氯氧镁水泥混凝土（magnesium oxychloride cement concrete，MOCC）在盐渍土地区具有很好的耐久性. 其原因是氯氧镁水泥作为一种MgO-MgCl₂-H₂O体系组成的镁质胶凝材料^[1-2]，不经改性就有很好的抗盐卤性能. 氯氧镁涂层钢筋混凝土（magnesium oxychloride coated reinforced concrete，MOCRC）旨在解决其在承重结构中的限制问题，进而实现在盐渍土地区中的应用. 涂层可以很好地保护MOCC中的钢筋免受腐蚀^[3-5].在保护过程中涂层耐久性的退化是一个缓慢的过程，其是否能在设计规定的年限内为钢筋提供保护需要进行长期的跟踪试验与分析. 目前众多国学者利用加速退化技术来获得研究目标的退化数据并进行建模，实现研究目标的可靠分析. 利用加速退化技术在短时间内获得整个退化过程的数据，已成为可靠性领域的研究热点. 退化模型的建立主要有基于退化轨迹建模^[6-8]、基于退化量分布模型建模^[9-11]、基于累积损伤模型建模^[12-14]等. 退化轨迹模型需要大量的测量数据才能保证参数的估计精度，当模型较复杂时很难得到失效分布的封闭表达式，且当退化数据波动较大时失效分布容易产生失真. 退化量分布模型的结果主要给出研究目标的总体特征，难以体现个体差异，且需要大量的测量数据，这限制了其实际应用. 累计损伤模型往往假定退化量服从一般随机分布，在既定条件下也涉及多维卷积，计算难度大，难以用于深入研究，且没有考虑产品差异. 由于钢筋的加工过程、涂层的喷涂过程、镁水泥混凝土的制备过程以及镁水泥涂层钢筋混凝土的服役环境受随机因素的影响，存在个体间退化率差异，涂层钢筋个体差异对MOCRC的耐久性影响甚大. Wiener退化过程是具有平稳、良好的计算分析性质的随机过程，当研究目标总体均匀变化而个体差异随时间变化明显时，可用Wiener退化过程描述^[15-16].

本文在溶液浸泡加速锈蚀试验下采用时间尺度模型对腐蚀电流密度（非线性退化数据）进行变换，将Wiener退化过程的系数进行随机化处理，并充分考虑个体差异性，进行涂层钢筋寿命预测建模.

氯镁水泥钢筋混凝土（MOCRC）的原材料主要由MgO、MgCl₂、减水剂、抗水剂、粉煤灰、石子、砂子和钢筋组成. MgO和MgCl₂由青海省格尔木市的察尔汗盐湖氯化镁厂生产. 其中MgO为轻烧氧化镁. 砂子采用河砂，级配良好，属于中砂，由兰州水阜提供. 石子由兰州华陇商砼公司提供，连续级配，性能指标合格. 粉煤灰为Ⅰ级粉煤灰，由兰州某钢厂生产（用于改善混凝土耐久性）. 耐水剂为磷酸，由天津市百世化工有限公司生产，H₃PO₄的质量分数不小于85.0%，色度不大于25黑曾. 减水剂为KD萘系高效减水剂JM-PCA(I)，由江苏博特新材料有限公司生产，具体基本物理性能如表1所示. 其中ρ为密度、w_a为碱的质量分数、R_w-r为减水率、R_b为泌水率、 ${f_{{\rm{cu}},{\rm{k}}}}$为抗压强度、d为推荐剂量. 水选用符合国家行业标准《混凝土拌合用水标准》JGJ63-200 6 要求的自来水钢筋均为HPB 300钢筋，f_y=300 N/mm². 宁波计式金属表面处理有限公司提供的富锌环氧树脂涂层（含有超细的锌铝鳞片，涂层中锌的重量百分比为90 %），MOCC的配合比^[17]如表1所示.

