裂纹是装备和工程结构中常见的缺陷形式. 在交变载荷的作用下，裂纹持续扩展至结构所能承受的极限值将引发结构失效或倒塌，造成严重的经济损失甚至人员伤亡. 譬如，Alexander L. Kielland 号钻井平台单个支撑腿的疲劳裂纹在海洋环境载荷作用下不断扩展，最终导致整座平台倾覆^[1]. 因此，探索裂纹的扩展规律并准确预测疲劳裂纹扩展过程，对保障装备和结构的安全运行具有重大的应用价值和科学意义.

断裂力学的Paris公式是当前疲劳裂纹扩展预测的主要手段^[2]. 譬如，何文涛等^[3]利用Paris公式分析船侧纵骨节点疲劳趋势和裂纹扩展规律；陈飞宇等^[4]基于该公式，针对导管架平台管节点，预测其疲劳裂纹扩展过程. 然而，经典的Paris公式主要适用于恒幅载荷下疲劳裂纹扩展的预测，但是在实际工况下变幅载荷广泛存在，此时的裂纹扩展具有高载迟滞和低载加速的特点，Paris公式无法解释这类现象^[5]. 因此已有多种Paris修正公式提出，主要有Wheeler疲劳裂纹扩展公式^[6]、统一疲劳寿命预测^[7]（unified fatigue life prediction，UFLP），也称统一疲劳裂纹扩展模型. 修正公式可以对变幅载荷下疲劳试验中的现象予以合理解释，并且在实验环境中取得了较为理想的预测效果. 基于上述断裂力学理论，诸多学者开展了疲劳裂纹扩展评估方法的研究. 譬如，Dirik等^[8]基于扩展有限元方法（extended finite element method, XFEM）实现了带孔铝板的疲劳裂纹扩展路径预测；Lesiuk等^[9]采用裂纹扩展逐步计算方法预测在混合载荷加载下的疲劳裂纹扩展过程；张宝峰等^[10-11]建立K型管节点疲劳裂纹多尺度有限元模型，并且通过疲劳试验验证了模型的准确性. 但是，如果从工程应用的角度出发，不可避免地会遇到多种不确定因素^[12]（几何、材料和制造等）对裂纹扩展规律产生影响的问题，极大提高了裂纹扩展预测的难度. 除此之外，修正公式较经典Paris公式，一般存在参数众多，拟合难度大的问题，从而加剧了其在应用中的困难. 总之，现阶段变幅载荷作用下的疲劳裂纹扩展预测存在极大挑战.

另一方面，有学者利用无损检测技术（磁粉探伤^[13]、Lamb波^[14]、声发射^[15]等）实现对疲劳裂纹的检测及在线监测. 譬如，王晓煜等^[16]基于Lamb波技术对铝板结构进行监测，获得了疲劳裂纹的位置；曲文声等^[17]利用声发射技术并结合遗传算法实现了疲劳裂纹扩展尖端的准确定位. 基于上述技术手段，可以避免复杂的理论分析推导和不确定因素的干扰，实现对疲劳裂纹位置和扩展尖端的直接定位. 然而监测的方式更侧重于对疲劳裂纹当前状态的感知，难以实现对裂纹扩展趋势的预测，容易由于对未来状况估计不足而导致结构疲劳破坏事故的发生.

综上，如果将疲劳裂纹扩展分析理论和监测方法进行有效融合和优势互补，既完成对疲劳裂纹当前位置的有效感知，又可以进行变幅载荷下裂纹扩展趋势的分析和预测，将极大促进疲劳裂纹扩展预测技术的发展，有利于结构安全性的提高^[18]. 对于该方法的实现，本质上可以归结于滤波问题，但采用传统的滤波算法难以完成对多项不确定因素的处理. 动态贝叶斯网络（dynamic Bayesian network，DBN）作为描述数据变量之间依赖关系的有向无环图，可以将实时监测数据、可靠性数据以及物理模型有效融合，通过输入数据对多个随机节点进行推理更新以消除不确定因素的对于损伤预测精度的影响^[19]. 宋悦等^[20]综合考虑多种不确定因素建立了光电探测系统的DBN模型，增强了性能退化预测效果. 杨旗等^[21]融合行走时整体以及局部细节信息建立了双尺度步态识别DBN模型，提高了步态识别的准确性. 关于DBN在结构损伤和寿命预测方面的研究较少，如何建立变幅载荷下结构疲劳裂纹扩展的DBN模型问题亟须解决.

