碟簧竖向隔震（disc spring vertical isolation，DSVI）支座利用碟簧作为其主要受力和耗能部件（见图1），可以用于机械设备的竖向隔振，亦可用于建筑的竖向隔震^[1-3]. DSVI支座的设置能够减小竖向地震作用下建筑的竖向震动，从而达到保护建筑物及建筑物中精密仪器的目的^[4-5].

目前，关于DSVI支座力学性能的研究已经取得一些进展. Zheng等^[1-2]对DSVI支座进行了拟静力试验和数值模拟研究.结果表明，DSVI支座具有良好的耗能能力，碟簧片间摩擦力的存在使其荷载-位移曲线具有典型的非对称特征. 赵亚敏等^[6]对DSVI支座隔震结构进行了振动台试验研究，结果表明，地震作用下DSVI支座发生了较大的变形，隔离了竖向地震动的传递，耗散了地震动输入的部分能量，结构的加速度和峰值力响应大幅降低. 王维等^[7]将DSVI支座应用于地铁沿线建筑物的竖向隔振，研究表明，DSVI支座降低了地铁振动作用下建筑物各层的竖向峰值加速度，竖向加速度隔振率达50%~70%.

DSVI支座的恢复力模型通常采用对称性恢复力模型：黏弹性恢复力模型（简称“黏弹性模型”）^[6-7]和双线性恢复力模型（简称“双线性模型”）^[8-9]. 然而，对称性模型难以模拟DSVI支座的非对称荷载-位移滞回关系^[10-12]，因此基于对称性模型的非线性时程分析程序也难以准确反映DSVI隔震结构的实际地震响应特征.

为了研究碟簧竖向隔震单自由度（disc spring vertical isolation-single degree of freedom，DSVI-SDOF）体系的地震响应，本文首先基于碟簧竖向隔震支座的受力特点，提出非对称恢复力模型（简称“非对称模型”）；然后，建立DSVI-SDOF体系的时程分析程序；在此基础上对典型DSVI-SDOF体系进行非线性动力时程分析，研究非对称模型对其位移、速度、加速度等地震响应分析结果的影响.

典型的DSVI支座如图1所示. 常用于DSVI支座模拟的黏弹性模型和双线性模型简介如下. 黏弹性模型如图2所示，图中， $\varDelta $为位移，F_h为恢复力；该模型由弹簧单元和黏弹性阻尼单元并联构成，弹簧单元的等效刚度为K_v，为了简化分析，可将黏弹性阻尼单元作为一个附加黏弹性阻尼比ξ进行考虑. 双线性模型如图3所示，其力学特性可用屈服位移 ${\varDelta _{{\rm{sy}}}}$、初始刚度k_s1和屈服后刚度k_s2表征.

假定在荷载作用下，DSVI支座一直处于弹性状态，其力学模型可用线性单元和摩擦单元的并联组合进行表示^[13-15]. 由于摩擦力方向的不同，DSVI支座的加载刚度及卸载刚度明显不同. 基于DSVI支座的受力特性，提出如图4所示的非对称模型. 图中，k₁、k₂、k₃分别为DSVI支座的加载刚度、强化刚度和卸载刚度， ${\varDelta _{\rm{y}}}$为DSVI支座的屈服位移.

单片碟簧的尺寸如图5所示，单片碟簧的荷载F_s与位移f的关系表达式^[16-17]为

(1) ${F_{\rm{s}}} = \frac{{4E}}{{1 - {\mu ^2}}}\frac{{{t^4}}}{{{M_1}{D^2}}}\frac{f}{t}\left[ {\left( {\frac{{{h_0}}}{t} - \frac{f}{t}} \right)\left( {\frac{{{h_0}}}{t} - 0.5\frac{f}{t}} \right) + 1} \right],$

(2) $ {M_1} = \frac{1}{{\pi} }{\left( {\frac{{D{d^{ - 1}} - 1}}{{D{d^{ - 1}}}}} \right)^2}{\left( {\frac{{D{d^{ - 1}} + 1}}{{D{d^{ - 1}} - 1}} - \frac{2}{{\ln \left( {D{d^{ - 1}}} \right)}}} \right)^{ - 1}}. $

式中：μ为碟簧材料的泊松比，E为碟簧材料的弹性模量，D、d、 t、h₀分别为碟簧的外径、内径、厚度及行程.

