由于无接触、免润滑、高效率、主动可控等优点，主动磁悬浮轴承（active magnetic bearing，AMB）在高速旋转机械中得到广泛应用. 由于材料、加工的误差，转子系统不可避免的存在残余不平衡量，随着转子的旋转会产生与转速平方成正比的同频激励力，进而导致转子的不平衡振动，影响AMB转子系统的运行性能.

针对AMB转子系统的振动控制已经进行了大量研究. 主要可以分为2类控制策略，一类是自动平衡，使转子绕惯性主轴旋转，最小化磁悬浮轴承的电磁力，减小传递给基座的振动，主要适用于高速且运行平稳的场合，实现方法主要有广义陷波器^[1]、最小均方差（least mean square，LMS）滤波^[2]、重复控制^[3-4]、迭代搜索^[5]、滑模扰动观测器^[6]等；另一类是不平衡补偿，强迫转子围绕几何中心旋转，可以获得更高的旋转精度，在磁悬浮电主轴和高精度电磁伺服系统中能够发挥重要作用.

在不平衡补偿方面，Nonami等^[7]提出基于傅里叶系数迭代逼近的前馈不平衡补偿算法，实现磁悬浮轴承干扰信号的辨识与抑制. Jiang等^[8]通过傅里叶系数迭代搜索与转速无关的不平衡量，可以减少变速场合的搜索次数. Mao等^[9]提出变步长迭代搜索算法，进一步提高辨识速度. 王忠博等^[10]针对磁悬浮飞轮转子系统设计状态反馈比例-积分-微分（proportional-integral-derivative，PID）控制器，并利用不平衡系数辨识实现不平衡补偿控制. 迭代控制不依赖系统模型，但是算法较为复杂且计算量较大. Shi等^[11]基于LMS自适应滤波算法，通过不同的接入方式分别实现最小位移及最小电流补偿. 宋腾等^[12]利用LMS正负极性反馈切换的方式实现宽转速范围的最小位移补偿，不过切换的方式限制了刚体临界转速附近的补偿效果，并且具有一定的不稳定性. Schuhmann等^[13]利用卡尔曼滤波和线性二次高斯状态反馈控制器提高磁悬浮轴承的刚度和运行性能，但控制器的设计较为复杂. 韩邦成等^[14]将重复控制应用在磁悬浮轴承的振动控制中，能在一定程度上衰减转子的振动位移.

同步旋转坐标系（synchronous rotating frame，SRF）变换的思想广泛应用于电机控制、电网锁相、谐波抑制等领域^[15-17]，但在磁悬浮轴承中的应用较少. Zheng等^[18]基于SRF变换设计新型的自适应陷波器，并实现磁悬浮电机转子的自动平衡. Nakamura等^[19-20]基于SRF跟踪滤波器分别实现自动平衡和不平衡补偿，并基于内模原理探讨该方法与重复控制及比例谐振控制之间的关联，不过固定增益的方式使得不平衡补偿的效果不理想，且无法用于刚体临界转速之上. 上述SRF变换须保证两相输入信号幅值相同、相位互差90°，然而由于实际磁悬浮转子系统的各向异性，磁轴承x、y轴2个自由度的位移幅值往往并不相同，易产生额外干扰.

本研究利用二阶广义积分（second-order generalized integrator，SOGI），通过单相的位移误差信号构造2路正交信号作为SRF变换的输入，将同频位移误差转变成直流量，引入比例-积分（proportional-integral，PI）控制器，对变换后的直流误差进行无静差的跟踪控制，并将控制量逆SRF变换后以前馈的方式叠加到原控制器的输出中，从而实现对不平衡振动的有效抑制.

常规的磁悬浮轴系一般由2对径向磁轴承和1对轴向磁轴承支撑. 惯性轴和几何轴不对中产生的不平衡效应主要表现在径向磁轴承上，为了简化分析，本研究忽略磁悬浮转子四自由度的耦合，仅通过一端的径向磁轴承分析磁悬浮转子的不平衡现象.

