烟气消白工艺中所采取的烟气换热器有回转式烟气换热器和中间介质型烟气换热器 (media gas-gas heat exchanger, MGGH). 回转式烟气换热器本身的腐蚀、堵塞问题较严重，运行成本高. MGGH可以消除烟囱尾部烟羽，减轻电除尘器之后设备的腐蚀，且不存在冷热烟气短路造成SO₂泄漏的问题，因此MGGH被视为烟气消白工艺中的理想换热系统^[1-2]. MGGH主要由烟气冷却器 (gas cooler)、烟气再热器 (gas heater) 和中间热媒循环水系统组成. 由于冷却器和烟气再热器的运行工况不同，两换热器换热材料的寿命不同，造成换热材料的单位面积年成本不同. 优化MGGH换热器的运行工况，可以优化MGGH的材料成本.

目前，换热器研究主要针对换热器结构、流道、换热管管型等方面进行优化^[3-8]. 韩联进等^[3]使用二分法，求解电动客车热泵空调系统稳态仿真模型. 徐坚等^[4]提出并验证了最佳负荷的设计方法. 王立新等^[5]基于板式换热器的特点，提出热工选型和优化算法.

针对换热器材料及成本优化的研究较少，但工业生产过程使用的合金材料种类繁多,价格差异大，在满足生产需求的前提下，合理选择合金种类、控制运行参数对降低成本至关重要^[9]. 张乾坤等^[10]针对典型的简单换热网络，分析得到冷热流体的传热温差与总费用的关系式，得出最优传热温差的计算方法及过程. Caputo等^[11]优化了管式换热器的制造成本. 刘鹏等^[12]以换热量成本比为优化目标，分析换热器结构参数变化对冷凝器性能的影响. 研究表明，换热成本比随翅片厚度、翅片间距和管内径的减小而增大. 陈文理^[13]对MGGH在1 000 MW机组中的应用进行技术和经济性分析. Rahimi等^[14-15]给出不同换热器面积下不同换热管材料的板式换热器成本函数.

综上所述，本文基于换热器设计理论和工程造价理论中的材料成本计算方法，建立MGGH材料成本模型和无量纲材料成本模型，给出中间媒介最优初始温度和最优温差数值解.

MGGH主要由烟气冷却器、烟气再热器和中间热媒循环水系统组成，换热原理如图1所示.

MGGH是一个闭式循环系统. 烟气冷却器布置于电除尘入口，未除尘烟气经过烟气冷却器由120~155 ℃降低至80~95 ℃. 烟气再热器布置于脱硫塔出口，脱硫除尘后的低温高湿烟气经过烟气再热器由30~50 ℃加热至80~90 ℃. 对于中间媒介，烟气冷却器入口温度与烟气再热器出口温度相同，烟气冷却器出口温度与烟气再热器进口温度相同. MGGH传热模型^[16-17]可以简化为

(1) ${\varPhi _{\rm{C}}} = {k_1}{A_{\rm{H}}}{\psi _1}\Delta {t_{{\rm{m}},1}},$

(2) ${\varPhi _{\rm{H}}} = {k_2}{A_{\rm{C}}}{\psi _2}\Delta {t_{{\rm{m}},2}},$

(3) ${\varPhi _{{\rm{w}},1}} = {q_{m,1}}{c_1}\Delta {t_1} = {\varPhi _{\rm{H}}},$

(4) ${\varPhi _{{\rm{w}},2}} = {q_{m,2}}{c_2}\Delta {t_2} = {\varPhi _{\rm{C}}},$

(5) ${\varPhi _{\rm{w}}} = {q_{m,{\rm{w}}}}{c_{\rm{w}}}{\rm{\Delta }}{t_{\rm{w}}},$

(6) $\Delta {t_1} = {t_{11}} - {t_{12}},$

(7) $\Delta {t_2} = {t_{22}} - {t_{21}}.$

MGGH总传热面积为

(8) $A = \frac{{{\varPhi _{\rm{C}}}}}{{{\psi _1}{k_1}\Delta {t_{{\rm{m}},1}}}} + \frac{{{\varPhi _{\rm{H}}}}}{{{\psi _2}{k_2}\Delta {t_{{\rm{m}},2}}}}.$

式中：Φ为换热量，k为传热系数，A为传热面积，ψ为小于1的修正系数，Δt_m为给定的冷热流体逆流时的对数平均温差，c为比热容，Δt为算数温差，下标H、C分别表示烟气再热器及烟气冷却器，下标1、2、w分别表示热流体、冷流体和中间媒介.

