直流微电网是构建新型电力系统的重要载体之一^[1]. 承担高低压直流母线间能量传输的双有源桥式(dual active bridge, DAB)变换器凭借高频电气隔离、宽电压范围调节以及灵活的双向功率流控制的优势^[2]，成为高低压直流母线间能量传输的热点方案.

移相控制是DAB变换器的典型控制策略，其中单重移相(single phase-shift, SPS)仅须调节单一自由度，控制简单且易于实现^[3]. 当变换器处于轻载或输入输出电压不匹配时，电感电流与变压器原边电压相位失配将会导致功率回流^[4]. 为了维持目标传输功率，需要提高正向功率进行补偿回流损耗，从而增大电流应力并增加器件损耗，导致变换器效率下降^[5]. 双重移相(dual phase shift, DPS)^[6]通过引入额外移相自由度，可以有效地降低DAB的电流应力与回流功率. 但多自由度的引入使得最优移相比的确定变得更加复杂.

协调各移相比间的关系是优化系统效率的关键. 现有的控制策略可以分为数值解与解析解2类. Krismer等^[7]通过闭式解析推导，建立最优控制参数模型. Li等^[8]提出五变量调制策略，结合粒子群优化算法实现全功率范围最优工作点的追踪. 上述方法通常依赖离线优化与查找表，当系统参数变化时须重新计算. Tong等^[9]构建全局最优条件方程，实现最小均方根电流控制. Shi等^[10]提出多移相开关面的最小电流应力边界控制. Hou等^[11]基于拉格朗日乘数法，获得最优解. 龚邻骁等^[12]对DAB的最优模态及优化目标进行定量分析，提出移相策略. 该策略能够有效优化电感电流，并实现宽范围软开关. Yan等^[13]在电流应力优化的基础上考虑可变直流侧电压，利用Karush–Kuhn Tucker (KKT)条件法推导解析解的表达式. 上述解析解方法通过建立连续的解析关系，显著降低了计算复杂度，增强了参数鲁棒性.

DPS在显著提升DAB变换器的功率控制灵活性和效率的同时，增加了控制复杂度. 现有的策略通常采用比例积分（proportional integral，PI）控制进行慢调节，以避免功率过渡振荡，导致系统的动态响应受限，且在宽范围运行条件下参数整定较困难. Sha等^[14]基于脉冲序列控制提出离散扩展相移控制方法，无需误差放大器与补偿电路，动态响应快. Shao等^[15]分析虚拟直接功率控制^[16-17]、扰动观测控制^[18]、滑模控制^[19-20]及移动离散控制集模型预测控制(moving discrete control set model predictive control, MDCS-MPC)^[21-24]等先进策略. 前3种方法虽然能够改善参数敏感性问题并提升动态响应，但存在抗负载扰动能力受限的固有缺陷. MDCS-MPC通过将移相比离散化以适应数字控制，在降低电流传感带宽要求方面展现出显著优势. 上述控制策略均未解决电流应力优化(current-stress-optimized, CSO)的问题.

本文研究兼顾DAB变换器CSO及动态响应优化，结合CSO-DPS与模型预测控制(model predictive control, MPC)理论，提出自适应离散控制集模型预测控制(adaptive discrete control set model predictive control, ADCS-MPC)调制策略. 通过引入桥内移相比提高控制自由度，基于KKT条件法推导DPS最佳移相比关系，将多移相比简化为单自由度，实现与MPC的高效适配. 离散化相移生成自适应控制集，建立DAB电压预测模型. 利用代价函数滚动优化求出最佳相移，根据最优移相比关系解与最佳相移的关系，推导最优移相比，降低电流应力. 在保证输出电压稳定的同时，显著降低变换器电流应力，提升动态响应能力.

DAB变换器的结构如图1所示，由高频变压器、电感以及2个全桥$ {{H}}_{1} $、$ {{H}}_{2} $构成. 其中，每个全桥包含4个开关管，$ n $为变压器的匝数比，总电感$ {L}_{\mathrm{r}} $为变压器漏感和辅助电感之和，$ {C}_{1} $和$ {C}_{2} $分别为输入和输出侧电容，$ {V}_{1} $和$ {V}_{2} $分别为原边输入电压和副边输出电压. 变压器两侧输出频率为$ {f}_{\mathrm{s}} $的方波电压$ {v}_{\mathrm{ab}} $和$ {v}_{\mathrm{cd}} $，将电压传输比定义为$ r={V}_{1}/(n{V}_{2}) $，主要分析$ r \gt 1 $的工况，$ r \lt 1 $时的原理类似.

