汽油发动机水温对排放性及经济性有很大影响^[1-3]. 随着汽车电气化水平的不断提高，将传统冷却系统的水泵、风扇、节温器等主要组件电气化并加以控制，实现精确和快速的水温控制成为发展趋势. 其中，电子风扇相比传统冷却系统中的机械风扇，具有如下几方面优势：1）使用电机驱动代替曲轴驱动，从而提高发动机最大输出功率5%～12%^[4]；2）不受发动机转速约束，能够灵活地控制风扇转速，从而避免发动机过冷或过热的情况^[5-6]；3）实现冷却风的按需供给，从而避免系统的能耗损失^[7-8]；4）提高了风扇的机械效率、容积效率等，将风扇总效率由0.3～0.5提升至0.78，进一步改善了系统能耗^[4]；5）发动机低速大负荷时能够保持高风扇转速，因此散热器及水泵等零部件尺寸可以相应减小^[9]. 鉴于电子风扇的诸多优势，其在汽油发动机冷却系统中的控制问题及面向控制的冷却系统建模问题逐渐成为研究热点.

发动机冷却系统建模方法主要有3种：数据模型^[10]、半机理模型^[11]及机理模型^[12-16]. Bruckner等^[10]采用线性状态方程，并根据稳态试验数据辨识得到状态量及输入量的系数矩阵. 该建模方法简单且无须对系统机理进行研究，但模型精度无法保证. Vermillion等^[11]采用系统机理模型的结构，并根据稳态及瞬态试验数据辨识得到模型中各参数. 该方法的模型精度较高，但瞬态试验数据难以通过台架试验获取，不适合工程应用. Zhou等^[12-16]采用基于工程热力学及传热学的机理模型，该方法仅需要较少的稳态试验数据，但模型精度很大程度上依赖于对系统的理解程度.

发动机冷却系统的水温控制方法主要有前馈控制、开关控制^[6]、逻辑控制^[17-18]、PID控制^[19-20]、模型预测控制^{[10-11, 13]}及非线性控制^[15-16]. Brace等^[6]设置了车速阈值，当发动机处于热机状态且车速低于阈值时开启风扇. 陈家瑞^[17]介绍了应用于捷达等车型的逻辑控制方法，该方法将水温分为两段，每段对应一个固定的风扇转速；而Perset等^[18]将水温进行更细致的分段，实现更精细的调节. 开关控制及逻辑控制无法连续地调节风扇转速，因此只能将水温维持在一定范围内，而不能跟踪具体的目标水温. Perset等^{[18, 21]}研究结果显示，开关控制的水温波动超过 $10\;{\rm{K}}$，逻辑控制的水温波动约为 $5\;{\rm{K}}$. 鉴于此，郭新民等^[19-20]采用PID闭环控制方法实现了水温的连续调节. PID控制方法虽然在发动机固定工况下有很好的跟踪效果，但在发动机全工况下有一定局限：固定参数PID无法实现超调量、调节时间及稳态误差等全部指标的良好性，而变参数PID的参数整定工作量又过大. 为了提高发动机全工况下控制效果，基于模型的先进控制方法被采用，Bruckner等^{[10-11, 13]}采用模型预测控制方法，Salah等^[15-16]采用基于Lyapunov稳定性的非线性控制方法，均有效提高了水温控制精度. 然而，模型预测控制方法计算量大，工程实现成本较高；非线性控制方法虽然参数整定简单，且易于工程实现，但Salah等^[15-16]所设计的控制器中存在过多不连续的符号函数sign，可能造成系统抖振，此外，系统中没有对冷却液传输延迟及模型误差进行补偿，因此仍有较大的改进空间.

针对汽油发动机冷却系统动力学建模与水温控制方面存在的问题，本文主要从系统机理模型及控制方法两方面进行改进，实现系统控制精度的提高.根据对流及辐射传热原理，分析得到燃烧室对壁面加热功率的特征变量，并给出一种精确的回归模型；在此基础上，设计扩张状态观测器对系统不可测扰动进行估计及实时补偿，同时设计史密斯预估器对冷却液传输延迟进行补偿.

本研究的汽油发动机冷却系统的结构如图1所示，主要组成有发动机、散热器、电子风扇、机械水泵、冷却液流量传感器及出口水温传感器. 机械水泵维持冷却液在发动机与散热器间循环流动，冷却液在发动机水套中吸收发动机燃烧及摩擦产生的热量，在散热器中向环境散热. 机械水泵与发动机曲轴刚性连接，其转速与发动机转速成正比. 电子风扇转速由发动机电子控制单元（engine control unit，ECU）控制，ECU采集冷却液质量流量 ${q_{\rm m,c}}$、发动机热力学水温 ${T_{\rm{c}}}$、发动机进气质量流量 ${q_{\rm m,a}}$ 及转速 $N$ 信号，同时，从整车控制单元（vehicle control unit，VCU）接收车速 $v$ 及环境温度 ${T_{{\rm{env}}}}$ 信号，计算出跟踪目标水温 $T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}}$ 的风扇转速 ${N_{{\rm{fan}}}}$.

