对日趋拥挤的城市而言，地铁隧道在城市交通系统中扮演着十分重要的角色，因此，地铁的安全性以及舒适性历来受到较多关注. 随着城市地下空间如地铁、地下车库、地下商城等如火如荼的开发，这些工程活动可能会对邻近地铁隧道产生不利影响，若所引起的隧道变形、内力超过其允许值，容易造成管片开裂、渗漏甚至轨道变形等严重威胁行车平稳性和安全性的后果. 由邻近深基坑造成的盾构隧道损坏如衬砌裂纹、连接螺栓变形的案例亦不乏报道^[1]. 如何相对准确且快速地评估盾构隧道在邻近开挖下的响应具有重要意义. 当前，针对盾构隧道在邻近基坑开挖下的响应这一问题较有代表性的研究方法主要有：实测分析法^[2-4]、数值模拟法^[5,6]、模型试验法^[7,8]、和理论解析法^[9-11]，其中理论解析法由于具有计算相对简单、耗时小且经济等特点，常被用来初步分析隧道变形. 现有理论解中第1步关于基坑开挖引起邻近盾构隧道附加荷载的确定均基于Mindlin解积分得到：张治国等^[12]提出考虑坑底卸荷作用的邻近隧道附加荷载计算法，但没有考虑基坑坑壁的卸荷作用；姜兆华等^[13]提出考虑一侧基坑壁和坑底卸荷作用来计算邻近隧道的附加荷载；为了进一步考虑基坑开挖的卸荷作用，Zhang等^[14]在计算基坑开挖对邻近隧道的附加荷载时考虑了4个侧壁以及坑底的卸荷作用. 事实上，Mindlin 解的使用前提是须满足弹性半空间条件，由于土体的开挖移除，远离隧道一侧的基坑侧壁应力所引起的附加荷载并不能传递给隧道. 因此，魏纲等^[15]认为应考虑与隧道相邻的3个基坑侧壁及坑底的应力卸荷作用. 此外，在实际基坑开挖时多设有围护结构，基坑侧壁的荷载不可能全部释放，即不等于土体的静止侧压力，所以在考虑侧壁卸荷作用时须引入相应的折减系数β，其物理意义为基坑侧壁最终释放的应力与侧壁初始应力的比值，可以近似认为各侧壁的β相同. 关于β取值建议具体可以参考姜兆华等^[13]的研究.

关于第2步计算隧道-土体相互作用，上述研究将既有隧道简化为搁置于Winkler地基上的连续梁. 虽然Winkler地基可以较大地简化计算，计算结果也基本满足工程实践，然而，由于相邻弹簧固有的不连续性，模型不能合理地反映地基材料的力学行为，往往高估梁的弯矩. 当前人们对变形控制的要求愈来愈高，如国内现行的《城市轨道交通结构安全保护技术规范》^[16]强制要求“隧道竖向变形的预警值为10 mm，控制值为20 mm”，可见当前城市地铁隧道对变形要求极高，已达到毫米级别. 在这种条件下，Winkler模型无法考虑地基的连续性显然在计算精度上不具优势. 另外，上述研究未对隧道、基坑以及地基参数进行系统全面的参数分析，同时均采用Vesic^[17]地基系数，而Vesic地基系数的提出建立于搁置于地表的长梁，城市隧道多具有相当的埋深，Attewell等^[18,19]指出，隧道-土体相互作用刚度对隧道埋深较为敏感，Liang等^[20]也建议考虑隧道埋深的影响.

在前人研究基础上，从工程实际出发建立更符合工程实际的基坑开挖卸荷计算模型；采用Liang等^[20]的建议，引入修正地基模量^[19]以考虑隧道埋深效应；将既有隧道视为搁置于可考虑地基剪切效应的Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁，通过“两阶段法”^[21-25]建立在邻近开挖下的隧道变形控制微分方程，进而提出既有隧道在邻近基坑开挖下的简化计算法. 从隧道-基坑不同空间位置、不同地基参数、不同隧道参数3个方面展开全面系统的参数分析. 可以用于初步评估既有盾构隧道在邻近基坑开挖下的响应规律，为隧道的保护提供一定的理论支持.

为了简化推导，作如下假设：1)地基土为均匀各向同性的半无限连续弹性体；2)在计算基坑开挖对土体产生的附加荷载时，不考虑隧道存在的影响；3)不考虑土体降水，也不考虑基坑开挖的时空效应.

姜兆华等^{[13,15,20,22,23]}在分析开挖对邻近隧道的影响时，亦作有上述类似假定. 如图1所示为本研究所建立的基坑开挖荷载简化计算模型，基坑平面呈矩形. 图中，L、B、d分别为长、宽、深；隧道平行于基坑长边，L₀为其轴线距基坑中心的距离，D为隧道宽度；h为埋深. 基坑侧壁编号分别为①、②、③、④，以基坑中心为坐标原点O(0，0，0)建立空间坐标系O-xyz，由于土体开挖后无法传递荷载，不考虑距隧道远端的基坑侧壁的卸荷效应，只计算基坑侧壁①、③、④以及坑底卸载所引起的邻近隧道处的附加荷载.

