单幅图像超分辨率（single image super-resolution, SISR）旨在从低分辨率输入重建高保真高分辨率图像，广泛应用于遥感^[1]、视频识别^[2]及医学诊断^[3]等领域. Dong等^[4]首次将CNN引入SISR任务，奠定了深度学习在该领域的主流地位. Kim等^[5]提出VDSR，通过残差学习深化网络结构. Lin等^[6]改进RCAN，利用通道注意力机制进一步优化特征提取，显著提升了重建精度. 面对实时应用的需求，模型轻量化成为关键难题. Xu等^[7-8]分别提出IDN和RFDN，虽然通过特征蒸馏有效压缩了参数量，但由于这2种网络依赖局部卷积的操作难以捕捉长程依赖，导致复杂纹理重建时易出现上下文信息丢失的问题.

针对局部感受野难以捕捉全局上下文的问题，引入全局感知方法，提升重建性能. Liang等^[9]提出SwinIR，利用移位窗口注意力机制改善局部交互. Wang等^[10]设计NL-Net以建模全局关联，但计算复杂度随着图像尺寸平方级增长，难以满足轻量化部署的需求. Huang等^[11]指出基于傅里叶变换的频域方法具备线性复杂度优势，为轻量化提供了新路径. 现有的频域方法仍存在局限. Rao等^[12]提出的GFNet采用固定滤波器，缺乏动态适应性. Fan等^[13-14]分别提出FDANet和DFCAN，在跨频段交互与计算效率之间难以平衡，易造成高频细节抑制. Zhang等^[15-16]虽然在SwinFIR和FFC中引入频域卷积，但多采用实部与虚部结合的处理方式，破坏了复数信号的共轭对称性，易引发相位漂移. 这种幅相耦合导致的相位误差，是重建图像产生模糊、振铃及结构错位伪影的主要原因.

针对上述问题，本文提出基于幅相协同建模的轻量级网络（amplitude-phase network, APNet）. 提出频域幅相注意力机制（frequency-domain amplitude phase attention, FAPA），在复数域显式解耦幅度与相位，通过独立建模增强高频响应并约束相位一致性，从而缓解相位漂移引起的结构失真. 设计高效多尺度融合模块（hierarchical scale-kernel block, HSKB），利用层级扩张卷积扩大感受野，为频域处理提供丰富的多粒度上下文信息. 提出频域动态归一化模块（frequency-domain dynamic normalization, FDN），根据频段统计特性动态调整归一化参数，实现噪声抑制与细节保留的自适应平衡.

提出的APNet的总体网络架构主要包括3个部分：浅层特征提取层（blueprint separable convolution，BSConv）、深层频域蒸馏模块以及特征融合与重建模块，如图1所示. 其中，深层频域蒸馏模块主要包含多级级联的频域特征蒸馏块（frequency-domain feature distillation block, FFDB）. 将低分辨率输入I_LR沿通道复制堆叠，以构建多通道输入. 通过BSConv模块(由1×1点卷积和3×3深度卷积组成)进行初步处理. 1×1卷积融合跨通道信息并映射维度，3×3深度卷积提取空间特征，最终生成浅层特征：

(1)$ {\boldsymbol{F}}_{0}={\mathrm{BSConv}}\left(\boldsymbol{I}_{\mathrm{LR}}^{n}\right); \; n=1,2,3. $

在深层特征提取阶段，将浅层特征F₀输入由n个级联的FFDB模块构成的深层蒸馏网络. 各模块利用1×1卷积和多尺度融合卷积HSKB分别提取蒸馏特征和粗粒度特征，并经BSConv高效提取和转换. 过程可以表示如下.

(2)$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{d}1},{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}1}={\mathrm{GELU}}\left({D}_{1}\left({\boldsymbol{F}}_{0}\right)\right),{\mathrm{GELU}}\left({\mathrm{HSK}}{{\mathrm{B}}}_{1}\left({\boldsymbol{F}}_{0}\right)\right). $

(3)$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{d}2},{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}2}={\mathrm{GELU}}\left({D}_{2}\left({\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}1}\right)\right),{\mathrm{GELU}}\left({\mathrm{HSK}}{{\mathrm{B}}}_{2}\left({\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}1}\right)\right). $

