干道信号协同控制是城市信号控制中非常重要的一环，而相位差优化是实现协同控制的关键技术. 根据控制思路的不同，可以将信号控制方法分为最大绿波带法和最小延误法2类^[1]. 最大绿波带法被广泛认为是最经济有效的干线协调方法之一，具有概念简洁、调控效果明显等优点. 优化思路是通过调整相位差，使得车辆连续通过带的带宽最大，从而保证尽可能多的车流不停顿地通过多个连续交叉口. 此方法由Little等^[2]提出，并开发为MAXBAND软件^[3]. Gartner等^[4]在MAXBAND的基础上进行改进，提出复合式绿波带宽控制方法. 这些方法都使用混合整数线性规划方法. 对于双向干线绿波带宽相等的情况，文献[5]介绍了图解法和数解法2种经典算法. 其中，图解法主要用于手工作业，现已较少使用；数解法由于计算简便、易于编程，适用于双向对称式干道，在不饱和的交通状态下具有很好的调控效果，已经在国内得到了广泛应用^[6-8].

目前已有许多学者对数解法进行了修正或改进，以弥补其本身的不足，并拓宽其适用范围. 栗红强^[9]对存在双周期交叉口或双向流量差异较大时的绿波带宽设计与计算问题进行了研究. 卢凯等^[10]深入分析了绿波带宽计算、最佳理想信号间距的选取原则等方面存在的问题，提出改进方法，随后将改进方法的应用场景拓展到交叉口混合放行或双向通行条件不对称的干道^[11]. 王殿海等^[12]分析了实际信号与理想信号的相对位置对绿波带宽度的影响，提出可以确定所有相位差组合的可能解的改进数解法. 荆彬彬等^[13]研究了双向带速不等的情况，提出同时优化双向带速和信号周期的非线性规划模型. 叶晓飞等^[14]提出简化的遍历方法，可以确保得到使带宽最大的协调方案. 李小会等^[15]针对进口单独放行条件设计了双向绿波数解法.

数解法仍有改进空间. 现有的研究成果中，一部分对数解法的计算步骤进行改进，如改进判定指标、优化计算步长等，但不能确保解的最优性；一部分结合数解法的思路，采用遍历穷举的方法求解，但需要较大的计算量. 针对以上不足，本文深入分析绿波带宽度与交叉口间隔、绿信比之间的数学关系，提出改进数解法.

设干道上行方向依次有S₁、S₂、 $\cdots $、S_n共n个信号交叉口，定义：v 为平均车速，C为公共周期时长，B为绿波带宽度，x_i为S_i在干道上的位置，λ_i为S_i的绿信比. 当干道上、下行方向带速相等时，只要设置各信号间的相位差（以绿灯中心时刻计算）为 ${C}/{2}$的整数倍，就能保证上、下行方向的绿波带宽度相等^[2]. 数解法在干道上布置一组间距为 ${{vC}}/{2}$的“理想信号”位置，令实际信号与最近的理想信号同步运行. 称 ${{vC}}/{2}$为理想信号间距，记为a. 本文采用的理想信号布置方式如图1所示，布置步骤如下.

1） 以x₁为起点，向前（以上行方向为前）以a为间隔取点，作为初始理想信号位置；

2） 将初始理想信号整体前后移动，记移动距离为l，满足 $- {a}/{2} < l \leqslant {a}/{2}$（向前为正），得到一组理想信号位置.

图1中，d_i为S_i到最近理想信号的偏移距离；D_i为S_i到其后方最近初始理想信号位置的距离：

(1) $ {D_i} = {\rm{mod\;(}}\;{x_i} - {x_{i - 1}} + {D_{i - 1}},a). $

式中：mod（p，q）表示p除以q的余数，p和q是整数.

实际信号与理想信号的偏移可能会带来绿波带宽度的损失^[12]. 数解法希望使实际信号与理想信号匹配程度最高. 以往的文献对 “最高匹配程度”有不同的定义，下面将介绍并比较这些定义.

