形状记忆合金（SMA）是智能材料和结构技术的固有部分，它们能够将热能直接转换为机械能，反之亦可. 由于SMA独特的性质及应用潜力，近年来SMA的动力学一直是大量理论、实验和计算工作的主题^[1-3]. 尽管SMA能够感知并固有地响应应力场和热场中的激励，但智能材料界关注的真正焦点是如何优化和控制这些现象. 建立在宏观尺度上用于描述智能材料动力学的合适的数学模型变得至关重要. 尤其是当应用涉及到动力学分析和控制时，如果可以用少数几个微分方程成功描述SMA特性，则很有利于控制器的设计和动力学分析，与之相关的开发工具很容易获取.

SMA结构的动力学建模和分析是相当复杂的，因为动力学中存在滞回现象，且在应力场和热场之间存在非线性耦合^[4-6]. 对SMA建模的难点在于SMA独特的形状记忆效应和由相变引起的结构非线性. 将SMA冷却至较低温度，然后使之产生永久变形，当再次加热时，SMA可以在高温下恢复初始形状. SMA的这种恢复原始形状的独特性质被称为形状记忆效应（SME）. 在许多情况下，SMA只能恢复在高温下的起始形状，当再次冷却时，它将忘记在较低温度下的起始形状，故SME被称为单程形状记忆效应（OWSME）. 合适的热处理手段可以使SMA具有双程形状记忆效应. 通过实验证明，如果在预处理时对SMA多次进行冷却-变形-加热循环，且每次在低温下对SMA进行相同的变形，那么SMA在冷却后，即使没有施加外部负载，也可以恢复SMA预处理时低温下的起始形状. 宏观上表现为SMA可以学习变形的方式，SMA这种能够恢复在高温及低温下的初始形状的独特性能被称为双程形状记忆效应（TWSME）. 在训练SMA使之获得形状记忆效应的过程中，需要合理调整训练温度、时间及施加的负载等参数，训练完成后，要以合适的加工方式将SMA材料加工为目标结构，获得较好的形状记忆效果和使用寿命^[7-8].

现在，人们已经认识到SMA的特性是受到外部负载时会发生可逆相变与马氏体变体重构. 这为建立用于描述SMA材料动力学特性的热-力学数学模型提供了基础，这些模型基于物理观察验证，可以为实际工程应用提供有效的理论模型. 本文基于热弹性相变的Landau理论，提出宏观微分模型. 利用非线性常微分方程描述OWSME，用不同相变的加权组合描述TWSME.

通过实验证明，SMA的OWSME和TWSME都是由马氏体相变和马氏体重定向引起的. 可知，建立SMA的动力学模型的最有效方法是使用数学的方法来描述相变. 如图1所示，SMA的一维结构中，在相变过程中涉及到2个马氏体变体相和1个奥氏体相. 相变可以由过热（A $\Leftrightarrow $M+或A $\Leftrightarrow $M−）或力（A $\Leftrightarrow $M或M+ $\Leftrightarrow $M−）诱导发生，其中A表示奥氏体，M+表示正取向马氏体，M−表示负取向马氏体，M包括M+和M−.

为了方便建立模型，可以将SME通过如下方式和相变相关联. 在相变时，每个相都有一个特定的特征应变. 在高温时，只有奥氏体是稳定的，特征应变为零. 当材料冷却到较低温度时，奥氏体将变得不稳定，而此时马氏体是能够稳定存在的. 如果在冷却过程中没有施加外部负载，则2种马氏体变体具有相同的机会出现，即A $\Rightarrow $M+和A $\Rightarrow $M−这2种相变有着相同的发生概率. 在多数情况下，尽管与每个马氏体变体相关的应变是非零的，但由于M+和M−形成孪晶微结构^[9-10]，这使得SMA的宏观上的总应变为零，如图1中的步骤1所示. 当在较低温度下施加外力载荷时，由于2种马氏体变体（M+ $\Leftrightarrow $M−）之间的取向重构，孪晶马氏体可以容易地发生塑性变形. SMA变形后的形状由M+和M−共同决定，且当外力移除时，形状保持不变，如图1的步骤2所示. 当将SMA加热到更高温度时，马氏体变得不稳定且将发生M $\Rightarrow $A相变，此时在材料中仅存在奥氏体. 当仅存在奥氏体时，应变将再次变为零，因此将恢复高温下SMA的原始形状，这个1-2-3周期为OWSME.

