浙江大学学报(工学版)

浙江大学学报(工学版), 2021, 55(9): 1734-1743 doi: 10.3785/j.issn.1008-973X.2021.09.015

土木工程、水利工程

考虑温−压耦合影响的水合物沉积物宏细观Duncan-Chang损伤模型

王辉,, 郇筱林, 陈宇琪, 周博,, 薛世峰, 林英松

1. 中国石油大学(华东) 储运与建筑工程学院，山东 青岛 266580

2. 中国石油大学(华东) 石油工程学院，山东 青岛 266580

Macro-mesoscopic Duncan-Chang damage model for hydrate-bearing sediments considering coupling effect of temperature-pore pressure condition

WANG Hui,, HUAN Xiao-lin, CHEN Yu-qi, ZHOU Bo,, XUE Shi-feng, LIN Ying-song

1. College of Pipeline and Civil Engineering, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China

2. School of Petroleum Engineering, China University of Petroleum, Qingdao 266580, China

通讯作者: 周博，男，教授，orcid.org/0000-0003-2989-1137. E-mail： zhoubo@upc.edu.cn

收稿日期: 2020-10-12  

基金资助: 国家重点研发计划资助项目(2017YFC0307604)

Received: 2020-10-12  

Fund supported: 国家重点研发计划资助项目(2017YFC0307604)

作者简介 About authors

王辉（1995—），男，硕士生，从事水合物沉积物的力学性质研究.orcid.org/0000-0001-5968-3473.E-mail:upc_wanghui@163.com , E-mail：upc_wanghui@163.com

摘要

为了反映温−压环境对水合物沉积物力学特性的影响，定义新的温−压状态参数. 从温−压环境对沉积物细观结构的作用机制出发，采用三相球模型提出考虑温−压环境对水合物沉积物细观各组分和各组分间接触界面影响的多尺度弹性参数预测模型. 基于传统Duncan-Chang模型与统计损伤理论，引入极限损伤值，建立Duncan-Chang统计损伤模型. 对比在不同温−压环境条件下水合物沉积物的三轴试验结果与模型预测结果，验证所提模型的有效性和合理性. 结果表明：该模型能够考虑水合物饱和度、温−压环境以及沉积物骨架的粒径级配影响，能够较好地模拟水合物沉积物在不同温−压环境下应力−应变全过程.

关键词： 水合物沉积物 ; 温−压状态参数 ; Duncan-Chang模型 ; 统计损伤 ; 极限损伤

Abstract

A new temperature-pressure state parameter was defined in order to reflect the influence of temperature-pressure environment on the mechanical properties of hydrate-bearing sediments. Based on the mechanism of temperature-pressure environment on the mesoscopic structure of the sediments, a multi-scale elastic parameter prediction model was proposed by using the three-phase sphere model considering the influence of temperature-pressure environment on the mesoscopic components and the contact interface of each component. Then, based on the traditional Duncan-Chang model and the statistical damage theory, a Duncan-Chang statistical damage model was established by introducing the ultimate damage value. The validity and reasonability of the proposed model were verified by comparing the triaxial tests data of hydrate-bearing sediments under different temperature and pore pressure conditions with the predicted results of the model. Results show that the model can take into account the effects of hydrate saturation, temperature and pore pressure environment, grain size grading of sediments skeleton. It can well simulate the stress-strain characteristics of hydrate-bearing sediments under different temperature and pore pressure environments.

Keywords： hydrate-bearing sediments ; temperature and pore pressure state parameter ; Duncan-Chang constitutive model ; statistical damage ; ultimate damage

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本文引用格式

王辉, 郇筱林, 陈宇琪, 周博, 薛世峰, 林英松. 考虑温−压耦合影响的水合物沉积物宏细观Duncan-Chang损伤模型. 浙江大学学报(工学版)[J], 2021, 55(9): 1734-1743 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2021.09.015

WANG Hui, HUAN Xiao-lin, CHEN Yu-qi, ZHOU Bo, XUE Shi-feng, LIN Ying-song. Macro-mesoscopic Duncan-Chang damage model for hydrate-bearing sediments considering coupling effect of temperature-pore pressure condition. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)[J], 2021, 55(9): 1734-1743 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2021.09.015

天然气水合物是在低温高压环境下由甲烷分子和水分子形成的白色晶体化合物[1-4]，具有分布广、储量大、能量密度高、清洁无污染等优点。它被认为是潜在的能够替代煤、石油、天然气等传统化石能源的新型能源[5-6]. 若能够实现开采，可有效缓解当今世界能源危机. 2020年3月26日，我国海域天然气水合物第2轮试采取得成功，实现从探索性试采到试验性试采的跨越，是我国天然气水合物产业化进程中极其关键的一步. 然而天然气水合物的分解会破坏储层持力结构、弱化沉积物骨架之间的胶结，导致储层承载力降低；同时，天然气水合物分解产生大量液态水和气体，使得储层孔隙压力急剧升高，有效应力减小，导致水合物储层的承载能力降低，造成海底地层发生沉降、海洋生产平台垮塌、海底滑坡等岩土工程问题[7-9].

