重载卧式螺旋离心机（简称为卧螺离心机），作为高速旋转分离机械，具有生产效率高、处理能力强、应用范围广等优点，其广泛应用于石油化工、冶金及污水处理等行业^[1-2]. 主动磁悬浮轴承（AMBs）技术具有无摩擦磨损、无需润滑、寿命长和效率高等优点^[3]，将该技术应用于重载卧螺离心机可以显著提升运行转速，进而提高分离效率.

重载转子的运行会牵扯到诸多问题，如：转子惯性大，低频刚体模态较难控制，功率放大器特性对控制性能的影响较大，电磁铁-转子模型较难精确建立，控制系统通常对实际中的扰动较敏感，系统中不确定性较大等. Aeschlimann等^[4]介绍了安装在海上石油钻机上的一台工业9轴无油集成磁悬浮压缩机的调试情况，其中转子长约6 m，质量约为3.5 t. 清华大学研制了应用于10 MW高温气冷堆（HTR-10）的立式磁悬浮氦风机^[5]，开展转子跌落研究^[6]、动力学特性分析及稳定运行实验研究^[7]. 目前，国内对于卧式重载磁悬浮轴承-转子系统的研究较少，尤其是其存在不易建立精确数学模型，现代控制方法如鲁棒控制^[8-9]、自抗扰控制^[10]、模糊控制^[11]等不适用等问题.

本文采用不依赖被控对象精确数学模型、基于特征模型的全系数自适应控制（ACAC）方法^[12]. 该方法由Wu等^[13-14]提出，适用于非线性、强耦合与未建模模态被激发时的系统，且控制器设计简洁. ACAC方法在航天控制领域已有很多成功的应用，但在磁悬浮轴承领域应用不多. 美国弗吉尼亚大学Di等^[15-16]将ACAC应用于控制柔性磁悬浮轴承转子小型试验台，提高了系统稳定性. 重型转子惯性大且控制系统对扰动更敏感，因此控制难度更大. 本文对重载磁悬浮轴承-转子系统建模，通过仿真验证ACAC具有较好的实时调节参数的性能；搭建实验台，试验验证了ACAC的控制效果.

将卧螺离心机中的传统轴承支撑替换为主动磁悬浮轴承支撑，能够显著提高离心机性能^[17]，如提升运行转速，无需原有传统轴承润滑系统，可以实现对转子或基座振动的抑制等. 新设计的卧螺离心机工作转速较原有机型转速（3 000 r/min）提高了50%以上，从而使离心机的分离效率得以提高.

设计的用于支承重载卧螺离心机的径向AMBs采用16极结构，轴向、径向AMBs的主要参数如表1所示.

如图1所示为设计的AMBs支撑的重载卧螺离心机. 其中图1（a）为拆除内螺旋后的磁悬浮卧螺离心机装配结构简图，图1（b）为磁悬浮卧螺离心机实物图. 本文的研究重点是重载磁悬浮轴承-转子，未考虑卧螺离心机的其他工况，因此本文的仿真和实验均建立在拆除内螺旋后的基础上.

AMBs系统闭环控制框图如图2所示，利用传感器实时检测出转子位移，与参考信号作差得到误差信号. 控制器根据误差信号计算出控制电压并由功率放大器转换为控制电流，进而驱动电磁铁产生控制力，使转子悬浮在参考位置附近. 其中C为控制器，K_a为功率放大器，G_AMB为电磁铁–转子，K_s为传感器.

a）电磁铁-转子. 磁悬浮系统在稳定工作点附近，通过对力、位移与电流进行小范围的线性化，可以得到电磁铁–转子模型的传递函数^[3]：

(1) ${G_{\rm{AMB}}} = \frac{{{k_{\rm I}}}}{{m{s^2} + {k_{\rm x}}}}.$

式中：转子质量m=1 090 kg，力-电流刚度系数k_I=5.68×10³ N/A，力-位移刚度系数k_x=−2.48×10⁷ N/m.

b）位移传感器. 选用的电涡流位移传感器带宽为5 kHz，转子旋转速度相对较低，位移传感器可以被视为比例环节. 转子轴向运动行程为−0.4 mm至0.4 mm，传感器对应输出为0~5 V，因此传感器的增益为K_s=5 000/0.8 (V/m).

c）功率放大器. 功率放大器作为执行器的一部分在整个闭环系统中起到了关键作用，尤其在重载AMBs系统中更重要. 在重载AMBs系统中，需要根据实际转子情况适当增大功率放大器中变压器的功率，调节功率放大器的电流闭环回路中的比例、积分增益. 在仿真过程中，根据扫频结果将功率放大器视为线性比例环节，增益为K_a=0.7 (A/V).