当对SMA进行多次循环热处理，且在每次循环中对其以相同方式施加同样的应力时，SMA记忆合金会以一种自适应的方式调整M+和M−，不用形成孪晶结构. 在该情况下，当SMA在没有外力负载的情况下冷却时，材料可以自发地形变到特定形状，因此SMA可以恢复低温下的形状. 通过加热或冷却来恢复SMA在高温和低温下的形状，即为TWSME.

SMA的其他独特性质同样可以归因于马氏体相变的宏观表现，例如超弹性效应是由外应力作用下奥氏体和马氏体之间的可逆相变引起的. 由于本文模型的建立是基于相变的唯象描述，模型可以很好地刻画SMA所有的这些特性.

现有的SMA模型可以分为微观模型和宏观模型. 在微观力学中，Falk^[11]基于多井自由能密度创建一维的唯象非等温模型，将自由能以应变和温度的幂级数的形式表示，使得代表稳定性的能量最小值取决于温度项. 在Landau和Landau-Ginzburg理论被应用于相关问题以后，更多模型被提出，其中有一些考虑多轴加载情况的模型已被广泛使用. 微观力学模型主要关注相变动力学和界面/惯习面运动现象，常常涉及很多难以通过实验识别的参数.

与微观模型相比，宏观模型更加简单，相关参数更易识别，更适用于解决实际问题. Tanaka等^[12]基于热力学第二定律，利用在相变过程中霍尔姆兹自由能最小化的原理提出单轴模型. 该模型除了温度和宏观应变外，还考虑代表马氏体体积分数的内部状态变量，并假设马氏体体积分数随着应变和温度呈指数变化. Liang等^[13]对该模型进行修改，使得该模型能够更好地定量描述单轴超弹性. Brinson等^[14]提出区分应力诱发马氏体与温度诱发马氏体的模型，将马氏体的体积分数分为应力诱发的马氏体和由温度诱发的马氏体，更好地描述了整个材料的特性.

近年来，考虑SMA材料在力热耦合条件下响应的模型不断发展. Wael等^[15]提出宏观模型，只通过使用马氏体体积分数和应变张量这2个状态参数，描述了SMA材料的自适应性、马氏体取向重构、超弹性和单程形状记忆效应. Sedlak等^[16]基于热力学不可逆过程提出多晶SMA材料的热力耦合模型，该模型可以模拟相变过程中的马氏体相、奥氏体相、作为中间相的R相以及马氏体取向重构. 该模型基于相变和取向重构，提出新颖的耗散函数，考虑在奥氏体和R相之间相变时材料的响应及材料的各向异性. Yu等^[17-18]分别提出基于晶体塑性的本构模型和唯象模型模拟超弹性NiTi SMA的循环特性，该模型涉及到2个产热方式：非弹性变形的机械耗散和相变潜热. Xi等^[19]根据Ginzburg-Landau的理论和热力学，提出可模拟具有超弹性的单晶NiTi形状记忆合金（SMA）循环相变的三维相场模型. 该模型考虑单晶模型下马氏体相变的形核过程及马氏体变体的生长，发现伴随着循环加载，残余马氏体的不断累积而产生材料内部缺陷，最终会影响可逆马氏体相变的发生. Yao等^[20]提出不同加载速率下SMA响应的三维热力耦合模型，考虑了2个非弹性项：马氏体相变及相变诱发的塑性，利用有限元法将该模型从单晶尺度推广至多晶.

为了对相变引起的形状记忆效应进行建模，采用可以综合考虑SMA动能和自由能的拉格朗日函数φ，使用了相变中的唯象理论（Landau理论）. Landau理论的一级相变的本质是将自由能函数构造为一个含有序参量的非凸函数，选择序参量的目的是为了表征相变中所涉及的不同的相. 目前，可以将自由能函数构建为典型的Landau自由能函数，如下^{[11, 21-22]}：

(1) $\left. \begin{aligned} &\varphi =\frac{\rho }{2}{\left( {\dot u} \right)^2} - F, \\ &F\left( {\theta ,\varepsilon } \right)=\frac{{{a_2}\left( {\theta - {\theta _{\rm c}}} \right)}}{2}{\varepsilon ^2} + \frac{{{a_4}}}{4}{\varepsilon ^4} + \frac{{{a_6}}}{{6}}{\varepsilon ^6},\\&\varepsilon ={{\partial u}}/{{\partial x}}. \end{aligned}\right\} $

式中：u为SMA产生的位移，F为自由能，θ为材料温度，ε为应变且是唯一的序参量，a₂、a₄、a₆和θ_c均为材料常数. 自由能和材料温度有关. 通过计算可知，通过选取合适的参数值，利用Landau自由能函数可以得到与3个相分别对应的3个局部平衡，如图2所示. 图2（a）中2个标记为阴影方块的局部平衡部分分别对应马氏体的2个变体（M+和M−），它们仅在较低温度下稳定且在较高温度下将会变得不稳定.图2（c）中标记为阴影圆圈的部分对应于奥氏体相，奥氏体在较低温度下不稳定且仅在较高温度下稳定；因此，可以通过模拟系统在不同平衡态之间的转换来模拟相变过程及其动力学.

