湿式换挡离合器是车辆自动变速器换挡的操纵部件. 在接合过程中，湿式换挡离合器滑摩产生的黏滑和颤振动力学行为，影响换挡品质；在分离空转状态下，由剪切润滑油膜引起的带排转矩，降低传动效率，加剧离合器的磨损. 湿式换挡离合器的工作动态特性是研究车辆换挡动力学行为的关键^[1-2].

目前，湿式换挡离合器的工作特性研究集中于采用数值或有限元方法，建立相关的分析模型，模拟研究滑摩中摩擦副温度场及应变场分布规律. 马彪等^[3-8]建立多片离合器热流分配系数的有限元计算模型和热阻网络集总参数模型，揭示不同参数对热场和应变场变化规律的影响；王晓燕等^[9]通过建立热变形微观法向单元接触数学模型，仿真和试验分析摩擦副摩滑过程的振动特性；Ghomshei等^[10-11]采用热不稳定性理论，分析结合温度场和应力场随时间的变化规律，数值分析两物理场的相互作用；张家元等^[12-14]建立热-结构耦合模型，分析离合器接合时摩擦副各物理场的分布规律.

目前，基于力学公式、数学工具、计算机技术等的建模方法复杂，不能直观反映离合器工作的变结构、非定常和非数值的变拓扑特征，较难描述离合器工作时变参数和变约束的变拓扑结构信息. 该项研究迫切需要从更广泛的角度寻求建模途径.

湿式换挡离合器工作过程与变胞机构在功能域和物理域上的变换原理相一致，属于广义上的变胞过程. 变胞机构的相关理论得到了广泛和深入的研究，已趋于成熟^[15-18]. 针对湿式换挡离合器的建模方法复杂，不能直观描述变拓扑结构的问题，本文定义湿式换挡离合器变胞器，推导基于约束函数的换挡湿式离合器变胞方程，揭示湿式换挡离合器的变胞机理，提出并验证基于变胞分析的湿式换挡离合器动力学建模方法.

湿式换挡离合器为自动变速器的换挡执行元件（如图1（a）所示为湿式换挡离合器结构图），通过控制摩擦对偶片的接合和分离实现换挡，完成离合器不同工作状态（分离、滑摩和同步）的转换（见图1（b））. 分离下的带排转矩和滑摩下的滑摩转矩直接影响车辆的换挡品质.

湿式换挡离合器在分离空转状态下，摩擦对偶片存在转速差，润滑油产生黏性剪切力，使离合器生成带排转矩. 假设各摩擦对偶片分离间隙均匀（均为h），间隙内充满润滑油，如图2所示（箭头表示润滑油流动方向），则带排转矩 ${T_{{\rm{drag}}}}$ ^[19]可以表示为

(1) ${T_{{\rm{drag}}}} = k\int_{{R_1}}^{{R_2}} {\displaystyle\frac{{2{\rm{\pi }}\eta {\omega _{{\rm{rel}}}}}}{h}} {r^3}{\rm d}r = k\displaystyle\frac{{{\rm{\pi }}\eta {\omega _{{\rm{rel}}}}}}{{2h}}\left( {R_2^4 - R_1^4} \right).$

式中： ${R_1}$ 为摩擦对偶片的内半径， ${R_2}$ 为摩擦对偶片的外半径， ${\omega _{{\rm{rel}}}}$ 为摩擦对偶片的相对转速， $\eta $ 为润滑油黏度， $k$ 为摩擦对偶片副数.

湿式换挡离合器在没有完全接合之前，受到缓冲油压控制，处于滑摩状态. 根据摩擦理论可知，通过离合器充油特性计算滑摩转矩：

(2) ${T_\mu } = k{\mu _{\rm d}}{R_{\rm eq}}{F_{\rm non}}.$

式中： ${R_{\rm eq}}$ 为摩擦对偶片当量摩擦半径； ${F_{\rm non}}$ 为摩擦衬面上法向总压力； ${\mu _{\rm d}}$ 为动摩擦因子，根据台架试验结果拟合得到铜基摩擦片的动摩擦因子^[19]，

$ {\mu _{\rm d}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0.{\rm{062}}\exp \;( - 0.00{\rm{1\;8}}\;{\omega _{\rm rel}}),& {\omega _{\rm rel}} > 0; \\ \mu, & {\omega _{\rm rel}} = 0, \\ \end{array}} \right. $

其中 $\mu $ 为静摩擦因子.

