随着科技和经济的快速发展，人类社会面临的决策问题及评估情境越来越复杂，大量充满多样性、不确定性和复杂性的信息对科学决策的水平要求越来越高^[1]. 多属性决策问题作为现代决策科学的重要组成部分，在政治、经济、管理、设计、投资等专业领域都有重要的应用价值^[2]. 由于产品造型设计属性信息存在不完全性和差异性，设计决策专家存在自身偏好、知识结构、科研经验以及教育水平等方面的差异，使得决策结果在很大程度上也存在不确定性和模糊性^[3]. 如何选择具有针对性且客观高效的多属性决策方法，避免产品造型设计存在的信息模糊、数据缺失和真实数值偏差等不确定性问题，对于提高最佳备选方案决策的准确性具有重要的现实意义.

国内外学者对产品造型设计方案的决策问题进行了广泛研究. 杨涛等^[4]基于集成Kano模型和粗糙集理论，提出产品创新设计方案多属性决策评估方法；Chen等^[5]基于幂平均算子构建了多属性在线产品决策推荐模型；Mao等^[6]利用融合语言Z数和平均解距离评估的QFD方法，处理共享汽车设计中决策专家的模糊评估信息；Mohanty等^[7]考虑产品舒适度和造型美学，提出模糊多属性决策方法；Jain等^[8]使用最优最劣法（best worst method，BWM）和扩展多准则妥协解方法对手持产品进行多准则决策；Arifin等^[9]提出使用面向制造与组装设计法、质量屋的户外健身产品多属性规划方法.

产品设计方案多属性决策研究存在部分不足之处. 1）缺乏综合考虑决策专家在多属性决策中存在的犹豫程度、情绪状态或主观偏好等心理行为特征因素. 大多数决策方法基于期望效用理论进行多属性决策，即假设获得的定量信息均为决策专家在完全理性的理想状态下得出。在实际多属性决策过程中，决策专家个体存在局限性，难以给出确切的实际属性值，且存在非理性地表达决策信息以获得期待备选方案排名的策略操控问题. 2）现有研究对存在相似决策观点的专家权重分配过程考虑不足，忽略了少数决策专家持积极意见、多数持消极意见的情况，导致多数决策专家不满意的备选方案获得较好排序. 3）缺乏能够融合多维数据可视化识别的多属性决策方法. 针对产品造型设计方案的多属性决策多基于公式推导和数据计算的虚拟模型方法，无法对备选方案的决策结果进行立体空间展示. 针对上述不足，本研究提出基于单值中智集（single-valued neutrosophic sets，SVNS）和云模型聚类的产品造型设计多属性决策方法，利用云模型聚类对相似决策专家进行集群划分的优点，得到有效的决策专家权重，通过将SVNS的3个隶属度值映射为单值中智立方体（single-valued neutrosophic cube，SVNC），决策产品造型设计方案，解决多属性决策问题中决策专家心理行为特征考虑不足的弊端，构建更加客观与科学的汽车造型设计评价体系.

Zadeh^[10]于1965年提出模糊集（fuzzy sets，FS），Atanassov等^[11-12]对模糊集进行了扩展和优化研究，但模糊集对不完全、不确定和不一致的决策信息的处理精度不高. Smarandache^[13]提出的中智集（neutrosophic sets，NS）能够较好地处理不确定、不连续的信息对多属性决策方法产生的影响.

令X为对象空间，x为空间内任一元素. 集合 $ A \subset X $，由真隶属度函数 $ {T_A}\left( x \right) $、假隶属度函数 $ {F_A}\left( x \right) $、不确定隶属度函数 $ {I_A}\left( x \right) $表示为

(1) $ A = {\text{ }}\{ \left\langle {X,{T_A}\left( x \right),{F_A}\left( x \right),{I_A}\left( x \right)} \right\rangle {\text{ | }}x \in X{\text{\} }}{\text{.}} $

其中T_A（x）、F_A（x）、I_A（x）满足

(2) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{T_A}\left( x \right):X \to \left] {{0^ - },{1^ + }} \right[;}\\ {{F_A}\left( x \right):X \to \left] {{0^ - },{1^ + }} \right[;}\\ {{I_A}\left( x \right):X \to \left] {{0^ - },{1^ + }} \right[{\rm{.}}} \end{array}} \right\}$

对任意 $ x \in X $， $ {T_A}\left( x \right) $、 $ {F_A}\left( x \right) $、 $ {I_A}\left( x \right) $相互独立；在非标准有限数 $ {0^ - }{\text{ = }}0 - \varepsilon $和 $ {1^+}{\text{ = }}1+\varepsilon $中，0和1是标准部分，无穷小数 $ \varepsilon > 0 $是非标准部分； $ \left] {{0^ - },{1^+}} \right[ $为非标准单位区间，其左右边界模糊，满足 $ {0^ - } \leqslant \sup {T_A}\left( x \right)+ \sup {F_A}\left( x \right)+\sup {I_A}\left( x \right) \leqslant {3^+} $. 由于NS隶属度取值在 $ \left] {{0^ - },{1^+}} \right[ $，导致其可应用性较差，Wang等^[14]引入SVNS，隶属度取值在 $ \left[ {0,1.0} \right] $，能够方便地应用于工程设计和科学研究领域.

设X为给定论域，x为空间内任一元素. 集合 $ \tilde A \subset X $，由真、假、不确定隶属度函数表示为

(3) $ \tilde A = {\text{ }}\{ \left\langle {X,{T_{\tilde A}}\left( x \right),{F_{\tilde A}}\left( x \right),{I_{\tilde A}}\left( x \right)} \right\rangle {\text{ | }}x \in X{\text{\} }}{\text{.}} $

式中： $ {T_{\tilde A}}\left( x \right),{F_{\tilde A}}\left( x \right),{I_{\tilde A}}\left( x \right):X \to \left[ {0,1.0} \right] $，满足对 $ \forall x \in X $，存在 $ 0 \leqslant {T_{\tilde A}}\left( x \right)+{F_{\tilde A}}\left( x \right)+{I_{\tilde A}}\left( x \right) \leqslant 3 $.

云模型是处理语言决策问题的新工具，研究者利用TOPSIS^[15]、犹豫信息^[16]、前景理论^[17]等方法聚类优化云模型. 在产品造型设计决策领域自然语言中，云模型可以描述术语或概念的随机性和模糊性，实现概念与数量值间的不确定性转换.

