k}}}/{{{\sigma ^2}}}\right). $

式中：P_k为第k个传感器的发射功率；h_k为第k个传感器与基站之间的信道增益，遵循指数分布，累积分布函数为 $ {F_{{h_k}}}(x) = 1 - \exp\; ( - (x/\varOmega )) $， $\varOmega $为它们之间的平均能量增益. 在式（1）中，假设基站没有缓冲区，不能合并从先前传输中接收到的信号. 每一轮传输的中断概率可以表示为

(2) $ q = \Pr \{ {I_k} < {R_k}\} = 1 - \exp \left( - \frac{{{\sigma ^2}({2^{{R_k}}} - 1)}}{{{P_k}\varOmega }}\right). $

式中：R_k为第k个传感器的传输速率.

假设在第k个传感器处的状态更新过程是服从伯努利分布的. 在每个时隙开始时，一个新的状态更新以概率p进行传输. g_i为第i次更新的生成时间. 新生成的状态可能不会被基站接收，也有可能被传感器节点丢弃或被另一个新的状态更新抢占. $ d_i' $和S_i分别为在基站成功解码的第i次状态更新的离开时间和服务时间. 考虑一个状态更新系统，以U(t)表示在时间t上最近收到的状态更新的生成时间，t=1，2，3 $, \cdots \; $. 在t时刻的瞬时AoI表达式为

(3) $ A(t) = t - U(t). $

如图2所示，将第k个传感器向基站发送消息后的瞬时AoI的演化描绘成一个阶梯. 图中，以初始值为1描述了几个连续时隙的AoI的瞬时值.

从接收第i−1次状态更新到生成下一个状态更新的等待时间的表达式为

(4) $ {W_{k,i}} = {G_{k,i}} - d_{k,i - 1}'. $

式中： $d_{k,i-1}' $为第k个传感器在基站成功解码的第i次状态更新的离开时间，G_k,i为 $ d_{k,i - 1}' $之后第1次生成更新的生成时间. G_k,i表达式为

(5) $ {G_{k,i}} \triangleq \min\; \{ {g_{k,j}}|{g_{k,j}} > d_{k,i - 1}'\} . $

式中：g_k,j为第k个传感器第j次更新的时间.

连续2次成功解码更新的间隔时间的表达式为

(6) $ {Y_{k,i}} = d_{k,i}' - d_{k,i - 1}'. $

G_k,i到基站成功接收更新的时间的表达式为

(7) $ {M_{k,i}} = d_{k,i}' - {G_{k,i}}. $

根据上述定义，Y_k,i可以表示为 $ {Y_{k,i}} = {W_{k,i}}+{M_{k,i}} $.

到t时刻为止成功接收更新的次数的表达式为

(8) $ {N_{k,t}} = \max \;\{ d_{k,i}' < t\} . $

根据上述定义，AoI的平均值可以表示为如图2所示的多边形Q_k,i的面积，表达式为

(9) $ {\bar A_k} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \;\frac{{{N_{k,t}}}}{t}\frac{1}{{{N_{k,t}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{k,t}}} {{Q_{k,i}}} = \frac{1}{{E[{Y_{k,i}}]}}E[{Q_{k,i}}]. $

Q_k,i的面积可以表示为

(10) $ \begin{split} {Q_{k,i}} =\;& {S_{k,i - 1}}+({S_{k,i - 1}}+1)+\cdots +({S_{k,i - 1}}+{Y_{k,i}} - 1) =\\ \;& {S_{k,i - 1}}{Y_{k,i}}+{{{Y_{k,i}}^2 - {Y_{k,i}}}}/{2}. \end{split}$

由于 $ {Y_{k,i}} = {W_{k,i}}+{M_{k,i}} $，如果最后一次成功更新的服务时间S_k,i−1与W_k,i和M_k,i无关，那么等式 $ { E}[{Q_{k,i}}] = E[{S_{k,i - 1}}{Y_{k,i}}]+[(E[{Y_{k,i}}^2] - E[{Y_{k,i}}])/2] $成立. 从而得出，S_k,i−1独立于M_k,i. 本研究中考虑了抢占，因此系统获得一个新的更新M_k,i之前的等待时间只取决于生成速率p，而与服务时间S_k,i-1无关. 可以得到如下表达式：