汽油发动机冷却系统的水温受工况(如发动机进气量、转速、车速及环境温度等)的影响，因此，控制问题总结为在发动机全工况下，通过控制风扇转速，实现水温的精确调控.

针对汽油发动机冷却系统的水温控制问题，本文设计的控制系统如图2所示，控制器根据工况信息、目标水温及无延迟的水温偏差预估值 $\hat \delta $ 计算出风扇转速并将其作用于风扇. 扰动观测器根据风扇转速、工况信息及无延迟的水温预估值 ${T_{{\rm{c,p}}}}$ 对系统的扰动作出估计，包括模型简化误差、未建模误差等，然后将扰动估计值 $\hat d$ 反馈给控制器. 史密斯预估器用以补偿系统中冷却液传输延迟，根据风扇转速、工况信息及系统实际水温计算得到无延迟的水温预估值 ${T_{{\rm{c,p}}}}$，反馈给控制器.

发动机与冷却液的传热过程如图3所示，图中， ${P_{{\rm{cyl}},{\rm{lnr}}}}$ 为燃烧室给壁面的加热功率， ${P_{{\rm{lnr}},{\rm{c}}}}$ 为缸壁对冷却液的加热功率， ${P_{{\rm{c}},{\rm{blk}}}}$ 为冷却液向外壁的散热功率， ${P_{{\rm{blk}},{\rm{env}}}}$ 为外壁向环境的散热功率， ${T_{{\rm{lnr}}}}$ 及 ${T_{{\rm{blk}}}}$ 为缸壁及外壁的温度. 燃烧室给壁面的热量通过缸壁传输给冷却液，冷却液带走大部分热量，剩余小部分热量经外壁散发到环境. 为表述方便，将燃烧室与水套之间金属部分称为缸壁，水套与环境之间金属部分称为外壁.

将缸壁温度、外壁温度及水温视作集总参数，根据能量守恒定律^[22]，建立系统的动力学模型：

(1) $ {C_{{\rm{lnr}}}}{\dot T_{{\rm{lnr}}}} = {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} - {P_{{\rm{lnr,c}}}}, $

(2) $ {C_{{\rm{blk}}}}{\dot T_{{\rm{blk}}}} = {P_{{\rm{c,blk}}}} - {P_{{\rm{blk,env}}}}, $

(3) $ {C_{\rm{c}}}{\dot T_{\rm{c}}} = {P_{{\rm{lnr,c}}}} - {P_{{\rm{c,blk}}}} - {P_{\rm{r}}}. $

式中： ${C_{{\rm{lnr}}}}$、 ${C_{{\rm{blk}}}}$、 ${C_{\rm{c}}}$ 为缸壁、外壁及冷却液的热容， ${P_{\rm{r}}}$ 为散热器散热功率. ${P_{{\rm{lnr,c}}}}$ 及 ${P_{{\rm{c,blk}}}}$^[14]可表示为

(4) $ {P_{{\rm{lnr,c}}}} = h A ({T_{{\rm{lnr}}}} - {T_{\rm{c}}}), $

(5) $ {P_{{\rm{c,blk}}}} = h A ({T_{\rm{c}}} - {T_{{\rm{blk}}}}). $

式中： $h$ 为发动机水套与冷却液的表面对流传热系数，缸壁及外壁与冷却液对流传热面积近似相等，用A表示. 本研究仅考虑发动机水套与冷却液间对流传热的情况，不考虑沸腾传热，因此无相变强制对流传热系数 $h$^[23]表示为

(6) $ h = f(u,l,\rho ,\eta ,\lambda ,{c_p}), $

式中： $u$ 为冷却液流速， $l$ 为传热特征长度， $\rho$、 $\eta$、 $\lambda \text{、}{c_p}$ 分别为冷却液密度、动力黏度、导热系数及比定压热容. 其中，冷却液流速 $u$ 与流量 ${q_{\rm{m,c}}}$ 及密度 $\rho $ 相关，特征长度 $l$ 为常数，物性参数 $\rho \text{、} \eta \text{、}\lambda \text{、}{c_p}$仅与冷却温度 ${T_{\rm{c}}}$ 相关^[24]，因此，式（6）可以总结为

(7) $ h = {f_{\rm{1}}}({q_{\rm{m,c}}},{T_{\rm{c}}}). $

根据传热学原理，散热器散热功率由散热器传热系数和介质（冷却液和空气）温差决定，其中，散热器传热系数由冷却液与两介质的表面对流传热系数决定^[23]。而表面对流传热系数与介质温度及质量流量相关，类似式(7)。因此，散热器散热功率P_r总结为

(8) $ {P_{\rm{r}}} = {f_2}(q_{\rm{m,c}},{T_{\rm{c}}},{{q_{\rm{m,ra}}}},{T_{{\rm{env}}}}). $

式中： ${q_{\rm{m,ra}}}$ 为散热器入口风质量流量^[25]，

(9) $ {q_{\rm{m,ra}}}= {f_3}({N_{{\rm{fan}}}}(t - {t_{\rm{d}}}),v). $

其中，v为车速， ${t_{\rm{d}}}$ 为冷却液从散热器出口到发动机出口的传输延迟. 函数 ${f_1}$、 ${f_2}$、 ${f_3}$ 采用稳态试验数据拟合得到. 由于在本模型中水温为集总参数，冷却液传输延迟无法在模型中描述，故将其近似视作执行器延迟进行处理. ${t_{\rm{d}}}$ 可表示为

(10) $ {t_{\rm{d}}} ={{\rho {V_{\rm{d}}}}}/{{{q_{\rm{m,c}}}}}. $

其中， ${V_{\rm{d}}}$ 为冷却液从散热器出口到发动机出口流经的容积，包括管路和发动机水套.