本研究提出基于DBN的变幅载荷下疲劳裂纹扩展预测方法. 基于UFLP，建立疲劳裂纹扩展状态方程，分析裂纹扩展过程中的不确定因素，确立不确定因素之间的因果关系；构建面向裂纹扩展的DBN模型，结合观测数据的注入，实现网络节点在时间序列上的传播计算；选取粒子滤波（particle filter，PF）作为DBN推断算法，根据观测到的真实裂纹信息，动态更新网络不确定性因素节点，实现不确定因素在疲劳裂纹扩展过程的不断修正，完成裂纹扩展的动态跟随预测；通过算例，验证该方法是否可以有效消除由裂纹扩展过程中的不确定因素所导致的预测结果不准确.

应用Cui等^[7]提出的UFLP作为理论分析工具，以支撑DBN的构建，该疲劳裂纹扩展模型将横幅载荷和变幅载荷对裂纹扩展的影响纳入公式中进行集成表示：

(1) ${\rm{d}}a_{\rm{T}}/{\rm{d}}N = \frac{{A{{[{K_{\max }} (1 - \phi {f_{{\rm{op}}}}) - \Delta {K_{{\rm{eff}}}}]}^m}}}{{1 - {{({K_{\max }}/{K_{\rm{C}}})}^n}}},$

(2) $\!\!\!\left. \begin{array}{l} {K_{\max }} = {\left[ {{\text{π}} {r_{\rm{e}}}\left( {\sec\; \dfrac{{\text{π}} }{2}\dfrac{{{\sigma _{\max }}}}{{{\sigma _{\rm{V}}}}}+1} \right)} \right]^{1/2}}\left( {1+Y(a_{\rm{T}})\sqrt {\dfrac{a_{\rm{T}}}{{2{r_{\rm{e}}}}}} } \right){\sigma _{\max }} ,\\ {K_{\min }} = {\left[ {{\text{π}} {r_{\rm{e}}}\left( {\sec \;\dfrac{{\text{π}} }{2}\dfrac{{{\sigma _{\min }}}}{{{\sigma _{\rm{V}}}}}+1} \right)} \right]^{1/2}}\left( {1+Y(a_{\rm{T}})\sqrt {\dfrac{a_{\rm{T}}}{{2{r_{\rm{e}}}}}} } \right){\sigma _{\min }} ,\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\Delta K = {K_{\max }} - {K_{\min }} ,\\ {f_{{\rm{op}}}} = \left\{ \begin{array}{l} \max \;\left\{ {R,{A_0}+{A_1}R+{A_2}{R^2}+{A_3}{R^3}} \right\},\;\;{\rm{ 0}} \leqslant {{R}} \leqslant {\rm{1.0}} ;\\ {A_0}+{A_1}R ,\qquad\quad\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{ - 2}} \leqslant {{R}} < {\rm{0}} ,\end{array} \right. \end{array} \!\!\!\!\!\!\!\right\}$

(3) $\left. \begin{array}{c} {A_0} = \left( {0.825 - 0.35\alpha +0.05{\alpha ^2}} \right) {\left[{\rm{cos}}\; { \left( {\dfrac{{\text{π}} {\sigma _{\max }}}{2{\sigma _{{\rm{fl}}}}}} \right)} \right]^{1/\alpha }} ,\\ {A_1} = (0.415 - 0.07\alpha ) {\sigma _{\max }}/{\sigma _{{\rm{fl}}}} ,\\ {A_2}{\rm{ = }}1 - {A_0} - {A_1} - {A_3}, \\ {A_3} = 2{A_0}+{A_1} - 1 ,\\ {\sigma _{{\rm{fl}}}} = ({\sigma _{\rm{Y}}}+{\sigma _{\rm{u}}})/2 ,\\ \alpha = \dfrac{1}{{1 - 2\nu }}+\dfrac{{1 - {1 / ({1 - 2\nu })}}}{{{{\left[ {1+088\;61 {{\left( {t/{{({K_{\max }}/{\sigma _{\rm{Y}}})}^2}} \right)}^{3.225\;1}}} \right]}^{0.759\;52}}}}, \end{array} \right\}$

