富水地区的隧道结构设计须考虑围岩压力和水压力. 受成拱效应影响，隧道结构上的围岩压力小于上覆围岩重量，而水压力大小与地下水水位、隧道防排水方式、隧道结构等有关. 从可持续发展和长期运营的角度出发，富水区隧道的支护结构防排水设计应遵循“堵水限排”的原则. 工程实践表明，隧道渗水量超过允许排水量会导致水压力上升，结冰、腐蚀、冲刷等作用会使衬砌质量劣化、隧道内环境恶化、使用年限降低，最终危及车辆行驶安全. 已有学者通过数值模拟和理论分析的方法计算隧道渗水量和作用在支护结构上的水压力，并确定隧道结构的厚度和渗透系数. 目前对隧道渗流场的理论研究常采用保角变换法和镜像法2种方法.

保角变换法求解过程非常严谨，但须推导复杂的模型变形公式. Verruijt^[1]使用保角变换法将包含圆形孔洞的半无限平面模型映射为圆环域，求解了应力场和位移场；Mohamed^[2]使用文献[1]的方法研究隧道渗流问题，优化Fourier级数求解过程，得到了单层介质中的渗流方程；Kolymbas等^[3]继续使用复变函数严格推导适用于任意埋深的隧道渗流解析解；Park等^[4-5]在同一坐标系中对比研究2种隧道洞周边界条件（等水头和等水压）下的隧道渗流场解析解；杜朝伟等^[6]应用保角变换法得出了考虑注浆圈和衬砌的深埋隧道渗流场解析解. 在求解过程中，若假设隧道洞周边界条件为变水头，且考虑注浆圈和衬砌，求解过程较繁琐. 朱成伟等^[7-8]假定隧道洞周的边界条件为变水头并考虑注浆圈，使用保角变换法得到了适用于任意埋深的隧道渗水量和水压力分布表达式. 朱成伟等^[9]采用叠加原理和保角变换法求解了水下双线平行隧道渗流场解析解.

在镜像法中，须将半无限平面中隧道渗流问题转换为无限平面中点源与点汇的渗流场叠加问题. 在假设隧道为大埋深的前提下，该方法在求解过程中忽略了隧道半径的影响，且此时所得结果可以与保角变换法相互转化^[10]. Harr^[11]使用镜像法求解隧道围岩中孔隙水压力分布；Lei^[12]基于镜像法采用Laplace方程描述隧道周围水流的二维流动，克服了Polubarinova假设隧道埋深较大的限制；张炳强^[13]使用镜像法和叠加原理求解了双孔平行隧道稳态渗流场解析解.

以上对隧道渗流场的解析方法都是基于对半无限平面内单孔隧道模型进行变换得到合适的计算模型进行渗流场的求解. 本研究基于复势函数和地下水力学理论，通过直角坐标系下围岩渗流场的等势线和流线表达式建立双极坐标系，得到模型边界上用双极坐标表示的等势线，并结合边界条件获得围岩内势函数表达式. 该方法避免了对隧道模型进行变换，同时克服了镜像法中忽略隧道半径影响的缺点. 将所得解析解与保角变换法、镜像法解析解以及和FLAC^3D数值模拟结果进行对比验证本研究解析解的合理性.

王秀英等^[14-15]在隧道渗流理论研究的基础上分析支护结构参数对渗水量和水头的影响的显著程度，得出合理支护结构渗流参数范围，但没有给出相应的判据. 本研究基于所获得的解析解研究隧道结构厚度、渗透系数对隧道注浆前、后初期支护外水头的水头差的影响，并提出以水头差峰值为判据，确定注浆圈、初期支护的渗透系数和厚度的合理取值.

