全相位数据处理技术（all-phase technology）是侯正信等^[1]从克服图像处理中的方块效应问题发展而来的，主要解决数据截断误差引起的频谱泄露和截断信号边界的截断效应. 基本思想是将数据长度为2N−1的数据，通过周期延拓分成N段长度为N的数据段，叠加后归一化得到处理完成之后长度为N的样本数据，开展FFT分析（apFFT）. 经过几十年，全相位理论趋于成熟，应用领域十分广泛，在设备监测^[2]、电网系统^[3]、信号通信^[4-5]等领域，均有较多应用. 在建筑结构领域，全相位数据处理技术鲜有涉猎，主要原因可能是全相位技术自身数据长度的限制，导致该技术在建筑结构领域的劣势.

对于建筑结构，自身频率往往以低频为主^[6-7]（大部分前3阶小于50 Hz），有些甚至低于1 Hz^[8]，因此，在采样频率确定的情况下，更长的数据长度可以有效地提高数据低频分辨率. 若要使用全相位处理技术，则需要使用长度为2N−1的数据，处理完成后的长度大致缩短一半，长度只有N. 使用2N−1长度的数据，经过apFFT后只得到数据长度为N时的频率分辨率，长度为N−1的数据无法在FFT分析中起到增加物理分辨率的作用，这对于建筑结构领域这种样本数据有限且低频分辨率需求高的样本数据不太适合. 数据长度的限制可能是apFFT方法未能在建筑领域有所发展的原因之一.

为了克服全相位技术的数据长度限制，采用将N个数据扩展为2N−1个的数据扩展方法. 常用的数据扩展方法有重复使用原始数据、数据补零、数据内插和数据外推等. 通过对比分析不同方法在全相位处理中的应用情况，提出基于自回归模型（AR）的数据扩展方法，针对扩展问题提出AR模型定阶方法.

定义长度为2N−1个数据的时域序列 ${x^{2N - 1}}\left( i \right)$：

(1) $ {x^{2N - 1}}(i);\;i \in [1 - N,N - 1]. $

式中：2N−1为 $x\left( i \right)$序列的长度. 经过全相位预处理后，转换为样本数为N的时域序列 $x_{{\rm{ap}}}^N(m)(m = 0,1, \cdots , $ $ N - 1)$. 若按照无窗预处理，则处理后的数据 $x_{{\rm{ap}}}^N(m)$的表达式为

(2) $ \left. {\begin{split} & x_{ap}^N(m) = (N - m){x^{2N - 1}}(m) + m{x^{2N - 1}}(m - N); \\ & m = 0,1,\cdots,N - 1. \\ \end{split} } \right\} $

式（2）为无窗全相位的基准表达式.

最简单的扩展数据的方法是重复使用已知数据，通过原始数据的平移、翻转方法扩展数据个数，利用这种方法从构造上容易判断扩展数据的全相位处理之后的情况. 其中，弃首位平移数据（data shift by abandoning the first bit，DSAF）是相对比较合适的方案.

该方法相当于长度为2N−1的数据 ${x^{2N - 1}}\left( i \right)$中前N个数据 ${x^N}\left( i \right)(i = 1 - N, \cdots ,0)$为原始数据，后N−1个数据需要舍弃原始数据 ${x^N}(i)$中的首位，其余平移过去，构造为

(3) $ x_{{\rm{DSAF}}}^{2N - 1}(i) = \left\{ \begin{array}{l} {x^N}(i),\;i = 1 - N,\cdots,0 ;\\ {x^N}(i - N + 1),\;i = 1,\cdots,N - 1. \\ \end{array} \right. $

式（3）通过式（2）无窗全相位处理之后的表达式为

(4) $ x_{{\rm{ap}}}^N(m) = \left\{ \begin{array}{l} Nx_{{\rm{DSAF}}}^{2N - 1}(m),\;m = 0 ; \\ (N - m)x_{{\rm{DSAF}}}^{2N - 1}(m - N + 1) + \\ \qquad mx_{{\rm{DSAF}}}^{2N - 1}(m - N),\;m = 1,2,\cdots,\;N - 1 . \\ \end{array} \right. $

