无线传感器网络技术是分布式传感网络，末梢由可以感知和检测外部环境的传感器组成^[1]. 得益于微机电技术、片上系统、无线通讯及低功耗嵌入式技术的快速发展，无线传感器网络技术已广泛应用于军事、智能交通、环境监控等领域. 无线传感器节点一般由存储器模块、控制器模块、传感器模块、通信模块及能量供应模块组成. 其中能量供应模块是无线传感器网络长期有效工作的保证，无线传感器网络技术的特殊作业环境及应用场景为定期更换电池带来很大的不便，因此无线传感器节点的能源供给问题必须得到解决. 压电式振动能量采集技术因其结构简单、能量转换效率较高等优点，从众多自供能解决方案中脱颖而出^[2-3].

目前，国内外压电式振动能量采集技术的研究主要是在降低压电振子固有频率的基础上，以提高压电振子的频率覆盖范围及输出功率为目标，从线性及非线性2个方面提出多种能够实现低宽频能量捕获的压电结构^[4]. 谢涛等^[5]通过调节传统线性矩形压电悬臂梁的尺寸参数，线性排列组合成阵列式复合振子，实现带宽为56~65 Hz，在载荷为60 Hz，外接负载电阻为820 Ω时最大输出功率达到4.9 mW；由于矩形悬臂梁相邻2阶模态频率之间差距较大，导致在0~250 Hz环境低频下只能实现一个带宽. Ramalingam等^[6]设计具有可变横截面和锥形腔的大小梁结构，通过优化结构尺寸使第2阶谐振频率接近第1阶谐振频率，在维持大、小梁的质量比不变的情况下，可以获得更宽的采集频率范围，通过改变引入的锥形腔的厚度提高输出电压的幅度，从而提高输出的功率，但由于大小梁横向布局及锥形腔的特点导致该结构体积较大而不易实用. Owens等^[7]将非线性单稳态与线性系统进行比较，结果表明，非线性耦合可以用于扩大频率响应，Rezaei等^[8-9]提出很多应用于单稳态的系统，但单稳态在随机激励情况下，表现不佳，难以应用于实验室以外的实际环境中. Su等^[10]研究设计双稳态非线性压电能量采集器，采用末端带有磁铁的双压电悬臂梁，通过磁铁间的相互作用力，使系统达到双稳态的效果，工作频率范围由无磁铁的12~16 Hz扩大至8~16 Hz，有效拓宽频率范围，且输出功率是同等线性系统的287%. Dehrouyeh-Semnani等^[11-13]相继提出双稳态、多稳态系统，虽然可以解决单稳态系统随机激励表现不佳的缺点，但需要更大的激励水平以度过双稳态间的过渡期，且设计该系统前须提前了解激励详细情况. Masana等^[14]从施加预载荷，改变压电振子结构性能的角度出发，在悬臂梁的自由末端施加轴向预载荷；实验结果表明，施加预载荷可以用于调谐、放大外部激励，改变系统的有效工作频率带宽，但预加载技术的弊端体现在需要额外的机械部件以施加载荷，且需要手动调节，难以得到实际应用. Yang等^[15-17]开展非线性宽频能量采集研究，表明非线性可以有效地增大工作频率带宽，但非线性需要外加磁力，且单一非线性振子带宽较窄. 复合式非线性多模态振子虽然可以进一步拓宽频带，但由于磁力的影响，对环境激励幅度变化的感应能力较差，存在一定的局限性.

针对以上不足，本文提出耦合弯曲-剪切载荷的L型压电振子，建立分布式参数模型. 通过仿真分析，研究长、宽、延伸段长度等因素对压电式振动能量采集效率的影响规律. 研究并设计L型多模态阵列式复合振子，与传统悬臂梁进行对比，通过试验以验证理论仿真结果的准确性.

考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这2个因素都会使得梁的固有频率降低^[18]. 为了满足环境频率低、发散的特点，提出如图1所示的L型压电悬臂梁. 在传统悬臂梁的基础上，在悬臂梁基片末端上多出一块长度为b、宽度为c、厚度与主体压电梁厚度保持一致的长方体，相较于传统悬臂梁，L型压电悬臂梁放大了弯曲悬臂梁剪切变形及弯曲转动惯量的影响. 根据Timoshenko梁理论建立分布式参数模型，L型压电振子的能量转换模型如图1所示.

