中国西部公路、铁路建设逐步进入季节性冻土地区^[1]. 冻土地区环境条件复杂，冻融作用给工程设计和施工带来严峻挑战. 冻融循环导致土体产生冻胀与融沉现象，严重影响边坡支护结构的稳定性，尤其在框架锚杆支护系统中，可能引发框架内土拱挤碎、锚杆拉力失效问题，进而导致支护失效^[2]. 解决冻融作用引发的框架锚杆工程问题，应探明冻融演化过程框架、土体与锚杆之间的相互作用机制，研究冻融演化过程中框架锚杆设计与加固计算理论，可为保障季节性冻土地区工程安全及框架锚杆边坡支护设计提供理论依据.

许多学者针对冻土边坡框架结构和锚杆2个主要结构的内力和变形开展了大量研究. 在框架结构内力及变形方面，言志信等^[3]将横梁、立柱和挡土板构成空间框架，强调横梁和立柱的计算单元，指出梁、柱不仅承担坡体传递给梁截面上的均布荷载，还承担挡土板传递来的三角形(或梯形)土压力荷载，通过二者的叠加计算横梁和立柱内力. 肖世国等^[4]考虑框架梁和坡体之间的相互作用，采用Winkler地基模型计算框架梁设计内力. 侯小强等^[5]对整个框架结构进行计算单元划分，提出符合实际工程需要的预应力框架锚杆设计方法. Ye等^[6]通过建立弹性框架梁模型，推导出锚定框架结构中梁和柱的变形和内力计算公式. Liu^[7]引用Winkler地基计算模型，推导出框架结构底柱受泥土约束的等效高度计算公式. 上述计算模型均未考虑框架梁之间的土拱效应，仅从内力和变形方面满足力学性能，没有解决土拱挤碎的工程问题.

锚杆锚固段与岩土界面的相互作用是确保框锚稳定支挡的关键. 针对锚固段与岩土界面相互作用的研究不少，其中黄明华等^[8]从锚杆荷载位移关系出发，建立双指数曲线剪切滑移模型，利用室内模型试验验证模型的合理性. 周炳生等^[9]从锚固体界面剪切位移分布曲线出发，推导全长黏结式锚杆锚固段剪应力分布规律. 张耀升等^[10]假定锚杆弹性段剪应力沿锚固深度呈现四分之一椭圆弧，推导出注浆锚杆临界锚固长度并结合室内模型试验验证公式的正确性. 李伟等^[11]基于冻融循环的三轴剪切实验提出在冻融循环条件下框架锚杆锚固段的轴力和剪应力的解析解. Li等^[12]依据岩土体峰值剪切强度和残余剪切强度特征，提出锚固体剪应力均匀分布模式，分析锚固段剪应力的动力学演变过程. Fan等^[13]通过设计高、中、低3种强度的拉拔试验，建立拉力型锚杆有效长度和极限承载力的计算方法. Ren等^[14]基于锚固段剪切滑移模型，构建适合黏土地层的剪应力分布高斯函数模型. Yuan等^[15]通过拉拔试验和微观结构表征研究冻融循环下锚杆的锚固力、锚杆与水泥砂浆黏结强度的变化规律. 高欣亚等^[16]开展冬季桩锚结构室外试验，分析土体冻胀对锚杆内力及桩身内力的影响. 上述计算模型均未考虑坡面冻融循环引发锚杆轴力变化影响以及冻融作用下锚杆与岩土界面力学关系，没有解决框架土拱胀缩变形产生锚杆拉力失效的工程问题.

本研究从冻融演化角度出发，分别建立框架梁土拱、锚固段注浆体与地层界面之间的计算模型，形成冻融演化过程框架-土体-锚杆尺度协同效应的计算方法. 旨在揭示冻融过程影响下框架内力、锚杆内力及其尺度效应之间的关系，为冻土地区框架锚杆边坡加固设计提供理论依据和技术支持.