基于上述自由能函数，应用Hamilton原理来描述SMA结构里的应力场，动力学方程^[23-25]如下：

(2) $\left. \begin{aligned} &\rho \frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {t^2}}}=\frac{{\partial \sigma }}{{\partial x}} + h,\\ &\sigma ={a_2}\left( {\theta - {\theta _{\rm c}}} \right)\varepsilon + {a_4}{\varepsilon ^3} + {a_6}{\varepsilon ^5}. \end{aligned}\right\} $

式中：ρ为SMA的密度，σ为应力，h为体力. 利用上述模型能够模拟相变中的非线性波传播，模型的具体实施还需要考虑边界条件.

对于宏观尺度上的建模，之前所考虑的SMA结构内部的波传播^[26]不是主要关注点，因为不需要模拟相关微结构和应变变化. 假设在当前的讨论中应变沿整个长度方向不变，即应变在整个一维SMA结构内总是均匀的，通过对文献[23]中式（1）的等号两端对x取偏导，结合 $ \varepsilon ={{\partial u}}/{{\partial x}}$，考虑黏滞项和外加负载，可以将式（2）通过下式来近似，Wang等^[27]给出式（2）的更多简化形式：

(3) $ \frac{{{{\rm d}^2}\varepsilon }}{{{\rm d}{t^2}}} + c\frac{{{\rm d}\varepsilon }}{{{\rm d}t}}={a_2}\left( {\theta - {\theta _{\rm c}}} \right)\varepsilon + {a_4}{\varepsilon ^3} + {a_6}{\varepsilon ^5} + f\left( t \right). $

ε=∆L/L，其中ΔL为马氏体相变引起的长度变化； $ f(t)$为外加载荷. 模型中的系数都被相应缩放. 式（2）中，为了描述SMA的黏弹性效应，引入具有系数c的黏弹性项^{[21, 23, 25]}. 对于正负取向的马氏体变体，在给定温度θ下的特征应变可以由式（1）确定为

(4) $ \frac{{\partial F}}{{\partial \varepsilon }}=0,\;\;\varepsilon = \pm \sqrt {\frac{{{a_4} + \sqrt {{a_4}^2 - 4{a_2}{a_4}\left( {\theta - {\theta _{\rm c}}} \right)} }}{{2{a_6}}}} . $

当没有外加负载时，式（3）中 $ f\left( t \right)=0$，在热致马氏体相变中没有马氏体变体偏向性，它们将以相同的概率产生，最终在SMA材料中具有相同的体积分数. 如图1的左下方区域所示，M+和M−以孪晶的方式进行自适应布置. 在较低温度下施加外力载荷后，马氏体变体将进行取向重构. 马氏体变体的取向将会向特定负载下的偏好取向转变. 由于马氏体变体取向改变，结构的整体应变将不再为零. 当SMA被加热到更高的温度时，马氏体相将变得不稳定并且将引起马氏体到奥氏体的转变，这导致整体应变消失，从而恢复原始形状.

当对SMA多次进行冷却-变形-加热循环，且每次在低温下对SMA进行相同的变形时，SMA将具有TWSME. TWSME的机理是在无外加负载的情况下冷却时，SMA在A $ \Rightarrow$M的相变过程中将自动恢复到原有的马氏体变体状态，即相变后的马氏体变体含量与预处理时相同. 仅考虑一维结构，即只有M+和M−. M+和M−之间的组合可以通过每种变体的百分数得到唯一的表征. SMA的总体应变可以通过以下加权组合获得：

(5) $ \varepsilon =\beta {\varepsilon _ + } + \left( {1 - \beta } \right){\varepsilon _ - }. $

式中：β为正取向马氏体（M+）的体积分数；ε₊、ε₋为M+和M−所对应的特征应变，相应的值可以用式（4）计算得出.β仅与外加负载有关，若β为0.5，则整体应变为零.

