沿海地区广泛分布着抗剪强度较低，压缩性较高，渗透性较小的软土（如淤泥、淤泥质土）. 除传统的外力作用（如地面堆载、堤坝堆筑）引起软土固结发生沉降外，随着城市建设和地下空间开发的力度不断增大，工程降水活动诱发的软土地基沉降日趋严重. 桩基础作为软土地区城市建筑常用的基础形式，地层沉降必将影响既有桩基服役性能甚至导致灾变.

骆冠勇等^[1]提出由承压水减压引起的固结沉降计算方法. Liu等^[2-8]进一步研究了多层土、弱透水层以及承压含水层的流变性、初始水头沿深度非均匀分布、固结和渗透的非线性对承压水减压引起的地层沉降. 土的沉降大于桩的位移会使桩侧产生负摩阻力，继而降低桩身承载力，引起不均匀沉降. 关于负摩阻力的研究多集中于大面积堆载以及潜水降水工程场景. Chen等^[9-11]考虑弱透水层的非均质性，采用不同的荷载传递法研究大面积堆载引起的桩土关系问题；Liu等^[12-13]从二维和三维固结角度分析堆载下的桩土关系问题；贾煜等^[14]引入桩体自重，提出潜水水位下降诱发的基桩沉降计算方法. 大面积堆载以及降潜水引起的弱透水层固结均是自上而下进行的，这2种工况下桩土关系的变化有相似的发展规律.

针对由承压水减压引起的基桩受力变形问题的研究不多. 刘御刚等^[15-16]初步研究了承压水减压和桩顶同时受荷引起的基桩受力变形问题，由于桩土关系的变化主要受桩顶加载的影响，得出“桩顶附近桩周土先进入塑性，随后在塑性区自上而下扩展”的规律. 该规律与传统桩顶轴向受荷条件下桩土界面的发展趋势相同^[17-18]. 承压水降水诱发的弱透水层沉降是由自上而下的越流作用引起的，与如大面积堆载、降潜水的附加应力作用有所不同. 上述研究未能揭示降承压水引起的弱透水层固结对桩土作用机制的影响，对抽降承压水引起的软黏土中未打穿自由单桩受力特性的认识尚不深入. 本研究基于太沙基一维固结理论，采用理想弹塑性荷载传递模型，推导承压水大面积降水诱发软黏土弱透水层中未打穿自由单桩受力变形特性的半解析解，深入分析承压水减压降水引起弱透水层中既有基桩的桩土作用机制.

承压水降水引起的软黏土中自由单桩的受力变形问题计算简图如图1所示. 图中，l为桩长，h_c为承压含水层降深，H为弱透水层厚度. 减压降水引起的土体沉降是由于下卧承压含水层水头的降低改变了弱透水层底部水头边界条件，在越流作用下弱透水层中的孔隙水应力变化引发有效应力的变化，使得软土层发生固结沉降. 此外，桩土间的刚度存在差异，土体的沉降引发桩土接触面接触力改变，从而影响桩土相互关系.

1)地基为半无限弹性体，忽略桩及桩周土的径向变形；地基土为均质、各向同性材料，土的固结符合太沙基一维线性固结理论^[19]，不考虑压缩模量随深度的变化. 2) 桩顶和地基表面无附加荷载，土体和桩的沉降仅由承压含水层减压降水引起. 3) 桩体为可压缩的均质弹性体，应力-应变关系满足虎克定律，忽略成桩施工对地基土的影响. 4) 基桩未打穿弱透水层，桩侧与土相互关系满足理想弹塑性荷载传递规律，桩端土反力与桩端刺入变形采用线弹性假定. 5) 承压水大面积降水且瞬时完成. 6) 下部含水层压缩性远低于上部弱透水层，忽略抽降承压水引起含水层中的沉降.

