桥梁影响线反映了移动荷载与桥梁位移之间的静力关系，在桥梁结构设计、模型修正、最不利位置评估、桥梁动态称重系统、承载能力评估和损伤识别等领域^[1-7]具有广泛应用. 准确识别桥梁影响线对于保障桥梁设计的可靠性和健康监测的精准性至关重要.

过去研究表明，采用移动车辆加载的方法可以有效提高桥梁影响线的识别效率^[8]，这一领域的研究已经引起广泛关注. Obrien等^[9]基于影响系数的基本概念和车致桥梁响应分析，采用矩阵法成功实现了桥梁影响线的识别. Ieng^[10]利用极大似然估计法提高对影响线的识别精度，在多次测试中表现良好. 在考虑车辆荷载的情况下，桥梁响应包含静态和动态成分，其中动态成分容易受到车速、路面不平度和噪声影响而产生扰动，是影响线识别精度的主要影响因素. 陈志为等^[11]为了解决影响线测试中路面不平度和动力效应静力因素引入正则化方法，以消除不合理波动对于影响线的二维拓展——影响面识别问题. 王宁波等^[12]采用多项式分段拟合的方法去除桥梁振动的干扰，从而实现对影响线的提取. Yan等^[13]从概率频域的角度提出利用静力响应传递比函数法识别影响线. Mustafa等^[14]利用低通滤波技术提出桥梁响应的动态成分，从而提高桥梁影响线的识别精度. Khuc等^[15]通过迭代逼近的方法成功将影响线识别拓展到宽桥的影响面识别. 此外，周宇等^[16-17]从数学模型的角度证明了影响线的解析表达和可识别性.

影响线的识别精度直接受静态响应提取的准确性影响. 尽管在这方面前人已取得显著进展，但仍然存在对车速、路面不平度和噪声等扰动敏感的问题. 为了解决这一难题，Zheng等^[18-19]提出采用经验模态分解（empirical mode decomposition, EMD）的方法，以剔除动态成分，并同时应用正则化方法求解影响线识别的反问题，从而有效提高影响线识别的精度. 然而，由于EMD和正则化方法的精度受到限制，影响线识别结果仍然存在一些误差，如局部扰动和边界效应.

为了克服这类方法在桥梁影响线识别中的不足，提出结合变分模态分解（variational mode decomposition，VMD）^[20]和分段多项式截断奇异值分解（piecewise polynomial truncated singular value decomposition，PPTSVD）^[21]的新型桥梁影响线识别方法. 该方法通过VMD将桥梁响应分解为多个固有模态函数（intrinsic mode functions，IMFs），并通过调整截断频率提取低阶IMFs的准静态成分，从而捕捉桥梁的动态响应特征. PPTSVD技术被应用于从准静态响应中识别桥梁影响线，并针对噪声和扰动进行优化，解决了反问题中的不适定性问题. 这一方法结合了VMD和PPTSVD的特点，提供新的框架来改进桥梁影响线识别的过程.

如图1所示为车桥耦合模型示意图. 图中，$ {m_{{\text{v}}1}} $、$ {y_{{\text{v}}1}} $、$ {I_{{\text{v1}}}} $、$ {\theta _{{\text{v}}1}} $分别为前部车体的质量、竖向位移、转动惯量和转角位移，$ {m_{{\text{v}}2}} $、$ {y_{{\text{v}}2}} $、$ {I_{{\text{v}}2}} $、$ {\theta _{{\text{v}}2}} $分别为后部车体的质量、竖向位移、转动惯量和转角位移，$ {k_{{\text{s}}i}} $、$ {c_{{\text{s}}i}} $、$ {k_{{\text{t}}i}} $、$ {c_{{\text{t}}i}} $、$ {m_{{\text{t}}i}} $、$ {y_{{\text{t}}i}} $分别为第$ i{\text{ }}(i = 1 \sim 4) $个车轴的悬挂刚度、悬挂阻尼、轮胎刚度、轮胎阻尼、车轴质量和车轴竖向位移，$r({x_i})$、$\dot r({x_i})$分别为第$i$个车轴在位置${x_i}$处的路面不平度及其对时间的导数，${y_{\text{b}}}({x_i})$、${\dot y_{\text{b}}}({x_i})$分别为第$i$个车轴在位置${x_i}$处的桥梁竖向位移和速度. 所采用的桥梁为等跨径的三跨连续梁桥，每一跨的长度为$l$. 桥梁的刚度$EI$由弹性模量$E$和截面惯性矩$I$决定. 每延米桥梁的质量为$\rho $，阻尼比为$\xi $.