目前，对于水合物沉积物的宏观力学特性的研究主要集中在室内试验和离散元数值模拟中. Lijith等[10]总结Song等[11-14]进行的三轴试验和直剪试验数据发现，当水合物饱和度不发生变化时，水合物沉积物的峰值强度随温度的升高线性减小，孔隙水压的升高会提高水合物沉积物的抗剪强度. 由于室内试验成本过高且试验操作难度过大，对环境温度和孔隙水压影响强度和变形的进一步研究还鲜有报道. 为了弥补室内试验的不足，蒋明镜等[15-16]提出温−压距离参数L，表征水合物所处温度−孔压环境与相平衡边界的最短距离，采用离散单元法系统地研究了温度和孔隙水压对水合物沉积物宏观强度和变形的影响，并给出经验拟合公式. 研究结果表明：水合物沉积物的峰值强度、弹性模量、黏聚力随着L增大而线性增大；内摩擦角、剪胀角随着L增大而非线性增大.

近年来，随着水合物开采步伐加快，水合物储层在不同温−压环境以及分解后的稳定性问题亟须解决，能够有效描述在不同温−压环境下的水合物沉积物力学特性的本构模型是解决该问题的前提. 目前，尽管已经提出较多的水合物沉积物本构模型，但是这些模型主要针对的是对水合物饱和度[17]、赋存模式[18]、有效围压[19]的影响，用于描述在不同温−压环境对水合物沉积物宏观力学特性影响的本构模型则少之又少. 颜荣涛等[20]提出温−压条件参数θ研究水合物赋存温−压环境变化对水合物沉积物力学特性的影响，在统计损伤模型的基础上建立可考虑不同温−压条件水合物沉积物本构模型. 该模型参数较少且确定简单，对于应力−应变曲线有较好的预测效果. Ng等[21]用L表征温−压环境的影响，并基于边界面模型建立考虑温−压耦合影响的状态相关弹塑性本构模型. 该模型对应力−应变曲线和体变曲线具有较好的预测效果，但是参数较多且不易确定. 上述模型的弹性参数多采用试验拟合获得，未考虑温−压环境对细观各组分力学特性和各组分间接触界面的影响，模型也难以揭示水合物沉积物宏观变形和破坏的微细观物理机制.

基于以上分析，本文通过定义温−压状态参数ξ反映环境温度和孔隙水压对水合物沉积物宏观力学特性的耦合影响. 并从细观力学角度出发，基于三相球模型提出考虑温−压环境对水合物沉积物细观各组分和各组分间接触界面影响的多尺度弹性参数预测模型. 考虑由于水合物沉积物内部胶结破损导致的应变软化现象，将Duncan-Chang模型与统计损伤模型结合，建立可考虑温−压耦合影响的水合物沉积物的Duncan-Chang统计损伤模型.

1. 温−压状态对细观结构的作用机制

水合物赋存温−压环境对水合物沉积物的宏观力学特性影响较大，较低的温度或较高的孔隙水压会使水合物沉积物的刚度和强度明显增大[11-14]. 如何在本构模型中定量表达温压状态对水合物沉积物宏观力学特性的影响至关重要. Pinkert等[22]认为在过量气环境中，水合物生成后，沉积物骨架颗粒间的接触存在如图1所示. 图中，处于骨架颗粒间的水合物通过胶结将骨架颗粒联结，同时，骨架颗粒间存在微米级吸附水膜，水膜通过颗粒间的毛细力将颗粒联结，2种联结同时发挥作用. 由此可知，水合物沉积物的宏观强度和刚度由水合物颗粒、沉积物骨架颗粒、水合物颗粒与沉积物骨架颗粒界面的强度共同决定. 在较低的温度或较高的孔隙压力作用下，水合物颗粒刚度、强度、与沉积物骨架颗粒界面的胶结强度变大，水膜厚度变薄，使水合物沉积物的宏观刚度和强度增大.

图 1

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图 1   水合物沉积物的细观接触示意

Fig.1   Schematic diagram of mesoscopic contact of hydrate-bearing sediments


为了描述环境温度和孔隙压力对水合物沉积物的宏观力学特性的影响，蒋明镜等[15]提出的L可以有效描述温度和孔隙水压耦合的影响，但L的计算较为复杂，且不易确定. 颜荣涛等[20]提出的θ虽然反映了水合物所处温度和孔隙压力条件与相平衡曲线的相对位置，但是由此引入的参考温度T0不同取值将使θ取值不唯一. 为了能够更好地描述环境温度−孔隙压力的耦合影响，本文提出的ξ表达式为

$ \xi = \frac{T}{{{T_{\rm eq}}}} . $
(1)

式中：T为水合物赋存环境温度，Teq为孔隙压力P条件下对应的相平衡曲线温度. 如图2所示为甲烷水合物的相平衡曲线，ξ为当前温−压环境与相平衡边界的相对位置. 图中，相平衡曲线上方为水合物稳定赋存区，0 <ξ < 1，这时水合物主要以固态存在于沉积物骨架孔隙中， ξ越小水合物的刚度和胶结强度越大；相平衡曲线下方为水合物不稳定赋存区域，ξ > 1，这时甲烷水合物分解为甲烷气和液态水， ξ越大分解速率越快. 当ξ = 1时，甲烷水合物处于分解与合成的临界状态，沉积物孔隙中既存在固态水合物又存在甲烷气和液态水.

