复合地基能够提高软土地基承载性能并减少沉降量，被广泛应用于各种软基加固工程^[1]. 龚晓南^[2]指出，复合地基的本质是桩和桩间土共同直接承担荷载. 众多学者通过现场、室内试验^[3-5]和数值模拟^[6-8]等方法，系统研究了复合地基的荷载传递机理和沉降特性. 在复合地基沉降解析计算方面，Alamgir等^[9]推导了柔性基础复合地基桩身应力、桩侧摩阻力和沉降计算的解析式，但采用的位移模式没有考虑桩土相对滑移. 杨涛^[10]在Alamgir等^[9]的研究基础上提出“中性点”的概念，重新假定了桩侧摩阻力的分布形式. 吕文志等^[11]基于文献[9]的位移模式，将基础、垫层、复合地基和下卧层土体视为共同作用的系统，考虑了系统各部分的应力和变形协调. 曹文贵等^[12-13]改进文献[14]的位移模式，考虑桩土相对滑移及桩、土、垫层在分界面处的变形协调，得到柔性桩复合地基沉降的计算方法. 罗强等^[15]建立非均匀变化的桩侧摩阻力分布模型，推导了刚性桩复合地基沉降和桩土应力比的解析式. 俞建霖等^[16-17]基于荷载传递法，考虑界面相对位移对界面侧摩阻力的影响，研究了砼芯水泥土桩复合地基的工作性状和沉降计算方法.

复合地基主要应用于陆上地基处理工程，设计时垫层厚度一般取0.2~0.6 m^{[6,11-12,15-16]}，置换率一般不超过0.2^[10-16]. 海底复合地基位于复杂的海洋环境，施工较为困难，为了保证施工质量，往往采用垫层厚度大、置换率高的地基处理方式. 深中通道大规模使用深层水泥搅拌（deep cement mixing，DCM）桩处理海底沉管隧道地基，碎石垫层厚度达到1 m，DCM桩置换率为0.41~0.48，与常规的陆上复合地基不同^[18]. 垫层厚度和置换率会影响复合地基的荷载传递机理和沉降特性^[4,6,11,15]，DCM桩复合地基现场荷载板试验的结果也反映出类似的规律^[19]. 忽视垫层的自身沉降^[9-11]，未全面考虑垫层、复合地基和下卧层的应力变形协调^[12-15]，使得现有计算方法不适用于海底DCM桩复合地基的沉降计算. 海底DCM桩复合地基在项目中的成功应用已有报道^[20-21]，但是相关理论研究落后于工程实践，有必要对其荷载传递机理和沉降特性开展系统研究.

本研究在DCM桩复合地基现场荷载板试验结果的基础上，考虑厚垫层对复合地基沉降特性和荷载传递机理的影响，将碎石垫层、复合地基和下卧层视为共同作用的系统，考虑三者在分界面处应力和变形的耦合关系，分析碎石垫层、桩体以及地基土体的荷载传递规律和沉降特性. 将计算结果与现场实测数据进行对比，验证所提理论计算公式的合理性，在此基础上进一步分析置换率和垫层柔度系数对海底DCM桩复合地基的荷载传递机理及沉降特性的影响规律.

深中通道隧道总长6 845 m，其中敞开段长695 m，暗埋段长1 115 m，沉管段长5 035 m^[18]. 深中通道沉管隧道西岛斜坡段DCM桩采用单桩式布置形式，单桩直径为1.3 m，搭接为0.3 m，4桩一簇，等效直径约为2.3 m. 单桩纵向间距为3 m，根据上部荷载的大小，横向间距分为3、4、5 m 3种，综合置换率为41%~47.4%^[19].