(11) $ E[{S_{k,i - 1}}{Y_{k.i}}] = E[{S_{k,i - 1}}]E[{Y_{k,i}}]. $

将 $ { E}[{Q_{k,i}}] $带入式（9），并且根据 $ { E}[{S_{k,i - 1}}{Y_{k.i}}] = { E}[{S_{k,i - 1}}]{ E}[{Y_{k,i}}] $，得到简化的平均AoI表达式：

(12) $ {\bar A_k} = E[{S_{k,i - 1}}]+\frac{{E[{Y_{k,i}}^2]}}{{2E[{Y_{k,i}}]}} - \frac{1}{2}. $

由于存在窃听者，要考虑传感器向基站发送信息时系统的保密性. 假设基站和窃听者能成功接收到传感器k更新信息的概率分别为p_k和q. 可以根据给出的信道衰落模型，将q与相应链路的平均信噪比联系起来. 由于传感器向基站发送消息时采用了重传机制，不论新的更新信息是否被基站成功接收，均要保证在每次传输时窃听者的AoI要大于基站处的AoI，这样才能保证更新系统的安全性. 引入适用于状态更新系统的安全性能指标−保密年龄中断概率^[23].

第k个传感器的保密年龄中断概率表达式为

(13) $ p_{{\text{out}}}^k = P(\max\; [{A_{\text{e}}} - {A_k}] \leqslant {\mu _{{\text{th}}}}). $

式中：A_e为窃听者处的信息年龄。

根据文献[23]，可以推导出

(14) $ \begin{split} p_{{\text{out}}}^k =\;& P(\max\; [{A_{\text{e}}} - {A_k}] \leqslant {\mu _{{\text{th}}}})= \\ \;& 1 - P(\max [{A_{\text{e}}} - {A_k}] > {\mu _{{\text{th}}}}) =\\ \;&1 - \frac{{(1 - q){p_k}{{(1 - pq)}^{{\mu _{{\text{th}}}} - 1}}}}{{{p_k}+q - {p_k}q}}. \end{split}$

式中： $ {\mu _{{\text{th}}}} $表示在信息安全传输的情况下，系统所能容忍的最大保密年龄阈值. 保密年龄中断概率表示状态更新系统的安全性，概率越小表示系统的保密性能好，更安全.

通过推导式（12）中 $ E[{S_{k,i - 1}}] $、 $ E[{Y_{k,i}}] $和 $ E[{Y_{k,i}}^2] $的表达式来分析所考虑的状态更新系统的平均AoI.

首先计算服务时间的期望值，即 $ E[{S_{k,i - 1}}] $. 如果当前更新不能被成功解码，当已经达到允许的最大传输次数时，它也可能被丢弃. 为了计算服务时间的期望值，首先推导出更新在l次传输后被成功解码的概率（ $ l = 1,2,\cdots ,L $，为传输次数）. 在l次传输期间不会生成任何更新，并且在第l次传输之前的所有传输都失败了. 由于传输错误和产生新更新是独立的， l次传输后状态更新成功解码的概率为

(15) $ {p_l} = (p{_{{\text{out}}}^k)^{l - 1}}{(1 - p)^{l - 1}}(1 - p_{{\text{out}}}^k). $

服务时间的期望值可以表示为

(16) $ E[{S_{k,i - 1}}] = {{\displaystyle \sum\nolimits_{l = 1}^L {{p_l}l} }}\left/{{{\displaystyle \sum\nolimits_{l = 1}^L {{p_l}} }}}\right. . $

通过化简，得到

(17) $ E[{S_{k,i - 1}}] = \frac{1}{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}}+\frac{L}{{1 - {{{{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^{-L}}}}}}. $

引理1 　根据前面定义的W_k,i和M_k,i，可以得出 $ E[{Y_{k,i}}] = E[{W_{k,i}}]+E[{M_{k,i}}] $，通过求解W_k,i和M_k,i的期望，得出Y_k,i的期望.

(18) $ E[{Y_{k,i}}] = \frac{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}}{{(p - pp_{{\text{out}}}^k)[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}]}}. $

证明：见附录1.

简单说明如下：根据前面定义的W_k,i和M_k,i，可知W_k,i独立于S_k,i−1，只依赖于更新生成速率p. 当更新到达遵循伯努利过程时，W_k,i遵循参数为p的几何分布. M_k,i是更新生成到基站成功接收更新的时间，当系统中存在重传和抢占策略时，不同的情况下M_k,i会有不同的取值. W_k,i和M_k,i的期望具体求解见附录1.

