土体开挖产生的卸荷作用将打破土体原有的应力平衡，使邻近既有单桩产生附加内力及变形. 已有多个既有单桩因邻近基坑开挖扰动而受损的案例被报道^[1-2]. 寻求一种有效、简便的预测方法，使之能够准确地评价单桩在土体扰动下的响应规律具有较重要的实际意义. 当前有关这一课题的研究方法如下.

1）模型试验法^[3-5]，一系列室内1 g模型试验以及超重力离心模拟已被广泛用于既有单桩在邻近土体侧移作用下的响应探究中. 其中，超重力离心模拟可以较真实地再现应力场，但是巨大的花费及模型制样过程的复杂，较大地限制了其在工程实践中的应用. 2）数值模拟法^[6-8]，主要包括有限元法或有限差分法，对整个基坑及邻近既有单桩进行实体三维建模. 该方法是预测单桩在邻近基坑开挖下响应规律的最准确和有效的方法之一，但是须准确地确定土层参数及边界条件才能获得较满意的结果. 3）解析理论法. 该方法建立在经典的弹性力学基础之上，在理论上较严密，且公式推导严格.

在理论研究中，“两阶段法”是一个重要的手段，即先给出基坑开挖下单桩所在位置处土体的自由位移场或应力场，再将其作为“外荷载”施加给既有单桩并计算力学响应. Sagaseta^[9]借助于虚拟镜像技术和固体力学弹性解，推导了在一定地层损失下的地层位移解析式；Xu等^[10]利用两阶段分析法并结合Sagaseta推导的地层位移解析式^[9]，推导在围护结构变形下的地层水平位移公式；张爱军等^[11]提出通过现场实测来确定围护结构的变形，有效避免了二次函数拟合有时误差较大的不足；杜金龙等^[12]引入土体统一极限抗力，提出基坑开挖与邻近单桩相互作用的弹塑性解；张治国等^[13]引入Kerr地基模型，弥补了Winkler地基不能考虑土体连续性的缺陷. 上述学者虽然在桩土相互作用的模型上作出了较大改进，但在两阶段法中第一步位移场的确定上大都沿用了Xu等^[10]提出的方法. 事实上，Xu等^[10]基于源-汇理论给出的土体位移场最早是由Sagaseta^[9]在小圆孔等量径向收敛的土体位移模式下推导而来，等量径向收敛显然过于理想.

当前从Sagaseta^[9]解出发衍生而来的解析公式不少见^[10-16]，且已被较广泛地应用于诸如盾构隧道、基坑开挖等土体开挖引起的土体位移场的预测中^[10-16]. 其中，有关盾构隧道引起的土体位移场的预测、土体的非等量径向移动已引起较多的关注，如梁荣柱等^[14]已指出土体的等量径向移动与实际不符. 林存刚等^[15-16]考虑土层的不同收敛模式，发现土层考虑非等量径向移动后的计算结果较数值法更接近实测. 然而，同样是基于Sagaseta^[9]解，其在由基坑开挖引起的位移场的应用中，土体移动过程的非等量性鲜有文献报道，这显然是值得关注的. 另一方面，张爱军等^{[11-13,17-18]}在计算单桩力学响应时，忽略了地基反力模量随深度的变化，为了考虑深度对模量的影响，俞剑等^[19]改进了Vesic公式，考虑了反力模量随地基深度变化的情况.

本文在林存刚等^[15-16,19]的研究成果上，基于基坑围护结构的实测变形，应用虚拟镜像技术，推导基坑开挖所引起的坑外土体水平自由位移场，分析中考虑了当前研究中大都忽略的土体非等量径向移动，与真实情况更接近. 引入俞剑等^[19]提出的考虑埋深影响的改进地基反力模量法，结合两阶段法，提出基于虚拟镜像技术的基坑开挖引起邻近既有单桩的水平向响应的简化解析解，可以为初步分析基坑开挖对邻近单桩的响应提供一定的理论支持.

“虚拟镜像技术”被广泛应用于求解由地层损失引起的土体位移场，由Sagaseta^[9]最先将其引入，如图1所示.

“虚拟镜像技术”求解位移的分析思路如下.

1）实际问题如图1（a）所示，即半无限空间内的圆孔发生等量径向收敛，此时地表应力为0.