半无限平面内隧道简化模型如图1所示. 模型分为上覆水域、围岩、注浆圈、初期支护、二次衬砌和隧道净空共6个部分. 图中， $H$为上覆水域深度， $h$为水底平面到隧道中心的距离， $R$、 ${r_{\text{C}}}$、 ${r_{\text{L}}}$、 ${r_{\text{0}}}$分别为隧道注浆圈外半径、初期支护外半径、二次衬砌外半径、隧道净空半径. 对计算模型进行如下假设：1）模型各部分均为各向同性、均匀、连续且不可压缩介质；2）渗流服从Darcy定律，水底表面水头恒定；3）隧道埋深满足 $R \ll h$；4）隧道结构内部渗流以径向渗流为主.

根据地下水力学理论和图1中零位势面的位置得到理论模型中隧道周围势函数表达式：

(1) $ \varphi \left( {x,y} \right) = \left( {{{{p_{\text{w}}}}}/{{{\gamma _{\text{w}}}}} + Y} \right){k_{\text{S}}}. $

式中： ${p_{\text{w}}}$为水压力； ${\gamma _{\text{w}}}$为水的重度； ${{{{p_{\text{w}}}} \mathord{\left/{\vphantom {{{p_{\text{w}}}} \gamma }} \right.} \gamma }_{\text{w}}}$为压力水头；Y 为位置水头， $Y = h + y$； ${k_{\text{S}}}$为围岩渗透系数.

考虑隧道圆周处边界条件为等水头时^[4-5]，水底和隧道圆周处边界条件表达式如下：

(2) $ {\varphi _1}\left| {_{y{\text{ = }}0}} \right.{\text{ = }}\left( {H + h} \right){k_{\text{S}}}, $

(3) $ {\varphi _2}\left| {_{{x^2} + {{\left( {y + h} \right)}^2} = {R^2}}} \right.{\text{ = }}{H_{\text{G}}}{k_{\text{S}}}. $

式中： ${H_{\text{G}}}$为注浆圈与围岩交界处水头.

设无限平面中有等产量的点汇 $ {z_1} $和点源 $ {z_2} $，坐标分别为（ $0$， $ - a$）、（ $0$， $a$），产量分别为 $Q$、 $ - Q$（单位时间内垂直于平面的单位厚度线段上流入（出）的流体体积，单位为m³/（m·d）），如图2所示. 图中，任意一点z的坐标为（ $x$， $y$）. 则 $ {z_1} $、 $ {z_2} $在无限平面中单独存在时的渗流场复势^[16]分别为

(4) $ {f_1}(z) = \frac{Q}{{2{\text{π}}}}\ln\;\left( {z - {z_1}} \right){\text{ + }}{C_1} , $

(5) $ {f_2}(z) = - \frac{Q}{{{2{\text{π}}} }}\ln\; \left( {z - {z_2}} \right){\text{ + }}{C_2} . $

式中： ${C_1}$、 ${C_2}$为积分常数.

根据复势叠加原理， $ {z_1} $、 $ {z_2} $在无限平面中同时存在时的渗流场复势为

(6) $ \begin{split} F\left( z \right) =\;& \frac{Q}{{2{{\text{π}}} }}\ln \; \left( {z{\text{ + }}a{\rm{i}}} \right) - \frac{Q}{{2{\text{π}} }}\ln \; \left( {z - a{\rm{i}}} \right) + C =\\ \;&\frac{Q}{{2{\text{π}} }}\ln \; \frac{{z{\text{ + }}a{\rm{i}}}}{{z - a{\rm{i}}}} + C =\frac{Q}{{2{\text{π}} }}\ln \; \frac{{{d_1}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _1}}}}}{{{d_2}{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _2}}}}} + C =\\ \;&\frac{Q}{{2{\text{π}} }}\left( {\eta + {\rm{i}}\xi } \right) + ({C_3} + {\rm{i}}{C_4}) . \end{split} $

式中： ${d_1}$、 ${d_2}$分别为 ${{\rm{}}{z}}{{{z}}_1}$和 ${{\rm{}}{z}}{{{z}}_2}$的长度； ${\theta _1}$、 ${\theta _2}$分别为 ${{\rm{}}{z}}{{{z}}_1}$和 ${{\rm{}}{z}}{{{z}}_2}$与 $x$轴正向的夹角； $C$、 ${C_3}$、 ${C_4}$为积分常数； $\eta $、 $\xi $分别为等势线和流线.

