许多工业系统的输入输出和过程参数的状态变化除了与时间有关，还与空间位置有关^[1]，例如热过程、锂电池充放电过程等^[2-3]. 这种系统被称为分布参数系统（distributed parameter system, DPS），一般由偏微分方程（partial differential equation, PDE）描述其动态行为^[4]. 分布参数系统的输出状态是无限维的，但在工业过程中不可能设置无限个传感器获取其动态特性^[5]. 输出在时间和空间上的相互联系又相互独立，无限维特性、时空耦合特性、非线性特性，以及能量交换、扰动等不确定因素，导致此类系统的精确建模面临较大的挑战.

目前，针对分布参数系统的建模，已有大量研究. 针对分布参数系统的PDE结构已知，而参数未知的情况，一般将PDE结构转化为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），利用系统的已知条件辨识未知参数. 常用手段有谱方法^[6]、格林函数法^[7]以及有限差分法^[8]等. 但是，在实际工业过程中，无法收集到足以描述系统PDE结构的有效信息^[9]. 以ODE结构建立的系统模型，在工业过程的实时应用、控制器设计上也存在一定缺陷^[10].

基于数据驱动的建模方法较适用且高效. 典型数据驱动方法的建模手段是首先获得具备空间特征的基函数. 如基于Karhunen-Loève（KL）变换^[11]和基于奇异值分解（singular value decomposition, SVD）^[12]的建模方法，经时空分离后获得空间基函数的主成分模型，然后采用神经网络^[13]、支持向量机^[14]以及模糊方法^[15]、Wiener模型^[16]等建立时序模型. Zhang等^[17]基于主成分分析方法（principal component analysis, PCA）、混合自回归外生（autoregressive exogenous, ARX）和径向基函数（radial basis function, RBF）神经网络模型建立分布参数系统模型，取得了一定的效果. 这些方法实质上是线性降阶手段，并没有考虑系统的强非线性特性，因此只适用于线性或弱非线性系统. 近年来，非线性PCA方法^[18]和时空支持向量机^[19-21]被用于建立非线性的分布参数系统，取得了一定的效果. 对于强非线性的分布参数系统，基于局部线性嵌入（locally linear embedding, LLE）^[22-24]算法的建模方法以数据局部线性关系来表征高维数据的非线性特性，因此具有更好的建模效果. 但是该方法不适用于局部非线性流形结构的系统，而且低维空间的非局部流形结构与局部流形结构可能重叠在一起，导致数据发生混乱，以至于无法完整保留数据的本质特征.

本研究提出基于低维约束嵌入的分布参数系统建模方法. 与传统建模方法不同，本研究通过非线性映射数据的方法，将数据的非线性关系问题转化为线性求解问题，采用流形学习方法，在保持数据局部流形结构的同时，约束数据非局部流形结构在低维嵌入的位置，避免数据产生混乱现象，从而完整地保留数据的本质特征，获得代表空间特征的基函数. 采用最小二乘支持向量机（least squares support vector machine, LS-SVM）建立系统的时序模型，通过时空整合重构完整的预测模型. 最后，通过对加热炉的热过程进行建模以验证所提出建模方法的有效性.

典型的分布参数系统可由以下偏微分方程描述：

(1) ${{\partial {{y}}} / {\partial t}} = \varLambda ({\rho _s}{{y}}) + {{Q}}(s,t) + {{F}}(s)\cdot{{u}}(t)\;.$

复杂的边界条件以及初始条件分别为

(2) $\;\kappa {{y}}\left| {_{s = {s_0}}} \right. + v\partial y/\partial s \left| {_{s = {s_0}}} \right. + \upsilon {{{\partial ^2}{{y}}} / {\partial {s^2}}}\left| {_{s = {s_0}} = \theta (} \right.{{y}}({s_0},t)),$

