活动断层作用严重威胁着跨断层隧道结构的安全. 断层错动轻则使既有隧道产生结构裂缝及大变形，重则导致隧道结构失效. 通常设计规范中建议工程项目应远离断层错动区域，然而由于隧道建设的特殊条件，特别是我国近年来西部大开发的加快、城市地下空间的深入开发，跨断层隧道工程变得越来越普遍. 鉴于断层错动对既有隧道产生的严重影响，开展跨断层盾构隧道结构力学响应研究显得尤为重要.

目前，跨断层隧道力学响应研究方法主要为模型试验^[1-2]及数值模拟^[3-4]，且研究对象以山岭隧道为主. 盾构隧道与传统山岭隧道相比，其接头众多，且多应用于土质地层中，两者在断层错动的力学响应方面存在一定差异，因此研究跨断层盾构隧道的力学响应具有重要的工程价值. Kiani等^[5]通过开展1∶50比例的跨断层盾构隧道力学响应离心试验，研究断层错动下盾构隧道结构及接头变形特点、隧道及土体的破坏模式. 胡志平等^[6]采用1∶5大比例模型试验，研究盾构隧道不同角度斜穿隐伏地裂缝的变形破坏机制. Zaheri等^[7]采用数值模拟方法对比研究盾构隧道及整体式隧道在走滑断层错动时的力学响应规律.

跨断层隧道模型试验结果可信度较高，但成本也较高，主要用于一般规律研究；三维数值模拟由于建模复杂，应用价值同样受到影响. 由于跨断层隧道解析解具有成本低廉、建模时间短且计算快的特点，在初步评估断层错动作用对既有隧道影响方面具有显著优势. 目前跨断层管线力学响应解析模型相关研究较多^[8]，而跨断层隧道解析解相关研究较少. 刘国钊等^[9]考虑断层断裂带的影响，建立了活动性断裂带错动下隧道纵向响应的解析解. 耿萍等^[10]建立了考虑环缝接头非线性接触作用的盾构隧道纵向计算模型，并以汕头海湾隧道跨越断层破碎带为背景，得到隧道结构纵向力学响应规律.

以往盾构隧道纵向力学研究通常忽略纵向摩阻力的影响. 考虑到断层错动时，隧道结构将产生显著的水平强制位移，因此在进行隧道纵向力学响应研究中应考虑结构纵向受力与变形的影响. 鉴于此，本研究在考虑水平地基摩阻力、断层影响范围的基础上，将盾构隧道简化为置于Vlasov地基上的Timoshenko梁，研究断层错动下既有盾构隧道纵向力学响应规律. 采用模型试验与梁-弹簧数值模型验证解析模型计算结果的合理性，之后借助三维数值模拟方法，分析盾构管片环缝接头塑性变形对隧道结构纵向力学响应的影响. 研究结果可以为跨活动断层盾构隧道结构设计及结构防护提供理论指导.

如图1所示为浅埋土质地层及深埋岩质地层工况下，跨正断层盾构隧道纵向受力及变形示意图. 其中，浅埋土质地层工况主要为隐伏断层，隧道未直接穿越断层破碎带，而与隐伏断层之间存在一定垂直距离，该工况主要涵盖了现阶段城市地铁盾构隧道以及各种浅层交通隧道；在深埋岩质地层中，隧道直接穿越断层破碎带，深埋工况主要包含大深度地下空间开发的交通隧道、输水隧洞. 可以看出，断层错动使既有隧道受到周围土体的强制位移作用，从而导致隧道结构沿纵向产生显著的变形，隧道结构纵向大变形将导致环缝变形量增大，造成管片环缝接头漏水、接头混凝土拉压破坏现象，威胁既有盾构隧道的运营安全.

基于跨断层盾构隧道纵向受力特点，可以将断层错动作用等效为作用于隧道结构上的强制位移，由此建立断层错动下盾构隧道力学响应解析计算模型，如图2所示. 在解析模型中假定既有盾构隧道为具有剪切效应的Timoshenko梁，该假定方法可以较为合理地体现盾构隧道纵向受力与变形特点^[11]，在初步评估盾构隧道结构纵向受力方面具有明显的优势. Vlasov弹性地基可以较为合理地体现不同深度条件下地基刚度的变化特点^[12]，因此隧道-地层相互作用通过Vlasov弹性地基模型考虑. 断层破碎带宽度d的影响，则通过弱化该处地基弹簧刚度近似模拟^[9]，当为浅埋土质地层工况时，断层破碎带宽度d=0.

将盾构隧道纵向结构假定为置于Vlasov弹性地基上的Timoshenko梁，并考虑地基纵向摩阻力对结构的影响，沿纵向隧道结构的微元体受力分析模型如图3所示. 图中，M为盾构隧道纵向弯矩，F_s为盾构隧道竖向剪力，F_N为盾构隧道纵向轴力，p_v与p_h分别为竖向地基反力与水平地基反力，b为盾构隧道直径或宽度，q(x)为作用在Timoshenko梁上的竖向附加荷载.

Vlasov地基反力p_v(z)与地基变形的关系表达式^[12]如下：

(1) $ {p_{\text{v}}}(z) = {k_{\text{v}}}wb - 2{G_{\text{t}}}b\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}}. $

式中：k_v为竖向地基弹簧刚度，w为梁轴线处的竖向位移，G_t为竖向地基剪切刚度.