势函数和流函数方程分别为

(7) $ \varphi = \frac{Q}{{2{\text{π}} }}\eta + {C_3} , $

(8) $ \psi = \frac{Q}{{2{\text{π}} }}\xi + {C_4} . $

等势线 $\eta $和流线 $\xi $在直角坐标系中表示为

(9) $ \eta = \ln\; \frac{{{d_1}}}{{{d_2}}} = \frac{1}{2}\ln \;\frac{{{x^2} + {{\left( {y + a} \right)}^2}}}{{{x^2} + {{\left( {y - a} \right)}^2}}}, $

(10) $ \xi = {\theta _1} - {\theta _2}{\text{ = }}\arctan\; \frac{{y + a}}{x} - \arctan \;\frac{{y - a}}{x}. $

由式（7）得到水底和隧道圆周处的势函数分别为

(11) $ {\varphi _1} = - \frac{Q}{{2{\text{π}} }}{\eta _1}{\text{ + }}{C_3} , $

(12) $ {\varphi _2} = \frac{Q}{{2{\text{π}}}}{\eta _2} + {C_3} . $

式中： ${\eta _1}$、 ${\eta _2}$分别为表示水底和隧道洞周处等势线的2个常数.

根据式（9）、（10）定义焦点为 $ {z_1} $、 $ {z_2} $的双极坐标系^[17]：

(13) $ z = x + y{\rm{i}} = a{\rm{i}}\cot \; [(\eta + \xi {\rm{i}})/2]. $

双极坐标系中任意一点的双极坐标为（ $\eta $， $\xi $），且 $\eta \in \left(-\infty ,\;+\infty \right)$， $\xi \in \left( {0,\;2{\text{π}} } \right)$. 当 $\eta $为常数时，在图3中为以点源 $ {z_1} $和点汇 $ {z_2} $为焦点的偏心圆族，即等势线；当 $\xi $为常数时，在图3中为以点源 $ {z_1} $和点汇 $ {z_2} $为端点的圆弧，即流线.

式（9）、（10）中双极坐标（ $\eta $， $\xi $）与直角坐标（ $x$， $y$）的关系也可以转换为如下形式：

(14) $ {x^2} + {\left( {y - a\coth \; \eta } \right)^2} ={{{a^2}}}/{{{{\sinh }^2} \; \eta }}, $

(15) $ {y^2} + {\left( {x - a\cot \; \xi } \right)^2} ={{{a^2}}}/{{{{\sin }^2}\;\xi }}. $

当 $\eta {\text{ = }}0$时，偏心圆的半径无限大，因此隧道模型中的水底等势线 ${\eta _1}{\text{ = }}0$，如图4所示.

隧道的圆心坐标为（0，h），半径为R；等势线的圆心坐标为 $\left( {0,\;\coth\; \eta } \right)$ ，半径为 ${a}/{{\sinh \;\eta }}\;$. 令 $- h = $ $ a\coth \; {\eta _{\text{2}}}$ ， $R ={a}/{{\sinh\; {\eta _{\text{2}}}}}$，得到隧道圆周处等势线：

(16) $ {\eta _2}{\text{ = }} - {\sinh ^{ - 1}}\; \left( {{a}/{R}} \right){\text{ = }} - \ln \; \frac{{a{\text{ + }}\sqrt {{a^2}{\text{ + }}{R^2}} }}{R}, $

(17) $ a = \sqrt {{h^2} - {R^2}} . $

根据式（16）、（17），可以得到

(18) $ \ln \; \frac{{a{\text{ + }}\sqrt {{a^2}{\text{ + }}{R^2}} }}{R}{\text{ = }}\ln \; \frac{{h{\text{ + }}\sqrt {{h^2} - {R^2}} }}{R} . $

