我国能源资源与负荷需求在地理分布上具有高度逆向的特征，为了实现跨区域电力传输，发展了大规模高压直流(high voltage direct current, HVDC)输电工程. 随着基于电网换相换流器的高压直流输电(line commutated converter based HVDC, LCC-HVDC)规模的增加，直流多馈入系统(multi-infeed HVDC system, MIDC system)受端交流电网的电压支撑强度相对降低（简称电网强度），系统存在电压失稳风险^[1-3]. 基于电压源型换流器的高压直流输电(voltage source converter based HVDC, VSC-HVDC)相较LCC-HVDC具有无需电网换相、无功补偿的优势，使得MIDC系统逐步发展为混合直流多馈入系统(hybrid multi-infeed high voltage direct current system, HMIDC system). HMIDC是我国未来新型电力系统交直流系统的典型模式，因此准确量化HMIDC电网强度对受端电网的安全稳定运行至关重要^[4-6].

短路比(short circuit ratio, SCR)被广泛用于量化LCC-HVDC单馈入系统(single infeed HVDC system，SIDC system)的电网强度^[7]. 在MIDC系统中，现有电网强度评价指标分为以下2类. 第1类为电路等值类评估指标，主要包括多馈入短路比(multi-infeed short circuit ratio, MISCR)^[8-9]与等值有效短路比(equivalent effective short-circuit ratio, EESCR)^[10]. 现有研究表明电路等值类评估指标沿用经验值为交流电网强度临界值将导致分析结果偏保守. 第2类为交流网络模态解耦类指标，比如广义短路比(generalized short-circuit ratio, gSCR)^[11]. 辛焕海等^[11]针对直流设备侧参数与控制方式相同的LCC-HVDC同构MIDC系统(简称同构系统)，利用严格的特征值分解，得到系统模态与交流网络特征的显式关系，推导得到gSCR指标，gSCR临界值由直流侧参数决定且与SCR临界值在不同网架下能够保持一致.

在混合直流馈入系统的电压稳定性研究中通常将VSC-HVDC近似为功率源或恒阻抗处理^[12-16]，重点关注LCC-HVDC节点端口特性对电网强度的影响. 郭春义等^[13]通过电路等值前后混合直流双馈入系统中LCC-HVDC的传输功率保持不变推导LCC-HVDC系统短路比的视在增量，以评估混合直流多馈入系统中LCC-HVDC的系统强度. 田宝烨等^[15]在混合双馈入系统中的LCC-HVDC直流电流上施加扰动，将VSC-HVDC电压变化量与电流变化量的比值定义为运行阻抗，通过阻抗等值构造LCC-HVDC单馈入系统，以评估混合直流双馈入系统中VSC-HVDC对LCC-HVDC系统强度的影响. 倪晓军等^[14,16]基于小信号模型计算VSC-HVDC的等效阻抗，提出基于阻抗的有效短路比衡量混合直流多馈入受端电网的强度. 上述指标的提出在一定程度上完善了混合直流馈入系统中电压稳定性的分析理论，然而现有的混合直流多馈入系统的强度评估指标存在以下不足：混合直流多馈入系统的建模基于双馈入系统，没有泛化到多馈入系统，弱化了指标在工程中的适用性；仍是基于电路等值思想的短路比指标概念的拓展，指标缺乏明确的临界值.

现有研究尚未基于网络模态解耦思想给出混合直流馈入系统电压稳定裕度的评估方法. 为此，本研究进一步弱化辛焕海等^[11,17]所提网络模态解耦类指标所需的同构直流多馈入系统的假设条件，将其应用于直流设备侧参数与控制方式存在差异的（简称异构）直流多馈入系统与混合直流多馈入系统. 基于模态摄动理论，推导计及控制方式与参数异构的MIDC系统电网强度临界值计算方法. 此外，给出考虑VSC-HVDC设备后HMIDC系统电网强度近似评估流程. 最后，通过仿真算例验证分析方法的有效性.

交直流系统稳定性分析采用LCC-HVDC单馈入系统，其等效电路如图1所示. 图中， $K$、 ${P_{\rm{d}}}$、 $ {U_{\rm{d}}} $、 ${I_{\rm{d}}}$、E、 $\gamma $、 $X$、 $N$、 $\varphi $、 ${Q_{\rm{d}}}$和 ${C_{\rm{c}}}$分别表示直流侧变压器变比、有功功率、电压、电流、电动势、关断角、变压器短路电抗、串联变流器数目、功率因数、无功功率和补偿电容，U、 $\theta $与Z分别表示换流母线电压幅值、相角以及交流电网戴维南等值阻抗.