对数据补零是FFT中常见的方法，可以将数据长度从不是2的幂数，通过补零达到2的幂数，使用FFT快速处理卷积变换. 可以使用这种思路，将数据从N扩展为2N−1. 采用后位补零的方法（zero padding，ZP），其中 ${x^{2N - 1}}\left( i \right)$的前N个数据 ${x^N}(i)(i = 1 - N, \cdots ,0)$为原始数据，后N−1个数据为0. 采用后位补零方法的数据构成定义如下：

(5) $ x_{{\rm{ZP}}}^{2N - 1}(i) = \left\{ \begin{array}{l} {x^{2N - 1}}(i),\;i = 1 - N,\cdots,0 ; \\ 0,\;i = 1,\cdots,N - 1 . \\ \end{array} \right. $

式（5）通过式（2）无窗全相位处理之后的表达式为

(6) $ x_{{\rm{ap}}}^N(m) = \left\{ \begin{array}{l} Nx_{{\rm{ZP}}}^{2N - 1}(0),\;m = 0 ; \\ mx_{{\rm{ZP}}}^{2N - 1}(m - N),\;m = 1,2,\cdots,N - 1 . \\ \end{array} \right. $

数据插值相当于增大采样频率，通过数据内插可以将数据从N个扩展为2N−1个. 使用时域插值算法扩展的方法不适合用于全相位数据处理技术，因为会降低信号的物理分辨率.

${x^{2N - 1}}\left( i \right)$为原始数据，采样频率为f_s；全相位处理后的数据为 $x_{{\rm{ap}}}^N(m)(m = 0,1, \cdots ,N - 1)$，采样频率为f_s，频率间隔为 $\Delta f = {f_{\rm{s}}}/N$. 取 ${x^{2N - 1}}\left( i \right)$前N个数据作为原始信号，内插后扩展为长度2N−1的估计信号 ${\hat x^{2N - 1}}(i)(i = 1, 2,\cdots ,2N - 1)$. 若是恒定频率的抽样，采样频率由于插值的原因近似等于2f_s，全相位处理后的估计信号为 $\hat x_{{\rm{ap}}}^N(m)(m = 0,1, \cdots ,N - 1)$，但是采样频率为2f_s. 插值后 $\hat x_{{\rm{ap}}}^N(m)$的傅里叶谱频率间隔为 $\Delta \hat f = 2{f_{\rm{s}}}/N = 2\Delta f$. 时域内插后，由于采样频率翻倍，导致全相位处理后的数据频谱分析中的频率间隔是原有的1倍，频率识别的效果会降低. 时域内插算法不适合作为全相位数据处理技术中扩展数据的方法.

目前，常用的外推方法主要包括基于最小熵外推算法^[9]、基于部分数据的数据重构算法^[10-11]、基于AR模型的数据预测^[12]等. 基于最小熵外推算法，由于最小熵在实际应用中很难收敛，导致外推数据发散，不太适合数据外推. 数据重构算法在已知幅值谱真实可靠的情况下，可以高度还原目标外推数据. 对于数据扩展问题，实际上仅已知长度为N的条件下的幅值谱 ${A^N}(k)(k = 1,2, \cdots ,N)$，只能通过算法去估计长度为2N−1的幅值谱 ${\hat A^{2N - 1}}(k) $ $ (k = 1,2, \cdots, 2N - 1)$，导致傅里叶逆变换之后的扩展数据与原数据差别很大，故不推荐使用该算法解决全相位数据问题. AR模型是根据前面p个数据的线性组合得到新数据的模型，可以用来预测原始信号的变化趋势，因此非常适合于数据扩展问题.