取基坑底部任一微单元(x，y，d)，土体重度为γ，则相应卸荷荷载为γddxdy，利用Mindlin竖向荷载基本应力解，经数值积分得到由坑底卸荷所引起的邻近隧道轴线点P(x₁，y₁，z₁)处的竖向附加应力：

(1) $ \begin{split} &{\sigma }_{ z}^{{\rm{b}}}=\\ &\dfrac{\gamma d}{8{\text{π}} (1-\nu )}{ \displaystyle\int \nolimits_{-\textstyle\frac{B}{2}}^{\textstyle\frac{B}{2}}{\rm{d}}x{ \displaystyle\int\nolimits_{-\textstyle\frac{L}{2}}^{\textstyle\frac{L}{2}}}}\left[ {\!-\!\dfrac{(1-2\nu )({z}_{1}-d)}{{T}_{1}^{3}}\!\!+\!\!\dfrac{(1-2\nu )({z}_{1}-d)}{{T}_{2}^{3}}-} \right.\\ &\quad\dfrac{3{({z}_{1}-d)}^{3}}{{T}_{1}^{5}}-\dfrac{3(3-4\nu ){z}_{1}{({z}_{1}+d)}^{2}-3d({z}_{1}+d)(5{z}_{1}-d)}{{T}_{2}^{5}}-\\ &\quad\left. {\dfrac{30d{z}_{1}{({z}_{1}+d)}^{3}}{{T}_{2}^{7}}} \right]{\rm{d}}y,\\[-20pt]\end{split}$

(2) ${T_1} = {\left[ {{{(x - {x_1})}^2} + {{(y - {y_1})}^2} + {{(d - {z_1})}^2}} \right]^{1/2}},$

(3) ${T_2} = {\left[ {{{(x - {x_1})}^2} + {{(y - {y_1})}^2} + {{(d+{z_1})}^2}} \right]^{1/2}}. $

式中：v为泊松比.

取基坑侧壁①的任意一微单元(B/2，y，z)为积分单元，则其卸荷荷载为βK₀γzdydz（K₀为静止土压力系数）；由Mindlin竖向荷载的基本应力解，经数值积分得到由侧壁①卸荷所引起的邻近隧道轴线上点P(x₁，y₁，z₁)处竖向附加应力：

(4) $\begin{split} &{\sigma _z^{{{\rm{s}}_1}} = - \dfrac{{\beta {K_0}\gamma ({x_1} - B/2)}}{{8{\text{π}} (1 - \nu )}}\displaystyle\int_0^d {\displaystyle\int_{ - \textstyle\frac{L}{2}}^{\textstyle\frac{L}{2}} {\left\{ {\dfrac{{ - 1 + 2\nu }}{{R_1^3}} + \;\;\dfrac{{1 - 2\nu }}{{R_2^3}}} \right.} } }+\\ &\quad{ \dfrac{{3{{({z_1} - z)}^2}}}{{R_1^5}} + \;\dfrac{{3(3 - 4\nu ){{({z_1} + z)}^2}}}{{R_2^5}} - }\\ &\quad{\dfrac{{6z}}{{R_2^5}} \left. {\left[ {z + (1 - 2\nu )({z_1} + z)\; + \dfrac{{5z{{({z_1} + z)}^2}}}{{R_2^2}}} \right]} \right\}z{\rm{d}}z{\rm{d}}y},\\[-20pt] \end{split} $

(5) $\left. {\begin{split} &{R_1} = {\left[ {{{({x_1} - B/2)}^2} + {{({y_1} - y)}^2} + {{({z_1}-z)}^2}} \right]^{1/2}},\\ &{R_2} = {\left[ {{{({x_1} - B/2)}^2} + {{({y_1} - y)}^2} + {{({z_1}+z)}^2}} \right]^{1/2}}. \end{split} } \right\}$

取基坑侧壁③的任意一微单元(x，L/2，z)为积分单元，则其卸荷荷载为βK₀γzdxdz；由Mindlin竖向荷载的基本应力解，经数值积分得到由侧壁③卸荷所引起的隧道轴线上点P(x₁，y₁，h)处的水平附加应力：