在加载工况下，考虑摩擦力影响的单片碟簧荷载为

(3) ${F_{{\rm{sj}}}} = {F_{\rm{G}}}\frac{{1 - {f_{\rm{M}}}\left( {{n_{\rm{d}}} - 1} \right) - {f_{\rm{R}}}}}{{{n_{\rm{d}}}}}.$

式中： ${F_{\rm{G}}}$为DSVI支座所受的重力荷载，n_d为DSVI支座中碟簧组的叠合数， ${f_{\rm{M}}}$和 ${f_{\rm{R}}}$分别为碟簧锥面间和承载边缘处的摩擦系数.

DSVI支座强化刚度k₂的表达式为

(4) $ {k_2} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{m_{\rm{d}}}{f_{\rm{j}}}}}. $

式中：m_d为DSVI支座中碟簧组的对合数，f_j为单片碟簧在荷载F_sj作用下的位移，可通过联立式（1）和（2）计算得到.

在卸载工况下，考虑摩擦力影响的单片碟簧荷载为

(5) ${F_{{\rm{sx}}}} = {F_{\rm{G}}}\frac{{1{\rm{ + }}{f_{\rm{M}}}\left( {{n_{\rm{d}}} - 1} \right){\rm{ + }}{f_{\rm{R}}}}}{{{n_{\rm{d}}}}}.$

DSVI支座卸载刚度k₃的表达式为

(6) $ {k_3} = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{m_{\rm{d}}}{f_{\rm{x}}}}}. $

式中：f_x为单片碟簧在荷载F_sx作用下的位移，可通过联立式（1）和（2）计算得到.

DSVI支座加载刚度k₁的表达式为

(7) ${k_1} = \frac{{\left( {{k_1}{f_{\rm{j}}} - {k_3}{f_{\rm{x}}}} \right){n_{\rm{d}}}}}{{\left( {{f_{\rm{j}}} - {f_{\rm{x}}}} \right){m_{\rm{d}}}}}.$

DSVI支座的屈服位移 ${\varDelta _{\rm{y}}}$取为

(8) ${\varDelta _{\rm{y}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\left( {{f_{\rm{j}}} - {f_{\rm{x}}}} \right){m_{\rm{d}}}{\rm{.}}$

DSVI-SDOF体系的动力微分方程为

(9) $m\ddot { x} + c\dot { x} + {{ F}_{{\rm{DS}}}} = {{ F}_{\rm{w}}}.$

式中： $\ddot { x}$、 $\dot { x}$分别为DSVI-SDOF体系的加速度和速度；m为DSVI-SDOF体系的质点质量；F_DS为DSVI支座的恢复力，可由黏弹性模型、双线性模型或非对称模型求得；F_w为地震力；c为DSVI-SDOF体系的等效黏滞阻尼系数，可表示为

(10) $c{\rm{ = }}2\zeta \sqrt {m{k_2}} .$

其中， $\zeta $为DSVI支座中碟簧材料的阻尼比，一般可取为0.02.

利用Matlab软件建立基于非对称模型的DSVI-SDOF体系的非线性动力时程分析程序，并选用文献[18]中DSVI支座的试验结果对非对称模型的有效性进行验证. DSVI支座采用直径为200 mm的碟簧（内径为102 mm，总高度为15 mm，厚度为8 mm）制成. 每个叠合组由5片碳簧组成，4个叠合组对合组合形成DSVI支座. 碟簧锥面间摩擦系数 ${f_{\rm{M}}}$和承载边缘处的摩擦系数 ${f_{\rm{R}}}$分别取为0.016和0.030.