如图1所示为一端径向磁轴承的剖面图. 图中，O为轴承定子几何中心，C为转子几何中心，G为转子惯性中心，O-xy为固定坐标系，C-ξη为旋转坐标系，Cξ轴与Ox轴的夹角为Ωt(Ω为转速，t为时间)，ε、φ为单面等效不平衡偏心距和初始相位.

忽略外部干扰，根据牛顿第二定律，可以写出单面2自由度磁悬浮转子的动力学方程：

(1) $m{\ddot d_w} = {k_{{\rm{d}}w}}{d_w} + {k_{{\rm{e}}w}}{i_w} + m\varepsilon {\varOmega ^2}\sin\; \left( {\varOmega t + {\varphi _w}} \right){\rm{. }}$

式中：m为转子质量，d_w为振动位移，i_w为控制电流，k_dw为位移刚度，k_ew为电流刚度，w为磁轴承通道，w={x，y}.

对于通常采用分散PID控制的磁悬浮闭环系统，忽略功放的低通特性，其控制电流可以表示为

(2) ${i_w} = - {k_{{\rm{a}}w}}{k_{{\rm{s}}w}}\left( {{k_{{\rm{P}}w}}{d_w} + {k_{{\rm{D}}w}}{{\dot d}_w} + {k_{{\rm{I}}w}}\int_0^t {{d_w}} {\rm d}t} \right).$

式中：k_Pw、k_Iw、k_Dw分别为PID控制器比例、积分、微分增益，k_sw为位移传感器增益，k_aw为功放增益.

将式（2）代入式（1）可以求得d_w的时域解为

(3) ${d_w}(t) = {C_w}\sin\; \left( {\varOmega t + {\varphi _w} + {\delta _w}} \right).$

式中：C_w、δ_w为不平衡响应的幅值和相位，表达式为

(4) ${C_w} = \frac{{m\varepsilon {\varOmega ^3}\cos \;{\varphi _w}}}{{{K_1}\cos\; {\delta _w} + {K_2}\sin\; {\delta _w}}},\;{\delta _w} = {\tan ^{ - 1}}\;\left( {{K_2}/{K_1}} \right),$

(5) ${K_1} = {k_{{\rm{e}}w}}{k_{{\rm{a}}w}}{k_{{\rm{s}}w}}\left( {{k_{{\rm P}w}} + {k_{{\rm D}w}}} \right)\varOmega - {k_{{\rm{d}}w}}\varOmega - 2m{\varOmega ^3},$

(6) ${K_2} = {k_{{\rm{e}}w}}{k_{{\rm{a}}w}}{k_{{\rm{s}}w}}{k_{{\rm I}w}}.$

通过上述分析可以得到：在理想状态下，同一端磁轴承x，y两自由度不平衡响应的幅值相同，相位互差90°，但实际磁轴承系统存在各向异性，同时位移传感器的安装标定也存在一定误差. 因此，两自由度的电流刚度、位移刚度、功放增益以及传感器增益等特性并不完全相同，则振动幅度不同.

不平衡补偿控制采用如图2所示的前馈补偿拓扑结构. 图中，H(s)、C(s)、A(s)、P(s)、k_s分别为补偿控制器、主控制器、功率放大器、磁悬浮轴承-转子以及位移传感器. 补偿器与原系统控制器并联，以检测的位移偏差为输入量，并将补偿器的控制量叠加到原控制器的输出中.

如图3所示为补偿器的内部结构，主要由SOGI模块和SRF变换模块组成. 该补偿器的原理如下：转子位移误差x经过SOGI变为2路幅值相同的正交信号（x_α，x_β）；经过SRF变换转化成直流信号（x_d，x_q），在理想情况下该直流信号中不存在谐波分量，但是SOGI对于低频或相邻谐波的抑制能力有限，所获得的直流信号依旧存在一定的谐波干扰，因此引入低通滤波器（low pass filter，LPF），以获得更理想的直流分量（x_di，x_qi）；通过PI控制器实现对直流分量无静差的跟踪控制；将PI控制器生成的控制量（i_d，i_q）通过逆SRF变换转变为正交的交流控制信号（i_α，i_β），并将i_α叠加到原控制器的输出中.