2）如图1（b）所示，在无限空间内，该圆孔等量径向收敛后，在地表位置处产生的正应力为σ₀，切应力为τ₀；以原地表为对称轴，在原圆孔的对称位置虚设一等大的膨胀圆孔，可以发现，对于原圆孔内的任一微小空隙i，在其镜像中总能找到同一微小空隙i′，因此根据对称性可知，镜像圆孔在地表处产生的总应力为−σ₀、τ₀，叠加上述两圆孔的应力后，地表处还受切应力2τ₀.

3）事实上作为自由边界的地表，表面应无应力的存在，故对地表施加2τ₀的反向切应力后即可还原成步骤1）中的地表自由状态，同时只需求解2τ₀在半无限空间内产生的位移.

步骤1）等效于步骤2）和步骤3）的叠加，求解步骤2）和步骤3）产生的位移，即可得出半无限空间内的圆孔等量径向收敛产生的位移.

上述理论均基于圆孔的等量径向移动，未考虑该过程中土体移动的非等量性. 为了更接近真实情况，在文献[15,16]的基础上，推导由圆孔基于非等量径向移动产生的地层水平位移场.

作基本假定如下. 1）土体为均质各向同性，不可压缩弹性体；2）圆孔周边及外部土体朝向圆心径向收敛；3）圆孔收敛视为平面应变问题.

如图2所示为圆孔非等量径向移动模型，如图3所示为圆孔在非等量径向移动模式下的土层位移计算模型.

如图3所示，在土体等量径向移动模式下，对于半径为δ的圆孔o₁，其完全收敛时，距圆心o₁为r₁的外围土体，会发生等量径向收敛，且收敛中心、收敛值分别为o₁、u₀；土体在非等量径向移动模式下，当圆孔o₁完全收敛时，对距圆心o₁为r₁的外围土体，会发生非等量收敛. 此时圆孔o₁底部土体不动，顶部土体发生大小为u₁、即2u₀的径向收敛值.

对于圆上任一圆心角为θ位置处的土体，收敛值为u_rθ.

根据土体不可压缩的假定可知，圆孔收敛的面积等于外部土体收敛面积：

(1) ${\text{π}} {\delta ^2} = {\text{π}} [{r_1}^2 - {({r_1} - {u_0})^2}]. $

(2) ${\delta ^2} = - {u_0}^2 + 2{r_1}{u_0}. $

(3) ${u_0} \approx {{{\delta ^2}}}/({{2{r_1}})}. $

式中：δ为以o₁为圆心的圆孔半径；r₁为以o₁为圆心的大圆半径；u₀为当半径为δ的圆o₁收敛完全时，对半径为r₁的大圆上任意一点处土体发生等量径向收敛时的位移.

对于半径为r₁的大圆上任意点C（x₁，z₁），由图3中的几何关系，有

(4) ${r_1} = \sqrt {{x_1}^2 + {{({z_0} - {z_1})}^2}} . $

(5) ${\rm{sin}}\;\theta = \frac{{{z_0} - {z_1}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {{({z_0} - {z_1})}^2}} }}.$

(6) $\cos\; \theta = \frac{{{x_1}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {{({z_0} - {z_1})}^2}} }}. $

O₁E=r₁−u_rθ，O₁O₂=u₁−u₀，O₂E=r₁−u₀，∠EO₁O₂=θ+π，由余弦定理可知：

(7) $ \begin{split} {({r_1} - {u_0})^2} = & {({u_1} - {u_0})^2} + {({r_1} - {u_{r\theta }})^2} - \\ &2({u_1} - {u_0})({r_1} - {u_{r\theta }})\cos\; (\theta + {\text{π}}/{2}). \end{split}$

由式（3）~（7），可以解得非等量径向收敛模式下半径为r₁，圆心角为θ位置处的土体径向收敛值为

(8) ${u_{{r_1}\theta }} = \frac{{{\delta ^2}}}{{2{r_1}}}\sin \theta + {r_1} - \sqrt {\frac{{{\delta ^4}}}{{4{r_1}^2}}[1 - {{\cos }^2}\theta ] - {\delta ^2} + {r_1}^2} ,$

则该径向位移的水平分量为

(9) ${u_{1x}}_{_1} = - {u_{{r_1}\theta }}\cos \theta. $

(10) ${u_1}_x \!=\! \frac{{ - {x_1}{\delta ^2}({z_0} - z)}}{{2{r_1}^3}} - {x_1} \!+\! \sqrt {\frac{{{\delta ^4}{x_1}^2}}{{4{r_1}^4}}\left[1 - \frac{{{x_1}^2}}{{{r_1}^2}}\right] + {x_1}^2 - \frac{{{\delta ^2}{x_1}^2}}{{{r_1}^2}}}. $