(4)$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{d}3},{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}3}={\mathrm{GELU}}\left({D}_{3}\left({\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}2}\right)\right),{\mathrm{GELU}}\left({\mathrm{HSK}}{{\mathrm{B}}}_{3}\left({\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}2}\right)\right). $

(5)$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}4}={\mathrm{BSConv}}\left({\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}3}\right). $

(6)$ {\mathrm{HSK}}{{\mathrm{B}}}_{i}\left(\boldsymbol{F}\right)={\mathrm{PW}}\left(\text{Cat}\left({\text{PDW}}_{5\times 5}\left({\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{e}}1}\right),{\mathrm{BSConv}}\left({\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{e}}2}\right)\right)\right). $

式中：F为当前输入到第i个HSKB模块的特征图；D_i（第i个蒸馏层）采用1×1逐点卷积（PW）进行通道蒸馏，通过通道压缩实现特征多尺度分解与蒸馏，在降低计算冗余的同时保留高频细节. 该机制将特征解耦为蒸馏特征F_di与粗粒度特征F_ri，有效平衡了表达能力与计算效率. HSKB_i将输入沿通道分割为F_e1、F_e2：F_e1经5×5深度卷积捕获全局上下文，F_e2利用BSConv高效提取局部特征以降低复杂度. 随后，两路特征经通道拼接与1×1卷积融合，实现多尺度信息互补. 该过程表示为

(7)$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{u}}={\mathrm{Con}}{{\mathrm{v}}}_{1\times 1}\left({\mathrm{Cat}}\left({\boldsymbol{F}}_{\mathrm{d}1},{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{d}2},{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{d}3},{\boldsymbol{F}}_{\mathrm{r}4}\right)\right). $

融合特征经频域幅相注意力模块联合优化幅度与相位再通过1×1卷积调整通道维度及（PixeNorm）归一化处理得到增强特征F_en. F_en与输入I_LR进行残差连接，输出特征图F_rec：

(8)$ {\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{en}}}={\mathrm{PixelNorm}}\left({\mathrm{Con}}{{\mathrm{v}}}_{1\times 1}\left(\text{FAPA}\left({\boldsymbol{F}}_{\text{u}}\right)\right)\right), $

(9)$ {\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{rec}}}={\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{en}}}+{\boldsymbol{I}}_{{\mathrm{LR}}}. $

在重建阶段，所有特征经1×1卷积与GELU激活进行非线性融合及通道调整，再由BSConv映射至目标通道. 通过亚像素卷积（PixelShuffle）上采样，生成高分辨率图像：

(10)$ {\boldsymbol{I}}_{\mathrm{SR}}={\mathrm{PixelShuffle}}\left(\text{BSC}{\mathrm{onv}}\left(\text{GELU}\left(\text{Conv}\left({\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{rec}}}\right)\right)\right)\right). $

APNet的核心由频域幅相注意力（FAPA）、多尺度融合模块（HSKB）及频域动态归一化（FDN）构成. 下文将详细阐述这3个关键模块在深度特征提取中的作用机制.

为了解决轻量化CNN中多尺度特征提取、感受野扩展与参数效率的平衡难题，提出多尺度融合模块（HSKB）. 该模块采用并行多分支结构，利用不同扩张率的卷积分别捕获局部细节、中程结构及全局上下文，通过跨尺度交互实现语义互补. 结合通道分离与分组卷积策略，HSKB在显著降低计算开销的同时有效扩展感受野，增强了对纹理与结构的多粒度感知能力，特别适配轻量化超分辨率模型. 具体架构如图2所示.

给定输入特征F_in，沿通道维度分割为两部分，分别采用不同的卷积策略处理：第1部分经BSConv提取特征F_e1，第2部分通过5×5 的深度卷积提取特征F_e2. 该过程表示为

(11)$ \boldsymbol{F}_1,\boldsymbol{F}_2={\boldsymbol{F}}_{\text{in}}\left[\colon,\colon,C/2\colon C/2\right]. $

(12)$ \boldsymbol{F}_{{\mathrm{e}}1}={\mathrm{BSCon}}{{\mathrm{v}}}_{3\times 3}\left({\mathrm{C}}{\text{onv}}_{1\times 1}\left({{\boldsymbol{F}}}_{1}\right)\right). $