图 2

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图 2   甲烷水合物相平衡曲线

Fig.2   Methane hydrate phase equilibrium curve


沉积物孔隙中的甲烷水合物的稳定性受到赋存环境温度、孔隙压力、沉积物孔隙大小等因素的影响. 甲烷水合物的相平衡曲线拟合方程为

$ P = \gamma\exp \left( {\alpha - \frac{\beta }{T}} \right) . $
(2)

式中：α、β、γ为试验拟合系数. 将Makogon等[23]通过试验得到的相平衡数据带入可得

$ P = 3.627\;9 \times {10^{12}} \times \exp \left( {6.480\;4 - \frac{{9\;476}}{T}} \right) . $
(3)

式（3）在温度为265~295 K下适用.

2. 跨尺度弹性参数预测模型

水合物沉积物可以看作是由甲烷水合物颗粒、沉积物骨架颗粒（砂土、黏土以及两者混合物）、甲烷游离气以及液态水组成的多相多组分复合岩土材料. 其内部各组分力学性质及各组分间细观接触决定了水合物沉积物宏观力学性质. 传统的弹性参数预测公式多为试验数据拟合公式或经验公式，缺乏细观结构与宏观力学性质的关联，导致弹性参数预测公式只针对某一具体试验数据有效，并且随着考虑影响因素的增加通常会引入更多的拟合参数，使预测弹性参数变得更加困难. 因此建立基于细观尺度的水合物沉积物宏观弹性参数预测模型具有重大的研究意义. 复合材料细观力学均匀化理论的发展为建立基于细观尺度的非均质多组分材料的宏观弹性参数预测模型提供可能. 三相球模型[24]作为复合材料细观力学均匀化理论的一种，能较好地反映夹杂相和基体的微结构特征，获得比较精确的计算结果. 该模型目前在复合材料[25]、混凝土[26]、冻土[27]中均有较好应用.

三相球模型的推导在文献[25]中有详细介绍，本文直接给出夹杂相与基体等效介质的体积模量Kab的表达式为

$ {K_{\rm ab}} = {K_{\rm b}} + \frac{{\left( {{K_{\rm a}} - {K_{\rm b}}} \right){\varphi_{\rm a}}}}{{1 + \left( {1 - {\varphi_{\rm a}}} \right)\left( {{K_{\rm a}} - {K_{\rm b}}} \right)\left/{\left( {{K_{\rm b}} + \dfrac{4}{{3{G_{\rm b}}}}} \right)}\right.}} . $
(4)

其中：Ka为夹杂相的体积模量；Ga为夹杂相的切变模量；Kb为基相的体积模量；Gb为基相的切变模量； $\varphi_{\rm{a}}$为夹杂相的体积分数， $ {\varphi_{\rm a}} = {r _{\rm{a}}^3 / r _{\rm{b}}^3} $，其中ra为夹杂相的球半径，rb为基相球半径.

如图3所示为水合物沉积物的均匀化程序示意，在水合物沉积物的均匀化过程中忽略了游离甲烷气的影响. 均匀化过程中分2步. 1）砂土与液态水均匀化. 由式(4)可得到砂土与液态水的等效体积模量

图 3

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图 3   水合物沉积物的均匀化程序示意图

Fig.3   Schematic diagram of the homogenization process of hydrate-bearing sediments


$ {K_{{\rm{sw}}}} = {K_{\rm{s}}} + \frac{{\left( {{K_{\rm{w}}} - {K_{\rm{s}}}} \right)\left[ {{{{\varphi _{\rm{w}}}} / {\left( {{\varphi _{\rm{w}}}{\rm{ + }}{\varphi _{\rm{s}}}} \right)}}} \right]}}{{1 + \left[ {{{{\varphi _s}} / {\left( {{\varphi _{\rm{w}}}{\rm{ + }}{\varphi _{\rm{s}}}} \right)}}} \right]\left( {{K_{\rm{w}}} - {K_{\rm{s}}}} \right)/\left( {{K_{\rm{s}}} + \dfrac{4}{{3{G_{\rm{s}}}}}} \right)}} . $
(5)

式中，Ks、Kw分别为砂土、液态水的体积模量，φw为液态水的体积分数，Gs为砂土的切变模量. 王尚旭[28]通过试验研究表明，在沉积物空隙内部的液态水体积模量与环境温度和孔隙压力有关，如图4所示. 拟合图4试验数据[28]，得到孔隙水的体积模量与环境温度和孔隙压力的关系表达式为

图 4

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图 4   孔隙中液态水的体积模量与环境温度和孔隙压力的关系

Fig.4   Relationship between volume modulus of liquid water in pores and temperature and pore pressure


$ {K_{\rm{w}}} = 7.735\;16T + 1.142P + 474.72 . $
(6)

