自Phillips^[1]首次提出利用离心力模拟超重力以来，人类利用超重力不断探索自然界中的物质运动规律，离心试验技术广泛应用于岩土工程、材料制造、海洋科学等领域^[2-4]的研究中. 随着离心机技术的高速发展，离心机的应用从准静态试验^[5-6]逐渐发展到动态试验^[7-8]中. 与地球重力相比，离心超重力不仅具有时空缩尺的特性，还能够增强固液间由于密度差产生的浮力效应^[9]. 在大型岩土体受水力侵蚀后土颗粒细观运动描述^[10]、深海矿物水力运输系统^[11]研究、潜射导弹发射试验^[12]设计、悬浮颗粒长历时沉降^[13]机理研究、高性能合金材料凝固制备^[14]等涉及固液两相物质的研究领域有很好的应用前景. 与理想超重力场相比，离心超重力场是离心机高速旋转产生的模拟超重力场，内部的固液两相间相对运动存在一定的差异. 为了保证试验的适用性和精度，揭示其差异的影响机理显得尤为重要.

自Newton提出万有引力理论以来^[15]，国内外学者对于地球的重力势特征有了较成熟的研究^[16-18]，对航空航天、地球物理、地质勘探等领域有着重要意义. 在离心模型试验中，离心重力势的研究对于揭示离心超重力与理想超重力的差异、开展离心模型试验具有很强的指导依据. 包承纲等^[19]指出离心机的离心力场等势线在水平面上呈同心圆状分布，为离心模型试验带来系统误差. 王巧莎^[20]通过数值模拟弧形水槽中的水压力变化，表现了离心加速度的环向分布特征. 目前研究主要针对离心重力势特征进行定性描述，缺少定量分析.

在离心模型试验中，物质运动规律一直是国内外学者关注的重要问题. Schofield^[21]通过坐标变换，获得物质在模型箱中相对运动的速度和加速度. Lei等^[22]描述了模型中任一质点加速度的物理含义，指出Schofield^[21]对旋转角的定义存在混淆. 凌道盛等^[23]基于运动学和动力学推导了质点运动控制方程，给出忽略地球重力、压力、空气阻力等外力条件下的质点运动解析解，提出了非惯性系效应. 对于考虑复杂外力环境下的情况，赵宇等^[24]考虑空气阻力的作用，利用理论求解了离心试验中的雨滴运动轨迹. Caicedo等^[25]考虑蒸发、风阻的作用，建立了离心模型试验中的雨滴运动数学模型.

上述研究主要针对物质在空气中的运动，未考虑流体的其他作用力，大多忽略了吊篮摆动遗留角的影响. 本文基于旋转非惯性系，提出考虑吊篮摆动遗留角的试验超重力势，严格推导了模型箱中流体压力及物体所受浮力的表达式，考虑地球重力和流体作用的外力作用，建立离心模型试验中静止流体内物体的运动控制方程. 以球形固体为例，揭示了小球的运动规律.

图1给出采用双吊篮对称臂结构形式的离心机示意图，吊篮通过销轴与转臂联接，带动模型箱高速旋转营造超重力环境. 图中，R₀为转臂长度，H为吊篮底板以上高度. 为了描述方便，以离心机主轴和转臂的交点为原点o，以天地向为x轴，转臂方向为y轴，建立随离心机旋转的右手笛卡尔坐标系o-xyz. 假定吊篮和模型箱均具有2个对称面，且对称面重合. 以吊篮底板面中心为原点o'，如图1所示，建立笛卡尔坐标系o'-x'y'z'坐标系，o'-x'y'和o'-y'z'为吊篮的对称面. 坐标轴y'过转臂端点，与转臂的夹角记为遗留角θ ( $ \theta \in (0,90^\circ ] $). 模型箱中的流体相对静止，液面与y'轴的交点距吊篮底板为h.

为了简化起见，给定如下假设. 1)忽略转臂和吊篮变形，即假定转臂和吊篮是刚性的. 2)忽略吊篮和转臂间的转动摩擦. 3)运动物体为刚体，忽略刚体转动. 4)忽略固液间空泡的作用.

从图1可以推出坐标系o-xyz和o'-x'y'z'间的几何变换关系：

(1) $ x = x'\cos \theta - \left( {H - y'} \right)\sin \theta , $

(2) $ y = {R_0}+x'\sin \theta +\left( {H - y'} \right)\cos \theta , $

(3) $ z = - z' . $

记由吊篮、模型箱和模型构成的系统的质心在坐标系o'-x'y'z'中的坐标为(0，H_G，0). 当考虑地球重力作用时，自由液面不再关于坐标面o'-y'z'对称，这种不对称导致吊篮、模型箱和模型系统的重心不再位于y'轴上. 考虑到离心加速度远大于地球重力加速度，流体质量远小于吊篮质量，本文计算时忽略自由液面不对称性的影响，则可以由下式确定：

(4) $ \tan\;\theta = \frac{{{N_0}{g}}}{{{\omega ^2}\left[ {{R_0}+\left( {H - {H_{\rm{G}}}} \right)\cos \theta } \right]}} . $

由于离心加速度场具有非均匀性，离心模型试验时通常在模型中选取一点作为参考点，以该点的离心加速度作为试验离心加速度. 在y'轴上，选取距离o'为H_R的点P_R作为参考点. 利用参考点，式(4)可以改写为

