2022年全球蜂窝物联网用户超过移动用户，开启了万物互联时代^[1]，探寻拥挤射频之外的频谱以满足持续增加的无线数据传输至关重要. 可见光通信（visible light communication，VLC）以可见光为载体进行信息传输，具有广覆盖、节能、高安全性等特点，它高达400 THz的可用频带可以有效地补充现有拥挤的射频通信，实现短距离的高速无线数据传输，已成为6G潜在的关键技术之一^[2].

IEEE 802.15.7标准提供了开关键控、脉冲位置调制、脉冲振幅调制和色移键控（color-shift keying，CSK）等多种调制方案. CSK通过变化红/绿/蓝（R/G/B）LED光强度形成不同调制符号来传输数据. 作为恒定光强度调制方式，CSK可以有效避免人眼感知的LED闪烁特性^[3]. 同时，相比于白光LED，多色LEDs的光谱效率更高^[4]. 学者对基于恒定光强度平面的CSK进行了深入研究，以最大化最小欧式距离（minimum Euclidean distance，MED）为目标函数优化设计CSK星座来改善VLC系统性能^[5-9]. 为了充分利用三维光强度空间的特性，Chen等^[10-13]对基于多强度平面的CSK星座进行优化设计，提高了VLC系统的传输质量. Wang等^[14]研究用户随机接入方向下的CSK星座设计方法. 一般情况下，当最大光强度闪烁时间周期小于5 ms时，人眼察觉不到闪烁变化^[15]；VLC作为高数据传输系统满足最大光强度闪烁时间周期要求. 由于VLC系统受限于强度调制/直接检测方式，发送信号仅能取实正值. 为了克服该问题，Wang等^[16-19]通过研究VLC系统中改进的空间调制（spatial modulation，SM）来提高系统的频谱效率与可靠性. 调制技术的研究工作主要集中于基于振幅调制的VLC系统. CSK作为VLC中的高效调制方式，与SM结合进行星座设计对提高系统性能具有重要意义.

本研究基于三维光强度空间和SM原理，提出分别对应恒定光强度和多强度面约束的CSK设计方案（SM-CSK），无需估计发送LED的索引. 1) 针对室内工作学习场景在恒定光强度约束下的SM-CSK能够增加CSK符号间的MED，该方案通过增加LED的数量来扩展三维光强度空间中CSK符号坐标的取值，并将双极性信号转换为单极CSK信号. 2) 针对无人值守的电磁敏感区域和室外场景在三维光强度空间和白光约束下的SM-CSK以最大化CSK符号间的MED为目标函数，基于序列二次规划（sequential quadratic programming，SQP）算法进行多球面（multi-sphere partitioning, MSP）建模，该方案通过设定初始值和步长来迭代优化运算，得到不同半径下的同心球面SM-CSK星座结构. 此外，本研究将给出恒定光强度和多强度平面的多进制SM-CSK星座性能参数，评估SM-CSK误比特率（bit error rate, BER）性能，并通过仿真实验验证BER性能的可靠性.