在LCC-HVDC准稳态方程组^[18]基础上采用标幺化方法^[19]建立系统模型：

(1) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{U_{\rm{d}}} = 3\sqrt 2 {{\text{π}} ^{ - 1}}NK{k^{ - 1}}U\cos\; \gamma - 3{{\text{π}} ^{ - 1}}N{k^{ - 2}}X{I_{\rm{d}}}}, \\ {{P_{\rm{d}}} = {U_{\rm{d}}}{I_{\rm{d}}},} \\ {{Q_{\rm{d}}} = - {P_{\rm{d}}}\tan\; \varphi ,} \\ {\cos\; \varphi = \cos \;\gamma - \dfrac{{X{I_{\rm{d}}}}}{{\sqrt 2 KkU}},} \\ {P = {P_{\rm{d}}} - {{UE\left(\sin \; \theta \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{UE\left( \sin \theta \right)} {Z,}}} \right. } {Z,}}} \\ {Q = {Q_{\rm{d}}}+\omega {C_{\rm{c}}}{U^2} - {{\left( {{U^2} - UE\cos \; \theta } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{U^2} - UE\cos \;\theta } \right)} {Z.}}} \right. } {Z.}}} \end{array}} \right\} $

式中：k为直流侧电压基准值与交流侧电压基准值的比值，在计算时可以直接代入各变量标幺值进行计算；ω为角频率.

交直流系统的电压稳定研究侧重于分析LCC-HVDC的最大传输功率. 在量化LCC-HVDC馈入系统的功率传输极限时，可以通过雅可比矩阵鞍结分岔进行表征，即采用三端口雅克比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}} $的奇异性作为判据^[20-21]：

(2) $ \left. \begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {{\boldsymbol{P}}_{\rm{d}}}},&{\Delta {\boldsymbol{P}}},&{\Delta {\boldsymbol{Q}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {{\boldsymbol{I}}_{\rm{d}}}},&{\Delta \theta },&{{{\Delta {\boldsymbol{U}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\Delta {\boldsymbol{U}}} {\boldsymbol{U}}}} \right. } {\boldsymbol{U}}}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}, \\ {{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}{I_{\rm{d}}}}}}&0&{{{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}U}}} \\ {{{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}{I_{\rm{d}}}}}}&{{{\boldsymbol{J}}_{P\theta }}}&{{{\boldsymbol{J}}_{PU}}+{{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}U}}} \\ {{{\boldsymbol{J}}_{{Q_{\rm{d}}}{I_{\rm{d}}}}}}&{{{\boldsymbol{J}}_{Q\theta }}}&{{{\boldsymbol{J}}_{QU}}+{{\boldsymbol{J}}_{{Q_{\rm{d}}}U}}} \end{array}} \right]. \\ \end{array} \right\} $

式中：∆表示微增量， $ {\boldsymbol{J}} $表示对应变量的偏导数，单馈入系统中 $ {{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}} $表达式详见文献[11].

进一步，在鞍结分岔点处，式(2)中的3阶雅克比矩阵奇异性等价于降阶雅可比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{LCC}}}}+ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{AC}}}} $的奇异性^[17]，即 $ \det ({{\boldsymbol{J}}_{\rm{S}}}) = \det ({{\boldsymbol{J}}_{{\rm{LCC}}}}+{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{AC}}}}) $， $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{LCC}}}} $、 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{AC}}}} $分别表示直流侧与交流侧雅可比矩阵. 直流多馈入系统中交流侧雅克比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{AC}}}} $不受LCC-HVDC控制方式的影响，可以统一表示为

(3) $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{AC}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{J}}_{P\theta }}}&{{{\boldsymbol{J}}_{PU}}} \\ {{{\boldsymbol{J}}_{Q\theta }}}&{{{\boldsymbol{J}}_{QU}}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\text{diag}}\;({U_i}^2){\boldsymbol{B}}}&{ - {\text{diag}}\;({P_{\rm{d}}}_i)} \\ { - {\text{diag}}\;({P_{\rm{d}}}_i)}&{{\text{diag}}\;({{\boldsymbol{U}}_i}^2){\boldsymbol{B}}} \end{array}} \right]. $

式中： $ {\text{diag}} $表示对角矩阵， $ {\boldsymbol{B}} $表示交流侧等值导纳矩阵，下标 $i$对应第 $i$回直流.