同理可得，该径向位移的竖向分量u_1z1为

(11) ${u_{1{{{z}}_1}}} = {u_{r1\theta }}\sin \;\theta. $

(12) ${u_{1{{{z}}_1}}} = \frac{{{\delta ^2}{{({z_0} - {z_1})}^2}}}{{2{r_1}^3}} + ({z_0} - {z_1})\left[1 - \sqrt {\frac{{{\delta ^4}}}{{4{r_1}^4}}\left[1 - \frac{{{x_1}^2}}{{{r_1}^2}}\right] - \frac{{{\delta ^2}}}{{{r_1}^2}} + 1} \right]. $

式（11）、（13）为在步骤2）下，无限空间内圆孔收敛在土体内任意点C（x₁，z₁）处产生的水平和竖向位移.

类似地，在无限空间内由负镜像圆孔膨胀在点C（x₁，z₁）处产生的水平及竖向位移分量分别如下：

(13) ${u_{2x{_1}}} = \frac{{{x_1}{\delta ^2}({z_0} - {z_1})}}{{2{r_2}^3}} + {x_1} - \sqrt {\frac{{{\delta ^4}{x_1}^2}}{{4{r_2}^4}}\left[1 - \frac{{{x_1}^2}}{{{r_2}^2}}\right] + {x_1}^2 - \frac{{{\delta ^2}{x_1}^2}}{{{r_2}^2}}} , $

(14) ${u_{2{{z}}{_1}}} \!=\! \frac{{{\delta ^2}{{({z_0} - {z_1})}^2}}}{{2{r_2}^3}} + ({z_0} - {z_1})\left[1 \!-\!\! \sqrt {\frac{{{\delta ^4}}}{{4{r_2}^4}}\left[1 - \frac{{{x_1}^2}}{{{r_2}^2}}\right] - \frac{{{\delta ^2}}}{{{r_2}^2}} + 1} \right]. $

(15) ${r_2} = \sqrt {{x_1}^2 + {{({z_0} + {z_1})}^2}} . $

分别叠加圆孔及其负镜像圆孔产生的水平及竖直向位移，即完成1.1节的步骤2）.

(16) ${u_{x_1}} = {u_{1x{_1}}} + {u_{2x{_1}}}. $

(17) ${u_{{{z}}_{\rm{1}}}} = {u_{{1z_{\rm{1}}}}} + {u_{{2z_1}}}. $

式（16）、（17）给出由步骤2）在点C（x₁，z₁）处产生的水平及竖向位移，因此，对于任意点（x，z），将式（16）、（17）的x₁、z₁换为x、z，可得步骤2）在任意点（x，z）处产生的水平及竖向位移分别为u_x、u_z.

下面求解步骤3）地表切应力作用下的土体位移. 首先利用步骤2）的u_x、u_z，求解在地表产生的切应变：

(18) $\gamma = \left(\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}}+\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}\right){_{z = 0}}. $

结合式（18），对于线弹性体，坐标为（0，z₀）处半径为δ的圆孔收敛及其镜像圆孔膨胀后，则地表（x，0）处产生的切应力为

(19) ${\tau _x} = G\gamma = - 3G{\delta ^2}\frac{{x{z^2}_0}}{{{{({x^2} + {z^2}_0)}^{{5}/{2}}}}}. $

式中：G为土体切变模量. 为了求解该切应力τ_x作用下土体内任意点处产生的位移，须借助平面应变条件下的Cerrutti应力解^[20]，思路如下：首先由应力解推导出平面应变条件下的位移解，再借助于数值积分求解地表切应力作用下的土体内任意点的水平位移.

在平面应变条件下，对于局部坐标系x′o′z′，由Cerrutti解^[20]可知，当水平向集中荷载τ_x作用于弹性半空间o′（0，0）时，引起土体任一点C′（x₁′，z₁′）应力解为

(20) ${\sigma _x} = \frac{{ - 2}}{\text{π}}{\tau _x}\frac{{{{x'}_1}^3}}{{{{({{x'}_1}^2 + {{z'}_1}^2)}^2}}}, $

(21) ${\sigma _z} = \frac{{ - 2}}{\text{π}}{\tau _x}\frac{{{{x'}_1}{{z'}_1}^2}}{{{{({{x'}_1}^2 + {{z'}_1}^2)}^2}}}. $

式中：σ_x、σ_z为局部坐标系C′点处x、z方向的应力.