(5) $ \tan \;\theta = {\kappa _0}\frac{1}{{1+\lambda (\theta )}} . $

式中： $ {\kappa _0} = {{{N_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{N_0}} N}} \right. } N} $，其中 $ N $为参考点离心重力加速度和地球重力加速度的比值，

(6) $ N = {\omega ^2}R/g . $

其中：

(7) $ R = {R_0}+\left( {H - {H_{\rm{R}}}} \right)\cos\; \theta . $

无量纲函数 $ \lambda (\theta ) $的表达式为

(8) $ \lambda (\theta ) = \frac{{\left( {{\phi _{\rm{R}}} - {\phi _{\rm{G}}}} \right)\phi \cos\; \theta }}{{1+\left( {1 - {\phi _{\rm{R}}}} \right)\phi \cos \;\theta }} . $

式中： $ \phi $、 $ {\phi _{\rm{G}}} $和 $ {\phi _{\rm{R}}} $均为表征离心机几何参数的无量纲参数，满足

(9) $ {H_{\rm{G}}} = {\phi _{\rm{G}}}H , \ {H_{\rm{R}}} = {\phi _{\rm{R}}}H ,\ H = \phi {R_0} . $

一般来说， $ 0 < {\phi _{\rm{G}}} < {1}/{2} $， $ 0 \leqslant {\phi _{\rm{R}}} \leqslant {2}/{3} $， $ 0 < \phi < \infty $.

式(5)采用如下迭代格式迭代求解：

(10) $ {\theta ^{(0)}} = \arctan\; {\kappa _0}\frac{{1+\left( {1 - {\phi _{\rm{R}}}} \right)\phi }}{{1+\left( {1 - {\phi _{\rm{G}}}} \right)\phi }} , $

(11) $ {\theta ^{(k+1)}} = \arctan\; \left( {\frac{{{\kappa _0}}}{{1+\lambda \left( {{\theta ^{(k)}}} \right)}}} \right) ,\;k = 0,1,2,\cdots\cdots . $

从式(5)、(8)可得如下结论. 1)当 $ \phi = 0 $或 $ {\phi _{\rm{R}}} = {\phi _{\rm{G}}} $时，即转臂趋于无限长或参考点与重心重合时，θ只和N相关. 2)随着N的增加，θ趋向于0， $ \phi $、 $ {\phi _{\rm{R}}} $、 $ {\phi _{\rm{G}}} $变化对θ的影响逐渐减小.

图2给出当 $ {\phi _{\rm{G}}} $=1/5、 $ {\phi _{\rm{R}}} $=1/3时，θ随N变化的曲线图，可得如下结论. 1) $ \phi $对θ的影响不大. 2)当N＞50时，θ接近于0，可以忽略N的影响.

图3给出当N=5， $ {\phi _{\rm{G}}} = 1/5 $时， $ \phi $取1、10、100时，θ随 $ {\phi _{\rm{R}}} $的变化曲线. 可以看出，在低转速条件下，转臂越短，参考点的选取对θ的影响越大.

在超重力试验过程中，模型同时承受地球常重力场和离心超重力场的作用，流体内部压力和流体中物体承受的浮力有别于地球重力场和理想超重力场. 为了方便起见，用试验超重力场来替代地球常重力场和离心超重力场共同作用形成的超重力场.

旋转坐标系o-xyz中任意空间点的试验超重力加速度为

(12) $ {a_x} = - {N_0}{g} , \; {a_y} = {\omega ^2}y ,\; {a_z} = {\omega ^2}z . $

上述试验超重力场存在重力势，势函数G可以表示为

(13) $ G = - {N_0}{g }x{\text+}\frac{1}{2}{\omega ^2}{y^2}+\frac{1}{2}{\omega ^2}{z^2}+c . $

式中： $ c $为常数，由参考等势面确定.

将式(1)、(13)改写为模型箱坐标系中的试验超重力势函数：

(14) $ \begin{split} G{\text{ = }}& - {N_0}{g}\left[ {x'\cos \; \theta - \left( {H - y'} \right)\sin \; \theta } \right]{\text+} \\ & {\text{ }}\frac{1}{2}{\omega ^2}{\left[ {{R_0}+\left( {H - y'} \right)\cos \; \theta +x'\sin \; \theta } \right]^2}+\frac{1}{2}{\omega ^2}{{z'}^2}+c. \end{split} $

流体压力 $ p $和试验超重力势函数之间存在如下关系：

(15) $ p = {\rho _{\rm{l}}}G . $

式中： $\; {\rho _{\rm{l}}} $为流体密度.

利用流体液面压力为0，可以确定式(15)中的常数c：

(16) $ c = - {N_0}{g}\left( {H - h} \right)\sin \; \theta - \frac{1}{2}{\omega ^2}{\left[ {{R_0}+\left( {H - h} \right)\cos\; \theta } \right]^2}. $

将式(16)代入式(14)，再代入式(15)可得

(17) $ p = \bar p+{p_1}+{p_2} . $

式中： $ \bar p $为地球常重力和理想超重力环境下任意一点流体的压力； $ {p_1} $为非均匀离心超重力场产生、与参考点选取有关的附加压力，与空间坐标成线性关系； $ {p_2} $为非均匀离心超重力场产生的空间非线性分布的压力.