直流侧雅克比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{LCC}}}} $可以表示为

(4) $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{LCC}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{0}}&{\boldsymbol{0}} \\ {\boldsymbol{0}}&{{{\boldsymbol{J}}_{{Q_{\rm{d}}}U}} - {{\boldsymbol{J}}_{{Q_{\rm{d}}}I}}{{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}I}}^{ - 1}{{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}U}}} \end{array}} \right]. $

当LCC-HVDC运行于定功率定熄弧角(constant power constant extinction angle, CP-CEA)与定电流定熄弧角(constant current constant extinction angle, CC-CEA)控制方式时，式(4)中 ${{\boldsymbol{J}}_{{Q_{\rm{d}}}U}} - {{\boldsymbol{J}}_{{Q_{\rm{d}}}I}} {{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}I}}^{ - 1}{{\boldsymbol{J}}_{{P_{\rm{d}}}U}}$可以化简为 ${\text{diag}}\;({P_{{\rm{N}}i}}{U_i}^2{o_i}{T_i})$， ${o_i} = {P_{{\rm{d}}i}} / ({P_{{\rm{N}}i}} {U_i}^2)$表征各个直流的运行点， $ {P_{{\rm{N}}i}} $表示对应直流的额定功率， ${T_i} = 2{P_{{\rm{d}}i}}{c_i}K\left( {{c_i}} \right){\text{+2}}\omega {C_{{\rm{c}}i}}{U_i}^2/{P_{{\rm{d}}i}}$,其中， $K\left( {{c_i}} \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {\cos\; {\gamma _i} - {c_i}} \right)}^2}\sqrt {1 - {{\left( {\cos\; {\gamma _i} - {c_i}} \right)}^2}} }}$， ${c_i} = \dfrac{{{X_i}{I_{\rm{d}}}}}{{\sqrt 2 {K_i}k{U_i}}}$.

当LCC-HVDC在CP-CEA和CC-CEA控制时，LCC-HVDC的功率传输极限受到电网强度的制约. 在实际工程中，LCC-HVDC在正常运行情况下，一般采用CP-CEA或CC-CEA控制，以应对系统中负荷潮流的变化，提高系统运行的灵活性. 因此，Zhang等^[17]基于模态解耦理论给出考虑CP-CEA和CC-CEA控制下的直流多馈入系统电网强度的评估方法.

针对CP-CEA/CC-CEA控制方式下的同构LCC-HVDC多馈入系统，式(4)中的各个直流馈入处的 $ {T_i} $与 $ {o_i} $均相等（即 $ T = {T_1}{\text{ = }}\cdots {\text{ = }}{T_i} $， $o = {o_1}{\text{ = }}\cdots {{ = }} {o_i}$），此时 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{LCC}}}}+{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{AC}}}} $矩阵奇异等价于 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}} $奇异. 表达式如下：

(5) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}} = oT \times {{{{\boldsymbol{I}}}}_n}+{o^2}{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}} ,\\ {{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}} = - {\text{dia}}{{\text{g}}^{ - 1}}\;({P_{{\rm{N}}i}}){\boldsymbol{B}}.} \end{array}} \right\} $

式中： $ {{\boldsymbol{I}}_n} $为单位矩阵， $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}} $表示拓展导纳矩阵.

根据矩阵特征值分解，在位于鞍结分岔点时，式(5)对应的临界稳定条件能够简化为

(6) $ \det \left( {{{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}}} \right) = \prod\limits_{i = 1,2, \cdots ,n} {\left( {oT+{o^2}\lambda _i^{ - 1} - {\lambda _i}} \right)} = 0. $

式中： $ oT+{o^2}\lambda _i^{ - 1} - {\lambda _i} $与 ${\lambda _i}$分别为矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}} $与 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}} $的第i个特征值. $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}} $的特征值 $ oT+{o^2}\lambda _i^{ - 1} - {\lambda _i} $决定了解耦后各个等效LCC-HVDC单馈入系统的稳定性， $ oT+{o^2}\lambda _i^{ - 1} - {\lambda _i}{\text{ = }}0 $表明电网运行点位于电压稳定边界，拓展导纳矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}} $的特征值 ${\lambda _i}$表征交直流混联系统解耦后各个等效单馈入系统交流电网的模态， $ oT $决定了同构系统中交流电网主导模态在电压稳定极限点的临界值. $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}} $的最小特征值 ${\lambda _1}$决定了直流多馈入系统的电压稳定性，即

(7) $ {\lambda _1} \buildrel \Delta \over = \min \;\lambda \left( {{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}} \right). $

最小特征值 ${\lambda _1}$在分岔点的临界值由直流侧端口特性 $ T $与运行点 $ o $决定，求解式(6)可得 ${\lambda _1}$的临界值 ${\lambda _{\rm{c}}} = $ $ {{o{T_{}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{o{T_{}}} 2}} \right. } 2}+\sqrt {{{{o^2}T_{}^{\text{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{o^2}T_{}^{\text{2}}} 4}} \right. } 4}+{o^2}} $. 即当 ${\lambda _1} = {\lambda _{\rm{c}}}$时，系统发生鞍结分岔，LCC-HVDC到达最大传输功率，当 $ o = 1 $时，系统额定运行点到达电压稳定边界；当 ${\lambda _1} > {\lambda _{\rm{c}}}$时，系统尚未达到分岔点，通过计算 ${\lambda _1}$与 ${\lambda _{\rm{c}}}$的差值能够判断系统的稳定裕度^[17].