荷载作用下DSVI支座荷载-位移滞回曲线的简化模型模拟结果与试验结果的比较如图6所示. 图中，d_DS和F_DS分别为DSVI支座的位移和受力，d_y为预压位移，d_a为荷载幅值，f为加载频率. 黏弹性模型中黏弹性阻尼单元采用Maxwell模型^[19].

1）在动荷载作用下，基于非对称模型的DSVI支座荷载-位移滞回曲线的模拟值与试验值吻合较好，两者具有相似的特征和相近的数值，验证了本文建立的非对称模型的准确性.

2）当动荷载幅值较小时，非对称模型、双线性模型、黏弹性模型均能较好地模拟DSVI支座的力学行为. 当动荷载幅值较大时，双线性模型和黏弹性模型难以表征DSVI支座的力学行为，非对称模型的模拟结果优于双线性模型和黏弹性模型的模拟结果，究其原因，是由于双线性模型和黏弹性模型为对称性模型，无法表征DSVI支座的非对称性特征.

建立如图7和8所示的一跨一层非隔震混凝土框架结构模型及竖向隔震混凝土框架结构模型. 两模型的层高均为3 300 mm，房间的开间和进深均为7.2 m，梁、柱和板的尺寸相同. 梁尺寸为300 mm×200 mm，柱尺寸为300 mm×300 mm，楼板厚度为200 mm，混凝土强度等级为C30，梁柱均采用刚性材料假定. 抗震设防烈度为8度（0.2 g），Ⅱ类场地. DSVI支座的设置位置为一层柱顶.

DSVI支座选用直径为400 mm的碟簧（内径为202 mm，总高度为29.5 mm，厚度为21 mm）制成. 每个叠合组由4片碟簧组成，8个叠合组对合组合形成DSVI支座. DSVI支座的刚度如下：加载刚度k_D1 = 72 kN/mm，强化刚度k_D2 = 40.35 kN/mm，卸载刚度k_D3 = 32.49 kN/mm.

建立非隔震框架结构的等效单自由度（SDOF）体系. 不考虑梁柱刚度对SDOF体系竖向振动的影响，模型D的竖向刚度 ${k_{\rm{S}}}$主要由楼板的平面外刚度k_p确定，楼板的平面外振动频率为4.38 Hz，因此SDOF体系的振动频率为4.38 Hz. SDOF体系的质点重量为4 536 kN，其竖向刚度取值为340 kN/mm.

建立DSVI隔震框架结构的等效DSVI-SDOF体系. 4个DSVI支座并联形成DSVI-SDOF体系的隔震支座，将其简化成一个DSVI-S支座. DSVI-SDOF体系的竖向刚度 ${k_{{\rm{DS}}}}$为楼板刚度k_p和DSVI-S支座刚度k_D的串联，可由下式进行计算：

(11) ${k_{{\rm{DS}}}} = {\left( {k_{\rm{p}}^{ - 1} + k_{\rm{D}}^{ - 1}} \right)^{{\rm{ - 1}}}}.$

DSVI-SDOF体系的质点重量均为4 536 kN. DSVI-SDOF体系中DSVI-S支座的刚度取值如下.

1）非对称模型：加载刚度k₁=155.9 kN/mm，强化刚度k₂=109.4 kN/mm，卸载刚度k₃=94.0 kN/mm. 屈服位移 ${\varDelta _{\rm{y}}}$取为3.654 mm. DSVI-SDOF体系的初始竖向振动频率为2.95 Hz.

2）双线性模型：初始刚度k_s1 = 155.9 kN/mm，屈服后刚度k_s2 = 109.4 kN/mm. 屈服位移 ${\varDelta _{{\rm{sy}}}}$取为3.654 mm. DSVI-SDOF体系的初始竖向振动频率为2.95 Hz.

3）黏弹性模型：等效竖向刚度 ${k_{\rm{V}}}$=101.1 kN/mm，为了简化计算附加等效黏滞阻尼比，取DSVI支座允许最大位移（u=40 mm）情况下的等效黏滞阻尼比0.058 16. DSVI-SDOF体系的初始竖向振动频率为2.38 Hz. 随着预压位移的增加，DSVI支座的等效黏滞阻尼比逐渐减小^[15]. 因此，在本文分析计算中，DSVI-SDOF体系的附加等效黏滞阻尼比的取值偏小.

