近年来，随着信息技术的不断发展，消费者的购物习惯也发生了很大改变，电商市场得到了巨大发展. 天猫、京东等网络零售平台逐渐兴起，同时，如耐克、阿迪达斯等一些传统的制造商也相继推出线上销售渠道，对传统零售市场造成了很大冲击. 于是，很多传统零售商纷纷选择推出线上平台，希望能够减轻传统零售渠道的压力^[1-6]. Levary等^[1]认为双渠道混合零售运营模式结合了电商和实体店的优点，是未来零售业的主要发展模式. 例如，苏宁于2009年推出了苏宁易购，国美也在2011年开设了线上平台. 此外，为了缓解渠道冲突，实现多渠道的融合，2013年，苏宁又率先试行O2O模式，在全国所有苏宁门店与苏宁易购实现同品同价，于是O2O模式也成为双渠道零售管理的重要方式^[7-8]. 那么，面对大型电商崛起的环境压力，类似苏宁这样的强势零售商在线上、线下同价的背景下推行双渠道运营究竟是否能为其带来盈利能力的提升？又是否能为顾客带来更多优惠？这是一个值得从理论上进行深入研究的问题.

目前已经有很多学者对传统零售商或多渠道零售商与纯网络零售商的竞争问题进行了讨论. Pan等^[9]建立了一个纯网络零售商和混合零售商的价格竞争博弈模型，分析指出纯网络零售商的均衡价格通常低于混合零售商的均衡价格. 陈云等^[10-11]探究了电子商务实施程度对零售商竞争行为的影响. 周健等^[12]构建了双渠道零售商和纯网络零售商竞争的模型，比较了不同定价时间下各渠道的定价策略.

此外，现有的关于渠道选择和零售商竞争的研究大多为基于斯坦克尔伯格博弈和纳什博弈的静态决策，而少有研究从长期视角出发，用动态微分博弈的方法来解决此类问题. Krishnamoorthy等^[13]研究了双寡头的广告竞争问题，考虑广告投入和零售价对市场需求的影响，得到了两零售商在竞争环境下的最优对策. 游达明等^[14-15]考虑了商誉对产品需求的影响，构建微分模型分析研究了供应链成员的最优决策. 唐润等^[16]以生鲜食品为研究对象，在微分模型中考虑保鲜努力对食品质量的影响，得到了不同博弈情形下的最优决策.

综上，通过对现有文献梳理发现，目前针对双渠道的的研究主要是以制造商与零售商或零售商与零售商之间的博弈竞争为研究对象，但很少会考虑在这些竞争环境下零售商自身的不同运营选择情形. 本文在已有成果的基础上，研究一个强势传统零售商和一个纯网络零售商竞争的供应链系统，分别构建传统零售商在线上、线下同价背景下开设线上渠道与不开设线上渠道2种情形下的Stackelberg微分博弈模型，分析比较在不同情形下传统零售商的均衡决策，以探讨传统零售商在不同市场发展阶段的最优对策.

强势零售商具有在市场和供应链中的强势地位，拥有定价的优先权. 本文研究一个强势传统零售商与一个纯网络零售商的竞争问题，考虑2种情形：1）传统零售商增开线上渠道；2）传统零售商不增开线上渠道.

以零售商渠道O2O的现实发展模式为背景，为了避免渠道冲突以及实现资源共享，强势零售商推行双渠道的背景是线上、线下同价以及线上、线下融合的服务策略. 上述2种情形下的零售商竞争渠道结构模式分别如图1所示. 图中， $p_1(t)$为传统零售商各个渠道的零售价格， $p_2(t)$为纯网络零售商的渠道零售价格; $S_1(t)$为传统零售商的服务水平， $S_2(t)$为纯网络零售商的服务水平；上标 ${\rm{d}}$为传统零售商增设线上渠道情形，上标 ${\rm{s}}$为传统零售商不增设线上渠道情形. 2个竞争性零售商销售同一种产品，并通过多种方式提供服务. 其中，虚线表示产品销售的电子渠道，实线表示产品销售的传统渠道.

假设1　传统零售商和纯网络零售商的服务努力成本分别为

$ C_1\;(t) = \eta _1S_1\;{(t)^2}/2;\;C_2\;(t) = \eta _2S_2\;{(t)^2}/2. $

式中： $C_1(t)$和 $C_2(t)$分别为传统零售商和纯网络零售商的服务成本； $S_1(t)$和 $S_2(t)$分别为传统零售商和纯网络零售商的服务水平； $\eta _1$和 $\eta _2$分别为传统零售商和纯网络零售商的服务成本系数，且 $\eta _1 > 0,\eta _2 > 0$.