综上，现有网络模态解耦类指标仅给出了CP-CEA/CC-CEA控制方式下同构MIDC系统的电网强度定义方法，尚未考虑定功率定直流电压(constant power constant voltage, CP-CV)和定直流电流定直流电压(constant current constant voltage, CC-CV)控制方式.

在考虑CP-CV/CC-CV控制方式时，系统临界稳定条件的形式不变，仍为式(5)中的矩阵形式，但是，决定临界值 ${\lambda _i}$的直流侧特性参数 $ {T_i} $随控制方式变化. 在CP-CV/CC-CV控制方式下，直流端口特性 ${T_i} = \left( {{c_i} - \cos \;\gamma } \right){P_{{\rm{d}}i}}K\left( {{c_i}} \right)+2\omega {C_{\rm{c}}}{U_i}^2/{P_{{\rm{d}}i}}$. 基于GIGRE标准模型参数计算LCC-HVDC不同控制方式下 $ {T_i} $的具体数值：在CP-CEA/CC-CEA控制方式下， $ {T_i} $=1.486；在CC-CV/CP-CV控制方式下， $ {T_i} $=−1.238. 结合灵敏度矩阵^[22]符号特征可知，LCC-HVDC直流端口特性 $ {T_i} $对交流电网主导模态存在定性影响，其中正的 $ {T_i} $会恶化系统的电压稳定性，而负的 $ {T_i} $能够提高系统的电压稳定性. 综上，即CP-CEA/CC-CEA控制不利于系统稳定，CP-CV/CC-CV控制有利于系统稳定.

进一步分析参数对直流端口特性的数值影响，根据邵瑶等^[8]的分析结论可知，LCC-HVDC端口特性主要受到变压器短路电抗 $X$与熄弧角 $ \gamma $的影响，考虑参数变化范围： $X$=0.15~0.20， $ \gamma $=15°~21°. 仿真结果表明：CP-CEA/CC-CEA控制方式下 $ {T_i} $数值变化范围为1.238~1.535，CP-CV/CC-CV控制方式下数值变化范围为−1.261~−1.146. 正常运行范围内直流侧参数变化难以改变 $ {T_i} $的正负号.

2.1节分析结果表明，交直流系统电压稳定性主要受CP-CEA/CC-CEA控制方式的制约，因此在电网强度评估中将其作为主要矛盾，同时对其他控制方式做近似分析. 主要分析思路如下：将CC-CV/CP-CV控制下的LCC-HVDC通过网络侧折算反映其对电网强度的提升作用；将CP-CEA/CC-CEA控制方式下的LCC-HVDC仍保留在直流侧，通过模态摄动法量化其对电网强度临界值的影响.

首先分析CP-CEA/CC-CEA控制下LCC-HVDC异构多馈入系统的电压稳定性，采用模态摄动法^[23]进行分析.

类比式(5)，异构系统的 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}} $可以表示为

(8) $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{sys}}}} = {\text{diag}}\;({o_i}{T_i})+{\text{diag}}\;({o_i}^2){{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}. $

引理1 　假设 $ {\lambda _{\rm{a}}} $为矩阵 ${\boldsymbol{M}}$的单特征值，且存在左右特征向量 $ {{\boldsymbol{u}}}_{{\rm{L}}}、{{\boldsymbol{u}}}_{{\rm{R}}} $，令 ${\boldsymbol{ \varDelta}} $为矩阵 ${\boldsymbol{M}}$的扰动，并通过 $O(\left\| {\boldsymbol{\varDelta}} \right\|)$表示矩阵 ${\boldsymbol{ \varDelta }}$的高阶小量，那么扰动后的矩阵 $ \Delta {\boldsymbol{M}} $存在特征值 $ {\lambda _{\rm{a}}}^\prime $，满足

(9) $ {\lambda _{\rm{a}}}^\prime = \frac{{{{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}}^{\rm{T}}\Delta {\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{u}}_{\rm{R}}}}}{{{{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{u}}_{\rm{R}}}}}{\text+}O{\text{(}}{\left\| { {\boldsymbol{ \varDelta}}} \right\|^2}{\text{)}}{\text{.}} $

引理1可以作为 CP-CEA/CC-CEA控制方式下异构系统电网强度评估理论依据.