为了提高基于CSK调制的VLC系统传输质量，引入SM来传输三维光强度空间的扩展CSK符号. 如图1所示为基于SM-CSK映射的VLC系统模型. 发送的数据序列$ {\boldsymbol{b}} $经串并变换为比特子序列$ {{\boldsymbol{b}}} = \left[ {{b_{1}},{b_{2}}, \cdots ,{b_{m}}} \right] $，其中$ m = {{\mathrm{lb}} }\;M $为$ M $进制SM-CSK符号对应的比特数. 定义$ S\text{=}\left\{{{\boldsymbol{s}}}_{1},{{\boldsymbol{s}}}_{2}, \cdots ,{{\boldsymbol{s}}}_{M}\right\} $为SM-CSK星座的符号集. 传统CSK符号坐标的取值须为正实；在本研究中，SM-CSK的符号向量${{\boldsymbol{s}}_i} = [ {s_{{\mathrm{r}}1,i}}, {s_{{\mathrm{g}}1,i}}, {s_{{\mathrm{b}}1,i}},{s_{{\mathrm{r}}2,i}},{s_{{\mathrm{g}}2,i}},{s_{{\mathrm{b}}2,i}} ]^{\text{T}}$是将符号取值扩展至整个三维光强度空间，使得扩展CSK符号坐标的取值可以为正实或负实. 针对SM-CSK映射方式，发送端考虑使用6个LEDs来发送三色混合信号，接收端使用6个PDs来接收混合信号. 扩展CSK信号的极性决定了发送SM-CSK符号使用的LED索引，如表1所示. 以四进制SM-CSK（4-SM-CSK）映射规则为例，如表2所示，依据${{\boldsymbol{s}}_i} $各元素取值为非零与零分别来确定激活的LEDs与未激活的LEDs. 图1中，${{\boldsymbol{s}}_i}$经数模转化（digital-to-analog converter，DAC）后驱动 R/G/B LEDs发送可见光信号至VLC信道. 接收端将收到的三色混合光信号经光学滤波后输出，并经光电检测器PDs将光信号转换为电信号${{\boldsymbol{r}}_i}$，有

(1)$ {{\boldsymbol{r}}_i}{\text{ = }}{{\boldsymbol{Hs}}_i}+{\boldsymbol{n}}. $

式中：${\boldsymbol{H}}$为$6 \times 6$的信道增益矩阵，${\boldsymbol{n}}$为均值为0、方差为${\sigma ^2}$的加性高斯白噪声（additive white Gaussian noise，AWGN）. 在VLC系统中，各LEDs之间可通过设置合理距离使LED与对应PD之间完全对准^[20]，或在发送端进行预编码处理^[21]，得到信道的对角阵，进而避免信道间干扰. 完美对准方式不适于移动VLC系统，但可用于静态VLC系统. 在接收端，${{\boldsymbol{r}}_i}$经模数转换（analog-to-digital converter，ADC）后传输至SM-CSK解映射模块，并使用最大似然检测方法来估计发送数据序列$ \hat {\boldsymbol{b}} $. 假定已知信道状态信息，则输出的估计符号

(2)$ {\hat {\boldsymbol{s}}_i} = {\left[ {{{\hat s}_{{\mathrm{r1}},i}},{{\hat s}_{{\mathrm{g1}},i}},{{\hat s}_{{\mathrm{b1}},i}},{{\hat s}_{{\mathrm{r2}},i}},{{\hat s}_{{\mathrm{g2,i}}}},{{\hat s}_{{\mathrm{b2}},i}}} \right]^{\text{T}}}{\text{ = }}\arg \mathop {\min }\limits_{{{\tilde {\boldsymbol{s}}}_i} \in {{S}}} \left\| {{{\boldsymbol{r}}_i} - {\boldsymbol{H}}{{\tilde {\boldsymbol{s}}}_i}} \right\|. $

式中：${\tilde {\boldsymbol{s}}_i}$为SM-CSK星座符号集中的某个符号.

恒定强度面SM-CSK（constant intensity plane-based SM-CSK, CIP-SM-CSK）星座的主要设计思路：在恒定光强度和白光约束下，通过增大三维光强度空间中CIP-SM-CSK符号的MED来提高VLC系统的信号传输质量. CIP-SM-CSK星座的MED为

(3)$ d_{{\text{CIP}},\min }^{} = \mathop {\min }\limits_{i \ne j} \left\{ {\left\| {{{\boldsymbol{s}}_i} - {{\boldsymbol{s}}_j}} \right\|,{\text{ }} \left( {{{\boldsymbol{s}}_i},{{\boldsymbol{s}}_j}} \right) \in S} \right\} . $

将CIP-SM-CSK星座设计问题建模为

(4a)$ \text{max }{d}_{\text{CIP},\mathrm{min}}^{}.$

(4b)$ \text{s}\text{.t}\text{. }{\displaystyle \sum _{i=1}^{M}{{\boldsymbol{s}}}_{i}={\kappa }_{1}{{\boldsymbol{T}}}_{\text{avg1}}\text+{\kappa }_{2}{{\boldsymbol{T}}}_{\text{avg2}},\text{ }}{{\boldsymbol{s}}}_{i}\in S; $

