相比于传统点对点传输的控制系统，网络控制系统(networked control systems，NCSs )具有灵活性高，功耗低，布线体积小等优点，被广泛应用于智能制造、车辆控制、多智能体系统、无人机集群控制等领域^[1-3]. 无线网络的共享性和开放性带来的安全隐患包括数据包丢失^[1,4]、时间延迟^[5-6]和网络攻击^[7-8]，不仅对控制系统安全运行构成严重的威胁，也使NCSs的建模、分析和设计变得复杂. 在这些安全隐患中，网络攻击对NCSs的危害性最大^[1,3]. 葡萄牙电信公司遭受的网络攻击致使数百万人使用的服务中断^[7]，乌克兰政府网站遭到网络攻击后大量重要数据泄露^[9]. 因此，控制器设计时考虑网络攻击的影响，对NCSs的实际应用具有重要意义.

网络攻击通常分为3类： 欺骗攻击、拒绝服务( denial-of-service，DoS )攻击和重放攻击^[8,10-13]. DoS攻击通过中断信号传输来阻止信号更新，对控制系统最具危险性. DoS攻击的发起对系统的先验性知识要求不高，有越来越多的学者关注与DoS攻击相关的研究^[14-15]，如在周期性DoS攻击下的控制器设计问题^[16]，分布式滤波问题^[17-18]. 上述研究针对确定性的DoS攻击，但具有随机特性的DoS攻击更为常见^[8,19]. DoS攻击的随机特性建模主要采用2种方法: 伯努利分布模型和马尔可夫分布模型. 在基于伯努利分布模型方面，Ye等^[20]针对存在于控制器-执行器(C-A)通道的DoS攻击，研究基于网络的T-S模糊海上无人航行器系统的安全动态定位控制问题；Qi等^[21]针对存在于传感器-控制器(S-C)通道的DoS攻击，研究半马尔可夫切换系统的离散时间滑模控制问题. 在基于马尔可夫分布模型方面，Shi等^[22-23]针对存在于C-A通道的DoS攻击，研究动态事件触发机制的模型预测控制问题和无线网络控制系统的弹性控制问题；Zhao等^[24]针对存在于S-C通道的DoS攻击，研究非线性系统的自适应事件触发跟踪控制与滤波问题.

双通道通信网络常见于NCSs. Geng等^[25]研究轮式移动机器人在双通道同步攻击下的轨迹跟踪问题；Lian等^[26]研究双通道切换系统在拒绝服务攻击下的时间触发控制问题. Geng等^[25]视2个通道的DoS攻击为同步攻击，忽略了通道不同步攻击的情况. Lian等^[26]将存在于2个通道的攻击独立建模，黄鹤等^[27]指出2个通道通常共享1个通信网络，因此2个通道的DoS攻击相互关联. 本研究考虑双通道存在DoS攻击的情形，将双通道DoS攻击的动态特性进行统一建模，将闭环系统描述为包含4个模态的马尔可夫跳变系统. 现有研究大多集中在传统的李雅普诺夫稳定性概念之下. 该概念描述系统状态在无限时间间隔内的收敛特性^[28-29]. 实际系统往往要在短时间内做出响应，如导弹控制系统、机器人运动控制系统、通信网络系统等^[30]，李雅普诺夫稳定性解决这类问题时存在局限性. Dorato^[31]提出有限时间稳定的概念，探究系统状态在有限时间间隔内的收敛特性，为了使有限时间稳定性概念更具一般性，Amato等^[32]进一步提出有限时间有界性的概念. 有限时间控制被广泛应用于随机系统^[29]、马尔可夫跳变系统^[33-34]和切换系统^[35]等领域. 在应对网络攻击时，有限时间控制的问题研究成果相对有限，Ren等^[36-37]只考虑DoS攻击存在单通道的有限时间问题，鲜见涉及双通道DoS攻击的有限时间控制问题的文献，研究S-C通道和C-A通道可能都存在DoS攻击的有限时间控制问题具有重要的理论意义和实际价值.

考虑线性离散系统，

(1)$ \left. \begin{gathered} {\boldsymbol{x}}(k+1) = {\boldsymbol{Ax}}(k)+B\overline {\boldsymbol{{\boldsymbol{u}}}}(k)+{\boldsymbol{E}}{{\boldsymbol{w}}}(k), \\ {\boldsymbol{z}}(k) = {\boldsymbol{Cx}}(k). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：${{\boldsymbol{x}}}(k)$为系统状态，$\overline {\boldsymbol{{\boldsymbol{u}}}}(k)$为控制输入，${\boldsymbol{z}}(k)$为控制输出，${{\boldsymbol{w}}}(k)$为外加干扰，$ {{\boldsymbol{A}}}、{{\boldsymbol{B}}}、{{\boldsymbol{C}}}和{{\boldsymbol{E}}} $均为具有合适维数的系统参数矩阵. 满足约束：

(2)$ \sum\limits_{k = 0}^N {{{\boldsymbol{w}}^{\text{T}}}} (k){\boldsymbol{w}}(k) \leqslant \omega . $

其中$ \omega $为整数. 考虑S-C通道和C-A通道可能都存在DoS攻击的情况，闭环系统如图1所示.

为了描述DoS攻击是否存在，引入随机变量$\alpha (k)$和$\beta (k)$. $\alpha (k) $、$\beta (k) = 1$分别表示C-A与S-C通道无DoS攻击的情况，$\alpha (k) $、$\beta (k) = 0$分别表示C-A与S-C通道存在DoS攻击的情况. 在C-A 通道，令${{\boldsymbol{u}}}(k)$为控制器的输出. 由于受到DoS攻击的影响，被控对象的实际输入表达式为

(3a)$ \overline{{\boldsymbol{u}}}(k)=\left\{ \begin{array}{ll}{\boldsymbol{u}}(k), & \alpha (k)\text{=1}; \\ \overline{{\boldsymbol{u}}}(k-1), & \alpha (k)\text{=0}. \end{array} \right.$

等价改写为

(3b)$ {\overline {\boldsymbol{u}}}(k) = \alpha (k){{\boldsymbol{u}}}(k)+(1 - \alpha (k)){\overline {\boldsymbol{u}}}(k - 1). $

在S-C通道，令$\overline {\boldsymbol{x}}(k)$为控制器实际接收到的状态，受 DoS 攻击的影响，

(4a)$ \overline{{\boldsymbol{x}} }(k)=\left\{ \begin{array}{ll}\overline{{\boldsymbol{x}}}(k), & \beta (k)\text{=1}; \\ \overline{{\boldsymbol{x}}}(k-1), & \beta (k)\text{=0}. \end{array}\right. $

等价改写为

(4b)$ {\overline {\boldsymbol{{\boldsymbol{x}}}}}(k) = \beta (k){{\boldsymbol{x}}}(k)+(1 - \beta (k)){\overline {\boldsymbol{x}}}(k - 1). $

S-C 和 C-A 通道中的DoS攻击存在4种情况：1)S-C通道和C-A通道同时存在DoS攻击；2)S-C通道存在DoS攻击，C-A通道不存在DoS攻击；3)S-C通道不存在DoS攻击，C-A通道存在DoS攻击；4)S-C通道和C-A通道同时不存在攻击. 将DoS攻击的模式建模为离散时间的齐次马尔可夫链$ \{ \theta (k)\} , k \in {\bf{Z}} $，其状态空间为有限集合$S = \{ 1,\cdots,s\} , s = 4$.