基于太沙基一维固结理论，瞬时降承压水条件下土体固结沉降随时间发展的计算式^[16,20]为

(1)$ \begin{split} {s_{\text{s}}} = &\;\frac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}H}}{2} - \frac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}{z^2}}}{{2H}}+ \\ &\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{H^2}{d_1}}}{{{N^2}}}} \cos \left( {\frac{{Nz}}{H}} \right) - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{2{p_{\text{c}}}H}}{{{N^2}}}} {{\text{e}}^{ - {N^2}{T_{\text{v}}}}}{m_{\text{v}}}; \\ {p_{\mathrm{c}}} = &\;{\gamma _{\mathrm{w}}}{h_{\mathrm{c}}}, \; {T_{\mathrm{v}}} = {{{c_{\mathrm{v}}}t}}/{{{H^2}}},\; N = n{\text{π}} . \end{split} $

式中：γ_w为水的重度，m_v为体积压缩系数，c_v为软土层固结系数，t为固结时间，n为正整数.

基于桩单元静力平衡方程和弹性压缩方程，得到桩土荷载传递基本方程：

(2)$ \frac{{{{\text{d}}^2}{s_{\text{p}}}}}{{{\text{d}}{z^2}}} = \frac{{{{\text{d}}^2}s}}{{{\text{d}}{z^2}}}+\frac{{{{\text{d}}^2}{s_{\text{s}}}}}{{{\text{d}}{z^2}}}. $

式中：s_p为桩身竖向位移，s_s为土的竖向位移，s为桩土相对位移. 如图2所示，桩侧荷载传递模型采用理想弹塑性模型^[21]. 根据桩土相对位移的方向和正、负摩阻力的定义，对应的桩侧土的荷载传递函数表示为

(3)$ \tau =\left\{ \begin{array}{ll} ks = k\left( {{s_{\text{p}}} - {s_{\text{s}}}} \right){\text{,}}&-{s_{\text{f}}} \leqslant s \leqslant 0; \\ {\tau _{\text{f}}} = - k{s_{\text{f}}}{\text{, }}&s \leqslant -{s_{\text{f}}}; \\ ks = k\left( {{s_{\text{p}}} - {s_{\text{s}}}} \right){\text{, }}& 0 \leqslant s \leqslant {s_{\text{f}}}; \\ {\tau _{\text{f}}} = k{s_{\text{f}}}{\text{, }}& s \geqslant {s_{\text{f}}}. \end{array} \right. $

式中：k为土体弹性阶段刚度系数，τ_f为弹性阶段桩侧极限摩阻力，s_f为桩侧摩阻力达到极限值时对应的桩-土相对位移. 假定桩端反力P_b与桩端处桩土相对位移s_b满足线性关系^[22]，则平衡方程为

(4)$ {P_{\text{b}}} = {K_{\text{b}}}{s_{\text{b}}}. $

式中：s_b=s_p−s_s；K_b为桩端处的荷载传递函数系数，K_b=dE_b/[η(1−υ²)]. 其中E_b为桩端下卧层的平均弹性模量；η为沉降折减系数，η=0.5~0.78；υ为桩端土体的泊松比；d为桩径.

与如堆载的常规附加应力引起的土体自上而下的固结不同，抽降承压水引起弱透水层固结是自下而上进行的^{[5, 20]}. 根据固结进程不同，以桩土相对位移达到界限位移作为桩土界面弹塑性分界点，桩土界面的变化和桩的受力可分为3个阶段：1)桩侧土均为弹性，2)桩端附近桩侧土进入塑性，3)桩顶附近桩侧土进入塑性.