(4c)$ \;\;\begin{split}& {\hat{s}}_{{\mathrm{r1}},i}+{\hat{s}}_{{\mathrm{g1}},i}+{\hat{s}}_{{\mathrm{b1}},i}+{\hat{s}}_{{\mathrm{r2}},i}+{\hat{s}}_{{\mathrm{g2}},i}+{\hat{s}}_{{\mathrm{b2}},i}=1,\text{ }\\&\qquad i\in \left\{1,2,\cdots , M\right\}.\end{split} $

式中：$ {{\boldsymbol{T}}_{{\text{ave1}}}}{\text{ = }}{\left[ {{1 / 3},{1 / 3},{1 / {3,0,0,0}}} \right]^{\text{T}}} $、$ {{\boldsymbol{T}}_{{\text{ave2}}}}{\text{ = }}[ 0,0,0, {1 / 3}, 1 / 3,{1 / 3} ]^{\text{T}} $，式（4b）表示满足白光约束条件，$ {\kappa _1} $、$ {\kappa _2} $为正实数.

CIP-SM-CSK星座的设计步骤：1) 选择基于二维三角形平面的三角划分CSK符号集^[22]. $ M $为星座符号的数目，且$ M \ne {2^m}\left( {M{\text{ = 3,6,15}}} \right) $；$ k $为每个符号对应的数据比特数目，且$ m = \left\lceil {{{\mathrm{lb}} }\;M} \right\rceil $. 2) 将CSK符号集$ S' $划分为$ \alpha $个符号子集$ S'\left( \alpha \right) $，$ \alpha \leqslant 2 $；在本研究中，符号子集划分准则为

(5)$ \left. \begin{gathered} \left| {S'\left( 1 \right)} \right| \leqslant \left| {S'\left( 2 \right)} \right|; \\ d_{S'\left( 1 \right),\min }^{} \gt d_{S'\left( 2 \right),\min }^{}; \\ d_{S'\left( \alpha \right),\min }^{} = \mathop {\min }\limits_{i \ne j} \left\{ {\left\| {{{\boldsymbol{s}}'_i} - {{\boldsymbol{s}}'_j}} \right\|,{\text{ }} \left( {{{\boldsymbol{s}}'_i},{{\boldsymbol{s}}'_j}} \right) \in S'\left( \alpha \right)} \right\}; \\ \sum\limits_{i = 1}^M {{{\boldsymbol{s}}'_i} = \kappa {{\boldsymbol{T}}_{{\text{avg}}}}{\text{, }}} {{\boldsymbol{s}}'_i} \in S'; \; {{\boldsymbol{T}}_{{\text{avg}}}} = {\left[ {{{{1 / 3},1} / 3},{1 / 3}} \right]^{\text{T}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：$ \kappa $为正实数. 3) 将$ S'\left( 2 \right) $中的符号坐标扩展为负取值域，得到更新符号子集$ S''\left( 2 \right) $. 4) 依据表1中扩展CSK信号与SM-CSK信号之间的关系，将符号子集$ S'\left( 1 \right) $和$ S''\left( 2 \right) $中的每个符号坐标取值从3维列向量扩展至6维列向量，分别得到三维光强度空间符号子集$ S\left( 1 \right) $和$ S\left( 2 \right) $. 5) 为了分别最大化符号子集$ S\left( 1 \right) $、$ S\left( 2 \right) $的MED，设定2个符号子集中各符号坐标须满足三角形划分星座结构；同时以最大化CIP-SM-CSK星座的MED为目标函数，在三角形平面的质心添加$ \left( {{2^m}- M} \right) $个星座符号.

