输水盾构隧道复合结构是新型的输水管道结构，其外层为钢筋混凝土衬砌管片，内层为输水钢管，二者之间填充混凝土. 在承受荷载过程中，衬砌管片、填充混凝土和钢管将力分担，赋予隧道高承载能力. 衬砌管片和填充混凝土能够有效抵御外部环境因素侵蚀钢管，提升复合结构的耐久性. 由于施工期盾构掘进扰动、运营期邻近建构筑物施工、隧道下卧层土体特征差异以及隧道所处地层的水位变化等因素的作用，输水盾构隧道所在的地基不可避免地会发生不均匀沉降^[1]，导致隧道结构产生纵向弯曲. 特别是在地基不均匀沉降较大的情况下，隧道结构可能产生显著的弯曲变形，导致隧道出现管片接缝张开、管片破损，钢管腐蚀和屈曲等病害^[2]，严重威胁输水隧道的安全性和稳定性.

在盾构隧道纵向受弯性能研究中主要有2种理论模型: 1）纵向梁-弹簧模型^[3]；2）纵向等效连续模型^[4]. 在模型1）中，衬砌段采用直梁模拟，接缝和螺栓采用轴向弹簧、剪切弹簧和旋转弹簧模拟。该模型存在的问题包括确定纵向梁-弹簧模型的环缝转动刚度非常困难，一些关键参数（如局部混凝土压缩刚度）需要通过试验确定，建模过程复杂. 模型2）针对环间接缝导致的隧道纵向刚度降低，将盾构隧道简化为纵向连续均质梁。该模型概念清晰、计算简单，在盾构隧道纵向力学性能分析中应用广泛. 随着盾构隧道纵向分析理论的不断发展，隧道纵向受弯分析模型越来越丰富，相关研究可以分为2个阶段：1）经典等效连续化计算模型^[4]被提出，为盾构隧道纵向受弯性能的分析奠定了坚实的理论基础；2）经典等效连续化计算模型^[4]的改进，例如考虑环缝的影响范围^[5]，考虑横向和纵向性能产生的耦合以及螺栓的弹塑性^[6]，考虑轴向力和弯矩的组合效应^[7]，考虑混凝土的弹塑性^[8]，考虑轴向力和弯矩的组合效应、横向与纵向性能的耦合效应^[9]、研究类矩形管片的环缝影响范围和螺栓预紧力^[10].

研究者虽然探索了单层衬砌结构盾构隧道纵向受弯分析计算模型，但三层复合结构的研究鲜见. 输水盾构隧道复合结构具有不同的结构特征，现有单层衬砌结构盾构隧道的纵向受弯分析模型不适用于三层复合结构的输水盾构隧道. 本研究基于隧道管片纵向等效连续化计算模型的基本原理，初步探索输水盾构隧道复合结构纵向受弯分析解析模型；依托杭州某输水隧道工程案例，研究隧道结构纵向受弯性能，并根据复合结构的临界状态求解对应的变形受力界限指标；对输水盾构隧道复合结构的结构设计进行优化.

如图1所示为输水盾构隧道复合结构截面图. 图中，O为复合结构圆心、O₁为钢管内衬圆心；外部为盾构衬砌管片，其中D为直径、r为平均半径（对应螺栓位置）、t为厚度；内部为钢管内衬，其中D₁为直径、r₁为半径、t₁为厚度、h为偏心位置；内外衬之间填充混凝土；钢板加劲环焊接在钢管上，环间距为l，复合结构衬砌管片环与环之间由接头螺栓连接，钢管衬砌通过钢板加劲环与周围填充混凝土紧密连接. 如图2所示^[10]，取2个管片环中心线的长度l_s为计算单元，当管片受到弯矩M作用时，单元产生的转角为θ.

输水盾构隧道复合结构纵向受弯分析解析模型基本假定如下。1)文献[11]、[12]建议按照衬砌层间界面的抗剪强度对多层衬砌隧道复合结构计算模型进行分类. 如果抗剪强度足够大，按叠合结构进行结构计算; 否则按仅传递径向压力的复合结构进行结构计算^[12]. 本研究假定忽略衬砌管片和填充混凝土之间的摩擦. 在对应的实际工程中，衬砌管片结构的螺栓孔、注浆孔、接缝等部位须进行填平处理，处理后的衬砌管片和填充混凝土结合面处具有足够的光滑度，无法传递剪力. 2)考虑到地基沉降引起隧道弯曲的曲率半径一般较大，隧道弯曲变形过程符合平截面假定^[6]. 3)纵向螺栓采用沿隧道衬砌圆环连续均匀分布的弹簧模拟，受压时为完全刚性，受拉时为双线性材料^[6]. 4)填充混凝土的抗压能力较强，但一般不铺设钢筋，其抗拉能力相对较弱. 为了方便推导方程和简化模型的使用，本研究重点考虑关键受力部位，假定受拉区的填充混凝土不参与受力.

如图3所示为混凝土、螺栓和钢管的应力应变曲线. 图中，σ_pt、ε_pt分别为钢管拉伸变形时的应力和应变，f_ypt为钢管的抗拉屈服应力，ε_pt0为f_ypt对应的应变，ε_ptu为钢管的受拉极限应变，σ_pc、ε_pc分别为钢管受压时的应力和应变. 1）为了方便计算，本研究将混凝土弹塑性本构模型^[13-14]弹性阶段的表达式简化为线性，即

(1) $ {\sigma }_{\text{c}}\text=\left\{\begin{array}{*{20}{l}}{f}_{\text{c}}{\varepsilon }_{\text{c}}\text{/}{\varepsilon }_{_0},&{\varepsilon }_{\text{c}} \leqslant {\varepsilon }_{_0}\text{；}\\ {f}_{\text{c}}\left[1-0.15 \left({\dfrac{{\varepsilon }_{\text{c}}-{\varepsilon }_{_0}}{{\varepsilon }_{\text{cu}}-{\varepsilon }_{_0}}}\right)^2\right], &{\varepsilon }_{_0} < {\varepsilon }_{\text{c}}\leqslant {\varepsilon }_{\text{cu}}.\end{array} \right.$