(13)$ \boldsymbol{F}_{{\mathrm{e}}2}={\text{Conv}}_{1\times 1}\left({\mathrm{Con}}{{\mathrm{v}}}_{5\times 5}\left({{\boldsymbol{F}}}_{2}\right)\right). $

两路特征经通道拼接融合后，通过1×1卷积压缩通道以整合信息，并经GELU激活引入非线性，最终生成输出特征：

(14)$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{out}}={\mathrm{GELU}}\left({\mathrm{PointCon}}{{\mathrm{v}}}_{1\times 1}\left({\mathrm{Cat}}\left(\boldsymbol{F}_{{\mathrm{e}}1},\boldsymbol{F}_{{\mathrm{e}}2}\right)\right)\right). $

通过通道分割策略，单分支深度卷积的计算量由K²×C_in×H×W降至K²×（C_in/2）×H×W，其中K为核尺寸，H、W为特征图的高宽. 这种机制实现了低频基础特征与高频细节特征的解耦处理，在显著降低计算冗余的同时，增强了多尺度特征的捕捉能力与特征表示能力.

频域处理凭借卷积定理赋予的全局感知能力，有效弥补了空间域长程依赖建模的不足. 对于二维实信号，该信号的傅里叶变换呈共轭对称性，后半谱可由前半谱唯一确定. 主流框架因缺乏原生复数支持，常将实部与虚部沿通道堆叠为实值张量. 这种处理方式导致实虚部在后续层中发生非受控交互，严重破坏相位完整性，进而引发结构失真与定位偏差. 提出隔离实、虚部通信，以保护相位信息，从而更好地保留几何结构与语义定位. FAPA的结构如图3所示. 通过快速傅里叶变换$ {F}\left(\boldsymbol{x}\right) $，将空间域的特征$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{s}}\in {\bf{R}}^{C\times H\times W} $转换为频域特征$ {\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{f}}}\in {\bf{R}}^{C\times H\times \left\lfloor w/2\right\rfloor+1} $：

(15)$ {\boldsymbol{F}}_{\mathrm{f}}={F}\left({\boldsymbol{F}}_{\mathrm{s}}\right). $

式中：F_s和F_f分别为空间域与频域特征. 经过快速傅里叶变换后的信号呈复数形式，F_s可以用极坐标形式F（u,v）表示各频率分量：

(16)$ \boldsymbol{F}\left(u,v\right)={{\boldsymbol{R}}}\left(u,v\right)+\text{j}\boldsymbol{I}\left(u,v\right)=\left| \boldsymbol{F}\left.\left(u,v\right)\right| \right.{{\mathrm{exp}}}\;({{\mathrm{j}}}{{{\boldsymbol{\phi }}}}{\left(u,v\right)}), $

(17)$ \left| \boldsymbol{F}\right.\left.\left(u,v\right)\right| ={\left[{\boldsymbol{R}}^{2}\left(u,v\right)+{\boldsymbol{I}}^{2}\left(u,v\right)\right]}^{1/2}, $

(18)$ \boldsymbol{\phi }\left(u,v\right)=\arctan \left(\frac{\boldsymbol{I}\left(u,v\right)}{\boldsymbol{R}\left(u,v\right)}\right). $

式中：$ \left| \boldsymbol{F}\right.\left.\left(u,v\right)\right| $为该频域分量的幅度，表示信号在该频域上的能量；$ \boldsymbol{\phi }\left(u,v\right) $为该频域分量的相位表示信号在该频域上的时间延迟或相对位置. 将提取出的幅度分量送入自定义的卷积网络F_a，通过可学习的缩放因子φ和残差连接调整输出，得到增强后的幅度. 具体流程可以表示为

(19)$ \left| \boldsymbol{F}\right.\left.\left(u,v\right)\right| ={\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{a}}}\left(\left| \boldsymbol{F}\right.\left.\left(u,v\right)\right|+10^{-8}\right){\bf\textit{φ}}+\left| \boldsymbol{F}\right.\left.\left(u,v\right)\right| , $

(20)$ {\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{a}}}={\mathrm{Con}}{{\mathrm{v}}}_{1\times 1}\left({\mathrm{GELU}}\left({\mathrm{Con}}{{\mathrm{v}}}_{1\times 1}\left(\left| \boldsymbol{F}\right.\left.\left(u,v\right)\right| \right)\right)\right). $

F_a模块通过逐点卷积将通道数减半，以实现压缩与特征提取. 引入GELU激活函数，增强非线性并缓解梯度消失. 利用扩张卷积扩大感受野，以捕捉更广阔的空间上下文.