采取直径为8 mm、长度为100 mm的光圆钢筋.其中涂层平均厚度约为 80 μm. 混凝土保护层厚度为 25 mm，按照表2的配合比制备尺寸为 100 mm×100 mm×100 mm的氯氧镁混凝土试块. 最后将制备好的混凝土试块（A组、B组、C组）置于氯离子浓度为1.5 mol/L的氯化镁溶液中，浸泡溶液高度达到试块的2/3处. 利用CS350电化学工作站进行试验，将涂层钢筋作为工作电极，其电极面积为25.12 cm²，将薄不锈钢板作为辅助电极，其电极面积为30 cm²，大于工作电极面积. 将饱和KCl电极作为参比电极^[17]. 腐蚀电流密度J与钢筋的腐蚀情况对应关系^[18]如表3所示.

采用CS350电化学工作站每90 d对MOCRC试块进行1次电化学试验. 不同加速环境下试块的退化机理相同，现对A组加速溶液进行分析. E为开路电位，log I为经对数转换的腐蚀电流密度.

将MOCRC试块养护4 d后测得的基准极化曲线用0 d表示，如图1(a)所示. 0 d对应的腐蚀电位为− 0.950 V，90 d时的腐蚀电位为− 0.65 V，从0 ~90 d腐蚀电位正向移动了−0.3 V，腐蚀发生困难. 其原因是涂层中的钝化剂阻止了氯离子向涂层内部的渗透. 从90~180 d腐蚀电位负向移动，腐蚀容易发生. 由Nernst方程^[19]可知，在氧气浓度（mol/dm³）和pH值一定的条件下，Fe²⁺浓度（mol/dm³）越低则越容易发生腐蚀. 钢筋锈蚀的驱动电势为

(1) $\begin{split} {{{E}_{\rm d}} }=& {{\rm{1}}.{\rm{669 + 0}}.{\rm{0148log}}\;c( {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}} ) - {\rm{0}}.{\rm{0591pH}} - }\\ &{{\rm{0}}.{\rm{0296log}}\;c( {{\rm{F}}{{\rm{e}}^{2 + }}} ).} \end{split}$

式中：c(O₂)为氧气浓度，c(Fe²⁺)为Fe²⁺浓度.

在镁水泥涂层钢筋混凝土中，由于涂层中的Zn鳞片的自腐蚀电位（−0.762 V）、Al的自腐蚀电位（−1.662 V）低于Fe的自腐蚀电位（−0.440 V），Zn、Al作为牺牲阳极，为基体（Fe）提供阴极保护，使其免受腐蚀. 其化学方程式如下所示：

(2) ${\rm{Zn + }}{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O}}{ -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{Zn}}{\left( {{\rm{OH}}} \right)_{\rm{2}}}{ -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{ZnO + }}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O }}$

(3) $\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{2A}}{{\rm{l}}^{{\rm{3 + }}}}{\rm{ + 3}}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O}}{ -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{A}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{ + 6}}{{\rm{H}}^{\rm{ + }}}{ -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{A}}{{\rm{l}}_{\rm{2}}}{{\rm{O}}_{\rm{3}}}{\rm{ + }}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O}}{ -\!\!-\!\!\!\!\to} }\\ {{\rm{2AlOOH}} { -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{2AlOOH + }}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O}}{ -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{Al}}{{\left( {{\rm{OH}}} \right)}_{\rm{3}}}} \end{array}$

(4) ${\rm{ZnO + 2C}}{{\rm{l}}^{\rm{ - }}}{\rm{ + 6}}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O}} { -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{Z}}{{\rm{n}}_{\rm{5}}}\left( {{\rm{OH}}} \right) \cdot {{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O + 2O}}{{\rm{H}}^{\rm{ - }}}$

从180~270 d，腐蚀电位正向移动，其原因是Zn的锈蚀产物与空气中的CO₂反应生成碱式碳酸锌（Zn₅(OH)₆(CO₃)₂），Al的锈蚀产物与氯离子反应生成碱式氯化铝（Al₅Cl₃(OH)₁₂·4H₂O），堵塞了涂层孔道使涂层恢复屏障. 其化学方程式如下：

(5) $\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{5Zn}}{{\left( {{\rm{OH}}} \right)}_{\rm{2}}}{\rm{ + 2HCO}}_{\rm{3}}^{{\rm{2 - }}} + {\rm{2}}{{\rm{H}}^{\rm{ + }}} { -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{Z}}{{\rm{n}}_{\rm{5}}}{{\left( {{\rm{OH}}} \right)}_{\rm{6}}}{{\left( {{\rm{C}}{{\rm{O}}_{\rm{3}}}} \right)}_{\rm{2}}}{\rm{ + }}} {{\rm{4}}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O}}} \end{array}$