全系数特征模型自适应的控制原理图如图3所示. 通过广义被控对象的输入与输出辨识系统的特征模型，根据辨识出的特征模型参数实时改变控制量，从而实现自适应控制.

高阶线性定常的被控对象可以表述为

(2) $G({{s) = }}\frac{{{b_m}{s^m} + {b_{m - 1}}{s^{m - 1}} + \cdots + {b_1}s + {b_0}}}{{{s^n} + {a_{n - 1}}{s^{n - 1}} + \cdots + {a_1}s + {a_0}}}.$

可以展开为如下多项式：

(3) $ \begin{split} G({{s)}} =& \frac{{{k_v}}}{{{s^2}}} + \sum\limits_{i = 1}^m {\frac{{{k_i}}}{{s + {\lambda _i}}}} + \sum\limits_{i = 1}^h {\bigg(\frac{{{k_{p + i}}}}{{s + {\lambda _{p + i}}}}} + \frac{{{{\overline k }_{p + i}}}}{{s + {{\overline \lambda }_{p + i}}}}\bigg) +\\& \sum\limits_{i = 1}^p {\frac{{{k_{\omega i}}}}{{{{(s + {\omega _i})}^2}}}} .\end{split}$

将式（3）离散化可得定常差分方程. 当该差分方程的系数时变时，该系数可以由大于或等于2阶、小于n阶的差分方程拟合得到，其阶数由控制性能指标确定，且拟合方程可与原被控对象方程等效^[18-19].

当采样周期 $\Delta t$足够小时，被控系统的特征模型可以利用慢时变差分方程表示：

(4) $\begin{split} y(k + 1) =& {f_1}(k)y(k) + {f_2}(k)y(k - 1) + \\ &{g_0}(k)u(k) + {g_1}(k)u(k - 1)\;. \end{split} $

被控对象模型的相关信息被包含在f₁（k）、f₂（k）、g₀（k）和g₁（k）4个特征参数中. 特征模型辨识中，上述4个特征参数之和为1是最重要的结论^[19]. ACAC的控制输出量均与上述特征参数有关. 对特征模型进行辨识，得出4个特征参数是ACAC控制器设计的关键所在. 常用的辨识手段包括RLS法和梯度下降法. 由于RLS法的计算量较大且实现相对困难，一般采用梯度下降法以获得特征参数.

将被控对象的参数估计方程表述为

(5) $y(k) = {{{\varphi }}^{\rm{T}}}(k){{\theta }}(k) + \varepsilon (k).$

式中： ${{{{\varphi }}^{\rm{T}}}(k) = [y(k - 1),y(k - 2),u(k - 1),u(k - 2)]}, {{{{\theta }}^{\rm{T}}}(k)} =$ $ [{f_1}(k),{f_2}(k),{g_0}(k),{g_1}(k)],{\varepsilon (k)} $为参数估计算法的误差.

梯度下降法^[19]可以表示为

(6) ${{\theta }}(k) = {{\theta }}(k - 1) + \frac{{{\lambda _1}{{\varphi }}(k)}}{{{{{\varphi }}^{\rm{T}}}(k){{\varphi }}(k) + {\lambda _2}}}[y(k) - {{{\varphi }}^{\rm{T}}}(k){{\theta }}(k - 1)].$

式中： ${\lambda _1}$与 ${\lambda _2}$根据扰动量与收敛速度需求确定.

ACAC理论的控制量 $u(k)$包括维持设定输出控制量 ${u_0}(k)$和误差反馈控制量 ${u_1}(k)$. 其中， ${u_0}(k)$是为了使输出 $y(k)$为期望的参考输入值 $y{}_{\rm r}$. 控制量 ${u_0}(k)$可以分为2部分：

(7) $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {u'_0(k) \!=\! \dfrac{{{y_{\rm r}}(k) \!-\! {f_1}(k)y(k) \!-\! {f_2}(k)y(k \!-\! 1)\! -\! {g_1}(k)u'_0(k\! -\! 1)}}{{{g_0}(k) + \lambda }}}, \!\!\!\\ {{u_{\rm I}}(k) = {u_{\rm I}}(k - 1) + {k_{\rm{ in}}}({y_{\rm r}}(k) - y(k))} . \end{array}} \right\}$

式中：维持控制量 $u'_0(k)$的作用是使输出 $y(k)$为参考输入值 $y{}_{\rm r}$，积分控制量 ${u_{\rm I}}(k)$的作用是将静态误差消除，k_in为积分系数.

