压杆结构广泛存在于实际工程结构中^[1]，如大型空间桁架结构^[2]、建筑结构柱桩^[3]、农用温室结构^[4]等. 轴向压力的施加会减小结构等效弯曲刚度^[5]，从而降低结构稳定性，导致结构在不大的外部载荷激励下出现大幅横向运动. 在压电大位移作动器、俘能器的研究中会对轴向压力加以利用^[6-7]. 对于大部分承载结构，由于安全性、可靠性要求，须进行主动振动控制.

Cai等^[8]通过调整铰接刚度，对空间张力调准桁架进行被动减振. Fridman等^[9]利用压电作动器以及比例控制器避免柔性梁的过早屈曲. Sridharan等^[10]基于压电传感器和作动器，采用比例-微分控制器，对存在初始缺陷的轴向受压梁的屈曲和振动进行控制. 对于非线性振动系统，线性控制器难以达到最优控制效果；神经网络、模糊控制策略适合于不确定系统^[11-12]，但非最优. 20世纪90年代，Zhu等^[13-15]基于随机平均法和动态规划原理提出拟Hamilton系统的非线性随机最优控制理论，该控制策略能够对非线性随机振动进行最优控制.

压电材料既能作为作动器又能作为传感器，可以直接贴附在结构表面，且具有频带宽、功耗低、附加质量轻等特点，目前被广泛应用于薄壁结构的主动振动控制^[16-20]. 在压电材料的极化方向上施加过大的负电压会导致材料去极化；对压电材料施加过大的正向电压也会使材料发生击穿，导致短路，因此在实际工程中压电作动器的控制电压总是存在着幅值限制. 目前Ying等^[21]已对压电结构非线性随机振动进行了bang-bang电压控制的研究，但是bang-bang控制器所产生的控制电压连续性较差，容易引起结构抖振；bang-bang控制器的输出力都为正负极限值，使得电压的控制效率较低，因此须对已有的bang-bang电压控制律进行改进.Ying等^[22-23]提出非线性随机最优力有界控制策略，但是压电主动振动控制是通过逆压电效应来产生力，因此须进一步将有界控制力转化为有界电压才能符合实际压电作动器的控制要求.

本研究利用压电作动器对轴向受压梁的非线性随机振动进行最优电压有界控制. 推导表面贴附压电作动片轴向受压梁的非线性随机振动机电耦合动力学方程；根据动力学方程特性，利用随机平均法和动态规划方程导出非线性随机最优电压有界控制律. 对轴向受压简支梁的非线性随机振动进行电压有界最优控制，并与bang-bang电压控制律比较控制效果和效率.

如图1所示为表面贴附压电作动片的轴向受压梁. 图中，L为矩形截面梁长度，b为宽度，h为厚度，F_a为端部所受轴向压力的幅值；为了实现对称弯曲控制，在梁的上、下表面对称贴有厚度为h_p，宽度与梁截面相同的压电作动片；x-y-z为整体坐标系，1-2-3为压电材料坐标系，x₁^*、x₂^*为压电片在梁长度方向上的边界坐标，并假设上、下压电片都沿3方向极化.

设u(x,t)、w(x,t)分别为梁中性面上点在纵坐标x和横坐标z上的位移量. 轴向受压梁的等效横向刚度减小，在不大的外界激励下也会产生大幅振动，因此须引入von Kármán几何非线性项，梁中任意一点的应变可以表示为

(1) $S(x,z) = \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)^2} + \frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}z.$

可以得到梁的变形能：

(2) $ {U_{\rm{b}}} = \frac{1}{2}\int {E{S^2}{\rm{d}}V} {\rm{ }} = \frac{1}{2}bE\int\nolimits_0^L {\int\nolimits_{ - h/2}^{h/2} {S{{(x,z)}^2}{\rm{d}}z{\rm{d}}x} }. \\ $

式中：E为梁材料的弹性模量，dV为梁的体积微元.