假设2　零售商的产品商誉受自身服务努力的积极影响. 考虑到随着时间的推移以及新产品的推出，产品商誉存在自然衰减的状况，设2个零售商的初始商誉 $G_1(0) = G_2(0) = G_0 \geqslant 0$，将t时刻2个零售商的产品商誉表述为

(1) $ \dot G_i(t) = mS_i(t) - kG_i(t),\;i = 1,2. $

式中： $G_1(t)$和 $G_2(t)$分别为t时刻传统零售商和纯网络零售商的产品商誉； $m$为零售商自身服务努力水平对产品商誉变化率的影响系数， $m > 0$； $k$为品牌形象的衰减程度， $k > 0$.

假设3　渠道之间的交叉价格弹性系数相等，且产品需求受自身渠道价格的影响大于竞争渠道价格的影响，因此假定 $0 < b < 1$. 2种渠道结构情形下传统零售商新增线上渠道、传统零售商线下渠道以及纯网络零售商的需求函数分别如下.

1）传统零售商增开线上渠道：

$ \begin{split} & D_{1{\rm{t}}}^{\rm{d}}(t) = \left[(1 - \alpha )a_0 - p_1^{\rm{d}}(t) + bp_2^{\rm{d}}(t)\right]\lambda G_1^{\rm{d}}(t),\\ & D_{1{\rm{e}}}^{\rm{d}}(t) = \left(\alpha \gamma a_0 - p_1^{\rm{d}}(t) + bp_2^{\rm{d}}(t)\right)\lambda G_1^{\rm{d}}(t), \\ & D_2^{\rm{d}}(t) = \left[\alpha (1 - \gamma )a_0 - p_2^{\rm{d}}(t) + bp_1^{\rm{d}}(t)\right]\lambda G_2^{\rm{d}}(t). \end{split} $

2）传统零售商不增开线上渠道：

$ \begin{split} & D_{{\rm{1t}}}^{\rm{s}}(t) = \left[(1 - \alpha )a_0 - p_{\rm{1}}^{\rm{s}}(t) + bp_{\rm{2}}^{\rm{s}}(t)\right]\lambda G_{\rm{1}}^{\rm{s}}(t),\\ & D_{\rm{2}}^{\rm{s}}(t) = \left(\alpha a_0 - p_{\rm{2}}^{\rm{s}}(t) + bp_{\rm{1}}^{\rm{s}}(t)\right)\lambda G_{\rm{2}}^{\rm{s}}(t). \end{split} $

式中： $D_{\rm{1e}}(t)$、 $D_{\rm{1t}}(t) $和 $D_{\rm{2}}(t)$分别为t时刻传统零售商新增线上渠道、传统零售商线下渠道和纯网络零售商的渠道需求； $a_0$为零售渠道总市场规模， $a_0 > 0$； $\alpha $为电子渠道市场规模占比， $0 < \alpha < 1$； $\gamma $为双渠道零售商电子渠道市场规模占整个电子渠道市场规模的比例， $0 < \gamma < 1$； $b$为交叉价格弹性系数； $\lambda $为零售商商誉对产品渠道需求的影响系数， $\lambda > 0$.

假设4　在无限时间内，传统零售商和纯网络零售商具有相同的贴现因子 $\rho $（ $\rho > 0$），双方的目标都是寻求使自身长期利润最大化的最优价格和服务策略.

假设5　传统零售商和纯网络零售商的产品批发价格相同，都为 $w$，是模型的外生变量.

在该情形下，传统零售商开设线上渠道，成为双渠道零售商. 2个竞争性零售商组成Stackelberg非合作博弈，双渠道零售商为领导者，纯网络零售商为跟随者. 其中双渠道零售商的控制变量为 $p_{\rm{1}}^{\rm{d}}$、 $S_{\rm{1}}^{\rm{d}}$，状态变量为 $G_{\rm{1}}^{\rm{d}}$；纯网络零售商的控制变量为 $p_{\rm{2}}^{\rm{d}}$、 $S_{\rm{2}}^{\rm{d}}$，状态变量为 $G_{\rm{2}}^{\rm{d}}$. 在博弈过程中，双渠道零售商最先作出决策，然后纯网络零售商根据双渠道零售商的决策作出反应. 为了方便表示，将时间参数符号t省略不写. 因此，双渠道零售商和纯网络零售商的长期期望收益的目标函数分别为

(2) $ \mathop {\max }\limits_{p_1^{\rm{d}},\;S_1^{\rm{d}}} J_1^{\rm{d}} =\!\! \int_0^\infty\! {\exp \;( - \rho t)} \left[\left(p_1^{\rm{d}} - w\right)\left(D_{{\rm{1e}}}^{\rm{d}} + D_{{\rm{1t}}}^{\rm{d}}\right) - C_1^{\rm{d}}\right]{\rm{d}}t, $

(3) $ \mathop {\max }\limits_{p_2^{\rm{d}},\;S_2^{\rm{d}}} J_2^{\rm{d}} = \int_0^\infty {\exp \;( - \rho t)} \left[\left(p_2^{\rm{d}} - w\right)D_2^{\rm{d}} - C_2^{\rm{d}}\right]{\rm{d}}t. \qquad \;\;\;\;\;\; $

式中： $J_1$和 $J_2$分别为传统零售商和纯网络零售商在无限时区内的总利润.