式（2）中的外壁对环境散热功率 ${P_{{\rm{blk,env}}}}$ 较小，且较难从试验中获取建模所需数据，因此将其忽略. 基于该动力学模型的控制系统中各常量的值及变量的获取方式如表1所示.

由图3的发动机与冷却液传热示意图可知，燃烧室为冷却液的唯一热源，其对壁面的加热功率 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 对水温影响较大. 因此，精确的 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$模型是精确的冷却系统传热动力学模型的基础和关键. 目前已有的建模方法存在传热机理表述不清、特征变量分析不足等问题，故本文将对影响 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的关键特征变量及模型表征进行重点研究.

为了得到影响燃烧室对壁面的加热功率 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的主要特征变量，并建立其精确的机理模型，首先对已有相关文献中的 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 模型进行总结.

Heywood^[26]对传统化油器发动机 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的建模表示为

(11) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = c \cdot {q_{\rm{m,f}}}^n. $

式中： ${q_{\rm{m,f}}}$ 为单位时间喷油量， $c$ 和 $n$ 为待估计的参数. 该公式仅适用于喷油量及冷却液流量与发动机转速成固定关系的化油器发动机.

电控发动机中电喷系统及电子水泵的应用使喷油量及冷却液流量不受发动机转速约束，因此，为满足电控发动机的建模要求，Bova等^[27]将式（11）扩展为

(12) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = c \cdot {q_{\rm{m,f}}}^{{n_{\rm{1}}}} \cdot {N^{{n_2}}} \cdot {q_{\rm{m,c}}}^{{n_3}}. $

式中： $c$ 和 ${n_{\rm{1}}}$、 ${n_2}$、 ${n_3}$ 为待估计的参数.

Zhou等^{[12, 14, 28]}将 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 表示为发动机扭矩 ${M}$ 及转速 $N$ 的函数：

(13) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = {f_4}(M,N). $

综上所述，以上各 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 建模方法仅是根据工程经验确定与 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 相关的特征变量，并没有准确的传热原理分析，其是否全面并合理不得而知. 为此，以下将结合传热学原理对 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的模型进行分析，确定其独立且相关的特征变量，进而根据 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 随各变量的变化趋势建立一种精度较高的回归模型. 分析所采用的数据来自于GT-Power平台上搭建的发动机及冷却系统模型，该模型将在第4章中介绍.

燃烧室内涉及到气流运动、燃油蒸发、混合气燃烧及运动副摩擦等过程， ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的组成很难通过机理进行研究，因此，通过GT-Power模型的仿真数据对此进行研究. 通过改变发动机工况，采集燃烧气体对壁面加热功率 ${P_{{\rm{comb}}}}$、活塞环与壁面摩擦对壁面加热功率 ${P_{{\rm{fric}}}}$ 及燃烧室对壁面加热功率 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的数据，通过数据分析可知 ${P_{{\rm{comb}}}} + {P_{{\rm{fric}}}}$ 占 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的比例超过94%， ${P_{{\rm{comb}}}}$、 ${P_{{\rm{fric}}}}$ 及 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 随时间t的变化曲线如图4所示. 通过上述分析可知， ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 可近似表示为

(14) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = {P_{{\rm{fric}}}} + {P_{{\rm{comb}}}}. $

活塞环与壁面摩擦为边界摩擦，摩擦热与发动机转速和机油温度相关^[29]，而水温略低于油温，因此， ${P_{{\rm{fric}}}}$ 可近似表示为

(15) $ {P_{{\rm{fric}}}} = {f_5}(N,{T_{\rm{c}}}). $

燃烧气体对壁面的加热功率 ${P_{{\rm{comb}}}}$ 包括燃烧气体与燃烧室壁面的对流传热及辐射传热，其中，辐射传热可以用气体与黑体包壳间辐射传热近似计算^[23]，因此， ${P_{{\rm{comb}}}}$ 可表示为

(16) $\begin{split} {P_{{\rm{comb}}}} = & {h_{{\rm{cyl}}}}{A_{{\rm{cyl}}}}({T_{{\rm{comb}}}} - {T_{{\rm{lnr}}}}) + \\ & {A_{{\rm{cyl}}}}{C_0}\left[\varepsilon {\left(\frac{{{T_{{\rm{comb}}}}}}{{100}}\right)^4} - \zeta {\left(\frac{{{T_{{\rm{lnr}}}}}}{{100}}\right)^4}\right]. \end{split}$

式中： ${h_{{\rm{cyl}}}}$ 为燃烧气体与壁面表面对流传热系数， ${A_{{\rm{cyl}}}}$ 为传热面积， ${T_{{\rm{comb}}}}$ 为燃烧气体温度， ${C_0}$ 为黑体辐射系数， $\varepsilon $ 为燃烧气体发射率， $\zeta $ 为燃烧室壁面吸收比. 其中， ${h_{{\rm{cyl}}}}$、 ${T_{{\rm{comb}}}}$ 及 ${T_{{\rm{lnr}}}}$ 为未知量.