(5)$ \theta (k) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{\alpha (k){\text{ = 1}},\;\beta (k){\text{ = 1;}}} \\ {2,}&{\alpha (k){\text{ = 1}},\;\beta (k){\text{ = 0;}}} \\ {3,}&{\alpha (k){\text{ = 0}},\;\beta (k){\text{ = 1;}}} \\ {4,}&{\alpha (k){\text{ = 0}},\;\beta (k){\text{ = 0}}{\text{.}}} \end{array}} \right. $

${\{ \theta (k)\} }$的概率转移矩阵${\bf\textit{Ψ}} = [{\pi _{ij}}], i,j \in S $，

(6)$ P\{ \theta (k+1) = j|\theta (k) = i\} = {\pi _{ij}},\;{\pi _{ij}} \geqslant 0,\sum\limits_{j = 1}^4 {{\pi _{ij}} = 1}. $

其中$P\left\{ \cdot \right\}$为事件的概率.

注1　当$ \alpha (k) \equiv 1 $时，S-C和C-A双通道的攻击退化为只存在S-C通道的攻击，如文献[21]、[24]；当$\beta (k) \equiv 1$时，S-C和C-A双通道的攻击退化为只存在C-A通道的攻击，如文献[22]、[23].

本研究考虑S-C与C-A通道可能都存在DoS 攻击的情况. 设计如下的状态反馈控制器：

(7)$ {{\boldsymbol{u}}} = {{\boldsymbol{K}}\overline {\boldsymbol{x}}}(k). $

其中${\boldsymbol{K}}$为待确定的反馈增益矩阵. 定义增广向量

$ {{\boldsymbol{\xi}} }(k) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(k)},{{{{\overline {\boldsymbol{u}}}}^{\mathrm{T}}}(k - 1)},{{{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(k - 1)} \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}}. $

结合式(1)、(3b)、(4b)、(7)，得到增广闭环系统：

(8)$ \left. \begin{gathered} {{\boldsymbol{\xi}} }(k+1) = \overline {\boldsymbol{A}}(\theta (k)){\boldsymbol{\xi}} (k)+\overline {\boldsymbol{E}}{\boldsymbol{w}}(k), \\ {\boldsymbol{z}}(k) = \overline{\boldsymbol{ C}}{\boldsymbol{\xi}} (k). \\ \end{gathered} \right\} $

当$ \theta(k)=i \in S \text { 时 } $，$\overline {\boldsymbol{A}}(\theta (k))$为增广系统在第$i$种攻击模态下的系统矩阵，简记为$ {\overline{\boldsymbol{ A}}_i} $，有

(9)$ \begin{split} &{{\overline {\boldsymbol{A}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\boldsymbol{A+BK}}}}&{\boldsymbol{0}}&{{\boldsymbol{0}}} \\ {{\boldsymbol{K}}}&{\boldsymbol{0}}&{{\boldsymbol{0}}} \\ {{\boldsymbol{I}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right],{{\overline {\boldsymbol{A}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{A}}}&{\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{BK}}}} \\ {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{{\boldsymbol{K}}} \\ {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{{\boldsymbol{I}}} \end{array}} \right], \\& {{\overline {\boldsymbol{A}}}_3} =\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{A}}}&{{\boldsymbol{B}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{ 0}}&{{\boldsymbol{I}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {{\boldsymbol{I}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right],{{\overline {\boldsymbol{A}}}_4} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{A}}}&{{\boldsymbol{B}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{\boldsymbol{I}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{{\boldsymbol{I}}} \end{array}} \right], \\ & {\overline {\boldsymbol{C}}} =\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{C}}},{\boldsymbol{0}},{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right],{\overline {\boldsymbol{E}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{\boldsymbol{E}}}^{\mathrm{T}}}},{\boldsymbol{0}},{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]. \\ \end{split} $

式中：$ {\boldsymbol{I}}$为单位矩阵. 当$\theta (k) = 1,2$时，含有变量${\boldsymbol{K}}，$将${\overline {\boldsymbol{A}}_1}$、${\overline {\boldsymbol{A}}_2}$分别改写为

(10)$ {\overline {\boldsymbol{A}}_1} = {\tilde {\boldsymbol{A}}_1}+{\tilde {\boldsymbol{B}}_1}{{\boldsymbol{K}}}{{\overline {\boldsymbol{I}}}_1},\;{\overline {\boldsymbol{A}}_2} = {\tilde {\boldsymbol{A}}_2}+{\tilde {\boldsymbol{B}}_2}{{\boldsymbol{K}}}{{\overline {\boldsymbol{I}}}_2}. $

$ \begin{gathered} {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{A}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \\ {{\boldsymbol{K}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \\ {{\boldsymbol{I}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right],{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{B}}} \\ {{\boldsymbol{I}}} \\ {\boldsymbol{0}} \end{array}} \right],{{{\overline {\boldsymbol{I}}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{I}}},{\boldsymbol{0}},{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right], \\ {{\tilde {\boldsymbol{A}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{A}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0 }}\\ {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{{\boldsymbol{I}}} \end{array}} \right],{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{B}}} \\ {{\boldsymbol{I}}} \\ {\boldsymbol{0}} \end{array}} \right],{{{\overline {\boldsymbol{I}}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\boldsymbol{0}},{\boldsymbol{0}},{{\boldsymbol{I}}} \end{array}} \right]. \\ \end{gathered} $

当$\theta (k) = 3,4$时，$ {\overline {\boldsymbol{A}}_3} $、$ {\overline {\boldsymbol{A}}_4} $均为常数矩阵.

定义1　给定矩阵${\boldsymbol{R}} > 0$、整数$N > 0$、$0 < {\delta _1} < {\delta _2}$和初始条件${{\boldsymbol{\xi}} }(0)$，对任意$ k \in \{ 1,2,\cdots,N\} $，如果

(11)$ E\{ {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(0){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(0)\} \leqslant {\delta _1} \Rightarrow E\{ {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(k){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(k)\} \leqslant {\delta _2}. $

成立，则称式(8)是关于$({\delta _1},{\delta _2},N,{{\boldsymbol{R}}})$随机有限时间稳定(stochastic finite-time stability，SFTS)的. 式中：$E\left\{ \cdot \right\}$为事件的期望.