命题1　传统零售商开设线上渠道情形下的均衡结果如下.

1）双渠道零售商和纯网络零售商的最优售价分别为

(4) $p_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } = \frac{{B_1 + (b - {b^2} + 2)w}}{{2(2 - {b^2})}},\qquad\;\;$

(5) $p_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * } = \frac{{B_2 + (4 + 2b - {b^2} - {b^3})w}}{{4(2 - {b^2})}}.$

式中：

$ \begin{split} & B_1 = [\alpha \gamma + 1 - \alpha + b\alpha (1 - \gamma )]a_0,\\ & B_2 = [(\alpha \gamma + 1 - \alpha )b + (4 - {b^2})\alpha (1 - \gamma )]a_0. \end{split} $

2）双渠道零售商的最优服务水平为

(6) $S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } = \frac{{m\lambda {{[B_1 + ({b^2} + b - 2)w]}^2}}}{{4\eta _1\;(2 - {b^2})(\rho + k)}}.$

纯网络零售商的最优服务水平为

(7) $S_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * } = \frac{{m\lambda {{[B_2 + (3{b^2} - {b^3} + 2b - 4)w]}^2}}}{{16\eta _2\;{{(2 - {b^2})}^2}(\rho + k)}}.$

3）双渠道零售商和纯网络零售商的产品商誉最优轨迹分别为

(8) $ G_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } = G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{d}} + (G_0 - G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{d}})\exp \;( - kt), \;G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{d}} = {{mS_{\rm{1}}^{{\rm{d*}}}}}/{k}; $

(9) $ G_{\rm{2}}^{{\rm{d*}}} = G_{{\rm{2}}\infty }^{\rm{d}} + (G_0 - G_{{\rm{2}}\infty }^{\rm{d}})\exp \;( - kt),\;G_{{\rm{2}}\infty }^{\rm{d}} = {{mS_{\rm{2}}^{{\rm{d*}}}}}/{k}. $

式中： $G_{i\infty }^{\rm{d}}$（ $i = 1,2$）为产品商誉的稳定值，即 $t \to \infty $时产品的商誉.

4）双渠道零售商和纯网络零售商的最优长期利润分别为

(10) $ J_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } = a_1 + b_1G_0;\; J_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * } = c_1 + d_1G_0. $

式中：

$ \begin{split} & a_1 = \frac{{{m^2}{\lambda ^2}{{[B_1 + ({b^2} + b - 2)w]}^4}}}{{32\eta _1\rho {{(2 - {b^2})}^2}{{(\rho + k)}^2}}},\\ & b_1 = \frac{{\lambda {{[B_1 + ({b^2} + b - 2)w]}^2}}}{{4(2 - {b^2})(\rho + k)}},\\ & c_1 = \frac{{{m^2}{\lambda ^2}{{[B_2 + (3{b^2} - {b^3} + 2b - 4)w]}^4}}}{{512\eta _2\rho {{(2 - {b^2})}^4}{{(\rho + k)}^2}}},\\ & d_1 = \frac{{\lambda {{[B_2 + (3{b^2} - {b^3} + 2b - 4)w]}^2}}}{{16{{(2 - {b^2})}^2}(\rho + k)}}. \end{split} $

证明　 t时刻供应链的最优利润值函数转化为

$ J_i^{{\rm{d*}}}(G_i^{\rm{d}},t) = \exp\; ( - \rho t)V_i^{\rm{d}}(G_i^{\rm{d}}). $

在产品销售的任何时段，2个零售商进行相同的博弈. 根据最优控制理论可知，2个竞争零售商的最优收益 $V_{\rm{1}}^{\rm{d}}$和 $V_{\rm{2}}^{\rm{d}}$对于任意的 $G_i^{\rm{d}} \geqslant 0$，都满足HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程，即