(18) $ \begin{split} \bar p =\; &{\rho _{\rm{l}}}N{g } \left\{- \frac{{{N_0}}}{N}[x'\cos \;\theta - \left( {h - y'} \right)\sin \;\theta ]+\right. \\ & \Bigg. {\text{[}}x'\sin\; \theta +\left( {h - y'} \right)\cos \;\theta ]\Bigg\} , \end{split} $

(19) $ {p_1} = {\rho _{\rm{l}}}N{g }\frac{{\left( {{H_{\rm{R}}} - h} \right)\cos \;\theta }}{R}[x'\sin \theta +\left( {h - y'} \right)\cos \;\theta ], $

(20) $ {p_2} = \frac{1}{2}{\rho _{\rm{l}}}N{g }\frac{1}{R}\left\{ {{{\left[ {x'\sin \;\theta +\left( {h - y'} \right)\cos\; \theta } \right]}^2}+{{z'}^2}} \right\}. $

从式(13)可以看出，试验重力场中相对静止流体的等压面表现为中心轴为x轴、母线为抛物线的椭圆抛物面的一部分，流体等压面与水平面的交线为一段圆弧，与过离心机主轴和转臂形成竖直面的交线为抛物线. 为了定量反映模型箱中的流体压力分布与理想超重力场中存在的差异，令N₀= 1，定义变量：

(21) $ \begin{gathered} {\varepsilon _{\rm{v}}} = \frac{{{{y'}_{{\rm{v}}\max }} - {{y'}_{{\rm{v}}\min }}}}{h}= \\ \frac{{\sqrt {\varSigma +ag{\omega ^2}\cos \theta } - \sqrt {\varSigma - ag{\omega ^2}\cos \theta } - a{\omega ^2}\sin \theta \cos \theta }}{{h{\omega ^2}{{\cos }^2}\theta }}, \\ \end{gathered} $

(22) $ {\varepsilon _{\rm{h}}} = \frac{{{{y'}_{{\rm{h}}\max }} - {{y'}_{{\rm{h}}\min }}}}{h} = \frac{{\sqrt \varSigma - \sqrt {\varSigma - {b^2}{\omega ^4}{{\cos }^2}\theta /4} }}{{h{\omega ^2}{{\cos }^2}\theta }}. $

式中： $\varSigma = {g^2}{\sin ^2}\theta - 2c{\omega ^2}{\cos ^2}\theta +{R_0}g{\omega ^2}\sin \;(2\theta)$； $ {y'_{\text{v}}} $为自由液面与过离心机主轴和转臂竖直面的交线上点的y'轴坐标， $ {y'_{\text{h}}} $为自由液面与过坐标系o'-x'y'z'中(0, h, 0)点水平面的交线上点的y'轴坐标， $ {y'_{\text{v}}} $、 $ {y'_{\rm{h}}} $的最大值和最小值分别用下标max和min表示；a和b分别为模型箱沿x'和y'轴的几何尺寸. 在理想超重力下流体等压面为平面，ε_v、ε_h均为0.

图4给出在H = 1.5 m，H_R= 0.5 m，h = a = b = 1 m，N不同的情况下，静止流体自由液面的ε_v、ε_h随R₀的变化曲线，可得如下结论. 1)地球重力作用下的自由液面在竖直方向上会发生明显倾斜，呈现随着N和R₀增大(θ减小)，倾斜程度减小的趋势. 2)随着R₀的增大(θ减小)，自由液面形态在水平方向越来越接近于理想超重力，当R₀ ≥ 0.5 m时，N的不同(θ变化)不会引起自由液面水平方向的明显改变.

假设静止流体中存在体积为V、质量为m的刚性物体，排开流体的质量为 $ {m_{\rm{l}}} = {\rho _{\rm{l}}}V $. 考虑到物体的质心和几何中心不一定重合，记物体质心在o-xyz和o'-x'y'z'坐标系中的坐标分别为 ${ \left( {{x_{\rm{c}}},{y_{\rm{c}}},{z_{\rm{c}}}} \right)}$和 ${\left( {{{x}_{\rm{c}}}',{{y}_{\rm{c}}}',{{z}_{\rm{c}}}'} \right) }$，几何中心在o-xyz和o'-x'y'z'坐标系中的坐标分别为 ${\left( {{x_{\rm{g}}},{y_{\rm{g}}},{z_{\rm{g}}}} \right) }$和 ${\left( {{{x}_{\rm{g}}}',{{y}_{\rm{g}}}',{{z}_{\rm{g}}}'} \right)}$.