云的数字特征表示为 $ A = \left( {{\text{Ex}},{\text{En}},{\text{He}}} \right) $，其中Ex为期望，指云滴在论域空间分布的中心值；En为熵，指定性概念的随机性程度；He为超熵，指熵的不确定性程度. 设U为给定论域；x为一次随机实现；y为x在定性概念T下的隶属程度，表达式为

(4) $ y = \exp \left( { - \frac{{{{\left( {x - {\text{Ex}}} \right)}^2}}}{{2{{\left( {{\text{En}}'} \right)}^2}}}} \right). $

式中： $ y:\forall x \in U \to \left[ {0,1.0} \right] $为论域U在 $ \left[ {0,1.0} \right] $的映射，每组 $ \left( {x,y} \right) $为1个云滴. 由于云滴 $ \left( {{x_i},{y_i}} \right) $数量不可数并随机分布，使用蒙特卡罗模拟法（Monte Carlo simulation）^[18]获得对T的分数函数近似值为

(5) $ \hat s = \frac{1}{n}\sum\nolimits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} . $

对于任意2朵云 $ {A_1} $、 $ {A_2} $，总计分分别记为 $ {\hat s_1} $、 $ {\hat s_2} $，d为2朵云的空间距离，若 ${\hat{s}}_{1} > {\hat{s}}_{2}$，则 $ {A}_{1} > {A}_{2} $；若 ${\hat{s}}_{2} > {\hat{s}}_{1}$，则 $ {A}_{2} > {A}_{1} $. 设 $ {A_1} $、 $ {A_2} $的相似度为

(6) $ {\text{Sim}}\left( {{A_1},{A_2}} \right) = 1 - \frac{{\left| {\hat s\left( {d\left( {{A_1},{A_2}} \right)} \right)} \right|}}{{\hat s\left( {{A_1}} \right)+\hat s\left( {{A_2}} \right)}}. $

如图1所示为基于SVNS的产品造型设计多属性决策框架，共分为4个部分.

1）评估矩阵构建. 设评估过程有I个备选方案A，J个标准属性B，M位决策专家D. 决策专家分别构造标准属性集和备选方案集的成对比较比率平方矩阵. 2）SVNC空间映射关系. 每个离散SVNS的3个独立隶属度转换为在SVNC三维空间中的映射，分为不可接受区域 $ X_p^N $、高度可靠性区域 $ X_p^V $、可容忍区域 $ X_p^\Theta $. 决策专家须通过云聚类模型获得各标准属性下备选方案的真实值. 3）去中性化. 引入标量模糊隶属度 $ {\delta _{{{\tilde Z}_p}}} $，将上个阶段离散SVNS转换为模糊集合，反模糊化后获得每个标准的折中清晰值，对各标准进行规范化处理获得各标准的相对权重. 4）方案多属性决策. 计算每个备选方案的总体优先级，获得最优方案.

SVNS采用的附加符号分别为第m位专家在评估第p个标准或备选方案时的可信度或投票权 $ \eta _p^m $、第m位专家对第p个标准或备选方案评估错误的度量 $ \xi _p^m $、第m位专家对第p个标准或备选方案估计的置信度 $\; \mu _p^m $，其中 $ m = 1,2, \cdots ,M $， $ \left\langle {\eta _p^m,\xi _p^m,\mu _p^m} \right\rangle $3项相互独立.

每位专家为标准集和备选方案集分别构造成对比较比率的平方矩阵 $ {\boldsymbol{R}}_{J \times J}^m $、 $ {\boldsymbol{R}}_{I \times I}^{\left( {j,m} \right)} $，比较任意2个标准和备选方案的重要性程度. $ {\boldsymbol{R}}_{J \times J}^m $的元素定义为 ${{x_j^m}}/{{x_l^m}}$，其中 $ x_j^m $为第m位决策专家评估的第j个标准的权重优先级. $ {\boldsymbol{R}}_{I \times I}^{\left( {j,m} \right)} $的元素定义为 $ {{x_i^{\left( {j,m} \right)}}}/{{x_l^{\left( {j,m} \right)}}} $，其中 $ x_i^{\left( {j,m} \right)} $为第m位决策专家对第i个备选方案第j个标准的权重优先级.

使用 $ {{\boldsymbol{R}}^m} $表示任一矩阵， $ x_p^m\left( {p = 1,2, \cdots ,n} \right) $为第m位决策专家对第p个标准或备选方案评估的元素优先级， $ n = I $为备选方案集， $ n = J $为标准集.

(7) $ {\boldsymbol{R}}_{}^m = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\dfrac{{x_1^m}}{{x_2^m}}}& \cdots &{\dfrac{{x_1^m}}{{x_l^m}}}& \cdots &{\dfrac{{x_1^m}}{{x_n^m}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\dfrac{{x_p^m}}{{x_1^m}}}&{\dfrac{{x_p^m}}{{x_2^m}}}& \cdots &{\dfrac{{x_p^m}}{{x_l^m}}}& \cdots &{\dfrac{{x_p^m}}{{x_n^m}}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {\dfrac{{x_n^m}}{{x_1^m}}}&{\dfrac{{x_n^m}}{{x_2^m}}}& \cdots &{\dfrac{{x_n^m}}{{x_l^m}}}& \cdots &1 \end{array}} \right]. $

应用相对测量法，导出有序元素 $ x_j^m $的特征向量. $ {X^m} = \left\{ {x_p^m:p = 1,2, \cdots ,n} \right\} $为第m位决策专家的元素优先级. 所有专家对第p个标准或备选方案的决策专家优先级 $ {X^p} = \left\{ {x_p^m:m = 1,2, \cdots ,M} \right\} $的离散SVNS为

(8) $ {\tilde S_p} = \left\{ {\left\langle {x_p^m\left| {{T_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right),{F_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right),{I_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)} \right.} \right\rangle \left| {x_p^m \in {X^p}} \right.} \right\}. $

检查每个比较矩阵的一致性，确保数据的传递性和互易性^[19]. 由文献[20]可知，一致性比率 ${\text{C}}{\text{.r}}{\text{.}} = {{{\text{C}}{\text{.i}}{\text{.}}\left( {{{\boldsymbol{R}}^m}} \right)}}/{{{\text{R}}{\text{.i}}{\text{.}}\left( n \right)}}$，其中 ${\text{C}}{\text{.i}}.\left( {{{\boldsymbol{R}}^m}} \right) = \left({{{\lambda _{\left( {{B^m},\max } \right)}} - n}}\right)/ ({{n - 1}})$为一致性指数， $ {\text{R}}{\text{.i}}.\left( n \right) $为随机不一致性， $ {\lambda _{\left( {{B^m},\max } \right)}} $为 $ {{\boldsymbol{R}}^m} $的最大特征值. 在一般情况下，C.r.≤0.1. 若 $ {\text{C}}{\text{.r}}.\left( {{{\boldsymbol{R}}^m}} \right) \geqslant 0.1 $，则虚假等级 $ {F_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right) = 1 $；若 $ 0< \text{C}\text{.r}\text{.} \left({{\boldsymbol{R}}}^{m}\right)<0.1 $，则评估结果仍被视为与决策过程相关，越接近0.1时， $ x_p^m $的可信度越低. 将 $ \left\langle {{T_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right),{F_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right),{I_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)} \right\rangle \in {\left[ {0,1.0} \right]^3} $转换为在空间中的映射，