该模型的关键在于预处理训练之后，β为一个不等于0.5的常数并被材料所记忆，当SMA在没有外部负载的情况下冷却时可以自动恢复到起始的马氏体状态. 由于M+和M−的特征应变是取决于材料的常数，在较低温度下材料的总应变将取决于材料及材料的温度. 上述机制阐述了TWSME.

对于动态建模，与M+相关的应变变化的控制方程为

(6) $ \frac{{{{\rm d}^2}{\varepsilon _ + }}}{{{\rm d}{t^2}}} + c\frac{{{\rm d}{\varepsilon _ + }}}{{{\rm d}t}}={a_2}\left( {\theta - {\theta _{\rm c}}} \right){\varepsilon _ + } + {a_4}{\varepsilon _ + }^3 + {a_6}{\varepsilon _ + }^5 + {f_{\rm v}}. $

式中：f_v为保证马氏体相变得到M+变体所施加的驱动力，即保证相变过程中仅发生A $\Rightarrow $M+相变，如图3（a）所示. 类似地，可以给出与M−相关的应变变化的控制方程：

(7) $ \frac{{{{\rm d}^2}{\varepsilon _ - }}}{{{\rm d}{t^2}}} + c\frac{{{\rm d}{\varepsilon _ - }}}{{{\rm d}t}}={a_2}\left( {\theta - {\theta _{\rm c}}} \right){\varepsilon _ - } + {a_4}{\varepsilon _ - }^3 + {a_6}{\varepsilon _ - }^5 - {f_{\rm v}}. $

式（7）与式（6）的f_v相等，但符号相反，相应的示意图为图3（b）.

f_v很小，只要足够引起相变过程的变体倾向性即可. 人为引入驱动力f_v的理由如下：为了单方面模拟A $\Rightarrow $M+变换引起的宏观应变，需要暂时排除与M−相关的应变的影响. 如图2的势能函数所示，2个变量M+和M−具有完全相同的势能且在能量上是等效的. 当SMA在没有外部负载的情况下冷却时，将同时引发A $\Rightarrow $M+和A $\Rightarrow $M− 2种相变. 在人为施加f_v后，2个变体的等价性将被打破，且驱动力所倾向的变体将在相变中具有优先权. 在相变过程中，引起相变变体倾向性所需要的力f_v较小，通常情况下远小于引起应变所需的力f. 当SMA在外力f作用下产生应变时，力f中有一部分是作为f_v来引起变体倾向性，由于f_v远小于f，在实际中当形状记忆合金产生明显变形时，发生的相变必定带有变体倾向性.

f_v的引入是为了描述形状记忆合金在训练过程中对相变过程的影响，从而将单程记忆效应和双程记忆效应统一进一个相同模型.

为了验证当前模型的效果，开展一系列数值实验. 模拟应力负载和热负载下的马氏体相变过程，给出在热负载下与OWSME和TWSME相关的滞回环曲线，得到应力诱发马氏体变体重构所导致的单滞回环和与超弹性效应有关的双滞回环. 以Au₂₃Cu₃₀Zn₄₇棒为实验材料，下面列出部分主要参数，具体参数^[22-24]如下：a₂=4.8×10⁷ kg/(s²·m·K)，a₄=6.0×10¹¹ kg/(s²·m)，a₆=4.5×10¹³ kg/(s²·m)，c=2.0×10⁶ kg/(s·m²)，θ_c=208 K.

第1个数值实验是为了验证M $\Rightarrow $A相变过程中所产生的应力突变以及在循环加热冷却过程中产生的滞回环曲线. 对于所选择的SMA材料，当温度为300 K时为奥氏体，当温度为200 K时为马氏体. 所采用SMA结构的初始温度设为200 K，初始应变设为0.114，该应变是由式（4）代入相应的参数a₂、a₄、a₆和θ_c所得到的特征应变. 可知，此时相变只会产生正取向马氏体变体（M+）. 在实验中，SMA结构通过400个偶数步长从200 K加热到300 K. 使用式（6）模拟加热过程中的应变变化. 由于发生了M+ $\Rightarrow $A相变，在加热过程中预计会出现应变突变，如图4（a）的上部实线曲线所示. 开展不同初始应变下的系列数值实验. 200 K下，当SMA材料仅具有负取向马氏体（M−）时，初始应变设为−0.114，加热过程中的应变变化由图4（a）的虚线曲线给出. 由于2种马氏体变体的能量等效性，可以看出图4（a）中2条曲线是对称的. 一旦材料转变为奥氏体状态，无论初始应变是多少，最终的总应变将为零.