物体所受的浮力 $ {{\boldsymbol{F}}^{\rm{p}}} $沿x轴方向的分量 $ F_x^{\rm{p}} $可以表示为

(23) $ F_x^{\rm{p}} = - \int_\varGamma {p{n_x}{\text{d}}\varGamma } = - \int_V {\frac{{\partial p}}{{\partial x}}{\text{d}}V} . $

利用式(12)、(15)、(16)，式(23)可以化简为

(24) $ F_x^{\rm{p}} = {N_0}{m_{\rm{l}}}{{g}} . $

类似可得浮力沿y和z轴的分量 $ F_y^{\rm{p}} $和 $ F_z^{\rm{p }}$分别为

(25) $ F_y^{\rm{p }}= - {\rho _{\rm{l}}}{\omega ^2}V{y_{\rm{c}}} = - N{m_{\rm{l}}}{{g}}\frac{{{y_{\rm{c}}}}}{R} , $

(26) $ F_z^{\rm{p}} = - {\rho _{\rm{l}}}{\omega ^2}V{z_{\rm{c}}} = - N{m_{\rm{l}}}{{g}}\frac{{{z_{\rm{c}}}}}{R} . $

从式(24)、(25)、(26)可以看出，离心超重力引起的浮力为向心力，与物体质心位置有关，存在非均匀性. 当 $ {m_{\rm{l}}} = m $时，物体承受的浮力和离心力相等，若没有其他外力作用，则相对静止的物体将保持相对静止状态.

利用坐标变换关系，可得坐标系o-x'y'z'中物体的浮力分量，

(27) $ \begin{split} F_{x'}^{\rm{p}} =&\; N{m_{\rm{l}}}{{g[(}}{\kappa _0}\cos \;\theta - \sin \; \theta {\text{)}} - \\ & {\text{ }} {R}^{-1}({{{{{x}_{\rm{c}}}}'\sin \;\theta +\left( {{H_{\rm{R}}} - {{{y}_{\rm{c}}}}'} \right)\cos \; \theta }})\sin \;\theta {\text{],}} \end{split} $

(28) $ \begin{split} F_{y'}^{\rm{p}} = &\; N{m_{\rm{l}}}{{g}}\Bigg[ {\text{(}} \cos \; \theta +{\kappa _0}\sin \;\theta {\text{)}} \Bigg. + \\ & \left. {\text{ }}{R}^{-1}({{{{x}_{\rm{c}}}'\sin \; \theta +\left( {{H_{\rm{R}}} - {{y}_{\rm{c}}}'} \right)\cos \; \theta }})\cos \; \theta \right]{\text{,}} \end{split} $

(29) $ F_{z'}^{\rm{p}} = - N{m_{\rm{l}}}{{g}}\frac{{{{z}_{\rm{c}}}}'}{R} . $

从式(27)~(29)可以看出，物体所受浮力可以分解为以下2个部分. 1)地球常重力和理想超重力引起与位置无关(但与参考点选取有关)的常量部分. 2)离心超重力非均匀性引起的与随动坐标x'y'z'线性相关的部分.

由于超重力离心试验是在吊篮中完成的，通过试验观测的物质运动为以吊篮为参考系的相对运动. 建立并求解吊篮坐标系中的物体运动控制方程. 重点关注离心超重力对流体中物体运动规律的影响，为了简洁起见，假定物体的几何中心和质心重合.

根据文献[23]可知，非惯性系o'-x'y'z'中的物体运动控制方程可以写为

(30) $ m\frac{{{{\text{d}}^2}{\boldsymbol{r}}'}}{{{\text{d}}{t^2}}}+2m{\boldsymbol{\omega}} \times \frac{{{\text{d}}{\boldsymbol{r}}'}}{{{\text{d}}t}}+m{\boldsymbol{\omega}} \times \left( {{\boldsymbol{\omega}} \times {\boldsymbol{r}}'} \right) = {\boldsymbol{F}} - m{\boldsymbol{\omega}} \times \left( {{\boldsymbol{\omega }} \times {{\boldsymbol{r}}_0}} \right). $

式中：r₀和r' 分别为o到o'、o'到物体质心的位矢，F为外力.

将式(30)在o'-x'y'z'中展开，可得流体中物体的运动控制方程：

(31) $ \begin{split} & \frac{{{{\text{d}}^2}{{x}_{\rm{c}}}}'}{{{\text{d}}{t^2}}}+2\omega \frac{{{\text{d}}{{z}_{\rm{c}}}}'}{{{\text{d}}t}}\sin \;\theta - {\omega ^2}\left( {{{x}_{\rm{c}}}'\sin\; \theta - {{y}_{\rm{c}}}'\cos\; \theta } \right)\sin \;\theta = \\ & {{{F_{x'}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_{x'}}} m}} \right. } m}+{\omega ^2}\left( {H\cos \; \theta +{R_0}} \right)\sin \; \theta , \end{split} $

(32) $ \begin{split} & \frac{{{{\text{d}}^2}{{y}_{\rm{c}}}}'}{{{\text{d}}{t^2}}} - 2\omega \frac{{{\text{d}}{{z}_{\rm{c}}}}'}{{{\text{d}}t}}\cos\; \theta +{\omega ^2}\left( {{{x}_{\rm{c}}}'\sin\; \theta - {{y}_{\rm{c}}}'\cos \;\theta } \right)\cos\; \theta = \\ & {{{F_{y'}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_{y'}}} m}} \right. } m} - {\omega ^2}\left( {H\cos\; \theta +{R_0}} \right)\cos\; \theta , \end{split} $

(33) $ \begin{gathered} \frac{{{{\text{d}}^2}{{z}_{\rm{c}}}}'}{{{\text{d}}{t^2}}} - 2\omega \left( {\frac{{{\text{d}}{{x}_{\rm{c}}}}'}{{{\text{d}}t}}\sin\; \theta - \frac{{{\text{d}}{{y}_{\rm{c}}}}'}{{{\text{d}}t}}\cos\; \theta } \right) - {\omega ^2}{{z}_{\rm{c}}}' = {{{F_{z'}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_{z'}}} m}} \right. } m}. \end{gathered} $

式中： $ {F_{x'}} $、 $ {F_{y'}} $和 $ {F_{z'}} $为外力矢量F在坐标系o'-x'y'z'中的分量.