滑摩转矩使得离合器摩擦对偶片的转速差逐渐减小. 当所有摩擦对偶片转速差为零后，滑摩转矩转化为静摩擦转矩，保证离合器同步.

基于上述湿式换挡离合器工作特性的描述，离合器摩擦对偶片之间的运动副在工作中蜕化或消失，具有非定常和非线性特征，是一种广义变胞^[20]. 根据变拓扑机构组成理论^[21]可知，湿式换挡离合器分离、同步及某滑摩状态具备特有及固定的拓扑结构 ${T_{{\rm{c}}p}}$，称为湿式换挡离合器变拓扑机构 ${T_{\rm{c}}}$ 的第p阶构态：

(3) $\left. \begin{gathered} {T_{\rm{c}}} = \sum\limits_{p = 1}^n {{T_{{\rm{c}}p}}} = {C_{\rm{is}}} \cup {C_{\rm{vs}}}, \\ {T_{{\rm{c}}p}}{\rm{ = }}\left( {{E_{{\rm{c}}p}}, {J_{{\rm{c}}p}}, {F_{{\rm{c}}p}}} \right). \\ \end{gathered} \right\}$

式中： ${C_{\rm is}}$ 为不变运动链； ${C_{\rm vs}}$ 为可变运动链； ${E_{{\rm{c}}p}}$ 为 ${T_{{\rm{c}}p}}$ 的构件集合； ${J_{{\rm{c}}p}}$ 为 ${T_{{\rm{c}}p}}$ 的运动副集合； ${F_{{\rm{c}}p}}$ 为 ${J_{{\rm{c}}p}}$ 到 ${E_{{\rm{c}}p}}$ 的无序对关联函数集合，表示构件与运动副的关联关系.

${E_{{\rm{c}}p}}$、 ${J_{{\rm{c}}p}}$ 和 ${F_{{\rm{c}}p}}$ 为 ${T_{{\rm{c}}p}}$ 的元，其中摩擦对偶片的运动副在离合器工作的某时刻，产生或撤销阻止相对运动的作用力，使换挡离合器切换工作状态. 根据摩擦对偶片运动副的约束特征，定义运动副约束函数，描述位姿和变拓扑信息，摩擦对偶片等效为变胞器，建立基于约束函数的湿式换挡离合器变胞拓扑模型.

运动副的本质是相邻构件接触表面之间产生约束，限制构件表面的运动，使自由度减少. 运动副表现为力或力矩的形式，大小取决于机构的拓扑结构和载荷条件，方向与形成运动副的构件表面形状密切相关. 为了识别摩擦对偶片运动副的类型以及直观描述约束力的大小和方向，定义摩擦对偶片运动副的约束函数.

摩擦对偶片接触表面之间的广义作用力定义为 ${{W}} = {\left[ {{w_x}, {w_y}, {w_z}, {w_{\bar x}}, {w_{\bar y}}, {w_{\bar z}}} \right]^{\rm{T}}}$，其中下标x、y和z表示坐标轴平动方向， $\bar x$、 $\bar y$ 和 $\bar z$ 表示坐标轴转动方向，坐标轴如图1（b）所示；摩擦对偶片运动副沿各坐标轴方向的最大广义作用力为 $ {{W}}_{\max } = \big[ {w_{x\max }}, $ ${w_{y\max }}, {w_{z\max }},{w_{\bar x\max }}, {w_{\bar y\max }}, {w_{\bar z\max }} \big]^{\rm{T}}$，其中 ${w_{j\max }}$ 由运动副接触表面的接触状态和结构形状等决定.