(3) ${{y}}(s,t)\left| {_{t = 0} = {{{y}}_0}(s,0)\;} \right..$

式中： ${{u}}(t) = {[{u_1},{u_2},{u_3}, \cdots ]^{\rm T}}$为系统的输入信号， ${{y}} = {{y}}(s,t)$为系统在t时刻在位置s的分布输出， $\varLambda \in ({\partial / {\partial s}},{{{\partial ^2}} / {\partial {s^2}}}, \cdots )$为不同阶次的微分算子， ${\rho _s}$为在位置s处与输出相关的系数, ${{F}}(s)$为与系统输入相关的函数， ${{Q}}(s,t)$为系统由于噪声状态、能量交换产生的未知因素， $\theta ( \cdot )$为边界未知的非线性因素， $\kappa $、 $\nu$、 $\upsilon $为边界系数， ${{{y}}_0}(s,0)$为系统初始状态， ${s_0}$为系统边界位置.

根据式（1）~（3），分布参数系统的建模面临以下挑战：1）系统的输出状态具有时空耦合特性和无限维特性；2）非线性特性不仅存在于空间特征上，还存在于时间尺度方向上；3）系统状态受复杂边界条件、初始条件的影响；4）在系统中存在不可预知的因素.

根据时空分离理论，基于数据驱动的分布参数系统建模一般可以将输出分解为一系列无穷多个正交向量 $\left\{ {{\varphi _i}(s)} \right\}_{i = 1}^\infty $（空间基函数）与时间系数 $\left\{ {{\alpha _i}(t)} \right\}_{i = 1}^\infty $的组合：

(4) $y(s,t) = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{\alpha _i}(t){\varphi _i}(s)\;} .$

在实际工业过程中，不可能设置无穷多个传感器，因此通常用一个有限维的主成分模型替代原来的系统：

(5) ${y_n}(s,t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}(t){\varphi _i}(s)} \approx y(s,t)\;.$

目前存在的数据建模方法，如KL变换、SVD方法、LLE算法等在处理强非线性问题上均有不足. 基于KL变换和SVD方法的分布参数系统的建模过程本质上是线性处理方法，只适用于线性或弱非线性系统；基于LLE算法的建模缺乏对局部数据的非线性联系以及非局部结构的约束限制的考虑. 针对以上问题，提出新的建模方法，对于分布参数系统的模型预测控制，具有重大意义.

由于复杂的能量交换问题，如热辐射、化学反应过程等，分布参数系统具有强非线性特性，具体表现为每一时刻的数据与其邻域数据之间存在非线性联系，如图1所示. 图中，N $({{{y}}_i})$为系统在i时刻的输出 ${{{y}}_i}$的邻域构成. LLE算法利用数据局部线性重构的方法表征全局的非线性特性，但是在数据的局部流形结构中，线性相关并不能代表分布参数系统中邻域数据点之间的关系. 基于以上问题，本研究提出基于低维约束嵌入的分布参数系统建模方法，将时空数据通过非线性映射函数映射到高维的核空间内. 在高维空间内提取数据局部结构的非线性信息，通过流形学习的方法学习时空数据中的空间特征.

传统的流形学习方法LLE算法只考虑数据的局部流形结构，未对数据的非局部结构进行约束，导致数据的非局部结构与局部结构在低维空间里的位置可能产生重叠. 为了克服这种现象，所提出的低维约束嵌入方法，在从高维核空间保留其局部流形结构到低维嵌入空间的同时，约束其非局部流形结构，以区分数据点的局部流形结构与非局部流形结构. 通过离散数据点的非局部流形结构，分离不同数据点的局部流形结构，避免在不同数据点间的局部流形结构可能发生的重叠现象，使数据的本质更全面地保留在低维空间中，如图2所示.

在确定空间基函数之后，须确定低阶的时序模型. 分布参数系统的强非线性不仅体现在空间特征上，还体现在时间尺度上，所以要求时间系数的模型具有良好的非线性逼近能力. LS-SVM能逼近任意非线性系统，将非线性问题转化为线性问题，对于建立非线性的时间模型具有独特优势.