(9) $ \left. \begin{array}{l} {T_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right) = y\left( {\eta _p^m} \right) = \dfrac{{Vp\left( {x_p^m} \right)}}{{{\rm{max}}\left( {Vp\left( {x_p^m} \right)} \right)}};\\ {F_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right) = y\left( {\xi _p^m} \right) = \\ \qquad \; \; \qquad \left( {\dfrac{{\xi _p^m}}{{{(\xi^\prime) }^p}},\xi _p^m\leqslant{(\xi ^\prime) }^p} \right) \cup (1,\xi _p^m>{(\xi ^\prime) }^p);\\ {I_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right) = y\left( {\mu _p^m} \right) = \dfrac{{{\rm{max}}\left( {{\rm{Sc}}_p^m} \right) - {\rm{Sc}}_p^m}}{{{\rm{max}}\left( {{\rm{Sc}}_p^m} \right)}}. \end{array} \right\} $

式中： $ Vp\left( {x_p^m} \right) $为评估第p个标准或备选方案的决策专家权重， ${(\xi ')^p}$为第p个标准或备选方案优先级评估中可接受的最大误差， $ Sc_p^m $为第m位专家在评估第p个标准或备选方案优先级时的置信度.

将SVNS的3个独立隶属度映射在三维空间中形成SVNC，如图2所示. 图中，V、N为点. 不可接受的SVNC区域为面 ${D_1} = {N_2}\,{N_3}\,{N_7}\,{N_6}$、面 ${D_2} = {N_3}\,{N_4}\,{N_8}\,{N_7}$，面 ${D_3} = {N_5}\,{N_6}\,{N_7}\,{N_8}$；面 $D = {D_1} \cup {D_2} \cup {D_3}，$包括具有0%真隶属度、100%虚假隶属度或100%不确定性隶属度的所有区域

(10) $ \begin{split} X_p^N =& \left\{ {x_p^m \in {X_p}\left| {\left( {{T_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right) = 0} \right) \vee \left( {{F_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right) = 1} \right) \vee }\right.}\right.\\ &\left.{\left( {{I_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right) = 1} \right) }\right\}. \\[-13pt] \end{split}$

此区域所有元素应提前排除，最大不可忍受点为 $ {N_7} = \left( {0,1,1} \right) $. 子立方体 $ V \in N $代表高度可靠性区域，包括具有高于50%真隶属度、低于50%假隶属度或低于50%不确定性隶属度的所有区域

(11) $\begin{split} & X_p^V = \left\{ {x_p^m \in {X_p}\left| {\left( {0.5\leqslant{T_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)\leqslant1} \right) \vee }\right.}\right.\\ &\left.{\left( {0\leqslant{F_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)\leqslant0.5} \right) \vee\left( {0\leqslant{I_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)\leqslant0.5} \right) }\right\} .\end{split} $

此区域所有元素能够做出重大贡献. 理想SVNS可靠区域点为 $ {V^{\text{*}}} = {V_1} = {N_1} = \left( {1,0,0} \right) .$ $\varTheta = N\cap ﹁V\cap ﹁N$代表可容忍区域，包括具有低于50%真隶属度、高于50%假隶属度或高于50%不确定性隶属度的所有区域

(12) $\begin{split}& X_p^\varTheta = \left\{ {x_p^m \in {X_p}\left| {\left( {0\leqslant{T_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)\leqslant0.5} \right) \vee}\right.}\right.\\ &\left.{ {\rm{ }}\left( {0.5\leqslant{F_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)\leqslant1} \right) \vee\left( {0.5\leqslant{I_{{{\tilde S}_p}}}\left( {x_p^m} \right)\leqslant1} \right)}\right\} .\end{split} $

此区域所有元素能够做出轻微贡献.

1）将 $ {\tilde S_p} 转换为$ $ {\tilde Z_p} = \left\{ {\left( {x_p^m\left| {{\delta _{{{\tilde Z}_p}}}\left( {x_p^m} \right)} \right.} \right)} \right\} .$ 若 ${x}_{p}^{m}\notin {X}_{p}^{N}$，则 $ {\delta _{{{\tilde Z}_p}}}\left( {x_p^m} \right) \in \left[ {0,1.0} \right] $为该点和点 $ {V^{\text{*}}} $间的欧几里得距离；若 $ x_p^m \in X_p^N $，则分配其标量模糊隶属度为0，

(13) $ \begin{split} &{\delta }_{{\tilde{Z}}_{p}}\left({x}_{p}^{m}\right)=\\ &\left\{\begin{array}{l}1 - \sqrt{{\left(1 - {T}_{{\tilde{Z}}_{p}}\left({x}_{p}^{m}\right)\right)}^{2} + {F}_{{\tilde{Z}}_{p}}{\left({x}_{p}^{m}\right)}^{2} + {I}_{{\tilde{Z}}_{p}}{\left({x}_{p}^{m}\right)}^{2}},{x}_{p}^{m}\notin {X}_{p}^{N};\\ 0,\begin{array}{cc}& \end{array}{x}_{p}^{m}\in {X}_{p}^{N}.\begin{array}{cccc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}& \end{array}& \end{array}& \end{array}& & & \end{array}\end{array} \right. \end{split}$

式中： $ {x}_{p}^{m},{x}_{{p}^{\prime }}^{m}\in {X}_{p}，m=1,2,\cdots ,M ；若$ $ {\delta }_{{\tilde{Z}}_{p}}\left({x}_{p}^{m}\right)＞ $ $ {\delta }_{{\tilde{Z}}_{p}} \left({x}_{{p}^{\prime }}^{m}\right) $，则 $ x_p^m $比 $ x_{p'}^m $更可靠.

2）重心法（center of gravity，COG）反模糊化 $ {\tilde Z_p} $为

(14) $ {\text{Cog}}\left( {\tilde Z} \right) = \dfrac{{\displaystyle\sum\nolimits_{x \in X} {x {\delta _{\tilde Z}}\left( x \right)} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{x \in X} {{\delta _{\tilde Z}}\left( x \right)} }}. $

每个标准的折中清晰值 $e^ {*} _p = \psi ^{ *} _p \in {\rm{R}}$，其中优先级权重

(15) $ \psi ^ {*} _p = \dfrac{{\displaystyle\sum\nolimits_{m = 1}^M {x_p^m {\delta _{{{\tilde Z}_p}}}\left( {x_p^m} \right)} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{m = 1}^M {{\delta _{{{\tilde Z}_p}}}\left( {x_p^m} \right)} }}. $

须保留备选方案的差异性，对各标准优先级权重 $ \psi ^{ *} _{j }$进行规范化处理，其相对权重为

(16) $ \psi '^{ *}_{j }= \frac{{\psi ^ {*} _{j}}}{{\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^J {\psi ^ {* }_{j}} }}. $

由总体加权和计算方案的总体优先级得分

(17) $ x_i^G = \sum\nolimits_{j = 1}^J {\psi '^{*}_{j }\cdot {\psi ^ * }_i^j, \; i = 1,2, \cdots , \; I} ;\;\; x_i^G \in {X^G}. $

式中： $ {\psi ^ * }_i^j $为第i个备选方案第j个标准的折中清晰值. $ {A^{\text{*}}} $为最佳备选方案，满足 $ x_{{A^*}}^G = \max \left( {x_i^G} \right), i = 1,2, \cdots ,I $.