(11) $ \begin{split} \rho V_{\rm{1}}^{\rm{d}} = & (p_{\rm{1}}^{\rm{d}} - w)[(\alpha \gamma + 1 - \alpha )a_0 - 2p_{\rm{1}}^{\rm{d}} + 2bp_{\rm{2}}^{\rm{d}}]\lambda G_{\rm{1}}^{\rm{d}} -\\ & {{\eta _1}}({S_{\rm{1}}^{{\rm{d}}})^2}/{2} + V_{\rm{1}}^{\rm{d}}{\rm{'}}(mS_{\rm{1}}^{\rm{d}} - kG_{\rm{1}}^{\rm{d}}), \end{split} $

(12) $ \begin{split} \rho V_{\rm{2}}^{\rm{d}} = & (p_{\rm{2}}^{\rm{d}} - w)[\alpha (1 - \gamma )a_0 - p_{\rm{2}}^{\rm{d}} + bp_{\rm{1}}^{\rm{d}}]\lambda G_{\rm{2}}^{\rm{d}} -\;\;\;\;\;\;\; \\ & \;\;\;\;\;{{\eta _2}}({S_{\rm{2}}^{{\rm{d}}})^2}/{2} + V_{\rm{2}}^{\rm{d}}{\rm{'}}(mS_{\rm{2}}^{\rm{d}} - kG_{\rm{2}}^{\rm{d}}). \end{split} $

根据逆向求解法，先求跟随者纯网络零售商的最优策略，即对式（12）分别求渠道服务水平和价格的1阶偏导数函数，并令1阶偏导函数为0，有

$ \;\;\;\;\;\eta _2S_{\rm{2}}^{\rm{d}} + V_{\rm{2}}^{\rm{d}}{\rm{'}}m = 0,\\ \;\alpha (1 - \gamma )a_0 - 2p_{\rm{2}}^{\rm{d}} + bp_{\rm{1}}^{\rm{d}} + w = 0. $

可得纯网络零售商的最优渠道服务水平和定价分别为

(13) $S_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * } = {{V_{\rm{2}}^{\rm{d}}{\rm{'}}m} / {\eta _2}},$

(14) $p_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * } = {{[\alpha (1 - \gamma )a_0 + bp_{\rm{1}}^{\rm{d}} + w]} / 2}.$

将式（14）代入式（11），整理得

(15) $ \begin{split} \rho V_{\rm{1}}^{\rm{d}} = & (p_{\rm{1}}^{\rm{d}} - w)\{ [\alpha \gamma + 1 - \alpha + b\alpha (1 - \gamma )]a_0 + \\ & ({b^2} - 2)p_{\rm{1}}^{\rm{d}} + bw\} \lambda G_{\rm{1}}^{\rm{d}} -{{\eta _1}}({S_{\rm{1}}^{{\rm{d}}})^2} /{2}+ \\ & V_{\rm{1}}^{\rm{d}}{\rm{'}}(mS_{\rm{1}}^{\rm{d}} - kG_{\rm{1}}^{\rm{d}}). \end{split} $

求领导者传统零售商的最优决策，将式（15）对 $p_{\rm{1}}^{\rm{d}}$求偏导，可得

$ \begin{split} & [\alpha \gamma + 1 - \alpha + b\alpha (1 - \gamma )]a_0 + ({b^2} - 2)p_{\rm{1}}^{\rm{d}} + \\ & \;\;\;\;\;bw + ({b^2} - 2)(p_{\rm{1}}^{\rm{d}} - w) = 0, \\ & p_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } = \frac{{[\alpha \gamma + 1 - \alpha + b\alpha (1 - \gamma )]a_0 + (b - {b^2} + 2)w}}{{2(2 - {b^2})}}. \end{split} $

将 $p_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }$代入式（14），可得

$ \begin{split} p_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * } = & \left\{ [(\alpha \gamma + 1 - \alpha )b + (4 - {b^2})\alpha (1 - \gamma )]a_0 + \right. \\ & \left. (4 + 2b - {b^2} - {b^3})w \right\} /[4(2 - {b^2})]. \end{split} $

将式（15）对 $S_{\rm{1}}^{\rm{d}}$求偏导，可得

(16) $S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } = {{V_{\rm{1}}^{\rm{d}}{\rm{'}}m} / {\eta _1}}.$

将 $p_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }\text{、}p_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * }\text{、}S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }\text{、}S_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * }$分别代入式（11）、（12），整理得

(17) $ \rho V_{\rm{1}}^{\rm{d}} = \frac{{{m^2}V_{\rm{1}}^{\rm{d}}{{\rm{'}}^2}}}{{2\eta _1}} + \left\{ \frac{{\lambda {{[B_1 + ({b^2} + b - 2)w]}^2}}}{{4(2 - {b^2})}} - kV_{\rm{1}}^{\rm{d}}{\rm{'}}\right\} G_{\rm{1}}^{\rm{d}}, $