式中：σ_c、ε_c分别为混凝土的应力和应变，f_c为混凝土的抗压强度，ε₀为与f_c相对应的应变，ε_cu为混凝土的极限应变. 分别取ε₀=0.002 0、ε_cu=0.003 8^[14]. 2）螺栓的双线性理想弹塑性本构关系^[15]表达式为

(2) $ {\sigma }_{\text{b}}=\left\{\begin{array}{*{20}{l}}{f}_{\text{y}}{\varepsilon }_{\text{b}}/{\varepsilon }_{\text{b0}},&0 \leqslant {\varepsilon }_{\text{b}} < {\varepsilon }_{\text{b}0}\text{；}\\ {f}_{\text{y}},&{\varepsilon }_{\text{b0}} \leqslant {\varepsilon }_{\text{b}} < {\varepsilon }_{\text{su}}.\end{array}\right. $

式中：σ_b、ε_b分别为螺栓的应力和应变，f_y为螺栓的屈服应力，ε_b0为与f_y对应的应变，ε_su为螺栓的极限应变. 3）加劲环增强了钢管与周围填充混凝土的整体性. 当钢管纵向受压时，作用在钢管上的压应力通过加劲环传递并分配到填充混凝土上；在计算时，可通过调整填充混凝土的抗压强度以等效考虑钢管的抗压能力. 为了方便建立控制方程，本研究将钢管受压侧屈服强度视为填充混凝土的抗压强度. 钢管受压时的应力应变关系曲线与混凝土受压时的应力应变关系曲线在趋势上是一致的^[16]，因此钢管受压时的应力应变关系曲线取为填充混凝土受压时的应力应变关系曲线. 钢管受拉时的应力应变关系曲线采用双线性理想弹塑性本构关系^[16-17].

$ {f_{{\text{pc}}0}}{\text{ = }}{f_{\rm{c}}^\prime} ,\; {\varepsilon _{{\text{pc}}0}}{\text{ = }}{\varepsilon _0}{\text{ = }}0.002 ,\; {\varepsilon _{{\text{pcu}}}}{\text{ = }}{\varepsilon _{{\text{cu}}}}{\text{ = }}0.003\;8 . $

式中：f_pc0为钢管的抗压强度，ε_pc0为与f_pc0对应的应变，ε_pcu为钢管的受压极限应变.

基于假定1)，复合结构受弯性能的分析计算可以分为2个部分：外部盾构隧道衬砌管片、内部填充混凝土-钢管，进行独立计算. 对于外部盾构隧道衬砌管片，考虑到由纵向等效连续化模型^[4]计算得到的隧道纵向等效抗弯刚度值和试验及实测的差距较大，徐凌等^[5-6]通过假定环缝长度影响系数 $ \lambda $来综合考虑环缝和管片体的变形. 定义 $ \lambda {l_{\text{b}}} $为环缝的影响范围， $ ({l_{\text{s}}} - \lambda {l_{\text{b}}}) $为环缝影响范围之外的混凝土衬砌管环范围，l_b为螺栓的长度，计算单元的转角 $ \theta $由环缝引起的转角 $ {\theta _{\text{h}}} $和混凝土段引起的转角 $ {\theta _{\text{s}}} $组成^[5-6]. 如果假设混凝土始终处于线弹性状态，本研究模型可用于螺栓达到破坏应力时的计算分析. 盾构隧道衬砌管片的应力和变形如图4所示.

1）在弹性状态下，假设管环受拉侧最外缘螺栓所受的拉力小于螺栓的弹性极限拉力F_y，则此时单元处于完全弹性状态^[6]. 由如图4（a）所示的变形协调条件可以得到

(3) $ {\varepsilon _{\text{c}}} \cdot \frac{{\lambda {l_{\text{b}}}}}{2} = \left(\frac{D}{2} - x\right) \cdot \frac{{{\theta _{\text{h}}}}}{2}, $

(4) $ \frac{{r+x}}{{D/2+x}} \cdot {\varepsilon _{\text{t}}} \cdot \frac{{\lambda {l_{\text{b}}}}}{2}+\frac{{{\delta _{\text{j}}}}}{2} = (r+x) \cdot \frac{{{\theta _{\text{h}}}}}{2}. $

式中： $ {\varepsilon _{\text{c}}} $、 $ {\varepsilon _{\text{t}}} $分别为管片混凝土的最大压应变和最大拉应变； $ {\theta _{\text{h}}} $为环缝影响范围内的转角； $ {\delta _{\text{j}}} $为距离中性轴最远处的环缝张开量； $ x $为中性轴到隧道横截面圆心所在水平线的距离， $ x = r \cdot \sin \varphi $. 由力的平衡条件可以得到

(5) $ \begin{split} 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{c}}}}}{{D/2 - x}}&{\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{\;{\text{π }}}{2} - \varphi }} {\left( {r\cos \alpha - x} \right) \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha = \\ & 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{t}}}}}{{D/2+x}}\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2}+\varphi } {\left( {r\cos \alpha +x} \right) \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha . \\[-8pt] \end{split} $

(6) $ \begin{split} 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{c}}}}}{{D/2 - x}}&\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \varphi } {\left( {r\cos \alpha - x} \right) \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha = \\ &2\frac{{{K_{\text{r}}} \cdot {\delta _{\text{j}}}}}{{r+x}} \cdot \frac{{{l_{\text{b}}}}}{{\lambda {l_{\text{b}}}}}\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2}+\varphi } {\left( {r\cos \alpha +x} \right) \cdot r{\text{d}}\alpha } . \\[-8pt] \end{split} $

式中：K_r为螺栓平均线刚度， $ {K_{\text{r}}} = n{E_{\text{b}}}{A_{\text{b}}}{\text{/(}}2{\text{π}}r{l_{\text{b}}}) $，E_c为混凝土弹性模量. 根据力矩平衡条件可以得到