地震动的选择主要考虑其频谱特性、有效峰值和持续时间. 根据建筑物所在场地的场地土特征，按照建筑抗震设计规范（GB50011-2010）^[20]，选择Ⅱ类场地土.天然地震波Taft波、Newhall波和一组人工波，3条地震波的加速度反应谱如图9所示， 图中，T为结构的自振周期，S_a为加速度反应谱谱值，a_s为地震动的峰值加速度，z为机构的阻尼比. 分别计算DSVI-SDOF体系在上述3条竖向地震波作用下的弹塑性地震响应.

利用Matlab软件分别建立基于非对称模型、双线性模型及黏弹性模型的DSVI-SDOF体系非线性动力时程分析程序. 非隔震框架结构及隔震框架结构的竖向等效黏滞阻尼比均取为0.05，数值积分方法采用Wilson-θ法. 利用上述程序对第4章所建立的4个分析模型进行非线性动力时程分析，研究DSVI-SDOF体系的地震响应特征. 在地震响应分析过程中，地震动的峰值加速度分别取70、200、400、510和620 cm/s².

对称性模型地震响应计算的相对误差计算式为

(12) $e = ({E_{{\rm{be}}}} - {E_{\rm{o}}})/{E_{\rm{o}}}.$

式中：E_o为非对称模型所计算的地震响应（如：位移、加速度、力、能量等），E_be为对称性模型（双线性模型及黏弹性模型）所计算的地震响应.

隔震结构地震响应隔震率的计算式为

(13) $R = ({E_{\rm{f}}} - {E_{\rm{i}}})/{E_{\rm{f}}}.$

式中：E_f为非隔震结构模型所计算的地震响应（如位移、加速度等），E_i为隔震结构模型所计算的地震响应. 隔震结构的地震响应隔震率主要与隔震支座的等效刚度和等效阻尼比有关。

如图10所示为不同地震动作用下DSVI-SDOF体系峰值位移的对比图. 图中，d_max为DSVI-SDOF体系的峰值位移. 如图11所示为不同地震动作用下DSVI-SDOF体系峰值位移的相对误差.

1）在不同地震动作用下，采用双线性模型计算得到的DSVI-SDOF体系峰值位移的分析结果均小于采用非对称模型计算得到的分析结果，采用双线性模型的计算结果的相对误差为8%~13%. 究其原因，是由于双线性模型的卸载刚度大于非对称模型的卸载刚度，从而减小了相同地震力作用下DSVI-SDOF体系峰值位移的分析结果.

2）采用黏弹性模型计算得到的DSVI-SDOF体系的峰值位移的分析结果与采用非对称模型计算得到的分析结果相对误差在18%~90%，其计算精度远低于采用双线性模型的计算结果. 当地震动峰值加速度较小时，采用黏弹性模型计算得到的DSVI-SDOF体系的峰值位移的分析结果与采用非对称模型计算得到的分析结果相对误差较大，随着地震动峰值加速度的增加，两者之间的相对误差逐渐减小. 因为随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-S支座的位移逐渐增加，其附加等效黏滞阻尼比逐渐减小^[15]. 在本文黏弹性模型中，附加阻尼比取为DSVI-S支座位移最大时的阻尼比，其取值与地震动峰值加速度较大工况下DSVI-S支座的实际附加黏滞阻尼比相接近.

如图12所示为DSVI-SDOF体系峰值位移的隔震率. 可知，在大部分荷载工况下，DSVI-SDOF体系峰值位移的隔震率为负值，表明DSVI-S支座放大了DSVI-SDOF体系的峰值位移响应.

1）当地震动峰值加速度为70 cm/s²时，DSVI-SDOF体系峰值位移的放大效应较小，原因为非对称模型的初始加载刚度较大.