通过算例1说明数解法的具体步骤.

算例1　　干道上行方向有5个信号交叉口，交叉口编号及相邻交叉口间距如图2所示. 各交叉口协调相位的绿信比分别为45%、50%、60%、40%、55%. 公共周期C的取值为[80，100] s，设计车速v取值为[9，11] m/s.

1） 确定a的可行值. 以 $\left[ {{{{v_{\min }}{C_{\min }}}}/{2},{{{v_{\max }}{C_{\max }}}}/{2}} \right]$作为a的取值，计算步长s数值上取平均车速的一半，即公共周期变化1 s时理想信号间距的增量. 本例中a的取值为[360，550] m，应取s=10/2=5 m. 为了节约篇幅，本文取s=10 m.

2） 匹配程度计算. 经典数解法的目标是使实际信号与理想信号的最大偏移量d_max最小. 以a=380 m为例：先按式（1）计算D_i，从小到大填入表1，再计算邻项差，最大值b为240 m. 只要将理想信号按图3设置，就能实现“d_max最小”，此时d_max=70 m.

经典数解法^[5]在此近似地以“b最大”作为匹配目标，而文献[10]提出以“ ${b}/{a}$最大”为匹配原则更为合理. 上述2种近似会节省少许计算量，但也会产生误差，本文将这些结果列出并进行比较. 综上，在表2的a=380 m一行中，将b=240 m，b∶a=240÷380 =63%，d_max=70 m依次填入. 以此类推，计算表2其余各行.

3） 确定最佳周期与带速. 以a_opt=380 m为例，若测得实际干道平均车速为9.5 m/s，可设置最佳周期C_opt=2×380÷9.5=80 s.

4） 确定相位差和绿波带宽度. 将实际信号与最近理想信号同步，得到以绿灯中心时刻计算的相位差和绿波带宽度，结果见表3. 表中，λ为协调相绿信比，绿时损失λ_loss=d_i/a；有效绿信比λ_e=λ−λ_loss.

在算例1中，取a_opt=380 m时，B=29.21%；取a_opt=520 m时，B=29.62%，两者计算结果非常接近. 可以验证，当取a_opt=510 m时，B=30.84%，略优于数解法的计算结果.

当干道存在瓶颈时，解的误差可能会增大. 将算例1中各信号的协调相位绿信比设为45%、30%、60%、30%、55%，生成算例2. 由于数解法求解a_opt时不考虑绿信比，因此“b最大”、“ ${b}/{a}$最大”和“d_max最小”3种目标得到的最佳理想信号间距和位置与算例1相同：当a_opt=380 m时，B=14.21%；当a_opt=520 m时，B=14.62%. 若选择a_opt=410 m，则B=20.42%（计算过程见2.3节），明显优于经典数解法得到的结果.

经分析可以发现，经典数解法将求解过程分为2个阶段：第一阶段（步骤1、2）确定最佳理想信号间距，第二阶段（步骤3、4）确定绿波带宽. 其中，第一阶段没有考虑各信号的绿信比，在干道规模小、绿信比普遍较大的情况下，最优解与数解法得到的解相近. 对于交叉口数量多或存在瓶颈路口的情况，绿信比成为影响最优解的重要因素，最优解不再是数解法得到的结果.

为了确保找到最优解，需要计算每一个理想信号间距a下的绿波带宽度. 卢凯等^[10]提出针对每一种相位差组合（n个交叉口共有2ⁿ⁻¹种组合）计算绿波带宽度；王殿海等^[12，14]分别提出通过列举所有可能的理想信号位置以计算绿波带宽度. 上述方法需要重复地计算各信号的绿时损失，有改进空间. 本文提出改进数解法，避免了对绿时损失的重复计算，可以得到最优解.

给出几个基本概念及其计算式.

1）偏移绿信比与投影绿信比.