在第2个数值试验中，SMA结构的初始温度设为300 K，初始应变设为零. SMA结构首先以400个偶数步长冷却至200 K. 在该实验中，式（6）、（7）中引入的驱动力f_v=1.0×10⁵ kg/(s²·m²). 在冷却过程中，将发生A $\Rightarrow $M相变. 由于有驱动力f_v，M+将成为具有偏向性的马氏体变体，且随着相变会产生应变突变. 将SMA结构再次加热到300 K，经历400个步长间隔. 加热过程将引起M+ $\Rightarrow $A相变，且当发生相变时将会有另一个应变的突变. 冷却和加热过程中应变的2次应变突变不会在相同的温度下发生，即在冷却和加热过程中发生相变的温度是不同的. 循环热负载诱发的相变过程将产生滞回环曲线，如图4（b）所示.

在上述模拟中，马氏体变体是施加驱动力所偏向的变体. 若改变驱动力的符号，则产生的马氏体变体将改变.

使用相同的模型，马氏体变体取向重构可以被该模型所捕捉到. 为了更加明确，开展2个数值实验. 第1个实验验证了应力引起马氏体变体取向重构而产生的单滞回环曲线. 选择的温度为205 K，初始应变为−0.114，施加的载荷是正弦函数f_v=2sin (2t)×10⁸ kg/(s²·m²)，作用于所选SMA结构后所得的应力应变，如图5（a）所示. 计算结果中有一个单滞回曲线，可以看到与马氏体变体取向重构有关的突变，该突变由图5（a）的箭头标出.

第2个数值实验是为了验证提出的模型能够捕获SMA的超弹性效应. 设定温度为255 K，此时奥氏体全局稳定，马氏体亚稳定即局部稳定. 施加的载荷是相同的正弦函数. 模拟结果如图5（b）所示. 可以看出在循环加载下存在2个滞回环曲线，2个滞回环分别对应奥氏体与2种不同马氏体变体之间的相变过程. 由于奥氏体在给定温度下是全局稳定的，当没有施加载荷时，应变将始终为零. 在给定温度下，马氏体是亚稳定的，当施加的载荷足够大时，会发生A $\Rightarrow $M相变，所产生的M可能为M+或M−（取决于外加载荷的正负）. 上部子滞回环曲线是由A $\Rightarrow $M+相变引起的，下部子滞回环曲线是由A $\Rightarrow $M−相变引起的.

数值实验是为了验证提出模型对于TWSME的刻画能力. 若SMA具有TWSME，则SMA在低温下的形状可以恢复，且低温形状取决于训练过程中所施加的外力负载. 考虑一维SMA结构，TWSME可以通过结构的宏观上的整体应变来表征. 设定SMA的初始温度为200 K，初始应变为0.03. 正取向马氏体M+体积分数β=0.625，该体积分数在预处理的训练后将成为SMA的一个材料常数. 通过对M+使用式（6），对M−使用式（7），计算A $\Leftrightarrow $M+和A $\Leftrightarrow $M相变产生的应变对总应变的贡献，然后使用式（5）计算宏观上的总应变. 如图6（a）所示为模拟所得SMA结构的应变随温度的变化. 可以看出，在一个完整的热循环加载过程中，高温和低温下的应变均得到了恢复. 若SMA结构经历了不同的预处理训练，则模拟的初始条件不同. 假设马氏体M+体积分数β=0.45，且在200 K时初始总应变为−0.012，可得如图6（b）所示的结果. 可以看出，在起始低温下的应变得到了恢复，这是由于材料在训练过程中记忆住了马氏体变体M+和M−的体积分数，且马氏体变体的特征应变是一个依赖于温度的常量.

从上述数值实验中可知，SMA材料的不同特性，包括OWSME和TWSME、超弹性效应，都可以通过提出的微分模型成功捕获. 基于唯象相变理论，提出的模型以非线性常微分方程表示. 提出的模型便于动态分析和控制.

本文构建宏观微分模型，用于描述一维SMA结构中的双程形状记忆效应. 该模型基于SMA中热弹性相变的唯象理论，控制方程采用非线性常微分方程. 开展与热和力负载下的相变过程的数值模拟，得到相应的热滞回环曲线和应力滞回环曲线，双程形状记忆效应和超弹性均被成功模拟. 提出的模型便于动态分析和控制. 当使用合适的分段样条曲线替换该模型中的自由能函数时，该模型可以在实验数据上达到更好的拟合效果.