离心超重力环境下流体中物体承受的外荷载包括地球重力 ${{\boldsymbol{F}}^{\rm{g}}}$、浮力 ${{\boldsymbol{F}}^{\rm{p}}}$、黏性阻力 ${{\boldsymbol{F}}^{{\rm{ip}}}}$、附加质量力 ${{\boldsymbol{F}}^{\rm{a}}}$和其他外力 ${{\boldsymbol{F}}^{\rm{o}}}$等，

(34) $ {\boldsymbol{F}}{\text{ = }}{{\boldsymbol{F}}^{\rm{g}}}+{{\boldsymbol{F}}^{\rm{p}}}+{{\boldsymbol{F}}^{{\rm{ip}}}}+{{\boldsymbol{F}}^{\rm{a}}}+{{\boldsymbol{F}}^{\rm{o}}} . $

$ {{\boldsymbol{F}}^{{\rm{ip}}}} $^[26]可以表达为

(35) $ {{\boldsymbol{F}}^{{\rm{ip}}}} = - \frac{1}{2}{\rho _{\rm{l}}}{C_{\rm{D}}}S\left| {{\boldsymbol{v}}'} \right|{\boldsymbol{v}}' . $

式中： $ {C_{\rm{D}}} $为阻力系数； $ {\boldsymbol{v}}' $为物体相对流体的运动速度，当流体静止时， $ {\boldsymbol{v}}' $为物体在非惯性系o'-x'y'z'中的相对速度；S为垂直于相对运动的物体有效截面积. 对于流体中的球形固体而言，C_D的经验公式与雷诺数Re有关^[27]，Re表达为

(36) $ {Re} = \frac{{{\rho _{\rm{l}}}|{\boldsymbol{v}}'|D}}{{{\mu _{\rm{l}}}}} . $

式中：D为球型固体的直径， $\mu _{\rm{l}} $为流体黏度.

当物体在流体中变速运动时，流体惯性反作用于物体一个附加质量力 ${{\boldsymbol{F}}^{\rm{a}}}$，

(37) $ {{\boldsymbol{F}}^{\rm{a}}} = - \frac{1}{2}{\rho _{\rm{l}}}V\frac{{{\text{d}}{\boldsymbol{v}}'}}{{{\text{d}}t}} . $

将式(27)~(29)和(35)、(37)代入式(34)，再代入式(31)~(33)，并表示为矩阵形式，不考虑其他力 $ {{\boldsymbol{F}}^{\rm{o}}} $的作用，即令 $ {{\boldsymbol{F}}^{\rm{o}}} = 0 $，可得

(38) $ \frac{{{{\text{d}}^2}{\boldsymbol{{{\boldsymbol{r}}'}}}}}{{{\text{d}}{t^2}}}+{\boldsymbol{{{\boldsymbol{C}}'}}}\frac{{{\text{d}}{\boldsymbol{{{\boldsymbol{r}}'}}}}}{{{\text{d}}t}}+{\boldsymbol{{{\boldsymbol{K}}'{\boldsymbol{r}}'}}} = {{\boldsymbol{F}}'} . $

式中：

(39) $ \begin{split} {\boldsymbol{C'}} = &\frac{4}{{2+\varepsilon }}\sqrt {\frac{{N{{g}}}}{R}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{\sin\; \theta } \\ 0&0&{ - \cos \;\theta } \\ { - \sin \;\theta }&{\cos \;\theta }&0 \end{array}} \right]+\\ &\frac{\varepsilon }{{2+\varepsilon }}\frac{{{C_{\rm{D}}}}}{{{L_{\rm{s}}}}}\left| {{\boldsymbol{v'}}} \right|{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}} , \end{split} $

(40) $ {\boldsymbol{K'}} = - \frac{{2\left( {1 - \varepsilon } \right)}}{{2+\varepsilon }}\frac{{N{g}}}{R}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sin }^2}\theta }&{ - \sin \;\theta \cos \;\theta }&0 \\ { - \sin \;\theta \cos \;\theta }&{{{\cos }^2}\theta }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right] , $

(41) $ {\boldsymbol{F'}} = \frac{{2\left( {1 - \varepsilon } \right)}}{{2+\varepsilon }}N{g}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\kappa _0}\cos \;\theta +{\kappa _{\rm{R}}}\sin \;\theta } \\ { - {\kappa _0}\sin\; \theta - {\kappa _{\rm{R}}}\cos \;\theta } \\ 0 \end{array}} \right] . $

其中， $ \varepsilon $和 $ {\kappa _{\rm{R}}} $为无量纲常数， $ {L_{\rm{s}}} $为物体的特征长度，

(42) $ \varepsilon = \frac{{{m_{\rm{l}}}}}{m} , \ {\kappa _{\rm{R}}} = 1+\frac{{{H_{\rm{R}}}}}{R}\cos \theta , \ {L_{\rm{s}}} = \frac{V}{S} . $