本文的数据扩展问题可以转化为：对已知时域序列 ${x^N}(n)(n = 1,2 ,\cdots, N)$进行N−1次的无自校正预测^[13]，可得估计序列 ${\hat x^{2N - 1}}(n)(n = 1,2, \cdots, 2N - 1)$. 使用AR模型扩展的数据，将会延续原始数据的规律，这对后续的FFT分析是有利的. 基于AR模型的外推算法（AR extrapolation，AREX）是可用于数据扩展的方法之一，为推荐方法.

针对扩展问题，AR模型外推估计的线性预测表达式为

(7) $ \hat x\left( n \right) = - \sum\limits_{k = 1}^p {{a^p}(k)x(n - k)} . $

式中：p为外推估计所使用的AR（p）模型阶数， ${a^p}(k)(k = 1, 2,\cdots ,p)$为模型参数. 估计模型参数的方法有很多，其中Burg提出最大熵谱递推算法，以其计算简单、分辨率高、适应于短时序列的特点被广泛使用. 本文选择Burg法的改进算法^[14]，作为AR模型参数估计，因此AREX算法可以描述如下.

1）确定AR（p）模型的阶数p.

2）使用文献[14]的算法，估计原始时域信号 ${x^N}(n) $ $ (n = 1,2 ,\cdots ,N)$和AR模型参数 ${a^p}(k)(k = 1, 2,\cdots ,p)$.

3）初始化数据 ${\hat x^{2N - 1}}(n) = x(n)(n = 1,2, \cdots, N)$.

4）使用式（7），估计扩展数据 ${\hat x^{2N - 1}}(n)(n = $ $ N + 1,N+2 ,\cdots, 2N - 1)$的数值：

(8) $\left. { \begin{split} & {{\hat x}^{2N - 1}}\left( n \right) = - \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^p {{a^p}(k){{\hat x}^{2N - 1}}(n - k)} ; \\ & n = N + 1,\cdots,2N - 1. \end{split} } \right\} $

AR（p）模型的阶数p是影响结果的关键因素. AREX是无自校正的预测问题，不同的p对后面的预测结果影响很大. AR模型阶数 $ p $的确定是关键，现有的常见定阶方法针对数据扩展问题的适用性值得商榷.

常用的AR模型定阶准则有AIC、BIC、FPE、SVD等^[15]，这些方法对于不同问题的适应程度不同. AIC被称为最小信息量准则，是相似程度与数据量的权衡，但是当数据量较大的时候，存在过高估计模型阶数的问题. BIC是基于贝叶斯估计提出的阶数确定的准则，通过罚函数减小AIC准则中的放大阶数的趋势. FPE被称作最终预报误差准则，以误差最小为目标，确定模型阶数. FPE、AIC、BIC的表达式如下.

(9) $ {\rm{FPE}}(p) = \frac{{N + p}}{{N - p}}\hat \sigma _p^2, $

(10) $ {\rm{AIC}}(p) = N\ln \hat \sigma _p^2 + 2p, $

(11) $ {\rm{BIC}}(p) = N\ln \hat \sigma _p^2 + p\ln N. $

式中： $\hat \sigma _p^2$为p阶AR模型的白噪声方差估计值，可以在估计AR参数时获得.

SVD被称为奇异值分解，可以对信号进行提纯，也可以用来对AR模型进行定阶. 根据不同的分解矩阵，可以有自相关矩阵的SVD分解、Frobenius范数法、奇异值差分谱法等. 奇异值差分谱^[16]可以使用Hankel矩阵，有效分离出干扰信号. 针对信号 ${x^N}(n)(n = 1,2, \cdots, N)$，定阶方法如下.

1）构建m×n维数的Hankel矩阵：

(12) $\left. { \begin{split} & {{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^N}(1)}& \ldots &{{x^N}(N/2)} \\ \vdots & & \vdots \\ {{x^N}(N/2 + 1)}& \cdots &{{x^N}(N)} \end{array}} \right], \\ & m = N/2 + 1;\;n = N/2. \end{split} } \right\} $

2）将式（12）进行SVD分解，得到奇异值向量S：

(13) $ {{H}} = {{US}}{{{V}}^{\rm{T}}}. $

(14) $ {{S}} = {\rm{diag}}\;\left[ {{s_1},{s_2}, \cdots ,{s_N}} \right];\;{s_1} > {s_2} > \cdots > {s_N}. $

3）对式（14）作差分，取差分结果中绝对最大值的所在位置，即为确定的阶数p.