当2台换热器使用相同材料，MGGH总传热面积反映了换热器的材料成本. 当2台换热器使用不同材料时，换热器的选材存在最优问题.

将2台换热器的传热面积乘以材料单位面积成本系数作为换热器的材料成本，因此MGGH总材料成本为

(9) $C = \frac{{{W_1}{\varPhi _1}}}{{{\psi _1}{k_1}\Delta {t_{{\rm{m}},1}}}} + \frac{{{W_2}{\varPhi _2}}}{{{\psi _2}{k_2}\Delta {t_{{\rm{m}},2}}}}.$

式中：C为材料年成本，W₁、W₂分别为烟气冷却器和烟气再热器的单位面积年成本.

考虑中间媒介温度对烟气冷却器及烟气再热器的换热系数和对换热温差的影响，为了简便优化模型，作以下假定.

1）调整中间媒介温度对传热系数的影响忽略不计.

2）不考虑中间媒介输送功和循环介质的散热损失，Φ₁=Φ₂=Φ.

3）烟气冷却器及烟气再热器换热视为交叉流换热.

在上述假定条件下，MGGH中间媒介初始温度和温差的数学模型可以简化如下：

(10) ${W_{\rm{T}}} = \frac{{{W_{\rm{1}}}\varPhi }}{{{\psi _1}{k_1}}}\left( {\dfrac{{\ln\dfrac{{{t_{11}} - \Delta t - t}}{{{t_{12}} - t}}}}{{{t_{11}} - {t_{12}} - \Delta t}} + \frac{{{{{W_2}}}/{{({\psi _2}{k_2})}}}}{{{{{W_1}}}/{{({\psi _1}{k_1})}}}}\dfrac{{\ln\dfrac{{\Delta t + t - {t_{22}}}}{{t - {t_{21}}}}}}{{{t_{21}} - {t_{22}} + \Delta t}}} \right).$

式中：max {t₂₂−Δt, t₂₁}<t <min { t₁₂, t₁₁−Δt}.

定义换热管材料的性能价格比（cost performance, CF）为换热材料的换热性能与换热材料年成本之比：

${\rm{CF = }}\frac{{\psi K}}{W}{\rm{ = NTU}}\frac{{{{\left( {{q_m}c} \right)}_{\min }}}}{C}.$

式中：NTU为换热器的传热单元数（number of transfer unit），物理意义上一定程度反映了换热器的尺寸. 性能价格比在一定意义上是表征换热器尺寸和经济性能的综合指标.

MGGH换热材料的比性能价格为

11) $ \omega {\rm{ = }}\frac{{{{\rm{CF}}_2}}}{{{{\rm{CF}}_1}}} = \left( {\frac{{{\psi _2}{k_2}}}{{{\psi _1}{k_1}}}} \right)\frac{{{W_1}}}{{{W_2}}} {\rm{ = }}\frac{{{\rm{NT}}{{\rm{U}}_2}}}{{{\rm{NT}}{{\rm{U}}_1}}} \cdot \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}} \cdot \frac{{{{\left( {{q_m}c} \right)}_{\min ,2}}}}{{{{\left( {{q_m}c} \right)}_{\min ,1}}}} .$

式中：ω的物理意义为烟气再热器换热材料的性能价格比与烟气冷却器性能价格比之比，反映了两换热器的换热材料综合性能之比，从定义上要求ω>0.

考虑中间媒介在MGGH中流动换热的特性，式（11）可以简化为

$\omega = \frac{{{\rm{NT}}{{\rm{U}}_2}}}{{{\rm{NT}}{{\rm{U}}_1}}} \cdot \frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}.$

若ω≈1，可以认为两换热器材料性能近似；若ω<<1，说明烟气再热器换热材料优于烟气冷却器；反之，若ω>>1，说明烟气冷却器换热材料优于烟气再热器.