当桩侧-土界面未达到塑性状态时，假定中性点深度为l₀，桩的受力如图3所示. 联立式(1)~(3)，得到桩土相对位移：

(5)$ \begin{split} {s_1} =&\; {C_1}{{\text{e}}^{\alpha z}}+{C_2}{{\text{e}}^{ - \alpha z}} - \frac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{{{\alpha ^2}H}} - \\ &\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{d_1}}}{{{\alpha ^2}+\dfrac{{{N^2}}}{{{H^2}}}}}} \cos \left( {\frac{{Nz}}{H}} \right){\text{,}}\;\;-{s_{\text{f}}} \leqslant s \leqslant {s_{\text{f}}}.\end{split} $

(6)$ \alpha = \sqrt {\frac{{Uk}}{{{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}}}} . $

式中：C₁、C₂为待定常数，U为桩身截面周长，E_p和A_p分别为桩的弹性模量和截面面积. 轴力表达式为

(7)$ \begin{split} {N_1} =&\; - {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}} \Biggr( {{C_1}\alpha {{\text{e}}^{\alpha z}} - {C_2}\alpha {{\text{e}}^{ - \alpha z}} - \frac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{H}z+} \Biggr. \\ &\Biggr. {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{d_1}N}}{{{\alpha ^2}H+\dfrac{{{N^2}}}{H}}} - \frac{{H{d_1}}}{N}} \right)} \sin \left( {\frac{{Nz}}{H}} \right)} \Biggr){\text{,}}\\&-{s_{\text{f}}} \leqslant s \leqslant {s_{\text{f}}}. \end{split} $

对应的边界条件为

(8)$ \begin{gathered} {N_{1|z= 0}} = 0,\; {P_{\text{b}}} = {k_{\text{b}}}{s_{\text{b}}} = - {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}{\frac{{{\text{d}}{s_{\text{p}}}}}{{{\text{d}}z_{|z = l}}}}. \end{gathered} $

待定系数的表达式为

(9)$ \begin{split} {C_1} =&\, {C_2} = \frac{{\dfrac{{{K_{\text{b}}}}}{{{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}}} \left( {\dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{{{\alpha ^2}H}} + \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{{d_1}}}{{{\alpha ^2}+\dfrac{{{N^2}}}{{{H^2}}}}}} \right) \cos \left( {\dfrac{{Nl}}{H}} \right)} } \right)}}{{\dfrac{{{K_{\text{b}}}}}{{{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}}}\left( {{{\text{e}}^{\alpha l}}+{{\text{e}}^{ - \alpha l}}} \right)+\alpha \left( {{{\text{e}}^{\alpha l}} - {{\text{e}}^{ - \alpha l}}} \right)}} - \\ &\frac{{\left( {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\dfrac{{{d_1}N}}{{{\alpha ^2}H+\dfrac{{{N^2}}}{H}}} - \dfrac{{H{d_1}}}{N}} \right)\sin \left( {\dfrac{{Nl}}{H}} \right) - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}l}}{H}} } \right)}}{{\dfrac{{{K_{\text{b}}}}}{{{E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}}}\left( {{{\text{e}}^{\alpha l}}+{{\text{e}}^{ - \alpha l}}} \right)+\alpha \left( {{{\text{e}}^{\alpha l}} - {{\text{e}}^{ - \alpha l}}} \right)}}. \end{split} $

假定存在深度l₂，使得该深度处对应的桩土相对位移s=s_f，l₂则对应正摩阻力区桩土界面的弹塑性临界点，此时桩的受力如图4所示. 联立式(1)~(3)，得到桩土相对位移表达式为

(10)$ \begin{split}{s_2} =&\; {C_3}{{\text{e}}^{\alpha z}}+{C_4}{{\text{e}}^{ - \alpha z}} - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{{{\alpha ^2}H}} - \\ &\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{d_1}}}{{{\alpha ^2}+\dfrac{{{N^2}}}{{{H^2}}}}}} \cos \left( {\frac{{Nz}}{H}} \right),\; -{s_{\text{f}}} \leqslant s \leqslant {s_{\text{f}}}\,; \\{s_3} = &\;\dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}+{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{z^2} - \\ &\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{H^2}{d_1}}}{{{N^2}}}} \cos \left( {\dfrac{{Nz}}{H}} \right)+{D_1}z+{Q_1},\; s \geqslant {s_{\text{f}}}\,.\end{split} $