(6) $\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{split} &{\sigma _z^{{{\rm{s}}_3}} = \frac{{\beta {K_0}\gamma ({y_1} - L/2)}}{{8{\text{π}} (1 - \nu )}}\displaystyle\int_0^d {\displaystyle\int_{ - \textstyle\frac{B}{2}}^{\textstyle\frac{B}{2}} {\Bigg\{ {\frac{{ - 1 + 2\nu }}{{R_5^3}} + \;\frac{{1 - 2\nu }}{{R_6^3}} + } \Bigg.} } }\\ &\quad{\frac{{3{{({z_1} \!-\! z)}^2}}}{{R_5^5}} \!+\! \;\frac{{3(3 \!-\! 4\nu ){{({z_1} \!+\! z)}^2}}}{{R_6^5}} \!-\! \frac{{6z}}{{R_6^5}}\Bigg[ {z \!+\! (1 - 2\nu )({z_1} \!+\! z)}\Bigg.\;}+\\ &\quad{\Bigg. {\Bigg. { \frac{{5{z_1}{{({z_1} + z)}^2}}}{{R_6^2}}}\Bigg]} \Bigg\}z{\rm{d}}x{\rm{d}}z},\\[-13pt] \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! $

(7) ${R_5} = {\left[ {{{({x_1} - x)}^2} + {{({y_1} - L/2)}^2} + {{({z_1} - z)}^2}} \right]^{1/2}},$

(8) ${R_6} = {\left[ {{{({x_1} - x)}^2} + {{({y_1} - L/2)}^2} + {{({z_1} + z)}^2}} \right]^{1/2}}. $

取侧壁④的任意一微单元(x，−L/2，z)，则其单位力为βK₀γzdxdz；由Mindlin竖向荷载的基本应力解，经数值积分得到由侧壁④卸荷所引起的隧道轴线上某点P(x₁，y₁，z₁)的竖向附加应力：

(9) $ \!\!\!\!\!\!\!\begin{split} &{\sigma _z^{{{\rm{s}}_4}} = - \frac{{\beta {K_0}\gamma ({y_1} + L/2)}}{{8{\text{π}} (1 - \nu )}}\int_0^d {\int_{ - \textstyle\frac{B}{2}}^{\textstyle\frac{B}{2}} {\Bigg\{ {\frac{{ - 1 + 2\nu }}{{R_7^3}} + \;\frac{{1 - 2\nu }}{{R_8^3}} + } \Bigg.} } }\\ &\quad{\frac{{3{{({z_1} - z)}^2}}}{{R_7^5}} + \;\frac{{3(3 - 4\nu ){{({z_1} + z)}^2}}}{{R_8^5}} - \frac{{6z}}{{R_8^5}}}\Bigg[ {z + } \Bigg.\\ &\quad{\Bigg. {\Bigg. {(1 - 2\nu )({z_1} + z)\; + \frac{{5{z_1}{{({z_1} + z)}^2}}}{{R_8^2}}} \Bigg]} \Bigg\}z{\rm{d}}z{\rm{d}}x,} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\! $

(10) $ {R_7} = {\left[ {{{({x_1} - x)}^2} + {{({y_1} + L/2)}^2} + {{({z_1} - z)}^2}} \right]^{1/2}}, $

(11) ${R_8} = {\left[ {{{({x_1} - x)}^2} + {{({y_1} + L/2)}^2} + {{({z_1} + z)}^2}} \right]^{1/2}}. $

将基坑坑底和①、③、④侧壁的卸荷荷载进行叠加，得到隧道轴线上点P(x₁，y₁，z₁)处的竖向附加荷载：

(12) ${\sigma _{\rm{z}}} = \sigma _z^{\rm{d}} + \sigma _z^{{{\rm{s}}_1}} + \sigma _z^{{{\rm{s}}_3}} + \sigma _z^{{{\rm{s}}_4}}. $

在实际工程中，隧道纵轴线与基坑长边平行的工况较少，当基坑与既有隧道轴线斜交时，可以在两者平行的基础上进一步通过坐标转换来考虑.

如图2所示，以隧道为中心建立局部坐标系x'O'y'，坐标原点O'位于隧道轴线上任意位置处. 在x'O'y'坐标系中，y'轴与隧道轴线重合，x'轴垂直于隧道轴线. 两坐标系原点间距为l，Ox与OO′夹角为β'，Ox与O′y'夹角为α. 由几何关系，可以得到局部坐标系与全局坐标系下的坐标转换式：

(13) $\left. \begin{array}{l}x={y}^{\prime }\mathrm{cos}\;\alpha +{x}^{\prime }\mathrm{sin}\;\alpha +l\mathrm{cos}\;\beta^{\prime } ,\\ y={y}^{\prime }\mathrm{sin}\;\alpha -{x}^{\prime }\mathrm{cos}\;\alpha -l\mathrm{sin}\;\beta^{\prime } .\end{array} \right\}$

将隧道所处地基视为Pasternak地基，既有隧道视为Euler-Bernoulli梁，则在附加荷载q(y)作用下，既有隧道竖向位移w(y)的平衡微分方程为

(14) $EI\frac{{{{{\rm{d}}}^4}w(y)}}{{{{\rm{d}}}{y^4}}} + kDw(y) - {G_{\rm{p}}}D\frac{{{{{\rm{d}}}^2}w(y)}}{{{{\rm{d}}}{y^2}}} = q(y)D. $

式中：EI为隧道纵向抗弯刚度，D为隧道直径，k为地基反力系数，q(y)为基坑卸荷引起的附加荷载，G_p为Pasternak地基剪切层参数，w(y)为隧道的竖向位移.