相位处理由轻量级 F_p模块实现. 该模块包含深度可分离卷积，其中深度卷积提取空间特征，点卷积将通道数压缩为2，分别用于生成相位偏移量的正弦分量Δs和余弦分量Δc. 随后经Tanh激活函数约束偏移范围，实现相位信息的高效整合. 该过程表示为

(21)$ {{\Delta }}{\boldsymbol{s}},{{\Delta }}{\boldsymbol{c}}={\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{p}}}\left(\boldsymbol{\phi }\left(u,v\right)\right)\boldsymbol{\kappa }. $

(22)$ {\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{p}}}={\mathrm{Tanh}}\left({\mathrm{Con}}{{\mathrm{v}}}_{1\times 1}\left(\text{Con}{{\mathrm{v}}}_{3\times 3}\left({{\Delta }}{\boldsymbol{s}},{{\Delta }}{\boldsymbol{c}}\right)\right)\right). $

式中：$\boldsymbol{\kappa } $为可学习参数. 引入κ控制相位调整强度，经残差连接更新正弦与余弦分量. 在通道维度拼接得到调整后相位，对更新的幅度和相位进行动态约束归一化.

(23)$ {\boldsymbol{s}}^{\prime}={\boldsymbol{s}}_0+\boldsymbol{\kappa }\odot {{\Delta }}{\boldsymbol{s}}, $

(24)$ {{\boldsymbol{c}}}^{\prime}={\boldsymbol{c}}_0+\boldsymbol{\kappa }\odot {{\Delta }}{\boldsymbol{c}}, $

(25)$ \boldsymbol{\phi }\left(u,v\right)=\text{cat}\left({{\boldsymbol{s}}}^{\prime},{{\boldsymbol{c}}}^{\prime}\right). $

式中：s₀、c₀分别为原始的正弦分量和余弦分量，$\odot $表示逐元素相乘，$\Delta {\boldsymbol{s }}$、$\Delta {\boldsymbol{c}} $分别为相位增量和幅度增量. 将更新后的幅度和相位频域复数特征进行动态约束归一化处理，得到新的幅度和相位：

(26)$ \left| \boldsymbol{F}\left(u,v\right)\right|,\boldsymbol{\phi }\left(u,v\right)={{\mathrm{F}}}{\mathrm{DN}}\left(\left| {\boldsymbol{F}}\left(u,v\right)\right|,\boldsymbol{\phi }\left(u,v\right)\right) .$

在完成频域处理后，重组幅度与相位为复数形式，经逆傅里叶变换$ {{F}}^{-1}\left(\boldsymbol{x}\right) $映射回空间域. 通过残差连接与输入F_s逐元素相乘，得到最终输出.

(27)$ \boldsymbol{H}={{F}}^{-1}\left(\left| {\boldsymbol{F}}\left(u,v\right)\right|,{\boldsymbol{\phi}} \left(u,v\right)\right)\odot {\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{s}}}. $

式中：逐元素相乘旨在将频域调整结果映射回空间域，实现频域、空域协同优化.

针对频域重建中固定权重适应性差及耦合建模导致相位失真的问题，提出频域动态归一化模块（FDN）. 该模块在幅相解耦空间引入可学习参数α、β、γ，通过数据驱动动态重标定各频段响应，在增强高频细节的同时稳定相位拓扑. 结合频域归一化，抑制特征分布偏移，提升训练稳定性. FDN缓解了传统固定权重的刚性约束，实现频率自适应调控，显著改善结构一致性与纹理锐度. 将输入的$ {{\Delta }}{\boldsymbol{s}}\in {\bf{R}}^{N\times \frac{C}{2}\times H\times W} $和$ {{\Delta }}{\boldsymbol{c}}\in {\bf{R}}^{N\times \frac{C}{2}\times H\times W} $（N、C、H、W分别为批量大小、通道数及特征图的高和宽）沿通道维度拼接，得到合并后的特征图$ \boldsymbol{X}\in {\bf{R}}^{N\times C\times H\times W} $：

(28)$ \boldsymbol{X}={\mathrm{Cat}}\;\left({{\Delta }}{\boldsymbol{s}},{{\Delta }}{\boldsymbol{c}}\right). $