所提出方法通过Matlab实现.

如图3所示，建立基于云模型聚类的决策专家权重分配框架。决策框架分为以下3个部分. 1）意见可靠性检测与管理. 给出备选方案集和决策专家集后，获得备选方案矩阵的犹豫模糊偏好关系（hesitant fuzzy reciprocal preference relations，HFPR ）和模糊偏好关系（fuzzy preference relation，FPR）；由邻接矩阵获得哈达玛乘积，引入长度为3的循环数，获得顺序一致性指数（ordinal consistency index，OCI）；计算个人意见和集体意见的偏差，获得意见可靠性指数（opinionreliability index，ORI）. 2）基于云模型聚类和多粒度语言的决策专家聚类方法. 将自然语言评估集合中的任一元素转换为对应的云模型，通过计算获得云；将上个阶段筛选后合格决策专家的每个单独的决策矩阵分配到临时集群，根据聚类的阈值，形成 $ P\left( {1 \leqslant P \leqslant M} \right) $个子集群. 3）群体一致性测度检验. 由云的方差计算式得到子集群的总体权重，根据决策专家权重比例，获得子集群决策矩阵和群决策矩阵；计算子集群与群决策矩阵的群体一致性测度，根据所有群体一致性测度的加权和与共识阈值，计算集群的意见是否存在偏差，决定是否对决策专家的意见进行相应调整.

使用犹豫模糊偏好关系 $ {\boldsymbol{H}} = {\left[ {{h_{xy}}} \right]_{I \times I \subset A \times A}} $表示备选方案矩阵，其中 $ {h_{xy}} = \left\{ {h_{xy}^{\left( l \right)}\left| {l = 1,2, \cdots ,\# {h_{xy}}} \right.} \right\} $为犹豫模糊元素（hesitant fuzzy elements，HFE），表示 $ {A_x} $对 $ {A_y} $偏好度的所有可能值， $ \# {h_{xy}} $为 $ {h_{xy}} $的元素个数. $ {\boldsymbol{R }}= {\left[ {{r_{xy}}} \right]_{I \times I}} $为模糊偏好关系， $ {\boldsymbol{E}} = {\left[ {{e_{xy}}} \right]_{I \times I}} $为 $ {\boldsymbol{R}} $的邻接矩阵，其中

(18) $ {e_{xy}} = \left\{ \begin{gathered} 1, \\ 0, \\ \end{gathered} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{xy}} \geqslant 0.5,\left( {x \ne y} \right);} \\ 其他 . \end{array} $

若 $ {\boldsymbol{R}} $不存在顺序一致性，则满足以下条件之一. 1) $ {r_{xg}} \geqslant 0.5，$ $ {r}_{gy}>0.5， $但 $ {r_{xy}} \leqslant 0.5； $2) $ {r}_{xg}>0.5 ，$ $ {r}_{gy}＞ 0.5 $，但 $ {r_{xy}} \leqslant 0.5 $；3) $ {r_{xg}} = 0.5 $， $ {r_{gy}} = 0.5 $，但 $ {r_{xy}} \ne 0.5 $.

设节点集 $ U = \left\{ {{u_1},{u_2}, \cdots ,{u_I}} \right\} $，针对长度为3的循环进行分析，如 $ {u_x} \to {u_k} \to {u_y} \to {u_x} $. Xu等^[21]提出顺序一致性指数，表达式为

(19) $ O = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{x = 1}^I {\displaystyle\sum\nolimits_{y = 1}^I {{q_{xy}}} } }}{3} - \chi . $

式中： $ \chi $为满足长度为3的循环数；Q为 ${{\boldsymbol{E}}^2}$和 ${{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}}$的哈达玛乘积， ${\boldsymbol{Q}} = {\left[ {{q_{xy}}} \right]_{I \times I}} = {{\boldsymbol{E}}^2} \circ {{\boldsymbol{E}}^{\rm{T}}} $. 当且仅当 $O = 0$时， ${\boldsymbol{ R}} $是顺序一致的.第 $ \gamma $个决策专家 $ D_M^\gamma $的矛盾度定义为

(20) $ {\vartheta }_{\gamma }=\#{h}_{xy}-\#\left(O\left({{\boldsymbol{R}}}_{\varepsilon \in \left\{1,2, \cdots , \text{\#}{h}_{xy}\right\}}^{{H}_{\gamma }}\right)=0\right). $

式中： $\#\left(O\left({{\boldsymbol{R}}}_{\varepsilon \in \left\{1,2,\;\cdots ,\; \text{\#}{h}_{xy}\right\}}^{{H}_{\gamma }}\right)=0\right)$为决策专家给出的备选方案矩阵中顺序一致性指数为0的个数. 定义可接受的顺序一致性参数 $ \;\rho \in \left[ {0,1} \right] $，当 $ 0 \leqslant {\vartheta _\gamma } \leqslant \rho \times {\text{\# }}{h_{xy}} $时， $ D_M^\gamma $提供可接受意见，可以参与下一阶段决策；当 $ \rho \times \text{\#}{h}_{xy}＜{\vartheta }_{\gamma }\leqslant \text{\#}{h}_{xy} $时， $ D_M^\gamma $的意见被认为是不可靠的，须引入调解员进行劝说与管理. 设目前的决策专家权重为 ${\boldsymbol{\omega}} = {\left[ {{\omega _1},{\omega _2}, \cdots ,{\omega _M}} \right]^{\text{T}}}$，满足 $ \sum\nolimits_\gamma ^M {{\omega _\gamma } = 1} $， ${\omega _1} = {\omega _2} = \cdots = {\omega _M} = {1}/{M}$，通过加权算术平均运算符，集体 $ {\boldsymbol{H}} = {\left[ {{h_{xy}}} \right]_{I \times I}} $，

(21) $ {h_{xy}} = \sum\nolimits_{x,y = 1}^I {\sum\nolimits_{\gamma = 1}^M {{\omega _\gamma } {h_{xy,\gamma }}} } . $