图1中，θ为90°。因为所设计L型压电悬臂梁末端未增加质量块，在实际振动过程中，扭转变形较小，可以忽略. 压电悬臂梁的激励来源为基座处基础位移载荷，为了考虑简化力学模型，将基础位移载荷等效为分布式负载. 在不考虑内部及外部阻尼的情况下，基于Timoshenko梁理论^[19]，建立L型能量采集器分布式参数模型：

(1) $\left. {\begin{array}{l} {E_1}{I_1}\dfrac{{{\partial ^4}{y_1}\left( {{x_1},t} \right)}}{{\partial {x_1}^4}} + {\rho _1}S\dfrac{{{\partial ^2}{y_1}\left( {{x_1},t} \right)}}{{\partial {t^2}}} - {\rho _1}{I_1}\left( {1 + \dfrac{{{E_1}}}{{\kappa G}}} \right)\dfrac{{{\partial ^4}{y_1}\left( {{x_1},t} \right)}}{{\partial {x_1}^2\partial {t^2}}} - \dfrac{{{\rho _1}^2{I_1}{\partial ^4}{y_1}\left( {{x_1},t} \right)}}{{\kappa G\partial {t^2}}}{\rm{ = }}q\left( {{x_1},t} \right)+ \\ \quad \quad \dfrac{{{\rho _1}{I_1}}}{{\kappa SG}}\dfrac{{{\partial ^4}{y_1}\left( {{x_1},t} \right)}}{{\partial {t^2}}} - \dfrac{{{E_1}{I_1}}}{{\kappa SG}}\dfrac{{{\partial ^2}q\left( {{x_1},t} \right)}}{{\partial {x_1}^2}}, \\ {E_2}{I_2}\dfrac{{{\partial ^4}{y_2}\left( {{x_2},t} \right)}}{{\partial {x_1}^4}} + {\rho _2}S\dfrac{{{\partial ^2}{y_2}\left( {{x_2},t} \right)}}{{\partial {t^2}}} - {\rho _2}{I_2}\left( {1 + \dfrac{{{E_2}}}{{\kappa G}}} \right)\dfrac{{{\partial ^4}{y_2}\left( {{x_2},t} \right)}}{{\partial {x_2}^2\partial {t^2}}} - \dfrac{{{\rho _2}^2{I_2}{\partial ^4}{y_2}\left( {{x_2},t} \right)}}{{\kappa G\partial {t^2}}}{\rm{ = }} \\ \quad \quad q\left( {{x_2},t} \right) + \dfrac{{{\rho _2}{I_2}}}{{\kappa SG}}\dfrac{{{\partial ^4}{y_2}\left( {{x_2},t} \right)}}{{\partial {t^2}}} - \dfrac{{{E_2}{I_2}}}{{\kappa SG}}\dfrac{{{\partial ^2}q\left( {{x_2},t} \right)}}{{\partial {x_2}^2}}, \\ \dfrac{{{\varepsilon^{\rm{s}} _{33}}{b_{\rm{p}}}L}}{{{h_{\rm{p}}}}}\dfrac{{{\rm{d}}V(t)}}{{{\rm{d}}t}} + \dfrac{{V(t)}}{{{R_{\rm{L}}}}} + \displaystyle\int\limits_0^a {{d_{31}}{E_{\rm{p}}}{h_{{\rm{p}}{\rm{c}}}}{b_{\rm{p}}}{\mu _{\rm{b}}}\dfrac{{{\partial ^2}{y_1}\left( {{x_1},t} \right)}}{{\partial {x^2}\partial t}}} {\rm{d}}x = 0. \end{array} } \right\}$

式中：E₁、E₂分别为压电梁与延长梁的弹性模量；y₁（x₁，t）、y₂（x₂，t）分别为压电梁与延长梁的位移；ρ₁、ρ₂分别为压电梁与延长梁的密度；S为悬臂梁截面面积；I₁、I₂分别为两段梁的截面惯性矩；к为Timoshenko梁系数，由形状决定，通常悬臂梁取值为5/6；G为切变模量；q（x₁，t）、q（x₂，t）分别为作用于两段梁之上的分布式载荷；V（t）为输出电压；R_L为压电复合振子等效电阻； ${\varepsilon }_{33}^{\rm s }$为常应变下的介电常数；d₃₁为压电应变常数；h_pc为压电中间层到中心轴的距离；μ_b为压电梁的泊松比；b_p、L、h_p分别为压电陶瓷的宽度、长度及厚度；E_p为压电陶瓷的弹性模量. 除了以上参数之外，影响边界条件取值的参数还包括a、b及c.