常见的方法都是针对已知信号进行定阶，但是针对数据扩展问题，以上方法的适应性需要考证. 数据扩展的目标是估计信号 ${\hat x^{2N - 1}}\left( n \right)$与真实信号 ${x^{2N - 1}}\left( n \right)$在经过全相位处理之后的波形和apFFT幅值谱尽可能相似. 选择对估计信号 ${\hat x^{2N - 1}}\left( n \right)$进行FFT分析，以估计幅值谱 $\hat A_p^{2N - 1}\left( k \right)$能量的集中程度来评价估计信号的准确度.

能量集中程度可以使用峭度进行衡量. 一般来说，能量越集中，主频谱线相对周围谱线的差越大，主频更“陡峭”. 理论上，对于无泄漏的幅值谱，能量全部集中在主频，此时主频的峭度最大. 计算谱线峭度可以简化使用差分谱来实现，则基于能量集中准则（energy concentration criterion，ECC）的定阶方法可以描述如下.

1）对估计幅值谱 $\hat A_p^{2N - 1}\left( k \right)$进行差分并取绝对值，得到幅值的峭度谱 $\hat K_p^{2N - 2}\left( k \right)$.

2）计算 $\hat K_p^{2N - 2}\left( k \right)$的中位数M，按照中位数将 $\hat K_p^{2N - 2}\left( k \right)$分为2个集合. 其中，大于中位数的部分属于集合 $\varTheta $.

3）根据下式求得不同阶数p下的能量集中程度：

(15) $ {\rm{ECC}}(p) = \frac{1}{M}\sum\limits_{m \in \varTheta }^{} {\hat K_p^{2N - 2}(m)} . $

式中：中位数M表示非主频部分频率的幅值峭度，一般都远小于主频的峭度. 式（15）中最大值所对应的阶数为ECC准则确定阶数. 式（15）是主频峭度与非主频峭度之比，表示主频相对非主频的峭度相对值，式（15）数值越大，代表能量更加集中于主频.

通过构造3阶数值算例，说明定阶方法的优劣，如下式所示：

(16) $\left. { \begin{split} & {x^{2N - 1}}(n) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {{A_i}\cos \;\left( {\frac{{2{\text{π}} n}}{{{f_{\rm{s}}}}} \times {f_i} + {\phi _i}} \right)}; \\ & n = 1,2,\cdots,2N - 1. \\ \end{split} } \right\} $

具体参数见表1. 对式（16），取前N个数据作为初始数据 ${x^N}\left( n \right)$，分别使用FPE、AIC、BIC、SVD和ECC定阶准则，对AR模型进行定阶. 按照各个准则所确定的阶数，使用AREX算法将数据扩展为2N−1的估计数据 ${\hat x^{2N - 1}}\left( n \right)$，将不同方法得到的估计数据经过全相位分析，得到波形估计数据 $\hat x_{{\rm{ap}}}^N\left( n \right)$，然后经过apFFT得到的估计幅值谱 $\hat A_{{\rm{ap}}}^N\left( k \right)$与对应原始数据经过处理的波形数据 $x_{{\rm{ap}}}^N\left( n \right)$、幅值谱 $A_{{\rm{ap}}}^N\left( k \right)$进行对比.

从图1（a）可以看出，除了SVD方法，采用各自方法所确定的阶数，在经过AREX扩展为原始长度数据，经过全相位处理后的波形是高度相似. 为了从数值上分析各定阶准则的效果，可以取不同阶数p得到的估计数据 ${\hat x^{2N - 1}}\left( n \right)$与原始数据 ${x^{2N - 1}}\left( n \right)$，开展斯皮尔曼相关性分析，得到不同p对应的相关系数，其中最大值对应的阶数为理论最优阶数 ${P_{{\rm{opt}}}}$，结果见图1（b）.