选取3-CSK，设计数据速率为2 bits/符号的CIP-SM-CSK星座结构. 基于3-CSK符号集，依据符号子集划分准则，得到$ S'\left( 1 \right){\text{ = }} \left\{ {{{\boldsymbol{s}}'_1},{{\boldsymbol{s}}'_2},{{\boldsymbol{s}}'_3}} \right\} $；更新$ S'\left( 1 \right) $，得到符号集$ S\left(1\right)\text{=}\{{{\boldsymbol{s}}}_{1},{{\boldsymbol{s}}}_{2}, {{\boldsymbol{s}}}_{3}, 0,0,0\} $，添加星座符号$ {{\boldsymbol{s}}_4} $，得到4-CIP-SM-CSK星座结构，且$ {\text{ }}d_{{\text{CIP}},\min }^{}{\text{ = 1}}{\text{.33}}d_{{\text{3-CSK}},\min }^{} $.

选取6-CSK，设计数据速率为3 bits/符号的CIP-SM-CSK星座结构. 基于6-CSK符号集，依据符号子集划分准则，得到$ S'\left( 2 \right){\text{ = }} \left\{ {{{\boldsymbol{s}}'_7},{{\boldsymbol{s}}'_8},{{\boldsymbol{s}}'_9},{{\boldsymbol{s}}'_{10}},{{\boldsymbol{s}}'_{11}},{{\boldsymbol{s}}'_{12}},{{\boldsymbol{s}}'_{13}},{{\boldsymbol{s}}'_{14}},{{\boldsymbol{s}}'_{15}}} \right\} $、$ S'\left( 2 \right){\text{ = }}\left\{ {{{\boldsymbol{s}}'_4},{{\boldsymbol{s}}'_5},{{\boldsymbol{s}}'_6}} \right\} $；对$ S'\left( 2 \right) $中符号坐标的取值进行扩展变换，得到$ S''\left( 2 \right){\text{ = }}\left\{ {-{{\boldsymbol{s}}'_4},-{{\boldsymbol{s}}'_5},-{{\boldsymbol{s}}'_6}} \right\} $；依据表1的符号关系，对$ S'\left( 1 \right) $和$ S''\left( 2 \right) $中符号坐标的取值进行更新，得到三维光强度空间符号子集$ S\left( 1 \right){\text{ = }}\left\{ {{{\boldsymbol{s}}_1},{{\boldsymbol{s}}_2},{{\boldsymbol{s}}_3},0,0,0} \right\} $和$ S\left( 2 \right){\text{ = }} \left\{ {0,0,0,{{\boldsymbol{s}}_4},{{\boldsymbol{s}}_5},{{\boldsymbol{s}}_6}} \right\} $；分别对$ S\left( 1 \right) $和$ S\left( 2 \right) $中的星座符号进行三角形划分的结构设置来满足最大化对应的MED；添加星座符号$ {{\boldsymbol{s}}_7} $和$ {{\boldsymbol{s}}_8} $，得到8-CIP-SM-CSK星座结构，且$ {\text{ }}d_{{\text{CIP}},\min }^{}{\text{ = 1}}{\text{.15}}d_{{\text{6-CSK}},\min }^{} $.