式中：C₃、C₄、D₁、Q₁均为待定常数. 轴力表达式：

(11)$ \begin{split} {N_2} =&\; - {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}} \times \\ & \left[ {{C_3}\alpha {{\text{e}}^{\alpha z}} - {C_4}\alpha {{\text{e}}^{ - \alpha z}} - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{H}z+} \right. \\ &\left. {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\dfrac{{{d_1}N}}{{{\alpha ^2}H+\dfrac{{{N^2}}}{H}}} - \dfrac{{H{d_1}}}{N}} \right)} \sin \left( {\dfrac{{Nz}}{H}} \right)} \right]{\text{,}}\\& -{s_{\text{f}}} \leqslant s \leqslant {s_{\text{f}}}\,; \\ {N_3} =&\; - {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\left( {{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}z+{D_1}} \right),\; s \geqslant {s_{\text{f}}}\,.\end{split} $

边界条件与式(8)相同，对应的连续性条件为

(12)$ \begin{gathered} {s_{2|z = {l_2}}} = {s_{3|z = {l_2}}} = {s_{\text{f}}},\; {N_{2|{{z} = {l_2}}}} = {N_{3|{{z} = {l_2}}}}.\end{gathered} $

联立式(10)~(12)，将C₃、C₄、D₁、Q₁用l₂表示：

(13)$ \begin{split} {C_3} = &\;{C_4} = \dfrac{{{s_{\text{f}}}+\dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{{{\alpha ^2}H}}+\dfrac{{{d_1}}}{{{d_1}^2+\dfrac{{{N^2}}}{{{H^2}}}}}\cos \left( {\dfrac{N}{H}{l_2}} \right)}}{{ {{{\text{e}}^{\alpha {l_2}}}+{{\text{e}}^{ - \alpha {l_2}}}} }}, \\ {D_1} = &\;\left( {\dfrac{{{d_1}N}}{{{\alpha ^2}H+\dfrac{{{N^2}}}{H}}} - \dfrac{{H{d_1}}}{N}} \right)\sin \left( {\dfrac{N}{H}{l_2}} \right) - \\ & \left( {\dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{H}+{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}} \right){l_2}+{C_3}\alpha \left( {{{\text{e}}^{\alpha {l_2}}} - {{\text{e}}^{ - \alpha {l_2}}}} \right), \\ {Q_1} = &\;{s_{\text{f}}} - {D_1}{l_2} - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}} + {\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{l_2}^2 + \dfrac{{{H^2}}}{{{N^2}}}\cos \left( {\dfrac{N}{H}{l_2}} \right). \end{split} $

将式(13)代入桩端边界条件式(12)，将式(13)转换为仅与l₂相关的方程：

(14)$ \begin{split} &- {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\left( {{\alpha ^2}{{\text{s}}_{\text{f}}}l+{D_1}} \right) - {\text{ }}{K_{\text{b}}}\left( {\frac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}+{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{l^2} - } \right. \\ &\quad \left. {{\text{ }}\frac{{{H^2}}}{{{N^2}}}\cos \left( {\frac{{Nl}}{H}} \right)+{D_1}l+{Q_1}} \right) = 0. \end{split} $

借助Matlab软件求解式(13)，即可得待定系数C₃、C₄、D₁、Q₁的表达式.

假定存在深度l₁，使得该深度处对应的桩土相对位移$s=-s_{\mathrm{f}} $. 同理，假定存在深度l₂，使得该深度处对应的桩土相对位移$s=s_{\mathrm{f}} $. l₁、l₂分别对应着负摩阻力和正摩阻力区桩土界面的弹塑性临界点，此时桩的受力如图5所示. 联立式(1)~(3)，得到对应的桩土相对位移表达式为