引理2 　由于M_k,i和W_k,i相互独立，可以得出 $ {E}[Y_{k,i}^2] = {E}[{({W_{k,i}}+{M_{k,i}})^2}] = E[W_{k,i}^2]+2E[{W_{k,i}}]E[{M_{k,i}}]+$ $E[M_{k,i}^2] $，然后得出 $\;\; Y_{k,i}^2 $的期望.

(19) $ \begin{split} \;&E\left[Y_{k,i}^2\right] = \frac{{{{\left(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k\right)}^2}}}{{\left(1 - p_{{\text{out}}}^k\right)\left[1 - {{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}\right]}} \\ \;& \sum\limits_{l = 1}^L {{{\left(q - pq\right)}^{l - 1}}{l^2}} + \frac{{{{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}\left(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k\right)}}{{\left(1 - p_{{\text{out}}}^k\right)\left[1 - {{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}\right]}}\times \\ \;&\left(\frac{{2 - p}}{{{p^2}}}+\frac{{2L}}{p}+ {L^2}\right)+\frac{{{p^2} - 3p+2}}{{{p^2}}} +\\ \;&2{E}\left[{M_{k,i}}\right]\left\{ \frac{{{{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}\left(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k\right)}}{{\left(1 - p_{{\text{out}}}^k\right)\left[1 - {{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}\right]}}+ \right.\\ \;& \frac{{L{{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}}}{{1 - {{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}}}+\frac{{pp_{{\text{out}}}^k}}{{\left(1 - p_{{\text{out}}}^k\right)\left(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k\right)}}+\\ \;&\left. \frac{{1 - p}}{p}\right\} . \\[-15pt] \end{split}$

证明：见附录2.

将式（17）~（19）代入式（12），得到式（12）给出的平均AoI的精确闭合表达式：

(20) $ \begin{split} & \bar A = \frac{{p\left(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k\right)}}{2}\sum\limits_{l = 1}^L {{{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^{l - 1}}{l^2}} + \\ &\frac{{p{{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}}}{2}\left(\frac{{2 - p}}{{{p^2}}}+\frac{{2L}}{p}+{L^2}\right)+ \\ &\frac{{\left({p^2} - 3p+2\right)\left(1 - p_{{\text{out}}}^k\right)\left[1 - {{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}\right]}}{{2p\left(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k\right)}}+ \\ &\frac{1}{{1 - p_{{\text{out}}}^k}} - \frac{1}{2}+\frac{{\left(1 - p\right)\left(1 - p_{{\text{out}}}^k\right)}}{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}}\left(\frac{{1 - {{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}}}{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}}-\right. \\ & \left. L{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)^L}\right)+\frac{{\left(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k\right){{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}}}{{\left(p - pp_{{\text{out}}}^k\right)\left[1 - {{\left(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k\right)}^L}\right]}}. \end{split} $

进一步化简式（20）中的式子，得到

(21) $ \begin{split} & \sum\limits_{l = 1}^L {{{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^{l - 1}}{l^2}} = \\ & \frac{{ - {L^2}{{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^{L+2}}+(2{L^2}+2L - 1){{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}{{{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k)}^3}}} - \\ & \frac{{{{(L+1)}^2}{{(q - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}{{{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k)}^3}}}+\frac{{p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k+1}}{{{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k)}^3}}}.\\[-15pt] \end{split} $

将式（21）代入式（20），经过一些操作，所考虑的采用TARQ方案的系统的平均AoI可以表示为

(22) $ \bar A = \frac{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k)}}{{(p - pp_{{\text{out}}}^k)[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}]}}. $

对于无重传的情况，即 $ L = 1 $，有

(23) $ {\bar A_1} = {1}/({{p - pp_{{\text{out}}}^k}}). $

在 $ (p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k) < 1 $，且 $ \mathop {\lim }\limits_{L \to \infty } {(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)^L} \to 0, $ $ L \to \infty $ 的情况下，式（22）中的平均期望可以简化为

(24) $ \bar A_{\infty} = \frac{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}}{{p - pp_{{\text{out}}}^k}}. $