考虑地基梁竖向挠曲对水平位移的影响，并假定地基水平反力与梁底面的纵向位移成正比，可以得到水平地基反力与纵向位移的关系：

(2) $ {p_{\text{h}}} = {k_{\text{h}}}b\left[ {u - \frac{b}{2}\frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}}} \right]. $

式中：k_h为水平地基弹簧刚度，取值为竖向地基弹簧刚度的0.4倍^[13]；u为梁轴线处的轴向位移.

假定结构水平轴向力经过隧道断面形心，即水平轴力不产生纵向附加弯矩，则轴力F_N的表达式为

(3) $ {F}_{\text{N}}={(EA)}_{\text{eq}}\frac{\text{d}u}{ \text{d}x} . $

式中：(EA)_eq为盾构隧道等效轴向刚度.

根据如图2所示梁微元体的受力平衡关系，可以得到

(4) $ \left. \begin{gathered} {\frac{{{\text{d}}M}}{{{\text{d}}x}} = {F_{\text{s}}}+\frac{b}{2}{p_{\text{h}}},} \\ \frac{{{\text{d}}{F_{\text{s}}}}}{{{\text{d}}x}} = - q(x)b+{p_{\text{v}}}, \\ \frac{{{\text{d}}{F_{\text{N}}}}}{{{\text{d}}x}} = {p_{\text{h}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

根据式(4)，可以定义Timoshenko梁广义剪力Q，根据微元体受力平衡方程，以及Timoshenko梁理论，可以得到盾构隧道弯矩M和广义剪力Q满足

(5) $ \left. \begin{gathered} {M = - {{(EI)}_{{\text{eq}}}}\frac{{{\text{d}}\varphi }}{{{\text{d}}x}},} \\ Q = {(\kappa GA)_{{\text{eq}}}}\left[ {\frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}} - \varphi } \right], \\ Q = {F_{\text{s}}}+\frac{b}{2}{p_{\text{h}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：(EI)_eq和(κGA)_eq分别为隧道纵向等效抗弯刚度、纵向等效抗剪刚度，κ为Timoshenko梁剪切系数，φ为梁截面转角.

结合式(1)~(5)可以得到

(6) $ \begin{split} {(\kappa GA)_{{\text{eq}}}}&\left[ {\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}} - \frac{{{\text{d}}\varphi }}{{{\text{d}}x}}} \right] - \frac{{{b^2}}}{2}{k_{\text{h}}}\left[ {\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}x}} - \frac{b}{2}\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}}} \right] = \\ &- q(x)b+{k_{\text{v}}}wb - 2{G_{\text{t}}}b\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}}, \end{split} $

(7) $ - {(EI)_{{\text{eq}}}}\frac{{{{\text{d}}^2}\varphi }}{{{\text{d}}{x^2}}} = {(\kappa GA)_{{\text{eq}}}}\left[ {\frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}} - \varphi } \right] ,$

(8) $ {(EA)_{{\text{eq}}}}\frac{{{{\text{d}}^2}u}}{{{\text{d}}{x^2}}} = {k_{\text{h}}}b\left[ {u - \frac{b}{2}\frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}}} \right]. $

式(6)、(7)均含有变量φ，对式(6)进行一次求导，并代入式(7)可以得到由变量w、u表示的 $ \dfrac{{{\text{d}}\varphi }}{{{\text{d}}x}} $，其表达式如下：

(9) $ \begin{split} \frac{{{\text{d}}\varphi }}{{{\text{d}}x}} = \;&\frac{1}{{{C^2}}}{{\left( {C+\dfrac{{{b^3}}}{4}{k_{\text{h}}}{\text+}2{G_{\text{t}}}b} \right)D}}\frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{x^4}}} - \frac{{{b^2}{k_{\text{h}}}D}}{{2{C^2}}}\frac{{{{\text{d}}^3}u}}{{{\text{d}}{x^3}}}+ \\ & \frac{D}{{{C^2}}}\frac{{{{\text{d}}^2}q(x)}}{{{\text{d}}{x^2}}} - \left( {\frac{{{k_{\text{v}}}Db}}{{{C^2}}}+2{G_{\text{t}}}b - 1} \right)\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}}. \end{split} $

式中：D为纵向等效弯曲刚度(EI)_eq，C为纵向等效剪切刚度(κGA)_eq.

将式(9)代入式(6)，并联立式(8)可以得到如下高阶微分方程组：

(10) $ \left. \begin{gathered} -\frac{1}{C} {{\left( {C + \dfrac{{{b^3}}}{4}{k_{\text{h}}}{\text+}2{G_{\text{t}}}b} \right)D}}\frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{x^4}}} + \left( {\frac{{{b^3}}}{4}{k_{\text{h}}} + \frac{{{k_{\text{v}}}bD}}{C}+2{G_{\text{t}}}b} \right)\times \\ \qquad \frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}}+\frac{{{b^2}{k_{\text{h}}}D}}{{2C}}\frac{{{{\text{d}}^3}u}}{{{\text{d}}{x^3}}} - \frac{{{b^2}}}{2}{k_{\text{h}}}\frac{{{\text{d}}u}}{{{\text{d}}x}} - {k_{\text{v}}}bw = \\ \qquad - q(x)b+\frac{D}{C}\frac{{{{\text{d}}^2}q(x)}}{{{\text{d}}{x^2}}}, \\ {K \frac{{{{\text{d}}^2}u}}{{{\text{d}}{x^2}}} = {k_{\text{h}}}b\left[ {u - \frac{b}{2} \frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}}} \right].} \\ \end{gathered} \right\} $

式中：K为纵向等效轴向刚度(EA)_eq.