(15)$ \begin{split} {s_4} = &\;\dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}} - {\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{z^2} - \\& \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{H^2}{d_1}}}{{{N^2}}}} \cos \left( {\dfrac{{Nz}}{H}} \right)+{D_2}z+{Q_2},\; s \leqslant - {s_{\text{f}}}; \\ {s_5} = &\;{C_5}{{\text{e}}^{\alpha z}}+{C_6}{{\text{e}}^{ - \alpha z}} - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{{{\alpha ^2}H}} - \\& \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{d_1}}}{{{\alpha ^2}+\dfrac{{{N^2}}}{{{H^2}}}}}} \cos \left( {\dfrac{{Nz}}{H}} \right),\; -{s_{\text{f}}} \leqslant s \leqslant {s_{\text{f}}}; \\ {s_6} =&\; \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}+{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{z^2} -\\& \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\dfrac{{{H^2}{d_1}}}{{{N^2}}}} \cos \left( {\dfrac{{Nz}}{H}} \right)+{D_3}z+{Q_3},\; s \geqslant {s_{\text{f}}}. \end{split} $

轴力表达式为

$\begin{split} {N_4} =&\; - {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\left( { - {\alpha ^2}{s_{\text{f}}}z+{D_1}} \right),\; s \leqslant - {s_{\text{f}}}; \\ {N_5} =&\; - {E_{\text{p}}}{{\text{A}}_{\text{p}}}\left( {{C_3}\alpha {{\text{e}}^{\alpha z}} - {C_4}\alpha {{\text{e}}^{ - \alpha z}} - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{H}z+} \right.\end{split} $

(16)$ \begin{split} &\left. {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\dfrac{{{d_1}N}}{{{\alpha ^2}H+\dfrac{{{N^2}}}{H}}} - \dfrac{{H{d_1}}}{N}} \right)} \sin \left( {\dfrac{{Nz}}{H}} \right)} \right){\text{,}}\\&-{s_{\text{f}}} \leqslant s \leqslant {s_{\text{f}}}; \\ {N_6} =&\; - {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\left( {{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}z+{D_2}} \right),\; s \geqslant {s_{\text{f}}}. \end{split} $

其中C₅、C₆、D₂、D₃、Q₂、Q₃均为待定常数. 边界条件与式(8)相同，对应的连续性条件为

(17)$ \begin{split} &s_{4|{{z} = {l_1}}} = {s_{5|{{z} = {l_1}}}} = - {s_{\text{f}}},\;\; N_{4|{{z} = {l_1}}} = {N_{5|{{z} = {l_1}}}}; \\ &s_{5|{{z} = {l_2}}} = {s_{6|{{z} = {l_2}}}} = {s_{\text{f}}},\;\; N_{5|{{z} = {l_2}}} = {N_{6|{{z} = {l_2}}}}. \end{split} $