(18) $ \begin{split} \rho V_{\rm{2}}^{\rm{d}} = & \frac{{{m^2}V_{\rm{2}}^{\rm{d}}{{\rm{'}}^2}}}{{2\eta _2}} +\\ & \left\{ \frac{{\lambda {{[B_2 + (3{b^2} - {b^3} + 2b - 4)w]}^2}}}{{16{{(2 - {b^2})}^2}}} -\right. kV_{\rm{2}}^{\rm{d}}{\rm{'}}\Bigg\} G_{\rm{2}}^{\rm{d}}. \end{split} $

根据式（17）、（18）的结构特点，将最优利润值函数 $V_i^{\rm{d}}$关于 $G_i^{\rm{d}}$的线性解析式表示为

(19) $ V_{\rm{1}}^{\rm{d}} = a_1 + b_1G_{\rm{1}}^{\rm{d}}, \; V_{\rm{2}}^{\rm{d}} = c_1 + d_1G_{\rm{2}}^{\rm{d}}. $

式中： $a_1$、 $b_1$、 $c_1$、 $d_1$均为常数.

将式（19）及其对 $G_{\rm{1}}^{\rm{d}}、G_{\rm{2}}^{\rm{d}}$的导数分别代入式（17）、（18），由待定系数法可得式（10）中 $a_1$、 $b_1$、 $c_1$、 $d_1$. 将 $V_{\rm{1}}^{\rm{d}}{\rm{'}} = b_1$和 $V_{\rm{2}}^{\rm{d}}{\rm{'}} = d_1$分别代入式（13）、（16），可得2个竞争零售商的最优服务努力水平 $S_{\rm{1}}^{{\rm{d*}}}、S_{\rm{2}}^{{\rm{d*}}}$，即为式（6）、（7）. 将零售商最优服务努力水平代入产品商誉轨迹方程（式（1）），对式（1）进行求解，得到2个零售商产品商誉的最优轨迹 $G_{\rm{1}}^{{\rm{d*}}}$和 $G_{\rm{2}}^{{\rm{d*}}}$，即为式（8）、（9）. 将 $p_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }$、 $p_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * }$、 $S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }$、 $S_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * }$、 $G_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }$、 $G_{\rm{2}}^{{\rm{d}} * }$分别代入式（2）、（3），可得2个零售商的最优长期利润，即为式（10）.

由命题1可知，在无限时间下，上述均衡结果均收敛于常量，据此定义系统是稳定的.

在该情形下，2个竞争性零售商组成Stackelberg非合作博弈，传统零售商为领导者，纯网络零售商为跟随者，其中传统零售商的控制变量为 $p_{\rm{1}}^{\rm{s}}、S_{\rm{1}}^{\rm{s}}$，状态变量为 $G_{\rm{1}}^{\rm{s}}$；纯网络零售商的控制变量为 $p_{\rm{2}}^{\rm{s}}、S_{\rm{2}}^{\rm{s}}$，状态变量为 $G_{\rm{2}}^{\rm{s}}$. 因此，可得传统零售商和纯网络零售商的长期期望收益的目标函数分别为

$ \begin{split} & \mathop {\max }\limits_{p_{\rm{1}}^{\rm{s}},\;S_{\rm{1}}^{\rm{s}}} J_{\rm{1}}^{\rm{s}} = \int_0^\infty {\exp \;( - \rho t)[(p_{\rm{1}}^{\rm{s}} - w)D_{{\rm{1t}}}^{\rm{s}} - C_{\rm{1}}^{\rm{s}}} ]{\rm{d}}t,\\ & \mathop {\max }\limits_{p_{\rm{2}}^{\rm{s}},\;S_{\rm{2}}^{\rm{s}}} J_{\rm{2}}^{\rm{s}} = \int_0^\infty {\exp \;( - \rho t)[(p_{\rm{2}}^{\rm{s}} - w)D_{\rm{2}}^{\rm{s}} - C_{\rm{2}}^{\rm{s}}} ]{\rm{d}}t. \end{split} $

命题2　传统零售商不开设线上渠道情形下的均衡结果如下.