(7) $ \begin{split} 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{c}}}}}{{D/2 - x}}&\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \varphi } {{{\left( {r\cos \alpha - x} \right)}^2} \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha + \\ & 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{t}}}}}{{D/2+x}}\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2}+\varphi } {{{\left( {r\cos \alpha +x} \right)}^2} \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha = M. \\[-9pt] \end{split} $

2）螺栓进入塑性应力状态后，假设管段受拉侧最外缘的螺栓所受拉力大于螺栓的弹性极限拉力，螺栓进入塑性状态. 此时管段所受弯矩M大于其弹性极限弯矩M_y，随着M继续增大，各个螺栓将依次进入屈服状态. 由如图4（b）所示的变形协调条件可以得到

(8) $ {\varepsilon _{\text{c}}} \cdot \frac{{\lambda {l_{\text{b}}}}}{2} = \left(\frac{D}{2} - x\right) \cdot \frac{{{\theta _{\text{h}}}}}{2}, $

(9) $ {\varepsilon _{\text{t}}} \cdot \frac{{\lambda {l_{\text{b}}}}}{2}+\frac{{{\delta _{\text{j}}}}}{2} = (r+x) \cdot \frac{{{\theta _{\text{h}}}}}{2}, $

(10) $ {\varepsilon _{\text{t}}} \cdot \frac{{\lambda {l_{\text{b}}}}}{2}+\frac{{{\delta _{\text{s}}}}}{2} = (\eta +x) \cdot \frac{{{\theta _{\text{h}}}}}{2}. $

式中： $ {\delta _{\text{s}}} $为弯矩作用下环缝影响范围内螺栓的屈服变形， $ {\delta _{\text{s}}}{\text{ = (}}{f_{\text{y}}} - {N_1}) \cdot \lambda {l_{\text{b}}}/{E_{\text{b}}} $； $ \eta $为螺栓弹性塑性应力状态临界位置到隧道横截面圆心所在水平线的距离， $ \eta = r \cdot \sin \phi $. 由力的平衡条件可以得到

(11) $ \begin{split} 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{c}}}}}{{D/2 - x}}&\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \varphi } {\left( {r\cos \alpha - x} \right) \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha = 2{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{t}}}\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \phi } {r \cdot } t{\text{d}}\alpha + \\ & \frac{{2{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{t}}}}}{{\eta +x}}\int_{\;\;\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \phi }^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2}+\varphi } {\left( {r\cos \alpha +x} \right) \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha . \\[-16pt] \end{split} $

(12) $ \begin{split} &2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{c}}}}}{{D/2 - x}}\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \varphi } {\left( {r\cos \alpha - x} \right) \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha = 2{K_{\text{r}}} \cdot {\delta _{\text{s}}} \cdot \frac{{{l_{\text{b}}}}} {{\lambda {l_{\text{b}}}}}\times \\ &\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \phi } {r{\text{d}}\alpha +} \frac{{2{K_{\text{r}}} \cdot {\delta _{\text{s}}}}}{{\eta +x}} \cdot \frac{{{l_{\text{b}}}}}{{\lambda {l_{\text{b}}}}}\int_{\;\;\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \phi }^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2}+\varphi } {\left( {r\cos \alpha +x} \right) \cdot r} {\text{d}}\alpha . \\[-16pt] \end{split} $

根据力矩平衡条件可以得到

(13) $ \begin{split} 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{c}}}}}{{D/2 - x}}&\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \varphi } {{{\left( {r\cos \alpha - x} \right)}^2} \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha + \\ & 2{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{t}}}\int_{\;\;\;0}^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \phi } {\left( {r\cos \alpha +x} \right)r \cdot } t{\text{d}}\alpha + \\ & 2\frac{{{E_{\text{c}}} \cdot {\varepsilon _{\text{t}}}}}{{\eta +x}}\int_{\;\;\tfrac{{\;\text{π }}}{2} - \phi }^{\tfrac{{\;\text{π }}}{2}+\varphi } {{{\left( {r\cos \alpha +x} \right)}^2} \cdot r \cdot } t{\text{d}}\alpha = M. \\[-10pt] \end{split} $

取 $ ({l_{\text{s}}} - \lambda {l_{\text{b}}}) $为计算单元，混凝土管片引起的转角为

(14) $ \begin{split} \\ {\theta _{\text{s}}}{\text{ = }}\frac{{M({l_{\text{s}}} - \lambda {l_{\text{b}}})}}{{{E_{\text{c}}}{I_{\text{c}}}}}. \end{split} $

式中： $ {I_{\text{c}}} $为隧道管片横截面惯性矩.

(15) $ \theta {\text{ = }}{\theta _{\text{h}}}{\text+}{\theta _{\text{s}}}. $

衬砌管片在弯矩作用下的等效抗弯刚度为

(16) $ {(EI)_{{\text{eq0}}}}{\text{ = }}\frac{{M{l_{\text{s}}}}}{\theta }. $

在纯弯曲作用下，当填充混凝土-钢管处于正弯矩受力状态（隧道上侧受压）时，中性轴的位置可能位于截面钢管内径内（0<x₁≤D₁/2−h−t₁）；也可能位于截面钢管厚度范围内（D₁/2−h−t₁<x₁≤D₁/2−t）；还有可能位于截面钢管外径外（D₁/2−h<x₁≤D/2−t）. 调整模型的偏心位置h可以实现填充混凝土-钢管负弯矩受力状态（隧道下侧受压）情况的计算分析. 中性轴位于截面钢管外径内填充混凝土-钢管的应力和变形如图5所示，中性轴位于截面钢管外径外填充混凝土-钢管的应力和变形如图6所示.