本研究主要针对细长梁结构，因此仅考虑压电作动片沿纵向的电致应变，忽略其宽度和厚度方向的应变，将文献[20]中的压电本构关系简化为

(3) $T = {E_{\rm{p}}}\left( {S - {d_{31}}{{{\phi ^{\rm{a}}}}}/{{{h_{\rm{p}}}}}} \right).$

式中：T为压电作动片中的应力，E_p为压电材料的弹性模量； ${\phi} $^a为施加电压幅值；d₃₁为作用在3方向上的单位电压在1方向上引起的应变. 从而可以得到同时对上、下压电作动片施加反相电压的机电势能：

(4) $\begin{split} {U_{\rm{p}}} = & \frac{1}{{2{E_{\rm{p}}}}}\int\limits_{{V_1} + {V_2}} {{T^2}{\rm{d}}V} = \\ & { \dfrac{1}{2}b{E_{\rm{p}}}\left\{ {\int\nolimits_{x_1^*}^{x_2^*} {\int\nolimits_{h/2}^{h/2 + {h_{\rm{p}}}} {{{\left[ {S(x,z) - {d_{31}}\frac{{{\phi ^{\rm{a}}}}}{{{h_{\rm{p}}}}}} \right]}^2}{\rm{d}}z{\rm{d}}x} } } \right.} + \\ & {}{\left. { \int_{x_1^ * }^{x_2^ * } {\int_{ - h/2 - {h_{\rm{p}}}}^{ - h/2} {{{\left[ {S(x,z) + {d_{31}}\frac{{{\phi ^{\rm{a}}}}}{{{h_{\rm{p}}}}}} \right]}^2}{\rm{d}}z{\rm{d}}x} } } \right\}} . \end{split}$

式中：V₁、V₂分别为上、下压电作动片的体积.

将式(1)代入式(2)、(4)，并将梁的变形能和压电作动片的机电势能相加，可以得到总势能：

(5) $ \begin{split} U = & {U_{\rm{b}}} + {U_{\rm{p}}} = \frac{1}{2}\int\nolimits_0^L {\left\{ {EA{{\left[ {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right]}^2} + EI{{\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^2}} \right\}} {\rm{d}}x + \\ & { \int\nolimits_{x_1^*}^{x_2^*} {\left\{ {E{A_{\rm{p}}}{{\left[ {\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right]}^2} + E{I_{\rm{p}}}{{\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^2}} \right\}} {\rm{d}}x} - \\ & { {E_{\rm{p}}}b{d_{31}}{\phi ^{\rm{a}}}\left( {h + {h_{\rm{p}}}} \right)\int\nolimits_{x_1^*}^{x_2^*} {\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x} + E{A_{\rm{p}}}\left( {x_2^* - x_1^*} \right){\left( {\frac{{{d_{31}}{\phi ^{\rm{a}}}}}{{{h_{\rm{p}}}}}} \right)^2} . \end{split} $

式中：EA为梁截面拉伸模量，A为梁的截面积，A=bh；EI为梁截面弯曲模量，I=bh³/12；EA_p为单片压电作动片截面拉伸模量，EA_p=E_pbh_p，A_p为单片压电片的截面积；EI_p为单侧压电片关于梁中性面的弯曲模量，EI_p=E_pbh_p(h²/4+h_p/2+h_p²/3).

式(5)中存在轴向受压梁的轴向变形u关于x坐标的一阶导∂u/∂x，使得直接求解较困难. 根据文献[1]可知∂u/∂x可以用横向位移w关于x坐标的一阶导∂w/∂x来表示，即

(6) $\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = - \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)^2} - \frac{{{F_{\rm{a}}}}}{{EA}} + \frac{1}{{2L}}{\int_0^L {\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)} ^{\rm{2}}}{\rm{d}}x.$

式中：F_a为小于一阶屈曲力的轴向压力. 式(6)可以用于两端固定、两端简支以及一端固定另一端简支的梁边界情况^[1].