联立式(15)~(17),将C₅、C₆、D₂、D₃、Q₂、Q₃用l₁，l₂表示：

(18)$ \begin{split} {{C}_{5}}= &-\left( \alpha {{s}_{\text{f}}}-\dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{\alpha H}-\dfrac{\alpha {{d}_{1}}}{{{d}_{1}}^{2}+\dfrac{{{N}^{2}}}{{{H}^{2}}}}\cos \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{1}} \right) \right)/ \\ & \left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{1}}}} \right)-\left( \dfrac{{{d}_{1}}N}{{{\alpha }^{2}}H+\dfrac{{{N}^{2}}}{H}}-\dfrac{H{{d}_{1}}}{N} \right)\sin \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{1}} \right)/ \\ & \left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{1}}}} \right)+ \left( {{\alpha }^{2}}{{s}_{\text{f}}}-\dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{H} \right){{l}_{2}}/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{1}}}} \right) , \\ {{C}_{6}}= & -\left( \alpha {{s}_{\text{f}}} - \dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{\alpha H} - \dfrac{\alpha {{d}_{1}}}{{{d}_{1}}^{2} + \dfrac{{{N}^{2}}}{{{H}^{2}}}}\cos \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{1}} \right) \right)/ \\ & \left( 2\alpha {{e}^{-\alpha {{l}_{1}}}} \right)+ \left( \dfrac{{{d}_{1}}N}{{{\alpha }^{2}}H+\dfrac{{{N}^{2}}}{H}}-\dfrac{H{{d}_{1}}}{N} \right)\sin \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{1}} \right)/ \\ & \left( 2\alpha {{e}^{-\alpha {{l}_{1}}}} \right)+ \left( {{\alpha }^{2}}{{s}_{\text{f}}}-\dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{H} \right){{l}_{2}}/\left( 2\alpha {{e}^{-\alpha {{l}_{1}}}} \right), \\ {D_2} = &\;0, \\ {D_3} = &\;\left( - {s_{\text{f}}}+\dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}}}{{{\alpha ^2}H}}+\dfrac{{{d_1}}}{{{d_1}^2+\dfrac{{{N^2}}}{{{H^2}}}}}\cos \left( {\dfrac{N}{H}{l_1}} \right) -\right.\\& \left.{C_5}{{\text{e}}^{\alpha {l_1}}} - {C_6}{{\text{e}}^{ - \alpha {l_1}}}\right)\Biggr/\left( {{\dfrac{{{{\text{e}}^{\alpha {l_1}}}}}{{2\alpha {{\text{e}}^{\alpha {l_2}}}}} - \dfrac{{{{\text{e}}^{ - \alpha {l_1}}}}}{{2\alpha {{\text{e}}^{ - \alpha {l_2}}}}}}} \right)+\\& {C_3}\alpha \left( {{{\text{e}}^{\alpha {l_2}}} - {{\text{e}}^{ - \alpha {l_2}}}} \right), \\{Q_2} = &\;- {s_{\text{f}}} - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}} - {\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{l_1}^2 - \dfrac{{{H^2}}}{{{N^2}}}\cos \left( {\dfrac{N}{H}{l_1}} \right), \\ {Q_3} = &\;{s_{\text{f}}} - {D_3}{l_2} - \dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}+{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{l_2}^2 - \dfrac{{{H^2}}}{{{N^2}}}\cos \left( {\dfrac{N}{H}{l_2}} \right). \\[-6pt]\end{split}$

将式(18)代入桩端边界条件以及l₁处连续性条件式(17)，将式(18)转换为仅与l₁，l₂相关的方程组：

$\begin{split} & \left( -\alpha {{s}_{\text{f}}}-\dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{\alpha H}-\dfrac{\alpha {{d}_{1}}}{{{d}_{1}}^{2}+\dfrac{{{N}^{2}}}{{{H}^{2}}}}\cos \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{1}} \right) \right)/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{1}}}} \right)- \\ \end{split} $

(19)$\begin{split} & \left( \dfrac{{{d}_{1}}N}{{{\alpha }^{2}}H+\dfrac{{{N}^{2}}}{H}}-\dfrac{Hd}{N} \right)\sin \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{1}} \right)/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{1}}}} \right)- \\ & \left( {{\alpha }^{2}}{{s}_{\text{f}}}-\dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{H} \right){{l}_{1}}/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{1}}}} \right)- \\ & \left( \alpha {{s}_{\text{f}}}+\dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{\alpha H}+\dfrac{\alpha {{d}_{1}}}{{{d}_{1}}^{2}+\dfrac{{{N}^{2}}}{{{H}^{2}}}}\cos \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{2}} \right) \right)/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{2}}}} \right)+ \\ & \left( \dfrac{{{d}_{1}}N}{{{\alpha }^{2}}H+\dfrac{{{N}^{2}}}{H}}-\dfrac{Hd}{N} \right)\sin \left( \dfrac{N}{H}{{l}_{2}} \right)/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{2}}}} \right)- \\ & \left( {{\alpha }^{2}}{{s}_{\text{f}}}-\dfrac{{{m}_{\text{v}}}{{p}_{\text{c}}}}{H} \right){{l}_{2}}/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{2}}}} \right)-{{D}_{3}}/\left( 2\alpha {{e}^{\alpha {{l}_{2}}}} \right)=0, \\ &- {E_{\text{p}}}{A_{\text{p}}}\left( {{\alpha ^2}{{\text{s}}_{\text{f}}}l+{D_3}} \right) - {K_{\text{b}}}\left( {\dfrac{{{m_{\text{v}}}{p_{\text{c}}}+{\alpha ^2}{s_{\text{f}}}H}}{{2H}}{l^2} - }\right.\\ & \qquad\quad \left.{\dfrac{{{H^2}}}{{{N^2}}}\cos \left( {\dfrac{{Nl}}{H}} \right)+{D_3}l+{Q_3}} \right) = 0. \\[-6pt]\end{split} $