基于时空模型的分解整合过程，提出基于低维约束嵌入的时空建模方法，总建模框架如图3所示，关键点如下：1）通过非线性投影函数，在高维空间内根据局部流形结构约束以及非局部流形结构约束，获取数据的低维嵌入，通过数据组合得到能代表分布参数系统强非线性的空间基函数 $\left\{ {{{ \varphi} _i}(s)} \right\}_{i = 1}^n$；2）基于所得到的空间基函数，采用LS-SVM方法训练时序模型，辨识相关的模型参数，建立时间系数模型 ${ {\alpha}}(t) = {[{\alpha_1}(t),{\alpha_2}(t),\cdots]^{\rm T}}$，由此获取时间系数模型的动态特征；3）整合空间基函数以及时间系数并进行重构，得到完整的时空预测模型.

基于数据驱动的低维约束嵌入建模方法，既保持了数据局部流形结构的非线性联系，还约束了低维空间下的局部流形结构与非局部流形结构，因此该方法能保留数据的全局流形结构，有效地建立强非线性的分布参数系统模型.

将原始的时空数据通过非线性映射函数 ${{\phi}} $，映射到高维的核空间内，因此数据训练集从 $\left\{ {{{{y}}_i}} \right\}_{i = 1}^L$转化成 $\left\{ {{{\phi}} ({{ y}_i})} \right\}_{i = 1}^L$，L为训练集长度. 高维空间内任意2个时刻数据之间距离的表达式为

(6) $\begin{split} {d_{jl}} = &{\rm dist}\;({{\phi}} ({{ y}_j}),{{\phi}} ({{ y}_l})) = {\left( {{{\left\| {{{\phi}} ({{ y}_j}) - {{\phi}} ({{ y}_l})} \right\|}^2}} \right)^{1/2}} =\\ & {\left( {{K_{jj}} - 2{K_{jl}} + {K_{ll}}} \right)^{1/2}}\;, \end{split} $

(7) ${K_{jl}} = K({{y}_j},{{y}_l}) = {{\phi}} {({{ y}_j})^{\rm T}}{{\phi}} ({{ y}_l})\;.$

式中： ${ y}_i$为 $t = t_i$时不同s对应的 ${ y}(s,t)$所组成的向量.

通过KNN方法计算 ${{\phi}} ({{ y}_j})$的k个最近邻域点，将k个邻域点通过线性组合重构 ${{\phi}} ({{ y}_j})$，即

(8) ${{\phi}} ({{ y}_j}) = \sum\limits_{l = 1}^k {{{{\omega}} _{jl}}{{\phi}} ({{ y}_l})} .$

式中： ${\omega _{jl}}$为 ${{\phi}} ({{ y}_l})$关于 ${{\phi}} ({{ y}_j})$的重构权重. 若 ${{\phi}} ({{ y}_l})$不是 ${{\phi}} ({{ y}_j})$的邻域构成，对应的 ${\omega _{jl}}$=0， ${{W}} = \left\{ {{\omega _{jl}}} \right\}_{j = 1,l = 1}^{L,k}$可以扩展成稀疏矩阵. 优化权重的求解可以通过最小化重构误差得到：

(9) $\!\left. {\begin{gathered} \min \;\;\varepsilon ({{{W}}_j}) \!= \!{\sum\limits_{j = 1}^L {\left\| {{{\phi}} ({{ y}_j}) - \sum\limits_{l = 1}^k {{\omega _{jl}}{{\phi}} ({{ y}_l})} } \right\|} ^2} \!=\! {{W}}_j^{\rm T}{{ C}^j}{{{W}}_j} ;\\ {\rm s.t.}\;\;\;\sum\limits_{l = 1}^k {{\omega _{jl}} = 1} \;. \\ \end{gathered} } \right\}\!\!\!$

式中： ${ C}^j $为关于 ${{\phi}} ({{y}_j})$的局部协方差矩阵.