汽油发动机理想循环（等容加热循环）的T_comb-s图如图5所示，abcda为一个循环过程：da为压缩过程，ab为等容加热过程，bc为膨胀过程，cd为换气过程. 当发动机压缩比固定时，da位置和长度固定，ab及cd位置固定，分别为活塞在上止点及下止点时燃烧室容积的等容线，因此，只有当发动机压力升高比，即当单位循环进气量增加时，T_comb-s曲线发生变化（其中，s为燃气比熵），由abcda变为ab'c'da^[25]. 综上， ${T_{{\rm{comb}}}}$ 主要受发动机每循环进气量的影响，或者说主要受单位时间进气量 ${q_{\rm{m,a}}}$ 及转速 $N$ 的影响：

(17) $ {T_{{\rm{comb}}}} = {f_6}({q_{\rm{m,a}}},N). $

类似于式（7）， ${h_{{\rm{cyl}}}}$ 近似为燃烧气体温度 ${T_{{\rm{comb}}}}$ 及燃烧室内气体流速 ${v_{{\rm{a}}\_{\rm{cyl}}}}$ 的函数，而 ${v_{{\rm{a}}\_{\rm{cyl}}}}$ 受发动机进气量 ${q_{\rm{m,a}}}$ 及转速 $N$ 影响较大^[30]，因此， ${h_{{\rm{cyl}}}}$ 近似表示为

(18) $ {h_{{\rm{cyl}}}} = {f_7}({q_{\rm{m,a}}},N). $

将式（17）、（18）代入式（16）得到 ${P_{{\rm{comb}}}}$，并将式（15）、（16）代入式（14），得 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 表达式：

(19) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = {f_8}({q_{\rm{m,a}}},N,{T_{{\rm{lnr}}}}). $

式中： ${T_{{\rm{lnr}}}}$ 无法测量，因此，继续对式（19）进行推导，尝试使用可测变量代替 ${T_{{\rm{lnr}}}}$.

结合式（1）、（4）、（7）及（19），令式（1）中 ${\dot T_{{\rm{lnr}}}} = 0$（ ${T_{{\rm{lnr}}}}$ 为慢变量），得 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的最终表达式为

(20) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = {f_9}({q_{\rm{m,a}}},N,{q_{\rm{m,c}}},{T_{\rm{c}}}). $

需要说明的是，由于本研究采用的是机械水泵，其转速与发动机转速成正比，式（20）中的冷却液流量 ${q_{\rm{m,c}}}$ 能够用发动机转速 $N$ 代替，但考虑到系统中有冷却液流量传感器，同时考虑到模型的通用性，因此，本研究提出的 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 模型保留了特征变量 ${q_{\rm{m,c}}}$.

确定 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 相关的特征变量后，通过分析 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 随各变量的变化趋势，并且借鉴Bova等^[27]的拟合经验，总结出一种精度较高的回归模型形式：

(21) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = {c_1} {q_{\rm{m,a}}}^{{n_{\rm{1}}}} {q_{\rm{m,c}}}^{{n_2}} + {c_2} {q_{\rm{m,a}}} {T_{\rm{c}}} + {c_3} {T_{\rm{c}}} + {c_4} N + {c_5}. $

通过采集GT-Power模型全工况稳态时的发动机冷却液流量及出入口水温，计算得到出、入口单位时间焓差，即 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$，同时采集 ${q_{\rm{m,a}}}$、 ${q_{\rm{m,c}}}$ 及 $N$，使用最小二乘离线法估计得到各参数值： ${c_1} = 964.5$， ${c_2} = - 0.68$， ${c_3} = - 20$， ${c_4} = 1.83$， ${c_5} = 3\;787$， ${n_1} = 0.75$， ${n_2} = 0.13$.

式（21）中，除了 ${T_{\rm{c}}}$ 为系统的状态变量外，其余均为系统可测变量和参数，因此，为了在接下来的推导中对 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 的描述更精简，将其归纳为如下形式：

(22) $ {P_{{\rm{cyl,lnr}}}} = \kappa {T_{\rm{c}}} + \varphi. $

其中，

(23) $ \kappa = {c_2} {q_{\rm{m,a}}} + {c_3}, $

(24) $ \varphi = c{}_1 {q_{\rm{m,a}}}^{{n_1}} {q_{\rm{m,c}}}^{{n_2}} + {c_4} N + {c_5}. $

则冷却系统的动力学模型（1）～（3）可整理如下：

(25) $ {C_{{\rm{lnr}}}}{\dot T_{{\rm{lnr}}}} = \kappa {T_{\rm{c}}} + \varphi - h A ({T_{{\rm{lnr}}}} - {T_{\rm{c}}}), $