框架锚杆通过锚固段提供的拉拔力传递至框架，使框架与坡面产生相互作用力；该作用力沿框架梁的水平方向和竖直方向形成土拱效应，反作用于坡体以确保边坡稳定. 冬季降温导致坡面岩土体体积膨胀，产生冻胀作用使框架锚杆轴力显著增加. 尤其坡面岩土体积冻胀迫使锚杆张拉力增加，注浆体与地层之间不同区间的界面强度发生变化，锚固段的有效长度受到影响. 为了研究冻融循环作用下框架锚杆工作原理，本研究1）建立满足冻融过程下框架纵横梁产生的水平土拱和竖向土拱计算模型；2）根据冻融过程框架土拱效应的变化对锚杆锚固力的影响，建立锚固段注浆体与岩土界面的计算模型，揭示冻融演化过程中框架和锚固段几何尺度的影响关系.

季节性冻土区边坡经历四季冻融演化过程：冬季水分迁移导致冰透镜体发育形成冻胀现象，引发坡体朝临空方向产生位移；春季融化期坡体出现部分回缩，冰-水相变作用形成框架内土拱空间效应重构机制，影响锚杆支护力学效应. 为了探究冻融过程框架与坡面、锚固段注浆体与地层界面之间的相互作用演化机制，从冻融过程分别建立土拱和锚杆2种计算模型，基本假定如下. 1)主要研究冻融过程框架-土-锚杆协同效应机制，不考虑周期性多次冻融循环引发的框架-土-锚杆之间协同变化影响. 2)假定土体呈均质，忽略坡体土拱内土体的自重影响，建立土拱计算模型. 3)在框架锚杆支护边坡过程中，水平方向产生的土拱所受的土压力按照均布荷载考虑^[17]，竖直方向产生的土拱所受的土压力按照梯形分布的荷载考虑. 4)为了防止土拱挤碎破坏，以框架梁产生的土拱土压力小于容许土压力和容许抗剪强度为原则，形成的土拱满足莫尔-库伦破坏准则. 5)框架锚杆在冻胀力的作用下始终保持静力平衡.

在框架锚杆支护边坡过程中，框架梁沿水平方向和竖直方向呈正交布置，形成多个四边形框架结构. 在土拱效应模型中，相邻纵向框架梁之间产生水平土拱效应，相邻横向框架梁之间产生竖向土拱效应，如图1所示.

根据合理拱轴线计算假定原理：任意截面只存在压应力，同一水平方向土压力大小相等，建立水平方向土拱力学计算模型，如图2所示. 水平方向的土拱合理拱轴线方程^[17]为

(1)$ y=\left(\frac{4x}{{l}_{x}} - \frac{4{x}^{2}}{{l}_{x}{}^{2}}\right){f}_{x}. $

根据文献[18]，水平方向上的拱轴线的拱高为

(2)$ {f}_{x}={l}_{x}\tan \;({45}^{\circ } - \varphi /2)/2. $

如图3(a)所示，2个水平土拱共同在纵横向梁交点形成1个稳定三角形作用区，荷载作用传递至拱脚，为了保证土拱结构稳定，三角形两侧拱脚处须满足最不利破坏面土体抗剪强度基本条件^[19]，如图3（b）所示. $ \tau $、$ \sigma $为破坏面上的切应力和正应力，$ \delta $为大主应力与破坏面的夹角，$ \alpha $为拱轴线的切线方向与水平面的夹角，AB为框架的宽度b，AD为框架所形成的土拱厚度t. 由图3(b)的几何关系可知，

(3)$ t=\frac{{b}_{x}\cos \delta \cdot \sqrt{{l}_{x}{}^{2}+16{f}_{x}}}{2(4{f}_{x}\cos \delta - {l}_{x} \cdot \sin \delta )}. $

求得拱脚处存在最大压应力：

(4)$ {\sigma }_{\text{MAX}}=\frac{q{l}_{x}}{{b}_{x}} - \frac{q{l}_{x}}{{b}_{x}}\tan \delta \cdot \frac{{l}_{x}}{{f}_{x}}=\frac{q{l}_{x}}{2{b}_{x}}. $

由图3(a)知，根据莫尔-库伦破坏准则，当土体进入极限平衡时，依据斜截面受拉公式^[19]，结合式(4)解得水平框架梁在满足三角形受压区强度要求时的截面宽度尺寸为