(10) $\begin{split} & { C}_{rc}^j = {({{\phi}} ({{ y}_j}) - {{\phi}} ({{ y}_r}))^{\rm T}}({{\phi}} ({{ y}_j}) - {{\phi}} ({{ y}_c})) =\\ & \qquad {K_{jj}} - {K_{jr}} - {K_{jc}} + {K_{rc}}; \; r,c = 1,2, \cdots ,k\;. \end{split} $

设拉格朗日乘子为 $\chi $，建立拉格朗日乘子方程：

(11) $L({\chi _j},{{{W}}_j}) = {{W}}_j^{\rm T}{{ C}^j}{{{W}}_j} + {\chi _j}({{W}}_j^{\rm T}{{ e}_1} - 1)\;.$

式中， ${ e}_1=[1,1,\cdots]^{\rm T} $. 对未知变量进行求导并令其为零，得到：

(12) $\left. \begin{aligned} & {{\partial L} / {\partial {\chi _j}}} = {{W}}_j^{\rm T}{{{e}}_1} - 1 = 0, \\ & {{{\partial L} / {\partial {{{W}}_j}}} = 2{{{W}}_j}{{ C}^j} + {\chi _j}{{{e}}_1} = 0\;.} \end{aligned} \right\}$

可解出：

(13) ${{{W}}_j} = \frac{{{({{{C}}^j})}^{ - 1}}{{{e}}_1}} {{{{e}}_1}^{\rm T}{{({{{C}}^j})}^{ - 1}}{{{e}}_1}}.$

映射前后的高维 ${{\phi}} ({{ y}_j})$和低维 ${{{Y}}_j}$，将继续保持相同的局部流形结构. 此时的优化策略为

(14) $\min \;\;{\varepsilon _1}({{Y}}) = {\sum\limits_{j = 1}^L {\left\| {{{{Y}}_j} - \sum\limits_{l = 1}^k {{\omega _{jl}}{{{Y}}_l}} } \right\|} ^2}\;\;.$

可以进行如下化简：

(15) $\begin{split} \min \;{\varepsilon _1}({{Y}}) =& {\sum\limits_{j = 1}^L {\left\| {{{{Y}}_j} - \sum\limits_{l = 1}^k {{\omega _{jl}}{{{Y}}_l}} } \right\|} ^2} =\\& {\sum\limits_{j = 1}^L {\left\| {{{Y}}{{{I}}_j} - {{Y}}{{{W}}_j}} \right\|} ^2} = {\rm trace}\;({{YM}}{{{Y}}^{\rm T}})\;. \end{split} $

式中： ${{I}}$为单位矩阵， ${{M}} = {({{I}} - {{W}})^{\rm T}}({{I}} - {{W}})$.

式（14）的优化方程保证了从高维核空间到低维嵌入转化时的数据局部流形结构. 基于非局部流形结构的约束，通过最大化数据与其非局部结构之间的距离来实现，建立以下约束方程：

(16) $\max \;\;{\varepsilon _2}({{Y}}) = \;{\sum\limits_{i = 1}^L {\sum\limits_{j = k + 1}^L {({{{Y}}_i} - {{{Y}}_j})^2} } }\;.$

定义 ${{V}}$为关于 ${{W}}$的矩阵：

(17) $V_{ij}^k = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\;\;\;\;\;\;\;\;{{{Y}}_j} \in {N}({{{Y}}_i})}; \\ {1,\;\;\;\;\;\;\;\;{{{Y}}_j} \notin {N}({{{Y}}_i})} . \end{array}} \right.$

式（16）可以改写为：

(18) ${\varepsilon _2}({{Y}}) = {\sum\limits_{i = 1}^L {\sum\limits_{j = 1}^L {({{{Y}}_i} - {{{Y}}_j})^2} } }{V_{ij}}\;.$