当 ${w_j} \leqslant {w_{j\max }}$ 时，运动副约束有效；当 ${w_j} > {w_{j\max }}$ 时，运动副约束的有效性下降，甚至失效. 定义摩擦对偶片运动副约束函数 ${{C}}( t ) = \big[ {c_x}( t ), {c_y}( t ), {c_z}( t ),{c_{\bar x}}( t ), $ ${c_{\bar y}}( t ), {c_{\bar z}}( t ) \big]$：

(4) $ {c_j}\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0, & {w_j} = 0; \\ \bar w = {w_{j\max }}/{w_j},& {w_j} > {w_{j\max }} > 0; \\ 1,& {w_{j\max }} \geqslant {w_j} > 0. \\ \end{array}} \right. $

当 ${c_j}\left( t \right) = 0$ 时，运动副在j方向上的约束失效；当 ${c_j}\left( t \right) = \bar w$ 时，运动副在j方向具有柔性约束；当 ${c_j}\left( t \right) = 1$ 时，运动副在j方向具有刚性约束，即完全约束. 当摩擦对偶片在分离状态时， ${c_x}\left( t \right) = {c_{\bar x}}\left( t \right) = 0$，且 ${c_y}\left( t \right) = {c_z}\left( t \right) = {c_{\bar y}}\left( t \right) = {c_{\bar z}}\left( t \right) = 1$；当摩擦对偶片在同步状态时， ${c_{\bar x}}\left( t \right) = {c_x}\left( t \right) = {c_y}\left( t \right) = {c_z}\left( t \right) = {c_{\bar y}}\left( t \right) = {c_{\bar z}}\left( t \right) = 1$；当摩擦对偶片在滑摩状态时， ${c_{\bar x}}\left( t \right) = \bar w$，且 ${c_x}\left( t \right) = $ ${c_y}\left( t \right) = {c_z}\left( t \right) = {c_{\bar y}}\left( t \right) ={c_{\bar z}}\left( t \right) = 1$.

由式（3）可知，湿式换挡离合器变拓扑结构 ${T_{\rm c}}$ 由 ${C_{\rm is}}$ 和 ${C_{\rm vs}}$ 组成. ${C_{\rm vs}}$ 包含若干个变胞器. 根据变胞器的定义^[21]可知，摩擦对偶片具有分离、同步和滑摩状态3种构形，等效为如图3所示的连接变胞器.

图3中，构形1为 ${J_{{\rm{c}}1}}{{{C}}_{1t}}$， ${J_{{\rm{c}}1}}$ 为空（无）连接， ${{{C}}_{1t}} = \left[ {0, 1, 1, 0, 1, 1} \right]$：构形1的摩擦对偶片在x轴平动和转动方向上是自由的，表明摩擦对偶片处于完全分离状态. 构形2为 ${J_{{\rm{c}}2}}{{{C}}_{2t}}$，其中 ${J_{{\rm{c2}}}}$ 为弹性连接， ${{{C}}_{2t}} = \left[ {1, 1, 1, \bar w, 1, 1} \right]$：构形2由构形1或3变换得到， ${J_{{\rm{c2}}}}$ 相关联的摩擦对偶片绕x轴转动，在该方向上为弹性联接，在其他方向上没有联接关系，表明构形2为滑摩状态. 构形3为 ${J_{{\rm{c3}}}}{{{C}}_{3t}}$，其中 ${J_{{\rm{c3}}}}$ 为刚性连接， ${{{C}}_{3t}} = \left[ {1, 1, 1, 1, 1, 1} \right]$：构形3由构形2变换得到，摩擦对偶片绕x轴同步转动，没有转速差，表明构形3为同步状态. 弧形箭头表示不同构形在一定的触发条件下循环转换；直线箭头表示转换指示器，指向初始构形位置.

假设湿式换挡离合器摩擦对偶片副数为k，则湿式换挡离合器有k个摩擦对偶片变胞器，如图4所示.

图4所示的湿式换挡离合器有k个工作构态，对应不同的拓扑结构运动链. 采用矩阵分析法，以摩擦对偶片的运动副约束函数 ${{C}}\left( t \right)$ 为矩阵元素，推导描述运动链拓扑关系的邻接矩阵. 湿式换挡离合器的工作运动链由机架、k−1个摩擦片、主动端、被动端和运动副组成. 基于换挡离合器工作原理可知，摩擦片、主动端和被动端在工作过程中分别与机架在y、z的平动和转动方向上始终存在刚性连接的公共约束，表明机架不参与变胞. 不考虑机架构件，删除与机架相关的元素，邻接矩阵变为满秩矩阵，第i摩擦对偶件的约束函数 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}}$ 等效为 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = \left[ {{c_x}\left( t \right), 1, 1, {c_{\bar x}}\left( t \right), 1, 1} \right]$. 定义变胞源运动链的邻接矩阵 ${{{B}}^{k + 1}}$，如下：