(26) $ {C_{{\rm{lnr}}}}{\dot T_{{\rm{blk}}}} = hA ({T_{\rm{c}}} - {T_{{\rm{blk}}}}), $

(27) $\begin{split} {C_{\rm{c}}}{\dot T_{\rm{c}}} = & h \cdot A \cdot ({T_{{\rm{lnr}}}} + {T_{{\rm{blk}}}} - 2{T_{\rm{c}}}) - \\ & {f_2}({q_{\rm{m,c}}},{T_{\rm{c}}},{T_{{\rm{env}}}},{f_3}(v,{N_{{\rm{fan}}}}(t - {t_{\rm{d}}}))). \end{split}$

由数据分析可知，动力学模型中 ${f_2}$ 及 ${f_3}$ 均为非线性函数，同时控制变量 ${N_{{\rm{fan}}}}$ 在式（27）表现为非仿射形式，这将不便于控制器设计，因此，以下将对系统的动力学模型进行简化，得到面向控制器设计的模型.

由于发动机缸壁及外壁有较大的热惯性，将慢变量 ${T_{{\rm{lnr}}}}$ 及 ${T_{{\rm{blk}}}}$ 近似视作不变，即 ${\dot T_{{\rm{lnr}}}} = $ $ {\dot T_{{\rm{blk}}}} = 0$，并将式（25）、（26）代入（27），化简为

(28) $\begin{split} {C_{\rm{c}}}{\dot T_{\rm{c}}} = & \kappa {T_{\rm{c}}} + \varphi -\\ & {f_2}({q_{\rm{m,c}}},{T_{\rm{c}}},{T_{{\rm{env}}}},{f_3}(v,{N_{{\rm{fan}}}}(t - {t_{\rm{d}}}))). \end{split}$

将式（28）等号右边在目标状态点对控制变量 ${N_{{\rm{fan}}}}(t - {t_{\rm{d}}})$ 线性化，得到对控制变量为仿射形式的非线性模型：

(29) $ {\dot T_{\rm{c}}} = f({T_{\rm{c}}}) + g({T_{\rm{c}}}) {N_{{\rm{fan}}}}(t - {t_{\rm{d}}}). $

式中：

(30) $\begin{split} f({T_{\rm{c}}}) = & [\kappa {T_{\rm{c}}} + \varphi - {f_1}({N_{{\rm{fan,s}}}}(t - {t_{\rm{d}}})) + \\ & {\left. {\frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {N_{{\rm{fan}}}}(t - {t_{\rm{d}}})}}} \right|_{\rm{s}}} \cdot {N_{{\rm{fan,s}}}}(t - {t_{\rm{d}}})\Bigg]\Bigg/{C_{\rm{c}}}, \end{split}$

(31) $ {\left. {g({T_{\rm{c}}}) = - \frac{1}{{{C_{\rm{c}}}}} \cdot \frac{{\partial {f_1}}}{{\partial {N_{{\rm{fan}}}}(t - {t_{\rm{d}}})}}} \right|_{\rm{s}}}. $

其中，角标“ ${\rm{s}}$”代表目标状态点， ${N_{{\rm{fan,s}}}}(t - {t_{\rm{d}}})$ 可通过令式（28）中 ${\dot T_{\rm{c}}} $=0及 ${T_{\rm{c}}} = T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}}$ 求解得到.

为了证明提出的 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$ 模型具有较高精度，将其与其他常用的模型进行对比. 对比指标采用均方根误差（root-mean-square error，RMSE）及归一化的均方根误差（normalized root-mean-square error，NRMSE）（RMSE除以测量值均值）. 通过采集GT-Power数据拟合各模型，拟合精度对比如表2所示. 可见本研究提出的 ${P_{{\rm{cyl,lnr}}}}$模型相比其他常用模型其精度提高了2.39%~7.71%，且模型特征变量经传热学原理分析得到，更加合理且理由充分。

在如图6所示工况下，将各燃烧室对壁面加热功率模型与GT-Power模型进行对比，对比结果如图7所示. 由图7可知，在水温发生变化时（ $1\;500\;{\rm{s}}$ 时刻车速变化及 $2\;000\;{\rm{s}}$ 时刻风扇转速变化引起的水温变化），模型（12）和（13）没有发生变化，这是由于模型中没有将水温作为特征变量，在水温变化时不能正确描述趋势. 模型（11）中只将喷油量 ${m_{\rm{f}}}$（等效于进气量）作为变量，因此在水温、转速及冷却液流量发生变化后（ $500\;{\rm{s}}$ 时刻转速发生变化，由于是机械水泵，此时冷却液流量也发生变化），模型（11）均没有发生变化，不能正确描述趋势. 本文提出的模型（21）在系统工况变化时均能够正确描述GT-Power模型的趋势且拥有较高精度.

为了验证提出的发动机冷却系统动力学模型的正确性及模型精度，需要将其与GT-Power 模型进行对比. 给本文模型及GT-Power模型相同的工况输入，如图6所示，输出水温对比如图8所示. 可知：简化前的动力学模型在动态及稳态下均与GT-Power 模型较好地吻合，拥有较高的模型精度，模型最大误差为 $1.2\;{\rm{K}}$；简化后的动力学模型相比GT-Power模型在动态过程存在一定偏差，但模型的动态趋势与GT-Power模型一致，且在稳态拥有较高的模型精度. 因此，简化后的模型能够用于控制器及扰动观测器的设计，而史密斯预估器对模型精度依赖较高，应采用简化前的模型.