将式(14)写成差分形式：

(15) $\begin{split} & EI\frac{{6{w_i} - 4({w_{i + 1}} + {w_{i - 1}}) + ({w_{i + 2}} - {w_{i - 2}})}}{{{l^4}}} + kD{w_i} - \\ &\qquad {G_{\rm{p}}}D\frac{{{w_{i + 1}} - 2{w_i}+{w_{i + 1}}}}{{{l^2}}} = q(y)D , \\[-2pt] \end{split} $

(16) ${{{K}}_{\rm{t}}} {{w}} + {{{K}}_{\rm{s}}} {{w}} - {{G}} {{w}} = {{Q}}. $

式中：q(y)可以由式(12)确定；K_t为隧道位移刚度矩阵；K_s为地基刚度矩阵；G为地基剪切层刚度矩阵；w为隧道纵向位移列向量；Q为附加荷载列向量.

(17) ${{Q}} = D{\left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_0},}&{{q_1},}&{{q_2},}&\cdots ,&{{q_n}} \end{array}} \!\!\!\right]^{\rm{T}}}, $

(18) ${{w}} = {\left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_0},}&{{w_1},}&{{w_2},}&\cdots ,&{{w_n}} \end{array}}\!\!\! \right]^{\rm{T}}}. $

地基刚度矩阵K_s（n+1阶方阵）可以表示为

(19) ${{{K}}_{\rm{s}}} = Dk\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&1&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&1&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&1&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&1&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]. $

假定隧道两端自由，则有隧道两端的弯矩M及剪力Q为0，即

(20) ${Q_0} = - EI\frac{{{w_2} - 2{w_1} + 2{w_{-1}} - {w_{ - 2}}}}{{2{l^3}}} = 0,$

(21) ${Q_n} = - EI\frac{{{w_{n + 2}} - 2{w_{n + 1}} + 2{w_{n - 1}} - {w_{n - 2}}}}{{2{l^3}}}=0,$

(22) ${M_0} = - EI\frac{{{w_1} - 2{w_0} + {w_{ - 1}}}}{{{l^2}}}=0,$

(23) ${M_n} = - EI\frac{{{w_{n + 1}} - 2{w_n} + {w_{n - 1}}}}{{{l^2}}}=0. $

结合式(16)~(19)，可以进一步给出各矩阵表达式：

(24) ${{{K}}_{\rm{t}}} \!\!=\!\! \frac{{EI}}{{{l^4}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4}&2&{}&{}&{}&{}&{}&{} \\ { - 2}&5&{ - 4}&1&{}&{}&{}&{}&{} \\ 1&{ - 4}&6&{ - 4}&1&{}&{}&{}&{} \\ {}&1&{ - 4}&6&{ - 4}&1&{}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots &{}&{} \\ {}&{}&{}&1&{ - 4}&6&{ - 4}&1&{} \\ {}&{}&{}&{}&1&{ - 4}&6&{ - 4}&1 \\ {}&{}&{}&{}&{}&1&{ - 4}&5&{ - 2} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&2&{ - 4}&2 \end{array}} \right],$

(25) ${{G}} = \frac{{{G_{\rm{p}}}D}}{{{l^2}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&{}&{}&{}&{} \\ 1&{ - 2}&1&{}&{}&{}&{} \\ {}&1&{ - 2}&1&{}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots & \ddots & \ddots &{}&{} \\ {}&{}&{}&1&{ - 2}&1&{} \\ {}&{}&{}&{}&1&{ - 2}&1 \\ {}&{}&{}&{}&0&0&0 \end{array}} \right].$

在已知附加荷载q(y)的情况下，结合式（14）~（25）可以求解在基坑开挖卸荷作用下的邻近既有隧道纵向变形.

由于接头的存在，隧道整体刚度要远小于连续的混凝土管片. 志波由纪夫等^[26]所提出的隧道纵向等效连续模型，是应用较为广泛的确定隧道纵向等效抗弯刚度的方法：

(26) ${(EI)_{{\rm{eq}}}} = \frac{{{{\cos }^3}\;\varphi }}{{\cos\; \varphi + (\varphi + {\text{π}}/2)\sin \;\varphi }}{E_{\rm{c}}}{I_{\rm{c}}}. $

式中： ${E_{\rm{c}}}$为管片弹性模量， ${I_{\rm{c}}}$为隧道纵向惯性矩， $\varphi $为中性轴的位置.