所用车辆为单辆四轴车，其前部车体和后部车体被简化为刚体，两者通过铰接连接. 由于铰接的存在，两车体仅有3个自由度，即前部车体的转动以及后部车体的竖向平动和转动. 车辆悬挂和轮胎悬挂被简化为弹簧阻尼器，车轴质量被简化为1个具有竖向平动自由度的刚体，整个车辆总共有7个自由度.

车桥耦合系统的动力方程如下：

(1)$ \begin{split} &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{M}}_{\text{b}}}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{M}}_{\text{v}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\boldsymbol{\ddot y}}}_{\text{b}}}} \\ {{{{\boldsymbol{\ddot y}}}_{\text{v}}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{C}}_{\text{b}}} + {{\boldsymbol{C}}_{{\text{bb}}}}}&{{{\boldsymbol{C}}_{{\text{bv}}}}} \\ {{{\boldsymbol{C}}_{{\text{vb}}}}}&{{{\boldsymbol{C}}_{\text{v}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\boldsymbol{\dot y}}}_{\text{b}}}} \\ {{{{\boldsymbol{\dot y}}}_{\text{v}}}} \end{array}} \right] + \\ &\qquad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{K}}_{\text{b}}}+{{\boldsymbol{K}}_{{\text{bb}}}}}&{{{\boldsymbol{K}}_{{\text{bv}}}}} \\ {{{\boldsymbol{K}}_{{\text{vb}}}}}&{{{\boldsymbol{K}}_{\text{v}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{y}}_{\text{b}}}} \\ {{{\boldsymbol{y}}_{\text{v}}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{F}}_{\text{b}}}} \\ {{{\boldsymbol{F}}_{\text{v}}}} \end{array}} \right].\end{split} $

式中：$ {{\boldsymbol{M}}_{\text{b}}} $、$ {{\boldsymbol{C}}_{\text{b}}} $和$ {{\boldsymbol{K}}_{\text{b}}} $分别为桥梁的质量、阻尼和刚度矩阵，$ {{\boldsymbol{M}}_{\text{v}}} $、$ {{\boldsymbol{C}}_{\text{v}}} $和$ {{\boldsymbol{K}}_{\text{v}}} $分别为车辆的质量、阻尼和刚度矩阵，$ {{\boldsymbol{\ddot y}}_{\text{b}}}(t) $、$ {{\boldsymbol{\dot y}}_{\text{b}}}(t) $和$ {{\boldsymbol{y}}_{\text{b}}}(t) $分别为桥梁各自由度的加速度、速度和位移向量，$ {{\boldsymbol{\ddot y}}_{\text{v}}}(t) $、$ {{\boldsymbol{\dot y}}_{\text{v}}}(t) $和$ {{\boldsymbol{y}}_{\text{v}}}(t) $分别为车辆各自由度的加速度、速度和位移向量，$ {{\boldsymbol{F}}_{\text{b}}} $和$ {{\boldsymbol{F}}_{\text{v}}} $分别为车桥耦合系统的荷载向量；$ {{\boldsymbol{C}}_{{\text{bb}}}} $、$ {{\boldsymbol{C}}_{{\text{bv}}}} $、$ {{\boldsymbol{C}}_{{\text{vb}}}} $、$ {{\boldsymbol{K}}_{{\text{bb}}}} $、$ {{\boldsymbol{K}}_{{\text{bv}}}} $和$ {{\boldsymbol{K}}_{{\text{vb}}}} $分别为实现车辆系统和桥梁系统耦合的矩阵. 这些矩阵的具体形式见附录. 通过式（1）即可得到车辆荷载作用下的桥梁响应，采用的求解方法为HHT-α时间积分法^[22].

桥梁在行驶车辆作用下产生的位移或应变存在不稳定的动态波动，导致这类桥梁的响应不能直接用于桥梁影响线识别，须提前提取出桥梁的准静态响应. 本研究提出利用VMD算法提取桥梁的准静态响应. VMD假设将桥梁动态的原信号$f(t)$分解成若干子信号：

(2)$ f(t) = \sum\nolimits_{k = 1}^K {{g_k}(t)}. $

式中：$K$为指定分解的模态阶数，${g_k}(t)$为第$k$阶IMF，$t$为时间.