由系统控制框图可见，扰动观测器及非线性控制器接收的反馈信号为无延迟水温预估值 ${T_{{\rm{c,p}}}}$，假设史密斯预估器模型无误差，则 ${T_{{\rm{c,p}}}}(t - {t_{\rm{d}}}) = {T_{\rm{c}}}(t)$，系统的动力学模型（29）则转化为无延迟形式：

(32) $ {\dot T_{{\rm{c,p}}}} = f({T_{{\rm{c,p}}}}) + g({T_{{\rm{c,p}}}}) \cdot {N_{{\rm{fan}}}}. $

定义系统状态变量为 $x = {T_{{\rm{c,p}}}}$，控制变量为 $u = {N_{{\rm{fan}}}}$，并使用 $d$ 表示不可测扰动，包括模型简化误差及未建模误差等，则式（32）整理为

(33) $ \dot x = f(x) + g(x)u + d. $

基于动力学模型（式（33）），下面将设计扰动观测器及非线性控制器.

将扰动 $d$ 扩充成新的状态变量 ${x_2}$，记作 ${x_2} = d$，并记 ${\dot x_2} = w$，设计扩张状态观测器^[31]，则系统（式（33））扩张成如下系统：

(34) $ {\dot x_1} = f({x_1}) + g ({x_1})u + {x_2}, $

(35) $ {\dot x_2} = w. $

记状态变量估计值为

(36) $ z = [ {z_1},\;{z_2}]^{\rm{T}} =[ {{\hat x}_1},\;{\hat d} ] ^{\rm{T}}. $

状态变量估计值与实际状态变量的误差为

(37) $ \gamma = {z_1} - {x_1}. $

对扩张的系统（式（34）、（35））设计状态观测器：

(38) $ {\dot z_1} = {z_2} + f({z_1}) + g({z_1})u - {l_1}\gamma, $

(39) $ {\dot z_2} = - {l_2}\gamma. $

其中， ${l_1}$ 及 ${l_2}$ 为调节参数. 为了有效地抑制扰动的作用，提高状态跟踪效率，根据非线性反馈效应，采用非线性反馈形式^[31]，使式（38）、（39）变成：

(40) $ {\dot z_1} = {z_2} + f({z_1}) + g({z_1})u - {\beta _1}\gamma , $

(41) $ {\dot z_2} = - {\beta _2} \cdot {\rm fal} \;(\gamma ,\alpha ,\sigma ). $

其中，函数 ${\rm fal}\;(\gamma ,\alpha ,\sigma )$ 定义为

(42) $ {\rm fal}\;(\gamma ,\alpha ,\sigma ) = \left\{ \!\!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {|\gamma {|^\alpha }{\rm sign}\;(\gamma ),}&{}&{|\gamma | > \sigma ;}\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{{\gamma / {{\sigma ^{1 - \alpha }},}}}&{}&{|\gamma | \leqslant \sigma .} \end{array}} \right. $

其中， $\alpha = 0.5$， $\sigma = 0.01$. 根据经验^[31]，通常参数选取 ${\beta _1} < {\beta _2}$，本文中 ${\beta _1} = 0.5$， ${\beta _2} = 1$. 状态观测器（式（40）、（41））能够实时估计得到状态变量 ${x_2}$，即系统的扰动量 $d$.

为了便于控制器设计和稳定性分析，定义系统的误差变量为

(43) $ \delta = x - T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}}. $

对式（43）两端求导，并将式（33）代入，整理得

(44) $ \dot \delta = f(x) + g(x)u + d - \dot T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}}. $

为了减小系统稳态误差，定义误差的积分为

(45) $ \chi = \int {\delta \,{\rm{d}}t}. $

则系统的状态方程变为

(46) $ \dot \chi = \delta, $

(47) $ \dot \delta = f(x) + g(x)u + d - \dot T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}}. $

定义系统的Lyapunov函数为

(48) $ V = \frac{{{k_1}}}{2}{\chi ^2} + \frac{1}{2}{\delta ^2}. $

其中， ${k_1} > 0$. 对式（48）两端求导，将式（46）、（47）代入可得

(49) $ \dot V = \delta \cdot [{{k_1}}\chi + f(x) + g(x)u - \dot T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}} + d]. $

为了保证Lyapunov函数的导数是负定的，取

(50) $ {k_1}\chi + f(x) + g(x)u - \dot T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}} + d = - {k_2}\delta. $

即系统的控制输入为

(51) $ u = \frac{1}{{g(x)}}(\dot T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}} - {k_1}\chi - f(x) - d - {k_2}\delta ). $

其中， $ {k_2} > 0$，则有

(52) $ \dot V = - {k_2}{\delta ^2} \leqslant 0. $

由Lyapunov函数的正定性及其导数的负定性可知，在控制输入（式（51））的作用下，闭环系统具有稳定性. 进一步地，当 $\dot V \!=\! 0$ 时，有 $\delta \!=\! 0$，此时 $\chi \! =\! \int {\delta \,{\rm{d}}t \!=\! 0} ,$可以得出Lyapunov函数的导数只在平衡点处为0，则闭环系统具有渐进稳定性，即误差 $\delta $ 可以渐进收敛到0.