(27) $\varphi + {\rm{cot}}\;\varphi = {\text{π}} \left( {0.5 + \frac{{m{k_{\rm{b}}}{l_{\rm{s}}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} \right). $

式中：m为螺栓数目； ${k_{\rm{b}}}$为接头螺栓平均线刚度， ${k_{\rm{b}}} = {E_{\rm{b}}}{A_{\rm{b}}}/{l_{\rm{b}}}$，E_b为螺栓的弹性模量，A_b为螺栓的横截面积，l_b为螺栓长度； ${l_{\rm{s}}}$为环宽；E_c为管片弹性模量； ${A_{\rm{c}}}$为隧道管片横截面积.

在Pasternak地基模型中，地基基床系数G_c、k的取值对计算结果有重要影响.

Tanahashi^[27]建议G_c表达式为

(28) ${G_{\rm{c}}} = \frac{{{E_{\rm{s}}}t}}{{6(1 + \nu )}}.$

式中：E_s为地基土的弹性模量，t为Pasternak地基中隧道变形影响深度.

徐凌^[28]指出在采用Pasternak地基时，隧道变形影响深度可以取t= 2.5D，之后Liang等^[23,24]也采用Tanahashi等^[27,28]的建议研究隧道上穿对下卧隧道的影响，取得了较好的结果. 因此，在本研究后续计算中同样采用上述建议进行计算.

Vesic^[17]通过搁置于地表上的长梁荷载试验研究，给出考虑刚度以及地层特性的地基基床系数表达式：

(29) ${k_{{\rm{Vesic}}}} = \frac{{0.65{E_{\rm{s}}}}}{{D(1 - {\nu ^2})}}\sqrt[{^{^{^{12}}}}]{{\frac{{{E_{\rm{s}}}{D^4}}}{{EI}}}}. $

式中：EI为梁抗弯刚度，在本研究中EI=(EI)_eq；D为梁宽度.

Attewell等^[18]指出Vesic地基基床系数法是假定长梁位于地表而得到的，对于一定埋深的地基梁，建议采用2倍Vesic地基基床系数，即

(30) ${k_\infty } = 2{k_{{\rm{Vesic}}}}. $

城市地铁隧道埋深一般较浅，Attewell等^[18]是假设梁在土层无限深处得到的k_∞，会在一定程度上高估土层的刚度，导致计算出的隧道变形偏小，偏于不安全. 为了进一步考虑隧道的埋深效应，Yu等^[19]引入隧道埋深影响系数η：

(31) $\eta = {{{k_\infty }}/{{k_h}}},$

(32) $ \eta = \frac{{{k_\infty }}}{{{k_h}}} = 1 + \frac{1}{{1.7h/D}};\;\;\;h/D > 0.5. $

式中：h为隧道的埋置深度，k_h为隧道埋深为h时的基床反力系数.

结合式(29)~(32)，即可推导出可以考虑隧道埋深效应的地基基床反力系数：

(33) ${k_{{h}}} = \frac{{{k_\infty }}}{\eta } = \frac{{1.3{E_{\rm{s}}}}}{{\eta D(1 - {\nu ^2})}}\sqrt[{^{^{^{{{{12}}}}}}}]{{\frac{{{E_{\rm{s}}}{D^4}}}{{EI}}}} . $

建立三维有限元模型，通过模拟结果与理论计算结果对比分析验证所提理论解析解的正确性. 采用 Plaxis 3D 有限元分析软件来建立邻近基坑开挖下既有盾构隧道变形分析模型，基坑尺寸长×宽×深分别为24 m×16 m×6.5 m，采用地连墙作为围护结构，墙深为10 m，厚度为800 mm，泊松比 $\nu $=0.15，重度为25 kN/m³，弹性模量为3×10⁴ MPa. 分析对象为上海典型地铁隧道，隧道纵轴平行于基坑长轴方向，两者间距l=8 m，隧道轴线深度为地表以下15 m，如图3所示. 为了消除边界效应，在数值模型中基坑尺寸取250 m×250 m×50 m，基坑围护结构采用地连续墙，应力释放折减系数β=25%^[13,15]，墙深取10 m，如图3所示为三维有限元模型与网格，模型顶部自由，底部设为固定约束，侧面设为水平约束，该模型包含50537个单元，73362个节点. 土体本构模型采用应用较为广泛且可以考虑土体小应变特性的HSS模型，假定土层为均质各向同性黏土，初始应力的生成以及基坑开挖前产生的位移均置为零. 隧道管片的参数如表1所示. 土体材料力学属性如表2所示. 表中，c' 为有效黏聚力， ${\phi} $′ 为有效内摩擦角， $E_{{\rm{oed}}}^{{\rm{ref}}}$为固结试验的参考切线模量， $E_{50}^{{\rm{ref}}}$为三轴固结排水剪切试验的参考割线模量， $E_{{\rm{ur}}}^{{\rm{ref}}}$为三轴固结排水卸载再加载试验的参考卸载再加载模量， $G_0^{{\rm{ref}}}$为小应变刚度试验的参考初始剪切模量，γ_0.7为剪切模量降低到其70%时所对应的剪应变，D₀为层厚，R_f为破坏比.