(4) $\left. \begin{array}{l} {K_{\rm{C}}} \!=\! \left[ {\dfrac{{{{(1 \!-\! 2\nu )}^2}\!-\! \sqrt {1 \!-\! {\nu ^2}} }}{{{{(1 - 2\nu )}^2} - 1}} \dfrac{{{\text{π}} \lambda }}{{{{(1 - 2\nu )}^2}}}+\dfrac{{\sqrt {1 - {\nu ^2}} - 1}}{{{{(1 - 2\nu )}^2} - 1}}} \right] {K_{{\rm{IC}}}} ,\\ \lambda = \dfrac{{{{(1 - 1.65\nu )}^2}}}{5} - \dfrac{1}{{20{n{'}}}}{ {(1 - 1.65\nu )}^{{2 / {{n{'}}}}}}{\rm{+}} \\ \dfrac{{\dfrac{1}{{\text{π}} } \!-\! \dfrac{1}{{2.2{n{'}}}}{{\left( {\dfrac{1}{{\text{π}} }} \right)}^{{1 / {{n{'}}}}}} \!-\! \left( {\dfrac{{{{(1 \!-\! 1.65\nu )}^2}}}{5} \!-\! \dfrac{1}{{20{n{'}}}}{{ {{{(1 \!-\! 1.65\nu )}^{2/{n{'}}}}} }}} \right)}}{{{{\left( {1+\dfrac{{t/{{({K_{\max }}/{\sigma _{\rm{Y}}})}^2}}}{{1+1/{n{'}}}}} \right)}^{1.6+1/{n{'}}}}}} .\end{array} \!\!\!\!\!\right\}$

式中：a_T为裂纹长度； $A$为材料常数； $m$为裂纹扩展速率曲线斜率系数； $n$为不稳定断裂系数； ${K_{\max }}$为最大应力强度因子； $\Delta K$为应力强度因子幅； $\Delta {K_{{\rm{eff}}}}$为有效应力强度因子门槛值； ${K_{\rm{C}}}$为实际断裂韧性，与裂纹长度有关； ${K_{{\rm{IC}}}}$为材料的平面应变断裂韧性； ${r_{\rm{e}}}$为材料的固有缺陷；Y为几何修正系数；R为应力比；σ_max、σ_min为最大、最小应力； ${\sigma _{\rm{Y}}}$为材料的屈服应力； ${\sigma _{\rm{u}}}$为材料的极限强度; $\nu $为材料的泊松比；t为板厚； ${n{'}}$为材料的应变硬化系数； $\phi $为载荷次序修正因子（当其值为1.0时即退化为横幅载荷下疲劳裂纹扩展公式）.

Cui等^[22]采用虚拟强度 ${\sigma _{\rm{V}}}$来代替材料的屈服强度 ${\sigma _{\rm{Y}}}$，表达式如下：

(5) $\left. { \begin{split} &\left[ {1+{{Y({r_{\rm{e}}})} / {\sqrt 2 }}} \right]{\left[ {{\text{π}} {r_{\rm{e}}}\left( {\sec\; \dfrac{{{\text{π}} {\sigma _{\rm{u}}}}}{{2{\sigma _{\rm{V}}}}}+1} \right)} \right]^{1/2}}{\sigma _{\rm{u}}} = {K_{\rm{C}}},\\ &\qquad\dfrac{{{\sigma _{\rm{V}}}}}{{{\sigma _{\rm{u}}}}} = \dfrac{{\text{π}} }{2} \dfrac{1}{{{\rm{arccos}}\;\left( {\dfrac{1}{{{\alpha '^{2}} - 1}}} \right)}},\\ &{\alpha {'}} = \dfrac{{{K_{\rm{C}}}}}{{{\sigma _{\rm{u}}}\sqrt {{\text{π}} {r_{\rm{e}}}} \left[ {1+{{Y({r_{\rm{e}}})} / {\sqrt 2 }}} \right]}} > \sqrt 2 . \end{split}} \right\} $

虚拟强度代表 ${r_{\rm{e}}}$=0时的材料强度，而材料极限强度 ${\sigma _{\rm{u}}}$代表 ${r_{\rm{e}}}$>0时的材料强度.