上述扰动观测器及非线性控制器的设计基于反馈信号 ${T_{{\rm{c,p}}}}$，由史密斯预估器通过对延迟 ${t_{\rm{d}}}$ 进行补偿得到， ${t_{\rm{d}}}$ 可由式（10）计算得到，约为 $1.7$～ $7.8\;{\rm{s}}$，下面将进行史密斯预估器的设计，为此将非线性延迟系统式（（1）~（3））总结为如下形式：

(53) $ {\dot { X}} = { F}({ X},u(t - {t_{\rm{d}}})). $

式中： ${ X} = {[\!\!\!\begin{array}{*{20}{c}}{{T_{{\rm{lnr}}}}},\!\!\!&\!\!\!{{T_{{\rm{blk}}}}},\!\!\!&\!\!\!{{T_{\rm{c}}}} \end{array}\!\!\!]^{\rm{T}}}$， $u = {N_{{\rm{fan}}}}$.

构造如下延迟非线性系统史密斯预估器^[32]：

(54) $ {\dot{\overline { X}}} = {{ F}_{\rm s}}({\overline { X}},u(t - {t_{\rm{d}}})), $

(55) $ \dot{\mathop {{X}} \limits^ \smile} = - {{ F}_{\rm s}}({\mathop {{X}} \limits^ \smile} ,u(t - {t_{\rm d}})) + {{ F}_{\rm s}}({\mathop {{X}} \limits^ \smile} + {\overline { X}},u(t)). $

式中：状态变量 $ {\overline { X}}$ 是为了再现真实状态变量 ${ X}$，状态变量 ${\mathop {{X}} \limits^ \smile}$ 是为了建立一个补偿量，以此抵消系统（式（53））中的时间延迟，函数 ${{ F}_{\rm s}}$ 是对真实系统 ${ F}$ 的数学描述. 史密斯预估值可以表示为

(56) $ {\tilde { X}} = { X} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over { X}} , $

(57) $ y={ C}\tilde{{ X}}. $

其中， ${ C} = [ 0,\;0,\;1]$， $y = {T_{\rm{c}}}$.

若史密斯预估器模型与被控对象没有误差，即 ${ F} = {{ F}_{\bf s}}$，则 ${ X} = { {\overline { X}}}$，因此史密斯预估值变为

(58) $ {\tilde { X}} = {\overline { X}} + {\mathop {{X}} \limits^ \smile}. $

将式（58）两端求导，整理得

(59) $ {\dot {\tilde { X}}} = { F}({\tilde { X}},u(t)). $

对比式（59）和（53）可知，史密斯预估值 ${\tilde { X}}$ 将系统真实状态变量 ${ X}$ 提前了一个时间 ${t_{\rm{d}}}$.

上文给出了非线性控制器和闭环系统稳定性的设计与分析过程，同时设计史密斯预估器对系统的执行器延迟进行了补偿. 下面将针对控制器设计过程中存在扰动观测器估计误差及史密斯预估器的估计误差进行鲁棒性分析. 由于控制系统中扰动观测器估计误差及史密斯预估器的预估误差的存在，控制变量（式（51））实际为

(60) $ u = {{(\dot T_{\rm{c}}^{{\rm{ref}}} - {k_1}\chi - f(x) - \hat d - {k_2}\hat \delta )} / {g(x)}}. $

对于实际的系统，扰动观测器估计误差及史密斯预估器的估计误差均是有界的扰动，将其统一考虑为有界的扰动 $\overline d$，并将式（60）代入式（46）及（47），得到闭环误差系统为

(61) $ \dot \chi = \delta, $

(62) $ \dot \delta = - {k_1}\chi - {k_2}\delta + \bar d. $

为了证明闭环系统对于扰动观测器及史密斯预估器总误差 $\overline d$ 具有鲁棒稳定性，定义

(63) $ {\overline V} = \frac{{{k_1}}}{2}{\chi ^2} + \frac{1}{2}{\delta ^2}. $

对式（63）两端求导，将式（61）、（62）代入，整理可得

(64) $ {\dot {\overline V}} = - {k_2}{\delta ^2} + \delta \overline d. $

对式（64）右端使用杨氏不等式，整理可得

(65) $ {{\dot {\overline V}}} = - {k_2}{\delta ^2} + {\delta ^2} + \frac{1}{4}{{\bar d}^2}{\rm{ = }} - ({k_2} - 1){\delta ^2} + \frac{1}{4}{{\bar d}^2}. $

因此，闭环误差系统（式（61）、（62））对于扰动观测器及史密斯预估器引起的总误差 $\overline d$ 具有稳定性，即具有鲁棒稳定性^[33].

通过Matlab/Simulink与GT-Power联合仿真对本文控制系统进行测试，其中被控对象为GT-Power平台上搭建的发动机及冷却系统模型，该模型来自于上汽联合汽车电子有限公司，由该公司搭建并对标某款试验发动机得到，因此其稳态及瞬态特性与真实发动机极为接近.