假定沉积物骨架颗粒即砂土颗粒形状为球形，孔隙水是包裹在沉积物基质颗粒外部的水膜，Chaouachi等[29]研究表明，沉积物骨架颗粒与水合物颗粒之间存在一层几微米厚的水膜，本文将水膜厚度假设为10 μm. 水膜包裹在砂土颗粒周围，因此水膜的体积分数与砂土的粒径级配密切相关. 如图5所示为Toyoura砂的粒径级配曲线. 将该曲线分为10段，由每段的平均半径di/2和骨架颗粒体积分数Ps可以确定液态水膜相对于沉积物骨架的体积分数Pw为

图 5

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图 5   Toyoura砂土粒径级配曲线

Fig.5   Toyoura sand particle size distribution curve


$ \begin{split} {P_{\rm w}} =\; \sum\limits_{i = 1}^N {{P_{\rm s}}} \frac{{{{\left( {{{d_i}/2} + 5 \times {{10}^{ - 6}}} \right)}^3} - {{{\left( {{d_i}/2} \right)}^3}}}}{{{{\left( {{{d_i}/2} + 5 \times {{10}^{ - 6}}} \right)}^3}}} \hfill . \end{split} $
(7)

计算弹性模量，只需得到体积模量K、切变模量G、泊松比ν中的2个数值，三相球模型便得到等效体积模量的计算公式，如果直接采用三相球模型求解等效切变模量，计算过程将十分复杂，这是不利于工程应用的. 考虑泊松比值变化较小，等效泊松比可以由横向串联模型计算得到. 假设孔隙水泊松比vw不受环境温度和孔隙压力的影响，砂土与孔隙水的等效泊松比为

$ {\nu _{{\rm{sw}}}} = {\nu _{\rm{w}}}{{{\varphi _{\rm{w}}}} / {\left( {{\varphi _{\rm{w}}}{\rm{ + }}{\varphi _{\rm{s}}}} \right)}} + {\nu _{\rm{s}}}{{{\varphi _s}} / {\left( {{\varphi _{\rm{w}}}{\rm{ + }}{\varphi _{\rm{s}}}} \right)}} . $
(8)

式中：φs为砂土的体积分数，νs、νw分别为砂土、孔隙水的泊松比. 由弹性力学知识可以得到砂土与孔隙水的等效切变模量表达式为

$ {G_{{\rm{sw}}}} = \frac{{3\left( {1 - 2{\nu _{{\rm{sw}}}}} \right)}}{{2\left( {1 + {\nu _{{\rm{sw}}}}} \right)}}{K_{{\rm{sw}}}} . $
(9)

2）砂土与孔隙水的等效介质与甲烷水合物均匀化. 仍然采用三相球模型作为均匀化的理论工具，得到水合物沉积物的等效体积模量：

$ {K_{{\rm{HBS}}}} = {K_{{\rm{sw}}}} + \frac{{\left( {{K_{{\rm{MH}}}} - {K_{{\rm{sw}}}}} \right){\varphi _{{\rm{MH}}}}}}{{1 + \left( {1 - {\varphi _{{\rm{MH}}}}} \right)\left( {{K_{{\rm{MH}}}} - {K_{{\rm{sw}}}}} \right)/\left( {{K_{{\rm{sw}}}} + \dfrac{4}{{3{G_{{\rm{sw}}}}}}} \right)}} . $
(10)

式中：KMH为甲烷水合物的体积模量，φMH为甲烷水合物的体积分数.

如图6所示为甲烷水合物弹性模量与温−压状态参数的关系曲线. 由图可知，弹性模量EMH与温−压状态参数ξ存在线性关系，表达式为

图 6

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图 6   甲烷水合物弹性模量与温−压状态参数的关系

Fig.6   Relationship between elastic modulus of methane hydrate and state parameters of temperature and pore pressure


$ {E_{{\rm{MH}}}} = - 1\;832.97\xi + 2\;092.75 . $
(11)

假设νMH不受到温−压环境的影响，由弹性力学理论可以得到甲烷水合物的体积模量

$ {K_{{\rm{MH}}}} = \frac{{{E_{{\rm{MH}}}}}}{{3\left( {1 - 2{\nu _{{\rm{MH}}}}} \right)}} . $
(12)

水合物沉积物的泊松比νHBS可由横向串联公式得到：

$ {\nu _{{\rm{HBS}}}} = {\nu _{{\rm{sw}}}}{\varphi _{{\rm{sw}}}} + {\nu _{{\rm{MH}}}}{\varphi _{{\rm{MH}}}} . $
(13)

因此砂土、游离水和甲烷水合物的等效介质的弹性模量表达式为

$ {E_{{\rm{HBS}}}} = 3{K_{{\rm{HBS}}}}\left( {1 - 2{\nu _{{\rm{HBS}}}}} \right){\left( {{\sigma _{\rm{3}}}} \right)^{0.608}} . $
(14)

式中：σ3为有效围压. 对于有效围压对弹性模量的影响，本文沿用Hyodo等[30]的假设，指数项的取值为对以Toyoura砂为基质颗粒的水合物沉积物试验结果的拟合值. 以上弹性参数预测模型考虑温度和孔隙压力对沉积物内部细观结构的影响规律，并基于复合材料细观力学均匀化理论的三相球模型，实现考虑温−压环境的细观−宏观的跨尺度关联.