VMD将各阶IMF定义为调幅调频的窄带宽信号，其表达式如下：

(3)$ {g_k}(t) = {A_k}(t)\cos\; (\varphi (t)). $

式中：${A_k}(t)$为振幅，$\varphi (t)$为相位.

通过Hilbert变换，能够将实信号${g_k}(t)$转换为仅具有单边频谱的复信号，其变换公式如下：

(4)$ \left( {\delta (t)+\frac{{\rm{j}}}{{{\text{π}} t}}} \right)*{g_k}\left( t \right). $

式中：$\delta (t)$为Dirac函数，${\rm{j}}$为虚指数，$*$为卷积算子.

在信号中混入一个中心频率为${\omega _k}$的信号，在频域上等效于频率移动了${\omega _k}$，在时域上等效于将子信号乘以${\exp\;({ - {\mathrm{j}}{\omega _k}t}})$：

(5)$ \left( {\delta (t)+\frac{{\rm{j}}}{{{\text{π}} t}}} \right)*{g_k}\left( t \right) \exp\; ( - {\rm{j}}{\omega _k}t). $

进而可利用以下公式估计子信号的带宽：

(6)$ \left\| {{\partial _t}\left( {\delta (t)+\frac{{\rm{j}}}{{{\text{π}} t}}} \right)*{g_k}\left( t \right) \exp\; ( - {\rm{j}}{\omega _k}t)} \right\|_2^2. $

VMD基于2个假设构建目标函数：1）最小化各子信号的带宽之和；2）确保各子信号相加的总和等于原信号. 基于这2个假设，目标函数可以定义为

(7)$ \left.\begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{\left\{ {{g_k}} \right\}\left\{ {{\omega _k}} \right\}} \left\{ {\left\| {{\partial _t}\left( {\delta (t)+\frac{{\rm{j}}}{{{\text{π}} t}}} \right)*{g_k}\left( t \right) \exp\; ( - {\rm{j}}{\omega _k}t)} \right\|_2^2} \right\}; \\ {\rm{s}}.{\rm{t}}.\;f(t) = \sum\nolimits_{k = 1}^K {{g_k}(t)}. \\ \end{gathered} \right\}$

式（7）为一个带有约束的泛函，通过引入拉格朗日乘子，可将该问题转化为一个无约束的最优化问题，其形式如下：

(8)$ \begin{split} &{l (\{ {g_k}\} ,\{ {\omega _k}\} ,\{ \lambda \} ) = \alpha \sum\nolimits_{k = 1}^K {\Big\| {{\partial _t}\left( {\delta (t) + \frac{{\rm{j}}}{{{\text{π}} t}}} \right)*} } }\\&\qquad{ {{g_k}\left( t \right) {\rm{exp}}\;( - {\rm{j}}{\omega _k}t)} \Big\|_2^2 + \left\| {f(t) - \sum\nolimits_{k = 1}^K {{g_k}} (t)} \right\|_2^2 + }\\&\qquad{\langle \lambda (t),f(t) - \sum\nolimits_{k = 1}^K {{g_k}} (t)\rangle }.\end{split}$

式中：$\alpha $为惩罚因子，$\lambda(t) $为拉格朗日乘子.

可应用交替方向乘子法迭代求解式（8），在第$m$次迭代后第$k$阶IMF在频域上的表达式如下：

(9)$ \hat g_k^m\left( \omega \right) = \frac{{\hat f\left( \omega \right) - \sum\limits_{z \ne k} {{{\hat g}_z}\left( \omega \right)} +{{\hat \lambda \left( \omega \right)}}/{2}}}{{1+2\alpha {{(\omega - {\omega _k})}^2}}}. $

式中：$\hat g$、$\hat f$和$\hat \lambda $分别为IMF、原信号和拉格朗日乘子的傅里叶变换.

如式（9）所示信号的中心频率的表达式如下：

(10)$ \omega _k^m = \frac{{\int_0^\infty {\omega {{\left| {{{\hat g}_k}\left( \omega \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\omega } }}{{\int_0^\infty {{{\left| {{{\hat g}_k}\left( \omega \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\omega } }}. $

须指出的是，每一次迭代完成后都须更新拉格朗日乘子，第$m$次迭代后的拉格朗日乘子为

(11)$ {\hat \lambda ^m}(\omega ) \leftarrow {\hat \lambda ^{m - 1}}(\omega )+\tau \left( {\hat f(\omega ) - \sum\nolimits_{k=1}^K {\hat g_k^m(\omega )} } \right). $

式中：$\tau $为更新参数.