DAB变换器应用DPS调制策略，开关序列、电感电流和变压器两端电压波形如图2所示. 其中，$ {T}_{\mathrm{s}} $($ =1/{f}_{\mathrm{s}} $)为开关周期，所有开关管占空比固定为50%，功率传输通过调整桥臂间的移相比来实现；$ {D}_{1} $为内移相比，$ {D}_{2} $为外移相比. 如图2(a)所示为$ 0\leqslant {D}_{1}\leqslant {D}_{2}\leqslant 1.0 $的运行模式，定义为模式1. 如图2(b)所示为$ 0\leqslant {D}_{2}\leqslant {D}_{1}\leqslant 1.0 $的运行模式，定义为模式2.

采用拉格朗日乘数法，构建以电流应力最小化为目标的优化模型，求解得到最佳移相比的解析关系^[11]. 此优化过程须满足功率传输约束条件. 系统传输功率可以表示为

(1)$ P=\frac{1}{{T}_{\mathrm{s}}}\int\nolimits_{0}^{{T}_{\mathrm{s}}}{v}_{\mathrm{ab}}(t){i}_{{L}}(t){\mathrm{d}}t. $

式中：$ {i}_{{L}} $为电感电流. 电感电流受到变压器两端电压的影响，电感电流变化率的表达式为

(2)$ \frac{{\mathrm{d}}{i}_{{L}}(t)}{{\mathrm{d}}t}=\frac{{v}_{\mathrm{ab}}(t)-n\cdot {v}_{\mathrm{cd}}(t)}{{L}_{\mathrm{r}}}. $

结合式(2)和图2(a)，可以得到模式1中前半周期内各时间段的电感电流表达式如下：

(3)$ {i}_{{L}}(t)=\begin{cases} {i}_{L}({t}_{0})+\dfrac{n{V}_{2}}{{L}}(t-{t}_{0}),\ t\in [{t}_{0},{t}_{1}]；\\{i}_{L}({t}_{1})+\dfrac{{V}_{1}+n{V}_{2}}{{L}}(t-{t}_{1}),\ t\in [{t}_{1},{t}_{2}]；\\{i}_{L}({t}_{2})+\dfrac{{V}_{1}}{{L}}(t-{t}_{2}),\ t\in [{t}_{2},{t}_{3}]；\\{i}_{L}({t}_{3})+\dfrac{{V}_{1}-n{V}_{2}}{{L}}(t-{t}_{3}),\ t\in [{t}_{3},{t}_{4}].\end{cases} $

各时间段可以由移相比和开关周期表示：

(4)$ \begin{rcases} {t}_{1}-{t}_{0}={D}_{1}{T}_{\text{s}}/2,\\{t}_{2}-{t}_{1}=({D}_{2}-{D}_{1}){T}_{\text{s}}/2,\\{t}_{3}-{t}_{2}={D}_{1}{T}_{\text{s}}/2,\\{t}_{4}-{t}_{3}=(1-{D}_{1}-{D}_{2}){T}_{\text{s}}/2.\end{rcases}$

根据电感电流的对称性可得，$ {i}_{{L}}({t}_{0})=-{i}_{{L}}({t}_{4}) $，结合式(3)、(4)可得半个周期内各时刻的电感电流表达式，如表1所示.

从图2可以看出，2种模式下的电感电流峰值均出现在$ {t}_{4} $时刻且相等，电感峰值电流的标幺值定义为

(5)$ {i}_{0}=\frac{{i}_{{L{\mathrm{p}}}}}{{i}_{\mathrm{N}}}=2\left[\left(r-1\right)\left(1-{D}_{1}\right)+2{D}_{2}\right]. $

式中：$ {i}_{{L{\mathrm{p}}}} $为电感峰值电流，$ {i}_{\mathrm{N}}=n{V}_{2}/(8{f}_{\text{s}}{L}_{\text{r}}) $. 由式(1)、(2)和图2，可以得到传输功率和移相比之间的关系：

(6)$ {P}_{0}=\frac{P}{{P}_{\mathrm{N}}}=\begin{cases} 2(-D_{1}^{2}-2D_{2}^{2}+2{D}_{2})\text{，}模式1;\\2(-D_{2}^{2}+2{D}_{2}-2{D}_{1}{D}_{2})\text{，}模式2.\end{cases} $

式中：$ {P}_{\mathrm{N}} $为DAB的最大传输功率，${P}_{\mathrm{N}}=n{V}_{1}{V}_{2}/ (8{f}_{{\mathrm{s}}}{L}_{{\mathrm{r}}}) $.