3. 水合物沉积物的Duncan-Chang统计损伤本构模型

3.1. 损伤基本关系

众多试验已经证明[35-36]，水合物沉积物在较低围压高饱和度条件下表现出应变软化特性，在较高有效围压低饱和度条件下表现出应变硬化特性. 近年来，Duncan-Chang本构模型在预测水合物沉积物的非线性应力−应变关系研究中有较好的应用. 虽然Duncan-Chang本构模型预测应变硬化现象有较好的优势，但是预测应变软化现象的效果比较差；从室内微观试验[37-38]和离散元的模拟结果[39-41]可以发现，水合物沉积物应力−应变曲线表现出应变软化线性，原因是沉积物骨架颗粒与水合物颗粒接触界面的胶结破损. 近年来，连续介质损伤力学在解决结构性土的胶结破损方面有较好的应用[42]. 为了能够模拟应变软化特性，将统计损伤理论引入Duncan-Chang本构模型.

Lemaitre应变等效假说[43]认为，名义应力作用在损伤材料上所产生的应变与有效应力作用在未损伤材料上产生的应变相同：

$ \sigma ' = \frac{\sigma }{{1 - D}} . $
(15)

式中：σ为名义应力，σ′为有效应力，D为损伤变量. 该假说是针对金属在受拉条件下产生的损伤现象提出的. 该假说认为已损伤部分并不承担应力，且加载结束后试样处于完全损伤状态. 但是Jiang等[44-45]进行的胶结型水合物沉积物的离散元数值模拟试验表明，即使达到临界状态，水合物沉积物内部的水合物胶结也并未完全破损，而是存在极限值. 本文引入极限损伤值Du修正损伤变量，以模拟加载过程中水合物胶结破损不完全的情况：

$ \sigma ' = \frac{\sigma }{{1 - {D_{\rm u}}D}} . $
(16)

在常规三轴应力条件下，可以得到偏应力的等效表达式：

$ {\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)^\prime } = \frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{{\left( {1 - {D_{\rm u}}D} \right)}} . $
(17)

式中： $ {\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)^\prime } $为有效偏应力， $ \left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right) $为名义偏应力. 原始Duncan-Chang双曲线应力−应变曲线表达式为

$ {\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)^\prime } = \frac{{{\varepsilon _1}}}{{A + B{\varepsilon _1}}} . $
(18)

式中：ε1为轴向应变，A、B为模型参数. 将式(18)代入式(17)得到考虑损伤的Duncan- Chang本构模型表达式为

$ \frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{{\left( {1 - {D_{\rm u}}D} \right)}} = \frac{{{\varepsilon _1}}}{{A + B{\varepsilon _1}}} . $
(19)

3.2. 损伤准则

周博等[46-47]通过离散元数值模拟发现：在三向应力状态下，水合物沉积物的强度可以采用Lade-Duncan准则描述. 水合物沉积物可以看作具有黏聚力的结构性土体，本文采用修正后的Lade-Duncan破坏准则[48]作为水合物沉积物的微元体损伤准则：

$ \frac{{{{\left( {I_1^ * } \right)}^3}}}{{I_3^ * }} = {K^ * } = \frac{{{{\left( {3 - \sin \varPhi } \right)}^3}}}{{\left( {1 + \sin \varPhi } \right){{\left( {1 - \sin \varPhi } \right)}^2}}} , $
(20)

$ \left. \begin{gathered} I_1^ * = {{\sigma '}_1}{\rm{ + }}{{\sigma '}_2}{\rm{ + }}{{\sigma '}_3}, \hfill \\ I_3^ * = \sigma _1^ * \sigma _2^ * \sigma _3^ * . \hfill \\ \end{gathered} \right\} $
(21)

$ \left. \begin{gathered} \sigma _{ij}^ * = {\sigma _{ij}} + {\sigma _0}{\delta _{ij}}, \hfill \\ {\sigma _0} = {c_{\rm HBS}}\cot \varPhi . \hfill \\ \end{gathered} \right\} $
(22)

式中： $I_1^ * $、 $I_3^ * $分别为第一、第三应力不变量； ${K^ * }$为模型常数； $\sigma _1^ * $、 $\sigma _2^ * $、 $\sigma _3^ * $分别为考虑黏聚力的大、中、小主应力； ${\sigma _{ij}}$为不考虑黏聚力时的应力张量； $\sigma _{ij}^ * $为考虑黏聚力时的应力张量； ${\delta _{ij}}$为克罗内克符号，当 $i = j$时， ${\delta _{ij}} = 1$，当 $i \ne j$时， ${\delta _{ij}} = 0$；cHBS为水合物沉积物的黏聚力；Φ为水合物沉积物的内摩擦角. 水合物沉积物室内试验表明水合物沉积物的黏聚力与水合物饱和度SMH、温−压环境有关，由于目前在不同温−压环境下室内试验数据不足，温−压环境对水合物沉积物黏聚力的影响规律尚不清楚，本文只考虑水合物饱和度的影响. Lijith等[10]在总结了近年来的室内试验数据，发现黏聚力与水合物饱和度呈指数函数关系：