如图4所示为三维有限元、Winkler法与所提理论方法给出的隧道位移对比曲线. 较之于有限元法，Winkler法所给出的计算结果出现了明显的高估，主要原因在于：实际中的隧道具有一定埋深，Winkler法采用的是Vesic′s地基基床系数，Vesic′s系数的提出是基于搁置于地表的长梁因而低估了隧道-土体的相互作用刚度，会导致隧道位移计算值偏大. 因此，采用能考虑隧道埋深效应的地基基床系数更符合实际情况，计算结果也较吻合.同三维有限元法相比，本研究所提方法在隧道最大位移上会略有偏大，原因在于：三维有限元模型采用的HSS模型是弹塑性模型，而本研究所提方法建立于弹性体之上.

如图5所示为三维有限元法、Winkler法与所提理论方法给出的隧道弯矩对比曲线. 同三维有限元法相比，Winkler法计算所得到的正、负弯矩分别高出76%、81%，主要原因如下：Winkler法基于Vesic′s地基基床系数，低估了隧道-土体相互作用刚度，导致计算出的隧道弯矩偏大，而本研究方法可以较好地考虑隧道埋深效应，采用修正地基基床系数，所给出的弯矩计算结果与三维有限元法基本一致，可以较好的预测隧道在邻近开挖下的弯矩. 虽然在最大弯矩上所提方法较有限元法出现一定偏大，但是偏差在工程实践可接受范围内，整体而言本研究所提方法偏于保守因而也是偏于安全的.

上海浦东新区东方路下立交工程位于世纪大道、张杨路和东方路交叉口，工程范围为东方路沿商城路至潍坊路以北200 m，全长600 m. 上海地铁二号线区间隧道位于基坑正下方，开挖与下卧盾构隧道的相对位置如图6所示. 基坑开挖深度为6.5米，取应力释放折减系数β=25%^[13,15]，地铁2号线上行线在该工程基坑N01段正下方穿过，夹角为45°，隧道顶距底板最近处为2.76 m，隧道轴线位于地表以下12.36 m，下行线隧道位于基坑一侧，平行于上行线且间距为18 m，盾构隧道的尺寸与表1所列地铁隧道的尺寸相同. 根据志波由纪夫等^[26]提出的方法求得隧道的等效抗弯刚度为纵向抗弯刚度取7.8×10⁴ MN·m². 为了简化研究，将N01段基坑开挖大致视为一个长×宽为26 m×18 m的矩形. 如表3所示为场地土层参数. 图中，h为层厚，E_s0.1−0.2为弹性模量， $\nu $为泊松比. 由于地铁2号线隧道是上海市轨道交通系统中运行最频繁的线路之一，在开挖过程中必须严格保证其安全性和完整性. 因此，在施工前后采用特殊的防护措施和控制技术，包括深部土体注浆加固、隧道加固，并按“分区、分层、对称”开挖支撑，以最大限度减少对隧道的干扰.

考虑到地基改良对地基土刚度的增加，在后续计算中，假定土体弹性模量E_s=15 MPa. 如图7所示为地铁2号线上行线位移计算结果与实测值的对比曲线. 可以看出，基于Winkler法的计算结果与实测变形趋势大致相同，但在位移大小上出现了较为明显的高估，尤其在最大位移上，Winkler法给出的计算值接近30 mm，而最大实测值仅约为15 mm，另外30 mm也超出了隧道容许变形最大值为20 mm的国家标准^[16]，因此，若以Winkler法的变形计算结果为隧道变形参照，在基坑开挖前，将不得不对隧道采取更多的保护措施以满足上海市政对隧道容许变形的要求. 较之于Winkler法，本研究所提方法的计算结果与隧道位移实测值不仅在变化趋势而且在数值大小上均更加一致，在工程实践中较为关心的最大变形上，所提方法的计算值略高于实测值，原因如下：在施工前采取的如隧道加固、分坑开挖能在一定程度上减小开挖对下卧隧道的不利影响，而这些处理措施是本研究理论方法所未能考虑到的. 综合来看，本研究所提方法仍是较合理的可以用于预测隧道在邻近基坑开挖下响应的简化计算法.

如图8所示为地铁2号线下行线位移计算结果与实测值的对比曲线，如前所述，下行线与上行线平行且相距18 m，受基坑开挖影响较小，因此不论是理论预测值还是隧道实测变形均明显小于上行线. 虽然在变形趋势上Winkler法同样能相对较好地反映隧道变形规律，然而对于在工程中备受关注的隧道最大位移，Winkler法计算结果较实测出现一定程度的高估，而本研究所提方法的计算值整体上与实测值更一致. 另外，在下行线最大位移的预测上，本研究所提方法的计算结果较实测值反而有一定的偏低，与张治国等^[12]的发现一致. 造成上述现象的原因如下：下行线距N01基坑较上行线远，受施工过程中保护措施的影响可能弱于上行线，因此会出现隧道局部变形偏大的情况.