此外，由上述分析可以得到AoI的平均峰值：

(25) $ \begin{split} \hat A =\;& E[{S_{k,i - 1}}+{Y_{k,i}} - 1] =\\ \;&E[{S_{k,i - 1}}]+E[{Y_{k,i}}] - 1 =\\ \;& \frac{1}{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}} - \frac{{L{{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}{{1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}+ \\ \;&\frac{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k)}}{{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}]}} - 1. \end{split} $

对于 $ L = 1 $的情况，有

(26) $ {\hat A_1} = {1}/({{p - pp_{{\text{out}}}^k}}). $

对于 $ L \to \infty $的情况，上述平均峰AoI的表达式可以化简为

(27) $ {\hat A_\infty } = \frac{1}{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}}+\frac{{1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k}}{{p - pp_{{\text{out}}}^k}} - 1. $

由式（22）、（25）可知，平均峰值AoI的表达式与平均AoI的表达式是相关的，但是两者存在区别 $[1/(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k)] - \dfrac{{L{{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}{{1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}} - 1$，当 $ (p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k) \to 0 $或者 $ L \to 1 $时，这一项趋于0. 此外，从式（22）中，可以观察到 $ [1/(1 - p_{{\text{out}}}^k)] $和 $\dfrac{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k){{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}{{(p - pp_{{\text{out}}}^k)[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}]}}$，在 $ 0 < p_{{\text{out}}}^k < 1 $是递增函数. 这意味着平均AoI随着保密中断概率的增加而增加，或者随着系统发射功率的减小而减小，如果保密年龄中断概率减小，不仅会降低平均AoI，系统的安全性也会提高. 此外， $\dfrac{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k){{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}{{(p - pp_{{\text{out}}}^k)[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}]}}$随L的增大而减小，说明最大允许传输次数越多，平均AoI越低. 此外，当比较 $ L = 1 $和 $ L \to \infty $这2个最极端的情况时，其平均AoI差值为 $ (p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)/(p - pp_{{\text{out}}}^k) $. 这表明在重传方案的情况下只需要生成率相对较低，每一轮信息传输的保密年龄中断概率高，否则，在平均AoI方面，非重传和重传方案具有相似的性能. LPAW是指具有高生成速率的系统，因为在重传过程中更新可能经常被抢占. 此外，在物联网设备的传输功率较高、保密年龄中断概率较低的情况下，基站只须进行一轮传输即可正确解码更新，无须重传.

所求出的 $ E[{S_{k,i - 1}}] $、 $ E[{Y_{k,i}}] $和 $ E[{Y_{k,i}}^2] $表达式均与所提出的保密年龄中断概率 $ p_{{\text{out}}}^k $有关. 从式（14）可以推断出保密年龄中断概率 $ p_{{\text{out}}}^k $随状态更新概率p的变化呈递增趋势，当 $ q \to 0 $时，保密中断概率趋于0. 如果信息在每个时隙以更大的p进行传输，那么在基站处信息年龄更小，但会导致保密年龄终端概率变高.

在固定的发射功率下，不同的l可能导致传感器节点的平均发射功率功耗不同. LPAW系统的目标是低成本和低能耗的设备. 因此，降低物联网设备的长期平均传输功耗是非常重要的. 须推导出TARQ方案的传感器节点的平均传输功耗. 基于导出的表达式，以及式（22）中给出的平均AoI表达式，通过联合优化发射功率P和最大允许的发射次数L来最小化平均AoI，得到在给定平均发射功率约束P_C下的年龄-能量权衡状态. 假设在推导所考虑的传感器节点的平均功耗时，只考虑传输功耗.

假设基站不提供确认反馈，传感器节点使用固定的传输功率P来传输状态更新. 每个时隙固定，每个时隙传输更新状态时消耗的能量为P，而时隙空闲时能量消耗为零. 不过实际情况下存在2个问题. 1）并不是所有的时隙在等待期间W_k,i均是空闲的，W_k,i可能包含多个更新传输时隙. 这是因为基站不提供任何确认反馈. 当基站解码更新成功后，传感器节点可能会继续传输，直到传输次数达到L或产生新的更新. W_k,i内部的更新传输时隙数既与W_k,i最近服务时间S_k,i−1的长度有关，也与W_k,i具体实现方式有关. 2）在M_k,i过程中也不容易评估更新传输时隙数. 这是因为，如果传输次数达到L，则更新被删除，传感器节点将等待另一个更新生成，上述定义的间隔M_k,i可能存在一些空闲时间，因此直接评估M_k,i内部的更新传输时隙并不容易. 为了解决这2个挑战，引入2个随机变量X_i和Y_i，分别定义为W_k,i和M_k,i期间更新传输时间的总数. 物联网设备的平均传输功耗表达式如下：