选取15-CSK，设计数据速率为4 bits/符号的CIP-SM-CSK星座结构. 基于15-CSK符号集，依据符号子集划分准则，得到$ S'\left( 1 \right){\text{ = }}\left\{ {{{\boldsymbol{s}}'_1},{{\boldsymbol{s}}'_2},{{\boldsymbol{s}}'_3},{{\boldsymbol{s}}'_4},{{\boldsymbol{s}}'_5},{{\boldsymbol{s}}'_6}} \right\} $、$ S'\left( 2 \right){\text{ = }}\{ {{\boldsymbol{s}}'_7},{{\boldsymbol{s}}'_8},{{\boldsymbol{s}}'_9}, {{\boldsymbol{s}}'_{10}},{{\boldsymbol{s}}'_{11}}, {{\boldsymbol{s}}'_{12}}, {{\boldsymbol{s}}'_{13}},{{\boldsymbol{s}}'_{14}},{{\boldsymbol{s}}'_{15}} \} $；对$ S'\left( 2 \right) $中符号坐标的取值进行变换，得到$ S''\left( 2 \right){\text{ = }}\{ -{{\boldsymbol{s}}'_7},-{{\boldsymbol{s}}'_8},-{{\boldsymbol{s}}'_9},-{{\boldsymbol{s}}'_{10}},-{{\boldsymbol{s}}'_{11}},-{{\boldsymbol{s}}'_{12}},-{{\boldsymbol{s}}'_{13}}, -{{\boldsymbol{s}}'_{14}}, -{{\boldsymbol{s}}'_{15}} \} $；依据表1的符号关系，对$ S'\left( 1 \right) $和$ S''\left( 2 \right) $中符号坐标的取值进行扩展更新，得到三维光强度空间符号子集$ S\left( 1 \right){\text{ = }}\left\{ {{{\boldsymbol{s}}_1},{{\boldsymbol{s}}_2},{{\boldsymbol{s}}_3},{{\boldsymbol{s}}_4},{{\boldsymbol{s}}_5},{{\boldsymbol{s}}_6}} \right\} $和$ S\left( 2 \right){\text{ = }}\{ {{\boldsymbol{s}}_7}, {{\boldsymbol{s}}_8}, {{\boldsymbol{s}}_9},{{\boldsymbol{s}}_{10}}, {{\boldsymbol{s}}_{11}},{{\boldsymbol{s}}_{12}},{{\boldsymbol{s}}_{13}},{{\boldsymbol{s}}_{14}},{{\boldsymbol{s}}_{15}} \} $；分别对$ S\left( 1 \right) $和$ S\left( 2 \right) $中的星座进行三角形划分的结构设置来满足最大化对应的MED；添加星座符号$ {{\boldsymbol{s}}_{16}} $，得到16-CIP-SM-CSK星座结构，且$ {\text{ }}d_{{\text{CIP}},\min }^{}{\text{ = 1}}{\text{.72}}d_{{\text{15-CSK}},\min }^{} $.

CIP-SM-CSK的星座示意图如图2所示，对应的符号坐标如表3所示.

多球面SM-CSK（multi-sphere partitioning-based SM-CSK，MSP-SM-CSK）星座的主要设计思路：基于三维多强度面CSK星座结构和白光约束，通过设计多球面的SM-CSK星座结构来增大对应的MED. MSP-SM-CSK星座的MED为

(6)$ d_{{\text{MSP}},\min }^{} = \mathop {\min }\limits_{i \ne j} \left\{ {\left\| {{{\boldsymbol{s}}_i} - {{\boldsymbol{s}}_j}} \right\|,{\text{ }} \left( {{{\boldsymbol{s}}_i},{{\boldsymbol{s}}_j}} \right) \in S} \right\} . $

将MSP-SM-CSK星座设计问题建模为

(7a)$ {\text{max }}d_{{\text{MSP}},\min }^{}. $

(7b)$ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}\sum\limits_{i = 1}^M {{{\boldsymbol{s}}_i} = {\kappa _1}{{\boldsymbol{T}}_{{\text{avg1}}}}{+}{\kappa _2}{{\boldsymbol{T}}_{{\text{avg2}}}},{\text{ }}} {{\boldsymbol{s}}_i} \in S; $

(7c)$ \;\;{\text{ }}S\left( \theta \right) \in S{\text{, }}\theta = \left\lceil {{{\left\lfloor {{M / 3}} \right\rfloor } / 2}} \right\rceil +M\text{mod} 3;$

(7d)$ \;\;\begin{split}& {\text{ }}s_{{\mathrm{r1}},i}^2+s_{{\text{g}}1,i}^2+s_{{\mathrm{b1}},i}^2+s_{{\mathrm{r2}},i}^2+s_{{\text{g2}},i}^2+s_{{\mathrm{b2}},i}^2= \\&\qquad s_{{\mathrm{r1}},j}^2+s_{{\text{g}}1,j}^2+s_{{\mathrm{b1}},j}^2+s_{{\mathrm{r2}},j}^2+s_{{\text{g2}},j}^2+s_{{\mathrm{b2}},j}^2, \\&\qquad\qquad i \ne j{\text{,}}\;\;\left( {{{\boldsymbol{s}}_i},{{\boldsymbol{s}}_j}} \right) \in S\left( \theta \right).\end{split} $

其中式(7b)同式(4b)，表示满足白光约束，$ \theta $为不同球面半径的个数.