控制量 ${u_1}(k)$包括黄金分割自适应控制量 ${u_{\rm g}}(k)$和微分控制量 ${u_{\rm d}}(k)$，表示如下：

(8) $\left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_{\rm g}}(k) = \dfrac{{{l_1}{f_1}(k)e(k) + {l_2}{f_2}(k)e(k - 1) + {g_1}(k){u_{\rm g}}(k - 1)}}{{{g_0}(k) + \lambda }}}, \\ {{u_{\rm d}}(k) = {k_{\rm d}}{{(e(k) - e(k - 1))}}/{T}}. \end{array}} \right\}$

式中： $e(k) = {y_{\rm r}}(k) - y(k)$； ${l_1}$ 与 ${l_2}$为黄金分割比， ${l_1} = 0.382$， ${l_2} = 0.618$.

${u_{\rm g}}(k)$的作用是确保最初过渡过程的系统闭环稳定性. ${u_{\rm d}}(k)$的作用是提高系统的动态性能.

综上所述，ACAC理论的控制律可以表示为

(9) $u(k) = u'_0(k) + {u_{\rm I}}(k) + {u_{\rm g}}(k) + {u_{\rm d}}(k).$

后续的仿真和试验均是基于该控制方法实施的，其中，仿真结合了给出的转子单自由度模型，试验研究为基于该控制方法的5自由度分散控制.

采用Matlab/Simulink对单自由度磁悬浮轴承-转子系统进行起伏特性仿真，仿真参数如表2所示. 表中，k_d为微分系数. 在0.2 s时利用正弦信号模拟转子不平衡振动，得到系统特征模型辨识参数、自适应控制量及位移曲线，如图4、5所示. 图4中，V为辨识参数数值. 其中，f₁、f₂、g₀、g₁的初始参数分别取为1.996、−0.998、0.001、0.001. 在前0.2 s内，f₁收敛于1.997 2，f₂收敛于−0.996 8，g₀收敛于−2.74×10⁻⁴，g₁收敛于6.44×10⁻⁴. ${f_1}{\rm{ + }}{f_2}{\rm{ + }}{g_0}{\rm{ + }}{g_1} \approx 1$，与ACAC理论中的特征参数之和为1相符合.

由图4可以看出，4个特征参数在系统未受干扰时收敛至常数值，但系统受到扰动之后，4个特征参数在动态变化，以此来调整自适应的控制量.

如图5所示为控制量与输出位移的变化曲线. 如图5（a）所示为控制量的变化情况，如图5（b）所示为输出位移的曲线. 图中，C为控制器输出控制量，D为转子振动位移. 由于图4中的4个特征参数在动态变化，与之密切相关的控制量也是动态变化的.

在ACAC中除了4个特征参数的初始值外，主要控制参数还有 ${k_{\rm {in}}}$、 ${k_{\rm d}}$、λ. 其中 ${k_{\rm{in}}}$和 ${k_{\rm d}}$与经典PID中的对应系数作用相同. 在全系数自适应控制中，参数λ对于系统的影响规律值得探讨.

设置 ${k_{\rm {in}}}$、 ${k_{\rm d}}$为定值，且依次设置不同的参数λ，开展仿真模拟. 不同参数λ对控制系统阶跃响应的影响结果如图6所示.

由图6可以看出，系统的稳定时间随着参数λ的减小而减小，当λ=0.1时，稳定时间约为0.1 s；当λ=0.3时，系统在0.2 s内还未稳定. 参数λ在0.1~0.3中取值越大，系统的超调量与调节时间均越大. 通过仿真验证可知，当λ过大或过小时均会导致系统失稳，因此调节出合适的λ至关重要.

对于重载磁悬浮轴承转子系统，通过在线调试传统PID控制器较难获得稳定的控制参数. 即使找到一组控制参数，转子也不易顺利通过刚体模态频率对应的转速，这是由于前文分析重载转子具有的转子惯性大的特殊性造成的.

选用具有实时调节作用、且不依赖于被控对象精确模型的ACAC理论. 通过控制参数的调试，得到径向与轴向的控制参数，如表3所示. 为了得出系统控制闭环特性，对磁悬浮轴承系统A端和B端径向一个方向、轴向方向分别开展静态扫频试验. 以参考信号作为输入，以位移传感器检测信号作为输出，扫频结果如图7所示. 图中，L为幅值，φ为相位差，f为输入信号频率.