高载后出现的低载将削弱迟滞效应，但是如果先出现低载，对裂纹扩展无明显影响^[23]，所以将模型表示为高载产生的塑性区 ${r_{{\rm{OL}}}}$减去低载产生的塑性区 ${r_{{\rm{UL}}}}$，则载荷次序修正因子 $\phi $表达式为

(6) $\;\phi \!=\! \left\{\!\!\!\! \begin{array}{l} {\left( {\dfrac{{{a_{{\rm{OL}}}}\!+\!{r_{{\rm{OL}}}} \!-\! {r_{{\rm{yi}}}} \!-\! {r_{{\rm{UL}}}}}}{{{a_{\rm{i}}}}}} \right)^\gamma },\;{a_{{\rm{OL}}}} \!\leqslant \! {a_{\rm{i}}}\! \leqslant\! {a_{{\rm{OL}}}}\!+\!{r_{{\rm{OL}}}} \!-\! {r_{{\rm{yi}}}} \!-\! {r_{{\rm{UL}}}}; \\ 1,\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;{a_{\rm{i}}} > {a_{{\rm{OL}}}}+{r_{{\rm{OL}}}} - {r_{{\rm{yi}}}} - {r_{{\rm{UL}}}} .\end{array} \!\!\!\right.$

(7) $ \left. \begin{array}{l} {r_{{\rm{OL}}}}{\rm{ = }}\alpha {\left( {\dfrac{{{K_{\max \!{\rm{OL}}}}}}{{{\sigma _{\rm{Y}}}}}} \right)^2},\;{r_{{\rm{yi}}}} = \alpha {\left( {\dfrac{{\Delta {K_{\rm{i}}}}}{{2{\sigma _{\rm{Y}}}}}} \right)^2},\\ {r_{{\rm{UL}}}}{\rm{ = }}\alpha {\left( {\dfrac{{\Delta {K_{{\rm{UL}}}}}}{{2{\sigma _{\rm{Y}}}}}} \right)^2} = \alpha {\left( {\dfrac{{{K_{{\rm{minCAL}}}} - {K_{{\rm{minUL}}}}}}{{2{\sigma _{\rm{Y}}}}}} \right)^2}. \end{array} \right\} $

式中： $\gamma $为载荷效应指数， ${a_{{\rm{OL}}}}$为超载时的裂纹长度， ${r_{{\rm{OL}}}}$为超载时裂纹尖端塑性区大小， ${r_{{\rm{UL}}}}$为低载时裂纹尖端塑性区大小， ${r_{{\rm{yi}}}}$为当前时刻裂纹尖端塑性区大小，a_i为当前时刻下的裂纹长度，ΔK_i为当前时刻下的应力强度因子幅， ${K_{{\rm{maxOL}}}}$为超载时的最大应力强度因子， ${K_{{\rm{minCAL}}}}$为横幅载荷下的最小应力强度因子， ${K_{{\rm{minUL}}}}$为低载时的最小应力强度因子.

建立疲劳裂纹扩展的DBN模型，须确定模型中的不确定性参数. 疲劳裂纹扩展中的不确定性因素分为3种类型^[24]：检测数据的不确定性、材料物理属性的不确定性和裂纹扩展模型的不确定性，如图1所示.

1）检测数据的不确定性. 疲劳裂纹扩展DBN模型最重要的是载荷和裂纹信息输入，而结构所受到的载荷和裂纹信息则需要传感器进行信息采集，因此存在由于传感器精度导致的测量误差.

2）材料物理属性的不确定性. 裂纹扩展速率与材料性能有较大的关系，而材料性能受到较多因素的影响，如制造工艺、元素比重. 对于UFLP来说， ${K_{{\rm{IC}}}}$和 $\Delta {K_{{\rm{eff}}}}$虽然可以通过试验获得具体数值，但是在同一实验条件下获得的结果具有分散性，而且相关参数还会随着应力比的变化而变化^[25].