偏移绿信比^[10,13]是指由于实际信号偏离理想信号位置，造成的实际绿灯中心时刻与理想绿灯中心时刻线间产生的偏移量，记作∆λ，如图4所示. 与以往文献不同的是，本文采用的偏移绿信比可以看作一个矢量，绿灯中心时刻线在实际信号绿灯中心时刻右侧则为正（如∆λ_i），在左侧则为负（如∆λ_j）.

对于S_i，偏移绿信比与理想信号的移动距离l有关. 图5展示了S_i与前、后方理想信号同步的情况，纵轴以S_i后方最近的初始理想信号位置为原点. 当 $l = {D_i} - {a}/{2}$，即S_i到前、后理想信号位置的距离相等时，规定其与前方的理想信号同步.

在图5（a）中， $- {a}/{2} < l \leqslant \left( {{D_i} - {a}/{2}} \right)$，此时S_i与前方的理想信号j+1同步，向量 $\overrightarrow {{ AB}}$为偏移绿信比. 理想信号绿灯中心时刻线BC的斜率v=2a. 因为AC=a−D_i+l，于是（此时偏移绿信比为负）：

(2) $ \Delta {\lambda _i} =\overrightarrow {{ AB}} = - \frac{l}{{2a}} + \frac{{{D_i}}}{{2a}} - \frac{1}{2}. $

图5（b）中S_i与后方的理想信号j同步，此时 ${D_i} - {a}/{2} < l \leqslant{a}/{2}$，向量 $\overrightarrow {{ A'B'}}$为偏移绿信比. 又因为 ${{ A'C'}} = {D_i} - l$，于是（此时偏移绿信比为正）：

(3) $ \Delta {\lambda _i} =\overrightarrow {{ A'B'}} = - \frac{l}{{2a}} + \frac{{{D_i}}}{{2a}}. $

通过观察可知，式（2）、（3）的区别在于常数项. 为了明确常数项的含义，在图5（a）、（b）中取l=0，发现 $\left( {{{{D_i}}}/{{2a}} - {1}/{2}} \right)$和 ${{{D_i}}}/\left( {{{2a}}} \right)$分别对应向量 $\overrightarrow {{ AD}}$和 $\overrightarrow {{ {A'D'}}}$，分别定义为前投影绿信比Λ_i，f和后投影绿信比Λ_i，b，记投影绿信比Λ_i：

(4) $ {\varLambda _i} = \left\{ {\begin{aligned} & {{\varLambda _{i,{\rm{f}}}},}&{ - \frac{a}{2} < l \leqslant {D_i} - \frac{a}{2};} \\ & {{\varLambda _{i,{\rm{b}}}},}&{{D_i} - \frac{a}{2} < l \leqslant \frac{a}{2}.} \end{aligned}} \right. $

偏移绿信比可由式（5）计算：

(5) $ \Delta {\lambda _i} = - \frac{l}{{2a}} + {\varLambda _i}. $

由于Λ_i的取值以 $l = {D_i} - {a}/{2}$为分界线，因此称此处为信号S_i的临界位置l_i，cr. 特别地，若D_i=0 m，因为 ${D_i} - {a}/{2} = - {a}/{2}$在l的定义域之外，S_i只有后投影绿信比 ${\varLambda _{i,{\rm{b}}}}$，且理想信号不会经过S_i的临界位置.

2）理想绿灯中心线左/右侧绿信比.