(6) $\begin{array}{*{20}{c}} {{\rm{5Al}}{{\left( {{\rm{OH}}} \right)}_{\rm{3}}}{\rm{ + 4}}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O \!\!+\!\! 3C}}{{\rm{l}}^{\rm{ - }}} { -\!\!-\!\!\!\!\to} {\rm{A}}{{\rm{l}}_{\rm{5}}}{\rm{C}}{{\rm{l}}_{\rm{3}}}{{\left( {{\rm{OH}}} \right)}_{{\rm{12}}}} \cdot {\rm{4}}{{\rm{H}}_{\rm{2}}}{\rm{O + }}} {{\rm{3O}}{{\rm{H}}^{\rm{ - }}}} \end{array}$

从270~990 d，腐蚀电位负向移动，且在移动过程中有向正波动的过程，其原因是氯离子不断向涂层内部穿透，使涂层电容增加，涂层电阻减小，新的锌铝鳞片参与为基体提供阴极保护的过程. 通过计算得出氯氧镁涂层钢筋混凝土的腐蚀电流密度如表4所示. 对比分析表4和3可知，3组涂层钢筋均未达到锈蚀状态.

一元Wiener退化过程可表示为

(7) $ X\left( {t,\lambda ,{\sigma ^2}} \right) = \lambda t + \sigma W\left( t \right){\rm{ }}{\rm{.}} $

式中： $\lambda $为漂移参数， $\sigma $为扩散参数， $W\left( t \right)$为标准布朗运动.

定义Z(t)为Wiener最大过程（Wiener maximum process）. 研究目标退化失效的阀值为 $l$，到达 $t$时 $Z\left( t \right)$的概率密度函数为 $g\left( {z,t} \right)$，则产品在时间 $t$内不失效的概率为

(8) $P\left\{ {T > t} \right\} = P\left\{ {Z\left( t \right) < l} \right\} = \int_{ - \infty }^l {g\left( {{\textit z},t} \right)} {\rm d}{\textit z}{\rm{ }}{\rm{.}}$

式中：T为首次达到失效阀值的时间. 文献[20]采用Fokker-Planck方程得到了 $g\left( {{\textit z},t} \right)$的表达式：

(9) $\begin{aligned} g\left( {{\textit z},t} \right) =& \frac{1}{{\sigma \sqrt {2{\text{π}} t} }}\left\{ {\exp\,\, \left[ { - \frac{{{{\left( {{\textit z} - \lambda t} \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}t}}} \right]}- \right. \\ & \left. {\exp \,\,\left( {\frac{{2\lambda l}}{{{\sigma ^2}}}} \right)\exp \,\,\left[ { - \frac{{\left( {{\textit z} - 2l - \lambda t} \right)}}{{2{\sigma ^2}t}}} \right]} \right\}. \\ \end{aligned} $

将式（9）代入式（8）得可靠度函数R(t)和概率密度分布函数f (t)：

(10) $\begin{array}{*{20}{c}} {R\left( t \right) = P\left\{ {T < t} \right\} = 1 - F\left( t \right) = \Phi \left( {\displaystyle \frac{{l - \lambda t}}{{\sigma \sqrt t }}} \right) - }\\ {\exp \left( {\displaystyle \frac{{2\lambda l}}{{{\sigma ^2}}}} \right)\Phi \left( {\displaystyle \frac{{ - l - \lambda t}}{{\sigma \sqrt t }}} \right)}{\text{，}} \end{array}$

(11) $f\left( t \right) = \frac{l}{{\sqrt {2{\text{π}} {\sigma ^2}{t^3}} }}\exp \left( { - \frac{{ {l - \lambda t} }}{{2{\sigma ^2}t}}} \right){\rm{.}}\quad\quad\;\;\quad\quad$

1）一元Wiener退化过程的辨识：首先检验由电化学工作站测得的表征涂层钢筋耐久性退化过程的腐蚀电流密度是否符合Wiener退化过程.

2）确立研究目标存在差异时的加速退化模型.

3）采用两步极大似然估计法对参数进行估计.