输入特征经可学习缩放因子α及Tanh激活处理生成中间特征Y，该过程表示为

(29)$ \boldsymbol{Y}=\tanh\;\left(\boldsymbol{\alpha }\cdot \boldsymbol{X}\right). $

利用通道级缩放参数γ与偏移参数β动态调整各通道的权重及基线，模型能够实现通道级的特征重校准，以增强表达能力. 经此动态校准后的特征整合为中间特征：

(30)$ \boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Y}\odot \boldsymbol{\gamma }+\boldsymbol{\beta }. $

将校准后的特征Z按通道拆分为s '' 和c''，对幅度和相位分别进行 L₂ 范数归一化处理，确保单位圆约束. 该过程可以表示为

(31)$ {{\boldsymbol{s}}}^{''},{\boldsymbol{c}}^{''}=\frac{\left({\boldsymbol{s}}^{\prime},{\boldsymbol{c}}^{\prime}\right)}{\sqrt{{\boldsymbol{s}}^{{{}^{\prime}}2}+{\boldsymbol{c}}^{{{}^{\prime}}2}+\varepsilon }};\;\varepsilon =10^{-8}. $

与全局归一化相比，这种细粒度控制更适配多尺度相位特征，有效避免相位调整引发的复数模长畸变. 此外，引入平滑项以增强数值稳定性，防止零向量导致的梯度异常. 该模块的参数量仅为1+2C，具有轻量化的优势.

训练集采用DIV2K^[17]中的800幅高分辨率图像，涵盖自然场景、建筑及纹理等多类内容，以确保数据代表性. 数据增强仅包含随机水平翻转及90°倍数旋转，旨在提升鲁棒性的同时，避免复杂增强对频域结构一致性的干扰. 验证阶段选用Set5、Set14、B100、Urban100和Manga109五大基准数据集，在2、3、4倍缩放因子下进行定量评估. 评价指标采用峰值信噪比（PSNR）和结构相似性（SSIM），所有结果均在YCbCr色彩空间的Y通道计算，以贴合人眼视觉特性，并与主流SISR研究保持可比性.

实验基于PyTorch 2.0.1框架与NVIDIA RTX 4070 Ti Super GPU进行. APNet骨干网络由8个级联FFDB模块构成，输入的LR图像尺寸统一为480×480像素. 模型针对各缩放因子独立训练，未引入外部先验或后处理，确保公平对比. 优化器选用Adan^[18]，初始学习率设为5×10⁻³，批量大小为64. 训练总迭代次数为100 000次，采用两阶段策略：前90 000次使用L1损失建立基础特征表达；后10 000次使用MSE损失并将学习率降至2×10⁻⁵，以优化高频细节，全程使用余弦退火策略^[19]衰减学习率.

为了验证FAPA的幅相协同优化效能，在4倍超分任务下进行消融实验. 基线模型（Baseline）仅含频域变换与基础重建；对比组包括仅增强幅度谱的Baseline+amp、仅优化相位谱的Baseline+ph及完整FAPA模型. 所有实验配置保持一致.

如表1所示，Baseline+amp在Set5、Manga109纹理丰富的数据集上表现优异，验证了高频增强能力. 在B100中因过度放大虚假高频导致边缘失真，性能略有下降. Baseline+ph在所有数据集上的性能均优于基线，尤其在Set14、B100及Urban100等结构复杂场景下增益显著，证明了相位优化对全局结构一致性的提升作用. 完整FAPA模块展现出显著的协同效应，在五大数据集上均取得最大增益. 完整模块带来的性能提升远超单分支效果的线性叠加，证明了幅相联合优化的非线性叠加优势，验证了FAPA 模块的机制有效性.

为了验证HSKB的有效性，选取参数量相近的BSRN^[20]（BSRB模块）与LKDN^[21]（RSRB模块，参数量为305×10³）作为对比基线.