如式(10)所示为高阶非齐次线性微分方程组. 由式(10)可知，隧道结构竖向位移w与水平位移u仍存在耦合关系，可以通过二次解耦的方法得到用竖向位移w表示水平位移u的微分方程表达式. 断层错动荷载主要以强制位移方式体现，而由此产生的地层附加应力对盾构隧道纵向受力影响有限，因此忽略附加荷载q(x)的作用，并进一步化简可以得到由结构竖向位移w表示的6阶微分方程：

(11) $ \frac{{{{\text{d}}^6}w}}{{{\text{d}}{x^6}}}+p\frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{x^4}}}+q\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}}+rw = 0. $

式中：

(12) $ \left. \begin{gathered} p = \frac{{{R_2}D - C{R_1} - CD - \dfrac{1}{4}{{{b^3}}}{k_{\text{h}}}D - 2{G_{\text{t}}}bD}}{{{R_1}D}}, \\ q = \frac{{{b^3}{k_{\text{h}}}C+8{G_{\text{t}}}bC+4D{k_{\text{v}}}+4D{R_3} - 4C{R_2}}}{{4D{R_1}}}, \\ r = \frac{{ - C\left( {{R_3}+{k_{\text{v}}}} \right)}}{{D{R_1}}}, \\ {R_1} = \frac{{\left( {C+\dfrac{1}{4}{{{b^3}}}{k_{\text{h}}}{\text+}2{G_{\text{t}}}b} \right)DK}}{{{k_{\text{h}}}bD - CK}}, \\ {R_2} = \frac{{{b^4}k_{\text{h}}^2D - {b^3}{k_{\text{h}}}CK - 4{k_{\text{v}}}bDK - 8{G_{\text{t}}}bCK}}{{4\left( {{k_{\text{h}}}bD - CK} \right)}}, \\ {R_3} = \frac{{{k_{\text{v}}}CK}}{{{k_{\text{h}}}D - CK}}. \\ \end{gathered} \right\} $

由于式(11)为六阶线性微分方程，可以通过求解得到其通解表达式，为此参考文献[14]的方法，同时利用一元三次方程求根方法，求解得到一元三次方程的1个实根及2个虚根，进而可以得到表征隧道结构竖向位移w的通解表达式：

(13) $ \begin{split} w(x) =\;& {A_1}{{\text{e}}^{ - \rho x}}+{A_2}{{\text{e}}^{\rho x}}+{{\text{e}}^{ - Px}}\left( {{A_3}\cos\; (Nx)+{A_4}\sin\; (Nx)} \right) +\\ &{{\text{e}}^{Px}}\left( {{A_5}\cos\; (Nx)+{A_6}\sin\; (Nx)} \right) .\\[-10pt] \end{split} $

式中：A₁~A₆为待定系数，ρ为特征方程的实根，P、N分别为特征方程的复数解实部和虚部.

隧道水平位移u、结构转角φ、结构弯矩M、结构剪力Q及结构水平轴力F_N均与隧道竖向挠度w满足一定微分关系，将以上变量用隧道竖向挠度w的微分关系表示：

(14) $ u(x) = \frac{{2K{R_1}}}{{{b^3}k_{\text{h}}^2}}\frac{{{{\text{d}}^5}w}}{{{\text{d}}{x^5}}}+\frac{{2K{R_2}}}{{{b^3}k_{\text{h}}^2}}\frac{{{{\text{d}}^3}w}}{{{\text{d}}{x^3}}}+\left( {\frac{{2K{R_3}}}{{{b^3}k_{\text{h}}^2}}+\frac{b}{2}} \right)\frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}}, $

(15) $ \begin{split} \varphi =\;& \frac{{\left( {C+\dfrac{1}{4}{{{b^3}}}{k_{\text{h}}}{\text+}2{G_{\text{t}}}b} \right)D}}{{{C^2}}}\frac{{{{\text{d}}^3}w}}{{{\text{d}}{x^3}}} - \frac{{{b^2}{k_{\text{h}}}D}}{{2{C^2}}}\frac{{{{\text{d}}^2}u}}{{{\text{d}}{x^2}}} - \\ \;& \left( {\frac{{{k_{\text{v}}}bD}}{{{C^2}}}+2\frac{{{G_{\text{t}}}b}}{C} - 1} \right)\frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}}, \end{split} $

(16) $ \begin{split} M = \;&- \frac{1}{{{C^2}}}{{\left( {C+\dfrac{1}{4}{{{b^3}}}{k_{\text{h}}}{\text+}2{G_{\text{t}}}b} \right){D^2}}}\frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{x^4}}}{\text+}\frac{{{b^2}{k_{\text{h}}}{D^2}}}{{2{C^2}}}\frac{{{{\text{d}}^3}u}}{{{\text{d}}{x^3}}} + \\ \;&\left[ {\frac{{{k_{\text{v}}}b{D^2}}}{{{C^2}}}+D\left( {2\frac{{{G_{\text{t}}}b}}{C} - 1} \right)} \right]\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}}, \\[-18pt] \end{split}$

(17) $ \begin{split} Q = \;& - \frac{1}{{{C^2}}}{{\left( {C+\dfrac{1}{4}{{{b^3}}}{k_{\text{h}}}{\text+}2{G_{\text{t}}}b} \right)D}}\frac{{{{\text{d}}^3}w}}{{{\text{d}}{x^3}}}{\text+}\frac{{{b^2}{k_{\text{h}}}D}}{{2{C^2}}}\frac{{{{\text{d}}^2}u}}{{{\text{d}}{x^2}}}+ \\ \;&\left( {\frac{{{k_{\text{v}}}bD}}{{{C^2}}}+2{G_{\text{t}}}b} \right)\frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}}, \end{split}$