$ {{\boldsymbol{H}}_\gamma } $和 $ {\boldsymbol{H}} $的偏差为

(22) $ \left. \begin{array}{l} D_{\rm{L}}^\gamma = \dfrac{1}{{{I^2}}}\displaystyle\sum\nolimits_{x = 1}^I {\displaystyle\sum\nolimits_{y = 1}^I {d\left( {{h_{xy,\gamma }},{h_{xy}}} \right)} } ,\\ d\left( {{h_{xy,\gamma }},{h_{xy}}} \right) = \dfrac{1}{{\# {h_{xy}}}}\displaystyle\sum\nolimits_{h_{xy,\gamma }^{\left( l \right)} \in {h_{xy,\gamma }};h_{xy}^{\left( l \right)} \in {h_{xy}}} {\left| {h_{xy,\gamma }^{\left( l \right)} - h_{xy}^{\left( l \right)}} \right|} . \end{array} \right\}$

式中： $ h_{xy,\gamma }^{\left( l \right)} $、 $ h_{xy}^{\left( l \right)} $分别为 $ {h_{xy,\gamma }} $、 $ {h_{xy}} $的第 $ l $个元素， $D_{\rm{L}}^\gamma \in \left[ {0,1} \right]$.

由于决策专家的意见须进行矛盾检测，引入可接受的可靠性水平，意见可靠性指数定义为

(23) $ r_\gamma = \kappa - D_{\rm{L}}^\gamma . $

式中： $ \kappa \in \left[ {0,1} \right] $为可接受的偏差阈，特点如下：1）若 $r_\gamma \geqslant 0$，则为可接受的可靠性意见；2）若 $r_\gamma＜0$，则为不可接受意见，须引入调解员进行劝说.

由于决策专家数量多且存在差异性，很难使用同一标准的语言评估集准确表达其评估意见，因此，决策专家根据需求选择不同语言短语数目的多粒度语言评估集，更能发挥决策专家的主观能动性.

自然语言评估集合 ${G^l} = \left\{ {g_i^l\left| {i = 0,1, \cdots ,2{\varepsilon _l},\; {\varepsilon _l} \in {\boldsymbol{{\rm{N}}}} } \right.} \right\}$ ， $ 2{\varepsilon _l} $为元素数目，任一元素 $g_i^l $可以近似转换为对应的云，记作 $ A_i^l = \left( {{\text{Ex}}_i^l,{\text{En}}_i^l,{\text{He}}_i^l} \right) $. 云模型 $ \left\{ {A_0^l,A_1^l, \cdots ,A_{2{\varepsilon _l}}^l} \right\} $的多粒度语言转换方法为

(24) $ {\phi }_{i}^{l}=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{{\sigma }^{{\varepsilon }_{l}}-{\sigma }^{{\varepsilon }_{l}-i}}{2{\sigma }^{{\varepsilon }_{l}}-2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \leqslant i \leqslant {\varepsilon }_{l};\\ \dfrac{{\sigma }^{{\varepsilon }_{l}}+{\sigma }^{i-{\varepsilon }_{l}}-2}{2{\sigma }^{{\varepsilon }_{l}}-2},\;\;\;\;{\varepsilon }_{l} < i \leqslant 2{\varepsilon }_{l}.\end{array}\right. $

式中： $ \sigma \approx 1.37 $^[22].

(25) $ {\text{Ex}}_i^l = {X_{\min }}+\varphi _i^l\left( {{X_{\max }} - {X_{\min }}} \right). $

(26) $ {\text{En}}_i^l=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{c} \dfrac{{\phi }_{i}^{l}\left({X}_{\mathrm{max}}-{X}_{\mathrm{min}}\right)}{6}, \quad i={\varepsilon }_{l};\\ \dfrac{{\text{En}}_{i+1}^{l}}{\left(1-2\left({\phi }_{i+1}^{l}-{\phi }_{i}^{l}\right)\right)}, \quad 0 \leqslant i < {\varepsilon }_{l};\end{array}\\ \dfrac{{\text{En}}_{i-1}^{l}}{\left(1-2\left({\phi }_{i}^{l}-{\phi }_{i-1}^{l}\right)\right)}, \quad {\varepsilon }_{l} < i\leqslant 2{\varepsilon }_{l}.\end{array}\right. $

(27) $ {\text{He}}_{i}^{l}=\left\{\begin{array}{l}\dfrac{{\text{He}}_{i+1}^{l}}{\left(1-2\left({\phi }_{i+1}^{l}-{\phi }_{i}^{l}\right)\right)}, \quad 0 \leqslant i \leqslant {\varepsilon }_{l};\\ \dfrac{{\text{He}}_{i-1}^{l}}{\left(1-2\left({\phi }_{i}^{l}-{\phi }_{i-1}^{l}\right)\right)}, \quad {\varepsilon }_{l} < i\leqslant 2{\varepsilon }_{l}. \end{array} \right.$

式中：设 $ {\text{He}}_{{\varepsilon _l}}^l = 0.1 $^[22]. 把上个阶段筛选后合格的决策专家进行云模型聚类，云 $ {A_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,I} \right) $形成 $ P\left( {1 \leqslant P \leqslant M} \right) $个集群，分别记为 $ {C_1},{C_2}, \cdots ,{C_p}, \cdots ,{C_P} $，每个集群对应的个数为 $ {c_1},{c_2}, \cdots ,{c_p}, \cdots ,{c_P} $，具体算法如算法1所示.

算法1　 云模型聚类算法

输入：云模型决策矩阵 ${{\boldsymbol{G}}_m} = {\left[ {{g_{ij,m}}} \right]_{I \times J}}$，设聚类阈值 $\varDelta$用于判断某朵云是否应进入某子集群中.

输出：集群数量 $ P $，对应个数 $ {c_1},{c_2}, \cdots ,{c_p}, \cdots ,{c_P} $.

1. 将每个单独的决策矩阵分配到临时集群 ${\varPhi _\iota }\left( {\iota = 1,2, \cdots ,o} \right)$，其中 $ P = o $， $ {c_p} = 1 $， $ p = 1,2, \cdots, P $.

2. 计算相似性矩阵 $ {\left[ {{S_{i,j}}} \right]_{P \times P}} $.

3. 最大相似性集群 ${S_{\max }}\left\{ {i',j'} \right\} = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i',j' \leqslant P} \left\{ {{S_{i',j'}}} \right\}$.

4. while ${S_{\max }}\left\{ {i',j'} \right\} \geqslant \varDelta$ do.