在图4中，理想绿灯中心时刻线将实际信号的绿信比分割为左右2个部分，分别称为左侧绿信比λ_i，L和右侧绿信比λ_i，R. S_i的左（右）侧绿信比等于 ${{{\lambda _i}}}/{2}$与∆λ_i之和（差），即

(6) $ {\lambda _{i,{\rm{L}}}} = \frac{1}{2}{\lambda _i} + \Delta {\lambda _i}, $

(7) $ {\lambda _{i,{\rm{R}}}} = \frac{1}{2}{\lambda _i} - \Delta {\lambda _i}. $

绿波带宽度B为所有信号左侧绿信比的最小值与右侧绿信比的最小值之和：

(8) $ B = \mathop {\min }\limits_i \left\{ {{\lambda _{i,{\rm{L}}}}} \right\} + \mathop {\min }\limits_i \left\{ {{\lambda _{i,{\rm{R}}}}} \right\}. $

将式（5）~（7）代入式（8），得到

(9) $ B = \mathop {\min }\limits_i \left\{ {\frac{{{\lambda _i}}}{2} - \frac{l}{{2a}} + {\varLambda _i}} \right\} + \mathop {\min }\limits_i \left\{ {\frac{{{\lambda _i}}}{2} + \frac{l}{{2a}} - {\varLambda _i}} \right\}. $

注意到等式右边两项关于l的斜率为相反数，且l独立于i，可相互抵消，因此将式（9）化简为

(10) $ B = \mathop {\min\; }\limits_i \left\{ {{{{\lambda _i}}}/{2} + {\varLambda _i}} \right\} + \mathop {\min }\limits_i \left\{ {{{{\lambda _i}}}/{2} - {\varLambda _i}} \right\}. $

式（10）有2个关键参数λ_i和Λ_i，两者决定了在给定理想信号位置下的绿波带宽度. 其中λ_i为常数，Λ_i会在理想信号向前移动并经过临界位置l_i，cr时由Λ_i，f突变为Λ_i，b. 据此可以得出推论1.

推论1　　对于一条干道上的n个信号S₁，S₂， $\cdots $，S_n，将其按D_i从小到大的顺序重新编号为 ${S'_1},{S'_2}, \cdots , {S'_n}$，理想信号在由后向前移动的过程中，会依次经过 ${l'_{2,{\rm{cr}}}},{l'_{3,{\rm{cr}}}}, \cdots ,{l'_{n,{\rm{cr}}}}$（假设有且仅有D₁=0 m，理想信号不会经过 ${l'_{1,{\rm{cr}}}}$）， ${\varLambda '_i}$在理想信号经过 ${l'_{1,{\rm{cr}}}}$时发生突变，B可能发生变化，需要按式（10）重新计算一次B；在 ${l'_{i,{\rm{cr}}}} < l \leqslant {l'_{i + 1,{\rm{cr}}}}$时，B与 ${{\varLambda '}_i}$保持不变.

根据推论1，设计计算表（如表4所示），用于计算在理想信号移动的过程中投影绿信比和绿波带宽度的变化. 在表4中，第2、3列分别为信号的投影绿信比和绿信比，第4、5列分别为式（10）的MIN函数中的值. 按式（1）、（4）计算各信号的前投影绿信比 ${{{D_i}}}/({{2a}}) - {1}/{2}$和后投影绿信比 ${{{D_i}}}/({{2a}})$（因D₁=0 m，所以只计算后投影绿信比），从小到大地列于第2列，并按表头计算其余各列. 考察表中数据行的第1 ~ n行，这一范围内的投影绿信比恰好对应 ${l'_{1,{\rm{cr}}}} < l \leqslant {l'_{2,{\rm{cr}}}}$的情况，按式（10）分别计算第1~n行第4、5列的最小值并求和，即得到此时的绿波带宽度B. 第2 ~ n+1 行的计算结果对应 ${l'_{2,{\rm{cr}}}} < l \leqslant {l'_{3,{\rm{cr}}}}$的情况，以此类推直至第n ~ 2n−1行. 因为绿波带宽度B具有“在 ${l'_{i,{\rm{cr}}}} < l \leqslant $ ${l'_{i + 1,{\rm{cr}}}} $内保持不变、在经过 ${l'_{i,{\rm{cr}}}}$时发生突变”的特点，通过表4可以不重复地计算出每一个可能的B值. 在求得的所有B中选择最大值，即为该理想信号间距a下的最大绿波带宽度.