该方程组难以获得显式解，为此借助Matlab软件求得半解析解.

将基桩的基本参数退化为软土，将桩侧-土剪切刚度系数k取趋向于无穷大，此时α也趋向于无穷大，代入式(4)、式(7)，得到“虚土桩”的桩土相对位移为0，此时可退化成式(1)中弱透水层底部降承压水时土体沉降.

以文献[23]、[24]为背景构建算例，基本计算参数为弱透水层厚度H =40 m、压缩模量E_S=1.6 MPa、泊松比υ =0.35、桩身弹性模量E_p =30 GPa、桩长l=30 m、直径d=0.6 m，假定桩顶荷载为0、桩土界限位移s_f=0.002 m^[25-27]. 承压水降深h_c=5 m. 采用Plaxis 3D软件，针对该算例建立有限元数值分析模型，满足第1章中的基本假设，且当土体采用线弹性模型时，Plaxis假定压缩模量为定值. 采用Embeded桩约束考虑桩-土之间理想弹塑性的相互作用，土体与桩身参数与温州金都大厦的地层和桩基静载试验数据^[23-24]相同. 承压含水层大面积瞬时降水通过改变弱透水层底部水头边界进行控制. 模型的有限元网格划分如图6所示，进行瞬时降承压水下桩土相互作用的过程模拟. 如图7所示为理论解和有限元数值解得到的桩顶沉降s_ph随固结时间t的变化，由图可知，理论解与数值解吻合较好，验证了本研究理论解的合理性.

以文献[23]、[24]的地层和桩基静载试验数据为背景构建算例，进一步探讨固结时间、桩长、桩径以及降水深度等参数变化对抽降承压水引发弱透水层中基桩受力变形的影响.

将算例参数代入式(1)~ (19)，得到抽降承压水引起的弱透水层固结过程中桩侧-土接触面的相对位移s_z（桩、土沉降差）和桩身摩阻力τ_z. 如图8所示为固结时间t对桩土关系的影响. 图8(a)中，固结前期，桩侧均为负摩阻力，且负摩阻力不断增长，随着固结的进行，桩端附近出现正摩阻力并率先达到极限且逐渐向上扩展，随后桩顶负摩阻力区达到极限并逐渐向下扩展. 这与桩顶加载情况桩长深度范围内只存在正摩阻力^[28-29]的分布不同，正、负摩阻力沿深度的发展进程也与地表堆载情况下“上部先于下部达到极限摩阻力的过程”的认识 ^[30-31]有明显区别，其原因主要是承压水降水引起的土体固结进程与地表堆载引发的土体固结进程不同. 图8(b)中，在固结前期，桩侧均为负摩阻力，轴力N_z随着深度和时间不断增大，随着固结的进行，桩侧出现正摩阻力，此时轴力出现拐点，即中性点，且中性点随着时间发展不断上移并趋于稳定.

如图9所示为不同时刻土体的竖向应变随深度的分布. 可以看出，土层底部的应变明显大于上部，且土体应变沿深度呈非线性分布，随着时间的增长，固结完成后最终发展成线性分布，说明承压水降水引起的土体压缩是自下及上发展的，上部土层的压缩滞后于下部土层. 通过荷载传递法对桩侧-土界面假定存在如图3~5所示的3种情况和发展变化过程，正是基于降承压水引起的弱透水层固结压缩发展规律的认识提出的.