4）利用Matlab软件作出退化过程的可靠度函数图.

5）根据赤池信息准则AIC（Akai information criterion）判断考虑和未考虑差异性的方法的优劣^[21].

目前进行Wiener建模主要是依据研究目标的退化过程、建模人员的经验或者假设研究目标的退化数据符合Wiener随机过程，没有系统的理论支撑，容易造成最终分布函数的失真. 一元Wiener退化过程的辨识方法^[22]主要包括：1）自相关函数法，通过将一元Wiener函数的标准自相关函数曲线和研究目标退化数据的自相关函数曲线进行对比分析，来判定研究目标是否符合Wiener退化过程；2）似然比检验，对研究目标进行假设，最终通过似然比大于或者小于某一阀值来得出退化数据是否符合一元Wiener退化过程，由于似然比函数较为复杂且阀值难以确定，此方法难以取得预期效果；3）序贯方法，利用序贯检验方法检验除去线性漂移项的剩余项是否为一般布朗运动. 本文采用自相关函数法对一元Wiener退化过程进行辨识. 一元Wiener退化过程的自相关函数如下：

(12) $\begin{split} {{\varGamma _{XX}}\left( {s,t} \right) = E\left[ {X\left( s \right)X\left( t \right)} \right] = } {{\lambda ^2}st + {\sigma ^2}{\rm{min}}\,\left( {s,t} \right).} \end{split}$

标准自相关函数曲线如图2（a）所示. 将A、B、C3组涂层钢筋的耐久性退化参数代入式（12）并作图，得到的一元Wiener退化过程自相关函数曲线如图2（b）~（d）所示. 图中，t_A、t_B、t_C为服从X(t)的一元Wiener函数上A组、B组、C组涂层钢筋对应的时间变化。s_A、s_B、s_C为服从X(s)一元Wiener函数上A组、B组、C组的时间变化. 从图2中可以看出，3组涂层钢筋的耐久性退化参数的一元Wiener退化过程自相关函数曲线和标准一元Wiener退化过程的自相关函数曲线相似，因此可以采用一元Wiener退化过程对涂层钢筋的耐久性退化进行建模.

采用时间尺度模型，将非线性退化数据转化为线性退化模型. Whitmore等^[23]提出时间尺度变换模型为时间t的非负单调递增函数（模型I）.

(13) $\tau = \varLambda \left( t \right) = {t^{\,c}}{\rm{ }}{\rm{.}}$

式中：c为非负待定常数.

将非线性数据进行线性变换，则式（7）可改写为

(14) $ Y\left( {\tau ,\lambda ,{\sigma ^2}} \right) = \lambda \tau + \sigma W\left( \tau \right){\rm{ }}{\rm{,}} $

则可靠度函数和密度函数为

(15) $R\left( \tau \right) = \Phi \left( {\frac{{l - \lambda \tau }}{{\sigma \sqrt \tau }}} \right) - \exp \,\,\left( {\frac{{2\lambda l}}{{{\sigma ^2}}}} \right)\Phi \left( {\frac{{ - l - \lambda \tau }}{{\sigma \sqrt \tau }}} \right){\rm{ }}{\rm{.}}$

(16) $f\left( \tau \right) = \frac{l}{{\sqrt {2{\text{π}} {\sigma ^2}{\tau ^3}} }}\exp\, \left( { - \frac{{ {l - \lambda \tau } }}{{2{\sigma ^2}\tau }}} \right)\frac{{{\rm d}\varLambda (t)}}{t}{\rm{ }}{\rm{.}}$

当研究对象的个体出现差异时，需要对各个体进行分布检验，以便确定差异性个体的可靠度函数. 3组试块腐蚀电流密度增量如表5所示. 其中， ${\varDelta _{{t_i} - {t_{i - 1}}}}$表示相邻2次测量值的增量.