判定迭代收敛的条件如下：

(12)$ \sum\nolimits_{k=1}^K {\frac{{\left\| {\hat g_k^m(\omega ) - \hat g_k^{m - 1}(\omega )} \right\|_2^2}}{{\left\| {\hat g_k^{m - 1}(\omega )} \right\|_2^2}}} < \varepsilon. $

式中：$ \varepsilon $为误差容限. 对$ \hat g_k^m(\omega ) $作傅里叶逆变换即可得到各阶子信号的时域信号，表达式如下：

(13)$ {\hat g_k}(t) = {\varGamma ^{ - 1}}({\hat g_k}(\omega )). $

式中：${\hat g_k}(t)$为VMD分解出的各阶子信号，$ {\varGamma ^{ - 1}} $为傅里叶逆变换算子.

基于上述理论，可从原始信号中分解出指定阶数的IMF，每个IMF包含一个中心频率，通过设置截止频率，可以筛选出低于该截止频率的IMF. 将这些低阶IMF叠加在一起，即可得到桥梁的准静态响应.

桥梁影响线与桥梁响应之间可建立如下数学关系：

(14)$ {\boldsymbol{\varOmega x}} = {\boldsymbol{y}}. $

式中：$ {{\boldsymbol{\varOmega }}} $为车辆在桥梁上的位置矩阵，矩阵维数为p×q，$ p $为总时间步数，$ q $为单个车轴作用在桥梁上的时间步数；$ {\boldsymbol{x}} $为桥梁的影响线；$ {\boldsymbol{y}} $为提取出的桥梁准静态响应，一般为位移或应变. 一般地，为了使系数矩阵为方阵可将式（14）转化为

(15)$ {\boldsymbol{Ax}} = {\boldsymbol{b}} .$

式中：${\boldsymbol{A}} = {{\boldsymbol{\varOmega }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varOmega }}$，$ {\boldsymbol{b}} = {{\boldsymbol{\varOmega }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{y}} $. 最小二乘（least squares，LS）法通过$ {\boldsymbol{x}} = {\boldsymbol{A}}\backslash {\boldsymbol{b}} $求解该方程，但当桥梁响应包含较多的动态成分或噪声时，LS求得的结果可能包含较大的误差，导致影响线识别不准确. 为此，提出分段多项式截断奇异值分解的方法求解式（15）.

首先对矩阵${\boldsymbol{A}} $作奇异值分解，其过程如下：

(16)$ {\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{U\varSigma }}{{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}. $

式中：${\boldsymbol{U}} $、${\boldsymbol{\varSigma }} $和${\boldsymbol{V}} $分别为左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵，且满足${{\boldsymbol{U}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{U}} = {{\boldsymbol{V}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{V}} = {\boldsymbol{I}}$.

通过截取奇异值矩阵分解中前$\gamma $阶分量，消除高阶噪声的干扰，以提高求解结果的精度，过程如下：

(17)$ {{\boldsymbol{A}}_\gamma } = \sum\limits_{i = 1}^\gamma {{{\boldsymbol{u}}_i}{{\boldsymbol{\sigma }}_i}{{\boldsymbol{v}}_i}}. $

式中：$0 < \gamma \leqslant p$，${{\boldsymbol{u}}_i} $、${{\boldsymbol{\sigma }}_i} $和${{\boldsymbol{v}}_i} $分别为第i阶左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵. 分段多项式截断奇异值分解(PPTSVD)通过求解目标函数的最优解来求解影响线$ {\boldsymbol{x}} $，该目标函数定义为

(18)$ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {\min\; {{\left\| {{{({{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{A}})}_\gamma }{\boldsymbol{x}} - {{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{b}}} \right\|}_2}}, \\ {\min\; {{\left\| {{\boldsymbol{Lx}}} \right\|}_1}} .\end{array}} \right\} $

式中：$ {\Vert ·\Vert }_{1} $和$ {\Vert ·\Vert }_{2} $分别为1范数和2范数，$ {\boldsymbol{L}} $为正则化矩阵. $ {\boldsymbol{L}} $的形式如下：

(19)$ {\boldsymbol{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{r}}1&{ - 1}&0& \cdots &0&0\\0&1&{ - 1}& \cdots &0&0\\ \vdots & \vdots & \vdots &{}& \vdots & \vdots \\0&0&0& \cdots &1&{ - 1}\end{array}} \right]. $

上述内容总结了本研究提出的方法的所有技术过程，其实施路径如图2所示.