假设压电作动片的长度和截面拉伸模量相比于主结构的相应参数都较小，忽略压电片对梁整体轴向变形的影响. 将式(6)直接代入式(5)，得到总势能：

(7) $\begin{split} U =& \left[ {\frac{{EA}}{{8L}} + \frac{{E{A_{\rm{p}}}(x_2^* - x_1^*)}}{{4{L^2}}}} \right]{{\left[ {\int_0^L {{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x} \right]}^2}- \\ & { {F_{\rm{a}}}\left( {\frac{1}{2} + \frac{{E{A_{\rm{p}}}(x_2^* - x_1^*)}}{{EA L}}} \right)\int_0^L {{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x} + \\& {}{ \frac{1}{2}\left[ {\int_0^L {EI{{\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x + 2\int_{x_1^*}^{x_2^*} {E{I_{\rm{p}}}{{\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x} \right]} - \\& { {E_{\rm{p}}}b{d_{31}}{\phi ^{\rm{a}}}\left( {h + {h_{\rm{p}}}} \right)\int\nolimits_{x_1^*}^{x_2^*} {\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)} {\rm{d}}x} +\frac{1}{2}\frac{{F_{\rm{a}}^{\rm{2}}L}}{{EA}} + \\& { \frac{{F_{\rm{a}}^{\rm{2}}E{A_{\rm{p}}}(x_2^* - x_1^*)}}{ {EA} }^2} + E{A_{\rm{p}}}\left( {x_2^* - x_1^*} \right){\left( {\frac{{{d_{31}}{\phi ^{\rm{a}}}}}{{{h_{\rm{p}}}}}} \right)^2} . \end{split}$

由于后文将采用Lagrange方程得到动力学方程，式(7)中的最后一行常数项可以删去.

系统的总动能为梁和压电作动片动能之和：

(8) $\begin{split} K = & {K_{\rm{b}}} + {K_{\rm{p}}} = \\& \frac{1}{2}\left[ {\rho A \int_0^L {\dot w{{(x)}^2}{\rm{d}}x} + 2{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{p}}}\int_{x_1^*}^{x_2^*} {\dot w{{(x)}^2}{\rm{d}}x} } \right] . \end{split} $

式中：ρ、ρ_p分别为梁和压电片的材料密度.

根据Galerkin法，设横向振动位移为

(9) $w(x,t) = \eta (t) W(x) .$

式中：η为振幅系数，W为振型函数.

将式(9)代入式(7)、(8)，可以得到离散形式的动能和势能. 将势能、动能代入保守系统Lagrange方程：

(10) $\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\frac{{\partial K}}{{\partial \dot \eta }}} \right) + \frac{{\partial U}}{{\partial \eta }} = 0 . $

从而得到Duffing振子形式的动力学方程：

(11) $m\ddot \eta + k\eta + 2q{\eta ^3} = {F^{\rm{c}}}(t).$

式中：F^c(t)为压电作动片控制力，系数m、k、q表达式为

(12) $\left.\begin{split} m = & \rho A\int_0^L {{W^2}(x){\rm{d}}x} + 2{\rho _{\rm{p}}}{A_{\rm{p}}}\int_{x_1^*}^{x_2^*} {{W^2}(x){\rm{d}}x},\\ \\ k = & \int_0^L {\Bigg\{ {EI{{\left[ {{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}W(x)} / {{\rm{d}}{x^2}}}} \right]}^2}} } - \\ \\ & {\left. { {F_{\rm{a}}}\left[ {1 + \frac{{2E{A_{\rm{p}}}\left( {x_2^* - x_1^*} \right)}}{{EA L}}} \right]{{\left[ {{{{\rm{d}}W(x)} / {{\rm{d}}x}}} \right]}^2}} \right\}} {\rm{d}}x + \\ \\ & { 2\int_{x_1^*}^{x_2^*} {E{I_{\rm{p}}}{{\left[ {{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}W(x)} / {{\rm{d}}{x^2}}}} \right]}^2}{\rm{d}}x}, }\\\\ q = & \left[ {\frac{{EA}}{{4L}} + \frac{{E{A_{\rm{p}}}\left( {x_2^* - x_1^*} \right)}}{{2{L^2}}}} \right]{\left\{ {\int_0^L {{{\left[ {{{{\rm{d}}W(x)} / {{\rm{d}}x}}} \right]}^2}{\rm{d}}x} } \right\}^2}. \end{split} \right\}$

由式(12)可知，仅刚度系数k与轴向压力F_a相关， F_a越大，k越小，其他系数与F_a无关. k的减小将导致固有频率减小且稳态振幅增大，使梁结构出现低频大幅振动.

F^c(t)的表达式为

(13) $ \!\!\! {F^{\rm{c}}}(t) = {E_{\rm{p}}}b\left( {h + {h_{\rm{p}}}} \right){d_{31}}\left( {{{{\partial W} / {\partial x}}} \Big|_{x = x_1^*}^{x = x_2^*}} \right){\phi ^{\rm{a}}}(t) \begin{array}{*{20}{c}} \end{array} = {A^{\rm{a}}}{\phi ^{\rm{a}}}(t). $

式中，A^a为单位电压产生的控制力.