观察可知，MSP-SM-CSK星座设计问题是非凸的，很难进行直接优化处理. 基于文献[22]中三角形划分的CSK星座结构，引入SQP迭代算法来解决优化设计问题，优化的MSP-SM-CSK星座符号生成步骤如下. 1) 设定光强度变化范围为$ \left[ {0,1} \right] $，取迭代步进长度$ \Delta I{\text{ = }}0.01 $，步进次数$ N{\text{ = }}100 $、$ {N^3} $为优化迭代次数；选取三角形划分的CSK符号集，每个星座符号集共划为$ \alpha $个符号子集$ S'\left( \alpha \right) $，且每3个星座符号划分为1个符号子集，$ \alpha {\text{ = }}1,2,5 $；选取光强度为1的三角形平面中的3个顶点作为符号子集$ S'\left( 1 \right) $中各符号的坐标初始值. 2) 若$ \alpha \gt 2 $，通过更新步进长度，更新符号坐标，在三维空间搜索满足同一球面半径的符号子集，选取MED较大且满足白光约束的符号子集为$ S'\left( 3 \right) $，同时确保$ S'\left( 1 \right) $与$ S'\left( 3 \right) $的MED大于等于$ S'\left( 3 \right) $中符号的MED. 3) 若$ \alpha \gt 4 $，通过更新步进长度与符号坐标，在三维空间进一步搜索满足同一球面半径的符号子集，选取MED较大且满足白光约束的符号子集为$ S'\left( 5 \right) $，同时确保$ S'\left( 1 \right) $、$ S'\left( 3 \right) $和$ S'\left( 5 \right) $的MED大于等于$ S'\left( 5 \right) $中符号的MED. 4) 对多个球面半径重复步骤2)、3). 5) 符号子集$ S'\left( 2 \right) $与$ S'\left( 1 \right) $、$ S'\left( 4 \right) $与$ S'\left( 3 \right) $中各符号取值相反，即$ S'\left( 2 \right) = - S'\left( 1 \right) $、$ S'\left( 4 \right) = - S'\left( 3 \right) $. 6) 在三维光强度的中心线上添加$ {2^m}{{-}}M $个符号坐标，添加的符号坐标满足如下约束条件：与符号子集$ S'\left( 1 \right) $、$ S'\left( 3 \right) $和$ S'\left( 5 \right) $中各符号的MED相同，得到$ M $进制扩展符号集$ S' $. 7) 依据表1中扩展符号与SM-CSK符号之间的变换关系，得到MSP-SM-CSK符号集.

基于3-CSK符号集分析可知，4-MSP-SM-CSK与4-CIP-SM-CSK星座结构相同，因此重点介绍8-MSP-SM-CSK和16-MSP-SM-CSK的星座设计.

选取6-CSK，设计数据速率为3 bits/符号的MSP-SM-CSK星座结构. 基于6-CSK符号集，依据符号子集划分方法得到$ \alpha {\text{ = }} 2 $，且$ S'\left( 1 \right){\text{ = }}\left\{ {{{\boldsymbol{s}}'_1},{{\boldsymbol{s}}'_2},{{\boldsymbol{s}}'_3}} \right\} $，得到$ S'\left( 2 \right){\text{ = }}\left\{ {{{-}}{{\boldsymbol{s}}'_1},{{-}}{{\boldsymbol{s}}'_2},{{-}}{{\boldsymbol{s}}'_3}} \right\} $；在三维光强度空间的中心线上添加星座符号$ {{\boldsymbol{s}}'_7} $、$ {{\boldsymbol{s}}'_8} $，使得符号集$ S' = \left\{ {S'\left( 1 \right),S'\left( 2 \right),{{\boldsymbol{s}}'_7},{{\boldsymbol{s}}'_8}} \right\} $的MED最大，对应星座结构如图3所示；通过表1中的变换关系得到8-MSP-SM-CSK星座，且$ {\text{ }}d_{{\text{MSP}},\min }^{}{\text{ = 1}}{\text{.41}}d_{{\text{6-CSK}},\min }^{} $.