定义无量纲量：

(43) $\left. { \begin{array}{l}{\boldsymbol{\widehat{r}}}={{\boldsymbol{r}}}^{\prime }/h\text{，}\tau =\sqrt{N{g}/R}\text{}\text{}\text{}\text{}t=\omega t\text{，}\\ \widehat{{{\boldsymbol{v}}}^{\prime }}=\text{d}\widehat{{\boldsymbol{r}}}/\text{d}\tau \text \;= \;{{\boldsymbol{v}}}^{\prime }/\left(\omega h\right)\text{，}{\lambda }_{\rm{{L}}}={L}_{\rm{{s}}}/h\text{，}\\ {\lambda }_{\rm{{h}}}=h/R\text{，}{\lambda }_{\mu }=\omega {R}^{2}\displaystyle {{\rho }_{\rm{{l}}}}/{{\mu }_{\rm{{l}}}}.\end{array} } \right\}$

式(38)可以改写成如下的无量纲形式：

(44) $ \frac{{{{\text{d}}^2}{\hat {\boldsymbol{r}}}}}{{{\text{d}}{\tau ^2}}}+{\hat {\boldsymbol{C}}}\frac{{{\text{d}}{\hat {\boldsymbol{r}}}}}{{{\text{d}}\tau }}+{\hat {\boldsymbol{K}}\hat {\boldsymbol{r}}} ={\hat {\boldsymbol{F}}} . $

式中：

(45) $ {\hat {\boldsymbol{C}}} = \frac{4}{{2+\varepsilon }} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{\sin\; \theta } \\ 0&0&{ - \cos\; \theta } \\ { - \sin \;\theta }&{\cos \;\theta }&0 \end{array}} \right] + \frac{{\varepsilon {C_{\rm{D}}}}}{{\left( {2+\varepsilon } \right){\lambda _{\rm{L}}}}} \left| {{\hat {\boldsymbol{v}}'}} \right| {{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}} , $

(46) $ {\boldsymbol{\hat K}} = - \frac{{2\left( {1 - \varepsilon } \right)}}{{2+\varepsilon }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\sin }^2}\;\theta }&{ - \sin \;\theta \cos \;\theta }&0 \\ { - \sin \;\theta \cos \;\theta }&{{{\cos }^2}\;\theta }&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right] , $

(47) $ {\hat {\boldsymbol{F}}} = \frac{{2\left( {1 - \varepsilon } \right)}}{{\left( {2+\varepsilon } \right){\lambda _{\rm{h}}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\kappa _0}\cos\; \theta +{\kappa _{\rm{R}}}\sin \;\theta } \\ { - {\kappa _0}\sin \;\theta - {\kappa _{\rm{R}}}\cos\; \theta } \\ 0 \end{array}} \right] . $

对于球形固体，C_D采用Clift等^[27]推荐的与Re相关的分段经验公式计算，如表1所示. 表中，B = lg Re.

将式(39)~(41)代入式(36)，利用定义的无量纲数，将Re表示为

(48) $ {Re} = \frac{3}{2}\hat v'{\lambda _{\rm{L}}}{\lambda _{\rm{h}}}{\lambda _\mu } . $

$ {\hat {\boldsymbol{K}}} $类似三自由度非线性系统的刚度矩阵，3个特征值为

(49) $ {\lambda _1} = 0 \text{，} {\lambda _2} = {\lambda _3} = - \frac{{2\left( {1 - \varepsilon } \right)}}{{2+\varepsilon }} . $

当 $0 \leqslant \varepsilon < 1.0$，即 $ {m_{\rm{l}}} < m $时，3个特征值均小于等于零；当 $ \varepsilon = 1 $，即 $ {m_{\rm{l}}} = m $时，3个特征值均等于零；当 $ \varepsilon > 1 $，即 $ {m_{\rm{l}}} > m $时，3个特征值均大于等于零. 可见，不同的 $ \varepsilon $表示物体不同的吸收和储存能量的方式.

式(44)是非线性常微分方程，很难得到解析解. 采取数值求解方法，采用4阶-5阶Runge-Kutta算法进行求解. 为了描述方便，记无量纲位置矢量 $ {\hat {\boldsymbol{r}}} $和无量纲速度矢量 $ {{{\text{d}}{\hat {\boldsymbol{r}}}}}/{{{\text{d}}\tau }} $在非惯性坐标系o'-x'y'z'中的分量分别为 $ {\left[ {\xi , \; \eta , \; \zeta } \right]^{\text{T}}} $和 $ {\left[ {\alpha , \; \beta , \; \gamma } \right]^{\text{T}}} $，用下标“₀”表示初始时刻物体无量纲位置和速度，如β₀为τ = 0时的β.