1）当钢管处于弹性应力状态时，假设受拉侧钢管最外缘所受的拉力小于钢管的弹性极限拉力，则此时单元处于完全弹性状态. 由图5（a）的变形协调条件可以得到

(17) $ {\varepsilon '_{\text{c}}} \cdot \frac{{{l_{\text{s}}}}}{2} = \left(\frac{D}{2} - t - {x_1}\right) \cdot \frac{{{\theta _{\text{n}}}}}{2}， $

(18) $ {\varepsilon _{{\text{pt}}}} \cdot \frac{{{l_{\text{s}}}}}{2} = \left(\frac{{{D_1}}}{2}+h+{x_1}\right) \cdot \frac{{{\theta _{\text{n}}}}}{2}. $

式中： $ {\varepsilon '_{\text{c}}} $、 $ {\varepsilon _{{\text{pt}}}} $分别为填充混凝土的最大压应变和钢管的最大拉应变； $ {\theta _{\text{n}}} $为弯矩作用平截面发生的旋转角； $ {x_1} $为中性轴到隧道横截面圆心所在水平线的距离， $ {x_1} = {r_{\text{1}}} \cdot \sin {\varphi _{\text{1}}} $. 由力的平衡条件可以得到

(19) $ \begin{split} & 2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2-t-{x}_{1}}{\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{D}{2}-t}\sqrt{{\left(\dfrac{D}{2}-t\right)}^{2}-{y}^{2}}\cdot \left(y-{x}_{1}\right)}\text{d}y-\\ & 2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2-t-{x}_{1}}{\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{{D}_{1}}{2}-h-{t}_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2} - {t}_{1}\right)}^{2} - {\left(y+h\right)}^{2}}\cdot }\left(y-{x}_{1}\right)\text{d}y =\\ & 2\dfrac{{E}_{\text{pt}}\cdot {\varepsilon }_{\text{pt}}}{{x}_{1}+{D}_{1}/2+h}{\displaystyle {\int }_{-h-\tfrac{{D}_{1}}{2}}^{{x}_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}\right)}^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot \left({x}_{1}-y\right)\text{d}y-}\\ & 2\dfrac{{E}_{\text{pt}}\cdot {\varepsilon }_{\text{pt}}}{{x}_{1}+{D}_{1}/2+h}{\displaystyle \int }_{-h-\tfrac{{D}_{1}}{2}+{t}_{1}}^{{x}_{1}}\sqrt{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}-{t}_{1}\right)^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}} \times\\ & \left({x}_{1}-y\right)\text{d}y.\\[-12pt] \end{split} $

式中： $ {E'_{\text{c}}} $为填充混凝土弹性模量， $ {E_{{\text{pt}}}} $为钢管的弹性模量. 根据力矩平衡条件可以得到

(20) $ \begin{split} \\ &2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime\cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2-t-{x}_{1}}{\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{D}{2}-t}\sqrt{{\left(\dfrac{D}{2}-t\right)}^{2}-{y}^{2}}\cdot {\left(y-{x}_{1}\right)}^{2}}\text{d}y-\\ & 2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime\cdot\varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2-t - {x}_{1}}{\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{{D}_{1}}{2} - h - {t}_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2} - {t}_{1}\right)}^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot }{({{y - x_1)}^2}}\text{d}y+\\ & 2\dfrac{{E}_{\text{pt}}\cdot {\varepsilon }_{\text{pt}}}{{x}_{1}+{D}_{1}/2+h}{\displaystyle {\int }_{-h-\tfrac{{D}_{1}}{2}}^{{x}_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}\right)}^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot {\left({x}_{1}-y\right)}^{2}\text{d}y}-\\ & 2\dfrac{{E}_{\text{pt}}\cdot {\varepsilon }_{\text{pt}}}{{x}_{1}+{D}_{1}/2+h}{\displaystyle \int }_{-h-\tfrac{{D}_{1}}{2}+{t}_{1}}^{{x}_{1}}\sqrt{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}-{t}_{1}\right)^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\times \\ & {\left({x}_{1}-y\right)}^{2}\text{d}y=M.\\[-12pt] \end{split} $

2）当钢管处于塑性应力状态时，假设受拉侧钢管最外缘所受拉力大于钢管的弹性极限拉力，钢管开始进入塑性状态. 此时管段所受弯矩M大于其弹性极限弯矩M_y，随着M继续增大，钢管逐渐进入屈服状态. 由图5（b）的变形协调条件可以得到

(21) $ {\varepsilon '_{\text{c}}} \cdot \frac{{{l_{\text{s}}}}}{2} = \left(\frac{D}{2} - t - {x_1}\right) \cdot \frac{{{\theta _{\text{n}}}}}{2},$

(22) $ {\varepsilon _{{\text{pt}}}} \cdot \frac{{{l_{\text{s}}}}}{2} = \left(\frac{{{D_1}}}{2}+h+{x_1}\right) \cdot \frac{{{\theta _{\text{n}}}}}{2}, $

(23) $ \frac{{{\delta _{\text{s}}}}}{2} = ({x_1}+{\eta _1}) \cdot \frac{{{\theta _{\text{n}}}}}{2}. $

式中： $ {\delta _{\text{s}}} $为弯矩作用下钢管的屈服变形， $ {\delta _{\text{s}}}{{ = }}{f_{{\text{ypt}}}} \cdot {l_{\text{s}}}/{E_{{\text{pt}}}} $； $ {\eta _1} $为钢管弹性塑性应力状态临界位置到隧道横截面圆心所在水平线的距离， $ {\eta _1} = {r_1} \cdot \sin {\phi _1} $. 由力的平衡条件可以得到

(24) $ \begin{split} & 2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime\cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2-t-{x}_{1}}{\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{D}{2}-t}\sqrt{{\left(\dfrac{D}{2}-t\right)}^{2}-{y}^{2}}\cdot \left(y-{x}_{1}\right)}\text{d}y-\\ & 2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime\cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2 - t - {x}_{1}} {\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{{D}_{1}}{2} - {t}_{1} - h}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2} - {t}_{1}\right)}^{2} - {\left(y+h\right)}^{2}}\cdot }\left(y - {x}_{1}\right)\text{d}y =\\ & 2\dfrac{{f}_{\text{ypt}}}{{x}_{1}+{\eta }_{1}}{\displaystyle {\int }_{-{\eta }_{1}}^{{x}_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}\right)}^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot \left({x}_{1}-y\right)\text{d}y-}\\ & 2\dfrac{{f}_{\text{ypt}}}{{x}_{1}+{\eta }_{1}}{\displaystyle {\int }_{-{\eta }_{1}}^{{x}_{1}}\sqrt{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}-{t}_{1}\right)^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot \left({x}_{1}-y\right)\text{d}y}+\\ & 2{f}_{\text{ypt}}{\displaystyle {\int }_{-h-\textstyle\frac{{D}_{1}}{2}}^{-{\eta }_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}\right)}^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot \text{d}y-}\\ & 2{f}_{\text{ypt}}{\displaystyle {\int }_{-h-\textstyle\frac{{D}_{1}}{2}+{t}_{1}}^{-{\eta }_{1}}\sqrt{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}-{t}_{1}\right)^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot \text{d}y}.\\[-17pt] \end{split} $