1）传统零售商和纯网络零售商的最优售价分别为

$ \begin{split} & p_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } = \frac{{[2(1 - \alpha ) + b\alpha ]a_0 + (b - {b^2} + 2)w}}{{2(2 - {b^2})}},\\ & p_{\rm{2}}^{{\rm{s}} * } = \frac{{[2b + (4 - {b^2} - 2b)\alpha ]a_0 + (4 + 2b - {b^2} - {b^3})w}}{{4(2 - {b^2})}}. \end{split} $

2）传统零售商的最优服务水平为

$S_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } = \frac{{m\lambda {{\{ [2(1 - \alpha ) + b\alpha ]a_0 + ({b^2} + b - 2)w\} }^2}}}{{8\eta _1(2 - {b^2})(\rho + k)}}.$

纯网络零售商的最优服务水平为

$\begin{array}{c} S_{\rm{2}}^{{\rm{s}} * } = m\lambda \Big\{ [2b + (4 - 2b - {b^2})\alpha ]{a_0} + (3{b^2} - {b^3} + \\ 2b - 4)w{\Big\} ^2} /[16\eta _2{(2 - {b^2})^2}(\rho + k)]. \end{array} $

3）传统零售商和纯网络零售商的产品商誉最优轨迹分别为

$ \begin{split} & G_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } = G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{s}} + (G_0 - G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{s}})\exp \;( - kt),\;G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{s}} = {{mS_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }}}/{k};\\ & G_{\rm{2}}^{{\rm{s}} * } = G_{{\rm{2}}\infty }^{\rm{s}} + (G_0 - G_{{\rm{2}}\infty }^{\rm{s}})\exp \;( - kt),\;G_{{\rm{2}}\infty }^{\rm{s}} = {{mS_{\rm{2}}^{{\rm{s}} * }}}\;/{k}. \end{split} $

式中： $G_{i\infty }^{\rm{s}}$（ $i = 1,2$）为产品商誉的稳定值，即 $t \to \infty $时产品的商誉.

4）传统零售商和纯网络零售商的最优长期利润为

$ J_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } = a_2 + b_2G_0,\;J_{\rm{2}}^{{\rm{s}} * } = c_2 + d_2G_0. $

式中：

$ \begin{split} a_2 =& \frac{{{m^2}{\lambda ^2}{{\{ [2(1 - \alpha ) + b\alpha ]a_0 + ({b^2} + b - 2)w\} }^4}}}{{128\eta _1\rho {{(2 - {b^2})}^2}{{(\rho + k)}^2}}},\\ b_2 =& \frac{{\lambda {{\{ [2(1 - \alpha ) + b\alpha ]a_0 + ({b^2} + b - 2)w\} }^2}}}{{8(2 - {b^2})(\rho + k)}},\\ c_2 = &{m^2}{\lambda ^2}\{ [2b + (4 - 2b - {b^2})\alpha ]a_0 + (3{b^2} - {b^3} + \\ & 2b - 4)w{\} ^4} /[512\eta _2\rho {(2 - {b^2})^4}{(\rho + k)^2}], \\ d_2 =& \lambda \{ [2b + (4 - 2b - {b^2})\alpha ]a_0 +(3{b^2} - {b^3} + \\ & 2b - 4)w{\} ^2} /[16{(2 - {b^2})^2}(\rho + k)]. \end{split} $

命题2的求解和证明过程类似命题1，不再赘述.

命题3　传统零售商开辟线上渠道后，均衡售价 $p_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }$与电子渠道总市场规模 $\alpha $呈负相关，与本身电子渠道市场规模占整个电子渠道市场规模的比例 $\gamma $呈正相关.

证明：由于 $0 < b < 1$及 $0 < \gamma < 1$，那么有

$ \begin{split} \dfrac{{\partial p_{\rm{1}}^{\rm{d}}}}{{\partial \alpha }} = \dfrac{{(b - 1)(1 - \gamma )a_0}}{{2(2 - {b^2})}} < 0,\;\dfrac{{\partial p_{\rm{1}}^{\rm{d}}}}{{\partial \gamma }} = \dfrac{{(1 - b)\alpha a_0}}{{2(2 - {b^2})}} > 0. \end{split} $

随着 $\alpha $的不断增大，即电商市场发展日益成熟，顾客有了更多的消费选择，双渠道零售商需要不断调低自身渠道定价以获得市场竞争力. 当 $\gamma $较小时，即在该传统零售商推出线上平台的初期，线上渠道不具有足够的竞争力，需要通过低价的方式来吸引更多顾客；当该双渠道零售商发展较成熟时，可以通过其他更多的策略来提升竞争力，因此可以逐渐提高定价，以期获得更高的收入.

命题4　传统零售商开辟线上渠道后，均衡服务水平 $S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }$与 $\alpha $呈负相关，与 $\gamma $呈正相关.