5. 将集群 ${\varPhi _i}$和 ${\varPhi _j}$合并为新的集群：

(28) $ \left. \begin{array}{l} {\rm{Ex = }}\dfrac{{{\rm{E}}{{\rm{x}}_i}{\rm{E}}{{{\rm{n'}}}_i}{\rm{ + E}}{{\rm{x}}_j}{\rm{E}}{{{\rm{n'}}}_j}}}{{{\rm{E}}{{{\rm{n'}}}_i}{\rm{ + E}}{{{\rm{n'}}}_j}}}{\rm{;}}\\ {\rm{En = E}}{{{\rm{n'}}}_i}{\rm{ + En'}};\\ {\rm{He = }}\dfrac{{{\rm{H}}{{\rm{e}}_i}{\rm{E}}{{{\rm{n'}}}_i}{\rm{ + H}}{{\rm{e}}_j}{\rm{E}}{{{\rm{n'}}}_j}}}{{{\rm{E}}{{{\rm{n'}}}_i}{\rm{ + E}}{{{\rm{n'}}}_j}}}{\rm{.}} \end{array} \right\}$

若 $ p = i' $， $ {c_p} = {c_{i'}}+{c_{j'}} $，则P=P−1；若 ${j}^{\prime }＜p\leqslant P-1$， $ {c_p} = {c_{p+1}} $，则P=P−1.

6. 计算新集群和其余每个集群之间的相似性，获得相似性矩阵 $ {\left[ {{S_{i,j}}} \right]_{P \times P}} $.

7. 最大相似性集群 ${S_{\max }}\left\{ {i',j'} \right\} = \mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i', j' \leqslant P} \left\{ {{S_{i',j'}}} \right\}$.

8. return $ P，{c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{P} $.

设云 $ A = \left( {{\text{Ex,En,He}}} \right) $的方差为

(29) $ {\upsilon _A} = {\text{E}}{{\text{n}}^2}+{\text{H}}{{\text{e}}^2}. $

子集群 $ {C_p} $的总体权重为

(30) $ \left. \begin{array}{l} {\upsilon _p} =\alpha \dfrac{{\dfrac{{{\upsilon _{\max }}}}{P} - \dfrac{1}{{I \cdot J}}\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^I {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^J {\dfrac{{{\upsilon _{ij,p}}}}{P}} } }}{{{\upsilon _{\max }} - \dfrac{1}{{I \cdot J}}\displaystyle\sum\nolimits_{i = 1}^I {\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^J {\displaystyle\sum\nolimits_{p = 1}^P {\dfrac{{{\upsilon _{ij,p}}}}{P}} } } }} + \\ \qquad \left( {1 - \alpha } \right)\dfrac{{{c_p}}}{{\displaystyle\sum\nolimits_{p = 1}^P {{c_p}} }},\\ 0\leqslant{\upsilon _p}\leqslant1,\displaystyle\sum\nolimits_{p = 1}^P {{\upsilon _p} = 1}, {\upsilon _{\max }} = {\max _{i,j,p}}\left\{ {{\upsilon _{i,j,p}}} \right\}. \end{array} \right\} $

式中： $\alpha \in \left[ {0,1.0} \right]$为控制方差信息和集群规模影响的参数，若 $ \alpha ＞0.5 $，则方差信息更重要，否则为集群规模. 同一集群中的决策专家具有相似观点，应被赋予相同权重. 在不同集群中， $ D_M^\gamma $的权重比例为

(31) $ {\hat \omega _\gamma } = \frac{1}{{{c_p}}}. $

获得 $ {C_p} $的决策矩阵 $ {{\boldsymbol{W}}^p} = {\left[ {w_{xy}^p} \right]_{I \times I}} $，

(32) $ w_{xy}^p = {\hat \omega _\gamma } \sum\nolimits_{\gamma = 1}^{{c_p}} {{h_{xy,\gamma }}} . $

同理，获得群决策矩阵 $ {{\boldsymbol{T}}^c} = {\left[ {t_{xy}^c} \right]_{I \times I}} $，

(33) $ t_{xy}^c = \sum\nolimits_{p = 1}^P {{\upsilon _p} w_{xy}^p} . $

$ {{\boldsymbol{W}}^p} $与 $ {{\boldsymbol{T}}^c} $间的群体一致性测度为

(34) $ \begin{split} \left. \begin{array}{l} {\varpi ^p} = d\left( {{W^p},{T^c}} \right) = \dfrac{1}{{{I^2}}}\displaystyle\sum\nolimits_{x = 1}^I {\displaystyle\sum\nolimits_{y = 1}^I {d\left( {w_{xy}^p,t_{xy}^c} \right),} } \\ d\left( {w_{xy}^p,t_{xy}^c} \right) = \dfrac{1}{K}\displaystyle\sum\nolimits_{w_{xy,k}^p \in w_{xy}^p,t_{xy,k}^c \in t_{xy}^c} {\left| {w_{xy,k}^p - t_{xy,k}^c} \right|} .　 \end{array} 　 \right\} \end{split} $

式中： $ K $为 $ w_{xy}^p $和 $ t_{xy}^c $的元素数. $ 0 \leqslant {\varpi ^p} \leqslant 1.0 $需满足以下属性：1）若 $ {\varpi ^p} = 0 $，则说明 $ {W^p} $与 $ {T^c} $完全无偏差；2）若 $ {\varpi ^p} = 1 $，则说明 $ {W^p} $与 $ {T^c} $完全矛盾. $ {\varpi ^p} $的加权和计算式为

(35) $ G_{\rm{ci}} = \sum\nolimits_{p = 1}^P {{\upsilon _p} {\varpi ^p}} . $

若 $G_{\rm{ci}} = 0$，则说明集群的意见没有偏差. 设 $\varsigma \in \left[ {0,1.0} \right]$为共识阈值，若 $G_{\rm{ci}} \leqslant \varsigma$，则表示集群意见达成可接受的共识.