此外，令 $\delta = \left| {{\lambda _{\rm{a}}} - {\lambda _i}} \right|,i = 2,3, \cdots $， $\delta$表示特征值 ${\lambda _{\rm{a}}}$与矩阵 ${\boldsymbol{M}}$其他特征值 ${\lambda _i}\,(i = 2,3, \cdots)$的距离，且 $ \varepsilon = \left| {{{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}}^{\rm{T}}} \right|\left| {\boldsymbol{M}} \right|\left| {{{\boldsymbol{u}}_{\rm{R}}}} \right| $存在上界. 如果扰动量 ${\boldsymbol{ \varDelta}}$较小并满足 $ 16n{\varepsilon ^2}/{\delta ^2} < 1 $，那么特征值 $ {\lambda _{\rm{a}}}^\prime $位于以 ${{{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}}^{\rm{T}}\left( {{\boldsymbol{M}}+{\boldsymbol{ \varDelta}} } \right){{\boldsymbol{u}}_{\rm{R}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{u_L}^T\left( {{\boldsymbol{M}}+\Delta } \right){u_R}} {\left( {{u_L}^T{u_R}} \right)}}} \right. } {\left( {{{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{u}}_{\rm{R}}}} \right)}$为圆心， $ 4n{\varepsilon ^2}/\delta $为半径的盖尔圆盘内.

对式(5)中LCC-HVDC同构多馈入系统最小特征值进行摄动，得到LCC-HVDC异构多馈入系统雅克比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}} $的最小特征值：

(10) $ \begin{split} {\lambda _{\min }}({{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}}) = \;&{\boldsymbol{\mu}} _1^{\rm{T}}\left[ {{\text{diag}}\;({o_i}{T_i})+{\text{diag}}\;({o_i}^2){{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}} \right]{{\boldsymbol{v}}_1} = \\ & \sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} +\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}^2} {\lambda _1}^{{{ - }}1} - {\lambda _1}. \end{split}$

式中： $ {\mu }_{1,j}、{\nu }_{1,j} $为特征值 ${\lambda _1}$归一化后的左右特征向量 ${\boldsymbol{\mu}} _1^{\rm{T}}$与 $ {{\boldsymbol{v}}_1} $的第j个元素，满足 $ \displaystyle \sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}} = 1 $.

$ \det ({{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}}) = 0 $的等价表达式如下：

(11) $ {\lambda _{\min }}({{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}}) = \sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} +\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}^2} {\lambda _1}^{ - 1} - {\lambda _1} = 0. $

工程经验表明，LCC-HVDC系统参数差异导致 $ {T_i} $的数值变化程度相较解耦后的交流网络模态 $ {\lambda _i} $而言较小，即满足摄动理论 $ {{16n{\varepsilon ^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{16n{\varepsilon ^2}} {{\delta ^2}}}} \right. } {{\delta ^2}}} < 1 $的条件，近似误差 $ {{4n{\varepsilon ^2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{4n{\varepsilon ^2}} \delta }} \right. } \delta } \approx 0 $.

求解式(11)能够得到异构系统中 ${\lambda _{\rm{c}}}$解析表达式：

(12) $ \begin{split} &{\lambda _{\rm{c}}} = {{\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} } \bigg/ 2}+\\ &\left[ {{{\left({\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} }\right)^2} \bigg/ 4}+\left(\sum\limits_{j = 1}^n {\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}\right)^2 } \right]^{1/2}. \end{split} $

式中： ${\lambda _{\rm{c}}}$为方程(11)的正根， $\displaystyle \sum\limits_{j = 1}^n {} {\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j} $为异构直流多馈入系统中各个LCC-HVDC换流器 $ {o_i} $ $ {T_i} $通过特征向量加权后的结果.

由2.1节的分析结果可知，CC-CV/CP-CV直流侧端口特性对电压稳定性有支撑作用，其对电压稳定性的影响可以通过网络侧近似表征. 根据上述分析，计及全部控制方式的LCC-HVDC异构多馈入系统的电网强度评估步骤如下.