(28) $ \begin{split} E(\phi ) =\;& \mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \frac{{P[({X_1}+{Y_1})+({X_2}+{Y_2})+\cdots +({X_N}+{Y_N})]}}{{{T_1}+{T_2}+\cdots +{T_N}}}= \\ \;&\frac{{P(E[{X_i}]+E[{Y_i}])}}{{E[{T_i}]}}. \\[-15pt] \end{split}$

出发间隔T₁，T₂$, \cdots , $ T_N是连续的，每个区间T_i的总消耗能量为 $ {X_i}+{Y_i},i \in \{ 1,2, \cdots , N\} $. 给出X_i和Y_i的期望. 首先求出服务时间为l的条件概率：

(29) $ {\varphi _l} = {{{p_l}}}\left/{{{\displaystyle \sum\nolimits_{l = 1}^L {{p_l}} }}}\right. . $

式中：p_l为经过l次传输后更新成功解码的概率.

将式（15）代入式（29），得到

(30) $ {\varphi _l} = \frac{{{{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^{l - 1}}(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k)}}{{1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}}}. $

由式（30）中给出的 $ {\varphi _l} $的表达式，可以求出X_i的期望：

(31) $ E[{X_i}] = \sum\limits_{l = 1}^{L - 1} {{\varphi _l}\left[\sum\limits_{l = 1}^{L - l} {{{(1 - p)}^k}pk+} \sum\limits_{k = L - l+1}^\infty {{{(1 - p)}^k}p(L - l)} \right]} . $

式（31）中方括号外的求和项表示S_k,i−1的服务时间为1，2 $, \cdots , $ L−1. 服务时间S_k,i−1=L不包括在求和项中，在这种情况下，X_i=0. 经过计算，式（31）可以简化为

(32) $ \begin{split} E[{X_i}] =\;& \frac{{(1 - p)[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^{L - 1}}]}}{{p[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}]}} -\\ \;& \frac{{(1 - p_{{\text{out}}}^k+pp_{{\text{out}}}^k){{(1 - p)}^L}(1 - (p{{_{{\text{out}}}^k})^{L - 1}})}}{{(p - pp_{{\text{out}}}^k)[1 - {{(p_{{\text{out}}}^k - pp_{{\text{out}}}^k)}^L}]}}. \end{split}$

评估Y_i的期望. Y_i只取决于保密年龄中断概率 $ p_{{\text{out}}}^k $和生成概率p以及最大允许传输次数L. 这是因为Y_i可以通过使用M_k,i所有的空闲时隙来重构M_k,i. M_k,i的其余部分是一组连续的更新传输槽位，基站只能正确解码最后一个槽位的信息. 因此，可以得出结论，Y_i遵循由 $ \Pr \{ {Y_i} = l\} = p{_{{\text{out}}}^{k^{l - 1}}}\times (1 - p_{{\text{out}}}^k) $给出的几何分布，Y_i的期望为

(33) $ E[{Y_i}] = {1}/({{1 - p_{{\text{out}}}^k}}). $

将式（32）、（33），代入式（28），可以得到平均传输功耗：

(34) $ E(\phi ) = P[1 - {(1 - p)^L}]. $

在平均发射功率限制 $ {P_{\rm{C}}} $下，根据p和L优化TARQ方案的性能. 对于给定的 $ {P_{\rm{C}}} $和L，系统的最优发射功率可以由式（34）求出，有

(35) $ {P^*} = \frac{{{P_{\rm{C}}}}}{{1 - {{(1 - p)}^L}}}. $

对于重传次数无限的方案，传感器节点在每个时隙向基站发送信息. 因此，在平均发射功率约束下，特殊情况 $ L \to \infty $的发射功率为 $ {P_{\rm{C}}} $. 这个结果与式（35）一致. 由于平均AoI的表达式结构复杂，较难推导出最大允许传输次数的最大值 $ {L^ * } $的封闭表达式. 通过使用基于平均AoI的表达式的一维搜索方法，可以较容易地找到 $ {L^ * } $. $ {L^ * } $通常不大（通常小于4），这一点将在仿真结果中体现. 这是因为在平均发射功率约束较低的情况下，系统只需要大量的传输就能正确解码状态更新. 但是，在这种情况下，不应设置较大的最大允许传输次数，而应选择较小的L，增加每轮传输的发射功率，从而提高系统的性能. 通过最小化TARQ方案的平均AoI，用TARQ方案推导出LPWA系统的年龄-能量权衡.