SOGI结构如图4所示^[21]. 其传递函数为

(7) $\left. \begin{aligned} & D(s) = \frac{{{x_\alpha }(s)}}{{x(s)}} = \frac{{k\varOmega s}}{{{s^2} + k\varOmega s + {\varOmega ^2}}}{\rm{ ,}} \\ & Q(s) = \frac{{{x_\beta }(s)}}{{x(s)}} = \frac{{k{\varOmega ^2}}}{{{s^2} + k\varOmega s + {\varOmega ^2}}}{\rm{ }}{\rm{.}} \end{aligned} \right\}$

式中：D（s）、Q（s）分别为SOGI两相输出x_α、x_β相对输入x的传递函数，Ω为谐振频率，k为系统增益.

当 $k = \sqrt 2 $，谐振频率为50 Hz时，SOGI传递函数的伯德图如图5所示. 图中，M、P分别为幅值和相位. 可以看出，在谐振频率点，D(s)和Q(s)幅值相同，相位相差90°.

SRF变换矩阵T(Ωt)表达式为

(8) ${{T}}\left( {\varOmega t} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\; (\varOmega t)}&{\sin\;(\varOmega t)} \\ { - \sin\;(\varOmega t)}&{\cos\; (\varOmega t)} \end{array}} \right].$

2路正交信号[x_α，x_β]可以表示为

(9) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{\rm{\alpha }}}} \\ {{x_{\rm{\beta }}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{aligned} & {\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {{A_n}\cos\; \left( {n\varOmega t + {\psi _n}} \right)} } \\ & {\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {{A_n}\sin\; \left( {n\varOmega t + {\psi _n}} \right)} } \end{aligned}} \right].$

式中：n为谐波阶次，A_n、ψ_n为各阶次谐波的幅值和相位.

经过SRF变换则变成

(10) $\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{{d}}}} \\ {{x_{{q}}}} \end{array}}\!\! \right] = {{T}}\left( {\varOmega t} \right)\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{\rm{\alpha }}}} \\ {{x_{\rm{\beta }}}} \end{array}}\!\! \right] = \left[ {\begin{aligned} & {\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {{A_n}\cos\; \left[ {\left( {n - 1} \right)\varOmega t + {\psi _n}} \right]} } \\ & {\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {{A_n}\sin\; \left[ {\left( {n - 1} \right)\varOmega t + {\psi _n}} \right]} } \end{aligned}} \right]{\rm{.}}$

即基频信号转化为直流量，其余频率成分转化为相应的n−1次谐波分量，这些谐波分量均可以通过低通滤波器消除. 为了简化控制器阶次，选用一阶低通滤波器，传递函数为

(11) ${G_{\rm{f}}}\left( s \right) = 1/\left( {\tau s + 1} \right).$

式中：τ为时间常数，τ=1/（2πΔ f），Δ f为截止频率. 一般来说，Δ f越小滤波效果越理想，但Δ f过小会影响系统的响应速度及后续控制器参数的取值，考虑实际转速范围，本研究选取Δ f=10 Hz. 滤波后的理想直流量可以表示成

(12) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{{d{\rm i}}}}} \\ {{x_{{q{\rm i}}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{A_1}\cos\; {\psi _1}} \\ {{A_1}\sin\; {\psi _1}} \end{array}} \right].$

PI控制器可以实现对直流分量无静差的跟踪控制，传递函数可以表示为

(13) ${G_{{\rm{PI}}}}\left( s \right) = {k_{\rm{p}}} + {k_{\rm{i}}}/s.$

式中：k_p、k_i为控制器的比例、积分系数. 与传统的PI控制器类似，k_p影响系统的动态响应，k_i决定系统的稳态精度和收敛速度，k_p越大系统的动态响应越好，但可能出现过冲振荡，导致系统稳定性降低.