3）模型的不确定性. UFLP中模型系数 $A$、 $m$、 $n$和 $\gamma $须通过裂纹扩展试验数据进行拟合得到^[26]，而对于具体某种结构来说可能缺乏足够的实验数据. 同时应力强度因子的几何修正系数 $Y$是经验公式，对于实际结构来说可能存在较大误差.

模型系数的不确定性是裂纹预测精度不足的重要原因之一. 影响裂纹扩展速率的参数较多，如果全部考虑完全这些参数，会使模型变得臃肿复杂，因此须对模型参数进行敏感度分析，将低敏感度的参数定义为固定值，提高模型整体计算效率.

Wang等^[27]根据钛合金TC4-ELI在横幅载荷下的实验数据，在将扩展速率曲线斜率系数 $m$视为定值的前提下对UFLP中大部分参数进行敏感度分析. 计算结果显示在每个参数单独作为变量时，试件的疲劳寿命随材料参数 ${\sigma _{\rm{Y}}}$、 ${\sigma _{\rm{u}}}$、 ${\sigma _{\rm{V}}}$、 ${K_{{\rm{IC}}}}$、 ${r_{\rm{e}}}$以及 $n$的变化略有分散，随着 $\Delta {K_{{\rm{eff}}}}$、 $A$以及裂纹初始值 ${a_0}$的变化分散性较明显. Wang等^[27]没有对参数 $m$和载荷效应指数 $\gamma $进行敏感度分析，本研究选用Schijve等^[28]对初始裂纹为 $2a = 10\;{\rm{mm}}$的中心裂纹D16Cz合金板进行的疲劳裂纹扩展实验的数据，对这2个参数进行研究. 根据Chen等^[23]所采用的非线性最小二乘拟合方法，得到用作敏感度分析的模型相关参数的基准值，如表1所示. 如图2、3所示为参数 $m$、 $\gamma $对疲劳寿命的影响. 图中，N为循环次数. 可以看出，参数 $m$、 $\gamma $对疲劳寿命的影响也较为明显. 对于采用UFLP模型来构建DBN模型来说，选择参数 $A$、 $m$、 $\Delta {K_{{\rm{eff}}}}$、 $\gamma $、 ${a_0}$作为不确定性参数，而其他的参数可以定义为固定值.

对于均匀拉伸的中心裂纹板，裂纹几何形状因子表达式^[29]如下：

(8) $Y(\tau ) = \sqrt {\sec\; \left( {{{\text{π}}\tau }/{2} } \right)}. $

式中： $\tau = 2a/W$， $a$为裂纹半长值， $W$为板宽.

不同材料几何形状因子计算公式存在一定的误差，所以将公式修改为

(9) $Y(\tau ) = \xi \sqrt {\sec \;\left( {{{\text{π}}\tau }/{2} } \right)}. $

式中： $\xi $为形状因子误差修正系数.

综上，选取 $A$、 $m$、 $\Delta {K_{{\rm{eff}}}}$、 $\gamma $、 ${a_0}$、 $\xi $这6个参数作为DBN模型的不确定参量.

根据UFLP以及上文分析的不确定性因素对于疲劳裂纹预测的敏感度，建立如图4所示的DBN的疲劳裂纹扩展模型. 采用3种不同类型的节点来构造DBN模型：1）函数节点代表确定性函数；2）随机节点表示变量对于父节点是随机的，具有不确定性，即模型的不确参量；3）观测节点为系统的输入部分，即传感器采集到的载荷信息以及检测到的裂纹长度信息. 每个时刻的BN模型节点之间采用实心箭头相连，表示这个时刻内确定性的传播计算，而相邻的时间片节点之间采用虚箭头相连接，表示节点随时间变化的影响. 根据UFLP，由传感器采集的载荷信息 $F$直接决定等效应力因子幅 $\Delta K$以及载荷次序修正因子 $\theta $，而这2个随机节点还和不确定性参量 $\gamma $和 $\xi $有关；将上述节点以及随机节点 $A$、 $m$、 $\Delta {K_{{\rm{eff}}}}$代入裂纹扩展速率公式，得到当前时刻的裂纹长度，通过与当前时刻的裂纹观测值进行对比，得到下一时刻的裂纹初始值. 在每一个时间片计算中其他的参数如 $n$、 ${K_{{\rm{IC}}}}$、 ${\sigma _{\rm{V}}}$被均被视为定值进行计算. 其中须注意的是，上文分析得到的6个不确定性模型参数应该采用6个节点来表示，为了使模型简洁，将与计算裂纹扩展速率相关的参数 $A$、 $m$用节点 $\theta $表示. 另外，当在 $t - 1$时刻检测到裂纹的半长值观测值 $a_{t - 1}^{{\rm{obs}}}$时，则下一时刻的裂纹初始值 $a_{{t}}^{\rm{0}}$= $N\left( {a_{t - 1}^{{\rm{obs}}},\sigma ^2} \right)$， $\sigma ^2 $为测量误差；如果在 $t - 1$时刻没有检测到裂纹的半长值观测值，则下一时刻的裂纹初始值 $a_t^0$= ${a_{t - 1}}$.