(5)$ {b}_{x}=\frac{q{l}_{x}\cos \delta (\sin \delta - \cos \delta \tan \varphi )}{2{c}}. $

由于边坡坡顶至坡脚的水平力沿竖向逐渐增加，作用在上下相邻水平横向框架梁上产生的拱脚压应力大小不相同. 如图4所示，设框架梁上所受滑坡推力呈梯形分布，$ {f}_{y} $为形成的土拱矢高，$ {l}_{y} $为框架梁之间的净间距，$ h _{l} $为拱顶距拱脚的水平距离. 由此建立框架间竖向土拱的计算模型. 梯形荷载对框架梁施加的土压力大小为

(6)$ \int\nolimits_{0}^{{l}_{y}}\left({q}_{1}+\frac{{q}_{2}}{{l}_{y}} \cdot z\right)\text{d}z={q}_{1}{l}_{y}+\frac{1}{2}{q}_{2}{l}_{y}. $

依据荷载的分布情况考虑结构的稳定性，梯形荷载施加给土拱的力和拱脚处所受水平方向的反作用力应大小相等，可以得到

(7)$ {F}_{{A}'{x}}=\frac{3{q}_{1}{l}_{y}+{q}_{2}{l}_{y}}{6}=\int\nolimits_{0}^{{h}_{1}}\left({q}_{1}+\frac{{q}_{2}}{{l}_{y}} \cdot z\right)\text{d}z. $

令$ \gamma ={q}_{1}/{q}_{2} $，解得拱顶距拱脚的距离

(8)$ {h}_{1}=\dfrac{1}{2}\left({ - 2\gamma {l}_{y}+\sqrt{{(2\gamma {{l}_{y}})}^{2}+4 \cdot \left(\gamma {l}_{y}{}^{2}+\dfrac{1}{3}{l}_{y}{}^{2}\right)}}\right). $

基于拱轴线上只存在水平方向的轴力假定，得到$ {F}_{A'y}={T}_{0} $，对点O取力距得到

(9)$ {T}_{0}=\frac{{q}_{1}h_{1}^{2}}{2{f}_{y}}+\frac{{q}_{2}h_{1}^{3}}{3{l}_{y}{f}_{y}}. $

由$ \displaystyle\sum{M}_{A}'=0 $得到合理拱轴线方程为

(10)$ y=\frac{3{q}_{1}{l}_{y}+{q}_{2}{l}_{y}}{6{T}_{0}}x - \frac{1}{2{T}_{0}}{q}_{1}{x}^{2} - \frac{{q}_{2}{x}^{3}}{6{T}_{0}{l}_{y}}. $

分析式(8)、(10)可知，竖向土拱的拱轴线及拱顶位置随荷载不同而发生的移动，当$ {q}_{1}/({q}_{1}+{q}_{2}) $越小时，拱顶位置越远离拱脚$ A' $处，当$ {q}_{1}/({q}_{1}+{q}_{2}) $越大时，拱顶位置越靠近$ {l}_{y}/2. $处. 土拱将框架所受的轴向荷载传递至拱脚处，形成稳定的三角形区域，其抗剪强度决定拱脚稳定性. 此时拱脚的压应力为$ \sqrt{F_{{}_{A'x}}^{2}+F_{{}_{A'y}}^{2}}$，根据莫尔-库伦原则有$ \sigma ={\sigma }_{3}{\tan }^{2}\delta + 2c\tan \delta $，取$ {\sigma }_{3}=0 $代入，得到竖向框架梁的截面宽度尺寸

(11)$\begin{split} {b}_{y}=&\frac{\cos \theta \cdot {l}_{y} \cdot h_{1}^{2}}{6c \cdot \tan \delta \cdot \cos \delta \cdot {f}_{y}} \cdot R, \\R=&\left({9q_{1}^{2}({f}_{y}{}^{2}+1)+q_{2}^{2}({f}_{y}{}^{2}{l}_{y}{}^{2}+4{h}_{1})+}\right.\\&\left.{6{q}_{1}{q}_{2}({l}_{y}{f}_{y}{}^{2}+2{h}_{1})}\right)^{0.5}.\end{split}$