理论上PI控制器对于直流分量具有无穷大的增益，取系统达到稳态时候的增益为K，则

(14) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{i_{{d}}}} \\ {{i_{{q}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {K{A_1}\cos\; {\psi _1}} \\ {K{A_1}\sin\; {\psi _1}} \end{array}} \right].$

逆SRF变换矩阵的表达式为

(15) ${{{T}}_{\rm{inv}}}\left( {\varOmega t} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\; (\varOmega t + \theta )}&{ - \sin\;(\varOmega t + \theta )} \\ {\sin\;(\varOmega t + \theta )}&{\cos\; (\varOmega t + \theta )} \end{array}} \right].$

式中：θ为相位超前补角，用于提高系统的稳定裕度，保证全频率的稳定性. 经过逆SRF变换可以得到

(16) $\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{i_{\rm{\alpha }}}} \\ {{i_{\rm{\beta }}}} \end{array}}\!\! \right] = {{{T}}_{\rm{inv}}}\left( {\varOmega t} \right)\left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{i_{{d}}}} \\ {{i_{{q}}}} \end{array}} \!\! \right] = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {K{A_1}\cos\; \left( {\varOmega t + {\psi _1} + \theta } \right)} \\ {K{A_1}\sin\; \left( {\varOmega t + {\psi _1} + \theta } \right)} \end{array}}\!\! \right].$

可以看到，最终输出的同频交流控制信号，幅值放大K倍，相位超前θ，将该控制量叠加到原系统控制器的输出中即可实现对于同频振动的有效抑制.

应用类似的频域分析方法可以得到固定坐标系下，一阶低通滤波器以及PI控制器的频域形式^[18]：

(17) $\begin{split} {{\hat G}_{\rm{f}}}\left( s \right)\;{{\hat G}_{{\rm{PI}}}}\left( s \right) = & {G_{\rm{f}}}\left( {s - {\rm{j}}\varOmega } \right)\;{G_{{\rm{PI}}}}\left( {s - {\rm{j}}\varOmega } \right){{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }} = \\ & \frac{1}{{\tau \left( {s - {\rm{j}} \varOmega } \right) + 1}}\left( {{k_{{\rm{p}}}} + \frac{{{k}_{\rm{i}}}}{{s - {\rm{j}}\varOmega }}} \right){{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}{\rm{ }}{\rm{.}} \end{split} $

式中： ${\hat G_{\rm{f}}}\left( s \right)$、 ${\hat G_{{\rm{PI}}}}\left( s \right) $分别为固定坐标系下一阶低通滤波器以及PI控制器的传递函数.

可以推导得出整体补偿控制器的传递函数：

(18) $\begin{split} H\left( s \right) = & \frac{{{i_\alpha }}}{x} = D(s) \; {G_{\rm f}}(s - {\rm{j}}\varOmega ) \; {G_{{\rm{PI}}}}(s - {\rm{j}}\varOmega ){{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }} = \\ & \frac{{k\varOmega s\left( {{k_{\rm{p}}}(s - {\rm{j}}\varOmega ) + {k_{\rm{i}}}} \right){{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}}}{{\left( {{s^2} + k\varOmega s + {\varOmega ^2}} \right)\left( {\tau (s - {\rm{j}}\varOmega ) + 1} \right)\left( {s - {\rm{j}}\varOmega } \right)}}{\rm{ }}{\rm{.}} \end{split} $

闭环系统的特征方程为

(19) $\left. \begin{split} & 1 + \left( {C(s) + {k_{\rm s}}H(s)} \right)A(s)P(s) = 0{\rm{ ,}} \\ & \Leftrightarrow 1 + \frac{{{k_{\rm{s}}}H(s)A(s)P(s)}}{{1 + {k_{\rm{s}}}C(s)A(s)P(s)}} = 0{\rm{ }}{\rm{.}} \end{split} \right\}$