下面结合算例2展示改进数解法的具体步骤.

1） 计算a行. 如前所述，a在[360，550] m以10 m为步长取值，填入表5.

2） 计算B. 以a=410 m为例. 按2.2节所述方法列出绿波带宽度计算表，如表6所示. 本例中有5个信号，因此考察表6第4、5列数据行的第1~5行，分别将第4列和第5列的最小值（−2.08%和22.50%）填入表7数据行第1行的第2、3列，相加得到第4列，即理想信号在移动过程中形成的绿波带宽度；继续考察表6数据行第2~6行···5~9行，并重复前述步骤. 将表7第4列的最大值（20.42%）填入表5对应的B列内.

从表7可知，当l_1，cr<l≤l_5，cr时B取到最大值，将理想信号置于l_1，cr与l_5，cr之间任意位置（例如置于中央，如图6所示），就能得到最大绿波带宽度.

3） 确定最佳周期与带速. 由表5可知，a_opt=410 m；取带速为9.5 m/s时，可以设置最佳周期C_opt=2×410÷9.5≈86 s.

4） 确定相位差. 令实际信号与最近的理想信号周期同步，得到以绿灯中心时刻为标准的相位差，如表8所示；最佳理想信号位置与绿波带时距图如图7所示.

对于算例2，经典数解法与改进数解法实际上得到的相位差结果是相同的，但是绿波带宽度却相差很大. 这是由于两者得到的最佳理想信号间距不同，从而导致设计带速或周期时长不同，使得线控效果出现了显著的区别.

算例1、2采用小规模干道以便表述. 为了加强对比性、验证算法的有效性，采用一个曾被多篇文献^[5,9,10]所使用的经典算例，按文献[10]中“算例3”设置绿信比，作为本文的算例3.

算例3　　某干道上有S₁~S₈共8个信号交叉口，相邻信号间距依次为350、400、160、540、280、280、270 m，各信号协调相位的绿信比分别为65%、60%、65%、65%、60%、55%、50%、70%，初始公共周期C=80 s，设计带速v=11.1 m/s（40 km/h）.

设定理想信号间距a的取值为[440−100，440+100] m，步长取10 m，计算结果如表9所示. 当a_opt取350 m时，B取到最大值33.6%. 以“b最大”和以“ ${b}/{a}$最大”为原则的数解法得到的a_opt=500 m，B仅为24.5%；当“d_max最小”时，a_opt=340 m或440 m，对应的B为33.1% 和23.2%，前者最接近最优解，后者误差较大.

将算例3中初始公共周期设为100 s，其他参数保持不变，生成算例4. 此时a的取值变为[560−100，560+100] m，计算结果见表10. 在这种情况下，经典数解法各求解原则的表现大致相等，与改进数解法得到的最大绿波带之差为3%~5%. 由此可见，经典数解法的3种匹配原则没有绝对的优劣之分，都不能确保找到最优解. 本文提出的改进数解法的效果优于经典数解法.

将文献[10]、[12]、[14]中的3种改进数解法与本文的方法进行比较. 这4种方法都是以理想信号间距a为基础，不同点在于计算每个a对应绿波带宽度的方式，因此对比每一个a下各方法的运算次数.

对于一条有n个交叉口的干道，卢凯等^[10]提出计算2ⁿ⁻¹种绿信比组合下的绿波带宽度并取最大值；王殿海等^[12]以车辆每秒行驶的距离（即v）为步长，在0≤l<a下移动理想信号并求最佳位置，移动次数为m（m数值上等于 ${C}/{2}$的整数部分）；叶晓飞等^[14]将同样范围内理想信号的移动次数减小到2n次，即以某一规则将移动范围切分为2n个计算区间. 一般情况下，有2ⁿ⁻¹>m>2n（如算例3中，2ⁿ⁻¹=128，m=40，2n=16）. 即便出现2n>m的情况，也并非意味着文献[12]的算法更优，而是意味着步长取得过大，导致某些关键的位置有可能被跳过. 上述分析表明，在以往的改进方法中，文献[14]的改进数解法性能最优.