(18) $ {F_{\text{N}}} = \frac{{2{K^2}{R_1}}}{{{b^3}k_{\text{h}}^2}}\frac{{{{\text{d}}^6}w}}{{{\text{d}}{x^6}}}+\frac{{2{K^2}{R_2}}}{{{b^3}k_{\text{h}}^{\text{2}}}}\frac{{{{\text{d}}^4}w}}{{{\text{d}}{x^4}}}+\left( {\frac{{2{K^2}{R_3}}}{{{b^3}k_{\text{h}}^2}}+\frac{b}{2}K} \right)\frac{{{{\text{d}}^2}w}}{{{\text{d}}{x^2}}} . $

根据跨断层盾构隧道结构力学响应解析计算模型，沿纵向将盾构隧道划分为断层上盘（活动盘）和断层下盘（固定盘）及断层破碎带（仅深埋岩质地层工况）. 如图2解析计算模型所示，在断层活动盘处施加断层错动强制位移，并保持其他区域不变.

假定正断层错动时错距为U，断层倾角为θ，则根据断层活动盘处边界条件x→−∞时，竖向位移w= − Usin θ，故有待定系数A₁，A₃，A₄=0，此时隧道结构竖向位移w的通解表达式为

(19) $\begin{split} {w_2}(x) = \;&{A_2}{{\text{e}}^{{\rho _2}x}}+{{\text{e}}^{{P_2}x}}\left( {{A_5}\cos \;({N_2}x)+{A_6}\sin\;( {N_2}x}) \right) - \\ & U \sin \;\theta ;\quad -\infty < x <0.\\[-10pt] \end{split} $

根据断层固定盘处边界条件x→+∞时，竖向位移w=0，故有待定系数A₂，A₅，A₆=0，此时隧道结构竖向位移w的通解表达式为

(20) $\begin{split} {w_3}(x) =\;& {A_1}{{\text{e}}^{ - {\rho _3}x}}+{{\text{e}}^{ - {P_3}x}}\left( {{A_3}\cos \;({N_3}x)+{A_4}\sin\;( {N_3}x)} \right) ;\\ &d \leqslant x <+\infty .\\[-8pt] \end{split} $

将断层活动盘、固定盘及断层破碎带处隧道竖向位移w_i的通解表达式联立，并将待定系数重新编号，可以得到隧道结构竖向位移表达式：

(21) $ \left. \begin{gathered} {w_1}(x) = {A_1}{{\text{e}}^{ - {\rho _1}x}}+{{\text{e}}^{ - {P_1}x}}\left( {{A_3}\cos\; ({N_1}x)+{A_4}\sin\; ({N_1}x} \right) + \\ \quad {A_2}{{\text{e}}^{{\rho _1}x}}+{{\text{e}}^{{P_1}x}}\left( {{A_5}\cos\; ({N_1}x)+{A_6}\sin\; ({N_1}x)} \right), \\ \qquad 0 < x \leqslant d ; \\ {w_2}(x) = {A_8}{{\text{e}}^{{\rho _2}x}}+{{\text{e}}^{{P_2}x}}\left( {{A_{11}}\cos \;({N_2}x)+{A_{12}}\sin\; ({N_2}x)} \right)- \\ \qquad U \sin \theta ,\; - \infty < x \leqslant 0; \\ {w_3}(x) = {A_{13}}{{\text{e}}^{ - {\rho _3}x}}+{{\text{e}}^{ - {P_3}x}}\left( {{A_{15}}\cos\; ({N_3}x)+{A_{16}}\sin\; ({N_3}x)} \right), \\ \qquad d < x <+\infty . \\ \end{gathered} \right\} $

式中：A₁~A₆为断层破碎带w₁(x)待定系数；A₈、A₁₁、A₁₂为断层上盘w₂(x)待定系数；A₁₃、A₁₅、A₁₆为断层下盘w₃(x)待定系数.

由于隧道结构在x=a₁及x=a₂处变量竖向位移w、结构转角φ、结构弯矩M、结构剪力Q、结构水平位移u、结构纵向轴力F_N满足连续性条件，以x=a₁处边界条件为例，可以得到6个边界约束方程：

(22) $ \left. \begin{gathered} {{{\left. {{w_1}} \right|}_{x = {a_1}}} = {{\left. {{w_2}} \right|}_{x = {a_1}}},} \\ {\left. {{\varphi _1}} \right|_{x = {a_1}}} = {\left. {{\varphi _2}} \right|_{x = {a_1}}}, \\ - {\left. {{{(EI)}_{{\text{eq}}}}\varphi _1^\prime } \right|_{x = {a_1}}} = {\left. {{{(\kappa GA)}_{{\text{eq}}}}\varphi _2^\prime } \right|_{x = {a_1}}}, \\ - {\left. {{{(EI)}_{{\text{eq}}}}\left( {w_1^\prime - {\varphi _1}} \right)} \right|_{x = {a_1}}} = - {\left. {{{(EI)}_{{\text{eq}}}}\left( {w_2^\prime - {\varphi _2}} \right)} \right|_{x = {a_1}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

(23) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left. {{u_1}} \right|}_{x = 0}} = {{\left. {{u_2}} \right|}_{x = 0}},} \\ {{{\left. {{{(EA)}_{{\text{eq}}}}u_1^\prime } \right|}_{x = 0}} = {{\left. {{{(EA)}_{{\text{eq}}}}u_2^\prime } \right|}_{x = 0}}.} \end{array}} \right\} $

如式(20)所示的结构竖向位移表达式中含有12个待定系数A_i，同时隧道结构在a₁、a₂点共包含12个边界约束条件，将边界约束条件代入式(20)中可以构成12元一次线性方程组，求解该方程组即可得到12个待定系数A_i的值，从而可以求得表征隧道结构竖向位移w的通解表达式.