为了研究DCM桩复合地基的沉降变形规律，在西岛斜坡段开展现场荷载板试验. 如图1所示，试验区域桩长18 m，采用3 m×3 m的布置形式.如表1所示，试验区域土体及结构计算参数由室内土工试验得到，执行标准为《公路土工试验规程：JTG E40—2007）》 ^[22]. 表中，γ_sat为饱和重度，h为厚度，E_s为压缩模量，c′为有效黏聚力，φ′为有效内摩擦角，v为泊松比. 为了便于推导计算，不考虑加固区土体的成层性，计算参数采用桩长范围内各土层厚度的加权平均值. 试验参照《建筑地基处理技术规范（JGJ 79—2012）》 ^[23]执行，采用慢速维持荷载法，每加一级荷载前后各读记荷载板沉降量一次，以后每0.5 h读记一次，当1 h的沉降量小于0.1 mm时，即可加下一级荷载，现场试验照片及示意图如图2所示. 整理荷载板试验结果，得到DCM桩复合地基沉降s随荷载q的变化曲线，如图3所示. 由图可知，与常规复合地基荷载位移曲线不同，现场试验的第一级荷载为62.8 kPa，约占总荷载的28.4%；在第一级荷载作用下，荷载板沉降达到64.8 mm，占总沉降的60.2%；在后续荷载作用下，荷载板位移随着荷载的增大近似线性增加. 进一步分析试验结果发现，在碎石垫层施工过程中，海底浮力较大，垫层密实度没有达到设计要求，导致垫层压缩模量较小，约为1.8 MPa，因此在第一级荷载作用下总沉降量主要为垫层压缩量；后续荷载作用下的碎石垫层被逐渐压密，压缩模量逐渐增长至8~10 MPa. 陆上复合地基的试验结果与此不同，由于垫层的施工质量一般较好，且厚度较小，压缩模量在加载过程中变化较小，在达到极限承载力之前，荷载位移曲线近似线性增长^[4].

沉管隧道基础的最大宽度超过55 m，为了简化模型，取单个桩体及其影响范围内土体形成的同心圆柱体作为典型单元体进行分析，如图4所示. 图中，a、b分别为单个桩体及其影响范围内土体的等效半径. 假设桩体及其上方垫层部分为内土柱（半径为a），桩间土体及其上方垫层部分为外土柱（半径为b），外土柱半径b由布桩方式和桩间距得到^[24]. 在此基础上，将DCM桩复合地基简化为如图5所示的模型，其中l_c为碎石垫层等沉面以下的厚度，l_p为加固区的厚度.

碎石垫层厚度较大且压缩模量较小，为此在分析荷载传递机理时，将沉管隧道基础视为柔性基础，依据文献[11]假定桩间土的竖向位移模式为

(1)$ {w_{{{\mathrm{s}}}i}} = {w_{{{\mathrm{p}}}i}}+{f_{{\mathrm{1}}i}}\left( z \right)g\left( r \right)+{f_{2i}}\left( z \right), $

(2)$ g\left( r \right) = {r}/{a} - {{{\mathrm{exp}}}\;{(B({r}/{a} - 1)})}. $

式中：z为计算点离碎石垫层等沉面的深度；r为计算点离桩体中心的水平距离；w_si为桩间土位移；w_pi为桩身位移，是以z为自变量的函数；f_1i(z)、f_2i(z)均为待定函数；B为待定常数；r为计算点到圆柱体中心的距离；当位置i 处于碎石垫层或加固区时，分别用字母c、s代替. 位置i处的桩侧极限摩阻力表示为

(3)$ {\tau _{{{\mathrm{su}}}i}} = {\beta _i}\sigma _{v}^\prime = {\beta _i}\Bigg( {\sum\limits_{j = 1}^i {\gamma _j^\prime {z_j}} +{p_{{\mathrm{s}}}}} \Bigg). $

式中：τ_sui采用β法计算^[25]；β_i为位置i处的桩侧摩阻力系数；$ \sigma _{v}^\prime $为计算深度处的上覆有效应力；$ \gamma _j^\prime $、$ {z_j} $分别为位置i处以上土体及结构的有效重度和厚度；p_s为碎石垫层等沉面处外土柱的应力. 位置i处的桩侧摩阻力发挥系数为

(4)$ {\alpha _i} = {\tau _{{{\mathrm{sa}}}i}}/{\tau _{{{\mathrm{su}}}i}}. $

式中：τ_sai为位置i处的桩侧摩阻力. 假设桩土界面处的桩土相互作用服从等单位长度极限剪切位移δ_u理想弹塑性模型^[15,26-27]，以表征桩侧摩阻力τ与δ的关系. 以δ_u为界限，在弹性阶段，α_i=0~1；在塑性阶段，α_i=1. 由全系统荷载传递规律可知，δ和α_i沿深度的分布形式，如图6所示.分别在深度范围[l_c,l₀]和[l₀,l_p]对δ积分，得到桩顶处桩土相对位移Δ_a和桩端处桩土相对位移Δ_b，计算式分别为

(5)$ {\varDelta _{{\mathrm{a}}}} = {{\left( {3{l_2}+{l_3} - 4{l_{{\mathrm{c}}}}} \right){\delta _{{\mathrm{u}}}}}}/{4}, $

(6)$ {\varDelta _{{\mathrm{b}}}} = {{\left( {4{l_{{\mathrm{p}}}} - {l_2} - 3{l_3}} \right){\delta _{{\mathrm{u}}}}}}/{4}. $

式中：$ {l_2}+{l_3} = 2{l_0} $.