鉴于文献[20]中鲜有关于平面应变条件下的Cerrutti位移解，多数仅给出了应力解，因此必须对Cerrutti位移解进行理论推导，如下.

在平面应变条件，应力应变满足如下本构关系：

(22) ${\varepsilon _x} = \frac{{1 - {\mu ^2}}}{E}\left({\sigma _x} - \frac{\mu }{{1 - \mu }}{\sigma _z}\right). $

式中： $\mu $为泊松比，ε_x为x方向的应变.

将式（21）、（22）代入式（24），可得

(23) $\begin{split} {\varepsilon _x} = & \frac{{1 - {\mu ^2}}}{E}\left(\frac{- 2}{\text{π}}{\tau _x}\frac{{{x'}_1}^3}{{({{x'}_1}^2 + {{z'}_1}^2)}^2} + \frac{\mu }{{1 - \mu }}\frac{2}{\text{π}}{\tau _x}\frac{{{x'}_1}{{z'}_1}^2}{({{{{x'}_1}^2 + {{z'}_1}^2)}}^2}\right) = \\ & \frac{{2{\tau _x}}}{\text{π}} \cdot \frac{{\mu ^2} - 1}{E} \cdot \frac{{x'}_1}{{({{x'}_1}^2 + {{z'}_1}^2)}^2}\left[{{x'}_1}^2 - \frac{\mu }{{1 - \mu }}{{z'}_1}^2\right] . \end{split}$

由积分关系，再对应变ε_x积分，可得位移解：

(24) ${u_x} = \int {{\varepsilon _x}} {\rm{d}}x = (1 +\mu )\frac{{ - {\tau _x}}}{{E {\text{π}}}}\left[\frac{{{{z'}_1}^2}}{{{{x'}_1}^2 + {{z'}_1}^2}} + (1 - \mu ){\rm{ln}}\;({x'_1}^2 + {z'_1}^2)\right]. $

在采用Cerrutti基本解时，须集中力作用点位于局部坐标系x′o′z′的坐标原点o′（0，0）处，实际应用不方便. 通过坐标变换的方式推导出集中力作用点位于全局坐标系xoz下的x轴任意点（x，0）时的Cerrutti解的一般形式解，过程如下.

设全局坐标为xoz，局部坐标为x′o′z′，如图4所示，两坐标系下各自对应的坐标轴相互平行，局部坐标系x′轴偏移全局坐标系xoz坐标原点的距离为x，满足以下关系：

(25) ${x'_1} = {x_1} - x. $

(26) ${z'_1} = {z_1}. $

将式（25）、（26）代入式（24），可得地表（x，0）处切应力τ_x作用下，全局坐标系xoz下任一点C（x₁，z₁）处水平向位移：

(27) ${u_x} = (1 + \mu )\frac{{ - {\tau _x}}}{{E \text{π} }}\left[\frac{{{z_1}^2}}{{{{({x_1} - x)}^2} + {z_1}^2}} + (1 -\mu ){\rm{ln}}\;[{({x_1} - x)^2} + {z_1}^2]\right]. $

由数值积分可得整个地表切应力τ_x作用下的土体内某点C（x₁，z₁）处的水平向位移u_3x1：

(28) $ {u_{{\rm{3}}x}}_{_{\rm{1}}} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{u_x}{\rm{d}}x} , $

(29) $\begin{split} {u_{{\rm{3}}x}}_{_1} = & \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{3{\delta ^2}}}{{2{\text{π}} }}\frac{{x{z^2}_0}}{{{{({x^2} + {z^2}_0)}^{2.5}}}}\left[\frac{{{z_1}^2}}{{{{({x_1} - x)}^2} + {z_1}^2}} +\right.} \\ & (1 - \mu ){\rm{ln}}\;[{{({x_1} - x)}^2} + {z_1}^2]\Bigg] {\rm{d}}x. \end{split}$

式（29）即为步骤3）产生的位移，再叠加步骤1）、2）的位移，可得总水平向位移：

(30) ${U_x} = {u_{{1x_1}}} + {u_{{2{x_1}}}} + {u_{{3x_1}}}. $

式（30）表示在全局坐标系xoz下，圆心在（0，z₀）处的半径为δ的圆o₁发生非等量径向收敛时，在土体中任一点C（x₁，z₁）处产生的总的水平向位移.