证明：

$ \begin{split} & \frac{{\partial S_{\rm{1}}^{\rm{d}}}}{{\partial \alpha }} = \frac{{n\lambda a_0(b - 1)(1 - \gamma )[B_1 + ({b^2} + b - 2)w]}}{{2\eta _1(2 - {b^2})(\rho + k)}} < 0,\\ & \frac{{\partial S_1^d}}{{\partial \gamma }} = \frac{{n\lambda a_0\alpha (1 - b)[B_1 + ({b^2} + b - 2)w]}}{{2\eta _1(2 - {b^2})(\rho + k)}} > 0. \end{split} $

在电商市场发展的初期，各电商公司或线上平台为了抢占市场，给顾客提供较高的服务水平以提高竞争力. 随着电商市场的日益成熟，顾客对线上平台有了一定的消费依赖性，零售商为了获得更高的利润，可以适当调低服务水平以降低成本. 对于双渠道零售商来说，随着自身线上渠道的发展，其有能力为顾客不断提供更好的服务，以提高顾客黏性.

命题5　当电子渠道市场份额 $\alpha \geqslant {\left[ {\gamma (1 - b) + 1} \right]^{ - 1}}$时， $P_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } \geqslant P_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$；否则， $P_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } < P_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$.

证明：

$ P_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } - P_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } = \frac{{a_0[\alpha \gamma (1 - b) - (1 - \alpha )]}}{{2(2 - {b^2})}}. $

当 $\alpha \gamma (1 \!-\! b) \geqslant 1 \!-\! \alpha $ 时， $P_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } - P_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } \!\geqslant 0$ ；否则， $P_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } - $ $P_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } \!< 0 $ .

该结论表明，在传统零售商处于强势地位且推行线上、线下同价政策的背景下，当电子渠道市场份额扩张到一定界限时，开辟线上渠道会带来价格的升高；当电子渠道市场份额没有达到这一界限时，开辟线上渠道会带来价格的降低，因此这一阶段传统零售商实行双渠道策略可以为消费者带来更多的价格优惠.

命题6　当 $\alpha \!\geqslant\! \theta \;\;\;$ 时， $S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * }\! \geqslant\! S_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$， $D_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } \!\geqslant\! D_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$， $J_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } \!\geqslant\! J_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$；当 $\alpha < \theta $时， $S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } < S_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$， $D_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } < D_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$， $J_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } < J_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * }$. 其中，

$\theta = \frac{{(\sqrt 2 - 1)(b + 2)(1 - b)w + (2 - \sqrt 2 )a_0}}{{\left[\sqrt[{}]{{2\gamma }}(1 - b) + (\sqrt[{}]{2} - 1)b + 2 - \sqrt 2 \right]a_0}}.$

证明：令

$ \begin{split} A_1 =& [\alpha \gamma + 1 - \alpha + b\alpha (1 - \gamma )]a_0 + \\ & ({b^2} + b - 2)w,\\ A_2 = &[2(1 - \alpha ) + b\alpha ]a_0 + ({b^2} + b - 2)w, \end{split} $

那么，

$ \begin{split} S_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } - S_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } =& \frac{{m\lambda (\sqrt 2 A_1 + A_2)(\sqrt 2 A_1 - A_2)}}{{4\eta _1(2 - {b^2})(\rho + k)}},\\ D_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } - D_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } =& (G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{d}} - G_{{\rm{1}}\infty }^{\rm{s}})[1 - \exp\; ( - kt)] =\\ & \frac{{{m^2}\lambda (\sqrt 2 A_1 + A_2)(\sqrt 2 A_1 - A_2)[1 - \exp \;( - kt)]}}{{4k\eta _1(2 - {b^2})(\rho + k)}},\\ J_{\rm{1}}^{{\rm{d}} * } - J_{\rm{1}}^{{\rm{s}} * } =& \frac{{{m^2}b_{1^2}}}{{2\eta _1\rho }} + b_1G_0 - \left[\frac{{{m^2}b_{2^2}}}{{2\eta _1\rho }} + b_2G_0\right] =\\ & \left[\frac{{{m^2}(b_1 + b_2)}}{{2\eta _1\rho }} + G_0\right](b_1 - b_2). \end{split} $

其中，

$b_1 - b_2 = \frac{{\lambda (\sqrt 2 A_1 + A_2)(\sqrt 2 A_1 - A_2)}}{{4(2 - {b^2})(\rho + k)}}.$

又 $0 < b < 1$且 $1 - \exp \;( - kt) > 0$，可得，当 $\sqrt 2 A_1 - A_2 \geqslant $0时， $\alpha \geqslant \theta $；当 $\sqrt 2 A_1 - A_2 < 0$时， $\alpha < \theta $.

命题6得证.