$ {c_{{\rm{HBS}}}} = \alpha' + \beta' S_{{\rm{MH}}}{}^{1.25} , $
(23)

式中：α'、β'为模型拟合参数，α' =0.25，β' = 0.007. 联立式(20)~(23)，并根据相关联流动法，黏聚力的Lade-Duncan强度准则为

$ \frac{{{\sigma _1}{\rm{ + }}{\sigma _0}}}{{{\sigma _3}{\rm{ + }}{\sigma _0}}}{\rm{ = }}\eta {\rm{ = }}\frac{1}{{{{\left[ {\sqrt {\left( {\sqrt[3]{{{K^ * }}} + 1} \right)} {\rm{ - }}1} \right]}^3}}} . $
(24)

整理式(24)可以得到应力水平F的表达式为

$ F = f(\sigma ) = \left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right) - \left( {\eta - 1} \right){\sigma _3} + (1 - \eta ){\sigma _0} . $
(25)

当水合物沉积物微元为发生损伤时，假设其应力−应变曲线服从原始Duncan-Chang双曲线模型. 联立式(18)、(25)可得水合物沉积物的微元强度准则：

$ F = \frac{{{\varepsilon _1}}}{{A + B{\varepsilon _1}}} - \left( {\eta - 1} \right)\left( {{\sigma _0} + {{\sigma }_3}} \right) , $
(26)

$ \left. \begin{gathered} \sigma _0^{} = {c_{\rm HBS}}\cot \varPhi, \hfill \\ {\eta ^{}} = {{1 } \left/ {{{{\left[ {\sqrt {\left( {\sqrt[3]{K^{*}} + 1} \right)} {\rm{ - }}1} \right]}^3}}}\right.} ,\hfill \\ {K^ * } = \frac{{{{(3 - \sin \varPhi )}^3}}}{{(1 + \sin \varPhi ){{(1 - \sin \varPhi )}^2}}}. \hfill \\ \end{gathered} \right\} $
(27)

式中：η为模型推导中间参数， $\sigma _0$为抗拉强度.

3.3. 损伤演化方程

在统计损伤理论中，假设在初始加载时，水合物沉积物由N个胶结完整体积微元组成. 在加载过程中，水合物沉积物逐渐发生损伤，假设在一定荷载作用下，已经发生损伤的微元数量为ND，损伤变量可以定义为已损伤的微元数量ND与总微元数量的比值：

$ D = \frac{{{N_{\rm D}}}}{N} . $
(28)

如何描述在不同荷载作用下水合物沉积物的损伤演化过程，对本构模型的预测精确性具有重要的意义. 目前，文献中多采用Weibull分布、正态分布、对数正态分布等函数描述岩土材料的损伤演化过程. 双参数Weibull分布函数由于简单实用，Lai等[49]对该函数描述岩土材料损伤演化过程的合理性研究表明，相较于正态分布、对数正态分布，Weibull双参数分布函数能够更好地描述岩土材料的渐进破损过程. 双参数Weibull分布函数的表达式为

$ \varphi \left( F \right) = \left\{ \begin{array}{l} 0, \;F \leqslant 0; \hfill \\ \exp\left[ { - {{\left( {\dfrac{F}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right]\dfrac{m}{F}{\left( {\dfrac{F}{{{F_0}}}} \right)^{m - 1}}{\rm{, }}\;F > 0. \hfill \end{array} \right. $
(29)

式中：F0、m为该函数的分布参数. 联立式(28)、(29)可得：

$ D = \frac{{{N_{\rm D}}}}{N} = \frac{{\displaystyle \int_{ - \infty }^F {N\varphi \left( F \right){\rm{d}}F} }}{N} . $
(30)

整理式(30)可得损伤变量D的演化方程：

$ D = \left\{ \begin{array}{l} 0,\;F \leqslant 0; \hfill \\ 1 - \exp\left[ { - {{\left( {\dfrac{F}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right],F > 0. \hfill \end{array} \right. $
(31)

3.4. 模型参数的确定

本文模型参数包括Ks、Gs、νw、νs、νMH、A、B、Du、F0、m. 这些模型参数可以分成3类. 1）如Ks、Gs、νw、νs、νMH可以直接从无水合物纯砂试样和纯水合物试样的室内试验获得，本文通过Hyodo等[13-14]进行的无水合物的纯砂试样的应力−应变曲线和体变曲线获得Toyoura砂的体积模量、切变模量分别为Ks = 314 MPa、Gs = 216 MPa；液态水的泊松比νw=0.5；砂土的泊松比为0.22；水合物的泊松比νMH=0.19. 2）原始Duncan-Chang模型的模型参数A、B，式(19)对应变的导数在试验起始点的值等于参数A的倒数，即