数值案例的桥梁模型为如图1所示的三跨连续梁桥，每跨长度$l = 48$ m，单位长度内的质量$ \rho = 5\;410 $ kg/m，桥梁抗弯刚度$EI = 7 \times {10^{10}}{\text{ N}} \cdot {{\text{m}}^2}$，桥梁的前4阶自振频率分别为1.73、2.22、3.24、6.92 Hz，为了保证计算精度，设定积分步长为0.01 s. 桥梁阻尼比$\xi = 2{\text{%}} $，根据瑞利阻尼模型，设定桥梁阻尼参数为$\alpha = 0.15$，$\beta = 3.95 \times {10^{ - 4}}$.

车辆参数的选择以及路面不平度生成可参考文献[23]~[25]. 路面不平度$\kappa $考虑了S级（光滑）、A级、B级和C级4个等级. 假设桥梁上的位置坐标用$x$表示，仿真工况次数用$n$表示，仿真案例共测试了500组工况，每组工况的车速$v$在5~20 m/s随机抽取，路面不平度也从以上4个等级中随机选取. 仿真案例以识别桥梁位移影响线为例，验证所提方法的准确性.

本研究中影响线的识别误差^[24]定义如下：

(20)$ \zeta {\text{ = }}\frac{{\left[ {\dfrac{1}{p}\sum {{{({\phi _{\text{i}}} - {\phi _{\text{t}}})}^2}} }\right]^{1/2} }}{{{\phi _{{\text{tmax}}}} - {\phi _{{\text{tmin}}}}}} \times 100{\text{%}}. $

式中：$ {\phi _{\text{i}}} $和$ {\phi _{\text{t}}} $分别为识别出的影响线和影响线真值，$ {\phi _{{\text{tmax}}}} $和$ {\phi _{{\text{tmin}}}} $分别为影响线真值中的最大值和最小值.

VMD分解得到的每一个IMF都携带有中心频率f_c的信息，通过设定截断频率，可以筛选出中心频率低于截断频率的IMF，并在时域上将这些筛选出的IMF叠加，即可得到桥梁的准静态响应. 以如图3所示的桥梁位移为例，为了便于展示，设定仅将原信号分解成3个IMF，每个IMF的中心频率分别为0.13、1.75、13.68 Hz. 图中，${\text{IM}}{{\text{F}}_1}$为0.13 Hz子信号、${\text{IM}}{{\text{F}}_2}$为1.75 Hz子信号、${\text{IM}}{{\text{F}}_3}$为13.68 Hz子信号. 当取1.00 Hz作为截止频率时，筛选出的第1阶IMF即为桥梁的准静态位移. 第2阶IMF的中心频率与桥梁的第1阶自振频率基本一致，表明VMD能有效地将桥梁的第1阶模态振动信号分离出来. 第3阶IMF的形式与噪声相似，这是因为桥梁高阶模态的能量相对较小，VMD将其与噪声一同分解出来.

为了探究截止频率的合理取值，分析不同截止频率下的准静态响应分解误差，结果如图4所示. 可以看出，当截止频率取在桥梁基频附近时，分解误差产生了突变. 因为当截止频率大于桥梁基频时，分解结果中将引入桥梁位移中的第1阶振动信号，导致分解结果不准确. 因此，截止频率应小于桥梁基频，同时应避免在桥梁基频附近取值，以保证所提方法能准确地剔除基频信号. 本研究建议截止频率为0.5倍桥梁基频.

为了进一步验证VMD的分解精度，如图5（a）所示展示了VMD与EMD的对比结果，发现两者均能准确地从桥梁位移中提取出桥梁的准静态位移. 然而，EMD的结果在局部位置存在细微的波动，特别是在跨中和边缘部位. EMD和VMD的提取误差分别为0.79%和0.49%. 如图5（b）所示展示了4种方法识别影响线的结果，分别为EMD-LS、VMD-LS、EMD-PPTSVD和VMD-PPTSVD，识别误差分别为1.39%、0.81%、1.00%、0.56%. 由于EMD提取的桥梁准静态位移包含更大的误差，因此基于EMD的影响线识别结果精度也更差. VMD分解算法表现出更好的精度，因此其识别出来的影响线更为准确. 此外，基于PPTSVD的算法相较于最小二乘方法的结果更光滑且精度更高.