2）随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-SDOF体系峰值位移隔震率绝对值逐渐增加，当地震动峰值加速度为620 cm/s²时，隔震率绝对值高达60%. 随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-SDOF体系峰值位移的隔震率绝对值逐渐增大. 这是因为非对称模型的非对称性逐渐增强，其竖向等效刚度逐渐变小，耗能能力逐渐减弱.

如图13所示为不同地震动作用下DSVI-SDOF体系的峰值加速度对比. 图中，a_max为DSVI-SDOF体系的峰值加速度. 如图14所示为不同地震动作用下DSVI-SDOF体系峰值加速度的相对误差.

1）采用双线性模型计算得到的DSVI-SDOF体系峰值加速度分析结果与采用非对称模型计算得到的分析结果相差不多，两者的相对误差在2%~13%.

2）采用黏弹性模型计算得到的DSVI-SDOF体系峰值加速度与采用非对称模型计算得到的峰值加速度的相对误差较为离散，在30%~100%. 不同地震动作用下DSVI-SDOF体系的加速度分析结果较为离散，这主要与地震动的频谱特性及结构的动力特性有关.

如图15所示为DSVI-SDOF体系峰值加速度的隔震率R_a. 可知，DSVI-S支座有效隔离了竖向加速度的传递.

1）当地震动峰值加速度为70 cm/s²时，DSVI-SDOF体系的峰值加速度的隔震率较小，原因为非对称模型的初始加载刚度较大.

2）随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-SDOF体系的峰值加速度隔震率逐渐增加，当地震动峰值加速度为400 cm/s²时，峰值加速度的隔震率在20%~50%. 究其原因，是由于在此阶段，对DSVI-SDOF体系峰值加速度隔震率起控制作用的DSVI-S支座竖向等效刚度逐渐减小.

3）当地震动峰值加速度为620 cm/s²时，峰值加速度的隔震率有所降低. 究其原因，是由于在此阶段，对DSVI-SDOF体系峰值加速度隔震效果起控制作用的DSVI-S支座的耗能能力逐渐减弱.

定义DSVI-SDOF体系在地震动作用下的地震力绝对值的最大值为DSIV-SDOF体系的峰值力F_max. 如图16所示为不同地震动作用下DSVI-SDOF体系的峰值力对比，如图17所示为不同地震动作用下DSVI-SDOF体系峰值力相对误差分布图.

1）在不同地震动作用下，采用双线性模型计算得到的DSVI-SDOF体系的峰值力与采用非对称模型计算得到的峰值力的相对误差在5%~9%. 究其原因，是由于非对称模型的卸载刚度小于双线性模型的卸载刚度.

2）在不同地震动作用下，采用黏弹性模型计算得到的DSVI-SDOF体系的峰值力与采用非对称模型计算得到的峰值力的相对误差较为离散，在0~60%. 不同地震动作用下DSVI-SDOF体系的加速度分析结果较为离散，这主要跟地震动的频谱特性及结构的动力特性有关.

如图18所示为DSVI-SDOF体系峰值力的隔震率R_F. 由图可知，DSVI-S支座有效隔离了竖向地震力的传递.

1）在地震动峰值加速度为70 cm/s²时，DSVI-SDOF体系的峰值力的隔震，原因为非对称模型的初始加载刚度较大.

2）随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-SDOF体系的地震力的隔震率逐渐增加，当地震动峰值加速度为400 cm/s²时，峰值地震力的隔震率在20%~50%. 究其原因，是由于随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-S支座的位移逐渐增加，其竖向等效刚度逐渐减小，但其耗能能力变化较小. 在此阶段，DSVI-S支座竖向等效刚度的减小对DSVI-SDOF体系峰值力的隔震起控制作用.

3）当地震动峰值加速度为620 cm/s²时，DSVI-SDOF体系的峰值地震力的隔震率有所减小. 这是因为随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-S支座的位移逐渐增加，非对称模型的非对称性逐渐增强，其耗能能力逐渐减弱，但其等效竖向刚度变化较小. 在此阶段，DSVI-S支座耗能能力的减弱对DSVI-SDOF体系峰值力的隔震效果起控制作用.