如图3所示为A组、B组、C组涂层钢筋腐蚀电流密度增量的正态分布概率检验图，D为腐蚀电流密度增量，A_u、A_m、A_d为对A组数据进行正态检验的上限值、平均值、下限值，B_u、B_m、B_d、C_u、C_m、C_d同理. A组、B组、C组的腐蚀电流密度值如表4所示.采用假设检验的方法检验3组数据是否服从正态分布，其中显著水平α=0.05，经计算得P_A=0.122，P_B=0.133，P_C=0.193，均大于0.05，表明涂层钢筋的锈蚀增量服从正态分布，结果如图4所示. 通过假设检验的方法知， $\lambda $ 服从正态分布 ${\rm N}\left( {{\mu _\lambda },\sigma _\lambda ^2} \right)$，则考虑个体差异时研究目标的可靠度函数和概率函数^[22]为

(17) $\begin{split} {{R_{\rm D}}\left( t \right)} = &\Phi \left( {\frac{{l - {\mu _\lambda }\varLambda \left( t \right)}}{{\sqrt {{\sigma ^2}\varLambda \left( t \right) + \sigma _\lambda ^2{{\left( {\varLambda \left( t \right)} \right)}^2}} }}} \right) - {\rm{exp}}\,\,\left[ {\frac{{2l}}{{{\sigma ^2}}}\left( {\lambda + \frac{{\sigma _\lambda ^2}}{{{\sigma ^2}}}} \right)} \right] \times \\ &{\Phi \left( { - \frac{{2\sigma _\lambda ^2l\varLambda \left( t \right) + {\sigma ^2}\left( {l + {\mu _\lambda }\varLambda \left( t \right)} \right)}}{{{\sigma ^2}\sqrt {{\sigma ^2}\varLambda \left( t \right) + \sigma _\lambda ^2{{\left( {\varLambda \left( t \right)} \right)}^2}} }}} \right)}, \end{split} $

(18) $\begin{split} {{f_{\rm D}}\left( t \right)} = &{l\;{{\left[ {2{\text{π}}{\varLambda ^3}\left( t \right)\left( {{\sigma ^2} + \sigma _\lambda ^2} \right)} \right]}^{{\rm{ - 1/2}}}} \times }\\ &{{\rm{exp}}\,\,\left[ { - \frac{{{{\left( {l - \lambda \varLambda \left( t \right)} \right)}^2}}}{{2\varLambda \left( t \right)\left( {{\sigma ^2} + \sigma _\lambda ^2\varLambda \left( t \right)} \right)}}} \right]\frac{{{\rm d}\varLambda \left( t \right)}}{{{\rm d}t}}}. \end{split}$

将定浓度溶液加速试验中3组涂层钢筋的腐蚀电流密度进行回归分析，其结果如图4所示. 其中拟合精度R_A=0.921 6、R_B=0.965 3、R_C=0.929 7，表明相关性非常显著. 图中， $ J_{\rm A }$、 $ J_{\rm B} $、 $ J_{\rm C} $为A、B、C组涂层钢筋腐蚀电流密度，其值如表5所示，f_A、f_B、f_C为A、B、C组的拟合曲线.

A、B、C组的拟合曲线皆为一个项数的指数函数. 得出，溶液加速退化模型为

(19) $\lambda = a\,{\rm{exp}}\,\left( {bT} \right){\rm{ }}{\text{.}}$

式中：a、b为待定常数. 则考虑到个体差异性，在定浓度下第j个试样的加速退化模型为

(20) ${\lambda _j} = {a_j}\,{\rm{exp}}\left( {{b_j}{T_j}} \right){\text{.}}$

令 $a \sim {\rm N}\left( {{\mu _a},\sigma _a^2} \right)$，则定浓度下考虑个体差异性的漂移系数 ${\lambda _i}$可表示为

(21) ${\lambda _j} \sim {\rm N}\left[ {{\mu _a}{\rm{exp}}\,\,\left( {{b_j}{T_j}} \right),\sigma _a^2{\rm{exp}}\,\,\left( {{b_j}{T_j}} \right)} \right]{\text{.}}$

针对经时间尺度模型变化后的考虑个体差异性的退化数据 $\left[ {\tau ,Y\left( \tau \right)} \right]$，由Wiener的性质可知：

(22) $\Delta Y\left( {{\tau _{j,k}}} \right) \sim {\rm N}\left( {{\lambda _j}\Delta {\tau _{j,k}},{\sigma ^2}\Delta {\tau _{j,k}}} \right){\rm{ }}{\rm{.}}$