根据文献[11]，将f_1i(z)理解为桩侧摩阻力分布函数，考虑到桩土在分界面处的应力协调，引入应力协调常数φ_i，将f_1i(z)分段表示为

(7)$ \begin{split} & {{f_{{1i}}}\left( z \right) =} \\ & \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \dfrac{{{\varphi _{{\mathrm{c}}}}{A_{{\mathrm{c}}}}z}}{{{l_1}}}\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime z+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right),}& {0 < z \leqslant {l_1};} \\ { - {\varphi _{{\mathrm{c}}}}{A_{c}}\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime z+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right),}& {{l_1} < z \leqslant {l_{{\mathrm{c}}}};} \\ { - {\varphi _{{\mathrm{s}}}}{A_{{\mathrm{s}}}}\left[ {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime \left( {z - {l_{{\mathrm{c}}}}} \right)+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right],}& {{l_{{\mathrm{c}}}} < z \leqslant {l_2};} \\ { - \dfrac{{{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{A_{{\mathrm{s}}}}\left( {{l_2}+{l_3} - 2z} \right)}}{{{l_3} - {l_2}}}\left[ {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime \left( {z - {l_{c}}} \right)+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right],}& {{l_2} < z \leqslant {l_0};} \\ {\dfrac{{{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{A_{{\mathrm{s}}}}\left( {2z - {l_2} - {l_3}} \right)}}{{{l_3} - {l_2}}}\left[ {\gamma _{c}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime \left( {z - {l_{{\mathrm{c}}}}} \right)+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right],}& {{l_0} < z \leqslant {l_3};} \\ {{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{A_{{\mathrm{s}}}}\left[ {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime \left( {z - {l_{{\mathrm{c}}}}} \right)+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right],}& {{l_3} < z \leqslant {l_{{\mathrm{p}}}}.} \end{array}} \right. \end{split} $

式中：$ {A_i} = {{a{\beta _i}}}/{{{(G_{{\rm{s}}i}}\left( {1 - B} \right))}} $，G_si为位置i处桩间土的剪切刚度. 由连续性条件可知，各分段在界面处的应力应该相等，若令φ_s=1，则有φ_c=A_s/A_c. 同理，f_2i(z)可以理解为桩土界面处的滑移函数，由沿深度z积分求得，分段表示为

(8)$ {f_{2i}}\left( z \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{\delta _{u}}{z^2}}}{{2{l_1}}},}&{0 < z \leqslant {l_1};} \\ {\dfrac{{{\delta _{u}}}}{2}\left( {2z - {l_1}} \right),}&{{l_1} < z \leqslant {l_{{\mathrm{c}}}};} \\ {\dfrac{{{\delta _{u}}}}{4}\left( {3{l_2}+{l_3} - 4z} \right),}&{{l_{{\mathrm{c}}}} < z \leqslant {l_2};} \\ {\dfrac{{{\delta _{u}}}}{{4\left( {{l_3} - {l_2}} \right)}}{{\left( {{l_2}+{l_3} - 2z} \right)}^2},}&{{l_2} < z \leqslant {l_0};} \\ {\dfrac{{{\delta _{u}}}}{{4\left( {{l_3} - {l_2}} \right)}}{{\left( {2z - {l_2} - {l_3}} \right)}^2},}&{{l_0} < z \leqslant {l_3};} \\ {\dfrac{{{\delta _{u}}}}{4}\left( {4z - {l_2} - 3{l_3}} \right),}&{{l_3} < z \leqslant {l_{{\mathrm{p}}}}.} \end{array}} \right. $

取厚度为dz的圆柱体微段为研究对象，受力情况如图7所示. 由内土柱单元体竖向平衡方程得到

(9)$ \frac{{{{\mathrm{d}}}{\sigma _{{{\mathrm{p}}}i}}}}{{{{\mathrm{d}}}z}} = - \frac{2}{a}{\tau _{{{\mathrm{sa}}}i}}. $