按照图1（b）可以看出，对于无噪声信号，当阶数大于一定数值时，相关性极其接近于1，因此选定最大阶数的FPE、AIC和BIC方法所估计的波形与原始信号的波形基本相似. SVD方法所定的阶数偏小，导致波形差距较大. 与其他准则不同，ECC所确定的阶数基本等于最优阶数 ${P_{{\rm{opt}}}}$.

从图2（a）可以看出，apFFT幅值谱图中反映的规律和波形类似，除了SVD方法，其余定阶方法都能和原始信号的幅值基本重合. 从图2（b）可以看出，SVD方法所选的阶数过小，导致频谱泄漏严重.

无噪声下只要选择较大的阶数，除了SVD方法，其余方法均有较高的拟合程度. 考虑噪声情况，将式（16）进行加性白噪声处理，信噪比取SNR = −10 dB，属于较强噪声的情况. 考虑随机性，开展100次蒙特卡洛加噪，将不同随机种子数生成的原始信号，使用不同定阶方法得到的估计信号 ${\hat x^{2N - 1}}\left( n \right)$与原始信号 ${x^{2N - 1}}\left( n \right)$进行相关性分析.

图3中，C为相关系数，OPT为图1（b）中的最优阶数所对应不同种子数S的相关系数曲线. 其余各准则曲线是不同S下各自确定阶数的估计信号与原始信号的相关系数. 可以看出，采用ECC算法确定阶数的估计波形相似程度远高于其余方法，且接近最优的OPT的相似程度.

对于apFFT幅值谱，将不同方法每个S下的3阶识别频率与无噪声识别频率进行对比，统计频率识别正确率A_cc，如表2所示.

从表2可以看出，SVD方法由于定阶过小，正确率最低. FPE、AIC和BIC的正确率基本相似，主要是这些方法所确定的阶数都往往偏向于最大值，由于噪声的影响，估计误差增大. ECC算法的正确率比最优OPT的正确率略高，原因在于ECC算法所确定的阶数是根据能量最集中的原则，因此信号的主频能量更集中，在一定程度上抑制了噪声的影响. AREX扩展数据中AR（p）的定阶方法采用ECC算法.

从图1（b）可以看出，在无噪声条件下，80~255的阶数所对应的相关系数与 ${P_{{\rm{opt}}}}$对应的最优相关系数差别很小. 为了考虑噪声与最优阶数之间的关系，分析不同SNR条件下最优阶数与噪声强度的关系. 取SNR = 100、10、0、−4、−8、−16 dB，估计数据和原始数据的相关系数如图4所示.

从图4（a）可以看出，不同SNR的相关系数随着阶数呈“梯形”变化. 在初始阶段，相关系数较小. 接着，相关系数曲线快速上升至平台阶段. 对于SNR > 0的情况，基本上没有下降段，整体相关性在达到“拐点”之后趋势平缓. 对于SNR < 0的强噪声，相关性在较大阶数的情况下出现明显的下降趋势，因此FPE、AIC、BIC等准则在强噪声下相关系数较低.

为了分析这种变化，取不同SNR曲线最优阶数对应的最优相关系数 $C{_{{\rm{opt}}}}$作为标准，以1%作为容差，统计不同SNR条件下，达到最优相关系数1%误差内（即相关系数大于0.99倍 $C{_{{\rm{opt}}}}$）的对应阶数的数量与总数量的比值C_p与满足误差内阶数的位置分布（以中位数代表），见图4（b）. 图中，m_p为阶数的中位数与总阶数的比值. 从数量上看，噪声强度与近似最优阶数的数量成反比关系. 从近似阶数在总数据相对位置的分布来看，在SNR > 0处，基本维持在数据中间部位；当SNR < 0时，随着噪声强度的增强，近似最优阶数的取值区间明显前移，即倾向于取较小的阶数. 这主要是因为在SNR < 0的条件下，相关系数计算是2个近似噪声的数据进行相似关系的计算，较小阶数确定的估计数据更平滑，相关性更高.