(5) ${{{B}}^{k + 1}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&{{{{C}}_{1, 2}}}&0&{\cdots}&{}&0 \\ {{{{C}}_{2, 1}}}&{}&{\cdots}&{}&{}&0 \\ 0&{\cdots}&{}&{{{{C}}_{i, i + 1}}}&{}&{\cdots} \\ {\cdots}&{}&{{{{C}}_{i + 1, i}}}&{\cdots}&{\cdots}&{} \\ {}&{}&{}&{\cdots}&{}&{{{{C}}_{k, k + 1}}} \\ 0&0&{\cdots}&{}&{{{{C}}_{k + 1, k}}}&0 \end{array}} \right]_{(k + 1) \times (k + 1)}}.$

式中： ${{{C}}_{i + 1, i}}$ 为编号为i+1和i的摩擦片所构成摩擦对偶件的运动副约束函数， $1 \leqslant i \leqslant k - 1$；摩擦片自身不能构成运动副，不相邻的两摩擦片也不能构成运动副，不存在约束函数，故式（5）矩阵中除摩擦对偶件对应元素外，其他均为零. ${{{B}}^{k + 1}}$ 包含湿式换挡离合器变胞机构的所有构件，是 $(k + 1) \times (k + 1)$ 阶矩阵，具有最高阶数，通过矩阵变换得到任意工作构态所对应的邻接矩阵.

不同构态对应不同的邻接矩阵，描述湿式换挡离合器变胞前、后邻接矩阵变化的数学表达式为变胞方程. 结合湿式换挡离合器工作过程，分析不同构态转换的变胞方程.

湿式换挡离合器从分离到滑摩，构件数目和性质不变，消除了摩擦对偶片的间隙，表面产生接触和滑摩，属于高副，因此该过程属于运动副变胞中的净增运动副类型，系统邻接矩阵的阶数不变，直接赋值给相关元素. 假设新增加m/m+1摩擦对偶片的运动副（ $0 \leqslant m \leqslant k - 1$，当 $m = 0$ 时，主动端与第一摩擦片接触；当 $m = k - 1$ 时，第 $k - 1$ 摩擦片与被动端接触），则该摩擦对偶片在原邻接矩阵中的对应元素为 $\left( {m + 1, m + 2} \right)$ 和 $\left( {m + 2, m + 1} \right)$，定义变胞矩阵：

(6) ${{M}}_{_m}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}& \ddots &{}&{}&{\bf 0}&{} \\ {}&{}&{\alpha _{m + 1}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&1&{}&{} \\ {}&{\bf 0}&{}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]_{\left( {k + 1} \right) \times \left( {k + 1} \right)}}.$

式中： $\alpha _{m + 1}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}$ 为分离→滑摩的变胞函数，上标 ${\rm{f}} \to {\rm{h}}$ 表示分离→滑摩，下标 $m + 1$ 表示变胞函数 $\alpha _{m + 1}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}$ 在矩阵 ${{M}}_{_m}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}$ 中第 $m + 1$ 行和第 $m + 1$ 列元素， ${{M}}_{_m}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}$ 中的未标注元素均为零.

基于摩擦对偶片的拓扑描述，离合器分离状态下邻接矩阵元素（约束函数） ${{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{f}} =$ $ \left[ {0, 1, 1, 0, 1, 1} \right]$，滑摩状态下邻接矩阵元素 ${{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{h}} = \left[ {1, 1, 1, \bar w, 1, 1} \right]$，定义变胞函数：

(7) $ \alpha _{m + 1}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 1, & i \ne m + 1; \\ {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{f}} \times {{{A}}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}}, &i = m + 1.\\ \end{array}} \right. $

式中：

${{{A}}^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&0&0&0 \\ 1&1&0&{\bar w}&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1 \end{array}} \right]. $

上述湿式换挡离合器从分离到滑摩过程中，净增k个约束，变胞方程为

(8) ${{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{h}} = \left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_m^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}} } \right){{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{f}}{\left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_m^{{\rm{f}} \to {\rm{h}}}} } \right)^{\rm{T}}}.$