选取15-CSK，设计数据速率为4 bits/符号的MSP-SM-CSK星座结构. 基于15-CSK符号集，依据符号子集划分方法得到$ \alpha {\text{ = }} 5 $，且$ S'\left( 1 \right){\text{ = }}\left\{ {{{\boldsymbol{s}}'_1},{{\boldsymbol{s}}'_2},{{\boldsymbol{s}}'_3}} \right\} $；通过SQP迭代算法搜索满足约束的符号子集$ S'\left( 3 \right){\text{ = }}\left\{ {{{\boldsymbol{s}}'_7},{{\boldsymbol{s}}'_8},{{\boldsymbol{s}}'_9}} \right\} $和$ S'\left( 5 \right){\text{ = }}\{ {{\boldsymbol{s}}'_{13}}, {{\boldsymbol{s}}'_{14}}, {{\boldsymbol{s}}'_{15}} \} $；给出$ S'\left( 2 \right){\text{ = }}\left\{ {-{{\boldsymbol{s}}'_1},-{{\boldsymbol{s}}'_2},-{{\boldsymbol{s}}'_3}} \right\} $、$ S'\left( 4 \right){\text{ = }}\{ -{{\boldsymbol{s}}'_7}, -{{\boldsymbol{s}}'_8}, -{{\boldsymbol{s}}'_9} \} $；在三维光强度空间的中心线上添加星座符号$ {{\boldsymbol{s}}'_{16}} $，使得符号集$ S'{\text{ = }}\{ S'\left( 1 \right),S'\left( 2 \right),S'\left( 3 \right),S'\left( 4 \right), S'\left( 5 \right), {{\boldsymbol{s}}'_{16}} \} $的MED最大，对应星座结构如图4所示；通过表1中的变换关系得到16-MSP-SM-CSK星座，且$ {\text{ }}d_{{\text{MSP}},\min }^{}{\text{ = 2}}{\text{.41}}d_{{\text{15-CSK}},\min }^{} $.

8-MSP-SM-CSK和16-MSP-SM-CSK的符号坐标如表4所示.

使用最大似然检测（maximum likelihood detection，MLD）算法，将SM-CSK的误符号率描述为

(8)$ {P_{{\text{SER}}}} \leqslant \frac{2}{M}\sum\limits_{m = 1}^{M - 1} {\sum\limits_{k = m+1}^M {P\left( {{{\boldsymbol{s}}_m} \to {{\boldsymbol{s}}_k}} \right)} } . $

其中$ P\left( {{{\boldsymbol{s}}_m} \to {{\boldsymbol{s}}_k}} \right) $表示在信道$ {\boldsymbol{H}} $条件下发送符号为$ {{\boldsymbol{s}}_m} $接收符号选择为$ {{\boldsymbol{s}}_k} $的成对错误率，进而得到

(9)$ P\left( {{{\boldsymbol{s}}_m} \to {{\boldsymbol{s}}_k}\left| {\boldsymbol{H}} \right.} \right) = P\left( {D\left( {{\boldsymbol{r}},{{\boldsymbol{s}}_m}} \right) \gt D\left( {{\boldsymbol{r}},{{\boldsymbol{s}}_k}} \right)\left| {\boldsymbol{H}} \right.} \right) . $

式中：$ D\left( {{\boldsymbol{r}},{{\boldsymbol{s}}_m}} \right) $为$ {\boldsymbol{r}} $到$ {{\boldsymbol{s}}_m} $的欧式距离. 依据式(9)，将SM-CSK的BER上界描述为

(10)$ {P_{\text{e}}} = \frac{2}{M}\sum\limits_{i = 1}^{M - 1} {\sum\limits_{k = m+1}^M {\frac{{N\left( {{b_m},{b_k}} \right)}}{{{{\mathrm{lb}}}\;M}}P\left( {{{\boldsymbol{s}}_m} \to {{\boldsymbol{s}}_k}\left| {\boldsymbol{H}} \right.} \right)} } . $