1）按照直流控制方式，将多馈入直流系统的节点导纳矩阵B划分为动态保留子块（对应CC-CEA/CP-CEA控制方式下的LCC-HVDC）与网络保留子块(对应CC-CV/CP-CV控制方式下的LCC-HVDC)：

(13) $ {\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{B}}_{{\rm{CEA}}}}}&{{{\boldsymbol{B}}_{{\rm{in}}}}} \\ {{{\boldsymbol{B}}_{{\rm{in}}}}}&{{{\boldsymbol{B}}_{{\rm{CV}}}}} \end{array}} \right]. $

式中： ${{\boldsymbol{B}}_{{\rm{CEA}}}}$为动态保留子块， ${{\boldsymbol{B}}_{{\rm{CV}}}}$为网络保留子块， ${{\boldsymbol{B}}_{{\rm{in}}}}$表示联络导纳块.

2）将 ${{\boldsymbol{B}}_{{\rm{CV}}}}$向左上角做Schur补，得到等效后的导纳矩阵：

(14) $ {{\boldsymbol{B}}_{{\rm{red}}}} = {{\boldsymbol{B}}_{{\rm{CEA}}}} - {{\boldsymbol{B}}_{{\rm{in}}}}{{\boldsymbol{B}}_{{\rm{CV}}}}^{ - 1}{{\boldsymbol{B}}_{{\rm{in}}}}. $

3)计算矩阵 ${\rm{diag}}\;({P_{{\rm{N}}i}}){{\boldsymbol{B}}_{{\rm{red}}}}$的最小特征值 ${\lambda _1}$及其对应的左右特征向量.

4）利用式(12)计算 ${\lambda _{\rm{c}}}$.

5）通过 ${\lambda _1} - {\lambda _{\rm{c}}}$量化系统的稳定裕度.

将VSC-HVDC的接入等效成对原有异构LCC-HVDC直流多馈入系统网络部分的摄动，以此将VSC-HVDC与LCC-HVDC异构直流多馈入系统的稳定裕度量化问题转换成异构LCC-HVDC系统的稳定裕度量化问题，从而基于第2节的理论基础通过特征值数值大小来刻画系统的稳定裕度.

VSC-HVDC直流侧雅可比矩阵^[23-24]统一表示为

(15) $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{VSC}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf{0}}&{{{\boldsymbol{J}}_{{{P_{\rm{v}}U}}}}} \\ {\bf{0}}&{{{\boldsymbol{J}}_{{{Q_{\rm{v}}U}}}}} \end{array}} \right]. $

式中：P_v、Q_v分别表示VSC-HVDC的有功功率和无功功率.

在定量评估系统稳定裕度时，将VSC-HVDC与LCC-HVDC的直流侧端口特性叠加，基于如图2所示的计算流程能够得到混合直流馈入系统的雅克比矩阵：

(16) $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{sys}}}} = {\rm{diag}}\;({o_i}{T_i}) - {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}+{\rm{diag}}\;({o_i}^2){{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}^{ - 1}+{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{vsc}}}}. $

式中： $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{vsc}}}} $表示VSC-HVDC接入后对原异构LCC-HVDC系统雅克比矩阵的摄动量.

根据引理1，对式(5)异构LCC-HVDC系统的最小特征值进行摄动，可以得到混合直流多馈入系统雅可比矩阵 $ {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{sys}}}} $的最小特征值：

(17) $ \begin{split} &{\lambda _{\min }}({{\boldsymbol{J}}_{{\text{sys}}}}) = {\boldsymbol{\mu}} _1^{\rm{T}}\left[ {{\text{diag}}\;\left( {{o_i}{T_i}} \right) + {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{vsc}}}}+{\text{diag}}\;\left( {{o_i}^2} \right){\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}^{ - 1} - {{\boldsymbol{J}}_{{\rm{eq}}}}} \right] \times \\ & \qquad {{\boldsymbol{v}}_1}= \sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} +{\boldsymbol{\mu}} _1^{\rm{T}}{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{vsc}}}}{{\boldsymbol{v}}_1}+ \\ & \qquad \sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}^2} {\lambda _1}^{ - 1} - {\lambda _1}.\\[-23pt] \end{split} $

进一步，式(17)可以表示为

(18) $ \begin{split} &\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} +\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}^2} {\lambda _1}^{ - 1} - {\lambda _1}+{\boldsymbol{\mu}} _1^{\rm{T}}{{\boldsymbol{J}}_{{\rm{vsc}}}}{{\boldsymbol{v}}_1} = \\ &\qquad \sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} +\sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}^2} {\lambda _1}{^{\prime{ - 1}}} - {\lambda _1}^\prime . \\[-23pt] \end{split} $

式中： $ {\lambda _1}^\prime $为考虑VSC-HVDC接入后混合直流多馈入系统交流电网的主导模态 ${\lambda _1}$修正后的数值. 由于直流侧特性 $ \displaystyle \sum\limits_{j = 1}^n {{\mu _{1,j}}{\nu _{1,j}}{o_j}{T_j}} $不变， ${\lambda _{\rm{c}}}$的表达式仍为式(12). 具体地，混合直流多馈入系统电压稳定性评估流程见图3.