上述同三维有限元法以及工程实测数据的对比基本验证了所提理论的准确性，因此，可以在此基础上，进行进一步的参数分析. 如图9所示，假定基坑尺寸长、宽、深分别为24、16、8 m，隧道埋置于基坑正下方且平行于基坑长边，隧道轴线距地表深度h=16 m，基坑中心距隧道轴线的平面距离为l，地基土重度γ=18 kN/m³，泊松比取0.34，取4.1节中的隧道为研究对象，其纵向等效抗弯刚度取7.8×10⁴ MN·m²，其他各项参数如表1所示.

如图10所示为当隧道正下卧于基坑下方即l=0时，在基坑不同夹角β'下隧道的纵向位移曲线. 如图11所示为在图10的基础上进一步给出不同夹角β'下隧道最大位移变化曲线. 可以看出，随着β'的逐渐增大，隧道最大位移近似呈线性减小，即当隧道平行于基坑长边时，隧道位移最大；当隧道垂直于基坑长边时，隧道位移最小. 原因如下：当隧道平行于基坑长边时，所受到的基坑卸荷影响最大，而在垂直时所受到的卸荷影响最小. 与β'=π/2的情况相比，β'=0时的隧道最大位移增加了16.08%，由此可见，不同的夹角对隧道的变形有较明显的影响，在实际基坑工程施工中应尽可能使其长边与隧道长轴大角度相交.

如图12所示为当隧道正下卧于基坑下方即l=0时，在隧道不同埋深h下隧道的纵向位移曲线. 如图13所示为在此基础上给出不同h下隧道最大位移的变化曲线. 可以看出，随着h的增加，隧道纵向变形趋势不变，最大位移仍然发生在基坑中心正下方，随后向两侧迅速减小，在基坑开挖范围之外最大位移缓慢减小然后趋于稳定. 在最大位移上，随着埋深从2.0d逐步增加到2.5d、3.0d、3.5d，隧道最大位移相应减少3.49、2.77、2.10 mm，可以看出，隧道受基坑开挖卸荷的影响逐步减弱. 造成上述现象的原因有二：随着埋深的增加，由基坑卸荷所引起的作用于隧道的附加应力会减小；随着埋深的增加，隧道-土相互作用刚度显著增大. 在以上2个原因综合作用下，隧道最大位移随埋深呈非线性递减的规律.

如图14所示为不同间距l下隧道的纵向位移曲线，如图15所示为不同l下的最大位移变化曲线. 可以看出，间距并不影响隧道变形趋势，最大变形均在隧道中心，然后向隧道两侧迅速减小. 不过，间距会显著影响隧道的最大位移，当l从0增加到0.25B时，隧道的最大位移仅减小了1.4 mm，这是因为此时隧道仍处在基坑下方，隧道受开挖卸荷影响明显，位移变化不大；当l从0.25B增加到0.50B时，隧道已不在基坑下方，l同样是增加了0.25B，隧道的最大位移却减小了4.3 mm，受间距的影响明显；随着l的进一步增加，隧道的最大位移“减幅”开始放缓，呈现出“由急变缓”的非线性递减规律，最后逐渐趋于稳定. 值得关注的是，当l=2.00B时，隧道已基本不再受基坑开挖卸荷的影响，最大隆起仅为0.34 mm，而当前国内各大城市均规定隧道外边线以外50 m 内为控制保护区^[16]. 在本算例中，当基坑中心距隧道轴线为32 m时，隧道已基本不受开挖卸荷的影响，显然是符合上述规定的要求，也在一定程度上验证了上述规定的合理性，因此，在实际施工中，从安全的角度出发，应严格执行相关标准规程.

如图16所示为不同土体弹性模量E_s、不同隧道-基坑间距l与隧道最大位移的关系曲线，当l一定，随着E_s的逐步增大，最大位移w_max迅速减小，当E_s从5 MPa增大到50 MPa时，4种不同间距工况下的w_max急速衰减，原因在于：更大的土体模量显然能够提供更多的“阻力”来抑制隧道的隆起. 同时，可以进一步发现：隧道最大位移w_max的减小幅度为88.53%~89.04%，在4种不同工况下的下减幅几乎一致，可见弹性模量对隧道最大位移的影响与隧道-基坑间距无关. 因此，在实际工程中可以采用注浆、水泥土搅拌加固土体以减小隧道的隆起，软土地区的土体弹性模量小、基床反力系数小，因此在必要时可以通过对土体进行处理以减小变形，保证隧道安全. 张冬梅等^[29]研究发现，在隧道周围注浆不但能加固地基土，还能提高隧道抗渗能力. 值得关注的是，当E_s<9 MPa时，l=0、0.50B工况下的隧道最大位移超过20 mm的上海市政标准，而当E_s>13 MPa时，4种工况下的w_max均满足要求. 如图17所示为不同l下隧道最大位移随剪切模量G_c的变化曲线. 可以看出，随着G_c的增加，w_max逐渐缓慢减小，在4种不同间距工况下，随着G_c从5 MPa增大到50 MPa，w_max的减小幅度分别为13.2%、12.8%、12.5%、12.7%，可见G_c对w_max的影响明显低于E_s，同时，G_c对w_max的影响同样与l无关.