湿式换挡离合器从滑摩到同步，摩擦对偶片的转速差逐渐减小到零，即滑摩转矩消失，两摩擦片接合为一体, 属于合并构件式变胞：构件减少，被合并构件之间的运动副消失（ ${{C}}(t) = 0$ ）. 以m/m+1摩擦对偶片为例，即第m/m+1（ $0 \leqslant m \leqslant k - 1$）摩擦对偶片从滑摩到同步，变胞后构态邻接矩阵的阶数降低一阶，则对应的变胞方程为

(9) ${{B}}_{^k}^{\rm{t}} = ({{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}){{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{h}}{({{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}})^{\rm{T}}}.$

式中： ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}$ 为合并第m和m+1摩擦片的变胞矩阵，是 $k \times \left( {k + 1} \right)$ 阶矩阵；滑摩状态邻接矩阵 ${{B}}_{{k + 1}}^{\rm{h}}$ 左乘变胞矩阵 ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}$，表示消失的第m+1摩擦片（假设摩擦片与主动端合并）在矩阵中对应的m+2行全部元素转移到第m摩擦片（假设摩擦片与主动端合并）所在的m+1行，并删除消失构件所在的第m+2行；滑摩状态邻接矩阵 ${{B}}_{_{k + 1}}^{\rm{h}}$ 右乘 ${\left( {{{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}} \right)^{\rm{T}}}$，表示消失的第m+1摩擦片在矩阵中对应的m+2列全部元素转移到第m摩擦片（假设摩擦片与主动端合并）所在的m+1列，并删除消失构件所在的第m+2列，推导 ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}$ 如下：

(10) ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{}&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&\ddots &{}&{}&{}&{\bf 0}&{} \\ {}&{}&0&{\alpha _{m + 1}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&0&1&{}&{} \\ {}&{\bf 0}&{}&{}&{}&\ddots &{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]_{k \times \left( {k + 1} \right)}}.$

其中， $\alpha _{m + 1}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}$ 为滑摩→同步的变胞函数，上标 ${\rm{h}} \to {\rm{t}}$ 表示滑摩→同步，下标 $m + 1$ 表示变胞函数 $\alpha _{m + 1}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}$ 在矩阵 ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}$ 中第 $m + 1$ 行和第 $m + 1$ 列元素， ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}$ 中未标注元素均为零.

基于摩擦对偶片拓扑的描述可知，离合器滑摩状态下邻接矩阵元素 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{h}} = [ 1, 1, 1, \bar w, $1，1 ]，同步状态下邻接矩阵元素 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{t}} = $[1，1，1，1，1，1]，定义变胞函数：

(11) $ \alpha _{m + 1}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 1, & i \ne m + 1;\\ {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{h}} \times {{{A}}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}}, & i = m + 1. \\ \end{array}} \right. $

式中：

${{{A}}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&1&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1 \end{array}} \right]. $

湿式换挡离合器从滑摩到同步，共合并k−1个摩擦片，主动端和被动端转速相同，同步状态下的邻接矩阵及滑摩到同步的变胞方程如下：

(12) ${{B}}_{^2}^{\rm{t}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { 0}&{{{{C}}_{3t}}} \\ {{{{C}}_{3t}}}&{ 0} \end{array}} \right] = \left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}} } \right){{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{h}}{\left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{t}}}} } \right)^{\rm{T}}}.$

湿式换挡离合器从同步到滑摩是滑摩到同步的逆过程，是分离构件的变胞形式，其变胞运算是滑摩到同步（合并构件）的逆运算：每增加一个摩擦对偶副，变胞后邻接矩阵的阶数增加一阶. 以m/m+1摩擦对偶片从同步到滑摩为例（ $0 \leqslant m \leqslant k - 2$， $m = 0$ 指从主动元件中分离出第1摩擦片），即从第m摩擦片（对应m+1行（列））拆分出第m+1摩擦片（对应m+1行（列）），变胞前构件的邻接矩阵阶数为m+2，变胞后构态邻接矩阵的阶数为m+3，则对应的变胞方程为

(13) ${{B}}_{^{m + 2}}^{\rm{h}} = ({{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}){{B}}_{^{m + 1}}^{\rm{t}}{({{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}})^{\rm{T}}}.$

式中： ${{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}$ 为第m/m+1摩擦片从同步到滑摩的变胞矩阵，是 $\left( {m + 2} \right) \times \left( {m + 1} \right)$ 阶矩阵，

(14) ${{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{}&{\bf 0} \\ {}& \ddots &{} \\ {\bf 0}&{}&1 \\ {}&{\alpha _{m + 2}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}}&0 \end{array}} \right]_{\left( {m + 2} \right) \times \left( {m + 1} \right)}}.$

其中， $\alpha _{m + 2}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}$ 为滑摩→同步的变胞函数，上标 ${\rm{t}} \to {\rm{h}}$ 表示同步→滑摩，下标 $m + 2$ 表示变胞函数 $\alpha _{m + 2}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}$ 在矩阵 ${{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}$ 中第 $m + 2$ 行和第 $m + 1$ 列元素， ${{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}$ 中未标注元素均为零.