使用COMSOL Multiphysics 5.4多物理场耦合有限元软件，开展压电振子机械能-电能转换的仿真. 分别分析单一悬臂梁及复合阵列式悬臂梁的压电耦合效果，明确结构尺寸对压电收集系统的影响规律及压电能量收集效果.

有限元模型如图2所示，边界条件为基座底部固定支撑，其余各部分不作约束. 载荷采取体载荷方式施加简谐载荷，作用于压电振子结构本身，方向沿重心所在方向竖直上下振动. 双晶压电振子压电陶瓷上下外表面设置为接地端，与悬臂梁基板接触表面设置为输出端. 压电振子由压电陶瓷、悬臂梁基板和基座组成. 由于PZT-5H的耦合系数高，介电常数高和时间常数大，选作压电陶瓷材料. 铍青铜在相同条件下具有良好的导电性、大变形、耐疲劳和耐腐蚀性、高强度和良好的弹性，选为悬臂梁材料. 因ABS具有强度高，密度低和成本低的特性，选作基座材料，详细的材料参数如表1所示. 表中，ρ为密度，μ为泊松比，E为弹性模量.

由理论分析可知，影响单L型压电悬臂梁能量采集效果的尺寸参数主要有a、b及c. 以环境低频（0~250 Hz）下模态频率个数n_f、第一阶模态频率处输出电压V₁、第二阶模态频率处输出电压V₂为评估L型压电振子的性能指标，基于压电耦合仿真采用正交试验方法确定a、b、c 3个参数对能量收集的影响规律及优先级. 在满足许用载荷以及从应用角度出发考虑整体复合结构紧凑性的前提下，L₁₆（4⁵）正交试验设计与结果如表2所示.

经过计算可知，a、b、c对n_f的极差分别为0.50、0.75、0.25，对V₁的极差分别为1.15、1.20、4.35，对V₂的极差分别为1.35、2.05、0.50。由结果可知，在满足许用载荷的情况下，对固有频率、输出电压的综合影响顺序为b>a>c.

由正交试验的均匀分散、齐整可比的特点可知，16组压电振子分析前4阶次模态频率分布曲线、输出电压-频率分布曲线以及能量转换率-频率分布曲线分别如图3~5所示. 图中，O为谐振频率阶次，f为频率，E_ff为能量转换率. 从图3~5可知，当a逐渐增大时，固有频率会随着系统刚度的降低而逐渐降低，但电压输出会逐渐集中在1阶固有频率附近.

随着b的增大，悬臂梁的模态频率呈明显下降的趋势，且1、2阶模态频率逐渐逼近. 能量逐渐从1阶谐振频率处倾斜到2阶频率处，出现1阶频率与2阶频率处电压相等甚至后者更高的情况.

当c逐渐增大时，梁固有频率会随着系统刚度的增加而逐渐提高，且能量转化率的峰值会逐渐向1阶频率处偏移.

由于结构的特殊性，与传统的矩形压电振子相比，L型压电振子在尺寸上具有附加的延伸长度b. 根据正交实验和极差分析的结果可知，与a和c相比，b对压电能量收集性能具有最大的影响程度，有必要研究b的变化对该压电振子的影响. 设计a=105 mm，c=25 mm，b以20 mm为间隔从5 mm依次到185 mm共计10组的单因素仿真实验. 从图6、7可知，在满足许用载荷的情况下，随着b的逐渐增大，L型压电振子的相邻阶频率差值逐渐减小并呈现出线性上升趋势；在较高阶频率处（如2阶）的输出电压逐渐高于前一阶频率（如1阶）处的输出电压. 在实际应用时，可以在满足许用载荷的情况下，不改变其他尺寸，适当地调节关键尺寸b，可以调节L型压电振子能量捕获的频率区域及重心.