令

12) ${\varTheta _1} = \frac{{\Delta {t_{\rm{1}}}}}{{{t_{11}} - {t_{21}}}},$

(13) ${\varTheta _2} = \frac{{\Delta {t_{\rm{2}}}}}{{{t_{11}} - {t_{21}}}},$

(14) ${\varTheta _{{\rm{CE}}}} = \frac{{{t_{11}} - t}}{{{t_{11}} - {t_{21}}}},$

(15) ${\varTheta _\Delta } = \frac{{\Delta t}}{{{t_{11}} - {t_{21}}}},$

(16) $F = \frac{{W{k_{1,}}{\psi _{\rm{1}}}}}{{{W_1}{q_{m,1}}{c_1}}}.$

综合式（12）~（15），可得

(17) $\frac{{t - {t_{21}}}}{{{\rm{\Delta }}{t_2}}} = \frac{{1 - x}}{{{\varTheta _2}}}.$

将式（12）~（15）代入式（11），可得

(18) $ F = \frac{{{\varTheta _1}}}{{{\varTheta _1} - {\varTheta _\Delta }}}\ln \frac{{{\varTheta _{{\rm{CE}}}} - {\varTheta _\Delta }}}{{{\varTheta _{{\rm{CE}}}} - {\varTheta _1}}} + \frac{{\omega {\varTheta _1}}}{{{\varTheta _\Delta } - {\varTheta _2}}}\ln \frac{{1 - {\varTheta _2} - {\varTheta _{{\rm{CE}}}} + {\varTheta _\Delta }}}{{1 - {\varTheta _{{\rm{CE}}}}}}. $

定义t_1,1−t_2,1为烟气最大温升；Θ_CE为中间媒介无量纲初始温度，将中间媒介进入烟气冷却器中的温度称为热媒介质初始温度；Θ_Δ为中间媒介无量纲温差；Θ₁为无量纲烟气温降，物理意义为烟气温降与烟气最大温差之比；Θ₂为无量纲烟气温升，物理意义为烟气温升与烟气最大温差之比.

等式左侧为无量纲成本F，右侧均为无量纲量. 在上述假设下，将与Φ、k_g,1、k_g,2、C、W_g,1、W_g,2、t₁₁、t₁₂、t₂₁、t₂₂、Δt、t等14个量有关的成本W归纳为只与Θ₁、Θ₂、Θ_CE、Θ_Δ、 $\omega $这5个无量纲量相关的无量纲成本F.

由换热条件以及式（18）的数学约束条件，可得无量纲量关系如下：

(19) $ 0<\varTheta_{\Delta}<1.0, $

(20) $ 0<\varTheta_{2}<\varTheta_{1}<1.0, $

(21) $ \max \left\{\varTheta_{1,} y\right\}<\varTheta_{{\rm{CE}}}<\min \left\{1-\varTheta_{2}+\varTheta_{\Delta}, 1\right\}. $

根据1.3节MGGH无量纲材料成本F的公式，定义无量纲材料成本最小时的中间介质温度为中间介质最优温度，包含最优初始温度和温差. 求二元函数F最优解应满足如下方程组：

(22) $ {\frac{{\partial F}}{{\partial {\varTheta _{{\rm{CE}}}}}} = 0} ,\; {\frac{{\partial F}}{{\partial {\varTheta _\Delta }}} = 0} .$

假设方程组（22）的解为 $\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)$，则极值的确定方法^[18]如下. 记

$ \begin{split} & X = \frac{{{\partial ^2}F\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)}}{{\partial {\varTheta _{{\rm{CE}}}}^2}},\\ & Y = \frac{{{\partial ^2}F\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)}}{{\partial {\varTheta _{\rm{CE}}}\partial {\varTheta _\Delta }}},\\ & Z = \frac{{{\partial ^2}F\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)}}{{\partial {\varTheta _\Delta }^2}}. \end{split} $

若XZ−Y²> 0，且X> 0，则F在 $\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)$处取极小值；若XZ−Y²> 0，且X< 0，则F在 $\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)$处取极大值；若XZ−Y²< 0，则F在 $\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)$处无极值；若XZ−Y²= 0，则F在 $\left( {{\varTheta _{{\rm{CE}},0}},{\varTheta _{\Delta ,0}}} \right)$处可能存在极值，此时需要重新讨论. 由方程组（21）可以求得