定义2　给定矩阵${\boldsymbol{R}} > 0$、整数$N > 0$、$0 < {\delta _1} < {\delta _2}$、$\omega > 0$和初始条件${{\boldsymbol{\xi}} }(0)$，对任意$ k \in \{ 1,2\cdots,N\} $，如果

(12)$ \begin{split} &E\{ {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(0){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(0)\} \leqslant {\delta _1}, \; \sum\limits_{k = 0}^N {{{{\boldsymbol{w}}}^{\rm{T}}}} (k){{\boldsymbol{w}}}(k) \leqslant \omega \Rightarrow \\ & \quad E\{ {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(k){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(k)\} \leqslant {\delta _2}.\end{split} $

成立，则称式(8)是关于$({\delta _1},{\delta _2},N,{{\boldsymbol{R}}},\omega )$随机有限时间有界(stochastic finite-time boundedness，SFTB)的.

本研究设计状态反馈控制器式(7)，使得闭环系统式(8)同时满足要求:1) 闭环系统(8)关于$({\delta _1},{\delta _2},N,{{\boldsymbol{R}}},\omega )$SFTB；2) 在零初始条件下，控制输出${{\boldsymbol{z}}}(k)$满足

(13)$ \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant k \leqslant N} \left\{E\{ {{{\boldsymbol{z}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{z}}}(k)\}\right\} \leqslant {\gamma ^2}\sum\limits_{k = 0}^N {{{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}} (k){{\boldsymbol{w}}}(k). $

其中$\sup \;\{ \cdot \} $为上确界，$\gamma > 0$为给定常数，此时称闭环系统具有$ {\ell _2} - {\ell _\infty } $性能水平$\gamma $.

定理1　考虑线性离散系统式(1). 给定矩阵${{\boldsymbol{R}}} > 0$、整数$N > 0$以及常量$0 < {\delta _1} < {\delta _2}$、$\alpha > 1$、$\overline \gamma > 0$、$ \omega > 0 $. 如果存在${\sigma _1} > 0$、${\sigma _2} > 0$和${{{\boldsymbol{P}}}_i} \in{\boldsymbol{ R}} > {\boldsymbol{0}}$，$ i \in S $，满足条件：

(14)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {{{{\bf\textit{Ξ}}} }_1}}& * \\ {{{\bf\textit{ƞ}} } \otimes {{{\bf\textit{Ξ}} }_2}}&{ - {{{\bf\textit{Ξ}}}_3^{-1}}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}, $

(15)$ {\alpha ^N}{\delta _1}{\sigma _2}+{\alpha ^N}\varpi < {\delta _2}{\sigma _1}, $

(16)$ {\sigma _1}{{\boldsymbol{R}}} < {{{\boldsymbol{P}}}_i} < {\sigma _2}{{\boldsymbol{R}}}, $

(17)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {{{\boldsymbol{P}}}_i}}& * \\ {{\overline {\boldsymbol{C}}}}&{ - {{\overline \gamma }^2}{{\boldsymbol{I}}}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}. $

$ \begin{split} {{{\bf\textit{Ξ}} }_1} =& {\text{diag}}\;\{ \alpha {{{\boldsymbol{P}}}_i},{{\boldsymbol{I}}}\} , \\ {{{\bf\textit{Ξ}} }_2} = &\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}},{{\overline{\boldsymbol{ E}}}} \end{array}} \right], \\ {{{\bf\textit{Ξ}} }_3} =& {\text{diag}}\;\{ {{{\boldsymbol{P}}}_1},{{{\boldsymbol{P}}}_2},{{{\boldsymbol{P}}}_3},{{{\boldsymbol{P}}}_4}\} , \\ {{\bf\textit{ƞ}} } =& {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sqrt {{\pi _{i1}}} },{\sqrt {{\pi _{i2}}} },{\sqrt {{\pi _{i3}}} },{\sqrt {{\pi _{i4}}} } \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}}. \\\end{split} $

则系统式(8)是随机有限时间有界的，并满足${\ell _2} - {\ell _\infty }$性能水平$\gamma = \sqrt {{{\overline \gamma }^2}{\alpha ^N}} $. 式中：${\boldsymbol{P}} > 0$为正定矩阵，${\text{diag}}\;\{ \cdot \} $为对角矩阵，*表示矩阵对称位置的转置元素.

证明： 构造模态依赖的李雅普诺夫函数：

(18)$ V(k) = {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(k){{{\boldsymbol{P}}}_i}{{\boldsymbol{\xi}} }(k), \;i \in S. $

定义辅助函数：

(19)$ \varPi (k) = {{E}}\left\{ {V(k+1) - \alpha V(k) - {{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{w}}}(k)} \right\}. $

定义$ {{\boldsymbol{\zeta}} }( \cdot ) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}( \cdot )},\;{{{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}( \cdot )} \end{array}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $，得到

(20)$ \begin{split} &{{E}}\{ V(k+1)\} = \sum\limits_{j = 1}^S {{\pi _{ij}}} {[{{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}\xi(k)+{\overline {\boldsymbol{E}}}{\boldsymbol{w}}(k)]^{\rm{T}}}\times\\&\quad{{{\boldsymbol{P}}}_j}[{{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}\xi(k){\overline {\boldsymbol{E}}}{\boldsymbol{w}}(k)] = \sum\limits_{j = 1}^S {{\pi _{ij}}} {{\boldsymbol{\zeta}} }{(k)^{\rm{T}}}{\bf\textit{Ξ}}_2^{\rm{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_j}{{\bf\textit{Ξ}}_2}{{\boldsymbol{\zeta}} }(k). \end{split}$

从而有

(21)$ \varPi (k) = \sum\limits_{j = 1}^S {{\pi _{ij}}} {{\boldsymbol{\zeta}} }{(k)^{\mathrm{T}}}{\bf\textit{Ξ} }_2^{\mathrm{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_j}{{\bf\textit{Ξ} }_2}{{\boldsymbol{\zeta}} }(k) - {{{\boldsymbol{\zeta}} }^{\mathrm{T}}}(k){{\bf\textit{Ξ} }_1}{{\boldsymbol{\zeta}} }(k). $

推导得到

(22)$ \sum\limits_{j = 1}^S {{\pi _{ij}}{{{\boldsymbol{P}}}_j}} = {({{\bf\textit{ƞ}} } \otimes {{{\boldsymbol{I}}}_{{n_x}}})^{\mathrm{T}}}{{\bf\textit{Ξ} }_3}({{\bf\textit{ƞ}} } \otimes {{{\boldsymbol{I}}}_{{n_x}}}). $

结合式(21)、(22)，再对式(14)使用Schur 补引理，得到$\varPi (k) < 0$，从而有，

(23)$ {{E}}\{ V(k+1)\} < \alpha {{E}}\{ V(k)\} +{{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{w}}}(k). $

进一步可知，

(24)$ \begin{split} {{E}}\{ V(k)\} <& {\alpha ^k}V(0)+\sum\limits_{i = 0}^{k - 1} {{\alpha ^{k - 1 - i}}} {{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}(i){{\boldsymbol{w}}}(i) <\\ & {\alpha ^N}V(0)+{\alpha ^N}\sum\limits_{i = 0}^N {{{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}} (i){{\boldsymbol{w}}}(i)< {\alpha ^N}V(0)+{\alpha ^N}\omega . \end{split}$