本研究给出TARQ方案的数值结果，以验证上述推导. 通过MATLAB进行仿真，为每个网络设置生成10⁷个时隙，其中每个时隙的瞬时信道功率增益是一个独立同分布的指数随机变量. 跟踪每个时隙中AoI的瞬时值，然后在仿真后评估平均值. 具体仿真参数设置如表1所示.

在更新概率p=0.2的情况下，所考虑的TARQ方案的平均AoI和平均峰值AoI如图3、4所示. 可以看出，在所有考虑的情况下，分析结果与第4章中的理论分析结果几乎一致. 另外，由图3、4可以看出，平均AoI和峰值AoI的曲线趋势相似. 对于L=1的特殊情况，所考虑的系统的平均AoI和峰值AoI相同. 此外，当传输功率P或最大允许传输次数L增加时，平均AoI和峰值AoI减少. 因为高传输功率会降低保密年龄中断概率，而L越大，基站能正确解码更新的概率就越大，系统的保密性提高，信息传输更安全. 此外，随着L的增大，TARQ方案的性能接近无限重传次数方案的性能，并且随着传输功率P或状态更新生成概率p的增大，接近速度显著提高.

如图5所示，描述了所考虑的TARQ方案的平均传输功耗与最大允许传输次数之间的关系，验证了上文中对平均传输功率消耗的分析. 可以看出，系统的平均传输功耗随着P和L的增大而增大，当L趋近于无穷时，收敛于传输功率P.

由图3~5可以看出，随着P和L的增加，平均AoI和平均峰值AoI减小，但平均传输功耗增大. 因此，在考虑的NB-IoT系统中存在年龄-能量权衡.

如图6所示为最大允许传输次数L*与平均传输功率约束Pc的最优值. 可以看出，存在一个最大允许传输时间的最优值，可以使所有考虑的场景的平均AoI最小.

如图7所示，描述了不同传输速率的最佳平均AoI与平均发射功率约束P_C之间的权衡. 通过适当设置最大允许传输次数L*，优化了TARQ方案的性能. 可以看出，当给定平均发射功率约束，且约束P_C较小时，与传统ARQ方案相比，TARQ方案通过优化最大允许发射次数，实现了更低的平均AoI. 此外，当平均发射功率约束或状态更新生成率较大时，2种方案的AoI逐渐相等.

如图8所示为状态更新概率对性能的影响. 通过改变状态更新概率，即在P=30 dBm，L=3时，p在0~0.9发生变化，仿真TARQ和传统ARQ方案可能达到的服务质量（quality of service，QoS）水平. 可以看出，都存在一个最优p，各方案的最优p按照传输到窃听者的概率q递增而递减， TARQ方案相对传统ARQ方案最优p减小. 所采用的TARQ算法的最优p最大，说明TARQ算法可以在保证信息安全的同时保证QoS水平.

本研究关注物联网监控系统的年龄-能量权衡. 为了研究这一关键权衡，采用TARQ方案，在该方案中，物联网设备持续传输当前状态更新，直到达到最大允许传输次数或产生新的状态更新. 导出TARQ方案的平均AoI和平均传输功耗的闭合表达式. 根据导出的表达式，通过在确定的长期平均传输功率约束下将平均AoI最小化来表征年龄-能量权衡. 数值结果验证了理论分析的正确性. 在固定传输功率约束下，联合优化物联网设备的发射功率和最大允许发射次数使平均AoI最小化. 仿真结果表明，在物联网设备能量受限的情况下，TARQ方案优于经典ARQ方案.

本研究提出一个多用户的安全状态更新系统，研究在被动窃听下，多个传感器的安全信息年龄和能量权衡问题。采用一种实用的截断自动重复请求（TARQ）方案，推导出平均AoI，平均峰值AoI的闭合形式表达式，以及平均能耗的表达式，然后通过优化物联网（IoT）设备的传输功率和平均传输功率约束下的最大允许传输次数来最小化平均AoI，实现系统的信息年龄-能量权衡。