进一步地，VMD和EMD针对500组工况的提取误差如图6（a）所示，VMD和EMD的误差均值分别为0.31%和0.74%，前者的分解精度明显高于后者. 如图6（b）所示展示了4种算法识别影响线的结果，按顺序的误差中位数分别为1.37%、0.50%、0.66%和0.30%. 所提方法（即VMD-PPTSVD）不仅在误差中位数上表现最好，而且误差异常点最少，表明该方法不但识别精度高，且识别能力稳定、适应性强.

如图7所示展示了在不同路面等级下识别出的影响线误差. S到C级的误差中位数分别为0.26%、0.28%、0.31%和0.33%. 即使在C级路面情况下，所提出的方法识别出的影响线误差仍然保持在小于1.00%的水平，表明所提方法能够有效克服路面不平度对识别结果的影响.

在测试的500组工况中，每组工况的车速在5~20 m/s均匀随机抽取，如图8所示展示了所有工况中识别误差与车速之间的关系. 由于车桥耦合系统的动态效应，影响线识别精度会表现出随机性，这导致误差最大值并不是出现在速度最大的时候. 总体而言，随着车速的增加，识别误差也呈现增加的趋势，但误差依然处于较低的水平，最大误差约为1.04%.

本研究分析了不同信噪比对识别结果的影响，设定信噪比$\chi $范围为20~30，共11组工况. 每组均进行了500次测试，误差结果如图9所示. 须提前指出的是，信噪比越高，信号内的噪声含量越低，信号质量越好. 图中，随着信噪比的增加，所提方法的误差中位数也随之减少，当信噪比达到32时，误差中位数也趋于稳定，异常点也相对较少，说明此时噪声对结果的影响最小.

如图10所示展示了信噪比最低时（SNR=20）时，识别误差为1.24%（最大）的识别结果. 由图10（a）可以看出，受到动态扰动和噪声的影响，桥梁位移呈现出明显的不稳定特征，但所提方法依然能较为准确地从中提取出桥梁准静态位移，并从中识别出桥梁影响线（见图10（b））. 从图10（b）中可以看出，误差主要来源于桥尾位置处的偏离，这主要是模态分解算法普遍存在的边界效应^[26]（即边界处容易分解不彻底）引起的.

为了进一步验证所提方法的准确性，进行实验室试验，试验装置图如图11所示. 桥面板为一块长度为5000 mm、宽度为1000 mm、厚度为3 mm的钢板. 桥面板固定在4根T形钢梁上，各T形钢梁由一些横梁相互连接，桥梁构造如图11(a)、(b)所示. T型钢梁顶板和腹板厚度分别为9.0、6.5 mm，梁高和梁宽如图11(d)所示. 桥面板和T梁均为钢结构，弹性模量为$2 \times {10^{11}}$ Pa，泊松比为0.3. 试验车辆为一辆电驱动两轴车辆，其轴距为350 mm. 2个激光位移传感器分别安装在主梁1和主梁3的跨中，编号分别为D1和D2，如图11 (a)、(b)所示.

在桥梁测试过程中，车辆以不同的速度穿过桥梁，测量到的响应如图12所示. 不同速度下的位移响应序列长度不一样，为了便于对比，采用归一化时长$ {t_{\text{n}}} $作为位移时程对比的横轴. 实测位移在静态位移的基础上包含了动态分量(波动干扰)，随着车速的增加，动态分量越来越显著. 这表明随着车速的增加，车辆与桥梁之间的动力振动变得更加剧烈.

影响线识别结果如图13所示，可以看出各工况下，识别出的影响线均与真值具有较高的吻合度. 误差如表1所示，随着车速的增加，D1和D2的识别误差均有所增加，但增加的幅度较小，最大误差仅2.23%. 实验室试验说明了本研究所提方法具有较高的精度，进一步证明了该方法的可行性和准确性.

（1）相较于经典的经验模态分解和最小二乘方法，VMD-PPTSVD方法能更有效地提取桥梁准静态响应并克服扰动成分的影响，稳定性和适应性较强，具有更高的影响线识别精度.

（2）VMD-PPTSVD在面对不同等级路面时均表现出精确的识别精度，即便在C级路面下，识别误差的最大值仅约为1.00%.

（3）随着车速的增加，VMD-PPTSVD的识别精度略有下降，但最大误差仅约为1.04%.

（4）随着信噪比的降低，VMD-PPTSVD的识别精度轻微下降，其在应对噪声干扰时表现出较强的鲁棒性，当SNR=20时，最大识别误差为1.24%.

（5）本研究所提的识别影响线方法须中断交通，研究正常通行状态下的桥梁影响线识别将是下一步的研究方向.