联立式（2）、（3）、（11）和（12），得到

(19) $ {C_3}{\text{ = }}\left( {H + h} \right){k_{\text{S}}} , $

(20) $ Q = \frac{{2{\text{π}} {k_{\text{S}}}\left( {{H_{\text{G}}} - H - h} \right)}}{{\ln \;[({{h - \sqrt {{h^2} - {R^2}} }})/{R}]}} . $

联立式（7）、（9）、（19）、（20），得到围岩中势函数：

(21) $ \varphi {\text{ = }}\frac{{{k_{\text{S}}}\left( {{H_{\text{G}}} - H - h} \right)}}{{\ln \; [({{h - \sqrt {{h^2} - {R^2}} }})/{R}]}}\eta {\text{ + }}{k_{\text{S}}}\left( {H + h} \right) . $

由于流经模型各部分交界面处的流量相等，根据隧道结构中的水流特征和渗流微分方程，得到注浆圈、初期支护和二次衬砌的外水头与隧道渗水量之间的关系^[6]：

(22) $ {H_{\text{G}}} - {H_{\text{C}}} = \frac{Q}{{2{\text{π}} {k_{\text{G}}}}}\ln\; \frac{R}{{{r_{\text{C}}}}} , $

(23) $ {H_{\text{C}}} - {H_{\text{L}}} = \frac{Q}{{2{\text{π}} {k_{\text{C}}}}}\ln\; \frac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}}, $

(24) $ {H_{\text{L}}} - {H_0} = \frac{Q}{{2{\text{π}} {k_{\text{L}}}}}\ln\; \frac{{{r_{\text{L}}}}}{{{r_0}}}. $

式中： ${k_{\text{G}}}$、 ${k_{\text{C}}}$、 ${k_{\text{L}}}$分别为注浆圈渗透系数、初期支护渗透系数、二次衬砌渗透系数； ${H_{\text{C}}}$、 ${H_{\text{L}}}$、 ${H_0}$分别为初期支护外水头、二次衬砌外水头、隧道净空水头.

联立式（20）、（22）~（24），得到

(25) $ \left.\begin{array}{c} Q = {{2{\text{π}} {k_{\text{S}}}T}}/{X},\\ T = H + h - {H_0},\\ X = \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{G}}}}}\ln \; \dfrac{R}{{{r_{\text{C}}}}} + \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \dfrac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}} + \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{L}}}}} \ln \; \dfrac{{{r_{\text{L}}}}}{{{r_0}}}{\text{ + }} {\sinh ^{ - 1}}\; \left( {\dfrac{a}{R}} \right). \end{array}\right\}$

二次衬砌和初期支护外水头分别为

(26) $ {H_{\text{L}}} = {H_0} + \frac{T}{X}\frac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{L}}}}}\ln \; \frac{{{r_{\text{L}}}}}{{{r_{\text{0}}}}}, $

(27) $ {H_{\text{C}}} = {H_0} + \frac{T}{X}\frac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{L}}}}}\ln \; \frac{{{r_{\text{L}}}}}{{{r_0}}} + \frac{T}{X}\frac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \frac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}}. $

当隧道仅完成注浆圈和初期支护时，隧道渗水量和初期支护外水头分别为

(28) $ Q ={{2{\text{π}} {k_{\text{S}}}T}}/{U}, $

(29) $ {H_{\text{C}}} = {H_{\text{L}}} + \frac{T}{U}\frac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \frac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}} . $

式中： $U = \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{G}}}}}\ln \; \dfrac{R}{{{r_{\text{C}}}}} + \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \dfrac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}}{\text{ + }}{\sinh ^{ - 1}}\; \left( {\dfrac{a}{R}} \right)$.