同步状态邻接矩阵 ${{B}}_{_{m + 1}}^{\rm{t}}$ 左乘变胞矩阵 ${{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}$，表示将变胞构件m相关的约束函数保留在第m+1行，与分离构件m+1相关的元素转移到m+2行，并给新增运动副赋予约束函数； ${{B}}_{_{m + 1}}^{\rm{t}}$ 右乘矩阵 ${({{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}})^{\rm{T}}}$，表示将变胞构件m相关的约束函数保留在第m+1列，与分离构件m+1相关的元素转移到m+2列，并赋予相关约束函数. 推导 $\alpha _{m + 2}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}$ 如下所示：

(15) $ \alpha _{m + 2}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 1, & i \ne m + 1;\\ {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{t}} \times {{{A}}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}}, & i = m + 1. \\ \end{array}} \right. $

式中：

${{{A}}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&{\bar w}&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1 \end{array}} \right]. $

湿式换挡离合器从同步到滑摩，共拆分k−1个摩擦片，最终生成 $\left( {k + 1} \right)$ 阶矩阵 ${{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{h}}$，则同步到滑摩的变胞方程为

(16) ${{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{h}} = \left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}} } \right){{B}}_{^2}^{\rm{t}}{\left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_{_m}^{{\rm{t}} \to {\rm{h}}}} } \right)^{\rm{T}}}.$

湿式换挡离合器从滑摩到分离，是分离到滑摩的逆过程. 构件数目和性质不变，属于运动副变胞中的净减运动副类型，系统邻接矩阵的阶数不变，直接赋值给相关元素. 假设新减少m/m+1摩擦对偶片的运动副，则该摩擦对偶片在原邻接矩阵中的对应元素为 $\left( {m + 1, m + 2} \right)$ 和 $\left( {m + 2, m + 1} \right)$，定义变胞矩阵：

(17) ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}& \ddots &{}&{}&{\bf 0}&{} \\ {}&{}&{\alpha _{m + 1}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}}&{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&1&{}&{} \\ {}&{\bf 0}&{}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&1 \end{array}} \right]_{\left( {k + 1} \right) \times \left( {k + 1} \right)}}.$

式中： $\alpha _{m + 1}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}$ 为滑摩→分离的变胞函数，上标 ${\rm{h}} \to {\rm{f}}$ 表示滑摩→分离，下标 $m + 1$ 表示变胞函数 $\alpha _{m + 2}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}$ 在矩阵 ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}$ 中第 $m + 1$ 行和第 $m + 1$ 列元素， ${{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}$ 中未标注元素均为零.

基于摩擦对偶片拓扑的描述，离合器滑摩状态下邻接矩阵元素 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{h}} = \left[ {1, 1, 1, \bar w, 1, 1} \right]$，分离状态下邻接矩阵元素（约束函数） ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = $ ${{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{f}} = \left[ {0, 1, 1, 0, 1, 1} \right]$，定义变胞函数：

(18) $ \alpha _{m + 1}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 1, & i \ne m + 1;\\ {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{h}} \times {{{A}}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}}, & i = m + 1. \\ \end{array}} \right. $

式中：

${{{A}}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 0&0&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0&0 \\ 0&0&1&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&1&0 \\ 0&0&0&0&0&1 \end{array}} \right]. $

上述湿式换挡离合器从滑摩到分离过程中，净减k个约束，变胞方程为

(19) ${{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{f}} = \left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}} } \right){{B}}_{^{k + 1}}^{\rm{h}}{\left( {\prod\limits_{m = 0}^{k - 1} {{{M}}_{_m}^{{\rm{h}} \to {\rm{f}}}} } \right)^{\rm{T}}}.$

湿式换挡离合器各构态下的运动链邻接矩阵以及不同构态间的变胞矩阵和变胞函数（见表1），除了能够系统描述湿式换挡离合器稳定工况下的拓扑特征外，还能够直观、准确地表达其分离、滑摩和同步相邻构态间的变胞过程.