根据力矩平衡条件可以得到

(25) $ \begin{split} & 2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2-t-{x}_{1}}{\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{D}{2}-t}\sqrt{{\left(\dfrac{D}{2}-t\right)}^{2}-{y}^{2}}\cdot {\left(y-{x}_{1}\right)}^{2}}\text{d}y-\\ & 2\dfrac{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime}{D/2 - t - {x}_{1}} {\displaystyle {\int }_{{x}_{1}}^{\tfrac{{D}_{1}}{2} - {t}_{1} - h} \sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2} - {t}_{1}\right)}^{2} - {\left(y+h\right)}^{2}}\cdot }{(y - x_1 )}^2{ \text{d}y}+\\ & 2\dfrac{{f}_{\text{ypt}}}{{x}_{1}+{\eta }_{1}}{\displaystyle {\int }_{-{\eta }_{1}}^{{x}_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}\right)}^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot {\left({x}_{1}-y\right)}^{2}\text{d}y}-\\ & 2\dfrac{{f}_{\text{ypt}}}{{x}_{1}+{\eta }_{1}}{\displaystyle \int }_{-{\eta }_{1}}^{{x}_{1}}\sqrt{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}-{t}_{1}\right)^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}\cdot {\left({x}_{1}-y\right)^{2}\text{d}y}+\\ & 2{f}_{\text{ypt}}{\displaystyle {\int }_{-h-\tfrac{{D}_{1}}{2}}^{-{\eta }_{1}}\sqrt{{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2}\right)}^{2}-{\left(y+h\right)}^{2}}}\cdot \left({x}_{1}-y\right)\text{d}y-\\ & 2{f}_{\text{ypt}} {\displaystyle \int }_{-h- \tfrac{{D}_{1}}{2}+ {t}_{1}}^{-{\eta }_{1}} \sqrt{\left(\dfrac{{D}_{1}}{2} - {t}_{1}\right)^{2} {\left(y+h\right)}^{2}}\cdot \left({x}_{1} - y\right)\text{d}y=M.\\[-17pt] \end{split} $

此时的变形协调条件不变，仅力的平衡条件和力矩平衡条件与中性轴位于截面钢管内径内时有所区别. 1）当钢管处于弹性应力状态时，由图5（a）的力的平衡条件可以得到

(26) $ \begin{split} & 2\dfrac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - {x_1}}}\int_{\;\;{x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\dfrac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot \left(y - {x_1}\right)} {\text{d}}y = \\ & 2\dfrac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1}+{D_1}/2+h}}\int_{ - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{{x_1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} - \\ & 2\dfrac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1}+{D_1}/2+h}} \int_{ - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}+{t_1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} \sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \times\\ & \left({x_1} - y\right){\text{d}}y . \\[-12pt] \end{split} $

根据力矩平衡条件可以得到

(27) $ \begin{split} & 2\dfrac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - { x_1}}}\int_{{\; x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\dfrac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot {{\left(y - {x_1}\right)}^2}} {\text{d}}y+ \\ & 2\dfrac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1}+{D_1}/2+h}}\int_{ - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{{x_1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y} - \\ & 2\dfrac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1}+{D_1}/2+h}}\int_{ \;- h - \tfrac{{{D_1}}}{2}+{t_1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} {\sqrt {{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2 - {{\left(y+h\right)}^2}}} \times \\ & {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y = M.\\[-12pt] \end{split} $

2）当钢管处于塑性应力状态时，由图5（b）的力的平衡条件可以得到

(28) $ \begin{split} & 2\dfrac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - {x_1}}}\int_{\;\;{x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\dfrac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot \left(y - {x_1}\right)} {\text{d}}y = \\ & 2\dfrac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{ - {\eta _1}}^{{x_1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} - \\ & 2\dfrac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{\;\; - {\eta _1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y+} \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} {\text{d}}y} - \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}+{t_1}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} {\text{d}}y} . \\[-17pt] \end{split} $

根据力矩平衡条件可以得到

(29) $ \begin{split} & 2\dfrac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - {x_1}}}\int_{\;\;{x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\dfrac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot {{\left(y - {x_1}\right)}^2}} {\text{d}}y+ \\ & 2\dfrac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{ - {\eta _1}}^{{x_1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y} - \\ & 2\dfrac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{\;\; - {\eta _1}}^{\textstyle\frac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y+} \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} - \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}+{t_1}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\dfrac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} = M. \\[-9pt] \end{split} $

此时变形协调条件不变，仅力的平衡条件和力矩平衡条件与其他2种情况时的有所区别. 将力的平衡方程和力矩平衡方程中第2个积分项的积分上限x₁改为D₁/2−h即可. 1）当钢管处于弹性应力状态时，由图6（a）的力的平衡条件可以得到

(30) $ \begin{gathered} 2\frac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - {x_1}}}\int_{\;\;{x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\frac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot \left(y - {x_1}\right)} {\text{d}}y = \\ 2\frac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1}+{D_1}/2+h}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} - \\ 2\frac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1} + {D_1}/2+h}} \int_{ - h - \tfrac{{{D_1}}}{2} + {t_1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} . \\ \end{gathered} $