隧道结构转角φ、结构弯矩M、结构剪力Q、结构水平位移u、结构水平轴力F_N均与隧道竖向挠度w满足一定微分关系，可以根据式(13)~(17)求得以上结构力学响应值.

盾构隧道纵向等效抗弯刚度采用志波由纪夫^[15]等效刚度模型，其计算表达式为

(24) $ {(EI)_{{\text{eq}}}} = \frac{{{{\cos }^3}\;\psi }}{{\cos \;\psi +({\text{π}} /2+\psi )\sin \;\psi }}{E_{\text{s}}}{I_{\text{s}}}, $

(25) $ \psi +\cot \;\psi = \frac{{\text{π}} }{2}+\frac{{{\text{π}} {K_{\text{j}}}{l_{\text{s}}}}}{{{E_{\text{s}}}{A_{\text{s}}}}}. $

式中：E_s为管片混凝土弹性模量，A_s为管片环断面面积，K_j为纵向螺栓抗拉刚度总和，l_s为管片宽度，I_s为管片环横断面惯性矩，ψ为中性轴位置的角度.

盾构隧道纵向等效剪切刚度采用Wu等^[16]研究成果，其计算表达式为

(26) $ {(\kappa GA)_{{\text{eq}}}} = \xi \frac{{{l_{\text{s}}}}}{{\dfrac{{{l_{\text{b}}}}}{{n{\kappa _{\text{b}}}{G_{\text{b}}}{A_{\text{b}}}}}+\dfrac{{{l_{\text{s}}} - {l_{\text{b}}}}}{{{\kappa _{\text{s}}}{G_{\text{s}}}{A_{\text{s}}}}}}}. $

式中：ξ为等效剪切刚度修正系数，l_b为螺栓长度，n为环缝纵向螺栓数量，κ_b、κ_s分别为螺栓及管片环Timoshenko梁剪切系数，G_b、G_s分别为螺栓和管片的剪切刚度，A_b为螺栓横截面积.

地基刚度参数基于Vlasov弹性地基理论确定. Vlasov地基中包含地基受压刚度系数k、竖向地基剪切刚度系数G_t这2个重要参数，可以通过如下公式计算得到：

(27) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {k = \dfrac{{{E_{\text{0}}}\left( {1{{ - }}v} \right)}}{{\left( {1 - 2v} \right)\left( {1{\text+}v} \right)}}\displaystyle \int_0^H {{{\left( {\dfrac{{{\rm{d}}h}}{{{\rm{d}}z}}} \right)}^2}} {\rm{d}}z,} \\ {{G_{\text{t}}} = \dfrac{{{E_{\text{0}}}}}{{4(1+v)}}\displaystyle \int_0^H {{{h}^2}} {\rm{d}}z.} \end{array}} \right\} $

式中：E₀为地层弹性模量；v为土体泊松比；h= h(z)为沿土体深度方向变化的函数；H为地基土的厚度，当H≥2.5b时，H取2.5b，当H＜2.5b，H取土体实际厚度. 以浅埋土质地层工况中正断层错动为例，在进行断层上盘地基弹簧计算时取H为上覆土层厚度，在进行断层下盘地基弹簧计算时取H为下卧层地基土的厚度.

在Vlasov地基中可以假定h服从线性变化或指数变化，本研究选取h沿土体深度方向线性变化，其表达式如下：

(28) $ h{{(z)}} = 1 - {z}/{H} . $

为了验证跨断层盾构隧道解析模型计算结果的合理性，以正断层错动工况为例，采用室内模型试验、梁-弹簧数值计算模型进行对比验证.

采用自主设计的断层错动试验装置，开展跨断层地铁隧道纵向力学响应模型试验研究^[17]. 该试验模型箱尺寸为2 m×1 m×1 m（长×宽×高），模型箱底板分为上盘（活动盘）及下盘（固定盘），为了简化模型，在土质地层工况中忽略断层破碎带宽度的影响. 设置断层倾角为75°，通过底部千斤顶加载装置的顶升与回落，控制模型箱活动底板及左侧钢板的升降，从而实现断层错动效应.

根据试验条件及材料特性，以长度相似比C_L=1∶30、密度相似比C_ρ=1∶1、弹性模量相似比C_E=1∶130作为基础相似比，根据量纲分析理论导出其他相关参数的相似比. 模型试验地层相似材料采用细河沙、石英砂、粉煤灰、机油、凡士林等材料按照一定配比混合而成，通过土的三轴试验测得弹性模量为0.38 MPa、黏聚力为0.31 kPa、内摩擦角为36°.

张景等^[18]采用软质PVC材料制作模型管片主体结构，并内嵌钢丝骨架横向加强，以上2 种材料的结合实现了对横纵向刚度差异较大的盾构隧道的模拟. 本试验模型隧道采用1 mm厚软质PVC板卷裹而成，同时内嵌直径2 mm、间距11 mm的钢丝骨架. 跨断层盾构隧道相似模型试验如图4所示.