如图4所示，以6个家用汽车前视图造型设计方案 $ A = \left\{ {{A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5},{A_6}} \right\} $为例. 决策专家 ${D_{\rm{M}}} = \left\{ {D_{\rm{M}}^1,D_{\rm{M}}^2, \cdots ,D_{\rm{M}}^{20}} \right\}$以汽车线条轮廓垂直倾斜角θ、挡风玻璃下线至前保险杠线和前保险杠线至底盘线比例a/b、汽车线条整体高度和宽度比例c/d、汽车线条底盘高度和整体高度比例e/c、进气格栅、前大灯、前保险杠线、雾灯8个评估标准 $ B = \left\{ {{B_1},{B_2},{B_3},{B_4},{B_5},{B_6},{B_7},{B_8}} \right\} $，对备选方案进行评估，图例解释如图5所示. 每位决策专家分别为备选方案集和标准集构造成对比较比率的平方矩阵 ${\boldsymbol{R}}_{I \times I}^{\left( {j,m} \right)}$和 ${\boldsymbol{R}}_{J \times J}^m$，以 $D_{\rm{M}}^1$在标准 $ {B_1} $下的 ${\boldsymbol{R}}_{I \times I}^{\left( {1,1} \right)}$为例，如表1所示. 设 ${\xi '^p} = 0.1$，右特征值法得到 $ x_j^m $、 $ x_i^{\left( {j,m} \right)} $. 经筛选，18位决策专家权重比例为 $ \hat{\boldsymbol{ \omega}} = \left[ {{{\hat \omega }_1},{{\hat \omega }_2},{{\hat \omega }_3},{{\hat \omega }_4}} \right] = \left[ {0.066\;5,0.053\;8,0.048\;5,0.036\;0} \right] $， $\max \left( {Vp_j^m} \right) = \max \left( {Vp_i^{\left( {j,m} \right)}} \right) = 0.066\;5$. 每位决策专家须给出评估矩阵正确性的置信度得分 $S_j^m $， $S_i^{\left( {j,m} \right)} \in \left[ {0,100} \right],\max \left( {S_j^m} \right) = \max \left( {S_i^{\left( {j,m} \right)}} \right) = 100$，如表2、3所示. 由于数据量过大，表3仅展示 $D_{\rm{M}}^1$对各标准下备选方案的一致性比率 $ {\text{C}}{\text{.r}}{\text{.}} $及置信度得分 $S$. 根据式（8）、（9），以SVNS空间映射 $ \tilde S_{{A_1}}^{{B_1}} $为例，所有元素 $ x_1^{\left( {1,m} \right)} $均被映射为 ${\rm{SVNC}}$中一点，如图6所示.

根据各点位置，对点的可靠性估计值进行分类. 1）必须排除的不可接受SVNC区域的点. 存在100%假特征：

${x}_{{A}_{4,6}}^{\left({B}_{2},{D}_{{\rm{M}}}^{4}\right)}、{x}_{{A}_{1}}^{\left({B}_{1},{D}_{{\rm{M}}}^{8}\right)}、{x}_{{A}_{4}}^{\left({B}_{6},{D}_{{\rm{M}}}^{13}\right)}$、 ${x}_{{A}_{1,2,4,6}}^{\left({B}_{8},{D}_{{\rm{M}}}^{15}\right)}、{x}_{{A}_{1,4}}^{\left({B}_{7},{D}_{{\rm{M}}}^{16}\right)}、 {x}_{{A}_{4}}^{\left({B}_{4},{D}_{{\rm{M}}}^{19}\right)}\in {D}_{2}\subset {X}_{i}^{jN}$.

存在100%假和100%不确定度特征：

$ \begin{split} \;\;\;\;\;\;\;&{x}_{{A}_{1,2,3,5}}^{\left({B}_{2},{D}_{\rm{M}}^{4}\right)}、{x}_{{A}_{2,3,4,5,6}}^{\left({B}_{1},{D}_{\rm{M}}^{8}\right)}、{x}_{{A}_{1,2,3,4,5,6}}^{\left({B}_{3},{D}_{\rm{M}}^{10}\right)}、{x}_{{A}_{1,2,3,4,5,6}}^{\left({B}_{8},{D}_{\rm{M}}^{11}\right)}、{x}_{{A}_{1,2,3,5,6}}^{\left({B}_{6},{D}_{\rm{M}}^{13}\right)}、\\ &{x}_{{A}_{3,5}}^{\left({B}_{8},{D}_{\rm{M}}^{15}\right)}、 {x}_{{A}_{2,3,5,6}}^{\left({B}_{7},{D}_{\rm{M}}^{16}\right)}、{x}_{{A}_{1,2,3,4,5,6}}^{\left({B}_{2},{D}_{\rm{M}}^{17}\right)}、{x}_{{A}_{1,2,3,4,5,6}}^{\left({B}_{5},{D}_{\rm{M}}^{17}\right)}、\\ &{x}_{{A}_{1,2,3,5,6}}^{\left({B}_{4},{D}_{\rm{M}}^{19}\right)}\in\left({D}_{2}\cup {D}_{3}\right)\subset {X}_{i}^{jN}. \end{split} $

2）对最终决策结果有重大影响的点：

$ \begin{split} \;\;\;\;\;\;\;& {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,3,4,5,7,8},{D}_{\rm{M}}^{1}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,4,5,6,7,8},{D}_{\rm{M}}^{2}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,3,4,5,6,7,8},{D}_{\rm{M}}^{3}\right)}、\\ &{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,5,7,8},{D}_{\rm{M}}^{4}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{3,4,6,7,8},{D}_{\rm{M}}^{6}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,3,4,5,6,7,8},{D}_{\rm{M}}^{7}\right)}、 \\ &{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{2,4,5,6,7},{D}_{\rm{M}}^{8}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,3,5,8},{D}_{\rm{M}}^{9}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{2,5,6,7,8},{D}_{\rm{M}}^{10}\right)}、\\ &{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,3,4,5,6,7},{D}_{\rm{M}}^{11}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,3,4,7},{D}_{\rm{M}}^{13}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,3,4,5,7,8},{D}_{\rm{M}}^{14}\right)}、\\ &{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,3,4,6},{D}_{\rm{M}}^{15}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{2,4,5},{D}_{\rm{M}}^{16}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,3,6,8},{D}_{\rm{M}}^{17}\right)}、\\ &{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,4,5,6,8},{D}_{\rm{M}}^{18}\right)}、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,3,6,7,8},{D}_{\rm{M}}^{19}\right)}、{x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,3,5,6,7,8},{D}_{\rm{M}}^{20}\right)}\in \\ &{X}_{i}^{jV}, i=1,2,3,4,5,6 . \end{split} $

3）对最终决策结果有轻微贡献的点：

${x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{2,6},{D}_{\rm{M}}^{1}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{3},{D}_{\rm{M}}^{2}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{2},{D}_{\rm{M}}^{3}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{3,4,6},{D}_{\rm{M}}^{4}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,2,5},{D}_{\rm{M}}^{6}\right)}$、 ${x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{3,8},{D}_{\rm{M}}^{8}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{4,6,7},{D}_{\rm{M}}^{9}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,4},{D}_{\rm{M}}^{10}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{5,8},{D}_{\rm{M}}^{13}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{6},{D}_{\rm{M}}^{14}\right)}$、 ${x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{2,5,7},{D}_{\rm{M}}^{15}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{1,3,6,8},{D}_{\rm{M}}^{16}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{4,7},{D}_{\rm{M}}^{17}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{3,7},{D}_{\rm{M}}^{18}\right)} 、 {x}_{{A}_{i}}^{\left({B}_{5},{D}_{\rm{M}}^{19}\right)}$、 $x_{{A_i}}^{\left( {{B_4},D_{\rm{M}}^{20}} \right)} \in X_i^{j\Theta }, i = 1,2,3,4,5,6$. 根据式（13）~（17）计算 $ x_i^G $，如表4所示. 获得所有备选方案总体排序为 ${A_2} > {A_5} > {A_4} > {A_1} > {A_6} > {A_3}$， $ {A_2} = {A^*} $为最优方案.