为了验证数值解的正确性，令ε= 0，即忽略流体作用. 此时，式(44)退化为真空中物体的运动控制方程，与文献[23]的情况相同，但后者没有考虑遗留角θ的影响. 图5给出在坐标系 $o - xyz$中，当 $ N{\text{ = 10}}， $ $ {\xi _0}{\text{ = }}{\zeta _0}{\text{ = 0}}， $ $ {\eta _0}{\text{ = 0}}{\text{.5}} ，$ $ {\kappa _{\rm{R}}}{\text{ = 1}}{\text{.12}} ，$ $ {\lambda _{\rm{h}}}{\text{ = 0}}{\text{.25}} $时，利用本文数值方法和文献[23]解析方法得到的物体运动轨迹吻合很好，说明当ε = 0时本文方法的解是正确的. 由于文献[23]未考虑θ，为了反映两者的差异，将本文方程在坐标系 $o' - \xi \eta \zeta $中的数值计算结果与文献[23]的解进行对比，定义变量：

(50) $ {\delta _{\rm{r}}} = \left| {\frac{{\Delta \hat r' - \Delta {{\hat r}_0}}}{{\Delta {{\hat r}_0}}}} \right| \times \text{100\%} . $

式中： $ \Delta {\hat r_0} $为采用文献[23]方法计算得到的物体运动轨迹偏移量的解析解， $ \Delta \hat r' $为在相同工况下利用本文控制方程得到的坐标系 $o' - \xi \eta \zeta$中偏移量的数值计算结果.

图6给出当 $ {\xi _0}{\text{ = }}0 $， $ {\eta _0} $=0.5， $ {\zeta _0}{\text{ = 0}} $， $ {\kappa _{\rm{R}}} $= 1+0.5× cos θ(3+cos θ)， $ {\lambda _{\rm{h}}} $=1/(3+cos θ)，物体以不同初速度β₀在 $ \eta $轴上的无量纲位移为1时， $ {\delta _{\rm{r}}} $随N的变化曲线. 从图6可得如下结论: 1) 当N较小时，吊篮摆动遗留角对物体下落轨迹的影响较大，但随着初速度的增大，吊篮偏转角的影响逐渐减小. 2) $ {\delta _{\rm{r}}} $随着N的增加而快速减小，当N ≥50时，本文与文献[23]的计算结果吻合度较高，遗留角的影响小于0.09%，可以忽略不计.

令ω = 0，即忽略非惯性系的作用. 式(44)退化为常重力下流体中自由下落物体运动控制方程. Brown等^[28]给出流体中自由下落颗粒的极限沉降速度 $ {v_{\rm{s}}} $和C_D的关系式：

(51) $ {C_{\rm{D}}} = \frac{4}{3}\frac{{\rho - {\rho _{\rm{l}}}}}{{{\rho _{\rm{l}}}}}{g}\frac{D}{{{\text{ }}{v_{\rm{s}}}^2}} . $

式中：ρ为物体密度. 图7给出当D = 10⁻² m， $ \;{\rho _{\rm{l}}} $= 1000 kg/m³，ρ = 2 700 kg/m³时，利用本文数值方法和式（51），得到 $ {v_{\rm{s}}} $随 $\; {\mu _{\rm{l}}} $的变化曲线. 可以看出，两者的结果几乎完全相同，说明本文方法在ω = 0时是正确的.

影响离心超重力环境下流体中物体运动的因素有很多，为了简化起见，令 $ {\kappa _0} = 0 $， $ {\kappa _{\rm{R}}} = 1 $，即忽略地球重力场作用，以吊篮底板中心为超重力加速度参考点，以球形固体作为研究对象. 取λ_h=0.1，λ_L= 0.02，λ_μ = 3×10⁸（以ZJU-400参数为例，当λ_μ = 3×10⁸时，N = 100）.

图8给出当ε = 0.5、1、2， $ {\xi _0}{\text{ = }}{\zeta _0}{\text{ = 0}} $， $ {\eta _0}{\text{ = 0}}{\text{.5}} $， $ {\alpha _0}= {\text{ 1}} $， $ \;{\beta _0}{\text{ = }}{\gamma _0}{\text{ = 0}} $时离心超重力和理想超重力作用下圆球的运动轨迹对比. 从图8可得如下结论. 1)当ε = 0.5时，由于圆球所受的离心力大于浮力，圆球在流体中下沉，受科氏力的作用，圆球沿坐标轴 $ \zeta $正向发生偏转. 2)当ε = 1时，离心力与浮力相互抵消，由于不受科氏力的作用，圆球只会沿 $ \xi $方向运动. 3)当ε = 2时，离心力小于浮力，圆球上浮，受科氏力的影响，轨迹向坐标轴 $ \zeta $负向偏转. 4)与理想超重力场相比，当 $ \varepsilon \ne 1 $时，离心超重力场的不均匀性对物体运动的影响相对较小，科氏力作用的影响较大，不可忽略.