定义 ${{D}}$为对角矩阵：

(19) ${D_{ii}} = \sum\limits_{i = 1}^L {{V_{ij}}} + \sum\limits_{j = 1}^L {{V_{ij}}} \;\;.$

化简式（16），可以得到：

(20) ${\varepsilon _2}({{Y}}) = {\sum\limits_{i = 1}^L {\sum\limits_{j = 1}^L {({{{Y}}_i} - {{{Y}}_j})^2} } }{V_{ij}} ={\rm trace}\;({{Y}}{{{L}}_{{k}}}{{{Y}}^{\rm T}}),$

(21) ${{{L}}_{{k}}} = {{D}} - 2{ V}.$

基于目标优化方程式（15）、（20），构建局部以及非局部约束的总优化方程：

(22) $\min \;\;\varepsilon ({{Y}}) ={\rm trace}\; \left[ {\left({{{YM}}{{{Y}}^{\rm T}}}\right) \bigg/ \left({{{Y}}{{{L}}_{{k}}}{{{Y}}^{\rm T}}}\right)} \right].$

进行求导可得：

(23) $\begin{split}{{{\rm d}(\varepsilon ({{Y}}))} / {{\rm d}{{Y}}}} =& 2{{MY}}{({{Y}}{{{L}}_{{k}}}{{{Y}}^{\rm T}})^{ - 1}} - 2{\rm trace}\; \left({{{YM}}{{{Y}}^{\rm T}}}\right)\bigg/\\[-3pt] & \left({{{Y}}{{{L}}_{{k}}}{{{Y}}}}\right)^{\rm T}\left({{{Y}}{{{L}}_{{k}}}{{{Y}}^{\rm{T}}}}\right)^{\rm -1}{{{L}}_{k}}{{Y}}.\end{split}$

令其导数为零：

(24) $\begin{gathered} {{MY}} = {\rm trace}\; \frac{{{YM}}{{{Y}}^{\rm T}}} {{{Y}}{{{L}}_{{k}}}{{{Y}}^{\rm T}} }{{{L}}_{{k}}}{{Y}} = \varepsilon ({{Y}}){{{L}}_{{k}}}{{Y}} = \lambda {{{L}}_{{k}}}{{Y}}\;. \end{gathered} $

考虑了分布参数系统数据结构中局部与非局部关系的优化目标（式（22）），可以转化为求解式（24）的广义特征值特征向量问题，即低维输出 ${{Y}}$为式（24）中除0特征值之外的其余n个最小特征值对应的特征向量.

维度n可通过以下公式确定：

(25) ${\lambda _{n + 1}}/{\lambda _n} = o(\xi )\;.$

式中： $\xi = {\lambda _1}/{\lambda _{n + 1}}$，为很小的值； $\lambda_n $为特征值.

通过低维嵌入与时空数据的线性重构，可以得到空间基函数：

(26) ${{ \varphi} _i}(s) = \sum\limits_{j = 1}^L {{Y_{ij}}} {{ y}_j}\;;\;\;i = 1,2, \cdots ,n\;.$

式中： ${{\varphi }_{i}}\left( s \right) $为不同s对应的 ${{\varphi }_{i}}\left( s \right) $所组成的向量.

在获取空间基函数之后，时间系数模型 $\left\{ {{\alpha _i}({t_j})} \right\}_{j = 1,\;i = 1}^{L,n}$可通过将时空输出 ${{y}}(s,t)$投影到空间基函数 ${{\varphi }}(s)$上实现：

(27) ${\alpha _i}({t_j}) = \left\langle {{\varphi _i}(s),{{y}}(s,{t_j})} \right\rangle \;;\;\;i = 1,2, \cdots ,n.$

式中： $\left\langle {\; \cdot , \cdot \;} \right\rangle $代表内积计算.