季节性冻土地区最大冻深通常大于1 m^[20]，造成支护结构出现较为严重的冻胀，因此构建的土拱计算模型按照最大冻胀深度大于土拱矢高来考虑较为客观. 在冻融演过程中，坡面反应最为明显，冬季低温时期冻胀过程由坡面向坡内发展，春季升温时期，坡面由表及里融化，这2个过程恰好相反. 如图5所示，冻胀至消融环过程存在4种土拱工况: 1）在夏季消融施工期，土拱作用区完全处于消融状态：2）刚进入冬季，土拱拱脚部分率先冻胀，拱顶部分为非冻土区；3）进入深冬时期，土拱整体为冻胀状态；4）刚进入春融时期，坡体表面处于消融状态，拱脚部分处于消融状态，拱顶部分处于冻胀状态. 冻融2种工况下坡面岩土强度相差较大，须分析冻土层和非冻土层最不利破坏截面抗剪强度和抗压强度的影响，通过冻融演化过程明确土拱计算模型关键控制参数.

冻融演化过程中框架间会产生4种土拱效应工况，要保证土拱的稳定性，冻土层和非冻土层之间的临界土体须满足土体的抗剪强度要求. 当临界土体处于极限平衡状态时，$ {\sigma }_{3}={\sigma }_{1}{\tan }^{2}\left({45}^{\circ } - {\varphi }/{2}\right) - 2c\tan \left({45}^{\circ } - {\varphi }/{2}\right) $，其中$ {\sigma }_{1} $为作用在水平面上的正应力，大小为$ \gamma z $. 如图6所示，当岩土达到极限平衡时，

(12)$ \tau =\frac{1}{2}\left({\sigma }_{1} - {\sigma }_{1}{\tan }^{2}({45}^{\circ } - {\varphi }/{2})+2c\tan ({45}^{\circ } - {\varphi }/{2})\right) \cdot \cos \varphi . $

式中：$ \varphi $为非冻土区岩土的内摩擦角，c为非冻土区岩土的黏聚力. 利用极限平衡条件中内摩擦角比较法判断土单元体是否发生剪切破坏^[21]，假定土体的莫尔库伦强度包络线与横轴相交于$ O' $，过该点作土体应力状态下莫尔应力圆的切线，该切线的倾角即为视内摩擦角$ {\varphi }_{{\mathrm{m}}} $.

(13)$ \sin {\varphi }_{{\mathrm{m}}}=\frac{{\sigma }_{1} - {\sigma }_{3}}{{\sigma }_{1}+{\sigma }_{3}+2{c} \cdot \cot \varphi }. $

当$ {\varphi }_{{\mathrm{m}}} < \varphi $时，表明此时莫尔应力圆处于强度包线以下，土体单元未发生剪切破坏，当$ {\varphi }_{{\mathrm{m}}}\geqslant \varphi $时，表明此时莫尔应力圆处于包线以上，此时土体单元已发生破坏.

受冻融的影响，框架土拱效应及锚杆锚固力发生变化. 根据土拱效应的变化过程，确定合理的锚固段注浆体与岩土界面的有效长度是保证锚杆支护体系足够安全性的关键. 锚固段注浆体与岩土界面存在3个阶段的应力应变，对应3个长度：锚固段中残余段、弹塑性段和弹性段. 在冻融演化过程中，由于锚固段轴力的不断变化，导致锚固段的3个阶段长度发生变化. 考虑冻融作用下锚固段长度的演化过程，在消融期施工时锚杆锚固力应满足坡体正常的稳定要求，此期间的应力包括残余阶段应力$ {\tau }_{2} $、弹塑性阶段应力$ {\tau }_{2} - {\tau }_{1} $和弹性阶段应力$ {\tau }_{2} - 0 $，锚固长度包括残余阶段长度L_c、弹塑性阶段长度L_s和弹性阶段长度L_t. 在初次冻胀阶段，受坡面冻胀力影响，锚固力增加，锚固段长度也随之增加，其中残余阶段长度$L'_{\mathrm{c}} $、弹塑性阶段长度$L'_{\mathrm{s}} $和弹性阶段长度$L'_{\mathrm{t}} $随之增长. 在二次消融期，由于冻胀期间锚杆残余长度和弹塑性长度不可逆，只有弹性阶段可逆，为了满足冻融作用下锚杆的锚固长度，须研究在冻胀作用下锚固力和锚固长度作为最不利控制参数，方可确定锚固段的有效长度.