在建立裂纹扩展的DBN模型后，便完成了裂纹在时序过程中的传播计算，但是由于存在多个不确定性变量，原模型预测会逐渐偏离实际值. 因此，须采用合适的推理算法对模型中随机节点进行更新，从而减小状态变量的不确定性带来的影响^[30].

采用PF算法作为DBN推理算法. PF主要是在不确定性节点的后验概率中抽取随机状态粒子来表示，通过赋予这些粒子权重，然后根据向模型中输入的观测信息来比较各个粒子计算的偏离程度，迭代更新粒子权重，去除小权重的粒子，逐渐逼近真实后验分布^[31].

根据UFLP，如果预测间隔 $\Delta N$较小，得到疲劳裂纹扩展过程的状态方程：

(10) ${a_k} = {a_{k - 1}} + \frac{{A{{\left[ {{K_{\max }} (1 - \phi {f_{{\rm{op}}}}) - \Delta {K_{{\rm{eff}}}}} \right]}^m}}}{{1 - {{({K_{\max }}/{K_{\rm{C}}})}^n}}} \Delta N.$

系统的测量方程为

(11) ${y_k} = {h_k}({x_k},{n_k}).$

式中： $k$为时刻；y为真实测量到的裂纹信息；h为系统的测量方程，即采用传感器或者目测法采集到的裂纹信息；n为系统的测量噪声.

DBN中存在多个不确定性因素，这些因素之间可能互相存在影响. 在生成粒子时，首先将S个不确定性因素每个都独立生成N个粒子，将各个不确定因素生成的粒子进行随机组合，形成N个模型参数组合，即 ${X_{1:N}} = \{ {x_1},{x_2},\cdots,{x_S}\} $，其中 ${x_t}(t = 1:S)$为第 $t$个不确定因素生成粒子的随机值. 通过将模型参数组合 ${X_k}$带入DBN中，得到结构裂纹扩展的状态 ${a_k}$.

$k$时刻结构裂纹状态值可以表示为 $p({a_{0:k}}|{y_{1:k - 1}}) = \displaystyle\sum\nolimits_{{{i = 1}}}^{{N}} { w_k^{}} \delta \left( {{a_{0:k}} - a_{0:k}^i} \right)$，其中， $a_{0:k} $为从初始状态到k时刻的裂纹真实值， $a_{0:k}^i$为第 $i$个模型参数组合下从初始状态到k时刻的裂纹估计值， $w_k$为粒子的权重， $\delta $为 $X_{0:k}^i$的增量函数.

重要性权值 ${ w} _k^i$采用序列重要采样取值：

(12) $ w_k^i = w_{k-1}^i\frac{{p\left( {{y_k}|a_k^i} \right)p\left( {a_k^i|a_{k - 1}^i} \right)}}{{q\left( {a_k^i|a_{0:k - 1}^i,{a_{1:k}}} \right)}}.$

式中：p为后验分布函数，q为重要性分布函数.

随着更新过程的不断迭代，会产生粒子的退化现象. 采用重采样的方法来避免这种情况发生，具体思想为：权值大的粒子会被复制，权值小的粒子会被去除. 重采样后的所有粒子的权值均变为 $1/N$. PF计算流程如图5所示.