令${{\overline {\boldsymbol{P}}}_i} = {{{\boldsymbol{R}}}^{ - 1/2}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{{\boldsymbol{R}}}^{ - 1/2}},{\text{ }}$则有

(25)$ \begin{split} V(0) =& {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(0){{{\boldsymbol{P}}}_i}{{\boldsymbol{\xi}} }(0)={{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(0){{{\boldsymbol{R}}}^{1/2}}{{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i}{{{\boldsymbol{R}}}^{1/2}}{{\boldsymbol{\xi}} }(0) \leqslant\\ &\mathop {\max }\limits_i \;\{ {\lambda _{{\text{max}}}}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(0){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(0). \end{split} $

由式(18)可知，

(26)$ \begin{split} V(k) = &{{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(k){{{\boldsymbol{P}}}_i}{{\boldsymbol{\xi}} }(k) ={{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(k){{{\boldsymbol{R}}}^{1/2}}{{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i}{{{\boldsymbol{R}}}^{ - 1/2}}{{\boldsymbol{\xi}} }(k) \geqslant\\ & \mathop {\min }\limits_i \;\{ {\lambda _{{\text{min}}}}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(k){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(k).\end{split} $

由式(24)~(26)可以得到

(27)$ \begin{split} &{{E}}\{ {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(k){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(k)\}\leqslant \frac{{E\{ V(k)\} }}{{\mathop {\min }\limits_i \;\{ {\lambda _{\min }}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} }} \leqslant \frac{{{\alpha ^N}V(0)+{\alpha ^N}\omega }}{{\mathop {\min }\limits_i \;\{ {\lambda _{\min }}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} }}\leqslant \\ & \quad\frac{{{\alpha ^N}\mathop {\max }\limits_i \;\{ {\lambda _{{\text{max}}}}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(0){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(0)+{\alpha ^N}\omega }}{{\mathop {\min }\limits_i \;\{ {\lambda _{\min }}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} }}. \\[-4pt]\end{split} $

式(16)两侧分别乘以${{{\boldsymbol{R}}}^{ - 1/2}}$得到

(28)$ {\sigma _1}{{\boldsymbol{I}}} \leqslant {{\overline {\boldsymbol{P}}}_i} \leqslant {\sigma _2}{{\boldsymbol{I}}},\; i \in {{S}}. $

进一步得到

(29)$ \left. \begin{gathered} \mathop {\max }\limits_i \;\{ {\lambda _{{\text{max}}}}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} \leqslant {\sigma _2}, \\\; \mathop {\min }\limits_i \;\{ {\lambda _{{\text{min}}}}({{{\overline {\boldsymbol{P}}}}_i})\} \geqslant {\sigma _1}. \\ \end{gathered} \right\} $

将式(29)代入式(27)可以得到

(30)$ {{E}}\{ {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(k)\} \leqslant \frac{{{\alpha ^N}{\sigma _2}{{{\boldsymbol{\xi}} }^{\rm{T}}}(0){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(0)+{\alpha ^N}\omega }}{{{\sigma _1}}}. $

若${{{\boldsymbol{\xi}} }^{\mathrm{T}}}(0){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(0) \leqslant {\delta _1}$，式（30）结合条件式(15)得到${{E}}\{ {{{\boldsymbol{\xi}} }^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{R}}{\boldsymbol{\xi}} }(k)\} \leqslant {\delta _2}$，由定义2可知，闭环系统是随机有限时间有界的. 式中：$ {\lambda _{\max }}({\boldsymbol{Y}}) $为矩阵${\boldsymbol{Y}}$最大特征值，$ {\lambda _{\min }}({\boldsymbol{Y}}) $为矩阵${\boldsymbol{Y}}$的最小特征值.

证明： 闭环系统(8)具有${\ell _2} - {\ell _\infty }$水平. 对式(17)使用Schur补可以得到

(31)$ {{\overline {\boldsymbol{C}}}^{\mathrm{T}}}{\overline {\boldsymbol{C}}} < {\overline \gamma ^2}{{{\boldsymbol{P}}}_i}. $

注意到式(8)中${{\boldsymbol{z}}}(k) = {\overline{\boldsymbol{ C}}{\boldsymbol{\xi}} }(k)$，从而有

(32)$ {{E}}\{ {{{\boldsymbol{z}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{z}}}(k)\} <{{ E}}\{ {\overline \gamma ^2}V(k)\} . $

在零初始条件下，结合式(24)可以得到

(33)$\begin{split} {{E}}\{ {{{\boldsymbol{z}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{z}}}(k)\} < {{\overline \gamma }^2}{\alpha ^N}\sum\limits_{i = 0}^N {{{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}(i){{\boldsymbol{w}}}(i)} < {\gamma ^2}\sum\limits_{i = 0}^N {{{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}(i){{\boldsymbol{w}}}(i)} , \end{split}$

对上式两端从0到$N$分别取上确界，根据式(13)可知闭环系统式(8)具有${\ell _2} - {\ell _\infty }$性能水平$\gamma $.

通过求解条件式(14)~(17)，得到期望的控制器. 由于式(14)~(17)中具有非线性项，现有工具箱难以直接求解，为此将它们进一步转化为线性矩阵不等式的形式.

注2　由于式(14)中矩阵$ {\overline {\boldsymbol{A}}_i},i = 1,2 $具有式(10)中的形式，矩阵变量${\boldsymbol{ K}} $处于乘积项$ {\tilde {\boldsymbol{B}}_i}{\boldsymbol{K}}{\overline{\boldsymbol{ I}}_i},i = 1,2 $的中间，这种形式导致式(14)中的条件无法用常规变换进行线性化，使得线性化变得困难. 另外，式(10)中的矩阵$ {\overline {\boldsymbol{I}}_i},i = 1,2 $是行满秩的，总存在可逆矩阵${{\boldsymbol{M}}_i},i = 1,2$，使得${{\overline {\boldsymbol{I}}}_i}{{\boldsymbol{{M}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{I}}},{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right],i = 1,2$. 一般来说，对应的矩阵${{{\boldsymbol{M}}}_i}$不唯一^[38].

(34)$ {{{\boldsymbol{M}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\overline {\boldsymbol{I}}}}_i}^{\mathrm{T}}{{({{{\overline {\boldsymbol{I}}}}_i}{{{\overline {\boldsymbol{I}}}}_i}^{\mathrm{T}})}^{ - 1}}},{{\overline{\boldsymbol{ I}}}_i^ \bot } \end{array}} \right] . $

其中$ {\overline {\boldsymbol{I}}}_i^ \bot $为$ {{\overline {\boldsymbol{I}}}_i} $的核空间的正交基. 可行的选择可以通过式(34)获得，${{\boldsymbol{M}}_i}$在定理2的推导过程中起重要的作用.