由表1可知，湿式换挡离合器的变胞实质上是摩擦对偶片运动副约束函数的变换. 根据约束函数的定义可知，运动副约束力在笛卡尔坐标系某维度上的分量与最大广义作用力的比值决定运动副的性质，建立湿式换挡离合器在 $\bar x$ 方向上的变胞动力学模型.

在分离状态时，运动副约束函数为 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = $ $ {{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{f}} =\left[ {0, 1, 1, 0, 1, 1} \right]$，表明：摩擦对偶片i/i+1存在间隙，在x平动和转动方向上不受约束，其他方向上被完全约束，且 $F_x^i = {F_{\rm non}}$， $T_{_x}^i = - {T_{{\rm{drag}}}}/z$.

在滑摩状态时，运动副约束函数为 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = $ ${{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{h}} = \left[ {1, 1, 1, \bar w, 1, 1} \right]$，表明：已消除摩擦对偶片i/i+1的间隙，两摩擦片存在转速差，在x转动方向上不受约束，其他方向上被完全约束，且 $T_{_x}^i = $ $\operatorname{sgn} \left( {{{\dot \theta }_i} - {{\dot \theta }_{i + 1}}} \right){T_\mu }/z$.

在同步状态时，运动副约束函数为 ${{C}}{\left( t \right)_{i, i + 1}} = $ ${{C}}\left( t \right)_{_{i, i + 1}}^{\rm{t}} = \left[ {1, 1, 1, 1, 1, 1} \right]$，表明：摩擦对偶片i/i+1不存在转速差，所有方向上存在完全约束，但是系统存在动力装置的输入转矩 ${T_{{\rm{egi}}}}$，当 ${T_{{\rm{egi}}}}$ 大于摩擦对偶片最大静摩擦转矩 ${T_{{\rm{\mu - max}}}}$ 时，摩擦对偶片产生动摩擦，且 $T_{_x}^i = \operatorname{sgn} \left( {{T_{{\rm{egi}}}}} \right)T_{_\mu }'/z$；当 ${T_{{\rm{egi}}}}$ ≤ ${T_{{\rm{\mu - max}}}}$ 时，摩擦对偶片所受转矩为 ${T_{{\rm{egi}}}}$，即 $T_{_x}^i = {T_{{\rm{egi}}}}/z$.

根据上述分析可知，第i摩擦片所受转矩为

(20) $ T_{_x}^i = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {T_{{\rm{drag}}}}/z}, &{\varDelta > 0};\\ {\operatorname{sgn} \left( {{{\dot \theta }_i} - {{\dot \theta }_{i + 1}}} \right){T_\mu }/z}, &{\left( {\varDelta = 0} \right) \cap \left( {{{\dot \theta }_i} - {{\dot \theta }_{i + 1}} \ne 0} \right)}; \\ {\operatorname{sgn} \left( {{T_{{\rm{egi}}}}} \right)T_{_\mu }'/z}, &{\left( {\varDelta = 0} \right) \cap \left( {{{\dot \theta }_i} - {{\dot \theta }_{i + 1}} = 0} \right) \cap \left( {{T_{{\rm{\mu - max}}}} < \left| {{T_{{\rm{egi}}}}} \right|} \right)};\\ {{T_{{\rm{egi}}}}/z}, &{\left( {\varDelta = 0} \right) \cap \left( {{{\dot \theta }_i} - {{\dot \theta }_{i + 1}} = 0} \right) \cap \left( {{T_{{\rm{\mu - max}}}} \geqslant \left| {{T_{{\rm{egi}}}}} \right|} \right)}. \end{array}} \right. $

式中： $ \cap $ 为逻辑“与”运算； $\left| {{{\dot \theta }_i} - {{\dot \theta }_{i + 1}}} \right|$ 为第i和i+1摩擦片的转速差；sgn为返回函数，返回数值取决于转速差.