基于特征值灵敏度^[25]，从物理空间上分析直流联络导纳与直流功率对系统强度的影响，主导模态 ${\lambda _1}$对等值导纳的灵敏度为

(19) $ \frac{{\partial {\lambda _1}}}{{\partial {b_{ij}}}} = - {{\boldsymbol{\nu}} _1^{\rm{T}}}\frac{{\partial {\boldsymbol{B}}}}{{\partial {b_{ij}}}}{{\boldsymbol{\nu}} _1} = \left\{ \begin{gathered} {({\nu _{1,i}} - {\nu _{1,j}})^2} \geqslant 0,\;\;\;i \ne j; \\ {\nu _{1,i}}{\nu _{1,j}} > 0,\,\;\;\;\;\;\;\;\quad i = j. \\ \end{gathered} \right. $

类似的，主导模态 ${\lambda _1}$对直流容量的灵敏度为

(20) $ \frac{{\partial {\lambda _1}}}{{\partial {P_{{\rm{N}}i}}}} = - {{\boldsymbol{\mu}} _1}^{\rm{T}}\frac{{\partial {\rm{diag}}^{{ - 1}}\;({P_{{\rm{N}}i}})}}{{\partial {P_{{\rm{N}}i}}}}{\rm{diag}}\;({P_{{\rm{N}}i}}){\lambda _1}{{\boldsymbol{\nu}} _1} = - {\lambda _1}{\nu _{1,j}}^2 < 0. $

基于上述灵敏度分析结果可知，系统强度的提升能够通过增大直流间联络导纳或减小直流容量来实现.

基于MATLAB与PSCAD/EMTDC仿真平台，分别搭建三馈入异构LCC-HVDC系统与混合直流馈入系统模型，完成数值计算与动态仿真，验证分析方法的有效性.

基于第2节的分析方法评估异构LCC-HVDC系统的电压稳定性. 仿真选用的异构三馈入LCC-HVDC系统的网络侧参数与设备侧参数见表1、2. 算例选取直流额定容量为1000 MV·A，交流与直流电压基准值分别为230、500 kV.

验证特征值用于评估系统电网强度的适用性，即能否通过 ${\lambda _1} - {\lambda _{\rm{c}}}$的数值评估异构LCC-HVDC系统的稳定裕度. 在异构直流三馈入系统中，保持 ${P_{{\rm{d}}2}}$与 ${P_{{\rm{d}}3}}$为1.0p.u.，增加 ${P_{{\rm{d}}1}}$以改变电网强度， ${\lambda _1}$和 ${\lambda _{\rm{c}}}$随 ${P_{{\rm{d}}1}}$的变化结果如图4所示. 可以看出，随着 ${P_{{\rm{d}}1}}$的增加， ${\lambda _1}$减小， ${\lambda _{\rm{c}}}$基本维持恒定，由 ${\lambda _1}$和 ${\lambda _{\rm{c}}}$之间的差值量化的稳定性裕度随着 ${P_{{\rm{d}}1}}$的增加而减小. 当 ${P_{{\rm{d}}1}}$增加到功率传输极限时， ${\lambda _1}$与 ${\lambda _{\rm{c}}}$重合，此时交直流混联系统到达分岔点，系统稳定裕度为0. 当 ${P_{{\rm{d}}1}}$大于功率传输极限时， ${\lambda _1} < {\lambda _{\rm{c}}}$，系统失稳.

基于第3节给出的分析方法评估混合直流三馈入系统中的电压稳定性. 混合直流三馈入系统参数详见表3、4. 表中，各参数均为标幺值，τ为变压器分接头，P_N、Q_N分别为额定直流功率、额定无功功率.

在仿真模型中将 ${P_{{\rm{d}}1}}$从额定值增大，计算 ${\lambda _1}$的数值大小，并通过系统雅克比矩阵奇异 ${\rm{det}}({{\boldsymbol{J}}_{{\rm{sys}}}}){\text{ = }}0$表征电网强度临界值，以此计算 ${P_{{\rm{d}}1}}$的功率传输极限，由仿真结果可知， ${P_{{\rm{d}}1}}$=1.572时到达功率传输极限，此时 ${\rm{det}}({{\boldsymbol{J}}_{{\rm{sys}}}})$=0，当 ${P_{{\rm{d}}1}}$>1.572时， ${\lambda _1}$< ${\lambda _{\rm{c}}}$，系统发生电压失稳. 进一步，通过式(18)计算分岔点处的 ${\lambda _1}$=2.17，与通过式(12)计算得到的理论临界值 ${\lambda _{\rm{c}}}$=2.11接近，数值误差为2.84%.