定理2　考虑线性离散系统式(1). 给定矩阵${{\boldsymbol{R}}} > 0$、${{{\boldsymbol{M}}}_i}$、整数$N > 0$以及常量$ {{\delta }_2} > {{\delta }_1} > 0 $、$ \alpha > 1 $、 $ {\overline \gamma } > 0 $、$ \omega > 0 $. 如果存在矩阵${{\boldsymbol{X}}_i} > {\boldsymbol{0}}, i \in S$，矩阵$ {{\boldsymbol{Y}}} $、$ {{\overline {\boldsymbol{G}}}_i} = {{{\boldsymbol{M}}}_i}{{\boldsymbol{GM}}}_i^{\mathrm{T}}, i \in \{ 1,2\} $，常量 ${\mu _1} > 0$、${\mu _2} > 0$，其中$ {{\boldsymbol{G}}} = {\text{ diag}}\;\{ {{{\boldsymbol{G}}}_1},{{{\boldsymbol{G}}}_2}\} $满足条件：

(35)$ \begin{split} &\begin{array}{l}\left[\begin{array}{llllll}{{\boldsymbol{\varOmega}}}_{i} & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ {{\boldsymbol{0}} }& -{{\boldsymbol{I}}}& \ast & \ast & \ast & \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i1}}{{\bf\textit{Λ}}}_{i} & \sqrt{{\pi }_{i1}}\overline{{\boldsymbol{E}} } & -{{{\boldsymbol{X}}}}_{1}& \ast & \ast & \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i2}}{\bf\textit{Λ}}_{i} & \sqrt{{\pi }_{i2}}\overline{{\boldsymbol{E}} } & {{\boldsymbol{0}} }& -{\boldsymbol{X}}_{2}& \ast & \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i3}}{\bf\textit{Λ}}_{i} & \sqrt{{\pi }_{i3}}\overline{{\boldsymbol{E}} } & {{\boldsymbol{0}} }& {{\boldsymbol{0}} }& -{\boldsymbol{X}}_{3}& \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i4}}{\bf\textit{Λ}}_{i} & \text{ }\sqrt{{\pi }_{i4}}\overline{{\boldsymbol{E}}}& {{\boldsymbol{0}} }& {{\boldsymbol{0}} }& {{\boldsymbol{0}} }& -{\boldsymbol{X}}_{4}\end{array}\right] < {{{{\boldsymbol{0}}}} },\end{array}\\&i=1,2;\\[-6pt]\end{split} $

(36)$ \left[\begin{array}{lll}-{\delta }_{2}{\mu }_{1} & \ast & \ast \\ {\mu }_{1}\sqrt{{\alpha }^{N}{\delta }_{1}} & -{\mu }_{2}& \ast \\ {\mu }_{1} & 0& -\dfrac{1}{{\alpha }^{N}\omega }\end{array}\right] < {\boldsymbol{0}}; $

(37)$ \begin{split} &\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \alpha {{\boldsymbol{X}}}_i}& * & * & * & * & * \\ {\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{I}}}}& * & * & * & * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i1}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{X}}}_i}&{\sqrt {{{\pi }_{i1}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{ - {{\boldsymbol{X}}}_1}& * & * & * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i2}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{X}}}_i}&{\sqrt {{{\pi }_{i2}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{X}}}_2}& * & * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i3}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{X}}}_i}&{\sqrt {{{\pi }_{i3}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{X}}}_3}& * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i4}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{X}}}_i}&{\sqrt {{{\pi }_{i4}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{X}}}_4} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}},\\ & i=3,4;\\[-6pt]\end{split} $

(38)$ \left[\begin{array}{ll}-{\boldsymbol{X}}_{i} & \ast \\ {\boldsymbol{R}}^{1/2}{\boldsymbol{X}}_{i} & -{\mu }_{1}\boldsymbol{I}\end{array}\right] < 0,\;i=1,2,3,4; $

(39)$ \left[\begin{array}{ll}-{\mu }_{2}\boldsymbol{R} & \ast \\ {\mu }_{2}\boldsymbol{I} & -{\boldsymbol{X}}_{i}\end{array}\right] < 0,\;i=1,2,3,4; $

(40)$ \left[\begin{array}{ll}-{\boldsymbol{X}}_{i} & \ast \\ \overline{{\boldsymbol{C}} }{\boldsymbol{X}}_{i} & -{\overline{\gamma }}^{2}\boldsymbol{I}\end{array}\right] < 0,\;i=1,2,3,4. $

其中$ {{{\boldsymbol{\varOmega}} }_i} = - \,{\overline {\boldsymbol{G}}} \,-\, {{{\overline {\boldsymbol{G}}}}^{\mathrm{T}}}\,+\,{\alpha ^{ - 1}}\,{{{\boldsymbol{X}}}_i}\,,\, {{{\overline{\boldsymbol{ I}}}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{I}}},\,{{\boldsymbol{0}}} \end{array}} \right],\,\, {\boldsymbol{\varLambda}}_i=\overline{\boldsymbol{A}}_i \overline{\boldsymbol{G}}_i+ \tilde{\boldsymbol{B}}_i{\boldsymbol{Y}}\overline{\boldsymbol{I}}_3 {\boldsymbol{M}}_i^{\mathrm{T}}$. 则系统式(8)是随机有限时间有界的，并满足${\ell _2} - {\ell _\infty }$性能水平$ \gamma = \sqrt {{{\overline \gamma }^2}{\alpha ^N}} $.

证明： 当$i = 1,2$时，$ {\overline {\boldsymbol{A}}_i} $可以表示为式(10)中的形式. 引入矩阵

$ {{\boldsymbol{D}}_1} = {\text{diag}}\;\{ {{\overline {\boldsymbol{G}}}_i},{{\boldsymbol{I}}}, \cdots ,{{\boldsymbol{I}}}\} . $

式(14)两侧分别乘以$ {\boldsymbol{D}}_1^{\mathrm{T}},{{\boldsymbol{D}}_1} $，得到

(41)$ \left[ \begin{array}{llllll}{\bf\textit{Γ}}_{i} & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ {\boldsymbol{0}}& -{{\boldsymbol{I}}}& \ast & \ast & \ast & \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i1}}{{\boldsymbol{Z}}}_{i} & \sqrt{{\pi }_{i1}}\overline {\boldsymbol{E}} & -{{\boldsymbol{P}}}_{1}^{-1}& \ast & \ast & \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i2}}{{\boldsymbol{Z}}}_{i} & \sqrt{{\pi }_{i2}}\overline {\boldsymbol{E}} & {\boldsymbol{0}}& -{{\boldsymbol{P}}}_{2}^{-1}& \ast & \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i3}}{{\boldsymbol{Z}}}_{i} & \sqrt{{\pi }_{i3}}\overline {\boldsymbol{E}} & {\boldsymbol{0}}& {\boldsymbol{0}}& -{{\boldsymbol{P}}}_{3}^{-1}& \ast \\ \sqrt{{\pi }_{i4}}{{\boldsymbol{Z}}}_{i} & \sqrt{{\pi }_{i4}}\overline {\boldsymbol{E}} & {\boldsymbol{0}}& {\boldsymbol{0}}& {\boldsymbol{0}}& -{{\boldsymbol{P}}}_{4}^{-1}\end{array} \right] < {{{\boldsymbol{0}}}}. $