23) $\left. \begin{split} & \frac{{\partial F}}{{\partial {\varTheta _{\rm{CE}}}}} = \frac{{ - {\varTheta _1}}}{{\left( {{\varTheta _{\rm{CE}}} - {\varTheta _\Delta }} \right)\left( {{\varTheta _{\rm{CE}}} - {\varTheta _1}} \right)}} + \\& \qquad\quad \frac{{\omega {\varTheta _1}}}{{\left( {1 + {\varTheta _\Delta } - {\varTheta _2} - {\varTheta _{\rm{CE}}}} \right)\left( {1 - {\varTheta _{\rm{CE}}}} \right)}}, \\& \frac{{\partial F}}{{\partial {\varTheta _\Delta }}} = \frac{{{\varTheta _1}}}{{{{\left( {{\varTheta _1} - {\varTheta _\Delta }} \right)}^2}}}\ln \frac{{{\varTheta _{\rm{CE}}} - {\varTheta _\Delta }}}{{{\varTheta _{\rm{CE}}} - {\varTheta _1}}} - \\&\qquad\quad \frac{{\omega {L_1}}}{{{{\left( {{\varTheta _\Delta } - {\varTheta _2}} \right)}^2}}}\ln \frac{{1 + {\varTheta _\Delta } - {\varTheta _2} - {\varTheta _{\rm{CE}}}}}{{1 - {\varTheta _{\rm{CE}}}}} - \\&\qquad\quad \frac{{{\varTheta _1}}}{{\left( {{\varTheta _1} - {\varTheta _\Delta }} \right)\left( {{\varTheta _{\rm{CE}}} - {\varTheta _\Delta }} \right)}} + \\&\qquad\quad \frac{{\omega {\varTheta _1}}}{{\left( {{\varTheta _\Delta } - {\varTheta _2}} \right)\left( {1 + {\varTheta _\Delta } - {\varTheta _2} - {\varTheta _{\rm{CE}}}} \right)}} . \end{split} \right\}$

由于式（23）过于复杂，求其解析解存在一定的难度，给出式(23)的迭代计算方法.

如图2所示为式（18）最小值的求解过程. 考虑工程中实际应用测温仪表为热电偶，精度一般为0.1 ℃，因此迭代步长取10⁻³.

以某电厂MGGH设计为例，工质设计参数如表1所示^[2]. 通过计算得到 $({{{\psi _2}}}/{{{\psi _1}}})({{{k_2}}}/{{{k_1}}}){\rm{ = 1}}{\rm{.332}}\times$ ${\varTheta _1} = {{63}}/{{128}} , $ ${\varTheta _2} = {{50}}/{{128}};{\varTheta _{{\rm{CE}}}} = {{88}}/{{128}},{\varTheta _\Delta } = {{30}}/{{128}}$.

目前，电厂中较广泛使用的抗腐蚀材料有Corten钢、ND钢、316L钢和GR2钢等^[19-20]. 烟气冷却器换热管失效主要由磨损造成，烟气再热器换热管失效由于低温腐蚀造成，本算例中换热管使用寿命只考虑主要失效方式下换热材料的使用寿命. 表2给出不同换热材料的价格、换热管材料的使用的寿命以及材料单位面积年成本^[21].

Oka的磨损模型考虑了材料种类对磨损的影响，该模型适用于计算任何靶材料、任意撞击角度和撞击速度的冲蚀磨损^[22-23]. 由Total Materia 材料性能数据库，可以查得Corten 钢、ND 钢、316L 钢的力学性质. 由Oka的冲蚀磨损模型可以计算出各种换热材料的磨损速率，3种换热管的材料耐磨损性能排序为：ND 钢≈316L 钢 > Corten A钢. 取磨损速率最大值，可得烟气冷却器换热管理论使用最小年限和材料单位面积年成本，如 表3所示.

将材料单位面积年成本代入式（8），可得MGGH年成本. 经计算得到，该MGGH换热管材料最佳的组合方式为ND钢（烟气冷却器）+Corten-A钢（烟气再热器）.