如图7所示，依据冻融演化过程中锚杆轴力的变化关系^[22]和锚固界面的剪切滑移模型^[23]，冻融演化过程中锚固段注浆体与地层界面可分为3个阶段. Ⅰ（Ⅰ ^′、Ⅰ ^′′）表明锚固体周围的土体处于弹性阶段，随着剪切位移增加，锚固体周围岩土体产生软化现象并进入Ⅱ（Ⅱ ^′、Ⅱ ^′′）阶段，此时锚固体周围土体处于弹塑性阶段；随着剪切位移增加，锚固体周围的岩土体产生残余变形并进入Ⅲ（Ⅲ ^′、Ⅲ ^′′）阶段. 根据不同温度荷载作用可求解消融施工期、冻胀期和二次消融期有效锚固长度. 锚固段注浆体与地层界面切应力与剪切位移本构关系^[24]为

(14)$ \tau =\left\{ \begin{array}{ll} {k}_{{{{{Ⅰ}}}}}s\text{，} &\text{0} \leqslant s \leqslant {s}_{1}\text{(}弹性阶段)\text{；}\\ {\tau }_{2}+{k}_{{{Ⅱ}}}(s - {s}_{1})\text{，} &{\textit{s}}_{1}\leqslant s\leqslant {\mathrm{s}}_{2}\text{(}弹塑性阶段)\text{；}\\ {\tau }_{1}\text{，}&{s}_{3}\geqslant s\geqslant {s}_{2}\text{(}残余阶段\text{).} \end{array}\right. $

式中：s为锚杆-岩体界面之间的相对剪切位移；$ {k}_{{{Ⅰ}}} $为弹性阶段的斜率，$ {k}_{{{Ⅰ}}}={\tau }_{2}/{s}_{1} $；$ {k}_{{{Ⅱ}}} $为弹塑性阶段的斜率，$ {k}_{{{Ⅱ}}}=({{\tau }_{1} - {\tau }_{2}})/({{s}_{2} - {s}_{1}}) $.

锚固体单元受力如图8所示. 依据锚杆拉拔力与锚固界面剪应力的平衡关系，锚固段始端的轴力等于锚杆的拉拔力^[25]，建立关系式：

(15)$ EA \cdot \frac{{\text{d}}^{2}{s}_{(z)}}{\text{d}{z}^{2}} - \text{π}D{k}_{{{Ⅰ}}}{s}_{(z)}=0. $

在冻融演化过程中，锚固段轴力不断变化导致锚固段的3个阶段长度发生变化. 在消融施工期，锚固段轴力应满足坡体稳定性要求，此时锚固段注浆体与岩土体界面以弹性阶段、弹塑性阶段为主，令$ {\alpha }^{2}=\dfrac{\text{π}D{k}_{{{Ⅰ}}}}{EA} $，$ {\beta }^{2}=\dfrac{\text{π}D{k}_{{{Ⅱ}}}}{EA} $. 此时弹性阶段剪切位移

(16)$ {s}_{(z)}=\frac{{P}_{\text{t}}({{\mathrm{e}}}^{2\alpha L - \alpha z}+{{\mathrm{e}}}^{\alpha z})}{EA\alpha (1 - {{\mathrm{e}}}^{2\alpha L})}. $

弹塑性阶段剪切位移

(17)$ \begin{split}{s}_{(z)} = &\frac{\cos \left[\beta ({L}_{\text{s}} - z)\right]}{{k}_{{{Ⅱ}}}}+\frac{\alpha }{\beta {k}_{{{Ⅰ}}}}\tanh \left[\alpha (L - {L}_{\text{s}})\right]\times \\& \sin \left[\beta ({L}_{\text{s}} - z)\right].\end{split} $