根据力矩平衡条件可以得到

(31) $ \begin{split} & 2\frac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - {x_1}}}\int_{\;\;{x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\frac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot {{\left(y - {x_1}\right)}^2}} {\text{d}}y+ \\ & 2\frac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1}+{D_1}/2+h}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y} - \\ & 2\frac{{{E_{{\text{pt}}}} \cdot {\varepsilon _{{\text{pt}}}}}}{{{x_1}+{D_1}/2+h}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}+{t_1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} \sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \times \\ & {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y = M. \\[-12pt] \end{split} $

2）当钢管处于塑性应力状态时，由图6（b）的力的平衡条件可以得到

(32) $ \begin{split} & 2\frac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - {x_1}}}\int_{\;\;{x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\frac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot \left(y - {x_1}\right)} {\text{d}}y = \\ & 2\frac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{\;\; - {\eta _1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} - \\ & 2\frac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{\;\; - {\eta _1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y+} \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} {\text{d}}y} - \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}+{t_1}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} {\text{d}}y} . \\[-17pt] \end{split} $

根据力矩平衡条件可以得到

(33) $ \begin{split} & 2\frac{{E_{\rm{c}}^\prime \cdot \varepsilon_{\rm{c}}^\prime }}{{D/2 - t - {x_1}}}\int_{\;\;{x_1}}^{\tfrac{D}{2} - t} {\sqrt {{{\left(\frac{D}{2} - t\right)}^2} - {y^2}} \cdot {{\left(y - {x_1}\right)}^2}} {\text{d}}y+ \\ & 2\frac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{\;\; - {\eta _1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y} - \\ & 2\frac{{{f_{{\text{ypt}}}}}}{{{x_1}+{\eta _1}}}\int_{\;\; - {\eta _1}}^{\tfrac{{{D_1}}}{2} - h - {t_1}} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot {{\left({x_1} - y\right)}^2}{\text{d}}y+} \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} - \\ & 2{f_{{\text{ypt}}}}\int_{\;\; - h - \tfrac{{{D_1}}}{2}+{t_1}}^{ - {\eta _1}} {\sqrt {{{\left(\frac{{{D_1}}}{2} - {t_1}\right)}^2} - {{\left(y+h\right)}^2}} \cdot \left({x_1} - y\right){\text{d}}y} = M. \end{split} $

填充混凝土-钢管在弯矩作用下的等效抗弯刚度为

(34) $ {(EI)_{{\text{eq1}}}}{\text{ = }}\frac{{M{l_{\text{s}}}}}{{{\theta _{\text{n}}}}}. $

考虑到推导复合结构纵向等效抗弯刚度表达式比较复杂，本研究使用程序语言编写解析模型，并利用牛顿迭代计算复合结构的纵向等效抗弯刚度的具体数值. 如图7所示为解析模型计算流程. 1）联立衬砌管片的控制方程，当给出衬砌管片相关参数和弯矩时，就可以确定以下8个变量：环缝张开量δ_j、最大混凝土压应变ε_c、最大混凝土拉应变ε_t、纵向等效连续化模型在相同弯矩下的转角θ、中性轴到隧道横截面圆心所在水平线的距离x、螺栓弹性塑性应力状态临界位置到隧道横截面圆心所在水平线的距离η、衬砌管片的界限弯矩M_cr0及衬砌管片纵向等效抗弯刚度(EI)_eq0. 2）联立填充混凝土-钢管的控制方程，当给出填充混凝土-钢管相关参数和弯矩时，就可以确定以下7个变量：填充混凝土的最大压应变 $ {\varepsilon '_{\text{c}}} $、钢管的最大拉应变ε_pt、弯矩作用平截面发生的旋转角θ_n、中性轴到隧道横截面圆心所在水平线的距离x₁、钢管弹性塑性应力状态临界位置到隧道横截面圆心所在水平线的距离η₁、填充混凝土-钢管的界限弯矩M_cr1及填充混凝土-钢管纵向等效抗弯刚度(EI)_eq1. 3）根据衬砌管片和填充混凝土-钢管的曲率关系，可以确定复合结构的界限弯矩M_cr、纵向等效抗弯刚度(EI)_eq及其他关键参数.

鉴于尚无实验或现场测试结果可用于验证输水隧道复合结构解析模型，本研究在模型验证阶段对解析模型进行退化验证. 选取上海地铁一号线衬砌管片的纵向变形受力研究成果，对复合结构衬砌管片控制方程进行计算验证. 具体计算参数的取值如表1所示.

鲁志鹏^[19]考虑环缝影响长度，修正了等效纵向刚度模型^[4]，提出隧道结构的5类界限状态：1)纵向曲率半径ρ<15 000 m（管片应力、螺栓拉力和环缝张开量均处于较低的水平，隧道处在安全运行的工作状态）^[6,19]；2)管片最外侧受拉螺栓达到屈服应力^[19]；3)环缝张开量达到管片抵抗0.5 MPa水压的环缝容许张开量2 mm时^[19]；4)环缝张开量达到保证环缝密封垫不漏水的极限张开量6 mm时^[19]；5)管片最外侧受拉螺栓达到其破坏应力^[19]. 从实用出发对上海地铁一号线隧道界限状态时的隧道曲率半径、环缝张开量进行计算分析，计算结果如表2所示. 由本研究模型计算结果可知，上海地铁一号线隧道达到界限状态时的顺序与文献[19]的结果相同. 在5类界限状态下，将衬砌管片对应的曲率半径和环缝张开量的界限指标计算结果与文献[19]模型的计算结果相比，在螺栓处于弹性阶段时，相对误差 $ \varDelta $=0；在螺栓处于塑性阶段时， $ \varDelta $<10%. 因此，本研究衬砌管片的控制方程可靠.

依托杭州某输水隧道工程，对复合结构进行结构受弯性能分析. 输水隧道的主要结构参数如表3所示. 环缝长度影响系数反映管片接缝对结构性能的影响，取值主要与接缝构造相关^[20]. 考虑到上海地铁一号线的环间接缝构造与本研究对象的相似，为此取环缝长度影响系数λ=0.472 5^[5]. 从工程实际角度出发，将隧道结构的临界状态归结为如下7类.