式中：σ_pi为位置i处内土柱的竖向应力. 由外土柱单元体竖向平衡方程得到

(10)$ \frac{{{{\mathrm{d}}}{\sigma _{{{\mathrm{s}}}i}}}}{{{{\mathrm{d}}}z}} = \frac{{{\tau _{{{\mathrm{s}}}i}}}}{r}+\frac{{\partial {\tau _{{{\mathrm{s}}}i}}}}{{\partial r}}. $

式中：σ_si为位置i处外土柱的竖向应力. 将式(1)~式(4)代入式(10)，并对w_si求二次偏导得到

(11)$ \frac{{{{\mathrm{d}}}{\sigma _{{{\mathrm{s}}}i}}}}{{{{\mathrm{d}}}z}} = h\left( r \right){\varphi _{{i}}}{\alpha _{{i}}}{\beta _{{i}}}\left( {\sum\limits_{j = 1}^i {\gamma _j^\prime {z_j}} +{p_{{\mathrm{s}}}}} \right), $

(12)$ h\left( r \right) = \frac{1}{{1 - B}}\left[ {\frac{1}{r} - B\left( {\frac{1}{r}+\frac{B}{a}} \right){{{\mathrm{exp}}}\;{(B\left( {{r}/{a} - 1)} \right)}}} \right]. $

将式(3)和式(4)联立得到τ_sai，代入式(9)，并在各分段处分别对式(9)和式(11)进行一次积分，得到各分段应力表达式如下. 1) 碎石垫层段，z=0~l₁，

(13)$ {\sigma _{{{\mathrm{pc}}}}} = \frac{{{\varphi _{{\mathrm{c}}}}{\beta _{{\mathrm{c}}}}}}{{3a{l_1}}}\left( {2\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {z^3}+3{p_{{\mathrm{s}}}}{z^2}} \right)+{M_1}, $

(14)$ {\sigma _{{{\mathrm{sc}}}}} = - \frac{{h\left( r \right){\varphi _{{\mathrm{c}}}}{\beta _{{\mathrm{c}}}}}}{{6{l_1}}}\left( {2\gamma _{c}^\prime {z^3}+3{p_{{\mathrm{s}}}}{z^2}} \right)+{M_2}. $

2) 碎石垫层段，z= l₁~l_c，

(15)$ {\sigma _{\rm{pc}}} = \frac{{{\varphi _{{\mathrm{c}}}}{\beta _{{\mathrm{c}}}}}}{a}\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {z^2}+2{p_{{\mathrm{s}}}}z} \right)+{M_3}, $

(16)$ {\sigma _{\rm{sc}}} = - \frac{{h\left( r \right){\varphi _{{\mathrm{c}}}}{\beta _{{\mathrm{c}}}}}}{2}\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {z^2}+2{p_{{\mathrm{s}}}}z} \right)+{M_4}. $

3) 加固区段，z= l_c~l₂，

(17)$ \begin{gathered} {\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}} = \frac{{{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}}}{a} \left[ {\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)z} \right]+{M_5},\end{gathered} $

(18)$ \begin{gathered} {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}} = - \frac{{h\left( r \right){\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}}}{2} \left[ {\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)z} \right]+{M_6}. \end{gathered} $

4) 加固区段，z= l₂~l₃，

(19)$ \begin{split} {\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}} &= \frac{{{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}\left( {{l_2}+{l_3}} \right)}}{{a\left( {{l_3} - {l_2}} \right)}} \left[ {\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)z} \right] - \\ & \frac{{{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}{z^2}}}{{3a\left( {{l_3} - {l_2}} \right)}} \left[ {4\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime z+6\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)} \right]+{M_7}, \end{split} $

(20)$ \begin{split}& {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}} = \frac{{h\left( r \right){\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}{z^2}}}{{3\left( {{l_3} - {l_2}} \right)}} \left[ {2\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime z+3\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{c}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)} \right] - \\ & \frac{{h\left( r \right){\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}\left( {{l_2}+{l_3}} \right)}}{{2\left( {{l_3} - {l_2}} \right)}} \left[ {\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)z} \right]+{M_8}. \end{split} $

5) 加固区段，z= l₃~l_p，

(21)$ \begin{gathered} {\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}} = - \frac{{{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}}}{a} \left[ {\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)z} \right]+{M_9}, \end{gathered} $

(22)$ \begin{gathered} {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}} = \frac{{h\left( r \right){\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}}}{2} \left[ {\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right)z} \right]+{M_{10}}. \end{gathered} $

式中：M₁~M₁₀均为积分常数，由各分段内土柱和外土柱的应力连续条件求解得到.