Xu等^[10]结合由Sagaseta^[9]提出的虚拟镜像技术，利用在弹性半空间内土体损失产生的地层位移计算公式，给出坑外任意位置处土体的自由位移场. 借鉴该思路，考虑土体径向移动过程中的非等量性，给出考虑土体非等量径向移动下的基坑外部土体水平位移计算公式. 利用两阶段法，将土体位移施加于单桩，计算单桩响应.

如图5所示为基坑开挖下围护结构的变形示意图. 首先将其作镜像处理成为半无限空间后，将实测围护结构变形用4~6次多项式拟合；再将拟合后的曲线划分为足够多的若干微段，对于任一微单元dh，每一微单元的面积近似为f（h_i）dh，经镜像后的微段总面积为2f（h_i）dh. 依据面积等效原理可知，每个微段等效为圆后的半径为（2f（h_i）dh/π）^0.5，借用式（30）可得该微段产生的坑外任意点土体水平位移S_zi（x，z）. 将该微段沿整个深度积分，可得实际坑外土体因开挖产生的水平位移：

(31) ${S_z}(x,z) = \sum\limits_{i = 1}^{ n} {{S_{z{{i}}}}(x,z)}. $

Pasternak双参数地基上，桩-土相互作用示意简图如图5所示. 模型中，将单桩和桩侧土体分别视为弹性地基梁和均质弹性介质，桩土相互作用采用双参数弹簧模拟，且桩土变形协调. 可得在基坑开挖下，Pasternak地基上的邻近既有单桩的变形控制方程：

(32) ${E_{\rm{p}}}{I_{\rm{p}}}\frac{{{{\rm{d}}^4}w(z)}}{{{\rm{d}}{z^4}}} - {G_{\rm{p}}}D\frac{{{{\rm{d}}^2}w(z)}}{{{\rm{d}}{z^2}}} + kDw(z) = Dq({{z}}). $

式中：E_p、I_p分别为桩身模量、截面惯性矩；D为单桩直径；w（z）为单桩水平位移；q（z）为附加外荷载，

(33) $q(z) = k{S_z}(x,z) - {G_{\rm{p}}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{S_z}(x,z)}}{{{\rm{d}}{{{z}}^2}}}.$

其中S_z（x，z）为式（31）所求基坑开挖引起的坑外一点（x，z）处的土体水平位移场；G_p为剪切层剪切刚度^[21]，G_p=E²_s/[4k（1+μ）]，其中E_s为地基模量，k为初始地基反力系数，目前多采用Vesic^[22]公式给出，如下：

(34) $kD = K = 0.65{\left(\frac{{{E_{\rm{s}}}{D^4}}}{{EI}}\right)^{\frac{1}{{12}}}}\frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{(1 - {\mu ^2})}}. $

式中：K为地基反力模量，事实上，Vesic公式的提出是基于置于地表上的半无限空间中的弹性地基梁，因此难以考虑实际工况中梁往往具有一定埋深的情况^[23]，为了考虑埋深对模量的影响，俞剑等^[19]对Vesic公式进行了改进，与实际更贴合，如下：

(35) $K = \frac{{3.08}}{\eta }{\left(\frac{{{E_{\rm{s}}}{D^4}}}{{{E_{\rm{p}}}{I_{\rm{p}}}}}\right)^{\frac{1}{8}}}\frac{{{E_{\rm{s}}}}}{{(1 - {\mu ^2})}}. $

(36) $\eta = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2.18,\;h/B \leqslant 0.5;} \\ {1 + \dfrac{1}{{1.7h/B}},\;h/B > 0.5.} \end{array}} \right. $

式中：h为桩身所在深度.

当单桩为两端自由的摩擦桩时，单桩两端的弯矩M及剪力Q为0，即

(37) ${M_0} = {M_n} = - EI\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{2}}}w}}{{{\rm{d}}{{{z}}^{\rm{2}}}}} = 0, $

(38) ${Q_0} = {Q_n} = - EI\frac{{{{\rm{d}}^{\rm{3}}}w}}{{{\rm{d}}{{{z}}^{\rm{3}}}}} = 0. $

结合边界条件（37）、（38），式（27）的位移方程可以写成矩阵形式：

(39) $({{{K}}_1} - {{{K}}_2} + {{{K}}_3}){{w}} = {{{Q}}_1}. $

式中：K₁为单桩位移刚度矩阵，K₂为地基土剪切刚度矩阵，K₃为单桩抗弯刚度矩阵，w为隧道竖向位移矩阵，Q₁为邻近盾构开挖产生的附加外荷载矩阵.