如图18所示为在不同隧道-基坑间距下，隧道不同纵向等效弯曲刚度(EI)_eq与隧道最大位移w_max的关系曲线，随着等效弯曲刚度从 $\left( {EI} \right)_{{\rm{eq}}}^0 $增加到100 $ \left( {EI} \right)_{{\rm{eq}}}^0$，4种工况下的w_max减小幅度分别为47.7%、46.7%、45.0%、40.2%. 可以看出，增加隧道自身刚度可以有效减小隧道最大位移，同时，随着l的逐渐增大，(EI)_eq对w_max的“削弱作用”逐渐减小. 另一方面，由图18可见，随着(EI)_eq的逐渐增大，w_max呈现出“先迅速减小”再“缓慢减小”的减幅渐减的非线性递减规律，也就是说，适当提高(EI)_eq，w_max会有较明显的改善，不过“过分”提高(EI)_eq反而会使得w_max的改善效果“打折扣”.

如图19所示为基坑在“长开挖”(即B一定时，L增加)与“短开挖”(即L一定时，B增加)2种工况下的隧道纵向位移分布曲线. 对长开挖而言，随着L的增大，w_max会明显增大，同时隧道受基坑开挖的影响区域也会显著增大. 可以看出，长开挖不仅会影响隧道的位移大小也会改变隧道隆起范围. 值得注意的是，当L=9d时，w_max已经达到最大，w_max不会随L的增大而继续提高，而隧道隆起范围则会继续提高. 对基坑的短开挖而言，随着B=3d增加到B=6d，w_max会有一定的增大，但是“增幅”明显小于相应长开挖下的工况，而且隧道隆起范围也未见明显改变，随着B=6d进一步增大到B=9d，隧道位移曲线以及隆起范围几乎不再改变，可见当B>9d时，隧道的变形已与基坑开挖的宽度无关. 可以看出，较之于短开挖，隧道的变形对基坑的长开挖更加敏感. 如图20所示为2种工况下w_max随L/d或B/d的变化曲线. 可以看出，两者的变化趋势基本一致，即“先迅速增加”再“缓慢增加”的非线性递增规律. 通过将L增加到9d或B/d增加到9d，w_max迅速增大，但是对给定的开挖面积(L×B)一定的基坑，长开挖下的w_max总是明显大于短开挖下的w_max. 此外，继续增大L或B，隧道的位移基本不再变化，趋于稳定.

(1)从实际出发，建立相对更合理的基坑开挖卸荷模型来计算作用于邻近既有隧道上的附加应力. 基于Pasternak地基和经修正后的Vesic′s基床系数从而建立Pasternak地基上受附加荷载的 Euler-Bernoulli 梁平衡微分方程. 最后求解隧道在附加荷载作用下的纵向位移.

(2)本研究所提出的简化计算法可以较为准确地预测在基坑开挖卸荷作用下邻近既有隧道的纵向变形. 通过与三维有限元以及2组已发表的工程实测数据的对比，验证了所提简化计算法的合理性与适用性.

(3)隧道最大位移w_max受基坑-隧道夹角β'的影响，当隧道与基坑平行时影响最大，垂直时最小，斜交时次之，较之于垂直工况下的w_max，平行时的w_max增长了16.04%. 因此，施工中应尽可能使基坑长边与隧道轴线大角度相交.

(4)地基参数E_s对隧道的位移影响明显，G_c则相对较弱，且E_s、G_c对隧道的影响与隧道-基坑间距l无关；提高隧道自身刚度(EI)_eq可以有效减小w_max，(EI)_eq对w_max的减小与l有关，随着l的增大，(EI)_eq对w_max的“削弱作用”逐渐减小，当l足够大，w_max几乎不再受(EI)_eq的影响.

(5)隧道埋深h、隧道-基坑间距l对隧道的位移影响明显，随着h、l的逐渐增大，w_max呈“先急后缓”的非线性递减规律，参数分析表明当l>2倍的基坑宽度，隧道基本不再受基坑开挖的影响.

(6)基坑的“长开挖”不仅会影响隧道的位移大小也会改变隧道隆起范围，对隧道的危害更大；“短开挖”则主要改变隧道的位移大小. 对于任意给定的开挖面积(L×B)一定的基坑，长开挖下的w_max总是明显大于短开挖下的w_max.

须指出的是，当场地土层较均一时所提简化法计算结果较为准确. 作为一种解析算法，本研究所作如土层均一、各向同性假设可能与天然工况下的土体存在一定出入，也未能考虑土层的成层性以及基坑支撑结构的影响，这也是作者接下来进一步努力的方向.