对系统施加高斯白噪声 $\xi $ 扰动，并且假设系统具有阻尼项 $c\dot \eta $，从而得到非线性随机动力学控制方程：

(14) $\ddot \eta + \frac{c}{m}\dot \eta + \frac{k}{m}\eta + \frac{{2q}}{m}{\eta ^3} = \frac{{{F^{\rm{c}}}(t)}}{m} + \frac{{\xi (t)}}{m}.$

假设 $\xi $ (t)/m的自相关函数为

(15) $E\left[ {{{{\xi ^2}(t)} / {{m^2}}}} \right] = 2D\delta (\tau ).$

式中：2D为激励强度，δ(τ)为Dirac函数.

令振幅系数η=Q，导数 $\dot \eta = P$，定义Q、P分别为广义坐标和广义动量. 从而可以将动力学方程（式(14)）转化为随机激励、受控、耗散的拟Hamilton系统^[21]：

(16) $ \dot Q = \frac{{\partial H}}{{\partial P}}, \; \dot P = - \frac{{\partial H}}{{\partial Q}} - \frac{c}{m}\frac{{\partial H}}{{\partial P}} + \frac{{\xi (t)}}{m} + \frac{{{F^{\rm{c}}}(t)}}{m} .$

式中：H为Hamilton能量.

(17) $H = \frac{1}{2}\left( {{P^2} + \frac{k}{m}{Q^2} + \frac{q}{m}{Q^4}} \right).$

假设式(16)中 $\xi $(t)/m=O(ε)，F^c(t)/m=O(ε)，ε为一小量.

由于上述Hamilton系统可积且非共振，相应的平均 ${\rm{It\hat o}}$方程可以写为

(18) ${\rm{d}}H = \left[ {\bar m\left( H \right) + \left\langle {\frac{{\partial H}}{{\partial P}}\frac{{{F^{\rm{c}}}}}{m}} \right\rangle } \right]{\rm{d}}t + \bar \sigma \left( H \right){\rm{d}}B(t).$

式中：B(t)为单位纳维过程， $\bar m\left( H \right)$、 $\bar \sigma \left( H \right)$分别为平均漂移系数和平均扩散系数，<·>为平均算子，后三者的表达式如下：

(19) $\left.\begin{split} & \bar m(H) = D - \frac{c}{m}G\left( {H,{Q_{\rm{l}}}} \right), \\& {\bar \sigma ^2}(H) = 2DG\left( {H,{Q_{\rm{l}}}} \right), \\ \\& \left\langle \cdot \right\rangle = \frac{1}{{T\left( {H,{Q_{\rm{l}}}} \right)}}\int {\left( {{ \cdot / P}} \right){\rm{d}}Q}. \end{split} \right\}$

其中，Q_l为广义坐标Q的积分限，Q_l(H)、G(H, Q_l)和T(H, Q_l)的表达式分别为

(20) $\small{\left.\begin{split} {Q_{\rm{l}}}(H) =& {\left\{ {{{\left[ {{{\left[ {{{\left( {\frac{k}{m}} \right)}^2} + 8\frac{{q H}}{m}} \right]}^{1/2}} - \frac{k}{m}} \right]} \left / {\left( {\frac{{2q}}{m}} \right)} \right. }} \right\}^{1/2}} ,\\ \\ G(H,{Q_{\rm{l}}}) =& \frac{2}{{T(H,{Q_{\rm{l}}})}}\int_{ - {Q_{\rm{l}}}}^{{Q_{\rm{l}}}} {{{\left( {2H - \frac{k}{m}{Q^2} - \frac{q}{m}{Q^4}} \right)}^{1/2}}{\rm{d}}Q},\\ \\ T(H,{Q_{\rm{l}}}) = & 2\int_{ - {Q_{\rm{l}}}}^{{Q_{\rm{l}}}} { {{{\left( {2H - \frac{k}{m}{Q^2} - \frac{q}{m}{Q^4}} \right)}^{-1/2}}} {\rm{d}}Q}. \end{split} \right\} }$

对于半无限长时间区间上的有界遍历控制，性能指标为

(21) $J = \mathop {\lim }\limits_{{t_{\rm{f}}} \to \infty } \frac{1}{{{t_{\rm{f}}}}}\int_0^{{t_{\rm{f}}}} {f\left( {H(t),\left\langle {\frac{{{F^{\rm{c}}}(t)}}{m}} \right\rangle } \right)} {\rm{d}}t.$