(40) ${{{K}}_1} = \frac{1}{{{l^4}}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 4}&2&{}&{}&{}&{} \\ { - 2}&5&{ - 4}&1&{}&{{\bf{0}}}&{} \\ 1&{ - 4}&6&{ - 4}&1&{}&{} \\ {}& \ddots & \ddots & \ddots & \ddots &{}&{} \\ {}&{}&1&{ - 4}&6&{ - 4}&1 \\ {}&{{\bf{0}}}&{}&1&{ - 4}&5&{ - 2} \\ {}&{}&{}&{}&2&{ - 4}&2 \end{array}} \right]_{{{(n + 1)}}{ \times (n + 1)}}}. $

(41) ${{{K}}_2} = \frac{{{G_{\rm{p}}}D}}{{EI}}\frac{1}{{{l^2}}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{}&{}&{}&{}&{}&{} \\ 1&{ - 2}&1&{}&{}&{}&{} \\ {}&1&{ - 2}&1&{}&{{\bf{0}}}&{} \\ {}&{}& \ddots & \ddots & \ddots &{}&{} \\ {}&{{\bf{0}}}&{}&1&{ - 2}&1&{} \\ {}&{}&{}&{}&1&{ - 2}&1 \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&0 \end{array}} \right]_{(n + 1) \times (n + 1}}_). $

(42) ${{{K}}_3} = \frac{{kD}}{{EI}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&1&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}&1&{}&{}&{{\bf{0}}}&{} \\ {}&{}&{}& \ddots &{}&{}&{} \\ {}&{{\bf{0}}}&{}&{}&1&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&1&{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]_{(n + 1) \times (n + 1}}_). $

(43) ${{{Q}}_1} = \frac{D}{{EI}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_0}}&{{q_1}}&{{q_2}}&{...}&{{q_{n - 2}}}&{{q_{n - 1}}}&{{q_n}} \end{array}} \right]_{(n + 1) \times 1}}. $

(44) ${{w}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_0}}&{{w_1}}&{{w_2}}& \ldots &{{w_{n - 2}}}&{{w_{n - 1}}}&{{w_n}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}_{n + 1}. $

软土地区某深基坑工程开挖，该深基坑长60 m，宽22 m，基坑平均开挖深度为18 m，平面上呈长条形. 基坑围护结构采用地下连续墙，墙深为40 m，厚度为1 m，泊松比为0.32，重度为26 kN/m³. 邻近单桩距基坑8 m，长22 m，桩径为0.80 m，桩体弹性模量取为20 GPa，泊松比为0.24，重度为23 kN/m³. 计算中，地基土等效重度取为18.9 kN/m³，弹性模量取为21 MPa，泊松比取为0.38，土层的详细物理量力学参数见表1. 表中， $E_{50}^{\rm{ref}} $为三轴排水剪切试验割线模量， $E_{\rm{oed}}^{\rm{ref}} $为固结试验的主加载切线模量， $E_{\rm{ur}}^{\rm{ref}} $为三轴固结排水卸载再加载试验的参考模量， $G_0^{\rm{ref}} $为小应变刚度试验的参考初始剪切模量，γ_0.7为剪切模量降低到其70%时所对应的切应变，R_f为破坏比，c′为有效黏聚力，φ′为有效内摩擦角，t为土层厚度. 利用PLAXIS3D软件建立三维有限元分析模型，如图6所示为三维有限元模型与网格. 该模型包含50 537个单元，73 362个节点. 其中，土体本构模型采用实际工程中应用较广且可以考虑土体小应变刚度特性的HSS模型，采用HSS模型可以相对较好地模拟实际工况，因此可以较准确地作为检验本文解的一个参照. 通过数值解与所提理论解的对比分析，验证所提方法的正确性.

如图7所示为基坑开挖引起邻近既有单桩变形的三维有限元数值解和本文解对比曲线. 图中, s为位移. 可以发现，单桩位移随深度的变化曲线变形近似呈悬臂状，在单桩最大水平位移上，利用该方法得到的单桩最大位移为52.4 mm，略大于三维有限元计算结果50.4 mm，且最大位移均出现在距桩顶3 m深度附近处.