分析ECC准则，确定阶数 ${P_{{\rm{ECC}}}}$与SNR的关系. 给出在不同的SNR条件下按照式（15）计算得到ECC（p），为了易于分辨，仅给出SNR = 100 dB和SNR = −16 dB的归一化结果，见 图5（a）.

从图5（a）可以看出，ECC准则的阶数分布类似“山峰”状，峰值偏向于中高阶数，随着噪声强度的增大，峰度趋于平缓，峰值偏向于中低阶数. 利用ECC准则在不同SNR条件下确定阶数的相对位置，如图5（b）所示. 在SNR=100 dB这种几乎无噪声的条件下，取值是偏向较高的阶数，结果与最优阶数基本相近. 在噪声增强之后，利用ECC准则确定阶数基本在0.5倍数据长度的位置.

对比最优阶数 ${P_{{\rm{opt}}}}$和ECC阶数 ${P_{{\rm{ECC}}}}$的分布规律可知，最大的不同是在强噪声（SNR < 0）的条件下， ${P_{{\rm{opt}}}}$远小于 ${P_{{\rm{ECC}}}}$. 其中的原因主要是相关方法的局限性，在弱噪声下，2个信号的相关系数高，基本可以表示2个信号的apFFT幅值谱相似. 在强噪声的条件下，2个信号的相关系数高，不能完全表示对应的apFFT幅值谱更相似，从能量集中原则确定的阶数更能够表示频谱特性的相似程度，这是表2中ECC方法比OPT的主频识别正确率高的原因之一.

数据扩展有3种方法：弃首位平移数据方法（DSAF）、后位补零的方法（ZP）和基于AR模型的数据外推方法（AREX）. 使用式（16）所构造的数值算例，对3种扩展数据方法和原始信号进行对比分析，验证各方法的性能. AREX中ECC确定阶数p=155.

从图6的波形图可知，ZP方法扩展数据的效果较差，前半部信号幅值偏小，主要是由于补零的方法经过全相位处理后的数据顺序几乎和原数据一致，且数据值线性增加，相当于增加一个偏心三角窗，会夸大原数据后半部分数据的作用. DSAF的扩展效果优于ZP方法，主要是由于该算例的原始信号波形本身是重复波形，与重复使用数据的结果比较接近，扩展结果较好. DSAF的相似程度不如AREX方法，从图6（b）可知，AREX与原始信号基本重合，DSAF存在偏差.

从图7可以看出，ZP方法的幅值与原始信号的幅值相比偏低，抑制主频泄漏的效果最差. DSAF在频谱幅值上与原始信号比较接近，但是抑制频谱泄漏的效果不明显，不能完全发挥apFFT的优势. AREX无论是幅值的相似还是抑制频谱泄漏的效果，都和原始数据相差不大.

现实信号通常含有噪声，对于建筑结构领域来说，一般噪声不明显，但是考虑比较极端的情况，取SNR = −10 dB的强噪声. 使用100次随机种子数，生成加性白噪声的原始信号，不同扩展方法的估计信号与原始信号的相关性见 图8. 不同扩展方法在不同随机S下的频率识别正确率A_cc见表3.

从图8可以看出，AREX的波形相似程度远高于ZP和DSAF方法，平均相关系数约为0.81，基本能够在强噪声下保证全相位处理之后的波形相似. 从识别正确率来说，AREX方法的准确率和原始信号相当，且在3阶识别的正确率远高于原始信号，原因是AREX相对于原始信号可以抑制原始信号部分噪声的影响，因此在高阶频率识别上准确率更高. DSAF和ZP扩展方法在1阶频率识别上的正确率较高，但是高阶频率下的正确率下滑严重，不适合解决全相位扩展数据的问题.