式中： $\Delta Y\left( {{\tau _{j,k}}} \right) = Y\left( {{\tau _{j,k}}} \right) - Y\left( {{\tau _{j,k - 1}}} \right)$， $\Delta {\tau _{j,k}} = {\tau _{j,k}} - {\tau _{j,k - 1}}$， ${\tau _{j - 1,k}} = {\tau _{j,{\rm{0}}}}$， ${\tau _{j,{\rm{0}}}} = {\rm{0}}$， $j = 1,2, \cdots ,m$， $k = 1,2, \cdots ,K$. $\Delta {\tau _{j,k}}$为定浓度下第j个试样的第k次试验时的增量变化值， $\Delta Y\left( {{\tau _{j,k}}} \right)$为性能退化增量. 根据式（22）和（23）得到的最大估计似然函数如下：

(23) $\begin{split} {{\rm{ln}}}\,L\left( \theta \right) = & {- \frac{{mK}}{{\rm{2}}}\left( {{\rm{ln}}\,\left( {{\rm{2}}{\text{π}} } \right) + {\rm{ln}}\,{\sigma ^{\rm{2}}}} \right) - \frac{m}{{\rm{2}}}\displaystyle \sum\limits_{k = {\rm{1}}}^K {{\rm{ln}}\left( {\Delta {\tau _{j,k}}} \right)} - }\\ &{\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\sigma ^2}}}\sum\limits_{i = {\rm{1}}}^m {\sum\limits_{k = {\rm{1}}}^K {\frac{{{{\left( {\Delta Y\left( {{\tau _{j,k}}} \right) - {\lambda _j}\Delta {\tau _{j,k}}} \right)}^2}}}{{\Delta {\tau _{j,k}}}}} } .} \end{split}$

则考虑个体差异性的最大似然估计方程可改写为

(24) $\begin{split} &{{\rm{ln}}\,L\left( \theta \right) = - \frac{{mK}}{{\rm{2}}}\left( {{\rm{ln}}\,\left( {{\rm{2}}{\text{π}} } \right) + {\rm{ln}}\,{\sigma ^{\rm{2}}}} \right) - \frac{m}{{\rm{2}}}\sum\limits_{k = {\rm{1}}}^K {{\rm{ln}}\,\left( {{t_{j,k}} - {t_{j,k - {\rm{1}}}}} \right)} - }\\ &{\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{2}}{\sigma ^2}}}\sum\limits_{j = {\rm{1}}}^m {\sum\limits_{k = {\rm{1}}}^K {\frac{{{{\left\{ {\Delta X\left( {{t_{j,k}}} \right) - {a_j}{\rm{exp}}\,\left( {{b_j}\Delta {T_j}} \right)\left[ {{{\left( {{t_{j,k}}} \right)}^c} - {{\left( {{t_{j,k - {\rm{1}}}}} \right)}^c}} \right]} \right\}}^2}}}{{\left[ {{{\left( {{t_{j,k}}} \right)}^c} - {{\left( {{t_{j,k - {\rm{1}}}}} \right)}^c}} \right]}}.} } } \end{split} $

式中： $\theta = \left\{ {a,b,c,{\sigma ^2}} \right\}$， $j = 1,2, \cdots ,m$为未知参数集合； ${\rm{ln}}\,L\left( \theta \right)$为fminsearch函数所取最大值.

根据式（24）分别对 ${a_j}$和 ${\sigma ^2}$求1阶偏导数，可得

(25) ${{\partial {\rm{ln}}\,L\left( \theta \right)}}/{{\partial {a_j}}} = {\rm{0 }}{\text{，}}$

(26) ${{\partial {\rm{ln}}\,L\left( \theta \right)}}/{{\partial {\sigma ^2}}} = {\rm{0 }}{\text{.}}$

(27) ${\hat a_j} = \frac{{\displaystyle \sum\nolimits_{k = {\rm{1}}}^K {\Delta X\left( {{t_{j,k}}} \right){\rm{exp}}\,\left( {{b_j}{T_j}} \right)} }}{{\displaystyle \sum\nolimits_{k = {\rm{1}}}^K {{\rm{exp}}\,\left( {{\rm{2}}{b_j}T} \right)\left[ {{{\left( {{t_{j,k}}} \right)}^c} - {{\left( {{t_{j,k - 1}}} \right)}^c}} \right]} }}{\text{，}}$