式中： $f\left( {H,\left\langle {{{{F^{\rm{c}}}} / m}} \right\rangle } \right)$为成本函数，表达式如下：

(22) $f\left( {H,\left\langle {\frac{{{F^{\rm{c}}}}}{m}} \right\rangle } \right) = g(H) + \left\langle {R {{\left( {\frac{{{F^{\rm{c}}}}}{m}} \right)}^2}} \right\rangle .$

其中，g(H)通常为H的多项式,须事先设定；R为模态控制力的权值.

利用动态规划原理可以导出动态规划方程：

(23) $\begin{split} \lambda = & \mathop {\min }\limits_{{F^{\rm{c}}} \in U} \left\{ {f\left( {H,\left\langle {\frac{{{F^{\rm{c}}}}}{m}} \right\rangle } \right) + \left[ {\bar m(H)\left. { + \left\langle {\frac{{\partial H}}{{\partial P}} \frac{{{F^{\rm{c}}}}}{m}} \right\rangle } \right]\frac{{\partial V}}{{\partial H}}} \right.} \right.+ \\ & \left. { \frac{1}{2}{{\bar \sigma }^2}(H)\frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {H^2}}}} \right\}. \end{split} $

式中：λ为最优控制成本，为常数，λ=J(F^c*)，F^c*为最优控制力；U为所有可行控制力的域；V=V(H, t)为值函数.

考虑到压电作动片的控制力与控制电压的关系（式(13)），可以通过对动态规划方程（式(23)）右侧求导得到使控制成本函数λ最小的 ${\phi ^{{\rm{a*}}}}(t)$，并结合压电作动器控制电压有界条件 $\left| {{\phi ^{{\rm{a}}*}}(t)} \right| \leqslant {b_\phi }$， ${b_\phi }$为电压限幅值，得到改进型的非线性随机电压有界最优控制律：

(24) ${\phi ^{{\rm{a}}*}}(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-\dfrac{m}{{2{A^{\rm{a}}}R}}\dfrac{{\partial V}}{{\partial H}}P} , &{\left| {{\phi ^{{\rm{a}}*}}} \right| \leqslant {b_\phi }} ; \\ {-{b_\phi }\operatorname{sgn} \;P}, &{\left| {{\phi ^{{\rm{a}}*}}} \right| > {b_\phi }}. \end{array}} \right.$

该非线性随机最优电压有界控制律包括非线性随机无界最优控制电压(式（24）上式)和bang-bang控制电压(式（24）下式)，因此其连续性较bang-bang控制要好.

将该控制律代入动态规划方程（式(23)），可以得到最终的动态规划方程：

(25) $\begin{split} \lambda =& {g(H) + \bar m(H)\frac{{\partial V}}{{\partial H}} + \frac{1}{2}{{\bar \sigma }^2}(H)\frac{{{\partial ^2}V}}{{\partial {H^2}}}} + \\ & { R{{\left( {{b_\phi }\frac{{{A^{\rm{a}}}}}{m}} \right)}^2}\frac{{T(H,{Q_{{\rm{cr}}}})}}{{T(H,A)}} - 4{b_\phi }\frac{{{A^{\rm{a}}}}}{m}\frac{{{Q_{{\rm{cr}}}}}}{{T(H,A)}}\frac{{\partial V}}{{\partial H}}} -\\ & { \frac{1}{{4R}}\left[ {G(H,A) - G(H,{Q_{{\rm{cr}}}})} \right]{{\left( {\frac{{\partial V}}{{\partial H}}} \right)}^2}} . \end{split} $

式中：λ=g(0)+D∂V/∂H|_H=0，Q_cr为当控制电压达到边界时广义坐标Q可以达到的最大值：

(26) $\begin{split} & {Q_{{\rm{cr}}}} = \\& \sqrt {\left\{ {{{{{\left[ {{{\left( {\frac{k}{m}} \right)}^2} + \frac{{4q}}{m}\left[ {2H - {{\left( {2R{b_\phi }{{\frac{{{A^{\rm{a}}}}}{m}} / {\frac{{\partial V}}{{\partial H}}}}} \right)}^2}} \right]} \right]}^{1/2}} - \frac{k}{m}}}} \right\}\Bigg/{{\left({{2q}/ m}\right)}}}.\end{split} $

最优控制律中的∂V/∂H可以通过数值方法求解完全平均动态规划方程（式(25)）得到.