桩的长细比是桩基础设计中须着重考虑的参数，当桩长不变时，长细比的变化即代表桩径的变化. 假定桩长不变，l=30 m，分别取d=0.6 、0.8、1.2 m. 如图10所示为桩径对降承压水引起桩土相互作用的影响. 桩径越大，摩阻力发展越快，桩端附近桩土界面塑性段越小，轴力越大. 原因是桩径越大，桩的端承性质越强，桩端刺入变形越小，桩土相对位移越小，因而桩端附近界面塑性端越短，轴力越大. 此外，由轴力的拐点可知，中性点深度随桩径增大下移. 如图11所示，桩顶沉降随着桩径的增大而减小，因而工程中适当控制桩径有助于缓解承压水降水引起的桩身沉降过大问题.

采用桩长与弱透水层厚度之比（l/H）将桩长退化成无量纲参数，如图12所示为桩长对降承压水引起桩土相互作用的影响. 可以发现，固结前期桩侧均为负摩阻力，桩长越短，负摩阻力越大，且桩端附近的负摩阻力发展更快，但是当桩长足够大时，摩阻力沿深度的分布会出现反弯点. 原因是固结前期仅在桩端以下土层发生固结，桩侧均为负摩阻力；对于桩长越长的桩，桩侧土越先发生固结，因而桩端处桩土作用关系会发生变化，减缓了负摩阻力作用，出现反弯点. 随着固结的进行，桩侧-土接触面作用更充分，则桩长越长，摩阻力的发展越快. 由图12(b)可知，桩长越长，轴力越大，中性点深度随桩长增加有相对下移的趋势. 在固结时间由10 d延长至50 d的过程中，桩端附近轴力的减小也反映了由于桩侧土固结介入引起的桩土作用关系的变化.

桩长对桩顶沉降的影响如图13所示，桩长越大，桩顶沉降速率越慢，最终沉降越小. 可见桩长过短会使固结前期桩土相对位移更大，且由于承压水降水是自下而上固结的，桩长越短，桩端以下的桩土共同沉降越大，桩身沉降越大. 因此，在承压水大范围降水的工况下桩未打穿弱透水层时，桩长的增加对减小桩身沉降效果显著.

如图14所示为承压水降深对桩土相互作用的影响. 当降水深度等比例增加时，桩身沉降增量略小于承压水降深比例增量，即相比降水深度的变化，桩身沉降趋势略缓. 此外，降水深度越大，桩身沉降越大，桩身轴力越大.

基于大面积抽降承压水引起弱透水层沉降的解答，考虑理想弹塑性的桩侧和线弹性的桩端与土的相互作用关系，通过荷载传递法得到瞬时降承压水作为主要诱因时，未打穿自由单桩的桩侧摩阻力、桩身位移和轴力随固结进程的半解析解. 1) 抽降承压水时弱透水层底部边界水头发生变化，越流作用引起有效应力变化使弱透水层土体产生固结沉降，诱发桩的受力变形. 2) 当以承压水降水为主要诱因时，摩阻力的变化与桩基工程传统的“上部先于下部达到极限摩阻的过程”的认识不同，上部土层的压缩滞后于下部土层；桩身下部桩土相对位移较大，将率先达到极限摩阻. 3) 桩径越大，桩顶沉降越小但桩身轴力越大；承压水降深越大，桩身轴力和桩顶沉降越大；桩长越长，桩身轴力越大，中性点深度随桩长增加有相对下移的趋势，增加桩长可显著减小未打穿弱透水层的单桩的沉降. 上述关于降承压水引起软黏土中自由单桩受力变形分析未考虑桩顶既有荷载的影响. 下一步，将引入桩顶荷载，讨论分步加载对软黏土中自由单桩受力变形的影响.