定义 ${I_{{\rm{zhu}}}}$、 ${I_1}$、 ${I_{\rm{2}}}$、···、 ${I_{k - 1}}$、 ${I_{{\rm{bei}}}}$ 分别为主动端、摩擦片1、2、···、摩擦片（k−1）和被动端的惯量，等效为集总质量点，且 ${I_{{\rm{zhu}}}} \gg {I_1} = \cdots = {I_{k - 1}}, {I_{{\rm{bei}}}} \gg {I_1} = \cdots = {I_{k - 1}}$；转矩类型除了式（20）所示的4种类型外，还包括主动端所受的 ${T_{{\rm{egi}}}}$ 和被动端所受的负载 ${T_{{\rm{fz}}}}$. 为了实现计算机的自动建模，提出构建离合器 $\bar x$ 方向动力学模型的规则. 1） ${T_{{\rm{egi}}}}$ 只作用在主动端， ${T_{{\rm{fz}}}}$ 只作用在被动端. 2）假设摩擦片质量点i所受转矩为 $T_{_x}^i$，根据约束函数 ${{{C}}_i}\left( t \right)$ 判断 $T_{_x}^i$ 类型，即当 ${c_{i, \bar x}}\left( t \right) = 0$ 时， $T_{_x}^i = - {T_{{\rm{drag}}}}/z$；当 ${c_{i, \bar x}}\left( t \right) = 1$ 时， $T_{_x}^i = $ $\operatorname{sgn}\left( {{T_{{\rm{egi}}}}} \right)T_{_\mu }'/z$或 $T_{_x}^i = {T_{{\rm{egi}}}}/z$；当 ${c_{i, \bar x}}\left( t \right) = \bar w$时, $T_{_x}^i = $ $\operatorname{sgn} \left( {{{\dot \theta }_i} - {{\dot \theta }_{i + 1}}} \right){T_\mu }/z$. 3）主动端同时受到转矩 $T_{_x}^1$，被动端同时受到转矩 $T_{_x}^{k - 1}$. 建立适用于计算机自动计算的离合器 $\bar x$ 方向通用动力学模型，如图5所示.

对应的数学模型为

(21) $\left. \begin{gathered} {I_{{\rm{zhu}}}}{{\ddot \theta }_{\rm{zhu}}}{\rm{ + }}{T_{{\rm{egi}}}}{\rm{ + }}T_{_x}^1{\rm{ = 0}}, \\ {I_{\rm{1}}}{{\ddot \theta }_{\rm{1}}}{\rm{ + }}T_{_x}^1{\rm{ = 0}}, \\ ... \\ {I_i}{{\ddot \theta }_{{i}}}{\rm{ + }}T_{_x}^i{\rm{ = 0}}, \\ ... \\ {I_{k - 1}}{{\ddot \theta }_{k{\rm{ - 1}}}}{\rm{ + }}T_{_x}^{k - 1}{\rm{ = 0}}, \\ {I_{\rm bei}}{{\ddot \theta }_{\rm bei}}{\rm{ + }}{T_{{\rm{fz}}}}{\rm{ + }}T_{_x}^{k - 1}{\rm{ = 0}}. \end{gathered} \right\}$

式中： ${\ddot \theta _i}$ 为第i摩擦片的角加速度.

为了验证上述动力学模型的准确性，以某车辆为对象，开展起步动态过程的仿真和试验对比分析. 保持发动机稳定运转，按一定的负载系数进行加载，操纵湿式换挡离合器从空挡换至1挡，对比离合器被动端转速和转矩的变化规律，如图6所示.

由图6可知，仿真和试验结果吻合，表明提出的湿式换挡离合器动力学建模方法的准确性和可行性. 动力学模型没有考虑摩擦对偶件的变形和磨损，所以仿真曲线较光滑，与试验曲线存在一定的误差.

（1）基于湿式换挡离合器工作特性和运动副约束函数分析所定义的离合器变胞器模型，能够广泛描述运动副类型、自由度、位姿、性质等随时间变化的情况.

（2）采用矩阵分析法所建立的变胞函数和变胞方程，以约束函数为元素，不仅能够表达湿式换挡离合器的拓扑结构，还能够直观、准确地描述离合器3个工作状态（分离、滑摩和同步）的变换过程.

（3）基于湿式换挡离合器变胞机理的分析，提出更直观、简便的动力学建模方法. 动力学仿真结果和试验数据基本吻合，表明该方法是准确的，为湿式换挡离合器动态特性分析和后续换挡特性研究提供新的途径.