电流应力优化问题可以描述为

(7)$ \left.\begin{aligned} {\mathrm{min}}&\;\,\; {i}_{0}({D_{\mathrm{c}}});\\{\mathrm{s.t.}}\;\; &{P}_{0}({D_{\mathrm{c}}})-P_{0}^{*}=0,\\&{f}_{i}({D_{\mathrm{c}}})\leqslant 0\text{，}i\;=\; \text{1,2,}\cdots ,{m}.\end{aligned}\right\} $

式中：$ {D_{\mathrm{c}}}=\left\{{D}_{1},{D}_{2}\right\} $为移相比变量集合，$ P_{0}^{*} $为传输功率期望值，$ {f}_{i}({D_{\mathrm{c}}}) $为操作约束的集合.

利用KKT条件法，可以求解电流应力优化的最佳移相比关系解. 该方法的表达式如下：

(8)$ \begin{rcases} &E({D_{\mathrm{c}}},\varepsilon ,{\varphi }_{i})={i}_{0}(D_{\mathrm{c}})+\varepsilon ({P}_{0}(D_{\mathrm{c}})-P_{0}^{*})+\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m}{\varphi }_{i}{f}_{i}(D_{\mathrm{c}}),\\[-4pt]&\dfrac{\partial E}{\partial D_{\mathrm{c}}}{|}_{D_{\mathrm{c}} = {{D_{\mathrm{c}}}^{*}}} = 0,\;{\varphi }_{i}{f}_{i}({D_{\mathrm{c}}}^{*}) = 0,\;{f}_{i}({D_{\mathrm{c}}}^{*})\leqslant 0,\;\varepsilon \neq 0,\;{\varphi }_{i}\geqslant 0. \end{rcases} $

式中：$ E({D_{\mathrm{c}}},\varepsilon ,{\varphi }_{{i}}) $为拉格朗日函数，$ {D_{\mathrm{c}}}^{*} $为最优解，$ \varepsilon $和$ {\varphi }_{i} $为拉格朗日乘数，$ i=1,2,\cdots,m $.

以模式1为例，式(8)可以详细表述为

(9)$ \begin{rcases} \;E=2[(r-1)(1-{D}_{1})+2{D}_{2}]+\varepsilon [2(-D_{1}^{2}-\\\qquad 2D_{2}^{2}+2{D}_{2})-{P}_{0}]+{\varphi }_{1}(-{D}_{1})+\\\qquad {\varphi }_{2}(-{D}_{2})\text+{\varphi }_{3}({D}_{1}-1)+{\varphi }_{4}({D}_{2}-1)+\\\qquad {\varphi }_{5}({D}_{1}-{D}_{2}),\;\varepsilon \neq 0,\;{\varphi }_{i}\geqslant 0(i=1,\cdots,5)\,;\\\dfrac{\partial E}{\partial {D}_{1}}=0,\; \dfrac{\partial E}{\partial {D}_{2}}=0\,;\\-{D}_{1}\leqslant 0,\;-{D}_{2}\leqslant 0\,;\\{D}_{1}-1\leqslant 0,\;{D}_{2}-1\leqslant 0,\;{D}_{1}-{D}_{2}\leqslant 0\,;\\2(-D_{1}^{2}-2D_{2}^{2}+2{D}_{2})-{P}_{0}=0\,;\\{\varphi }_{1}(-{D}_{1})=0,\;{\varphi }_{2}(-{D}_{2})=0,\;{\varphi }_{3}({D}_{1}-1)=0\,;\\{\varphi }_{4}({D}_{2}-1)=0,\;{\varphi }_{5}({D}_{1}-{D}_{2})=0\,.\end{rcases} $