在冻胀期，水平冻胀力的存在导致锚固段轴力增加，剪切位移也随之增大；当界面土体的剪应力衰减到$ {\tau }_{1} $，锚固段始端处的界面土体进入残余阶段，此时锚固界面进入弹性-弹塑-残余共存阶段. 在弹性阶段$ ({L}_{\text{c}}+{L}_{\text{s}} \leqslant z \leqslant L) $，此处的边界条件为

(18)$ \left.{\tau }_{\text{t}}(z)\right| _{z={{L}_{\text{c}}}+{{L}_{\text{s}}}}={\tau }_{2}\text{，}{\left.{P}_{\text{t}}(z)\right| }_{z=L}=0. $

当z=L_c+L_s时，$ {\tau }_{t}(z)={\tau }_{2} $，此时求得弹性阶段轴力

(19)$ {P}_{\text{t}}(z)=\frac{EA\alpha {\tau }_{2}\tanh \left(\alpha {L}_{\text{t}}\right)}{{k}_{{{Ⅰ}}}}. $

由于$ \tanh \left(\alpha {L}_{\text{t}}\right) $的最大值约等于1，求得弹性段锚固段轴力的最大值

(20)$ {P}_{\text{t}}(z)=\frac{EA\alpha {\tau }_{2}}{{k}_{{{Ⅰ}}}}. $

结合式(15)和式(19)，求得弹性段长度

(21)$ {L}_{\text{t}}=\frac{1}{\alpha }{ar\cosh \left[\dfrac{{\tau }_{2}EA\sinh \left(\alpha L\right)}{{k}_{{{Ⅰ}}}{P}_{\text{t}}}\right]}.$

弹塑性阶段$ ({L}_{\text{c}} \leqslant z \leqslant {L}_{\text{c}}+{L}_{\text{s}}) $，锚固体剪应力及锚杆轴力的边界条件为

(22)$ \left.\begin{array}{l}{\left.{\tau }_{{\mathrm{s}}}(z)\right| }_{z={{L}_{\text{c}}}+{{L}_{\text{s}}}}={\tau }_{2}\text{，} {\left.{\tau }_{{\mathrm{s}}}(z)\right| }_{z={{L}_{\text{c}}}} ={\tau }_{1}\text{，}\\{\left.{P}_{{\mathrm{s}}}(z)\right| }_{z={{L}_{\text{c}}}+{{L}_{\text{s}}}} ={\left.{P}_{{\mathrm{t}}}(z)\right| }_{z={{L}_{\text{c}}}+{{L}_{\text{s}}}}. \end{array}\right\} $

当z=L_c时，$ {\tau }_{(z)}={\tau }_{1} $，弹塑性阶段锚固长度

(23)$ \begin{split} {L}_{\text{s}}=&\frac{1}{\beta }ar\mathrm{c}\cos \frac{\text{π} D{\tau }_{1}}{EA{\tau }_{2}\sqrt{G_{1}^{2}+G_{2}^{2}}}+\frac{1}{\beta }{G}_{3};\\{G}_{1}=&\dfrac{\alpha \tanh \left(\alpha {L}_{\text{t}}\right)}{{k}_{{{Ⅰ}}}},{G}_{2}=\dfrac{\beta }{{k}_{{{Ⅱ}}}},\\{G}_{3}=&arc\tan \dfrac{{k}_{{{Ⅱ}}}\alpha \tanh \left(\alpha {L}_{\text{t}}\right)}{{k}_{{{Ⅰ}}}\beta } \end{split} $

依据残余区锚杆轴力随着滑移长度变化关系式^[23]对残余长度内切应力积分，求得残余长度

(24)$ \begin{split}{L}_{\text{c}}=&\frac{ - EA}{\text{π}D({\tau }_{2} - {\tau }_{1})} \cdot \left[\frac{\beta {\tau }_{2}\sin (\beta {L}_{\text{s}})}{{k}_{{{Ⅱ}}}}-\right.\\ & \left.\frac{\alpha {\tau }_{2}\tanh \left[{L}_{\text{t}}\right] \cdot \cos (\beta {L}_{\text{s}})}{{k}_{{{Ⅰ}}}}\right].\\end{split} $

冻胀力动态变化过程对框架-土体-锚杆协调变形有直接影响. 因温度梯度和水分迁移，冻胀期边坡自由冻胀变形量达到峰值；框架锚杆对边坡的支护作用使得土体产生最大的约束冻胀变形，产生框架-土体-锚杆最强的相互作用力. 为此计算土体自由冻胀量h^[26]，由框架锚杆变形量求得约束冻胀量，叠加这2种冻胀变形即可求得土体冻胀量.