假设该电厂MGGH系统，MGGH烟气冷却器和烟气再热器的换热管材料分别选用ND钢+Corten-A 钢，W₁/W₂=0.384. 该电厂MGGH系统的ω= 0.511，F=2.7224.

通过迭代计算可以求得Θ_CE=0.788 2，Θ_Δ=0.433 0，F_min=2.598 3. 将Θ_CE、Θ_Δ代入式（12）、（13），可得t= 57.112 0 ℃， $\Delta t = {\rm{55}}{\rm{.4240}}$ ℃. 优化后的换热器材料总成本相对优化前降低了4.776%.

如图3所示为给定工况下的无量纲成本关系曲线. 图3(a)表明，在给定中间媒介初始温度时，MGGH材料成本随中间媒介温差的增加先减少后增加. 随着中间媒介初始温度的减少，MGGH最优材料成本先减少后增加.

如图3(b)所示为ω和F_min、Θ_CE、Θ_Δ的关系. 降低中间媒介无量纲成本，可以降低ω. 选用综合性能好的换热材料，可以降低MGGH成本. 随着材料比性能价格的增加，中间媒介最优初始温度和温差升高.

设计换热器时，往往换热器材料已知，此时ω确定，需要通过Θ₁、Θ₂的设计值求得Θ_CE、Θ_Δ. 为了能够较快且较准确地得到所需的值，工程中往往可以查询一系列图表，如焓-湿图等. 无量纲化可以将复杂的问题归纳为一系列类似的问题，通过查表的方式快速准确地得到所需要的量.

MGGH中几种换热管材料ω为0.3~4.0. 给出几种工况下，当Θ₁、Θ₂为任意数时，F_min、Θ_CE、Θ_Δ随Θ₁、Θ₂的变化曲线. 通过查阅该曲线，可以得到所需的Θ_CE、Θ_Δ，这为MGGH设计提供了便利.

由图4(a)可知，MGGH无量纲成本与无量纲烟气温降（温升）有关，无量纲烟气温降（温升）增大，MGGH无量纲成本增大. 这为MGGH换热器的设计提供了依据：适当地减小换热器进出口温差，可以减少MGGH成本. 由图4(b)可知，Θ_CE与Θ₁有关，与Θ₂无关. 该结果与式（18）的函数性质保持了一致性. 由图4(c)可知，Θ_Δ与无量纲烟气温降（温升）有关：无量纲烟气温降（温升）增加，无量纲温差增加.

通过查阅图4，可得中间媒介无量纲初始温度为0.791，无量纲温差为0.440. 计算可得中间媒介初始温度为56.752 ℃，温差为56.32 ℃，误差分别为0.63%、1.61%，图4满足工程查阅要求.

（1）以MGGH材料成本为目标函数，建立MGGH材料成本模型和无量纲材料成本模型. 模型表明，MGGH材料成本是烟气温降及温升、中间媒介初始温度及温差、材料比性能价格的函数，给出模型的求解方法.

（2）以某典型MGGH为例，给出该MGGH换热材料的最优组合形式及中间媒介优化温度，说明MGGH成本模型及无量纲成本模型可为MGGH换热材料选择以及系统设计提供理论指导.

（3）MGGH无量纲材料成本模型表明，当无量纲温降和温升一定时，MGGH无量纲成本随性能价格比升高而升高，最优无量纲初始温度及温差随着比性能价格的升高而升高.

（4）通过无量纲化将复杂的工程问题简化为一系列的问题，得到不同比性能价格下的MGGH无量纲参数关系图. MGGH无量纲关系图表明：适当地减小换热器进出口温差可以减少MGGH成本；中间热媒介质无量纲初始温度与无量纲烟气温降有关，与无量纲温升无关；无量纲烟气温降（温升）增加，无量纲温差增加；查阅MGGH无量纲关系图结果与理论结果对比表明，不同比性能价格下的MGGH无量纲参数关系图适用于工程设计.

本文采用的迭代法求最优温度的方法可以与其他优化算法，如神经网络、蚁群算法等互补. 本文只对MGGH换热材料成本进行了优化，未考虑工程中的其他复杂成本，如加工成本、维修成本. MGGH材料成本模型可以为MGGH换热材料选择提供理论指导，MGGH无量纲材料成本模型及MGGH无量纲关系图可以为过程设计提供指导.