该结论表明，在线上、线下同价的背景下，强势传统零售商开辟线上渠道并非总能为自身带来收益的改善. 只有当电子渠道市场份额满足条件 $\alpha \geqslant \theta $时，传统零售商开设线上渠道才能实现利润的提高，零售商的服务水平得到提升，给顾客带来更好的消费体验. 当市场条件满足 $\alpha \geqslant \theta $时，强势传统零售商实行双渠道策略，能够让自身与顾客同时受益.

利用Matlab对上述模型进行算例实验，分析强势传统零售商不同渠道结构选择下的价格、服务水平、长期需求和利润变化. 模型中的参数赋值如下： $a_0 = 5$， $w = 2$， $\alpha \in [0,1]$， $\gamma \in [0,1]$， $b = 0.5$， $\,\rho = $0.9， $\lambda = 0.6$， $k = 0.9$， $m = 2$， $G_0 = 10$， $\eta _1 = 0.8$， $t = 10$.

设命题5中市场份额的临界值 ${1 / {}}[\gamma (1 - b) + 1] = \beta $，为了不失一般性， $\gamma $分别取值为0.2、0.4、0.6、0.8，有 $(\beta _1,\beta _2,\beta _3,\beta _4) =$ $(0.91,0.83,0.77,0.71)$；命题6中市场份额的临界值为 $\theta $， $\gamma $分别取值为0.2、0.4、0.6、0.8，有 $(\theta _1,\theta _2,\theta _3,\theta _4) = (0.85,0.74,0.65,0.58)$.

如图2所示，在以强势传统零售商为主方的Stackelberg博弈中，无论是否开设线上渠道，传统零售商的均衡售价都与电子渠道市场份额呈负相关，即 $p_1$随着 $\alpha $的增大而减小. 当电子渠道份额 $\alpha $小于某一界限值 $\beta $时，开设线上渠道的均衡售价小于不开设线上渠道的均衡售价. 这是因为在电商市场发展的初期，各网络零售商及电商平台为了争夺市场，都纷纷提供价格优惠，希望以低价的方式来吸引消费者，如早年间京东与苏宁的价格大战. 传统零售商开通线上平台，势必要在定价上体现优势，吸引顾客. 随着电子渠道规模的不断扩大，顾客逐渐形成线上购物的消费习惯和消费依赖。在不开设线上渠道情形下，传统零售商为了保持自己的竞争力需要不断调低售价；而在开设线上渠道情形下，双渠道零售商具有较好的线上平台优势，因此随着α值的不断增大，2种情形下的均衡价格差距不断缩小. 当 $\alpha > \beta $时，电商市场已经发展成熟，线上渠道竞争力强，顾客对线上消费的支付意愿大于线下消费方式，故开设线上渠道情形的均衡售价大于不开设线上渠道情形的均衡售价.

如图3所示，传统零售商的均衡服务水平的改善效果存在临界值 $\theta $. 当 $\alpha $ < $\theta $ 时，开设双渠道提供的均衡服务水平小于不开设双渠道. 当 $\alpha > \theta $时，即在电商市场相对成熟的阶段，若传统零售商选择开设线上渠道，则面对更激烈的渠道和市场竞争，传统零售商势必要增加服务方面的投入以吸引顾客.

如图4和5所示，强势传统零售商在线上、线下同价背景下开设线上渠道，这一举措是否能带来销量和收益的改善，取决于电子渠道的扩张程度. 当电子渠道市场份额小于某一临界值 $\theta $时，开设线上渠道的市场销量和利润均小于不开设双渠道的市场销量和利润. 结合图1可知，这是因为当电商市场不够成熟时，开设双渠道带来的市场份额的扩张不足以弥补开设线上渠道增加的成本投入，零售商需要提高售价以改善收益，从而会导致销量的下滑.

当电子渠道市场份额大于临界值 $\theta $时，电商市场相对已较成熟，线上渠道具有较强的引流效果，实现销量的提升和利润的改善. 此外，传统零售商新增线上渠道的份额越大，销量和利润能够得到改善的临界值越小，门槛越低. 因为当 $\gamma $越大时，传统零售商新增的线上渠道在电子市场中具有越高的市场号召力，其从纯网络零售商处争夺到的市场份额带来的收益足以弥补开拓线上市场所需投入的成本.

（1）强势零售商开设线上渠道是否能为消费者带来价格优惠，与电子渠道市场的发展程度有关. 在电子渠道市场规模扩张到一界限值之前，开设双渠道能够让顾客享受到更优惠的价格政策；一旦超过这一界限值，开设线上渠道会导致传统零售商的售价升高.

（2）在电子商务实施情况达到某一程度后，强势传统零售商开设线上渠道可以带来销量和利润的提升；同时，可以提高零售商的均衡服务投入水平，因此在这一阶段，顾客可以享受到更好的商家服务政策.