(28) ${\hat \sigma ^{\rm{2}}} \!\!= \!\!\displaystyle \frac{{\rm{1}}}{{mK}}\displaystyle \sum\limits_{j = {\rm{1}}}^{\rm{3}} {\displaystyle \sum\limits_{k = {\rm{1}}}^K {\displaystyle \frac{{{{\left\{ {\Delta X\left( {{t_{j,k}}} \right) \!-\!{{\hat a}_j}{\rm{exp}}\,\left( {{b_j}{T_j}} \right)\left[ {{{\left( {{t_{j,k}}} \right)}^c} \!\!\!\!\!- \!\!{{\left( {{t_{j,k - {\rm{1}}}}} \right)}^c}} \right]} \right\}}^2}}}{{\left[ {{{\left( {{t_{j,k}}} \right)}^c}\!\! -\!\ {{\left( {{t_{j,k - {\rm{1}}}}} \right)}^c}} \right]}}} } .$

从式（27）、（28）可以看出， ${\hat a_j}$、 ${\hat \sigma ^2}$的估计值与b、c有关，因此利用两步极大似然估计法对参数进行求解：1）利用Matlab中的fminsearch函数 ${\rm{ln}}\,L\left( \theta \right)$对 $\hat b$、 $\hat c$，进行参数估计. 2）将求解出的 $\hat b$、 $\hat c$ 代入式（27）、（28）中，即可实现 ${\hat a_j}$、 ${\hat \sigma ^2}$的估计.最终求得：

(29) $ {\hat \mu _a} = \frac{{\rm{1}}}{m}\displaystyle \sum\limits_j^m {{a_j}}{\text{，}}\ \ \ \ \hat \sigma _a^{\rm{2}} = \frac{{\rm{1}}}{m}{ \displaystyle \sum\limits_{j = {\rm{1}}}^m {\left( {{a_j} - {{\hat \mu }_a}} \right)} ^{\rm{2}}}{\rm{ }}{\rm{.}} $

将定浓度下考虑涂层钢筋个体差异且通过非线性分析的方法记作M-1，根据文献[24]和[25]将未考虑个体差异和线性数据的方法记作M-2. 根据对2种方法进行优劣的判断，AIC值越小表明拟合效果越好：

(30) ${\rm{AIC}} = {\rm{2}}p - {\rm{2ln}}\,L\left( \theta \right){\rm{ }}.$

式中：p为 $\theta $中未知数的个数.

采用两步极大似然估计法对 $\theta = \left\{ {a,b,c,{\sigma ^2}} \right\}$中的参数进行估计，利用Matlab中的fminsearch函数进行解析，最终结果如表6所示. 其中，M-2-A、M-2-B和M-2-C分别为A、B、C组未考虑个体差异的计算方法. 从表6中可以看出，M-1估计方法的AIC值要小于M-2估计方法的AIC值，表明M-1的估计方法的拟合效果优于M-2.

如图5所示为考虑个体差异和不考虑个体差异下的可靠度函曲线. 从图5中可以看出，2种方法的可靠度函数曲线在初期（3 370 d之前）重合，在中期（3 370~9 690 d）时M-1的可靠度函数曲线低于M-2的可靠度函数曲线，直至末期（25 800 d左右）时2种可靠度函数曲线又重合. 这说明考虑材料差异性的可靠度估计更加保守，更符合规范和工程实际.

（1）用镁水泥混凝土中涂层钢筋锈蚀的腐蚀电流密度作为可靠度函数的变量进行可靠度建模是可行的，在定浓度溶液中涂层钢筋的退化参数（腐蚀电流密度）符合一个项数的指数分布.

（2）未考虑个体差异性的Wiener函数模型对涂层的寿命预测期限为30 000 d左右，考虑个体差异的Wiener函数模型对涂层钢筋的寿命预测期限为25 000 d左右，考虑个体差异情况的寿命预测更符合实际情况.

（3）在考虑个体差异性的情形下，进行的Wiener随机过程建模可以更加保守地对既有建筑提前进行检验、维护、维修，对实际工程具有一定的指导意义.