利用式(9)可得最优移相比之间的关系，即

(10)$ {D}_{1}=1-\frac{r+1}{r-1}{D}_{2}. $

结合式(10)、(6)中模式1的功率表达式，可以得到模式1的最优解析解为

(11)$ \begin{rcases} {D}_{1}=(r-1)\sqrt{\dfrac{1-{P}_{0}}{2{r}^{2}+6-4r}},\\{D}_{2}=\dfrac{1}{2}-\sqrt{\dfrac{1-{P}_{0}}{2{r}^{2}+6-4r}},\; {P}_{0}\in \left[\dfrac{{r}^{2}+2r-3}{2{r}^{2}},1\right]. \end{rcases}$

同理可得，模式2的最优解析解为

(12)$ \begin{rcases} {D}_{1} = 1-(r+1)\sqrt{\dfrac{{P}_{0}}{2{r}^{2}-6+4r}}, \\{D}_{2} = (r-1)\sqrt{\dfrac{{P}_{0}}{2{r}^{2}-6+4r}},\;{P}_{0}\in \left[0,\dfrac{{r}^{2}+2r-3}{2{r}^{2}}\right). \end{rcases}$

将式(11)、(12)分别代入式(5)，得到电流应力的表达式为

(13)$ {i}_{{L{\mathrm{p}}}}=\begin{cases} 2r-\sqrt{2(1-{P}_{0})({r}^{2}-2r+3)}\text{，}模式1;\\\sqrt{2{P}_{0}(r-1)(r+3)}\text{，}模式2.\end{cases} $

统一控制变量，可以减少算法控制复杂程度和计算负担. 取变压器端电压$ {v}_{\mathrm{ab}} $和$ {v}_{\mathrm{cd}} $基本分量之间的相移$ {D}_{{\mathrm{f}}} $作为中间变量. 如图3所示为$ {D}_{1} $、$ {D}_{2} $与$ {D}_{{\mathrm{f}}} $之间的关系.

从图3可知，$ {D}_{{\mathrm{f}}}={D}_{2} $. 以$ {D}_{{\mathrm{f}}} $作为唯一变量控制，式(11)、(12)可以表达为

(14)$ \begin{rcases} {D}_{1}=1-\dfrac{r+1}{r-1}{D}_{\rm{f}},\,{D}_{2}={D}_{\rm{f}},\, 0\leqslant {D}_{\rm{f}}\leqslant {r}_{\mathrm{o}};\\ {D}_{1}=(r-1)(0.5-{D}_{\rm{f}}),\,{D}_{2}={D}_{\rm{f}},\,{r}_{\mathrm{o}}\leqslant {D}_{\rm{f}}\leqslant 0.5.\\\end{rcases} $

式中：$ {r}_{\mathrm{o}}=\left(1-1/r\right)/2 $.

Chen等^[21-23]针对SPS调制和TPS调制，提出MDCS-MPC方法. 通过对相移进行离散化，生成候选控制集，计算控制集中各候选移相角对应的预测电压. 依据预测电压、实际测量电压及电压参考值，构造代价函数. 选择使代价函数最小的候选移相角作为输出移相量. 该方法的实现思路清晰，能够保证电压调节性能.

基于MDCS-MPC方法，以降低电流应力为目标，采用DPS调制，引入桥内移相角，提高控制自由度. 利用KKT条件法推导得到DPS工况下的最优移相比关系，将原本的多自由度优化问题简化为单自由度的形式，设计ADCS-MPC控制器，在控制自由度、计算效率及电流应力优化方面均具有明显优势，适用于宽电压/负载范围工况下的DAB变换器运行.

为了平衡模型精度与计算效率^[25-26]，采用DAB降阶模型，如图4所示. 原副边H桥分别等效为可控电流源，副边受控电流平均值$ {I}_{2} $为

(15)$ {I}_{2}=\frac{1}{{T}_{\text{s}}}\int\nolimits_{0}^{{T}_{\text{s}}}{i}_{2}{\mathrm{d}}t. $

式中：$ {i}_{2} $为副边电流.