试验中采用BFH-120-10AA箔式电阻应变片监测隧道结构纵向应变，通过纵向应变反算结构纵向弯矩，试验监测点布置如图5所示.

室内模型试验对应原型数据参数如下：隧道直径6.4 m，管片厚0.3 m，环宽1.2 m，管片混凝土弹性模量为34.5 GPa，抗弯刚度有效率为0.0462，隧道纵向等效抗弯刚度为4.29×10⁴ MN/m³；环缝螺栓数量为16个，螺栓长0.4 m，螺栓弹性模量为206 GPa；地层弹性模量为45 MPa，断层错距取20 cm. 模型试验对应浅埋土质地层工况.

采用Abaqus有限元软件建立跨断层盾构隧道梁-弹簧模型，其中隧道结构采用考虑剪切效应的B31单元，单元长度取0.5 m，结构抗弯及抗剪刚度与模型试验对应原型数据保持一致，地层采用弹簧单元模拟，地基弹簧刚度按照式(26)计算得到.

在数值模型中对地基弹簧施加节点强制位移，以模拟断层错动效应，隧道结构边界条件为竖向、水平地基弹簧约束. 在数值模型中地层弹簧无法考虑竖向抗剪作用，因此数值计算结果对应于解析解中竖向地基剪切刚度系数G_t=0工况.

数值模型分为浅埋土质地层工况、深埋岩质地层工况，其中浅埋土质地层工况中地层参数与模型试验对应原型数据保持一致，深埋岩质地层工况中取断层上下盘地层弹性模量为1.0 GPa，断层破碎带地层弹性模量为0.1 GPa，断层破碎带宽度为20 m. 其他隧道结构参数及断层倾角与模型试验对应原型数据保持一致. 数值计算模型及相关参数如图6所示.

如图7所示为浅埋土质地层工况下，断层错动20 cm时隧道结构沿纵向的内力分布，其中假定隧道纵向弯矩以拱顶受拉为正，纵向轴力以受拉为正.

由图7(a)可知，解析解、模型试验与数值计算结果规律较吻合. 当正断层错动时，隧道结构在断层上盘产生负弯矩，即拱底受拉；隧道结构在断层下盘产生正弯矩，即拱顶受拉. 解析解与模型试验结果较吻合，而数值计算结果与不考虑竖向地基剪切刚度(G_t=0)条件下的解析解计算结果接近，其值均大于模型试验及解析解结果，其最大弯矩约为解析解计算结果的1.5倍，表明竖向地基剪切刚度对结构纵向弯矩的影响显著，当忽略竖向地基剪切刚度时，计算得到的隧道结构纵向弯矩值偏大.

由图7(b)可知，隧道结构纵向剪力在断层错动面产生显著的集中现象，此时不考虑地基剪切刚度（G_t=0）条件下的解析解结果以及数值计算结果均略小于考虑地基剪切刚度下的解析解计算结果，即在考虑竖向地基剪切刚度时，隧道结构纵向剪力增大. 同时可以发现，数值解和解析解的剪力均大于模型试验的，说明在剪力计算方面仍存在一定误差. 产生这种误差的主要原因是室内模型试验符合“地层-结构”模型，而本研究解析解更符合“荷载-结构”模型，在对模型施加断层强制位移时，断层错动面附近盾构隧道结构剪切受力过于集中. 如图7(c)所示为结构纵向轴力，可以看出，结构纵向最大轴力位于断层错动面附近. 解析解(G_t=0)结果、数值计算结果与解析解计算结果接近，表明竖向地基剪切刚度对隧道结构纵向轴力影响较小.

如图8所示为浅埋土质地层工况下，断层错动20 cm时的隧道结构变形. 可以看出，解析解与数值解计算结果的整体变形规律是一致的. 根据图7 (c)、8(c)，解析解结果与解析解(G_t=0)的结果较接近，表明地基竖向剪切刚度对隧道结构水平位移及纵向轴力无显著影响. 断层错动对结构竖向位移、结构转角的影响范围为0~50 m，而对结构水平位移的影响范围较大，已经超过200 m.

如图9所示为深埋岩质地层工况下，断层错动20 cm时隧道结构沿纵向的内力分布. 可以看出，解析解与数值解的结构内力分布规律较吻合，且与浅埋土质地层工况隧道结构纵向力学响应规律基本一致，其计算差异可以归结为以下几点.

首先在深埋岩质地层工况中，隧道结构纵向内力影响范围均小于同等条件下浅埋土质地层工况的；其次，隧道最大纵向弯矩位于断层上盘处，主要原因是断层破碎带围岩弹性模量较小，在断层错动时，围岩对结构纵向变形的限制作用降低，从而降低了断层破碎带内隧道结构内力. 断层错动下不同断层破碎带围岩条件（变形模量）对隧道结构纵向转角变形的影响如图10所示. 因此，可以认为在同等断层错动条件下，硬质地层中跨断层盾构隧道力学响应更加显著，对结构产生的危害更大.

根据以上2种不同工况下的结构力学响应结果，可知本研究建立的解析模型与室内模型试验、梁-弹簧数值计算结果规律一致，可以较好地模拟跨断层盾构隧道结构纵向力学响应，因此可以认为本研究建立的解析模型是合理的.

在浅埋土质地层工况中，由于上覆土层较厚，断层并没有露出地表，而通常既有隧道与隐伏断层在竖向上存在一定距离L，以垂直距离L作为影响因素，分析其对结构纵向力学响应的影响. 地基刚度参数取值可以根据式（26）计算得到.