表2中，N_p为参数量. 如表2所示，HSKB参数量仅增加约5×10³（增幅< 2%），但在五大数据集上性能显著提升. HSKB 使模型在Set5数据集上的PSNR达到 32.45 dB，较BSRB和RSRB分别提升0.22 dB和0.16 dB. 在结构复杂的 Set14与B100上，HSKB依然保持领先，PSNR最高提升0.18 dB与0.13 dB，证明了HSKB模块良好的泛化能力. 尤其是在纹理密集的 Urban100上，HSKB优势显著，与BSRB相比，PSNR提升 0.23 dB，凸显了HSKB 在高频细节恢复与结构保真上的优势. 综上所述，HSKB 以极低的额外计算开销实现了高质量特征提取，验证 了 HSKB 作为高效骨干模块的价值.

为了验证FDN的有效性，在4倍超分任务下，对无归一化基线、BN、LN及FDN进行实验对比.

如表3所示，无归一化基线在Set5、B100及Urban100上的性能显著落后，相较于完整模型，无归一化模型的平均PSNR下降超过 0.3 dB. 证明频域特征缺乏分布调控易导致幅相失衡与训练振荡. 与传统方法相比，FDN在所有数据集上的PSNR均优于BN与LN：在Urban100上较BN提升0.11 dB，较LN提升0.08 dB，且在Manga109与Set14 上保持领先，体现了FDN对高频细节与结构恢复的增强作用. FDN 的优势源于频率自适应机制：通过可学习参数动态重标定各频段响应，既规避了BN对批次统计的依赖，又克服了LN通道归一化的局限性，实现按频调控. 该机制在稳定训练的同时，精准强化高频能量并抑制相位偏移，显著提升边缘锐度与结构一致性.

为了评估计算效率，在统一环境下以 3×256×256 输入进行100次推理测试（含10次预热），统计平均延迟、吞吐量、参数量及峰值显存. 表4中，t_in为推理耗时，σ为标准差，T为吞吐量，S_m为模型大小，S_c为GPU内存大小. 如表4所示，APNet表现优异：推理耗时仅为5.959 ms，吞吐量达到167.81 帧/s，均居首位，具备显著的实时应用潜力. APNet推理时间的标准差极小（与IMDN^[22]相当），输出稳定可预测，保障了部署流畅性. 但APNet显存占用略高，主要归因于频域幅相双分支并行存储及快速傅里叶变换中反向传播缓存中间结果，且傅里叶计算库工作区随分辨率二次增长. 未来将探索更高效的频域算法，以进一步优化内存效率.

在频域超分中，相位谱主导空间结构与几何布局，相位谱的准确性直接决定重建保真度. 传统方法因幅相耦合或缺乏显式建模，易引发相位偏移（如周期性错位、频谱混叠），导致边缘模糊与纹理断裂. 为了定量评估FAPA的相位稳定性，引入相位一致性误差（phase consistency error，PCE），衡量重建相位与真实高分辨率相位ϕ的对齐程度. 其中L1相位误差定义为

(32)$ {\varepsilon }_{{\mathrm{L}}1}=\frac{1}{HW}\sum \limits_{i-1}^{H}\sum \limits_{j-1}^{W}\left| \left.\boldsymbol{\phi }\left(i,j\right)-\hat{\boldsymbol{\phi }}\left(i,j\right)\right| \right.. $

式中：$ \boldsymbol{\phi }\left(i,j\right) $和$ \hat{\boldsymbol{\phi }}\left(i,j\right) $ 分别为真实高分辨率图像与重建图像在频域位置$ \left(i,j\right) $处的相位角，H和W分别为频谱图的高度与宽度. 该误差反映相位整体的偏移程度，误差越大表明结构错位越严重. 余弦相似误差定义为

(33)$ {\varepsilon }_{\cos }=1-\frac{1}{HW}\sum \limits_{i-1}^{H}\sum \limits_{j-1}^{W}\cos \left(\bigtriangleup \boldsymbol{\phi }\left(i,j\right)\right),\;\bigtriangleup \boldsymbol{\phi }=\boldsymbol{\phi }-\hat{\boldsymbol{\phi }}. $

式中：$ \bigtriangleup \phi \left(i,j\right) $为两图像在对应频点的相位差. PCE 由相位差的L1误差与余弦误差联合构成，余弦函数对小角度变化敏感且具有周期性，能够有效捕捉局部结构的相位相干性，适用于检测高频振荡或反向偏差（虽然PCE尚未广泛作为单一标量指标使用，但相关误差已用于图像质量评估与频域建模^[24]）. 如表5所示，在Urban100数据集4倍放大任务中，空间域方法（IMDN、PAN^[25]）及Transformer方法HAT^[26]因缺乏频域相位调控，L1误差均高于0.80， 凸显HAT 与其他主流方法的建模局限. APNet凭借显式幅相解耦与相位拓扑约束，将L1误差降至0.654，与次优方法PAN相比，L1误差降低了18.2%，且余弦误差最优. 这表明APNet有效抑制了相位偏移并维持频域拓扑一致性，验证了FAPA在边缘、角点结构敏感区域的高保真重建能力.