下卧层沉降计算的关键在于下卧层顶部附加应力的确定，将z=l_p代入式(21)和式(22)，得到桩端应力和桩端平面处桩间土应力的表达式为

(23)$ \begin{gathered} {\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{p}}}}}} = - \frac{{{\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}}}{a} \left[ {\gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( {\gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}} - \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+{p_{{\mathrm{s}}}}} \right){l_{{\mathrm{p}}}}} \right]+{M_9}, \end{gathered} $

(24)$ \begin{split} {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{p}}}}}} =& \frac{{h\left( r \right){\varphi _{{\mathrm{s}}}}{\beta _{{\mathrm{s}}}}}}{2} \left[ \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {z^2}+2\left( \gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}- \gamma _{{\mathrm{s}}}^\prime {l_{{\mathrm{c}}}}+ \right. \right. \\ &\left. \left. {p_{{\mathrm{s}}}} \right){l_{{\mathrm{p}}}} \right]+{M_{10}}. \end{split} $

根据式(24)得到桩端平面处桩间土平均附加应力：

(25)$ {\overline \sigma _{{{\mathrm{ss}}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{p}}}}}} = \frac{{\int_a^b {{\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{p}}}}}}2{{{\text{π}}} }r{{{{\mathrm{d}}}}}r} }}{{{{\text{π}} }\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}}. $

联立式(23)~式(25)得到下卧层顶面处由桩端应力与桩间土平均应力引起的附加应力σ_r ^[28]，表达式为

(26)$ {\sigma _{{\mathrm{r}}}} = m{\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{p}}}}}}+\left( {1 - m} \right){\overline \sigma _{{{\mathrm{ss}}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{p}}}}}}. $

式中：m为面积置换率，m= a²/b². 将σ_r代入分层总和法，得到下卧层压缩量w_r^[29]，表达式为

(27)$ {w_{{\mathrm{r}}}} = {\varphi _{{\mathrm{r}}}}\frac{{{\sigma _{{\mathrm{r}}}}}}{{{E_{{\mathrm{r}}}}}}\left( {\overline \alpha _i {z_i} - \overline \alpha _{i - 1} {z_{i - 1}}} \right). $

式中：φ_r为沉降经验系数，取φ_r=0.3；z_i、z_i-1分别为下卧层底面和顶面深度；$ {\overline \alpha _i} $、$ {\overline \alpha _{i - 1}} $分别为下卧层底面、顶面深度处的平均附加应力系数.

在碎石垫层等沉面处，内外土柱应力相等，为z=0以上碎石垫层自重应力与施加在碎石垫层上的外部荷载之和，可以得到

(28)$ {M_1} = \gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime \left( {{h_{{\mathrm{c}}}} - {l_{{\mathrm{c}}}}} \right)+{p_0} = {p_{{\mathrm{p}}}}, $

(29)$ {M_2} = \gamma _{{\mathrm{c}}}^\prime \left( {{h_{{\mathrm{c}}}} - {l_{{\mathrm{c}}}}} \right)+{p_0} = {p_{{\mathrm{s}}}}. $

式中：h_c为碎石垫层的厚度；p_p、p_s分别为碎石垫层等沉面处内土柱和外土柱的应力.

由连续性条件可知，在各段分界面处，内土柱的应力须相等，从而得到

(30)$ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _{{{\mathrm{pc}}}}^{{{\mathrm{u}}}} = \sigma _{{{\mathrm{pc}}}}^{{{\mathrm{d}}}},}&{z = {l_1};} \\ {{\sigma _{{{\mathrm{pc}}}}} = {\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}},}&{z = {l_{{\mathrm{c}}}};} \\ {\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}^{{{\mathrm{u}}}} = \sigma _{{{\mathrm{ps}}}}^{{{\mathrm{d}}}},}&{z = {l_2};} \\ {\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}^{{{\mathrm{u}}}} = \sigma _{{{\mathrm{ps}}}}^{{{\mathrm{d}}}},}&{z = {l_3}.} \end{array}} \right\} $