其中

(42)$ \begin{gathered} {{\bf\textit{Γ}}_i} = - \alpha {\overline {\boldsymbol{G}}}_i^{\mathrm{T}}{\boldsymbol{P}}_i{{{\overline {\boldsymbol{G}}}}_i},\;{{{\boldsymbol Z}}_i} = {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{{\overline {\boldsymbol{G}}}}_i}. \\ \end{gathered} $

将式(10)代入${{{{\boldsymbol{Z}}}}_i}$，注意到${{\overline {\boldsymbol{G}}}_i} = {{{\boldsymbol{M}}}_i}{{\boldsymbol{GM}}}_i^{\mathrm{T}}$，从而有

(43)$ {{{ {\boldsymbol{Z}}}}_i} = {\tilde {\boldsymbol{A}}_i}{{\overline {\boldsymbol{G}}}_i}+{\tilde {\boldsymbol{B}}_i}{{\boldsymbol{K}}}{{\overline {\boldsymbol{I}}}_i}{{{\boldsymbol{M}}}_i}{{\boldsymbol{GM}}}_i^{\mathrm{T}}. $

注意到式(10)中的矩阵${{\overline {\boldsymbol{I}}}_i},i = 1,2$是行满秩的，根据注2可知${{\overline {\boldsymbol{I}}}_i}{{{\boldsymbol{M}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{I}}},{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]$，${{\boldsymbol{G}}} = {\text{diag}}\;\{ {{{\boldsymbol{G}}}_1},{{{\boldsymbol{G}}}_2}\} $，式(43)可以进一步化简为

(44)$ \begin{split} {{{\boldsymbol{Z}}}_i} = &{{\tilde {\boldsymbol{A}}}_i}{{{\overline {\boldsymbol{G}}}}_i}+{{\tilde {\boldsymbol{B}}}_i}{{\boldsymbol{K}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{I}}},{\boldsymbol{0}} \end{array}} \right]{\text{diag}}\;\{ {{{\boldsymbol{G}}}_1},{{{\boldsymbol{G}}}_2}\} {{\boldsymbol{M}}}_i^{\mathrm{T}}= \\ &{{\tilde {\boldsymbol{A}}}_i}{{{\overline {\boldsymbol{G}}}}_i}+{{\tilde{\boldsymbol{ B}}}_i}{{\boldsymbol{K}}}{{{\boldsymbol{G}}}_1}{{{\overline {\boldsymbol{I}}}}_3}{{\boldsymbol{M}}}_i^{\mathrm{T}}. \end{split} $

由于$\alpha > 0,{{{\boldsymbol{P}}}_i} > 0$，推导得到

(45)$ - \alpha { {\overline {\boldsymbol{G}}}}_i^{\mathrm{T}}{{{\boldsymbol{P}}}_i}{{ {\overline {\boldsymbol{G}}}}_i} \leqslant - { {\overline {\boldsymbol{G}}}}_i^{\mathrm{T}} - {{ {\overline {\boldsymbol{G}}}}_i}+{\alpha ^{ - 1}}{{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}. $

引入变量定义：

(46)$ {{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1} = {{{\boldsymbol{X}}}_i},\;{{\boldsymbol{K}}}{{{\boldsymbol{G}}}_1} = {{\boldsymbol{Y}}}. $

得到条件式(35). 当$i = 3,4$时，引入矩阵

$ {{\boldsymbol{D}}_2} = {\text{diag}}\;\{ {{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1},{{\boldsymbol{I}}}, \cdots ,{{\boldsymbol{I}}}\} . $

式(14)两侧分别乘以$ {\boldsymbol{D}}_2^{\mathrm{T}},{{\boldsymbol{D}}_2} $，得到

(47)$ {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \alpha {{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}}& * & * & * & * & * \\ {\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{I}}}}& * & * & * & * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i1}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}}&{\sqrt {{{\pi }_{i1}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{ - {{\boldsymbol{P}}}_1^{ - 1}}& * & * & * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i2}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}}&{\sqrt {{{\pi }_{i2}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{P}}}_2^{ - 1}}& * & * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i3}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}}&{\sqrt {{{\pi }_{i3}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{P}}}_3^{ - 1}}& * \\ {\sqrt {{{\pi }_{i4}}} {{\overline {\boldsymbol{A}}}_i}{{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}}&{\sqrt {{{\pi }_{i4}}} {\overline {\boldsymbol{E}}}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}}&{ - {{\boldsymbol{P}}}_4^{ - 1}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}. }$

代入式(46)中的变量定义，可以得到式(37)中的条件. 再引入矩阵

$ \begin{gathered} {{\boldsymbol{D}}_3} = {\text{diag}}\;\{ {P}_i^{ - 1},{{\boldsymbol{I}}}\} , \\ {{\boldsymbol{D}}_4} = {\text{diag}}\;\{ \sigma _2^{ - 1},{{\boldsymbol{I}}}\} , \\ {{\boldsymbol{D}}_5} = {\text{diag}}\;\{ \sigma _1^{ - 1},1\} . \\ \end{gathered} $

式(16)等价转化为

$ {\sigma _1}{{\boldsymbol{R}}} < {{{\boldsymbol{P}}}_i}\text{，}{{{\boldsymbol{P}}}_i} < {\sigma _2}{{\boldsymbol{R}}}. $

将这2个不等式分别应用Schur补引理，得到

(48)$ \left[\begin{array}{ll}-{\boldsymbol{P}}_{i} & \ast \\{\boldsymbol{R}}^{1/2} & -{\sigma }_{1}^{-1}\boldsymbol{I}\end{array}\right] < {\boldsymbol{0}}, $

(49)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {\sigma _2}{{\boldsymbol{R}}}}& * \\ {{\boldsymbol{I}}}&{ - {{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}. $

式(48)两端分别乘以$ {\boldsymbol{D}}_3^{\mathrm{T}}、{{\boldsymbol{D}}_3} $，式(49)两端分别乘以$ {\boldsymbol{D}}_4^{\mathrm{T}}、{{\boldsymbol{D}}_4} $，得到

(50)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}}& * \\ {{{{\boldsymbol{R}}}^{1/2}}{{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}}&{ - {\sigma }_1^{ - 1}{{\boldsymbol{I}}}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}, $

(51)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {\sigma }_2^{ - 1}{{\boldsymbol{R}}}}& * \\ {{\sigma }_2^{ - 1}{{\boldsymbol{I}}}}&{ - {{\boldsymbol{P}}}_i^{ - 1}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}. $

令$\sigma _1^{ - 1} = {\mu _1}$、$\sigma _2^{ - 1} = {\mu _2}$，将式(46)代入式(50)、(51)中，可以得到式(38)、(39)中的条件. 对式(15)应用Schur补引理，得到