定义动态柔度函数R(s)^[22]，即功放端电压u到位移响应x的闭环传递函数的表达式如下：

(20) $R(s) = \frac{{A(s)P(s){k_{\rm{s}}}}}{{1 + C(s)A(s)P(s){k_{\rm{s}}}}}.$

则闭环系统的特征方程可以写为

(21) $ \begin{split} \varsigma \left( {s,k_{\rm i} } \right) = & \left[\! {\left( {{s^2} + k\varOmega s + {\varOmega ^2}} \right)\left( {\tau \left( {s - {\rm{j}}\varOmega } \right) + 1} \right) + k\varOmega s{k_{i{\rm{p}}}}{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R(s)}\! \right] \times \\ & \left( {s - {\rm{j}}\varOmega } \right) + {k}_{\rm{i}}k\varOmega s{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R(s) = 0. \\[-10pt] \end{split} $

当 $k_{\rm{i}} $=0时，特征方程只有1个极点s=jΩ，而R（s）本身是稳定的，则在引入补偿环节后闭环极点在s=jΩ小范围的临域内变化. 将k_i作为自变量、s作为应变量，求偏导可以得到根轨迹随k_i的变化趋势，即

(22) $\begin{split} {\left. {\frac{{\partial s}}{{\partial {k_{\rm{i}}}}}} \right|_{s = {\rm{j}}\varOmega ,k_{\rm{i}} = 0}} = & - \frac{{\partial \varsigma \left( {s,k_{\rm i}} \right)}}{{\partial k_{\rm i}}}\Big/(\frac{{\partial \varsigma \left( {s,k_{\rm i}} \right)}}{{\partial s}}) = \\ & - \frac{{{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right)}}{{1 + {k_{\rm{p}}}{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right){\rm{ }}}}{\rm{ }}{\rm{.}} \end{split}$

为了满足系统的稳定性，须满足

(23) $\left. \begin{split} & {\rm{Re}}\; \left[ { - \frac{{{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right)}}{{1 + {k_{\rm{p}}}{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right)}}} \right] < 0{\rm{ ,}} \\ & {\rm{Im}}\;\left[ { - \frac{{{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right)}}{{1 + {k_{\rm{p}}}{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right)}}} \right] = 0{\rm{ }}{\rm{.}} \end{split} \right\}$

式（23）的稳定性条件等价于

(24) $ - 90{\text{°}} < \arg \;\left( { - \frac{{{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right)}}{{1 + {k_{\rm{p}}}{{\rm e}^{{\rm{j}}\theta }}R\left( {{\rm{j}}\varOmega } \right)}}} \right) < 90{\text{°}}.$

式中：arg(·)为幅角. 通过上述分析可知，系统稳定性与PI控制参数、相位补角θ以及R（s）有关.

实验采用如图6所示的磁悬浮转子实验台，主要包括AMB-转子、传感器电路、功放电路、光电转速传感器以及dSPACE控制器，详细参数如表1所示. 转子质量为2.07 kg，保护间隙为0.125 mm，基本结构如图7所示，由2个径向磁轴承A、B以及两端的轴向磁轴承支撑，并由中间的感应电机驱动旋转. 控制系统基于dSPACE1202平台，采样频率为20 kHz，利用PID控制器实现磁悬浮转子系统的稳定悬浮，控制器的相关参数设置为k_P=0.9，k_I=1.0，k_D=0.000 8，补偿环节PI控制参数k_p=0.5，k_i=10.0.

根据表1的相关参数画出动态柔度传递函数的相频特性，如图8所示. 在整个频率范围内，动态柔度的相频特性从90°到−270°变化，因此，在合适的PI控制参数下，为了满足式（24）的稳定性条件，须根据转速调整相位补角θ.

1~500 Hz（步长5 Hz）范围内有、无相位补偿下系统的主导根轨迹如图9所示.图中，r为实部，i为虛部. 其中，相位补角设置为动态柔度相频的相反数. 须说明的是加入补偿环节后的闭环系统阶次为9阶，因此系统特征方程也具有9个根，这里只取了其中最靠近虚轴的2组主导根. 可以看到，在不补偿相位时，加入补偿环节后的特征根在81 Hz附近越过虚轴进入右半平面，系统失稳，而在补偿相位后，特征根均位于左半平面，系统保持稳定.