式中：$ \sigma _{{{\mathrm{pc}}}}^{{{\mathrm{u}}}} $、$ \sigma _{{{\mathrm{pc}}}}^{{{\mathrm{d}}}} $分别为碎石垫层分段处上、下界面内土柱的竖向应力；$ \sigma _{{{\mathrm{ps}}}}^{{{\mathrm{u}}}} $、$ \sigma _{{{\mathrm{ps}}}}^{{{\mathrm{d}}}} $分别为加固区分段处上、下界面内土柱的竖向应力. 同理，在各段分界面处，外土柱的应力相等，从而得到

(31)$ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _{{{\mathrm{sc}}}}^{{{\mathrm{u}}}} = \sigma _{{{\mathrm{sc}}}}^{{{\mathrm{d}}}},}&{z = {l_1};} \\ {{\sigma _{{{\mathrm{sc}}}}} = {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}},}&{z = {l_{{\mathrm{c}}}};} \\ {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}^{{{\mathrm{u}}}} = \sigma _{{{\mathrm{ss}}}}^{{{\mathrm{d}}}},}&{z = {l_2};} \\ {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}^{{{\mathrm{u}}}} = \sigma _{{{\mathrm{ss}}}}^{{{\mathrm{d}}}},}&{z = {l_3}.} \end{array}} \right\} $

式中：$ \sigma _{{{\mathrm{sc}}}}^{{{\mathrm{u}}}} $、$ \sigma _{{{\mathrm{sc}}}}^{{{\mathrm{d}}}} $分别为碎石垫层分段处上、下界面外土柱的竖向应力；$ \sigma _{{{\mathrm{ss}}}}^{{{\mathrm{u}}}} $、$ \sigma _{{{\mathrm{ss}}}}^{{{\mathrm{d}}}} $分别为加固区分段处上、下界面外土柱的竖向应力.

基于文献[15]的假定，桩顶向上刺入变形w_a和桩端向下刺入变形w_b分别为

(32)$ {w_{{\mathrm{a}}}} = {c_{{\mathrm{c}}}}\left( {{\sigma _{{{\mathrm{pc}}}}} - {\sigma _{{{\mathrm{sc}}}}}} \right){|_{r = a,z = {l_{{\mathrm{c}}}}}}, $

(33)$ {w_{{\mathrm{b}}}} = {c_{{\mathrm{r}}}}\left( {{\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}} - {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}}} \right){|_{r = a,z = {l_{{\mathrm{p}}}}}}. $

式中：c_c、c_r分别为垫层和下卧层的柔度系数^[24]. 在ｚ=l_c处，w_a与Δ_a相等，联立式(5)、式(32)有

(34)$ {c_{{\mathrm{c}}}}\left( {{\sigma _{{{\mathrm{pc}}}}} - {\sigma _{{{\mathrm{sc}}}}}} \right){|_{r = a,z = {l_{{\mathrm{c}}}}}} = \frac{{\left( {3{l_2}+{l_3} - 4{l_{{\mathrm{c}}}}} \right){\delta _{{\mathrm{u}}}}}}{4}. $

在ｚ=l_p处，w_b与桩土Δ_b相等，联立式(6)、式(33)有

(35)$ {c_{{\mathrm{r}}}}\left( {{\sigma _{{{\mathrm{ps}}}}} - {\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}}} \right){|_{r = a,z = {l_{{\mathrm{p}}}}}} = \frac{{\left( {4{l_{{\mathrm{p}}}} - {l_2} - 3{l_3}} \right){\delta _{{\mathrm{u}}}}}}{4}. $

加固区中性面以上，桩侧土体的压缩量w_s1等于桩体的压缩量w_p1与w_a之和；加固区中性面以下，桩侧土体的压缩量w_s2等于桩体的压缩量w_p2与w_b之和.

(36)$ {w_{{{\mathrm{s}}}1}} = {w_{{{\mathrm{p}}}1}}+{w_{{\mathrm{a}}}}, $

(37)$ {w_{{{\mathrm{s}}}2}} = {w_{{{\mathrm{p}}}2}}+{w_{{\mathrm{b}}}}. $

w_s1、w_s2、w_p1、w_p2由加固区各分段内外土柱的应力表达式一次积分求解得到.