虽然综合来看，本文解较数值解出现一定程度的偏大，原因主要是数值模型中土体本构采用小应变硬化模型，而本文解局限于弹性理论，与数值解相比会有一定的偏大. 整体而言，在曲线变化趋势上，本文解和数值解基本一致，且最大位移差别不大，在工程实践的允许误差范围内，初步证明了本文计算方法的准确性与合理性. 此外，本文由于考虑了土体径向移动过程中的非等量性，与传统的虚拟镜像技术相比更接近于真实状况.

为了探究既有单桩在邻近基坑开挖下的水平向响应规律，Poulos等^[24]提出相应的两阶段分析法，即先由APVULL有限元给出由基坑开挖所引起的土体水平自由位移场，再视该位移为单桩所受“外荷载”并将其导入边界元程序PALLAS，进而进一步计算单桩的力学响应. 既有单桩在邻近基坑开挖下的计算简图及相关参数如图8所示，其中地基土等效成均质土层后压缩模量E_s取16 MPa，地基土重度γ为20 kN/m³，不排水黏聚力c_u取40 kPa，E_p取30 MPa，桩径d=0.5 m，桩长L_p=22 m，基坑挡墙高度L_w=13 m，距单桩水平距离x=2 m. 利用Poulos等^[24]给出的挡墙挠曲变形计算结果，结合改进后的虚拟镜像法，给出单桩位置处的自由土体场位移，再计算单桩响应. 如图9所示为本文解与既有理论解、数值解的单桩水平位移对比曲线，如图10所示为本文解与既有理论解、数值解的弯矩M对比曲线.

由图9可知，通过对比所提可考虑土体非等量径向移动的修正解与Poulos经典解后，发现：不论是在最大位移还是单桩位移变化趋势上，均能取得较好的一致性，证明了该方法的准确性与合理性. 借助于虚拟镜像技术，Xu等^[10]给出基坑开挖下坑外土体的自由位移场解析式，但是在该方法中，坑外土体位移的推导均建立在土体等量径向位移的基础上，因而推导中忽略了土体径向收敛过程中的非等量性. 利用该位移解析式对该算例进行计算，基床反力系数采用Vesic^[22]推荐的计算公式（34）. 与未考虑土体非等量径向移动的既有解析解^[10]相比，在单桩上部，本文的修正解会偏大，在下部偏小，原因是在土体非等量径向移动模式下，对图5中的每一个“等效积分小圆孔”而言，圆孔上部收敛位移和面积偏大，下部的收敛位移和面积偏小，因此按本文理论计算出的坑外土体水平位移上部会相应偏大，下部偏小，最终体现在单桩的水平向变形上会有类似的规律，即单桩上部位移偏大，下部偏小. 整体而言，本文修正解较文献[10]更接近于Poulos解^[24].

在弯矩大小分布上，本文修正解和文献[12]较接近，与Poulos解^[24]有一定偏差，但是3种算法的弯矩最大深度均约为7 m；在弯矩变化趋势上，3种方法的趋势基本一致，较之于Poulos解^[24]，本文修正解与之一致性更好. 尽管本文解同Poulos解^[24]有一定差别，但差别不大，因此，本文方法能够较合理地预测在基坑开挖作用下邻近既有单桩的水平向响应.

Finno等^[1]报道了一位于框架结构建筑物内部的基坑工程开挖实例，建筑物基础形式为单桩础，单桩均一、完整，靠近基坑开挖面，且离基坑开挖面最近的单桩仅1.5 m. 根据文献[10]的建议，单桩直径取0.327 m，长25 m，弹性模量取20 GPa，地基土等效成均质土层后弹性模量、泊松比分别取20 MPa、0.34. 基坑围护挡墙挠曲变形近似呈倒梯形分布，梯形顶、中、底部挠曲变形分别为基坑开挖深度H的0.8%、0.6%、0.4%，利用该挡墙挠曲变形并结合改进后的虚拟镜像法给出单桩位置处的自由土体场，再进一步计算土体位移及单桩响应. 如图11所示为本文方法、文献[10]方法、实测数据的单桩水平位移对比曲线，如图12所示为本文方法、文献[10]方法、实测数据的单桩弯矩对比曲线.