(52)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {{\delta }_2}{{\sigma }_1}+{{\alpha }^N}\omega }& * \\ {\sqrt {{{\alpha }^N}{{\delta }_1}} }&{ - {\sigma }_2^{ - 1}{{\boldsymbol{I}}}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}. $

式(52)两侧分别乘以$ {\boldsymbol{D}}_5^{\mathrm{T}}、{{\boldsymbol{D}}_5} $，得到

(53)$ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - {{\delta }_2}{\sigma }_1^{ - 1}+{\sigma }_1^{ - 1}{{\alpha }^N}\omega {\sigma }_1^{ - 1}}& * \\ {{\sigma }_1^{ - 1}\sqrt {{{\alpha }^N}{{\delta }_1}} }&{ - {\sigma }_2^{ - 1}{{\boldsymbol{I}}}} \end{array}} \right] < {\boldsymbol{0}}. $

对(53)再使用Schur补引理，得到

(54)$ \left[\begin{array}{lll}-{\text{δ}}_{2}\sigma_{1}^{-1} & \ast & \ast \\ \sigma_{1}^{-1}\sqrt{\alpha^{N}{\text{δ}}_{1}} & -\sigma_{2}^{-1}& \ast \\ \sigma_{1}^{-1} & 0& -\dfrac{1}{\alpha^{N}\omega }\end{array}\right] < {\boldsymbol{0}}. $

代入$\sigma _1^{ - 1} = {\mu _1}$、$\sigma _2^{ - 1} = {\mu _2}$，得到条件式(36). 式(17)两侧分别乘以$ {\boldsymbol{D}}_3^{\mathrm{T}}、{{\boldsymbol{D}}_3} $，得到

(55)$ \left[\begin{array}{ll}-{\boldsymbol{P}}_{i}^{-1} & \ast \\ \overline {\boldsymbol C} {\boldsymbol{P}}_{i}^{-1} & -{\overline{\gamma }}^{2}\boldsymbol{I}\end{array}\right] < {\boldsymbol{0}}. $

再将式(46)代入，直接得到式(40)中的条件.

注3　定理2中不等式的保守性可以通过调整给定参数来降低. Ye等^[37]指出，式(35)、(36)的保守性可以通过增大$\alpha $来降低，式(37)的保守性可以通过增大${\delta _2}$、$\omega $来降低，式(38)、(39)的保守性可以通过增大${{\boldsymbol{R}}}$来降低，式(40)的保守性可以通过增大$\gamma $来降低. 因此，可以通过调整这些参数来增强线性矩阵不等式的可解性.

注4　定理2的计算复杂性取决于系统式(1)的维数. 系统式(1)的维数越高，定理2中相关不等式的维数越高，计算时间也越长. 随着计算机技术的发展，计算机计算速度显著提高，计算复杂性不再是太大的问题.

示例1　考虑线性系统式(1)，相关系统矩阵为

$\begin{split} &{{\boldsymbol{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.45}&{ - 0.82} \\ {1.10}&{1.63} \end{array}} \right],{{\boldsymbol{B}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.10}&{ - 0.05} \\ { - 0.05}&{0.20} \end{array}} \right], \\ & {{\boldsymbol{C}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0.15},{ - 0.15} \end{array}} \right],{{\boldsymbol{E}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0.1},{0.1} \end{array}} \right]. \\ \end{split} $

系统矩阵${\boldsymbol{A}}$的特征值为$ \left\{ {0.163,1.023} \right\} $，开环系统是不稳定的. 考虑转移矩阵

$ {{{\bf\textit{Ψ}} }_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.85}&{0.05}&{0.05}&{0.05} \\ {0.85}&{0.05}&{0.05}&{0.05} \\ {0.85}&{0.05}&{0.05}&{0.05} \\ {0.85}&{0.05}&{0.05}&{0.05} \end{array}} \right]. $

为了便于仿真，相关参数取值如下：$\alpha = 1.021$、${\delta _1} = 1$、${\delta _2} = 500$、$\overline \gamma = 0.6$、$N = 100$、${{\boldsymbol{R}}} = 0.1{{\boldsymbol{I}}}$. 假设系统的干扰信号$ {{\boldsymbol{w}}}(k) = 1.25/(1+{k^2}) $，由于$ \displaystyle\sum\nolimits_{k = 0}^{100} {{{{\boldsymbol{w}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{w}}}(k)} = 2.04 $，取式(2)中的上界$\omega = 2.1$. ${{{\boldsymbol{M}}}_1}$和${{{\boldsymbol{M}}}_2}$分别取维数为$6 \times 6$的单位阵${{\boldsymbol{I}}_{6 \times 6}}$和副对角线元素为1 的反对角矩阵. 可以验证，${{\overline {\boldsymbol{I}}}_i}{{{\boldsymbol{M}}}_i} = \left[ {{\boldsymbol{I}}} , {\boldsymbol{0}} \right],i \in \{ 1,2\} .$系统初始条件分别为${{\boldsymbol{x}}}(0) = {\left[ 3 , { - 0.1} \right]^{\mathrm{T}}}$、${\overline {\boldsymbol{u}}}( - 1) = {\left[ 0 , 0 \right]^{\mathrm{T}}}$. 根据定理2，得到状态反馈增益为

$ {{{\boldsymbol{K}}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 0.075\,3}&{0.312\,5} \\ { - 0.130\,1}&{ - 0.614\,7} \end{array}} \right]. $

DoS攻击具有随机性，为此进行500次仿真实验，得到的状态响应、控制输入和${{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{Rx}}}(k)$的变化趋势分别如图2所示. 由图可知，系统状态在有限时间内收敛. 另外，初始条件满足${{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(0){{\boldsymbol{Rx}}}(0) < {\delta _1} = 1$，当$ k\in \left[1,N\right]时 $，$ {{E}}\{ {{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{Rx}}}(k)\} < {\delta _2} = 500 $，说明系统有限时间有界. 由此可见，在双通道DoS攻击下系统仍然能良好地运行.