如图11所示为既有隧道与断层垂直距离L取不同值时，隧道纵向弯矩的分布. 可以看出，随着垂直距离L的增大，隧道纵向弯矩影响范围增大，而纵向弯矩最大值不断减小. 该现象可以解释为在盾构隧道上跨隐伏断层的条件下，断层顶面与既有隧道的垂直距离L控制着隧道结构的破坏程度与破坏范围. 在相同断层错距条件下，当垂直距离L增大时，隧道结构的破坏程度降低，纵向影响范围增大；当垂直距离L减小时，隧道结构的破坏程度增大，纵向影响范围减小.

将不同工况条件下结构最大纵向弯矩进行对比，可以得到结构最大纵向弯矩M_max与距离L的关系曲线，如图12所示. 可以看出，当正断层错动时，隧道结构最大纵向弯矩位于断层固定盘. 以固定盘处结构受力为例，当垂直距离L=1 m时，隧道结构纵向最大弯矩为37.6 MN·m，当垂直距离L=15 m时，隧道纵向最大弯矩为15.7 MN·m. 可以看出，当既有隧道与断层竖向距离增大时，由于土层厚度增大，结构抵抗断层错动能力增强. 另一方面，上述工况计算得到盾构隧道最大弯矩均超过了结构弹性极限弯矩，表明跨断层盾构隧道极易发生结构损伤破坏.

断层破碎带一般具有一定宽度，在深埋岩质地层工况时，断层破碎带宽度是影响隧道结构纵向力学响应的重要因素，为此针对断层破碎带宽度开展影响性研究. 如图13所示为不同断层破碎带宽度条件下隧道结构纵向弯矩分布. 可以看出，当考虑断层破碎带宽度时，随着断层破碎带宽度增大，隧道结构纵向弯矩影响范围增大，而最大纵向弯矩值减小.

将不同工况条件下结构最大纵向弯矩进行对比，可以得到结构最大纵向弯矩与断层破碎带宽度的关系曲线，如图14所示. 可以看出，当断层破碎带宽度小于10 m时，隧道最大纵向弯矩随着断层宽度增大而显著减小，以断层固定盘处结构受力为例，当断层宽度为0 m时，结构最大纵向弯矩为51.1 MN·m，当断层宽度为10 m时，结构最大纵向弯矩为35.7 MN·m. 当断层破碎带宽度大于10 m后，断层宽度对结构纵向弯矩的影响减弱. 因此，当结构计算中不考虑断层破碎带宽度时，计算得到的隧道纵向力学响应是偏安全的.

须说明的是，断层破碎带宽度影响界限与隧道结构参数、地层物理力学参数有关，不同条件下的断层宽度影响界限是不同的.

结构抗弯刚度有效率η是纵向等效刚度理论最重要的参数，而盾构隧道纵向抗弯刚度有效率η的取值具有不确定性，通常为0.05~0.20^{[15, 19]}. 如图15所示为结构纵向抗弯刚度有效率取不同值时，2种工况下隧道结构纵向最大弯矩的对比. 可以看出，纵向抗弯刚度有效率对结构最大内力影响显著，隧道纵向抗弯刚度有效率从0.046增大到0.240，浅埋土质地层工况结构最大纵向弯矩变为原来的2.26倍，深埋岩质地层工况结构最大纵向弯矩变为原来的2.82倍. 因此，在进行盾构隧道纵向力学性能分析时，应合理选取抗弯刚度有效率η.

弹性极限弯矩是评估盾构隧道结构安全的重要指标，当结构最大弯矩小于弹性极限弯矩时，盾构环缝接头处于弹性变形状态. 盾构隧道弹性极限弯矩表达式如下：

(29) $ {M_{\rm{y}}} = \frac{{{P_{\text{y}}}{{(EI)}_{{\text{eq}}}}}}{{r_{\rm{c}}(1+\sin\; \varphi ){l_{\text{s}}}{k_{\text{j}}}}} . $

式中：P_y为螺栓弹性极限拉力，k_j为单个螺栓抗拉刚度，r_c为隧道轴线到螺栓中点的距离.

如图16所示为不同断层错动量下，隧道结构弹性极限弯矩与结构纵向最大弯矩的关系. 可以看出，当断层错动量为5 cm时，结构纵向最大弯矩均小于弹性极限弯矩，表明此时隧道结构处于弹性变形阶段；当断层错动量为10 cm时，η<0.16对应的结构最大纵向弯矩均大于弹性极限弯矩，表明此时隧道结构已经进入塑性变形阶段；当断层错动量达到15 cm时，任意η取值对应的结构纵向最大弯矩均远大于弹性极限弯矩. 由于解析模型不能合理考虑环缝接头塑性变形，此时若采用解析解计算隧道结构力学响应将产生较大的误差.

为了探讨盾构管片环缝非线性变形对结构纵向力学响应的影响，采用Abaqus有限元软件建立跨断层盾构隧道三维数值模型，模型整体尺寸为150 m×30 m×23.4 m（长×宽×高），在数值模型中隧道结构与地层均采用实体单元模拟，如图17所示. 隧道采用线弹性本构，隧道结构参数与2.1节模型试验对应的原型盾构隧道参数保持一致.