受本研究中平均漂移系数和平均扩散系数的形式（式(19)第1、2式）所限，无法通过FPK方程得到Hamilton能量H概率分布的解析表达式，因而只能采用数值方法得到H和控制电压 ${\phi ^{{\rm{a}}*}}(t)$均方根响应. 通过控制效果K和电压控制效率μ对控制策略做出评价：

(27) $\left.\begin{split} K = & \frac{{E\left[ {{H_{\rm{u}}}} \right] - E\left[ {{H_{\rm{c}}}} \right]}}{{E\left[ {{H_{\rm{u}}}} \right]}},\\ \\ \mu = & \frac{K}{{E\left[ {\left({\phi ^{{\rm{a}}*}} \right) ^2} \right]/2D}}. \end{split} \right\}$

式中：E[·]为期望，下标u、c分别表示无控和有控情况.

以贴有压电作动片的轴向受压简支梁为例，对其进行非线性随机最优电压有界控制，模型参数如表1所示.

简支梁的一阶横向振型函数为

(28) $W = \sin \; \left( {{{\pi }}x/L} \right).$

假设轴向力分别为0 N、F_a=0.8F_cr=0.8EIπ²/L²≈29.5 N，并引入外部谐激励 0.1cos (ωt)，再将上述条件代入式(11)，可以分别得到无轴向力和受轴向力情况的非线性动力学方程：

(29) $\ddot \eta + 3 \ 818 \eta + 5.995 \times {\rm{e}}^8 \times {\eta ^3}{\rm{ = 1}}{\rm{.751cos\;(}}\omega t{\rm{)}},$

(30) $\ddot \eta + 1 \ 260 \eta + 5.995 \times {\rm{e}}^8 \times {\eta ^3}{\rm{ = 1}}{\rm{.751cos\;(}}\omega t{\rm{)}}.$

由式(29)可见上述动力学方程具有强非线性，因此须利用谐波平衡法获得其幅频特性^[24]，2种情况下的幅频响应如图2所示. 可以看出，轴向力对系统的动力学特性有较大的影响：轴向受压情况的主共振频率相对不受压情况有一定下降，两骨架线随着幅值的增大逐渐靠拢；在0~50 rad/s频段内，在所受外激励相同的情况下，有轴向压力情况的振幅为无轴向压力振幅的2倍以上，由此说明对轴向受压梁进行主动控制的必要性.

将振型函数（式(28)）代入式(12)第1式和式(13)，可以得到简支梁上压电作动器的一阶控制力：

(31) $\begin{split} \frac{{{F^{\rm{c}}}(t)}}{m} = & \frac{{{A^{\rm{a}}}}}{m}{\phi ^{\rm{a}}}(t) = \frac{\text{π} }{{mL}}{E_{\rm{p}}}b{d_{31}}\left( {h + {h_{\rm{p}}}} \right)\times \\ & \left[ {\cos \;\left( {\frac{{\text{π} x_2^*}}{L}} \right) - \cos \;\left( {\frac{{\text{π} x_1^*}}{L}} \right)} \right]{\phi ^{\rm{a}}}(t) . \end{split} $

对于简支梁的第1阶模态控制，可以根据经验将压电作动器布置在模态峰值处，即选择x₁^*=0.49，x₂^*=0.51. 将此布置参数连同表1中的模型参数代入一阶模态控制力公式（式(30)）得到模态控制力系数A^a/m=−2.845e⁻³N/(kg·V).

假设模态阻尼比ξ₁=0.005，g(H)=0，R₁=1. 由于无法得到动态规划方程（式(25)）中∂V/∂H的解析表达式，采用龙格库塔法. 根据式(26)可知，为了使Q_cr不出现复数且初始控制信号不至于过大，假设初始条件为

(32) $\left.\begin{split} { \left.{\frac{{\partial V}} {{\partial H}}} \right|_{t = 0}} = & \sqrt {\frac{2}{{{H_0}}}} R{b_\phi }\frac{{{A^{{\rm{a}}*}}}}{m},\\ \\ {H_0} = & E\left( {{H_{\rm{u}}}} \right)/7.\end{split}\right\}$

求解步长h=H₀/2. 并且计算响应也采用龙格库塔法，假设初值[Q,P]^T=[0, 0]^T，根据前面得到的频响结果取采样频率为150 Hz，仿真时长为40 s.