根据计算决策专家的权重分配，20位决策专家使用HFPR对6个备选方案进行评估，获得原始HFPR数据 ${{\boldsymbol{H}}_\gamma } = {\left[ {{h_{xy,\gamma }}} \right]_{I \times I}},\left( {\gamma = 1,2, \cdots ,20} \right)$. 如表5所示为 $D_{\rm{M}}^1$的 $ {A_1} $、 $ {A_2} $、 $ {A_3} $数据. 转换为3个FPR，根据式（18）~（20）计算 $O、$ $ {\vartheta _\gamma } $ $ . 设\rho = 0.5 $， $ {\vartheta }_{14}＞ \rho \times \#{h}_{xy}=1.5 $，引入调解员进行劝说， $D_{\rm{M}}^{14}$愿意修改HFPR数据，检验合格后继续下一轮评估. 设 $ \kappa = 0.12 $，根据式（21）~（23），获得 $D_{\rm{L}}^{}$、r，如表6所示. $D_{\rm{M}}^{5,12,19}$提供了不可接受意见，调解员劝说后 $D_{\rm{M}}^5$、 $D_{\rm{M}}^{12}$不愿意做任何修改，意见被直接拒绝. 使用5粒度语言 $ {G^1} = \left\{ {g_0^1,g_1^1,g_2^1,g_3^1,g_4^1} \right\} $、7粒度语言 $ {G^2} = \left\{ {g_0^2,g_1^2,g_2^2,g_3^2,g_4^2,g_5^2,g_6^2} \right\} $、9粒度语言 $ {G^3} = \left\{ {g_0^3,g_1^3,g_2^3,g_3^3,g_4^3,g_5^3,g_6^3,g_7^3,g_8^3} \right\} $进行评估，根据多粒度语言转换方法式（24）~（27），得到决策专家云模型数据， $D_{\rm{M}}^1$数据如表7所示. 给定聚类阈值 $\varDelta = 0.82$，18位决策专家被分为 ${C_1} = D_{\rm{M}}^{2,3,7,11,14,19,20}$、 ${C_2} = D_{\rm{M}}^{4,6,13,16,18}$、 ${C_3} = D_{\rm{M}}^{1,9,10,15}$、 ${C_4} = D_{\rm{M}}^{8,17}$4个子集群. 设 $ \alpha = 0.5 $，由式（29）、（30），获得4个集群的总体权重为 ${\boldsymbol{ \upsilon }} = \left[ {0.465\;2,0.269\;1,0.193\;8,0.071\;9} \right] $. 由式（31）~（33）获得 ${{\boldsymbol{T}}^c}$，如表8所示. 由式（34）得到 ${\boldsymbol{\varpi }} = \left[ {0.021\;9,0.016\;1,0.012\;0,0.028\;8} \right]$，由式（35）得到 $G_{\rm{ci}} = 0.0193 \leqslant \varsigma = 0.05$，集群意见达成可接受共识， $\hat {\boldsymbol{\omega }} = \left[ {0.066\;5,0.053\;8,0.048\;5,0.036\;0} \right]$.

为了进一步说明所提出方法的有效性和优越性，选取Wang等^[23-26]提出的多属性决策方法对6个备选方案进行对比分析，并对总体得分进行归一化处理，结果如图7所示. 本研究所提方法与文献[24]、[25]和[26]的最优方案均为备选方案2，且本研究所提方法与文献[24]排序结果完全一致，证明存在良好的一致性，具备较高的有效性和可靠性.

1）本研究所提方法中SVNS理论由3个独立的隶属度共同构建，具备一定的容错范围，相较对比方法更具有实际的应用意义. 不确定性隶属度充分考虑决策专家的态度偏好，避免了不一致性较高或置信度低的备选方案获得较高评分的情况. 文献[23]仅考虑决策专家对备选方案的不确定性偏好，导致备选方案5比2获得更高得分. 2）通过意见可靠性检验对专家权重分配进行优化，排除自身存在较大矛盾值的专家个体，能够避免决策专家评估异常值对后期评估结果造成的不利影响. 文献[23]未将与群体评估结果相差甚远的决策专家排除，导致最终排序结果出现偏差. 3）由于其他方法均出现得分相似的情况（如文献[23]中的备选方案1与6、2与4，文献[24]、[26]中的备选方案1、3和6，文献[23]中的备选方案3、6），导致无法判断两个方案的绝对更优选择. 相比之下，本研究所提方法可以追溯SVNC空间映射关系进行比较，更具差异性和辨识度.

将本研究所提方法与SVNS、扩展多准则妥协解（VIKOR）、BWM方法进行决策性能比较，分别对4个和6个备选方案进行多轮决策，结果如表9所示. 表中，e为决策误差，t为运算时间. 在决策误差方面，本研究所提方法获得最小决策误差为4.82%；VIKOR、BWM决策误差均超过10%。推测产生原因，可能是未综合考虑专家主观随意性对整体方案总体优先级得分的影响. 在6个备选方案情况下，本研究所提方法的决策误差增加最低为2.09%，即对决策专家使用多粒度语言方法和云模型聚类进行权重分配有助于保持SVNS决策模型的稳定性. 在运算时间方面，VIKOR、BWM均不超过60 s；本研究所提方法与SVNS的运算时间较长，且前者大于后者。推测产生原因，可能是本研究所提方法须对决策专家进行筛选和聚类后获得权重，运算过程和公式较为烦琐. 虽然运算时间略有增加，但较大幅度地降低了决策误差，保证了决策结果的准确性和可实施性.

（1）SVNS中的不确定性隶属度能够充分反映决策专家的真实心理感知特征，避免策略操控问题，相比于其他决策方法具有较强的可操作性，更符合客观实际环境.

（2）SVNS的真、假、不确定3个隶属度可映射形成SVNC，区别于传统的虚拟数字评分排序方法，能够通过可视化的方式对评估结果进行筛选.

（3）采用云模型聚类方法能够有效衡量决策专家的差异程度，进行科学性和针对性的聚类划分，获得的权重分配具有区分度高、稳定性强的特点.

（4）由于产品造型设计属性存在不一致性，决策专家倾向于随机使用不同标准的模糊语言变量表达评估决策。使用多粒度语言可以有效解决该问题.

（5）通过意见可靠性检测对决策专家个体进行筛选，聚类后通过群体一致性测度检验对集群进行管理，同时兼顾个体顺序一致性并提高群体满意度.

（6）在后续的研究中可以考虑进一步优化改进基于云模型聚类的决策专家权重分配过程，简化决策专家筛选与管理步骤，缩减运算时间，为产品造型设计提供更加科学、高效的多属性决策方法.