副边电流$ {i}_{2} $和原边电感电流$ {i}_{{L}} $的关系式为

(16)$ \frac{{i}_{{L}}}{{i}_{2}}=\frac{1}{n}. $

SPS调制下$ {I}_{2} $的表达式为

(17)$ {I}_{2}=\frac{{V}_{1}}{2{f}_{\text{s}}{L}_{\text{r}}}{D}_{{\mathrm{f}}}(1-{D}_{{\mathrm{f}}}). $

结合图2、式(2)、(14)～(16)，可以计算得到DPS 2种模式下$ {I}_{2} $关于$ {D}_{{\mathrm{f}}} $的表达式：

(18)$ {I}_{2} = \begin{cases} \dfrac{{V}_{1}}{8{f}_{\mathrm{s}}{L}_{\mathrm{r}}}\cdot \dfrac{2(r+3)}{r-1}D_{{\mathrm{f}}}^{2},\;0\leqslant {D}_{{\mathrm{f}}} \lt {r}_{\mathrm{o}};\\ \dfrac{{V}_{1}}{8{f}_{\mathrm{s}}{L}_{\mathrm{r}}} \begin{array}{l} [2({r}^{2} - 2r + 3) ({D}_{{\mathrm{f}}} - D_{{\mathrm{f}}}^{2}) - {(r - 1)}^{2}/2]\end{array} ,{r}_{\mathrm{o}} \leqslant {D}_{\rm{f}} \lt 0.5.\end{cases} $

为了实现对变换器输出电压的实时控制，建立输出端电压动态方程：

(19)$ {C}_{2}\frac{{\mathrm{d}}{V}_{2}}{{\mathrm{d}}t}={I}_{2}-{I}_{\mathrm{load}}. $

当采样时间足够小时，可以采用前向欧拉离散化方法，对式(19)进行近似处理，可得

(20)$ {V}_{2}[k+1]=\frac{{I}_{2}[k]-{I}_{\text{load}}[k]}{{C}_{2}{f}_{\text{s}}}+{V}_{2}[k]. $

考虑到计算延迟对控制的影响，预测电压模型采用两步预测法，同时假设负载电流$ {I}_{\mathrm{load}} $在一个采样周期内不会变化，即$ {I}_{\mathrm{load}}[k]={I}_{\mathrm{load}}[k+1] $，则$ k+2 $时刻的预测输出电压为

(21)$ {V}_{2}[k+2]=\frac{{I}_{2}[k+1]-{I}_{\text{load}}[k]}{{C}_{2}{f}_{\text{s}}}+{V}_{2}[k+1]. $

将式(20)代入式(21)，可得

(22)$ {V}_{2}[k+2]={V}_{2}[k]+\frac{{I}_{2}[k+1]+{I}_{2}[k]-2{I}_{\text{load}}[k]}{{C}_{2}{f}_{\text{s}}}. $

式中：$ {I}_{2}[k] $和$ {I}_{2}[k+1] $均可由式(16)计算得到.

ADCS-MPC中的代价函数评估需要考虑系统输出和系统稳定2个方面，同时考虑到计算延迟，该算法通常需要2个控制周期的预测范围.据此设计的代价函数表达式为

(23)$ {J}_{\text{opt}}={\alpha }_{1}{G}_{1}+{\alpha }_{2}{G}_{2}. $

式中：$ {\alpha }_{1} $和$ {\alpha }_{2} $为权重系数. $ {G}_{1} $和$ {G}_{2} $定义为

(24)$ \begin{rcases} {G}_{1}={({{V}_{2\_ \mathrm{ref}}}-{{V}_{2}}[k+2])}^{2},\\{G}_{2}={({{V}_{2}}[k+2]-{{V}_{2}}[k])}^{2}.\end{rcases} $

成本函数中的$ {G}_{1} $项直接调节输出电压误差，$ {G}_{2} $项确保系统动态收敛性. 当输出电压偏离参考电压$ {V}_{2\_ \mathrm{ref}} $时，$ {G}_{1} $起主导作用，当$ {V}_{2\_ \mathrm{ref}} $与$ {V}_{2}[k] $之间的误差进一步缩小时，$ {G}_{2} $辅助系统稳定，抑制输出电压因采样噪声引起的稳态波动，提高负载突变时系统的稳定性.

式(18)中，$ {D}_{{\mathrm{f}}} $实质上是连续控制变量，取值为$ [0,0.5] $. 为了实现数字化控制，将$ {D}_{{\mathrm{f}}} $离散为$ {\mu }_{\mathrm{m}} $个元素：

(25)$ {D}_{{\mathrm{f}}}\in \{0,{\varDelta }_{{\mathrm{f}}},2{\varDelta }_{{\mathrm{f}}},\cdots ,0.5\}. $

式中：$ {\varDelta }_{{\mathrm{f}}} $为数字控制平台能够实现的最小移相比， $ {\varDelta }_{{\mathrm{f}}}={f}_{\mathrm{s}}/{f}_{\mathrm{c}} $，其中$ {f}_{\mathrm{c}} $为微控制器的时钟频率.