当仅完成初期支护时，初期支护外水头为

(30) $ {H_{{\text{C}}1}} = \dfrac{{\left( {H + h} \right)}}{{\dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \dfrac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}}{\text{ + }}V}}\dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \dfrac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}} - \dfrac{{{H_{\rm{L}}}V}}{{\dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \dfrac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}}{\text{ + }}V}} . $

式中： $V = {\sinh ^{ - 1}}\; \left( {{{\sqrt {{h^2} - r_{\text{C}}^2} }}\bigg/{{{r_{\text{C}}}}}} \right)$.

注浆和初期支护完成后相对于只完成初期支护时的初期支护外水头减小量如下：

(31) $ \Delta H{\text{ = }}{H_{\text{C}}} - {H_{{\text{C1}}}} . $

为了确保本研究解析解的正确性，通过本研究解析解、保角变换法、镜像法和FLAC^3D有限差分软件分别计算隧道完成注浆圈和初期支护后的初期支护外水头，并将结果进行对比分析.

在隧道渗流场的理论研究中，潘以恒等^[10]和应宏伟等^[18]对计算模型的假设与本研究相同，并分别通过保角变换法和镜像法得到考虑注浆圈的隧道渗流场解析解. 在本研究的计算模型中，由保角变换法和镜像法解出的注浆圈和初期支护完成后的初期支护外水头分别为

(32) $ {H'_{\rm{C}}} = {H_{\text{L}}} + \frac{T}{{{U_1}}}\frac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \frac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}} , $

(33) $ {H''_{\text{C}}} = {H_{\text{L}}} + \frac{T}{{{U_2}}}\frac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln \; \frac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}} . $

式中：

$ {U_1} = \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{G}}}}}\ln\; \dfrac{R}{{{r_{\text{C}}}}} + \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln\; \dfrac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}}{\text{ + }}\ln\; \dfrac{{h{\text{ + }}\sqrt {{h^2} - {R^2}} }}{R},$

$ {U_2} = \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{G}}}}}\ln\; \dfrac{R}{{{r_{\text{C}}}}} + \dfrac{{{k_{\text{S}}}}}{{{k_{\text{C}}}}}\ln\; \dfrac{{{r_{\text{C}}}}}{{{r_{\text{L}}}}} + \ln\; \dfrac{{2h}}{R}. $

由式（16）、（18）、（29）和（32）对比式可知，本研究方法所得水头高度表达式与保角变换法所得结果相同. 当隧道埋深较大时，如下表达式成立：

(34) $ h + \sqrt {{h^2} - {R^2}} \approx 2h . $

此时保角变换法和镜像法所得结果可以相互转化^[11]. 因此本研究解析方法可以用于研究富水地区隧道渗流场.

如图5所示为隧道埋深100 m时的FLAC^3D模型，其几何尺寸为400 m×400 m×1 m，隧道各部分的外半径R_S和渗透系数k取值如表1所示. 隧道净空边界条件为等水头^[18]，水头高度设置为2 m，并将隧道净空内等水头边界条件转换为FLAC^3D中孔隙水压力：

(35) $ p\left( {x,y} \right) = ({H_{\text{C}}} - h - y){\gamma _{\text{w}}}_. $

根据理论计算的假设，将模型的左、右及底面边界均设置为透水边界^[19]；模型上表面孔隙水压力固定为0，围岩处于富水状态. 约束模型左右边界水平位移，约束底部边界上下位移. 数值模拟结果取自隧道初期支护的拱顶、拱腰和拱底. 由FLAC^3D数值模拟结果计算所得拱顶和拱底的压力水头差ΔH_P、总水头差ΔH_T和总水头差占拱腰水头的百分比ω，如表2所示. 可以看出，当隧道埋深大于20 m时，拱顶和拱底的总水头差小于0.2 m，占拱腰水头的比例小于0.5%，因此当隧道埋深较大时，作用在初期支护上的水头可以假设为等水头.