为了研究不同概率下的DoS攻击对控制性能的影响，取不同的概率转移矩阵进行仿真试验. 由式(5)、(6)可知：转移矩阵的第1列代表下一时刻没有DoS攻击的概率；第2~4列元素表示2个通道中至少有1个通道出现攻击的概率. 这说明，第1列元素值越小，系统出现DoS 攻击的概率就越大，系统越不安全. 引入转移矩阵

$ {{{\bf\textit{Ψ}} }_{2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.4}&{0.2}&{0.2}&{0.2} \\ {0.4}&{0.2}&{0.2}&{0.2} \\ {0.4}&{0.2}&{0.2}&{0.2} \\ {0.4}&{0.2}&{0.2}&{0.2} \end{array}} \right], $

$ {{\bf\textit{Ψ}} _3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.19}&{0.27}&{0.27}&{0.27} \\ {0.19}&{0.27}&{0.27}&{0.27} \\ {0.19}&{0.27}&{0.27}&{0.27} \\ {0.19}&{0.27}&{0.27}&{0.27} \end{array}} \right]. $

根据第$1$列元素可知，${{{\bf\textit{Ψ}} }_1},{{{\bf\textit{Ψ}} }_2}$和${{{\bf\textit{Ψ}} }_3}$代表DoS攻击的概率依次增强. 为了简化问题，每个转移概率矩阵的第2~4列元素分别取相同的值，其他参数值均与${{{\bf\textit{Ψ}} }_1}$条件下的设置相同. 根据定理2，分别求出${{{\bf\textit{Ψ}} }_2},{{{\bf\textit{Ψ}} }_3}$对应的反馈增益矩阵为

$\begin{split} & {{{\boldsymbol{K}}}_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.154\,3}&{0.267\,3} \\ { - 0.277\,2}&{ - 0.481\,7} \end{array}} \right],\\&{{\boldsymbol{K}}_3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.219\,8}&{0.229\,0} \\ { - 0.281\,9}&{ - 0.357\,5} \end{array}} \right],\end{split} $

在${{{\bf\textit{Ψ}} }_1},{{{\bf\textit{Ψ}} }_2},{{{\bf\textit{Ψ}} }_3}$下分别进行$500$次仿真实验，某一次实验中$\theta (k)$的变化情况如图3所示. 由(5)可知：$\theta (k) = 1$表示 S-C与C-A通道中均没有DoS攻击，$\theta (k) = 2$、$\theta (k) = 3$、$\theta (k) = 4$分别表示S-C通道中有DoS攻击，C-A通道有DoS攻击，2个通道同时存在DoS攻击. 可以看出，${{{\bf\textit{Ψ}} }_1}$、${{{\bf\textit{Ψ}} }_2}$和${{{\bf\textit{Ψ}} }_3}$对应的$\theta (k) = 1$出现的次数越来越少. 实际上，在500次仿真实验中，${{{\bf\textit{Ψ}} }_1}$、${{{\bf\textit{Ψ}} }_2}$和${{{\bf\textit{Ψ}} }_3}$对应$\theta (k) = 1$出现的平均次数分别为85.24、40.75和19. 94次. 即无DoS 攻击的时刻越来越少，说明DoS 攻击出现的概率在依次增大.

在500次独立仿真实验中，不同转移矩阵下状态响应变量和有界变量的平均值的变化情况如图4所示. 由图可知，不同转移矩阵${{{\bf\textit{Ψ}} }_1}$、${{{\bf\textit{Ψ}} }_2}$和${{{\bf\textit{Ψ}} }_3}$对应系统的响应速度越来越慢，${{{\bf\textit{Ψ}} }_1}$、${{{\bf\textit{Ψ}} }_2}$和${{{\bf\textit{Ψ}} }_3}$对应的${{E}}\{ {{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{Rx}}}(k)\} $上界越来越大. 综上所述，随着DoS攻击发生的概率增强，系统的控制性能虽然有所下降，但是定理2中的算法依然能使系统有效的运作，表明此算法对DoS攻击具有鲁棒性.

示例2　考虑受外部干扰的角度定位系统^[2]，该系统的状态空间模型为

$ {{\boldsymbol{x}}}(k+1) = {{{\boldsymbol{A}}}_c}{{\boldsymbol{x}}}(k)+{{{\boldsymbol{B}}}_c}{\overline {\boldsymbol{u}}}(k)+{{{\boldsymbol{E}}}_c}{\boldsymbol{w}}(k). $

其中

$ \begin{split} & {{{\boldsymbol{A}}}_c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} 1&{0.1} \\ 0&{1 - 0.1\rho (k)} \end{array}} \right],{{{\boldsymbol{B}}}_c} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.1\kappa }&0 \\ 0&{0.1\kappa } \end{array}} \right], \\& {{{\boldsymbol{E}}}_c} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\begin{array}{*{20}{l}} { - 0.1},{0.1} \end{array}} \end{array}} \right]^{\mathrm{T}}},0.1{{{s}}^{ - 1}} \leqslant \rho (k) \leqslant 10{{{s}}^{ - 1}}. \\ \end{split}$

为了便于仿真，系统参数$\rho (k) = 1$、$\kappa = 0.787$，选取概率转移矩阵

$ {{\bf\textit{Ψ}} } = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {0.22}&{0.26}&{0.26}&{0.26} \\ {0.22}&{0.26}&{0.26}&{0.26} \\ {0.22}&{0.26}&{0.26}&{0.26} \\ {0.22}&{0.26}&{0.26}&{0.26} \end{array}} \right]. $

$\alpha = 1.025$，外界干扰信号${{\boldsymbol{w}}}(k)$，初始条件${{\boldsymbol{x}}}(0)$、${\overline {\boldsymbol{u}}}( - 1)$以及其余参数${\delta _1}$、${\delta _2}$ 、$\overline \gamma $ 、$N$、${{\boldsymbol{R}}}$、$\omega $ 、${{M}_1}$、${{M}_2}$的选取与例1 相同. 根据定理2，得到状态反馈增益为

$ {{\boldsymbol{K}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} { - 0.307\,6}&{ - 0.177\,1} \\ { - 0.207\,9}&{ - 0.184\,1} \end{array}} \right], $

与示例1相同，通过$500$次仿真实验，得到的状态响应、控制输入和$ {{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{Rx}}}(k) $的变化趋势如图5所示. 初始条件满足${{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(0){{\boldsymbol{Rx}}}(0) < {\delta _1} = 1$，当$k \in [1,N] $时，$ {{E}}\{ {{{\boldsymbol{x}}}^{\mathrm{T}}}(k){{\boldsymbol{Rx}}}(k)\} < {\delta _2} = 500 $，根据定义2可知系统是有限时间有界的. 仿真结果显示，系统在DoS攻击的影响下仍然满足稳定性要求并具有一定的${\ell _2} - {\ell _\infty }$性能，该系统的仿真验证了本研究算法具有一定的工程应用价值.

本研究考虑S-C和C-A通道可能都遭受DoS攻击的情形，将DoS攻击的动态特性建模为马尔可夫随机过程. 相比于现有研究，本研究不仅针对更广泛的DoS攻击场景进行建模分析，还引入有限时间稳定性分析方法，设计了状态反馈控制器，确保控制系统在有限时间内的稳定性和对外部干扰的鲁棒性. 数值算例和角度定位系统的实验结果表明，本研究提出的算法能够在DoS攻击和外部干扰的情况下保持稳定. 这些研究成果为NCSs在复杂通信环境下的稳定运行提供了新的理论支持和方法参考. 马尔可夫过程的无记忆性限制了它对复杂攻击模式的描述能力. 未来研究将采用更一般的半马尔可夫随机过程来描述DoS攻击的动态特性，结合通信约束、信道衰减、量化效应等网络现象来全面研究NCSs的有限时间控制问题.