定义$ \mu $为单个控制周期内的评估点数，即$ {D}_{{\mathrm{f}}} $在该周期内被离散化为$ \mu $个取值点. 如图5所示为ADCS-MPC的工作原理示意图（设定$ \mu $= 3）. 为了说明所提算法的工作原理，在评估代价函数时，以评估$ {G}_{1} $项为例，在实际运行中同时评估$ {G}_{1} $和$ {G}_{2} $项. 在第$ k $个控制周期中，以$ {D}_{{\mathrm{f}}}[k]=D $为中心，评估$ {D}_{{\mathrm{f}}}[k+1]\in \{D-{\varDelta }_{{\mathrm{f}}},D,D+{\varDelta }_{{\mathrm{f}}}\} $所有取值下的输出电压预测值$ V_{2}^{(1)}[k+2] $、$ V_{2}^{(2)}[k+2] $和$ V_{2}^{(3)}[k+2] $，上标表示离散控制集中元素的索引. 其中，移相比$ D+{\varDelta }_{{\mathrm{f}}} $对应的输出电压预测值$ V_{2}^{(3)}[k+2] $最接近参考电压$ {V}_{2\_ \mathrm{ref}} $，因此在第$ k+1 $个控制周期选取$ {D}_{\rm{f}}[k+1]=D+{\varDelta }_{\rm{f}} $. 当进入下一个控制周期时，控制集中心点更新为第$ k+1 $个控制周期的相移$ {D}_{{\mathrm{f}}} $，将离散控制集区间调整为$ {D}_{{\mathrm{f}}}[k+2]\in \{D,D+{\varDelta }_{{\mathrm{f}}},D+2{\varDelta }_{{\mathrm{f}}}\} $，依此类推完成迭代优化.

$ \mu $的取值通常依据实际工程的需要，增大$ \mu $可以提升动态性能，但是会增加控制平台的计算负担. 为此，采用自适应动态步长$ {\varDelta }_{\mathrm{adp}} $替换固定步长$ {\varDelta }_{{\mathrm{f}}} $，数学表达式为

(26)$ {\varDelta }_{\mathrm{adp}}={\varDelta }_{{\mathrm{f}}}(1+\lambda V_{\varDelta }^{2}). $

(27)$ {V}_{\varDelta }=\begin{cases} |{V}_{2\_ \mathrm{ref}}-{V}_{2}[k]|, & |{V}_{2\_ \mathrm{ref}}-{V}_{2}[k]| \lt {V}_{\mathrm{m}};\\{V}_{\mathrm{m}}, & |{V}_{2\_ \mathrm{ref}}-{V}_{2}[k]|\geqslant {V}_{\mathrm{m}}.\end{cases} $

式中：$ \lambda $为自适应系数，$ {V}_{\mathrm{m}} $为饱和电压，$ {V}_{2\_ \mathrm{ref}} $为参考电压. 在采用$ {\varDelta }_{\mathrm{adp}} $替代固定步长$ {\varDelta }_{{\mathrm{f}}} $后，控制周期$ k $内$ {D}_{{\mathrm{f}}}[k+1] $的取值更新为

(28)$ \begin{split} {D}_{{\mathrm{f}}}[k+1]\in &\left\{{D}_{{\mathrm{f}}}[k]-\frac{\mu -1}{2}{\varDelta }_{\mathrm{adp}},\cdots,\right.\\& {D}_{{\mathrm{f}}}[k],\left. \cdots,{D}_{{\mathrm{f}}}[k]+\frac{\mu -1}{2}{\varDelta }_{\mathrm{adp}}\right\}.\end{split} $

自适应步长的幅值与输出电压误差有关，当误差处于调节区间时，误差增大则$ {\varDelta }_{\mathrm{adp}} $同步增大. 当参考电压与输出值之间的偏差为零时，$ {\varDelta }_{\mathrm{adp}} $自动恢复为固定步长$ {\varDelta }_{{\mathrm{f}}} $，确保系统的稳态精度与不采用自适应步长时相同. 通常根据经验调整$ \lambda $的取值，增大$ \lambda $可以缩短调节时间，提升动态响应速度，但是会降低稳态性能，导致输出电压在稳态值上下波动.

如图6所示为应用电流应力优化的ADCS-MPC算法的整体控制方案框图.