为了研究盾构隧道环缝接头非线性行为对结构纵向力学响应的影响，建立考虑环缝接头的盾构隧道模型，环缝接头采用6.8级普通螺栓，初始弹性模量为210 GPa，螺栓弹塑性刚度比取0.01，采用connector非线性连接器模拟其非线性行为. 为了保证考虑环缝接头的模型与纵向等效刚度模型在弹性阶段具有相同的等效抗弯刚度有效率，依据简支梁弯曲试验反算环缝接头非线性连接器刚度，如图18所示. 具体做法如下. 1）将环缝螺栓应力-应变曲线换算为力-位移曲线，将其代入环缝接头模型中. 2）进行环缝接头模型、纵向等效连续模型的三点弯曲试验，并引入螺栓刚度修正系数λ，通过不断调整螺栓力-位移数据，使环缝接头模型在弹性阶段的跨中挠度与等效连续模型相等.

根据以上方法即可得到相同等效抗弯刚度有效率的环缝接头模型. 螺栓抗剪刚度可以根据螺栓剪切模量G_b与弹性模量E_b关系转化得到. 2种结构模型的弯矩M-转角θ关系曲线如图19所示. 可以看出，环缝接头模型抗弯刚度曲线呈现显著的2阶段变化规律，与文献[20]的描述相同，当结构转角超过1.5×10⁻³ rad后，结构产生显著的塑性变形，此时环缝部分螺栓已经进入塑性变形阶段.

基于上述方法建立跨断层盾构隧道数值模型，隧道环缝之间、管片与地层之间采用硬接触模拟其相互作用，其中管片环缝之间摩擦系数取0.5^[21]，管片与地层之间摩擦系数取0.4^[13]；上覆地层简化为单一地层，土体采用弹塑性本构和Mohr-Coulomb 屈服准则，土体弹性模量为45 MPa，密度为20.8 kg/m³，黏聚力为50 kPa，内摩擦角为40°. 在数值模型中采用节点强制位移方式模拟断层错动过程，数值模型边界条件及断层加载方式如图20所示.

如图21所示为不同断层错动量下，盾构隧道的纵向弯矩分布. 可以看出，环缝接头模型计算得到的隧道纵向最大弯矩小于等效连续模型及解析模型的. 当断层错动量小于15 cm时，环缝接头模型结构纵向最大弯矩与断层错动量呈线性关系，此时环缝接头模型并未发生明显的塑性变形. 当断层错动量超过15 cm后，环缝接头模型计算得到的隧道纵向弯矩随断层错动量的增长速度减弱，表明此时环缝接头模型中发生了显著的塑性变形，结构抵抗变形的能力降低.

管片环缝接头张开量δ是评价盾构隧道结构安全性能的重要指标，按照盾构隧道纵向等效刚度模型理论，可以根据几何关系得到隧道环缝接头张开量^[22]：

(30) $ \delta = \varphi (r_{\rm{c}}+m) = \frac{M}{{{{(EI)}_{{\text{eq}}}}}}(r_{\rm{c}}+r_{\rm{c}}\sin\; \psi ){l_{\text{b}}}. $

式中：m为隧道中心到中性轴的距离.

如图22所示为不同断层错动工况下，盾构隧道环缝接头拱顶张开量分布. 可以看出，3种计算模型得到的环缝接头拱顶张开量变化规律是一致的. 当断层错动量为10 cm时，环缝接头模型与等效刚度模型计算得到的环缝接头最大张开量较接近，此时环缝接头尚处于弹性变形阶段. 当断层错动量达到20 cm时，环缝接头模型计算得到的环缝最大张开量为4.7 mm，其数值远大于解析解及等效刚度模型的计算结果，此时环缝接头已经产生较大的塑性变形.

如图23所示为隧道环缝接头拱顶最大张开量δ_max与断层错动量的关系. 可以看出，当考虑环缝接头塑性变形时，环缝接头张开量随断层错动量的增大而呈现非线性增长趋势. 以本节计算结果为例，当断层错动15 cm时，环缝接头已经产生塑性变形，表明盾构隧道在断层错动作用下易产生环缝接头变形破坏. 因此，在实际工程中应注重提高盾构隧道环缝接头抗拉性能及接头防水能力.

（1）采用本研究解析模型计算得到的盾构隧道纵向力学响应规律与模型试验、数值解计算结果相似，解析模型中的地层竖向剪切刚度系数对结构纵向弯矩影响明显，当不考虑剪切刚度系数时，解析模型得到的隧道纵向弯矩数值偏大.

（2）在浅埋土质地层工况下，结构纵向内力远小于深埋岩质地层工况下的，而结构纵向受力影响范围大于深埋岩质地层工况下的，其主要原因是浅埋土质地层的弹性模量较小，对结构纵向变形的限制作用较小，从而降低了隧道结构纵向内力.

（3）隧道与断层的竖向距离L、断层破碎带宽度d、纵向抗弯刚度有效率η均影响隧道最大纵向内力，其中隧道最大纵向内力随抗弯刚度有效率η的增大而增大，随隧道与断层的竖向距离L、断层破碎带宽度d的增大而减小. 当不考虑断层破碎带宽度时，计算得到的隧道纵向力学响应是偏安全的.

（4）当断层错动量达到20 cm时，纵向等效刚度模型、解析解及环缝接头模型计算得到的接头拱顶张开量均较大，其中环缝接头模型中接头拱顶最大张开量为4.7 mm，表明盾构隧道在正断层错动影响下易产生张拉大变形，严重威胁盾构隧道的运营安全. 因此，在跨断层盾构隧道工程中，应注重提高盾构隧道环缝接头抗拉性能及接头防水能力.

（5）本研究以节点强制位移加载于隧道结构上，以此模拟断层错动作用，计算结果相比实际情况偏保守. 在今后的研究中，可在断层错动荷载等效手段方面开展工作，提升理论解析模型的计算精度.