$ \frac{{{\rm{d}}\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)}}{{{\rm{d}}{\varepsilon _1}}}\left| {_{{\varepsilon _1} = 0}} \right. = \frac{1}{A} = E_{{\rm{HBS}}}^{} . $
(32)

B取值采用经验公式：

$ B = \frac{1}{{2{{\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)}_{\rm{m}}}}} . $
(33)

式中：(σ1−σ3)m为水合物沉积物的峰值强度. 3）损伤极限值Du和Weibull模型参数F0、m. 目前对于水合物沉积物损伤极限值的试验和数值模拟较少，在岩石的本构模型应用中通常采用最优化方法得到，本文根据Jiang等[44]的离散元研究结果，Du=0.99；对于Weibull分布函数参数F0、m采用极值法确定. 水合物沉积物的应力−应变曲线在低饱和度高、有效围压条件下表现出应变硬化特性，在高饱和度、低有效围压条件下表现出应变软化特性. 当水合物沉积物的应力−应变曲线为应变硬化型曲线时，极值点取应力−应变曲线趋向于稳定的初始点；当为应变软化型曲线时，极值点取应力−应变曲线的峰值点. 即在ε1=ε1m处，式(19)须满足以下2个条件：

$ \left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)\left| {_{{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}} \right. = {\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)_{\rm{m}}} , $
(34)

$ \frac{{{\rm{d}}\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)}}{{{\rm{d}}{\varepsilon _1}}}\left| {_{{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}} \right. = 0 . $
(35)

将式(19)代入式(34)、(35)，可得二元方程组：

$ {\left( {{\sigma _{\rm{1}}} - {\sigma _{\rm{3}}}} \right)_{\rm{m}}}\left| {_{{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{1{\rm{m}}}}}} \right. = \frac{{{\varepsilon _{1{\rm{m}}}}}}{{A + B{\varepsilon _{1{\rm{m}}}}}}\left\{ {1 - {D_u} + {D_u}\exp \left[ { - {{\left( {\frac{{{F_p}}}{{{F_{\rm{0}}}}}} \right)}^{m}}} \right]} \right\} , $
(36)

$ \begin{split} &\dfrac{{{\rm{d}}\left( {{\sigma _1} - {\sigma _3}} \right)}}{{{\rm{d}}{\varepsilon _1}}}{\left|_ {{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{{\rm{1m}}}}} \right.} = \dfrac{1}{{{{\left( {A + B{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}} \right)}^2}}}\\ &{\left\{ {\left( {A + B{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}} \right)\left( {1 - {D_u}} \right) + {D_u}\left( {A + B{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}} \right)\exp \left[ { - {{\left( {\dfrac{{{F_{\rm{p}}}}}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right] - } \right.}\\ &{\left. {{D_u}\dfrac{{m{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}}{{F_0^m}}F_{\rm{p}}^{m - 1}\exp \left[ { - {{\left( {\dfrac{{{F_{\rm{p}}}}}{{{F_0}}}} \right)}^m}} \right]} \right\}}=0,\\[-18pt] \end{split} $
(37)

$ {F_{\rm{p}}} = \frac{{{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}}{{A + B{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}} - \left( {\eta - 1} \right)\left( {{\sigma _0} + {\sigma _3}} \right) . $
(38)

联立式(36)、(37)、(38)可得

$ m = - \frac{{{F_{\rm{p}}}\left( {A + B{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}} \right)\left[ {1 - {D_u} + \dfrac{\lambda }{{{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}}} \right]}}{{\lambda \ln \dfrac{\lambda }{{{D_{\rm{u}}}{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}}}} , $
(39)

$ {F_0} = \frac{{{F_{\rm{p}}}}}{{{{\left[ { - \ln \dfrac{{{D_{\rm{u}}}{\varepsilon _{{\rm{1m}}}} - {\varepsilon _{{\rm{1m}}}} + {{\left( {{\sigma _{\rm{1}}} - {\sigma _{\rm{3}}}} \right)}_{\rm{m}}}\left( {A + B{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}} \right)}}{{{D_{\rm{u}}}{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}}}} \right]}^{\frac{1}{m}}}}} , $
(40)

$ \lambda = {D_{\rm{u}}}{\varepsilon _{{\rm{1m}}}} - {\varepsilon _{{\rm{1m}}}} + {\left( {{\sigma _{\rm{1}}} - {\sigma _{\rm{3}}}} \right)_{\rm{m}}}\left( {A + B{\varepsilon _{{\rm{1m}}}}} \right) . $
(41)

在不同水合物饱和度、有效围压、温−压环境条件下双参数的Weibull模型参数F0和m计算结果如表1~3所示.