如图11所示为考虑土体非等量径向移动的修正解、文献[10]及Finno^[1]实测值的单桩水平位移对比曲线. 由图11可知，除了在单桩顶、底部本文修正解较实测值有一定的偏大外，在单桩其他部位，修正解同实测值均有较好的一致性. 产生上述现象的原因在于：本文解较依赖于弹性理论，计算结果会出现一定偏大，但综合来说，本文的修正解与实测值的整体变化趋势基本一致. 与文献[10]相比，本文修正解与实测值吻合相对较好. 如图12所示为本文修正解、文献[10]及Finno^[1]实测值的弯矩M对比曲线，可见，虽然在埋深较小时，不论是本文修正解还是文献[10]的理论解，均与实测值有一定误差，原因是实际工况里的单桩顶部较难达到不受任何约束的自由状态，而本文假定桩顶为完全自由状态过于理想，难以避免地会出现一定偏差. 在深度5 m以下，不论是数值上还是趋势上，本文修正解均与实测吻合较好. 本文修正解最大弯矩出现在17.5 m深度处，最大弯矩为14.2 kN/m，文献[10]最大弯矩出现在18.5 m深度处，略低于本文修正解，最大弯矩为14.0 kN/m，较本文解略偏小. 在工程实际设计中，采用本文修正解进行桩基设计是偏于安全的. 事实上，2种理论解出现不一致的原因是本文解考虑了土体径向移动过程中的非等量性，与土体径向移动的等量性相比，考虑土体径向移动的非等量性会使得桩基上部所受外荷载偏大，下部偏小，因而和文献[10]的既有理论解相比，桩基最大弯矩略偏大，最大弯矩出现深度会相对偏向上部.

如图13所示为在不同地基反力系数k_s和不同桩-基坑间距x下的单桩最大水平位移w_max. 可见，当k_s一定时，随着x的逐渐增大，单桩最大位移近似呈折线式减小，且“折点”均出现在x=1.5 m处，在“折点”前，w_max随x的增大而减小缓慢，而在“折点”后，w_max随x的增大而迅速减小. 这与基坑开挖引起的坑外土体位移场的分布相关，随着单桩逐渐远离基坑，所在位置处的土体自由位移逐渐减小，且减小速率逐渐加快，因此单桩位移会有类似变化规律的体现，即“先缓慢减小，再迅速减小”的规律. 另一方面，随着k_s的逐渐增大，地基土抗力增强，土体变形减小，导致单桩最大位移逐渐由“缓慢减小”转为“迅速减小”；随着x的增大，k_s对单桩变形的影响逐渐弱化，虽然单桩水平最大位移会先“迅速减小”再“缓慢减小”，但是相应的变化幅度已减弱.

如图14所示为在不同单桩抗弯刚度EI和不同x下，单桩的最大水平位移图. 可以发现：当EI一定时，随着x由小变大，单桩最大水平位移迅速减小，呈现出“双折线”似的加速减小规律. 产生上述现象的原因与坑外土体自由位移场相关，已在前述部分分析. 此外，当x较小时，随着EI的增加，单桩最大位移显著减小；当x较大如超过5 m时，EI的继续增大对单桩变形的控制几乎已无作用，这表明在x较小时，提高EI对减小单桩的水平位移效果明显，当x较大时，单桩最大水平位移几乎不受EI的影响，继续提高EI不可取.

（1）结合虚拟镜像法，推导由基坑开挖引起的坑外土体水平自由位移场的半解析解. 分析中考虑了当前研究中大都忽略的土体径向移动过程中的非等量性，与实际更相符.

（2）利用两阶段法，基于本文推导的能够考虑土体非等量径向移动的坑外土体自由位移场和修正后的Pasternak双参数地基基床反力系数，建立基坑开挖下邻近既有单桩的变形控制方程.

（3）利用本文计算理论可以预测在邻近基坑开挖情况下，既有单桩的水平向变形及响应规律. 通过与三维有限元数值建模、既有理论解和工程实测数据的对比，验证了本文计算理论的合理性.

（4）既有单桩最大水平位移受桩与基坑间距的影响较大，提高地基反力系数和单桩抗弯刚度有助于减小单桩最大水平位移，但是当桩与基坑间距较大时，单桩最大水平位移几乎不受单桩自身刚度的影响.

作为一种简化计算法且囿于弹性理论，本文计算模型中的某些假定难免会与实际有出入，如未能准确考虑桩顶的约束条件，也未能考虑桩土脱离非线性工况，这是进一步的研究方向.