对于控制器参数 ${k_1}$ 和 ${k_2}$，通过分析控制输入及输出的数量级，确定 ${k_2}$ 数量级为0，此外，由式（65）可知，需保证 ${k_2} > 1$，才存在一个 $\tilde \delta \in {\bf R}$，当 $\delta > \tilde \delta $ 时，有 ${\dot V_{\rm{d}}} < 0$；积分系数 ${k_1}$ 不宜过大，由于系统实际运行中工况变化频繁， ${k_1}$ 过大会导致系统较大的输出波动. 在上述分析基础上，通过大量瞬态工况仿真，尝试选取出让水温波动值较低的一组参数： ${k_1} = 0.02$， ${k_2} = 2$.

本节将验证扰动观测器对模型失配以及史密斯预估器对水温延迟的补偿效果. 系统工况选取为稳态工况，即系统中动参数不变，包括发动机进气量、转速、车速以及环境温度，参数值为q_{m, a}= $ 80\;{\rm{g}}/ {{\rm{s}}}$， $N = 3\;000\;{\rm{r}} / {\rm{mi}}{{\rm{n}}}$， $v = 75\;{\rm{km}}/ {{\rm{h}}}$， ${T_{{\rm{env}}}} = $300 K.

扰动观测器对模型失配的补偿效果如图9所示. 该仿真中，控制器和史密斯预估器不作变动，仅增加或删除扰动观测器来对比输出水温. 图9（b）及9（c）是将GT-Power中散热器散热功率 ${P_{\rm{r}}}$ 分别增大及减小30%时的控制效果，用来表示散热器水锈沉积及冷却液牌号误用所导致的系统中 ${P_{\rm{r}}}$ 的模型失配干扰. 仿真结果显示，扰动观测器在 ${P_{\rm{r}}}$ 存在扰动时能够显著改善控制效果：当 ${P_{\rm{r}}}$ 减小时，能够明显降低水温超调；当 ${P_{\rm{r}}}$ 增大时，能够明显提高调节速度.

史密斯预估器对水温延迟的补偿效果如图10所示. 仿真中，控制器和扰动观测器不作变动，仅增加或删除史密斯预估器来对比输出水温. 系统工况同样选取上述稳态工况，目标水温分别为 $355$、 $365$、 $360$ 及 $370\;{\rm{K}}$，仿真结果显示：当无史密斯预估器时，水温波动达 $2.5\;{\rm{K}}$；有史密斯预估器时，水温几乎无波动.

当车辆在城市路况行驶时，发动机冷却系统工作在瞬态工况，即发动机进气量、转速、车速及环境温度等动参数发生变化，因此，需对瞬态工况下的系统进行仿真验证. 目前，典型的测试工况，如新欧洲驾驶循环工况（new European driving cycle，NEDC）等，主要为了测试整车油耗及排放性能，而对于测试发动机冷却系统的控制性能而言，这些工况变化较慢，更接近为准稳态工况，难以验证冷却系统水温控制方法在瞬态工况下的控制性能. 因此，本研究使用如图11所示的瞬态工况，该工况比典型的测试工况变化更快，并且加入了环境温度的变化，满足冷却系统水温控制方法的测试需求，能够充分验证控制算法的有效性. 目标水温分别为 $355$、 $365$、 $360$ 及 $370\;{\rm{K}}$，水温跟踪结果及风扇转速变化如图12 所示，仿真结果显示，瞬态工况下系统水温波动小于 $0.5\;{\rm{K}}$.

如图13所示为瞬态工况下（定义见4.2节）开关控制、PI控制及本研究控制器的控制效果对比，其中，开关控制的开关阈值设置为目标水温上、下 $1\;{\rm{K}}$，PI控制采用抗积分饱和处理，在目标水温 $ \pm 8\;{\rm{K}}$ 范围内开启积分环节. 仿真结果显示：当采用开关控制时，水温波动高达 $4\;{\rm{K}}$；当采用PI控制时，水温超调量高达 $7.5\;{\rm{K}}$，水温波动有 $1.5\;{\rm{K}}$；当采用本研究控制器时，水温几乎无超调，水温波动小于 $0.5\;{\rm{K}}$.

（1）本研究通过分析得到燃烧室对壁面加热功率相关的特征变量，并提出了一种精确的回归模型，该模型相比其他常用模型有更高精度.

（2）基于Lyapunov稳定性设计了冷却系统非线性控制器. 针对模型中未建模误差及模型简化误差设计扰动观测器，在散热器功率模型失配时，显著改善了系统瞬态特性. 针对模型中冷却液传输延迟设计非线性史密斯预估器, 有效降低了延迟导致的水温波动.

（3）针对扰动观测器及史密斯预估器的估计误差可能带来的系统失稳，采用输入到状态稳定性理论验证了系统在估计误差下的鲁棒性.

（4）与其他常用冷却系统控制器相比，本研究所提控制系统在瞬态工况下的控制精度显著提高，水温波动小于 $0.5\;{\rm{K}}$.