控制方法主要分为两部分，分别是模型预测控制确定移相比$ {D}_{{\mathrm{f}}} $和最小电流应力优化. ADCS-MPC需要评估$ \mu $个元素，$ \mu $可以根据微控制器的性能进行调整，具体的评估过程如图7所示. 采集$ k $时刻时的$ {V}_{1}[k] $、$ {V}_{2}[k] $和$ {I}_{\mathrm{load}}[k] $，$ {V}_{2}[k] $参与$ {\varDelta }_{\mathrm{adp}} $的计算，$ {\varDelta }_{\mathrm{adp}} $决定控制集中相邻移相比之间的步距. 离散控制集以$ k $时刻的$ {D}_{{\mathrm{f}}} $为中心，在式(28)所描述的范围内滑动. 结合式(18)，依据系统参数和采样值计算$ k $和$ k+1 $时刻的$ {I}_{2}[k] $和$ {I}_{2}[k+1] $，其中传输电压比$ r $的计算模块是用参考值$ {V}_{2\_ \mathrm{ref}} $代替输出值$ {V}_{2} $，避免因启动阶段$ {V}_{2} $过小导致$ r $接近无穷大. 在使用系统预测模型(22)预测得到$ {V}_{2}[k+2] $后，通过对包含$ \mu $个元素的离散控制集进行遍历寻优，经迭代计算得到使代价函数$ {J}_{\mathrm{opt}} $最小的最优移相比$ D_{{\mathrm{f}}}^{*}[k+1] $，结合式(13)的解析解，输出最优移相比集合.

设计100 W实验样机进行验证，如图8所示. 实验平台采用模块化设计，提高了可扩展性，便于后续的维护升级. 数字控制平台基于TMS320F28377D搭建. 如表2所示为DAB变换器样机的主要参数. ADCS-MPC算法中的主要参数如下：自适应系数$ \lambda =10 $，饱和电压$ {V}_{\mathrm{m}}=5\;\mathrm{V} $，评估点数$ \mu =7 $，权重系数$ {\alpha }_{1}=1 $，$ {\alpha }_{2}=10 $.

为了验证提出方法的电流应力优化效果，在DPS策略下应用ADCS-MPC算法，对比PI-DPS与PI-SPS 2种控制方式下的电流应力. $ {V}_{1}=30\;\mathrm{V} $，$ {V}_{2\_ \mathrm{ref}}=20\;\mathrm{V} $，$ r=1.5 $. 如图9~11所示分别为不同运行功率下PI-SPS、PI-DPS和ADCS-MPC控制策略的稳态波形. 如表3所示为3种方法在相应工况下的电流应力和运行效率$\eta $. 其中，P₀为功率标幺值. 结果表明，利用ADCS-MPC策略，实现了与PI-DPS方法相当的电流应力优化效果. 这2种方法的电流应力均低于PI-SPS，且运行效率更高.

为了进一步验证稳态性能，在不同电压比和传输功率条件下进行对比实验. 如图12所示为$ r=2 $时3种控制方法的电流应力和效率对比结果. 在DAB变换器中，功率损耗主要包括开关器件的导通损耗与开关损耗、变压器和电感的铜损以及电感的磁芯损耗. 其中，导通损耗P_cond与电感电流的绝对平均值有关^[27]，可以表示为

(29)$ {P}_{\mathrm{cond}}=4\left| {I}_{\mathrm{L}}\right| {V}_{\mathrm{SD}}. $

式中：$ {V}_{\mathrm{SD}} $为开关器件内部体二极管的正向压降；$ \left| {I}_{{L}}\right| $为电感电流的绝对平均值，

(30)$ \left| {I}_{{L}}\right| =\frac{1}{{T}_{\mathrm{s}}}\int\nolimits_{0}^{{T}_{\mathrm{s}}}{i}_{{L}}{\mathrm{d}}t. $

由式（30）可知，$ \left| {I}_{{L}}\right| $与$ {i}_{{L}} $波形在一个开关周期内的面积成正比，而$ {i}_{{L{\mathrm{p}}}} $对应该波形的高度.提出的控制方法以降低电流应力为主要目标，通过减小$ {i}_{{L{\mathrm{p}}}} $来实现$ \left| {I}_{{L}}\right| $的下降. 如图12(a)所示，在整个功率范围内，利用所提方法，能够显著降低电流应力，从而减少开关器件的导通损耗，提升变换器的运行效率.