选取根轨迹中穿越虚轴的临界频率81 Hz进行仿真，分别取相位补角θ=0°、90°，这2种情况下的仿真结果如图10所示. 可以看出，在0.5 s加入补偿算法之后，不补偿相位的系统位移发散失稳，而补偿相位的系统位移快速收敛趋近于零，验证了上述稳定性分析的内容，因此在整个转速范围内可以通过调整相位补角保证系统的稳定性.

通过离线的扫频测试得到实际磁悬浮转子实验台动态柔度的相频特性曲线，如图11所示. 其中，两端磁轴承各自x、y通道的相频特性基本重合，因此仅根据各自x通道的相频特性进行相位补偿. 为了避免相角切换可能造成的抖动，并提高系统的稳定裕度，直接将相位补角拟合成关于转频的多项式，须说明的是相位补角本身具有较大的裕度，所以无须选用高阶多项式来获得较高的匹配度，这里选用的是三阶多项式，前500 Hz的拟合结果如下.

A端相位补角多项式：

(25) $ \theta =\left\{ \begin{array}{l} - 3.8 \times {10^{ - 6}}{\varOmega ^3} + 4.07 \times {10^{ - 4}}{\varOmega ^2} -\\1.13\varOmega - 8.31, \varOmega < 300\;{\rm{Hz}};\\ 191.5^\circ, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varOmega > 300\;{\rm{Hz}}. \end{array} \right. $

B端相位补角多项式：

(26) $ \theta= \left\{ \begin{array}{l} - 1.64 \times {10^{ - 6}}{\varOmega ^3} + 2.35 \times {10^{ - 3}}{\varOmega ^2} +\\ 1.2\varOmega - 17.7, \varOmega < 400\;{\rm{Hz}};\\ 191.3^\circ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varOmega > 400\;{\rm{Hz}}. \end{array} \right.$

相应的拟合曲线如图12所示.

在100 Hz固定转速下对补偿算法进行验证，实验结果如图13所示. 图中，f为频谱. 图13（a）为补偿前、后A、B端转子的轴心轨迹收敛变化三维图. 可以看到，在开启补偿控制后，转子的轴心轨迹在约0.5 s的时间内迅速收敛，A端转子的最大振幅从13 μm减小到3 μm以内，减小77%，B端转子最大振幅从8 μm减小到2 μm以内，减小75%，收敛速度较快，效果显著. 图13（b）为补偿前、后磁轴承A、B端x通道振动位移的频谱分析对比，可以发现，补偿后的位移同频分量基本被完全抑制，证明算法具有较高的补偿精度.

为了进一步验证补偿算法在变速工况下的有效性，将转子从0匀加速至300 Hz，加速度为2.5 Hz/s，补偿前、后的振动水平对比如图14所示. 图中，D_max/C_min为ISO14839-2定义的磁悬浮轴承-转子系统振动水平的评价指标^[23]， ${D_{\max }} = \max\; {\sqrt {{x^2}(t) + {y^2}(t)} } $，C_min为保护轴承的单边间隙. 可以看到，排除初始切换以及部分毛刺，在补偿前A端转子的振动水平为0.03~0.12，B端转子的振动水平为0.04~0.09；在补偿后A、B端转子的振动水平均保持在0.03以下，极大的提高了系统的振动水平.

如图15所示为变转速下磁轴承A、B端x通道转子振动位移补偿前、后的三维频谱瀑布图. 可以看出，补偿后振动位移的同频分量趋近于零，具有较高的补偿精度.

探讨SRF变换在磁悬浮转子系统不平衡振动位移补偿中的应用，针对磁轴承两自由度的不平衡问题，引入SOGI构造单相坐标变换的补偿算法，无需复杂的迭代运算，计算量较小，具有一定的工程应用价值. 仿真和实验表明，该算法收敛速度较快，且补偿精度较高，基本能够实现对同频振动的完全抑制. 对于PI控制器以及低通滤波器参数的最优整定会在后续的工作中进一步展开.