采用Borrego等^[32]对含有中心穿透裂纹的宽为50 mm、长为200 mm、厚度为3 mm的AlMgSi1 -T6（6082）铝合金面板进行疲劳裂纹实验数据. 材料具体的成分组成和物理性能参数如表2、3所示.

采用液压机对初始裂纹长度为 $2a = 12\;{\rm{mm}}$中心裂纹铝合金板施加循环载荷，如表4所示. 表中，S_OL为最大应力.

基于DBN的疲劳裂纹扩展模型主要目的是通过推理更新校准不确定性参数的数值，实现对疲劳裂纹扩展的动态跟随和当前时间节点裂纹状态的准确获知. 在执行贝叶斯推理前须由疲劳裂纹扩展实验得到各个参数的先验分布. 本例中假设初始裂纹长度为确定值，而其余各个参数的先验分布被定义为： ${{{A}}_{{{t = }}1}}\sim U(1{\rm{ \times 10^{-9},7\times 10^{-9}}})$， ${{{m}}_{{{t = }}1}}\sim U(1{\rm{,4}})$， $\Delta {{{K}}_{{{{\rm{eff}} t = 1}}}}\sim U(0,3)$， ${\gamma _{{{t = 1}}}}\sim U(0,21)$， ${\xi _{{{t = 1}}}}\sim U(0.7,1.5)$. 将各个参数按照其概率分布函数生成2000个粒子，进行随机组合后带入模型进行计算. 此外，假设在每一步存在真实载荷的输入，并且只有在循环次数为6000、12000、18000、24000处测量得到裂纹半长值观测值，通过在这些时刻向模型输入真实裂纹观测数据与测量噪声 $N(0,{0.000\;6^2})$，进行PF推理计算.

如图6~10所示为各个参数在得到观测值后得到的概率分布密度函数（probability density function，PDF）. 可以看出，在每一次推理后参数的不确定度都会逐渐降低. 须注意的是，只有当有裂纹观测值输入时，不确定性参数的分布才会随之改变；载荷节点与随机节点之间是没有关系的，所以载荷输入不影响不确定性参数的分布状态.

如图11所示为通过非线性最小二乘法拟合（nonlinear least-square fitting，NLSF）得到的参数进行裂纹预测和采用DBN进行裂纹预测的对比图. 结果表明，由于各个参数的不确定性，裂纹长度的误差会在每个检测点间隔内逐渐叠加累积，所以在第1个检测点处，由于参数的先验分布平均值偏离实际值较大，DBN预测的结果比真实值偏离3.14 mm，而NLSF预测结果与真实值相差0.03 mm；在第1个检查点处采用PF算法，参数的不确定度显著降低，所以在之后的2个检查点处2种方法计算得到的预测值基本一致；在第4个检测点处，PF预测结果与真实值相差0.27 mm，而NLSF预测结果与真实值相差2.36 mm. 可以看出，本研究所提方法可以有效减小不确定因素给裂纹扩展预测带来的影响，实现在变幅载荷下对裂纹扩展过程进行实时动态跟随和预测.

本研究应用动态贝叶斯网络解决疲劳裂纹预测过程中存在不确定性因素干扰的问题，基于UFLP模型，通过分析不确定因素对于疲劳裂纹扩展过程的敏感度，建立变幅载荷下的疲劳裂纹扩展DBN模型. 通过向DBN模型中输入真实裂纹数据，采用PF算法实现真实数据与预测数据的相互融合，即采用真实数据逐步修正裂纹扩展预测过程中所存在的不确定因素以提高裂纹预测结果的准确度，完成对于结构疲劳裂纹扩展的动态跟随和准确预测. 从算例结果可以看出，采用所提方法可以让裂纹扩展过程中的预测模型相关参量的不确定度随着检查点次数的增加而逐渐减小，因此本研究所提方法与传统的拟合方法相比具有更好的预测精准度.

后续的工作主要有两部分：在变幅载荷下的疲劳裂纹扩展DBN模型基础上考虑实际结构中常受到的混合载荷作用下的疲劳裂纹扩展规律；将混合载荷作用下应力强度因子计算方法与DBN模型进行相互融合，实现对于任意载荷情况下疲劳裂纹的扩展预测.