开关损耗主要由开关器件无法实现软开关引起. 在关断死区时间内，电感中储存的能量须足以释放开关器件寄生电容$ {C}_{\mathrm{oss}} $中的能量，才可实现软开关^[28]. 在轻载条件下，电感电流幅值通常较小，或在死区期间为零甚至发生反向，导致电感储能不足以完成$ {C}_{\mathrm{oss}} $的能量交换. 开关损耗在此类工况下成为总损耗的主要部分. 为了实现软开关，必须确保开关时刻的最小软开关电流I_ZVS满足下式：

(31)$ {I}_{\mathrm{ZVS}}\geqslant \sqrt{\frac{2{C}_{\mathrm{oss}}V_{\mathrm{bridge}}^{2}}{{L}_{\mathrm{r}}}}. $

式中：$ {V}_{\mathrm{bridge}} $为开关器件的电压应力，在DAB中指$ {V}_{1} $或$ {V}_{2} $. 如图9所示，在PI-SPS控制方法中，原边开关死区时间内的电感电流大于$ {I}_{\mathrm{ZVS}} $，因此开关管$ {S}_{1} $和$ {S}_{4} $实现了软开关. 在副边死区时间内，虽然电感电流幅值大于$ {I}_{\mathrm{ZVS}} $，但由于电感电流极性与所需软开关的电流极性相反，导致$ {S}_{5} $和$ {S}_{8} $未能实现软开关. 相比之下，PI-SPS与ADCS-MPC-DPS方法在原、副边死区时间内，电感电流均大于$ {I}_{\mathrm{ZVS}} $且电流极性没有相反，因此$ {S}_{1} $、$ {S}_{4} $、$ {S}_{5} $和$ {S}_{8} $均成功实现软开关. 从图12(b)可知，在轻载条件下，利用所提的控制方法，能够实现部分软开关，从而显著提升系统效率.

以PI控制为对照，测试所提方法的动态性能.验证DAB变换器应对输出参考电压阶跃变化的动态响应能力，输入电压为30 V，负载保持不变，输入参考电压在25 V和15 V之间阶跃变化. 如图13(a)、(b)所示为输出参考电压升压阶跃变化实验的比较结果. PI-DPS方法需要15.6 ms恢复稳定，且有3 V的电压超调. ADCS-MPC方法的恢复时间只有5.6 ms，且无电压超调. 如图13(c)、(d)所示为输出参考电压降压阶跃变化实验的比较结果. PI-DPS控制方法需要12.4 ms才能使输出电压达到并稳定在参考值，且电压超调0.8 V. 采用ADCS-MPC控制方法，仅耗时5.4 ms，且完全避免了电压超调现象. 在负载阶跃变化实验中. 输入电压为30 V，输出电压设为20 V，负载功率标幺值为0.24~0.90，以20 Hz频率阶跃变化. 如图14所示为DPS调制负载阶跃变化的实验结果. 在此情况下，因瞬时功率不平衡，输出电压$ {V}_{2} $被迫抬升或下降，采用PI-DPS方法控制的电压恢复需要耗时10 ms以上，而应用ADCS-MPC策略的恢复时间仅约为5 ms，电压超调量由4 V左右（PI-DPS）降为2 V左右（ADCS-MPC）. 表4给出其他控制方法在负载阶跃条件下的性能对比. 其中，突变响应时间$t_{\mathrm{r}} $和电压超调$V_{\mathrm{os}}$均取最大值.

（1）提出面向DPS-DAB变换器电流应力优化的MPC方法. 在显著优化电流应力的基础上，实现了输出电压动态跟踪能力的提升.

（2）利用KKT条件法推导得到最优移相比的解析解，可以在整个功率范围内精确计算得到能够最小化电流应力的移相比，为DAB变换器的电流应力优化提供闭式解.

（3）基于DAB变换器的降阶建模，构建电压预测模型. 引入自适应步长动态调整有限离散移相比控制集，对控制集内候选移相比的输出电压进行实时预测，通过代价函数评估筛选出最佳相移. 结合最优移相比解析解与最佳相移的关系，计算得到最佳移相比.

（4）搭建100 W DPS-DAB变换器的原型机，并均进行稳态与动态实验，对所提方法的有效性进行验证. 该研究工作为高效率、高动态性能要求的应用场景提供了具有重要工程价值的DAB变换器优化控制解决方案.