由应力边界条件、内土柱应力连续条件和外土柱应力连续条件，联立式(13)~式(22)、式(28)~式(31)，可将积分常数M₁~M₁₀全部求出；根据桩身刺入变形条件和位移协调条件，将式(34)~式(37)代入各分段应力表达式，求得未知参数l₁、l₂和l₃. 至此确定所有方程. 将积分常数和未知参数代入各应力、位移表达式，求得系统各部分应力与沉降. 桩土应力比n的计算式为

(38)$ n = \frac{{{\sigma _{{\mathrm{p}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{c}}}}}}}}{{{{\overline \sigma }_{{\mathrm{s}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{c}}}}}}}}, $

(39)$ {\overline \sigma _{{\mathrm{s}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{c}}}}}} = \frac{{\int_a^b {2{{\text{π}} }r{\sigma _{{{\mathrm{ss}}}}}{|_{z = {l_{{\mathrm{c}}}}}}{{\mathrm{d}}}r} }}{{{{\text{π}}}\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}}. $

式中：$ {\overline \sigma _{{\mathrm{s}}}} $为桩顶平面处桩间土体的平均竖向应力.

根据文献[30]的原位试验结果，取碎石垫层等沉面的高度为桩净距. 桩侧极限摩阻力发挥系数α采用β法确定^[25]，本研究取碎石垫层α=0.3，加固区土体α=0.2. 单位长度桩土极限相对位移参考罗强等^[15]的统计结果，本研究取桩长范围内各土层厚度的加权平均值，即δ_u=0.15%. 碎石垫层的压缩模量根据现场试验结论和反演分析^[19]取值，在第一级荷载下取1.8 MPa，后续荷载下取10 MPa，其他计算参数见表1.

计算与实测沉降随荷载变化的对比结果如图8所示. 由图可知，理论计算所得荷载−位移曲线与实测荷载−位移曲线的变化趋势一致，且在各级荷载作用下沉降值十分接近. 在第一级荷载作用下，理论计算和实测得到的荷载板沉降分别为71.2 、64.9 mm，相对误差为9.7%；第二级荷载为112.2 kPa，在该级荷载作用下，理论计算和实测得到的荷载板沉降分别为91.4、84.4 mm，相对误差为8.3%；第三级荷载为161.6 kPa，在该级荷载作用下，理论计算和实测得到的荷载板沉降量分别为104.1、96.0 mm，相对误差为8.4%；第四级荷载为211.1 kPa，在该级荷载作用下，理论计算和实测得到的荷载板沉降量分别为116.4、107.7 mm，相对误差为8.1%. 总体来说，理论计算和实测得到的沉降相差不大，误差不超过10%，计算精度满足工程要求，且随着荷载的增大，相对误差有减小的趋势，可以认为采用本研究所提方法计算DCM桩复合地基沉降得到的结果可靠.

复合地基各部分沉降、沉降占比p随荷载变化的结果如图9所示. 由图可知，在第一级荷载作用下，垫层、加固区和下卧层的沉降分别为38.9、28.6、3.7 mm，沉降占比分别为54.6%、40.2%、5.2%；在第四级荷载作用下，垫层、加固区和下卧层的沉降量分别为54.1、50.8、11.5 mm，沉降占比分别为46.5%、43.6%、9.9%. 随着荷载的增大，垫层被越压越密实，垫层压缩增量和沉降占比逐渐减小，这与现场试验得到的结论一致，加固区和下卧层的沉降占总沉降比有逐渐增大的趋势.

实测和理论计算桩土应力比n随荷载变化的对比结果如图10所示. 由图可知，根据理论计算得到的桩土应力比和现场试验所得桩土应力比的变化趋势一致，都随着荷载的增加而增大. 在第一级荷载下，理论计算和实测得到的桩土应力比分别为4.4、4.6，理论计算值比实测值小4.3%；在最后一级荷载作用下，理论计算和实测得到的桩土应力比分别增加到7.2、7.8，理论计算值比实测值小7.7%. 理论计算和实测的桩土应力比都随着荷载的增加而增大，但是增长幅度越来越小. 这是因为当荷载增加时，由于垫层的调节作用，桩体分担了更多的荷载，所以桩土应力比增大；当荷载增加到接近复合地基的极限承载力时，垫层的调节作用也会达到极限^[15]. 总体来说，理论计算和实测得到的桩土应力比相差不大，误差不超过10%，可以认为理论计算的结果可靠.

深中通道沉管隧道DCM桩复合地基与陆域工程的明显区别是复合地基中的DCM桩置换率大^[10-16]，并且复合地基加固区和沉管隧道基础之间设置超厚垫层，因此改变复合地基置换率m（假设桩间距恒为3 m，仅改变桩径大小）和垫层柔度系数c_c（荷载板试验中置换率和垫层柔度系数分别为0.47和1.0×10⁻⁴ m·kPa⁻¹），探讨2种因素对复合地基沉降和桩土应力比的影响.