4）DSVI-SDOF体系的峰值力的隔震效果较为有限，建议增加附加阻尼装置，以增加DSVI-SDOF体系的耗能能力，从而提高其峰值力隔震效果.

如图19所示为不同地震动作用下DSVI-S支座的力-位移滞回曲线. 图中，d_D-S和F_D-S分别为DSVI-S支座的位移和受力.

1）在不同地震动作用下，采用非对称模型计算得到的DSVI-S支座的力-位移滞回曲线分析结果为梯形，该梯形具有典型的非对称性；采用双线性模型计算得到的DSVI-S支座的力-位移滞回曲线分析结果为平行四边形；采用黏弹性模型计算得到的DSVI-S支座的力-位移滞回曲线分析结果为一条直线.

2）非对称模型能够准确描述DSVI-S支座的力学行为，从而能够较为准确地模拟DSVI-SDOF体系的地震响应.

3）在不同地震动作用下，采用双线性模型计算得到的DSVI-S支座的力-位移滞回曲线的分析结果与非对称模型分析结果在位移为负值时相差较大，在位移为正值时相差较小. 究其原因，是由于非对称模型考虑了卸载刚度的减小，而双线性模型并没有考虑该因素.

如图20所示为不同地震动作用下DSVI-S支座的滞回耗能的分布. 图中，E为滞回耗能. 如图21所示为不同地震动作用下DSVI-S支座的滞回耗能的相对误差分布图.

1）不同地震动作用下，采用非对称模型计算得到的DSVI-S支座的滞回耗能均大于采用双线性模型的计算结果，采用双线性模型计算得到的DSVI-S支座的滞回耗能的相对误差在5%~18%. 这是因为在不同地震动作用下，采用非对称模型计算得到的DSVI-S支座力和位移的分析结果均大于采用双线性模型的分析结果，从而导致采用非对称模型计算得到的DSVI-S支座的力-位移滞回曲线面积大于采用双线性模型的计算结果，进而导致采用非对称模型的DSVI-S支座的滞回耗能计算值大于采用双线性模型的滞回耗能计算值.

2）采用黏弹性模型计算得到的DSVI-S支座的滞回耗能仅占采用非对称模型计算值的25%左右. 究其原因，正如第5章所述，是由于在黏弹性计算模型中，附加等效黏滞阻尼比的取值偏小. 在黏弹性模型中，附加等效黏滞阻尼比的取值对结构地震响应的影响较大. 此外，随着预压位移的增加，DSVI-S支座的等效黏滞阻尼比逐渐减小. 因此，采用单一的附加等效黏滞阻尼比难以准确计算DSVI-S隔震结构在不同峰值加速度地震动作用下的准确地震响应.

如图22分别为DSVI-SDOF体系的力时程对比（a_s = 510 cm/s²）. 图中，t_D为时间，F_D为DSVI-SDOF体系的受力. 由图可知，不同的DSVI支座恢复力模型对DSVI-SDOF体系地震响应的计算结果有着显著的影响，其具体影响结果已在第5.1~5.5节进行分析，此处不再赘述.

（1）非对称模型能够准确描述DSVI支座的非对称力学行为，能够较为准确地模拟DSVI-SDOF体系的地震响应.

（2）采用双线性模型计算得到的DSVI-SDOF体系的位移、加速度地震响应的相对误差小于20%；采用黏弹性模型计算得到的DSVI-SDOF体系的位移、加速度地震响应的相对误差在0~100%.

（3）随着地震动峰值加速度的增加，DSVI-SDOF体系的峰值加速度、峰值地震力的隔震率先增大后减小. 当地震动峰值加速度为400 cm/s²时，DSVI-SDOF体系的隔震效果达到最优，峰值加速度和峰值地震力的隔震率均在20%~50%.

DSVI-SDOF体系的峰值加速度及峰值力的隔震效果较为有限，建议增加附加阻尼装置以增加DSVI-SDOF体系的耗能能力，从而提高DSVI-SDOF体系的隔震效果.