土体因冻胀产生自由冻胀变形，在框架支护作用下土体因限制产生约束冻胀，如图9所示. 其中冻胀力的作用使得框架、锚杆自由段、锚杆锚固段产生变形，三者之间的变形满足变形协调方程，将框架、锚杆自由段、锚杆锚固段分别表示为串联求解3段弹性系数不同的弹簧^[27]，如图10所示. K₁为框架的等效弹性系数、K₂为锚杆自由段等效弹性系数、K₃为锚固段等效弹性系数. 设坡体宽度为单位宽度，在单位冻胀力的作用下框架锚杆的变形量为

(25)$ \Delta h=pL\left(\frac{{K}_{2}L+{K}_{1}L}{{K}_{1}{K}_{2}}+\frac{{K}_{2}L+{K}_{3}L}{{K}_{3}{K}_{2}}\right). $

框架锚杆所受的冻胀力^[28]表示为

(26)$ p={k}_{f}(h - \Delta h). $

式中：$ {k}_{f} $为冻土地基系数.

如图11所示，西北地区某边坡支护工程边坡高度为18 m，土体冻结温度为−1 ℃，冬半年平均地表温度为−17 ℃. 初步拟定框架锚杆支护边坡所用混凝土标号为C30，锚杆杆体采用HRB400钢筋，取锚杆间距为2 m，混凝土的弹性模量为3.0×10⁴ MPa，锚杆弹性模量为3.5×10⁵ MPa，锚杆注浆体弹性模量为3.0×10⁴ MPa，锚杆孔径为150 mm，锚杆长度为10 m. 框架横梁宽度设计宽度为550 mm，立柱设计宽度为500 mm，横梁和立柱之间的间距为2 m. 该边坡岩土体以粉质黏土$ Q_{4}^{dl} $为主，含有少量坡积角砾，根据现场试验数据得到如表1所示的土质参数，其中$ \gamma $为土体重度、c为黏聚力、$ \varphi $为内摩擦角、E为弹性模量.

为了分析冻融循环作用对框架锚杆的内力及框架尺度的影响，按照消融施工期—冻胀期—二次消融期分别计算框架和锚杆的几何尺寸，依据最不利计算原则选取坡脚处土压力计算作为分析依据，由式(25)结合文献[29]知该工程的水平冻胀等级为Ⅱ级，即冻胀力不超过100 kPa. 边坡模型如图12所示.

利用式(5)和式(11)分别计算冻胀力p与横梁b_y、立柱b_x的几何尺度关系，如图13所示. 为了揭示土拱效应与框架几何尺度变化关系，选取p=100 kPa计算分析消融施工期—冻胀期—二次消融期3阶段演化过程中框架几何尺度变化关系. 由图14(a)可知，当立柱间距为2 m时，消融施工期水平拱轴线矢高为660 mm；进入冬季后，土体力学参数有所提高，导致冻胀期水平拱轴线拱顶向坡面回缩6 mm，二次消融期水平拱轴线拱顶向坡内扩展5 mm. 由图14(b)可知，当横梁间距为2 m时，消融施工期竖向拱轴线矢高为654 mm，冻胀期竖向拱轴线拱顶坡面回缩5 mm，二次消融期竖向拱轴线拱顶向坡内扩展11 mm. 由此可知，在冻融演化过程中拱轴线变化幅度较小，可不考虑对土拱效应的影响. 由图13(a)可知，随着冻胀力增大，土拱效应越明显，框架宽度随之增加. 由图13(b)、(c)可知，随着框架梁之间的距离增大，土拱效应越明显，框架宽度增加，其中水平土拱作用下框架宽度二次消融期大于消融施工期，冻胀期比其他工况大1.3~1.5倍. 竖向土拱作用下框架宽度二次消融期和消融施工期几乎相等，冻胀期比其他工况大1.5倍. 在工程设计中，框架横梁宽度为550 mm、立柱宽度为500 mm，本次计算方法得出横梁计算宽度为511 mm，立柱计算宽度为440 mm，设计尺寸和计算尺寸相对误差各占7%和12%，设计尺度略有保守.