当垫层柔度系数为1.0×10⁻⁴ m·kPa⁻¹时，在各级荷载作用下复合地基沉降和桩土应力比随置换率变化的曲线如图11所示. 由图可知，在各级荷载作用下，沉降随着置换率的增大而减小，桩土应力比随着置换率的增大而增大. 当置换率为0.10时，在各级荷载作用下，沉降依次为139.8、201.2、252.4、307.4 mm，桩土应力比依次为2.5、2.7、2.8、2.9；当置换率为0.50时，在各级荷载作用下，沉降依次为64.6、78.9、90.4、101.5 mm，桩土应力比依次为4.8、6.4、7.6、8.6. 根据理论计算的结果，建议置换率的取值范围为0.4~0.5，这样在增大复合地基桩土应力比、减小复合地基沉降的同时，也能适当提高复合地基的承载力. 由此可见，深中通道沉管隧道DCM桩复合地基的设计置换率（m=0.41~0.47）较为合理.

当置换率为0.47时，在各级荷载作用下复合地基沉降和桩土应力比随垫层柔度系数变化的曲线如图12所示. 由图可知，在各级荷载作用下，沉降随着垫层柔度系数的增大而增大，桩土应力比随着垫层柔度系数的增大而减小. 当垫层柔度系数为1.0×10⁻⁴ m·kPa⁻¹时，在各级荷载作用下，沉降依次为70.2、88.2、102.4、117.1 mm，桩土应力比依次为4.4、5.7、6.5、7.2；当垫层柔度系数为1.4×10⁻⁴ m·kPa⁻¹时，在各级荷载作用下，沉降依次为111.8、148.0、177.8、208.1 mm，桩土应力比依次为2.7、3.1、3.3、3.4. 原因是当垫层柔度系数增大时，垫层调节桩土应力比的效果越来越明显，荷载由桩体向土体转移，桩体承担的荷载变小，土体承担的荷载变大，相应地桩土应力比随之减小，复合地基沉降随之增大. 此外，垫层柔度系数变大，有利于发挥土体的承载能力，使复合地基的破坏模式转变为桩土共同破坏，从而提高复合地基承载力^[2]. 理想情况（垫层的施工质量良好，不考虑垫层模量随荷载的变化，垫层柔度系数仍然为1.0×10⁻⁴ m·kPa⁻¹）下，各级荷载作用时由本研究所提方法计算得到的复合地基沉降依次为30.2、55.2、74.4、90.1 mm，桩土应力比依次为6.1、6.7、7.1、7.3，与垫层施工质量不好的情况相比，在相同荷载作用下沉降更小，桩土应力比更大. 因此，提高垫层的施工质量能够有效减小复合地基沉降，增大桩土应力比，使复合地基的承载性能得到优化.

(1) 在现场荷载板试验的基础上，通过分析厚垫层和高置换率DCM桩对复合地基荷载传递机理和沉降特性的影响，考虑复合地基全系统各部分的共同作用及在分界面处应力和变形的耦合关系，提出深中通道沉管隧道DCM桩复合地基沉降计算的解析解.

(2) 所提解析解能够较全面地反映海底超厚垫层和高置换率DCM桩复合地基系统的桩土共同作用、荷载传递规律及各部分沉降变形等性状，复合地基沉降和桩土应力比的计算结果与现场荷载板试验数据较为接近，可以为后续相关项目的设计和工程应用提供理论依据.

(3) 深中通道沉管隧道DCM桩复合地基沉降随荷载和垫层柔度系数的增大而增大，随置换率的提高而减小；桩土应力比随荷载和置换率的增大而增大，随垫层柔度系数的增大而减小，且置换率对复合地基沉降和桩土应力比的影响较垫层柔度系数更大.

(4) 由于海洋环境与施工质量的关系及海底DCM桩复合地基垫层厚度大、DCM桩置换率高的特性，在沉降计算时应考虑垫层沉降及垫层对复合地基全系统变形协调的作用，还应考虑海水浮力对垫层模量的影响.

(5) 在海底DCM桩复合地基沉降解析解推导过程中，本研究未考虑地基土固结、孔隙水压力和非匀质地基等因素对复合地基沉降特性的影响，有待结合更多相关工程进一步完善海底DCM桩复合地基的沉降计算方法.