基于4.1节的异构三馈入LCC-HVDC系统完成时域仿真，算例选取直流额定容量为1000 MV·A，交流基准值分别为230 kV，仿真得到的 ${\lambda _{\rm{c}}}$=2.05，与4.1节的数值计算结果1.98接近. 此外，将LCC-HVDC 3控制方式改为CC-CV后，异构LCC-HVDC三馈入系统的时域仿真结果如图5、6所示. 图中，数值均为标幺值，U_ac表示母线交流电压幅值. 对应 ${\lambda _{\rm{c}}}$=1.64，与理论临界值1.57接近. 由仿真结果可知，在控制方式修改为CC-CV后， ${\lambda _{\rm{c}}}$减小至1.64， ${\lambda _1}$− ${\lambda _{\rm{c}}}$数值增大，系统稳定裕度增大.

进一步，通过时域仿真验证分析结论. 在混合直流三馈入系统中设置初始运行点为P1，直流功率 ${P_{{\rm{d}}1}}$=1.53，此时 ${\lambda _1}$=2.23> ${\lambda _{\rm{c}}}$，在t=2 s时将运行点更改为P2，对应的直流功率指令值增加到1.59p.u.以改变系统强度并观察系统的响应过程. 由上文分析结果可知， $1.59$> ${P_{{\rm{d}}\max }}$，此时 ${\lambda _1}$< ${\lambda _{\rm{c}}}$，即运行点为P2时无法维持系统稳定，运行点由P1改变为P2，系统对应的动态响应过程如图7所示. 图中，P_d1ref为直流功率参考值. 仿真结果表明，系统在初始运行点P1能够维持稳定，交流网络侧具有一定强度能够提高电压支撑能力，而当改变运行点为P2时交流母线电压与直流功率发生崩溃，系统失稳. 时域仿真结果与4.1节中的数值计算结果对应. 进一步通过仿真分析负荷特性与联络线导纳对电压稳定性的影响，在交流网络侧加装电动机负荷后，临界值 ${\lambda _{\rm{c}}}$由2.17增加到2.21，说明考虑电动机负荷会降低电网强度，而在增加恒阻抗负荷后，临界值 ${\lambda _{\rm{c}}}$由2.17减小为2.14，说明恒阻抗负荷能够提升系统强度^[25]；增大混合直流三馈入系统中的联络线导纳 ${b_{12}}$，仿真结果表明，直流间的联络导纳越大，电网强度越强.

通过如图8所示的IEEE-39节点模型验证本研究强度指标的有效性，基于表3的参数将LCC-HVDC1逆变侧在节点26接入，VSC-HVDC逆变侧在节点28接入，在仿真中设置直流额定容量为100 MV·A，其余参数基准值与4.1节一致.

基于图3给出的分析步骤通过数值计算得到LCC-HVDC1的功率传输极限为1.81p.u.，对应的 ${\lambda _{\rm{c}}}$=2.07. 在进行大系统时域仿真时，通过改变LCC-HVDC1的功率参考值来改变系统强度，首先设置LCC-HVDC1的初始运行点为P3，直流功率 ${P_{{\rm{d}}1}}$=1.73p.u.，对应的 ${\lambda _1}$=2.14> ${\lambda _{\rm{c}}}$,系统具有一定的电压稳定裕度，该运行点下系统是稳定的. 进一步，在2 s时将运行点由P3更改为P4， ${P_{{\rm{d}}1}}$增加至1.84p.u.，此时 ${\lambda _1}$=2.03< ${\lambda _{\rm{c}}}$，系统在对应的电网强度下无法维持稳定运行，上述过程对应的时域仿真结果见图9. 图中，U_{ac_bus26}表示母线26处的交流电压.

（1）LCC-HVDC在CP-CEA和CC-CEA控制方式下会降低系统强度，恶化系统的电压稳定性，而在CP-CV和CC-CV控制下对系统电压稳定性有提升作用；

（2）VSC-HVDC接入对系统电压稳定性的影响可以通过模态摄动近似分析，在进行混合直流多馈入系统强度分析时须综合考虑直流容量、联络导纳的影响，直流容量越小或联络导纳越大，电压稳定裕度越大.

所提方法旨在抓住混合直流馈入系统电压稳定性评估的主要矛盾，采取适合工程计算的思路，有助于促进网络模态解耦类强度指标在受端电网规划与运行中的应用. 未来将进一步研究考虑负荷特性后模态解耦类电网强度评估指标的计算方法.