采取LS-SVM训练数据 $\left\{ {{\alpha _i}({t_j})} \right\}_{j = 1,i = 1}^{L,n}$，以获取系统的时间模型. 训练数据的拟合函数表达式为

(28) ${{\alpha }}({t_j}) = {{\omega }}_{\rm{s}}^{\rm T}\psi ({{z}}({t_j})) + {{ b}_{\rm{s}}}.$

式中： ${ z}(t_j) $为LS-SVM的输入，经LS-SVM处理后得到 $\psi({ z}(t_j)) $； ${\omega _{\rm{s}}}$、 ${{ b}_{\rm{s}}}$分别为权重系数和偏置项，其优化目标为

(29) $\left. {\begin{gathered} \min \;J({{{\omega }}_{\rm{s}}},{ e}) = \frac{1}{2}{{\omega }}_{{\rm{s}}}^{\rm T}{{{\omega }}_{{\rm{s}}}} + \frac{C}{2}\sum\limits_{j = 1}^L {{{{e}}_j}^2} ;\\[-2pt] {\rm s.t.}\;\;{{\alpha }}({t_j}) = {{\omega }}_{\rm{s}}^{\rm T}\psi ({{z}}({t_j})) + {{ b}_{\rm{s}}} + {{ e}_j}\;,\;j = 1, \cdots ,L. \\ \end{gathered}} \right\}\!\!\!\! $

其中，C为惩罚因子，e为建模误差.

根据分布参数系统性质，LS-SVM的模型输出 ${{\alpha }}({t_j}) = {[{\alpha _1}({t_j}),{\alpha _2}({t_j}), \cdots ,{\alpha _n}({t_j})]^{\rm T}}$不仅与其前p个时刻的系统输出有关，还与前q个时刻的系统输入有关. 所以定义时间模型的输入为

(30) $ {{z}}({t_j}) = {[{{\alpha }}({t_{j - 1}}), \cdots ,{{\alpha }}({t_{j - p}}),{{U}}({t_j}),{{U}}({t_{j - 1}}), \cdots ,{{U}}({t_{j - q}})]^{\rm T}}\;.$

式中： ${{U}}({t_j}) = {[{u_1}({t_j}),{u_2}({t_j}), \cdots ,{u_m}({t_j})]^{\rm T}}$为系统的输入，m为系统输入信号的个数.

建立拉格朗日方程：

(31) $\begin{split} L({{{\beta }}_{\rm{s}}},{{ b}_{\rm{s}}}) =& \frac{1}{2}{{\omega }}_{{\rm{s}}}^{\rm T}{{{\omega }}_{{\rm{s}}}} + \frac{C}{2}\sum\limits_{j = 1}^L {{{ e}_j}^2} + \\[-6pt] &\sum\limits_{j = 1}^L {{\beta _{\rm{s}j}}} ({{\omega }}_{{\rm{s}}}^{\rm T}{ \psi} ({{z}}({t_j})) + {{ b}_{\rm{s}}} + {{ e}_j} - {{\alpha }}({t_j})). \end{split} $

式中： ${{{\beta}} _{\rm s}}$为拉格朗日乘子， ${\beta _{{\rm s}j}}$为其第j个分量. 经求导后优化方程转化为

(32) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf 0}&{{{e}}_1^{\rm T}} \\ {{{{e}}_1}}&{{{{K}}_{{\rm s}}} + {C^{ - 1}}{{I}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{ b}_{\rm s}}} \\ {{\beta _{\rm s}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf 0} \\ {{{\alpha }}({t_j})} \end{array}} \right]\;.$

其中，核函数矩阵表达式为

(33) ${{{K}}_{{\rm s}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {k({{z}}({t_1}),{{z}}({t_1}))}& \cdots &{k({{z}}({t_L}),{{z}}({t_1}))} \\ \vdots & & \vdots \\ {k({{z}}({t_1}),{{z}}({t_L}))}& \cdots &{k({{z}}({t_L}),{{z}}({t_L}))} \end{array}} \right]\;.$