1）环缝张开量达到管片可抵抗0.5 MPa水压的容许张开量2 mm，此时缝中的止水措施开始发挥作用，水的渗入会侵蚀螺栓和管片混凝土^[6,19].

2）环缝张开量达到保证环缝密封垫不漏水的极限张开量6 mm，此后环缝中的止水措施将可能在外水压作用下失效^[6,19]，内部钢管和填充混凝土可能被侵蚀.

3）受拉螺栓达到屈服应力，此后管环衬砌纵向抗弯刚度将快速下降，此时管环衬砌的整体应力水平仍然不高，环缝张开量低于设计值，管环衬砌仍能正常工作^[6,19].

4）受拉螺栓达到破坏应力，此后管环衬砌结构将伴随拉区螺栓的断裂而失去承载能力^[6,19].

5）受拉钢管达到屈服应力，此后内部填充混凝土-钢管结构纵向抗弯刚度将快速下降，此时输水盾构隧道复合结构的整体应力水平仍然不高，钢管拉伸变形量低于设计值，复合结构仍能正常工作.

6）管片混凝土达到受压时的屈服应变，此后受压区管片混凝土的压应力将超过其抗压强度，混凝土可能被破坏^[6,19].

7）填充混凝土达到受压时的屈服应变，此后受压区填充混凝土的压应力将超过其抗压强度，混凝土可能被破坏.

如图8所示，随着弯矩的增加，环缝张开量、最大管片混凝土压应变可以分为2个阶段. 1）弯矩相对较小，由于环缝的抗弯刚度保持不变，环缝张开量和最大管片混凝土压应变均线性增加，直到弯矩达到螺栓的屈服点. 由于螺栓和管片混凝土的应变都在弹性范围内，屈服点定义为螺栓开始受拉屈服，对应M=1.41×10⁴ kN·m. 2）当弯矩增加到受拉螺栓的屈服点，随着纵向弯矩的增加，环缝张开量、最大管片混凝土压应变迅速增加，管片混凝土仍处于弹性状态. 当M=1.87×10⁴ kN·m时，受压侧边缘的混凝土开始屈服，之后，环缝将随着弯矩的增加而损坏. 因此，混凝土受压屈服可以作为纯弯曲条件下环缝极限承载状态的标志. 管环衬砌抗弯刚度的非线性通过弯矩与曲率的关系来表现. 如图9所示，点A、B、C、D的横纵坐标分别对应隧道处于界限状态3）、1）、2）和6）时的曲率和弯矩.

如图10所示，与外部管环衬砌类似，随着弯矩的增加，内部填充混凝土-钢管在正弯矩受力状态和负弯矩受力状态时均表现出类似的性状，即最大钢管拉应变、最大填充混凝土压应变可以分为2个阶段. 1）在纵向弯矩M<M_y的情况下，随着弯矩的增加，最大钢管拉应变、最大填充混凝土压应变成线性增加. 2）当弯矩超过M_y后，受拉钢管从最外侧开始陆续进入塑性状态，最大填充混凝土压应变、最大钢管拉应变随弯矩的增加迅速增大，当弯矩增大到填充混凝土开始受压屈服时，可视为纯弯曲条件下的极限承载状态. 填充混凝土-钢管抗弯刚度的非线性通过弯矩与曲率的关系来表现. 如图11所示，点a、b、y、c、d、m的横纵坐标分别对应隧道处于界限状态3）、1）、5）、2）、6）和7）时的曲率和弯矩.

基于假定1)，复合结构受弯性能分析计算可以分为2个部分：衬砌管片和填充混凝土-钢管进行独立计算，再根据曲率关系进行叠加. 如表4所示，当复合结构处于正弯矩或负弯矩受力状态下，隧道结构达到临界状态的顺序均为螺栓达到屈服应力、环缝张开2 mm（螺栓和管片混凝土被侵蚀）、钢管达到屈服应力、环缝张开6 mm（钢管和填充混凝土被侵蚀）、管片混凝土开始受压屈服、填充混凝土开始受压屈服、螺栓达到破坏应力. 与不考虑填充混凝土-钢管的存在相比，当隧道处于正弯矩受力状态时，螺栓开始屈服的弯矩从1.41×10⁴ kN·m提高到4.01×10⁴ kN·m，提高了1.84倍；管片混凝土开始受压屈服的弯矩从1.87×10⁴ kN·m提高到2.03×10⁵ kN·m，提高了9.86倍. 当隧道处于负弯矩受力状态时，螺栓开始屈服的弯矩从1.41×10⁴ kN·m提高到3.28×10⁴ kN·m，提高了1.33倍；管片混凝土开始受压屈服的弯矩从1.87×10⁴ kN·m提高到1.67×10⁵ kN·m，提高了7.93倍.

与盾构隧道衬砌管片相比，填充混凝土-钢管对输水隧道复合结构抗弯刚度的贡献较大，本研究仅对填充混凝土-钢管进行结构设计优化分析.

为了探究钢管偏心位置h的影响，设定 $ h \in [-0.95，0.95] \;{\rm{m}}$，覆盖盾构衬砌管片内可施工钢管的所有可能范围. 以隧道处于正弯矩受力状态为例，如图12所示，随钢管偏心位置的增大，隧道弹性阶段的等效抗弯刚度和隧道达到临界状态3）、1）、5）、2）、6）和7）时的弯矩均逐渐增大. 具体而言，当h从−0.95 m增大到0.95 m时，隧道弹性阶段的等效抗弯刚度增大了1.41倍，螺栓开始受拉屈服的弯矩增大了1.36倍，环缝张开2 mm的弯矩增大了2.43倍，钢管开始受拉屈服的弯矩增大了1.19倍，环缝张开6 mm的弯矩增大了1.84倍，管片混凝土开始受压屈服的弯矩增大了1.68倍，填充混凝土开始受压屈服的弯矩增大了1.82倍.