基于上述计算条件，假设激励强度D=6×10⁻³，取压电作动器电压限幅值 $b_{\phi} $=±500 V. 分别得到简支梁在无轴向压力和轴向压力为0.8F_cr的情况下，非线性随机最优电压有界控制律与bang-bang电压控制律作用下的振动幅值和控制电压. 为了清晰比较2个控制律，分别在2种情况下取一段振动位移和控制电压样本进行对比，如图3(a)~(b)所示.

比较图3(a)、(c)中无控情况的位移响应可知，在同样的外界激励且无控情况下，受0.8F_cr轴向压力梁的振幅为未受轴向压力梁振幅的2倍以上，该结果与前面频响结果符合(见图2)；bang-bang电压控制律对振动的抑制略优于本研究导出的非线性随机最优电压有界控制律；由图3(b)、(d)可知，本研究导出电压控制律的连续性要比bang-bang电压控制律好，因此能够减小抖振.

在不同激励强度D以及不同压电作动器电压限幅 $b_{\phi} $条件下，进行轴向受压简支梁非线性随机振动控制仿真（施加轴向压力为0.8F_cr），从而测试本研究导出控制律的有效性，获得其适用范围.

取一组激励强度D=3×10⁻³、4×10⁻³、5×10⁻³、6×10⁻³、7×10⁻³、8×10⁻³、9×10⁻³，电压限幅为±400 V，可以得到本研究导出电压控制律与bang-bang电压控制律下轴向受压简支梁控制效果K和电压控制效率μ随激励强度D的变化，分别如图4(a)、(b)所示.图中，下标opt、b-b分别表示本研究导出的非线性随机电压有界控制和bang-bang控制.再取一组压电作动器电压限幅值 $b_{\phi} $=±200、±300、±400、±500、±600 V，激励强度D=6×10⁻³，则可以得到2种电压控制律下控制效果K和电压控制效率μ随电压限幅 $b_{\phi} $的变化，分别如图5(a)、(b)所示.

由图4、5可见，在上述仿真条件下，本研究非线性随机最优电压有界控制律的控制效果K基本大于80%（即减小振动能量80%），但略低于bang-bang电压控制律的控制效果（最多下降量小于5 %），这一结果与前面的时域结果吻合(见图3(a)). 本研究控制律的电压控制效率μ较bang-bang控制律大幅提高（最小提高量大于100 %）. 这是由于bang-bang控制电压都为正负极限值，使得电压均方值大幅增大，导致电压控制效率较低.

此外还可以发现，随着激励强度D增大，控制效果K单调减小，电压控制效率μ单调增大；随着电压限幅 $b_{\phi} $增加，K和μ的变化规律与随D变化的情况相反. 由此说明对于一定外界激励下的振动控制，电压限幅 $b_{\phi} $越大，控制效果越好. 在实际情况中电压幅值总是有限的，根据式(30)可知，如果电压限幅 $b_{\phi} $较小，可以通过优化压电作动器的位置、尺寸来提高模态控制力系数A^a/m^[19]，从而增大主动控制力的幅值.

（1）本研究基于几何非线性理论和压电本构关系，推导表面贴附压电作动片的轴向受压梁的机电耦合能量表达式，并基于Galerkin法和Lagrange方程建立非线性随机振动主动控制动力学模型.

（2）基于随机平均法和动态规划原理，导出改进型的非线性随机振动最优电压有界控制律，该控制律包括无界的非线性随机最优控制电压以及bang-bang控制电压.

（3）利用本研究导出的电压有界控制律对轴向受压简支梁的强非线性随机振动实现有效的抑制. 仿真结果表明，与bang-bang电压控制律相比，非线性随机最优电压有界控制律的控制效果略有降低，但电压控制效率大幅提高，且控制电压的连续性较好. 为轴向受压细长结构的几何非线性随机振动控制提供一定参考.

（4）本研究导出的随机最优电压有界控制律只能针对单模态振动或解耦后的多阶模态，然而任意位置贴附的压电作动器会对多阶模态都有作用，导致模态耦合，因此未来须进一步开展针对耦合模态力的多阶随机最优电压有界控制律研究.