通过求解式（32），求出 ${{{\beta}} _{\rm s}}$、 ${{ b}_{\rm s}}$，得到最终的时间系数预测模型：

(34) ${{\hat \alpha }}({t_j}) = \sum\limits_{i = 1}^L {{\beta _{{\rm s}i}}} k({{z}}({t_i}),{{z}}({t_j})) + {{ b}_{\rm{s}}}.$

通过整合空间基函数（式（26））和时间系数模型（式（34）），得到最终的可以代表强非线性分布参数系统的时空预测模型：

(35) ${{\hat y}}(s,{t_j}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\varphi _i}} (s){\hat \alpha _i}({t_j})\;.$

通过对加热炉的热过程进行建模验证上述方法的有效性. 加热炉的热过程是典型的分布参数系统，为了实现对温度的精准控制，建立精确模型十分重要. 加热炉的外观如图4所示，由加热区域和控制区构成. 在加热区域的上、下、左、右4个方向上布置着4个加热电偶，每个电偶由电压独立驱动. 在实验过程中利用计算机控制信号的输入，通过温度传感器收集反馈的数据. 位于加热区域的12个温度传感器的位置分布如图5所示.

以随机信号作为系统输入，采样间隔为30 s，共采集来自12个传感器的1 204组实验数据. 如图6所示为控制信号 ${u_3}$的幅值. 为了验证模型的有效性，将12组时空数据分为2组：s₃、s₆作为系统未训练的位置点，验证模型在未训练位置的预测性能；其余位置的前600组数据用作训练，后604组数据用作测试以验证模型在时序方向上的预测能力.

根据所提出的建模方法，将模型的维度降至5阶. 如图7所示为未训练点s₃、s₆和训练点s₈、s₁₁的实际温度与模型温度的对比. 图中，θ₀为温度. 如图8所示为模型预测值与真实值的相对误差. 图中，s为传感器位置，RE为相对误差. 可以看出，本研究所提出的方法具有较强的建模预测能力.

为了更好地验证模型性能，采取基于KL变换和LLE算法的建模方法作为对比. 对于以上的建模方法，在获取空间基函数后，也采用LS-SVM进行时序动态建模，以均方根误差（root mean square error，RMSE）作为模型性能指标：

(36) ${\rm RMSE} = \left({\frac{1}{{NL}}{{\sum\limits_{i = 1}^N {\sum\limits_{j = 1}^L {\left| {{ e}(x,t)} \right|^2} } }}}\right)^{1/2}.$

式中：N、L分别为矩阵 ${ e}(x,t) $的行数、列数.

如表1所示为基于3种建模方法的训练误差与测试误差的RMSE，如表2所示为3种方法在未训练位置点的温度预测能力. 可以看出，与KL变换和LLE算法对比，所提出的方法具有更高的建模精度与预测能力.

基于分布参数系统数据局部与非局部的优化问题，提出基于低维约束嵌入的建模方法. 考虑到空间特征的非线性，利用非线性映射和流形学习方法，保持空间特征的局部非线性与全局非线性联系；基于对数据非局部结构的优化，通过最大化样本与其非局部结构的距离，约束其在低维空间的位置，避免不同数据局部流形结构之间发生混乱现象，获得更切合于分布参数系统的空间基函数；采用LS-SVM建立时序方向上的非线性动态行为，通过时空整合完成强非线性分布参数系统的建模.

针对空间特征的非线性问题，传统建模方法存在一定的局限性. 低维约束嵌入方法除了考虑上述的因素，还优化数据非局部结构，相较于传统建模方法，从理论上具有更强的建模能力. 实验结果表明，所提出的方法能有效建立强非线性分布参数系统的模型，具备较好的模型预测性能. 与基于KL变换和LLE算法的建模方法相比，所提出的建模方法精度更高、预测更准确. 所提出的方法认为采集到的所有数据均有效，并未考虑到噪声的处理，但实际上，分布参数系统中噪声是普遍存在的. 因此，分布参数系统中噪声的预处理，是未来重要的研究方向之一.