通过无噪声和含噪声的数值算例分析，AREX对于全相位数据扩展问题，无论是在全相位处理之后的波形相似程度还是apFFT的频率识别准确度，尤其是在含噪情况下，都远胜于其余2种算法，甚至在部分条件下超越原始信号. AREX是可以解决全相位数据处理中数据长度限制问题的较好方法.

构造数值模型是有效的验证手段之一，但是数值模型的结果仅是理论上的论证，无法替代现实情况的实际应用. 即使增加噪声分析，由于白噪声与现实分析的差距较大，需要在实际中验证.

利用某工业厂房结构的数值建模分析结果，验证经过AREX方法扩展之后的apFFT算法在实际建筑结构工程中的性能. 有限元模型使用SAP2000建模，如图9所示.

为了验证AREX扩展算法在有限元结果的频率识别中的应用，使用结构自由衰减振动的数据进行分析. 对结构Y向施加初始小变形，突然释放，结构自由衰减振动，如图10所示. 图中，a为加速度，A_r为归一化幅值.

图10中，采样频率f_s = 1 000 Hz，数据长度2N−1 = 511，取结构顶部角点Y向加速度的时程数据，采样点在图9中位置，使用apFFT方法对信号进行频率识别. 原始数据使用长度为2N−1，估计数据使用AREX方法将前N个数据扩展到2N−1，使用ECC方法确定阶数p=116. 全相位分析结果见图11.

从图10（a）可知，原始信号是衰减信号，扩展的难度更高；从图11（a）可知，AREX方法和原始信号有很高的相似度. 在图11（b）的apFFT幅值谱中，AREX与原始信号基本重合，可见AREX方法可以初步应用于有限元数值分析.

对于频率识别，除了数值模拟问题，还有振动台数据处理问题. 对于振动台数据这种现实信号，包括数值模拟中一些很难仿真的因素，需要考虑AREX扩展方法在实际信号中的情况.

取3层钢支撑-混凝土框架振动台试验模型^[17]，取初始白噪声输入工况，采用顶层单向加速度传感器信号进行频率分析，具体位置见图12.

在振动台实验中，对模型结构施加单向白噪声信号，取未进行数据处理的结构顶层加速度传感器信号，位置见图12，数据采样频率f_s = 1 000 Hz，截取数据长度2N−1=511. 波形和归一化幅值谱见图13.

使用前N个数据进行AREX数据扩展，其中ECC确定阶数p = 108. 全相位分析结果见图14.

从图14（a）可以看出，AREX扩展的波形与原始波形有一定的误差，但是总体趋势基本相符，有差异的主要原因是现实试验数据，本身的随机因素过多，没有经过数据平滑、去噪处理，无法完美地预测. 从图14（b）可以看出，在主频峰值位置AREX和原始信号比较相似，在低频具有比原始信号更好的频率抑制作用. 这体现出AREX方法对于实际噪声问题有较好的抗噪能力，可以体现原始信号的频谱特性. 总体上来看，对于本例的实际试验信号频率分析，可以应用AREX扩展方法.

（1）通过数值分析对比常见数据扩展方法与AREX方法. 从结果上看，无论是波形还是幅值谱，AREX均是表现最好的外推算法，可以解决全相位技术在建筑结构领域的数据长度限制问题.

（2）AREX算法的关键问题是AR模型的定阶，常见的定阶准则可能不适用于数据扩展问题. 提出基于能量集中的定阶准则ECC，将ECC与常见定阶方法进行对比分析. 在无噪声和有噪声（SNR = −10 dB）的条件下，ECC定阶准则确定的阶数可以使得AREX的估计信号与原始信号在波形和频谱特性上的相似程度高于其余定阶准则，适合AREX算法.

（3）实例有限元和振动台试验结果表明，AREX算法能够发挥全相位技术的优势，可以初步应用在实际建筑结构领域，克服全相位处理技术中数据长度限制的困难.