由图7可知，A端AMBs系统在39 Hz附近、B端在45 Hz附近的幅值相对较大，该频率为转子的平动或锥动模态. 由于重载转子惯性较大，刚体模态需要予以关注，必要时可以针对刚体模态进行主动控制.

为了验证轴承转子系统的稳定裕度^[20]，根据ISO14839^[21]，获得AMBs控制系统的灵敏度函数伯德图，如图8所示. 灵敏度函数可以由参考信号到误差信号的映射关系得出，与稳定裕度成反比.

ISO14839中将灵敏度函数峰值S定义了4个区域，如表4所示.

对AMBs转子系统进行灵敏度函数测试，整个系统的灵敏度函数^[21]为

(10) ${S_{\max }} = \mathop {\max\;}\limits_i [\max\;\left| {S({\rm j}w)} \right|];\;\;w = 2{\text{π}} f.$

式中：i为闭环控制的数量.

综合分析转子各自由度的稳定裕度并结合式（10），得到如图9所示的系统整体稳定裕度. 可知，整个轴承-转子系统稳定裕度在区域B安全范围以内，可知该系统可以长期稳定工作. 在21 Hz处达到峰值11.9，具有一定的失稳概率，需要分析并避免潜在的隐患.

当转子旋转至最高转速下，采集转子位移时域信息，得出此时的转速为4 740 r/min，如图10所示为该转速下的转子位移信号. 图中，S为位移传感器检测电压. 如图11所示为该状态下转子的轴心轨迹. 图中，D₁与D₂分别为两正交分布的传感器检测的转子振动位移幅值. 由图10、11可知，5个自由度的振动位移均较小，相对平衡位置的传感器检测电压约为0.5 V，即振动幅值约为50 μm. 其中，转子A端的振动位移相对更小.

如图12所示为转子在4 740 r/min下A端的位移时域信号及频域分析结果. 图中，S为位移传感器检测电压，S₁为位移频域信号幅值. 最大频率为79 Hz，即此时的旋转频率. 由图12可以看出，转子的振动信号中基频占主导作用，基频主要是由转子本身不平衡质量引起的，其他高频及半倍频成分均不明显.

如图13所示为A端位移信号的升速瀑布图. 图中，n为转速. 由图13可知，转子在升速过程中出现峰值的频率为31.6 Hz与39.5 Hz，分别对应图7（a）的31 Hz与39 Hz. 根据阶次信息可以看出，在转速为0~4 740 r/min的条件下，由于转子不平衡质量的存在导致基频成分占据主导地位，且在一定范围内随着转速线性增加，这一现象与不平衡质量随转速激起不平衡力的理论相吻合. 其他倍频信号均不明显. 通过阶次信息可以基本判断此时转子系统中未包含常见故障因素^[22].

对自适应控制状态下的转子振动位移进行ISO14839标准^[23]评估，该标准定义的转子振动位移轨迹如图14所示. 图中， ${x_{\max }}$与 ${y_{\max }}$依次为转子在x与y方向上的最大振动位移幅值， ${D_{{\rm m} - {\rm r}}}$为转子径向最大位移幅值，

(11) ${D_{{\rm m} - {\rm r}}} = \max\;[ {{x^2}(t) + {y^2}(t)} ]^{1/2}.$

式中：x（t）与y（t）分别为转子位置的横坐标与纵坐标.

由上述测试原理及方法，获得如图15所示的A端、B端转子振动位移. 结合表5中ISO14839推荐的区域限制标准，由图15可知，A端、B端径向AMBs转子的振动位移比值均小于0.4，说明该振动位移水平在B级安全范围内.

（1）利用自适应控制方法将吨级重载磁悬浮轴承-转子稳定旋转至4 740 r/min左右，通过ISO14839验证了其稳定裕度及振动水平均位于B级安全以内，该状态下的设备可以长期稳定运行.

（2）重载磁悬浮轴承-转子在刚体模态处的振动幅值相对较大，应予以关注，必要时可以针对刚体模态进行主动控制.

（3）运用本文的研究成果，可以为重载卧螺离心机高速旋转提供保障，同时为磁悬浮支撑的重载机械设备提供参考.

今后工作可以针对磁悬浮卧螺离心机含物料的实际工况进行研究，有必要借助磁悬浮轴承系统可主动控制的优势，开展卧螺离心机双转子中拍振抑制的研究.