其中$ N\left( {{b_m},{b_k}} \right) $表示$ \boldsymbol{s}_{m} $和$ \boldsymbol{s}_{k} $之间对应不同比特$ {b_m} $与$ {b_k} $的个数. 依据CSK星座的性能评估^[23]，将式(10)近似描述为

(11)$ \begin{split} & {P}_{{\mathrm{e}}}\approx {N}_{\text{ave}}Q\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{lb}}\; M\cdot {d}_{\mathrm{min}}^{2}}{2{N}_{0}}}\right)\text{，}\\& Q\left(x\right)\text=\left(1/\sqrt{2\text{π}}\right){\displaystyle {\int }_{x}^{\infty }{{\mathrm{e}}}^{-\left({t}^{2}/2\right)}}{\mathrm{d}}t .\end{split} $

式中：$ {N_{{\text{ave}}}} $为在最小欧式距离$ d_{\min }^{} $处相邻符号的平均值. 对基于SM-CSK调制的VLC系统，发送端的MSP-SM-CSK星座设计主要借助划分的符号子集，通过搜索算法得到优化星座结构. MSP-SM-CSK的算法复杂度与划分的符号子集数$ \left\lfloor {{M \mathord{\left/ {\vphantom {M 3}} \right. } 3}} \right\rfloor $直接相关，基于约束条件先对每个符号子集中的3个符号坐标进行搜索，计算符号子集之间的欧式距离并对比给出最小值，因此该算法的复杂度为$ { O}\left( {\left\lfloor {{M \mathord{\left/ {\vphantom {M 3}} \right. } 3}} \right\rfloor } \right) $. 接收端主要使用MLD算法进行软解调，解调的复杂度随数据率$ R $的增加呈指数增长. SM-CSK符号取值扩展至双极性，致使在欧式距离计算过程中，计算复杂度是传统CSK方案的2倍，因此MSP-SM-CSK的复杂度为$ { O}\left( {2 \cdot {2^R}} \right) $，传统CSK方案的复杂度为$ { O}\left( {{2^R}} \right) $.

如表5所示为不同数据率$ R $情况下，SM-CSK与传统CSK、SCSK、MIP-CSK的参数对比. 可以看出，本研究提出的CSK方案在同类方案中$ d_{\min }^2 $最大.

如图5所示为不同数据率下理论与仿真的BER随信噪比R_SN的变化曲线. 图5(a)中，当BER=10⁻⁵时，与4-MIP-CSK、4-SCSK、4-CSK相比，4-CIP-SM-CSK分别实现约3.25、3.31、4.25 dB的性能增益. 图5（b）中，当BER=10⁻⁵时，与8-MIP-CSK、8-SCSK、8-CSK相比，8-CIP-SM-CSK分别实现约3.16、3.91、5.83 dB的性能增益，8-MSP-SM-CSK分别实现约4.66、5.41、7.33 dB的性能增益. 图5（c）中，当BER=10⁻⁵时，与16-MIP-CSK、16-SCSK、16-CSK相比，16-CIP-SM-CSK分别实现约1.31、2.56、4.71 dB的性能增益；16-MSP-SM-CSK分别实现约4.41、5.66、7.81 dB的性能增益.

本研究通过空间域来发送双极性的扩展CSK信号，将二维光强度平面的CSK星座结构扩展至三维光强度空间，提出基于空间调制的CSK设计方案. 在恒定光强度和白光约束下，建模CIP-SM-CSK设计问题，生成最大化符号间MED的CIP-SM-CSK设计步骤. 提出MSP-SM-CSK优化设计方案来增大MED，使用顺序二次规划迭代算法来求解符号坐标. 参数对比和仿真结果显示：在高信噪比条件下，与CSK、SCSK方案相比，所提方案的误比特率明显降低. 为了提升多强度面CSK星座性能，后续将进一步研究CSK星座结构.