为了反映圆球在运移过程中受力的相对大小，根据式（43）定义：

(52) $\left. { \begin{split} & {{\boldsymbol{f}}^{\rm{\omega}} } = \left[ \begin{gathered} 0 \\ \eta - {{\lambda _{\rm{h}}}^{-1}} \\ \zeta \\ \end{gathered} \right],\ {{\boldsymbol{f}}^{\rm{c}}} = - 2\left[\begin{gathered} 0 \\ {{\hat v'}_\zeta } \\ {{\hat v'}_\eta } \\ \end{gathered} \right],\ {{\boldsymbol{f}}^{\rm{{ip}}}} = \frac{{\varepsilon {C_{\rm{D}}}\hat v'}}{{2{\lambda _{\rm{L}}}}}\left[\begin{gathered} \alpha \\ \beta \\ \gamma \\ \end{gathered} \right],\\ & {{\boldsymbol{f}}^{\rm{a}}} = \frac{\varepsilon }{2}\left[ \begin{gathered} {{{{\text{d}}^2}\xi }}/{{{\text{d}}{\tau ^2}}} \\ {{{{\text{d}}^2}\eta }}/{{{\text{d}}{\tau ^2}}} \\ {{{{\text{d}}^2}\zeta }}/{{{\text{d}}{\tau ^2}}} \\ \end{gathered} \right],\ {{\boldsymbol{f}}^{\rm{p}}} = - \varepsilon \left[ \begin{gathered} 0 \\ \eta - {\lambda _{\rm{h}}}^{-1} \\ \zeta \end{gathered} \right]. \end{split}} \right\}$

${{\boldsymbol{f}}^{\omega }}、{{\boldsymbol{f}}^{\rm{c}}}、{{\boldsymbol{f}}^{\rm{ip}}}、{{\boldsymbol{f}}^{\rm{\alpha }}}、{f^{\rm{p}}}$分别用来表征离心力、科氏力、黏性阻力、附加质量力、浮力在 $ \xi $、 $ \eta $、 $ \zeta $轴方向的相对大小.

图9给出当ε= 2, $ {\alpha _0}{\text{ = }}1 $时圆球运动过程中多种力的分量时程曲线，可得如下结论： 1）圆球在 $ \xi $方向只受流体黏性阻力和附加质量力的作用. 2）在 $ \eta $方向，圆球所受的离心力和浮力占主导作用，随着位置的改变表现出非均匀性. 3）在 $ \zeta $方向，科氏力是圆球运动的主要驱动力. 4）黏性阻力在圆球运动过程中的影响相对较大.

图10给出当ε= 0.5、1、2， $ {\xi _0}{\text{ = }}{\zeta _0}{\text{ = 0}} $， $ {\eta _0}{\text{ = 0}}{\text{.5}} $， $ {\alpha _0}{\text{ = }}{\gamma _0}{\text{ = 0}} $， $\; {\beta _0}{\text{ = }} \pm {\text{1}} $时，离心超重力和理想超重力作用下物体的运动轨迹对比，可得如下结论. 1）在理想超重力作用下，圆球轨迹均为平行于 $ \eta $轴的直线. 2）在离心超重力作用下，当ε= 1时，受科氏力的影响，圆球沿 $ \eta $轴发射的运动轨迹在平面内呈螺旋状，当 $ \;{\beta _0} = 1 $时圆球向 $ \zeta $负方向偏转，当 $ \;{\beta _0} = - 1 $时向 $ \zeta $正方向偏转，且沿两相反方向的发射轨迹关于发射点中心对称. 3）在离心超重力场中，当ε= 0.5或2时，圆球在沿两相反方向发射后，偏转方向趋于一致. 4）圆球在 $ o' - \eta \zeta $平面内的运移不会产生 $ \xi $方向的运动.

图11分别给出当ε=0.5、1、2， $ {\xi _0}{\text{ = }}{\zeta _0}{\text{ = 0}} $， $ {\eta _0}= {\text{ 0}}{\text{.5}} $， $ {\alpha _0}{\text{ = }}{\beta _0}{\text{ = 0}} $， $ {\gamma _0}{\text{ = }} \pm {\text{1}} $时，离心超重力和理想超重力作用下物体的运动轨迹对比，可得如下结论: 1）在理想超重力作用下，圆球沿 $ \zeta $轴两相反方向发射的轨迹在 $ o' - \eta \zeta $平面内沿直线 $ \zeta {\text{ = }}0 $对称，当 $ \varepsilon {\text{ = 1}} $时圆球轨迹为平行于 $ \zeta $轴的直线，当 $ \varepsilon \ne {\text{1}} $时圆球轨迹类似于平抛运动. 2）在离心超重力作用下，ε= 1的圆球在 $ {\gamma _0} $ = 1和−1时分别向 $ \eta $轴正、负两方向偏转，两轨迹呈关于发射点中心对称的螺旋状分布. 3）在离心超重力场中，当ε= 0.5或2时，圆球轨迹类似于平抛运动，离心超重力作用下的“抛射”距离与理想超重力作用有明显差异.

（1）当离心加速度较大时，吊篮摆动遗留角接近为0，可以忽略不计.

（2）离心模型试验中的试验超重力等势面和模型箱中静止流体的等压面是以离心机主轴为轴线的旋转抛物面，随着离心加速度的增大，等势面和等压面形态受地球重力的影响而逐渐减小，趋于圆柱面. 物体在流体中所受的浮力具有向心性和非均匀性.

（3）在离心模型试验中，流体内圆球在不同方向受各作用力的影响有较大的差异，沿离心机转臂方向和切向运动时所受的科氏力影响不可忽略，不会产生天地向的运动.

本文只针对简单形状的物体运动规律进行分析，忽略了自身旋转. 在未来工作中，将重点针对物体运动的影响因素进行分析，定量反映非惯性系效应的影响，研究复杂形状的物体运动，为有关试验的开展提供指导依据.