在冻融演化过程中，锚杆锚固力发生变化的关键影响因素是最不利荷载作用下的锚固段有效长度. 如图15所示，依据冻融过程锚固段实测荷载-位移的关系式^[30]，计算消融施工期、冻胀期、二次消融期冻融演化过程中锚固段弹性阶段、弹塑性阶段及残余阶段的长度L及锚固力p_z. 按照消融施工期—冻胀期—二次消融期3阶段循环进行分析，其中消融施工期锚固段弹塑性阶段和残余阶段长度较小，锚固段长度最长，表明以弹性阶段承担锚固力为主；冻胀期弹性阶段、弹塑性阶段及残余阶段相对消融施工期均有所增加，弹性段增长最为明显；二次消融期相对冻胀期弹性阶段长度缩短明显且小于消融施工期，弹塑性阶段及残余阶段间具有不可逆性，因此锚固段长度和冻胀期保持一致. 由于弹性段承担了绝大部分锚固力，从消融施工期、冻胀期、二次消融期分析弹性段长度变化，冻胀期弹性段长度远大于消融施工期，为1.6~1.7倍，为二次消融期的2.0~2.2倍.

为了验证计算方法的合理性，通过数值模拟和现场监测相结合的方式，对冻融演化过程消融期、冻胀期和二次消融期数据进行对比分析. 如图16所示为冻融过程框架锚杆边坡支护应力云图. 数值模拟分析表明，冻胀期锚杆轴力高于消融施工期约1.38倍，高于二次消融期约1.27倍. 为了防止冻胀期锚杆轴力增加过大，导致锚固段失效锚杆拔出造成安全隐患，依据最不利工况设计原则，建议以冻胀期工况作为框架锚杆设计基准较为合理.

冻融演化过程中现场实测土压力E_a和锚固力p_z如图17所示. 分析冻融演化过程中消融期—冻胀期—二次消融期锚杆轴力动态变化可知，理论计算结果总体上略高于实测值，数值模拟略低于实测值. 由误差分析可知，以现场监测数值为基准，理论值和现场监测相对误差为0.60%、数值模拟和现场监测误差为0.52%，属于正常工程可控范围，且变化趋势基本一致，表明该理论计算方法合理可行.

本研究基于冻融演化过程，考虑框架与坡面、锚固段注浆体与岩土界面之间的相互作用，建立框架作用下土拱、锚杆注浆体与地层之间的计算模型，并结合具体算例，揭示冻融演化过程中框架间土拱、锚杆内力及其尺度效应之间的关系，主要结论如下. 1)依据框架梁与坡面作用产生土压力力学模型，满足土体莫尔-库伦强度准则，按照合理拱轴线基本假定原则，分别建立框架作用下的水平土拱和竖向土拱几何尺度计算模型，明确冻融演化过程土拱计算模型的关键控制参数. 2)从工程施工与运营角度出发，清晰描述消融施工期、冻胀期和二次消融期的演化过程，构建冻融作用下锚固体界面的切应力与剪切位移本构模型，建立残余段、弹塑段与弹性段长度的计算模型，通过现场监测数据和数值模拟验证理论计算方法的合理性. 3)随着坡面冻胀力的增加，框架几何宽度显著增加. 在水平土拱作用下，框架宽度在二次消融期大于消融施工期，冻胀期宽度是其他工况的1.3~1.5倍；在竖向土拱作用下，二次消融期与消融施工期的框架宽度几乎相等，冻胀期宽度是其他工况的1.5倍. 4)随冻胀力增加锚杆的内力增加，锚杆锚固段长度增加明显，其中弹性阶段、弹塑性阶段及残余阶段相对消融施工期均有所增加，弹性段增长最为明显，确定以冻胀期为最不利工况的框架锚杆尺度设计基准. 本文探究冻融演化过程中冻融对框架-锚-土相互作用机制，关于冻融循环的影响有待今后深入分析.