单一压电悬臂梁因为收集带宽窄、峰值能量低等不足难以实际应用，环境频率一般具有低频、复杂多变等特点. 为了提高压电能量采集的实用性，需要增大悬臂梁频率覆盖范围，提高能量采集的效率.

如图8所示，根据L型压电振子的结构特点，通过回字型方式组合多组L型压电悬臂梁以设计紧凑型复合结构，外圈4个L型悬臂梁较内圈长，b的尺寸变化区间大，固有频率较内圈更低，因此外圈可以作为低频区，内圈作为高频区. 如表3所示为内、外圈8个L型压电悬臂梁结构尺寸，制作长、宽及厚度与表3一致，b为0的传统阵列式悬臂梁复合振子作为对照组，对比曲线图如图9所示. 可知，L型压电复合振子的频率覆盖范围相比传统阵列式压复合振子在0~80 Hz下增加266%，在120~160 Hz下增加260%.

在现实环境中，环境振动载荷加速度大多为0~2.0g，因此分析载荷加速度分别为0.5g、1.0g、1.5g、2.0g时复合阵列式压电振子的电压分布情况. 如图10所示，在一定程度上，加速度A越大，输出电压越大，但频率范围基本保持不变.

为了验证理论仿真计算的正确性，建立如图11所示的压电振子实验平台系统. 系统主要由扫频信号发生器（YE1311E）、NI9234信号采集卡、LabVIEW信号分析软件、L型压电振子、模态激振器（JZK-2）组成. 系统运行原理如下：扫频信号发生器可以产生一个频率与幅值可调的简谐信号来驱动模态激振器产生振源，L型压电振子经压电效应转换振动机械能为电能，输出电压由NI采集卡采集，经LabVIEW信号分析软件分析输出电压信号.

由理论分析可知，在L型压电振子尺寸参数中，b的长度影响程度高于a及c，制作a为105 mm，c为33 mm，总体厚度为0.9 mm，b分别为0、5、25、45、65、85及105 mm共7个L型压电振子的单因素实验，材料参数与表1一致，信号发生器发出频率为0~250 Hz，加速度为g的正弦信号. 如图12所示为以上7个L型压电振子实验的输出电压分布图. 可以看出，L型压电悬臂梁相对于传统的悬臂梁（b=0时），具有输出电压高、频率低、相邻模态频率间隔小等优点.

通过实验验证了理论仿真计算的结果. 在满足许用载荷的情况下，随着b的增大，相邻模态频率之间的距离逐渐缩小，且第2阶模态频率处的输出电压逐渐增加；当b增大至105 mm时，L型压电振子第4阶模态频率低于250 Hz.

按照表3的尺寸参数分别制作8个L型压电振子，按照图8进行固定，组合成如图13所示的压电复合阵列式多模态振子. 信号发生器发出频率为0~250 Hz，载荷加速度为g的正弦信号. 如图14所示为该振子实验的输出电压分布图. 可以看出，复合阵列式多模态L型压电振子输出电压能量的总体趋势一致，在0~250 Hz下存在多个能量捕获频率区域，分别为28~36 Hz、61~68 Hz、92~99 Hz以及103~111 Hz.

实验结果较仿真结果存在一定的频率偏移、电压幅值降低的现象. 结合实验经验，考虑导致该现象的主要原因如下：1）压电振子在制作时存在一定的尺寸及装配误差；2）实验中基座在安装时螺母的夹紧程度对谐振频率产生一定的影响；3）实验与仿真中材料阻尼的变化差异.

（1）在材料参数及载荷一定的情况下，延伸段长度相较于长度及宽度在压电振子能量转换表现方面有着更直接的影响.

（2）在满足悬臂梁的许用载荷的前提下，随着延伸段长度的增加，相邻阶模态频率之间的差距逐渐缩小，最终呈线性增长趋势.

（3）与传统矩形悬臂梁阵列式压电复合振子相比，基于L型的复合振子能够有效地拓宽频率范围；由于多模态的特性，可以有效划分环境频率，在不同频率区间内实现宽频能量采集的效果. 如按照表3的尺寸参数，采用图8的复合振子结构布局，能量采集频率为28~36 Hz、61~68 Hz、92~99 Hz以及103~111 Hz，易于实现与环境振动频率匹配，以提高压电能量采集效率.