为了体现APNet在频域特征表达与全局建模上的优势，采用局部归因图（local attribution map, LAM）^[27]可视化像素级响应机制. LAM通过量化输入像素对重建区域（红框）的贡献度，反映网络的空间敏感性与感受野范围. 如图4所示，EDSR、IMDN及BSRN等空间域模型的响应高度集中于目标邻域，呈现明显的局部依赖，表明感受野受限，难以整合远距离上下文. APNet展现出更广阔的空间响应范围，有效激活了远离目标区域的结构线索（如边缘走向、纹理周期性）. 这验证了频域幅相解耦与全局频谱建模能够突破局部卷积的感知瓶颈，实现高效的全局信息整合.

为了进一步验证APNet的有效性，选取如下方法进行比较：PAN、BSRN、DRRN^[28]、IMDN、RFDN、MeMNet^[29]、VDSR、LapSRN^[30]、DiVANet^[31]、FSRCNN^[32]、SRCNN. 如图5所示为在放大倍数为4的情况下PSNR与参数量的对比. APNet在重建性能与模型复杂度间取得良好平衡，兼具高重建质量与轻量化优势.

为了评估APNet的综合性能，选取LKDN^[21]、SAFMN^[33]主流轻量化模型作为基准. 如表6所示为各模型在2、3、4倍放大因子下五大数据集上的参数量、FLOPs及PSNR、SSIM指标.

在2倍任务中，APNet兼顾高精度与高效率. 与 IBMDB与DCFMN相比，FLOPs降低了14%~51%且性能更优. 与参数量相近的LKDN相比，计算开销仅约1/3，PSNR持平或领先. 与极致轻量的SAFMN相比，APNet仅增加18%的参数，便在Urban100上实现了+0.50 dB的显著增益，验证了该方法的有效性. 在更具挑战的4倍任务中，APNet优势进一步放大. 在结构复杂的Urban100上，凭借FAPA的相位调控与HSKB的多尺度感知，APNet较SAFMN提升了0.62 dB，有效恢复高频轮廓. 在Manga109上，利用FAPA增强关键频率并结合FDN抑制伪影，PSNR与SSIM均超越LKDN. 在平滑为主的B100上，通过HSKB稀疏提取与FDN降噪，在性能媲美EARFA的同时减少了42%的参数量. 综上所述，FAPA、HSKB与FDN的协同设计使APNet能够自适应分配频域资源，在轻量化约束下实现结构与细节的精准恢复.

为了直观展示重建优势，选取IMDN、MDRN、PAN等模型在Urban100（复杂结构）、Set14（自然场景）与B100（平滑区域）进行放大4倍的可视化对比，如图6所示. 利用传统的空间域方法，虽然能够增强边缘，但易引入噪声、锯齿伪影及局部扭曲，尤其在弱纹理区产生虚假高频. APNet凭借频域幅相解耦机制，在锐化细节的同时有效抑制噪声，避免了增强即失真的问题. 具体而言，APNet既提升了局部纹理清晰度（如砖墙、窗框），又保持了全局几何连贯性（如透视、轮廓），在自然景物和平滑区域无振铃或结构坍塌，过渡自然. 视觉评估结果与定量指标的高度一致性，验证了APNet在细节增强、噪声抑制以及结构稳定性保持方面的协同优化有效性.

通过幅相协同的轻量级频域框架，结合复数域幅相解耦与自适应调控，有效改善了传统频域超分中幅相结合建模易引发的相位畸变问题，在保障几何结构保真与高频细节丰富度的前提下显著压缩模型规模，为频域超分实现“高性能与轻量化” 的平衡提供了可参考的实践思路. 后续将结合边缘设备的计算资源特性，融入量化技术与硬件友好型算子设计，进一步降低推理延迟，实现该方法在终端设备上的轻量化部署.