如图6所示为本研究解、文献[18]解析解和数值解计算所得初期支护外水压力P_C受隧道埋深影响的对比结果，本研究解和文献[18]解分别采用式（29）、（33）进行计算. 可以看出，随埋深增大，初期支护外水压力近似呈线性增大；数值解的拱腰水压力和本研究解较吻合. 当隧道埋深为10 m时，本研究解和文献[18]解所得初期支护外水压力分别为5.92、5.90 kPa，随着埋深增大，两者的差异逐渐减小.

如图7所示为隧道埋深为80 m时初期支护渗透系数对初期支护外水压力P_C的影响对比结果. 可以看出，水压力随初期支护渗透系数增大而减小，且解析解和数值解拱腰水压力的结果较吻合.

由以上对比结果可知，本研究的隧道渗流场解析方法可以用于分析富水地区隧道衬砌外水压力和渗水量，并研究隧道结构渗流参数的合理取值.

通过式（28）~（31）对完成注浆圈和初期支护后的隧道进行合理渗流参数取值分析. 在分析过程中，令上覆水层深度H=0 m，隧道埋深h=100 m，围岩渗透系数为k_S=1×10⁻⁶ m/s. 根据边界条件可知，作用在初期支护上的全水头H_A=h.

取k_S/k_G=25、k_S/k_C=100，保持隧道净空半径2 m不变，增大初期支护外半径以增大初期支护厚度t_C. 如图8、9所示分别为不同注浆圈厚度t_G时，H_C和Q与初期支护厚度t_C的关系. 可以看出，当注浆圈厚度相同时，初期支护外水头和渗水量随初期支护厚度增大分别增大和减小，因此在隧道结构设计中须权衡隧道渗水量和初期支护外水头的关系. 当初期支护相同时，渗水量和初期支护外水头都随注浆圈厚度增大而减小.

当初期支护厚度为0.3 m时，注浆圈厚度由0 m增大到6.0 m，使初期支护外水头从75.79 m减小到28.39 m，减小至37.46%；渗水量由2.94 m³/（m·d）减小到1.10 m³/（m·d），减小至37.41%. 因此合理的注浆圈厚度可以使水头和渗水量明显减小.

当注浆圈厚度为6.0 m时，初期支护厚度从0.2 m增加到0.7 m，初期支护外水头从20.90 m增大到48.10 m，增加到2.3倍；渗水量从1.19 m³/（m·d）减小到0.87 m³/（m·d），减小至73.11%. 因此，增大初期支护厚度可以使初期支护外水头显著增大，渗水量明显减小.

根据式（31），如图10所示为注浆前、后初期支护外水头差ΔH₁与初期支护厚度t_C的关系. 可以看出，随着初期支护厚度的增大，ΔH₁先快速增大后缓慢减小，记使ΔH₁达到峰值时的初期支护厚度为厚度峰值点P_r. 图中，A、B、C、D为相应曲线最高点，厚度峰值点对应的水头高度和渗水量在图8、9进行了标记.

当注浆圈厚度为1.5、3.0、6.0、9.0 m时，P_r分别为0.17、0.21、0.26、0.29 m，对应的H_C分别为32.25、28.47、25.56、24.05 m，占全水头的29%±5%，即此时初期支护外水头处于较低水平.

由图8、9可知，当0<t_C<P_r时，水头高度小、渗水量大且两者变化快；当P_r<t_C<1.0 m时，水头高度大、渗水量小且两者变化慢. 因此，为了平衡H_C和Q的关系，可以利用厚度峰值点选取合理的注浆圈和初期支护厚度. 目前隧道初期支护厚度多为20~30 cm^[20]，这和本研究的结果较吻合.

取初期支护厚度为0.3 m，注浆圈厚度为6.0 m. 如图11、12所示分别为不同注浆圈渗透系数下，H_C、Q与初期支护渗透系数的关系. 可以看出，H_C、Q随k_C增大分别减小和增大，因此选取隧道初期支护渗透系数时应考虑H_C和Q的合理关系. 当注浆圈渗透系数不同时，在相同的k_C范围内，H_C和Q受到的影响规律相同，但受到的影响显著程度不同. 在相同衬砌条件下，随注浆圈抗渗性增强，隧道渗水量和衬砌后水压力均减小.