表 1   不同饱和度的Weibull模型参数

Tab.1  Model parameters with different hydrate saturation

ξ SMH/% φMH/% F0 m
0.971 0 0 0 18.183 0 1.949 1
0.971 0 26.6 11.69 21.359 4 3.731 3
0.971 0 46.6 18.85 28.047 9 5.422 5

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表 2   不同有效围压的Weibull模型参数

Tab.2  Model parameters under different confining pressure

σ3/MPa SMH/% φMH/% F0 m
1 34.8 0.147 6 10.894 4 4.574 4
2 34.8 0.147 6 16.695 5 3.809 9
3 34.8 0.147 6 22.361 9 2.908 9

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表 3   不同温−压环境下的Weibull模型参数

Tab.3  Model parameters under different P-T condition

ξ SMH/% φMH/% F0 m
0.957 0 23.2 10.35 27.297 1 4.393 3
0.965 6 23.2 10.35 22.533 3 4.091 9
0.971 0 24.7 10.95 18.896 6 3.726 8
0.971 0 46.6 18.85 29.168 8 4.591 3
0.991 3 42.5 17.45 23.110 3 3.427 5

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4. 数值结果

为了验证本文提出的考虑温−压耦合影响的宏细观Duncan-Chang统计损伤模型的有效性和合理性，将所求得的模型参数代入本文模型中，并绘制出模型预测曲线. 如图7所示为将Hyodo等[13-14]在不同水合物饱和度、有效围压以及温−压环境条件下的室内试验结果与原始Duncan-Chang模型和本文提出的本构模型预测结果进行对比. 结果表明：1) 在不同水合物饱和度、有效围压、温度和孔隙压力条件下水合物沉积物的应力−应变曲线都表现为应变软化特性. 本文模型在Duncan-Chang模型的基础上引入统计损伤理论，弥补了传统Duncan-Chang模型无法预测应变软化特性的缺陷，同时试验结果与模拟结果吻合较好. 2)由图7（a）、（c）、（d）可知，水合物饱和度和孔隙压力对水合物沉积物的应力−应变曲线的应变软化特性影响较大，当水合物饱和度较大或温度较低时，水合物沉积物的应变软化特性增大. 由图7（b）、（e）可知，有效围压和温度则对应力−应变曲线的软化特性影响较小，本文模型能够有效模拟4种因素（水合物饱和度、有效围压、温度和孔隙压力）对峰后曲线特性的影响. 3) 模型对沉积物应力应变曲线的准弹性阶段预测结果较差，有2个可能的原因：一是本文是以Pinkert等[22]基于X射线计算机断层扫描系统观测结果提出的一种水合物沉积物微观结构而进行建模的. 由于目前可视化试验技术的限制，对沉积物内部微观结构的了解不全面. 二是本文中使用的水合物弹性模量是由宏观纯水合物三轴压缩试验得到的，胶结于沉积物骨架间的水合物刚度比宏观试验得到的大得多，目前对于这种宏观与细观关联的研究还比较少，因此水合物宏观刚度与细观胶结刚度间的转化比较难.

图 7

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图 7   不同条件下水合物沉积物的应力−应变曲线的试验结果与计算结果对比

Fig.7   Comparison between experimental results and calculated results of stress-strain curves of hydrate-bearing sediments at different conditions


5. 结　论

（1）结合新的温压状态参数并基于三相球模型推导的考虑温−压环境对水合物沉积物细观各组分以及各组分间接触界面影响的跨尺度弹性参数预测模型能够较好地考虑水合物饱和度、温−压环境以及沉积物骨架的粒径级配的影响.

（2）将传统Duncan-Chang模型与统计损伤理论相结合所建立的Duncan-Chang统计损伤本构模型克服传统Duncan-Chang模型的缺点，不仅能够较好地模拟应变硬化型应力−应变曲线，对于应变软化型曲线也具有较好的适用性，同时，能够有效地反映在不同温−压环境下水合物沉积物的应力−应变特性.

（3）本文采用的弹性参数预测模型是基于假设的水合物沉积物的细观结构推导的，可以从细观尺度上阐明水合物饱和度、温压条件对水合物沉积物宏观力学特性的影响机理. 目前可视化试验技术的限制，对水合物沉积物细观结构的研究还不全面，比如水合物的赋存形式、细粒型水合物沉积物的微观结构. 下一步改进微观可视化试验技术，加深对水合物沉积物的微观机构的全面了解便显得尤为重要. 同时，本文只是针对粒间胶结型水合物，推导适合于更加复杂的水合物沉积物微观机构（如包含孔隙填充型水合物、骨架支撑型水合物）也是下一步的主要研究方向.

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田振元, 王伟, 朱其志, 等

基于Lade-Duncan强度准则的统计损伤本构模型及其修正研究

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DOI:10.3969/j.issn.1671-1815.2014.35.019      [本文引用: 1]

TIAN Zhen-yuan, WANG Wei, ZHU Qi-zhi, et al

A statistical damage constitutive model and its modifying method based on Lade-Duncan failure criterion

[J]. Science Technology and Engineering, 2014, 14 (35): 104- 109

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LAI Y, LI S, QI J, et al

Strength distributions of warm frozen clay and its stochastic damage constitutive model

[J]. Cold Regions Science and Technology, 2008, 53 (2): 200- 215

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MASUI A, HANEDA H, OGATA Y, et al. Effect of saturation degree of methane hydrate on the shear strength of synthetic methane hydrate sediments [C]// Proceedings of the 5th International Conference on Gas Hydrates. Trondheim: [s. n.], 2005: 364-369.

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