在实际工程中，输水隧道复合结构承受正弯矩或负弯矩时，当钢管与衬砌管片同心时为最有利工况，原因是此时钢管能够得到良好保护. 当钢管紧贴衬砌管壁时，则为最不利工况. 以隧道处于正弯矩受力状态为例，如图12所示，本研究的最不利工况定义如下. 最不利工况1)：当钢管偏心位置 h=0.95 m时，虽然隧道纵向抗弯性能优于最有利工况，但钢管紧贴衬砌管壁下边缘，当衬砌管片环缝张开量达到保证环缝密封垫不漏水的极限张开量6 mm时，钢管将失去衬砌管片的保护，极易出现腐蚀现象. 最不利工况2)：在钢管偏心位置 h=−0.95 m时，虽然钢管紧贴衬砌管壁上边缘，衬砌管片对钢管具有良好的保护作用，但此时隧道的纵向抗弯性能较差，填充混凝土和管片混凝土几乎同时达到受压屈服应变，导致隧道脆性破坏.

以杭州市第二水源输水通道工程实际参数设计值为参考基础，以h=0 m为例，分析不同钢管外径D₁和钢管厚度t₁对隧道纵向等效抗弯刚度的影响. 如图13、14所示，随钢管外径D₁及钢管厚度t₁的增大，隧道的等效抗弯刚度和隧道达到临界状态3）、1）、5）、2）、6）和7）时的弯矩均逐渐增大. 具体而言，当D₁从2.5 m增大到4.5 m，隧道弹性阶段的等效抗弯刚度增大了0.52倍，螺栓开始受拉屈服的弯矩增大了0.54倍，环缝张开2 mm的弯矩增大了0.77倍，钢管开始受拉屈服的弯矩增大了0.63倍，环缝张开6 mm的弯矩增大了0.70倍，管片混凝土开始受压屈服的弯矩增大了0.66倍，填充混凝土开始受压屈服的弯矩增大了0.58倍. 当t₁从10 mm增大到30 mm，隧道弹性阶段的等效抗弯刚度增大了0.58倍，螺栓开始受拉屈服的弯矩增大了0.62倍，环缝张开2 mm的弯矩增大了0.90倍，钢管开始受拉屈服的弯矩增大了1.26倍，环缝张开6 mm的弯矩增大了1.31倍，管片混凝土开始受压屈服的弯矩增大了1.36倍，填充混凝土开始受压屈服的弯矩增大了1.28倍.

以杭州市第二水源输水通道工程实际参数设计值为参考基础，以h=0 m为例，分析不同填充混凝土和钢管弹性模量对隧道纵向等效抗弯刚度的影响. 如图15、16所示，填充混凝土弹性模量对隧道纵向等效抗弯刚度及隧道达到临界状态3）、1）、5）、2）、6）和7）时的弯矩的影响较小；随着钢管弹性模量 $ {E_{{\text{pt}}}} $的增大，隧道的等效抗弯刚度和隧道达到临界状态3）、1）、2）、6）和7）时的弯矩均逐渐增大，隧道达到临界状态5）时的弯矩逐渐减小. 具体而言，当 $ {E_{{\text{pt}}}} $从150 GPa增大到350 GPa，隧道弹性阶段的等效抗弯刚度增大了0.48倍，螺栓开始受拉屈服的弯矩增大了0.47倍，环缝张开2 mm的弯矩增大了0.64倍，环缝张开6 mm的弯矩增大了0.10倍，管片混凝土开始受压屈服的弯矩增大了0.05倍，填充混凝土开始受压屈服的弯矩增大了0.02倍，而钢管开始受拉屈服的弯矩减小了8.6%.

(1)考虑混凝土、螺栓和钢管的弹塑性变形特性，推导构建输水盾构隧道复合结构的受弯分析模型. 求解所建模型，得到隧道纵向接缝张开量、最大混凝土压应变及最大钢管拉应变等关键变形参数.

(2)输水盾构隧道达到临界状态的先后顺序：螺栓达到屈服应力、环缝张开2 mm（螺栓和管片混凝土被侵蚀）、钢管达到屈服应力、环缝张开6 mm（钢管和填充混凝土被侵蚀）、管片混凝土开始受压屈服、填充混凝土开始受压屈服、螺栓达到破坏应力.

(3)根据以杭州某输水隧道工程实际参数设计值为参考基础的分析结果表明，考虑填充混凝土-钢管的存在，输水盾构隧道复合结构的承载能力显著提升. 当隧道处于正弯矩受力状态时，螺栓开始屈服的弯矩提高了1.84倍，管片混凝土开始受压屈服的弯矩提高了9.86倍；当隧道处于负弯矩受力状态时，螺栓开始屈服的弯矩提高了1.33倍，管片混凝土开始受压屈服的弯矩提高了7.93倍.

(4)在实际工程中，当钢管与衬砌管片同心时为最有利工况，此时钢管能够得到良好的保护. 当钢管紧贴衬砌管壁时，为最不利工况，此时容易导致钢管腐蚀和隧道脆性破坏. 在实际工程设计中，建议根据具体情况参考图12~16，或者利用本研究的解析模型进行计算分析，以选择合适的隧道设计参数，确保结构的安全性和可靠性.

（5）在输水盾构隧道复合结构的设计阶段，可以参考结构设计参数分析的结果对结构进行安全、经济的设计. 在输水盾构隧道复合结构的运营期，可以根据实测地基沉降结果对隧道的服役性能进行合理评估.

（6）本研究尚存在局限性：1)当输水盾构隧道复合结构衬砌管片和填充混凝土结合面处黏结较弱时可以采用本研究模型进行计算分析，当结合面处黏结较强时须更复杂的模型. 2)当地基沉降引起隧道弯曲的曲率半径较小时，隧道弯曲变形过程中不再符合平截面假定，隧道的变形可能会变得非线性，包括材料非线性、几何非线性、接触非线性等. 3)考虑到加劲环的作用不可忽略，本研究简化了钢管的应力应变关系曲线，但实际钢管的应力应变关系曲线须根据具体问题结合拉伸模型试验或者拉伸原型试验确定. 4)本研究构建的输水盾构隧道复合结构解析模型及其分析方法对类似工程具有较好的指导作用，且具有一定的通用性. 本研究基于特定工程案例分析得出的结论，并不一定具备普适性.