当k_S/k_G=10时，k_C从5×10⁻⁸ m/s减小到0.5×10⁻⁸ m/s，初期支护外水压力从14.86 m增加到63.58 m，增大到4.3倍；渗水量从2.89 m³/（m·d）减小到1.23 m³/（m·d），减小至42.56%. 即减小初期支护渗透系数会使初期支护外水头显著增大，渗水量明显减小.

当k_C=0.5×10⁻⁸ m/s时，k_S/k_G从10增大到50，H_C从63.58 m减小至29.33 m；Q从1.23 m³/（m·d）减小至0.57 m³/（m·d）. 即减小注浆圈渗透系数，对渗水量和初期支护外水头都有明显的减小作用.

根据式（31），如图13所示为注浆前、后的初期支护外水头差ΔH₂与初期支护渗透系数的关系. 可以看出，ΔH₂随k_C增大先快速增大后缓慢减小，记使ΔH₂达到峰值时的k_C为渗透系数峰值点P_k. 图中，A、B、C、D为相应曲线最高点，渗透系数峰值点对应的水头和渗水量在图11、12中进行了标记.

当k_S/k_G=5、10、25、50时，P_k分别为2.13×10⁻⁸、1.65×10⁻⁸、1.11×10⁻⁸、0.81×10⁻⁸ m/s. 若k_C从1×10⁻⁷ m/s减小到1×10⁻⁹ m/s，水头增量分别为80.86 、81.69 、76.04、65.45 m；若k_C由P_k减小到1×10⁻⁹ m/s时，水头增量分别为53.08、55.12、53.54、47.08m，占总增量的65.50%、67.48%、70.41%、71.94%. 因此，在k_C=1×10⁻⁷ ~1×10⁻⁹ m/s范围内，当k_C小于P_k时，k_C能显著影响H_C.

取k_S/k_G=5、10、25、50，并以相应的P_k作为初期支护渗透系数，这时初期支护外水头分别为41.61、34.60、26.31、20.39 m；渗水量分别为3.36、2.22、1.13、0.64 m³/（m·d）. 如果目前的注浆技术水平可以使围岩的渗透系数提高到原来的10~25倍^[6]，P_k对应的初期支护外水头占全水头的30%±5%，即水头高度处于较低水平.

在图11、12中，当1×10⁻⁹ m/s<k_C<P_k时，水头高度大、渗水量小且两者变化快；当P_k<k_C<1×10⁻⁷ m/s时，水头高度小、渗水量大且两者变化慢. 为了平衡初期支护渗透系数减小使初期支护水头增大，渗水量减小的问题，可以通过渗透系数峰值点来合理选取注浆圈和初期支护渗透系数，使得H_C和Q都能在合理的范围内.

（1）利用复势函数、地下水力学理论和双极坐标系，推导作用在富水区隧道支护结构上的水头、渗水量和水头差的计算公式. 研究表明，初期支护的渗透系数减小、厚度增大均能使初期支护外水头增大、渗水量减小.

（2）注浆前、后的初期支护外水头之差在随初期支护厚度或渗透系数增大而变化的过程中存在一个峰值. 当初期支护渗透系数小于渗透系数峰值点时，初期支护渗透系数的变化能显著影响初期支护外水头. 在施作合理厚度的注浆圈且保证施工质量后，分别取相应峰值点作为初期支护的厚度和渗透系数，可以使初期支护外水头降至全水头的30%±6%.

（3）通过注浆前、初期支护外水头减小量的峰值合理选取隧道结构的厚度和渗透系数，可以使注浆效果发挥更大的作用，且初期支护外水头和渗水量都在较低范围内.

（4）本研究假设的模型有一定的局限性. 围岩为单一岩性，因此解析解中未考虑多层围岩对隧道渗流场的影响. 多层不同岩性的围岩影响下的隧道渗流场有待进一步研究.