在文献[14]中，绿波带宽度的计算步骤如下：对每一理想信号位置计算各信号的前损失和后损失，分别取所有前、后损失的最大值并求和得到总损失，选出所有理想信号位置下总损失的最小值. 若以加减乘除、比较大小等作为1次运算. 根据文献[14]的公式可知，计算一个信号前、后损失的运算次数为8，对n个信号需要8n次运算；选出n个信号前、后损失的最大值并求和，需要运算2n+1次；挑选2n个理想信号位置下总损失的最小值并计算绿波带宽度，运算量为2n+1. 综上所述，对于一个a值，该方法的运算次数T₁（n）为

(11) $ {T_1}\left( n \right) = 2n \times \left( {8n + 2n + 1} \right) + 2n + 1 = 20{n^2} + 4n + 1. $

文献[10]、[12]分别采用偏移绿信比、绿波带损失的概念计算绿波带宽度，与叶晓飞等^[14]提出的方式差别不大. 为了节约篇幅、便于对比，假定文献[10]、[12]都采用文献[14]的方式计算绿波带宽度，即每次计算绿波带宽度需运算10n+1次. 那么文献[10]、[12]所需的运算次数T₂（n）和T₃（n）分别为

(12) $ \begin{array}{*{20}{c}} {{T_2}\left( n \right) = {2^n}^{ - 1} \times \left( {10n + 1} \right) + {\rm{ }}{2^n}^{ - 1} + 1 = {2^n} \times \left( {5n + 1} \right) + 1,} \end{array} $

(13) $ {T_3}\left( n \right) = m \times \left( {10n + 1} \right) + m + 1 = 2m\left( {5n + 1} \right) + 1. $

本文改进数解法的关键是表4的计算. 表4中Λ_i的运算次数为4n−1，根据列标题可得该表其余各行的运算次数共计5n−2次. 遍历n个移动区间，每次在表4的n列中选出2个最小值，共需比较2n²次；求n个位置下的绿波带宽度，选出最大值，运算量为2n. 综上所述，对于一个a，本文改进数解法的运算次数T₄（n）为

(14) $ {T_4}\left( n \right) = 2{n^2} + 11n - 3. $

为了更直观地进行比较，对n的一些取值情况，各方法的运算次数如表11所示（m取40）.

表11显示，本文改进数解法的计算量约为文献[14]中方法的15%左右. 相比而言，本文第2.2节中证明只需计算n个理想信号位置，少于文献中提出的2n；通过设计计算表表4，将计算左、右投影绿信比放在遍历理想信号位置之前，所以在遍历时可以直接从表中取值，而不必重新计算各信号的绿时损失，达到了节约计算量的目的.

数解法是确定定时式线控系统相位差以实现最大绿波带宽度的简便方法，目标是通过尽量简单的运算解决复杂的绿波带宽度优化问题. 本文提出改进数解法，旨在用尽可能少的运算，解决数解法难以保证解的最优性的问题. 量化描述理想信号的移动方式，提出初始理想信号位置的概念；提出偏移绿信比的新定义，将信号相对于前、后方初始理想信号位置的偏移绿信比分别称为前、后投影绿信比；通过寻找绿波带宽度与前、后投影绿信比的关系，达到快速计算不同理想信号位置下的绿波带宽度的效果，将每个理想信号间距下的计算情况减少到n种；通过设计计算表，避免对绿时损失的重复计算，既减少了计算量，也可以得到最大的绿波带宽度. 数值算例的结果表明改进数解法优于经典数解法. 数解法具有计算简便、易编程等优点，在未来的研究中，如何将数解法拓展到其他场景方面值得进一步研究，如双向不对称放行或单向左转交通流量优先级较高的情况.