快速路在城市道路中承担了大量机动车的交通需求，在交织区存在大量的车辆汇合与分离，导致该区间内分道直行与换道车流相互影响. 在大流量、多换道交通量工况时，交织区分流、合流段会产生严重拥堵，影响城市道路系统的正常运行^[1]. 作为城市快速路的关键节点，交织区交织段的通行能力与交通流量控制了整个快速路网的运行效率.

由于车辆换道时间在高峰期具有明显随机性，交通流随机模型在现代交通流研究中理应得到更多的重视^[2]. 常规与传统的交通流方程一般只表达交通流参量的期望，无法完全表示其随机特性，也不能在复杂工况下反映随机性和可靠性的关系. 对城市快速路交织区而言，高车流密度和大交织交通量工况时常发生. 在高密度工况下行车速度的随机性不大，但交织与换道消耗时间却具有明显的随机性^[3]. 大量的换道与交织行为及其随机特征成为影响交织区车流行进速度的主要因素. 为了更加合理地保障畅通，有必要研究极端工况下快速路交织区交通流的随机演化规律，寻求车速保证率的预测计算方法，展开通过能力、车流速度的保证率设计.

本研究从交织区交通流状态的随机变化特性出发，不仅考虑车流密度对车流速度的影响，还着重考虑不同条件下车辆换道完成时间的不确定性以及其与车流速度的耦合关系，并将换道时间随机性及其与交通车流速度的耦合关系表达在车流动力学方程中，以构成交通流动力学方程的随机表达形式。通过对实测换道时间进行统计分析，构建换道时间的概率分布，依托相应的交通流随机微分方程，解析在特定上游来车流率与交织参数工况下的交通流时空演化随机性^[4-5]。

交通应用中最早的随机性研究成果是车辆随机到达模型和以概率为基础的排队论模型^[6]，它们表达了随机交通的基本计算方法. 宏观交通流特征大多建立在期望统计规律基础之上. 经典的LWR模型^[7-8]、密度梯度模型和速度梯度模型^[9]都必须与基本图方程联立，或在方程中包含基本图支持的平衡速度u_e^[10]，而基本图本质上表达了随机交通流速度或流量的期望，这使经典交通流模型线性简化了随机性.

以元胞自动机^[11-12]为代表的在时域上推进的时间发展仿真类交通模型是由判别规则（跟驰^[13-14]与换道^[15]）确定下一时步每一车辆动作的选择^[16-19]，使得仿真过程具备了随机的特性，仿真结果也会与经典模型有所不同. 三相交通流理论建立在大量的观测数据基础上，与经典路段交通流方程明显区别的是，它指出了基本图在最大流量处存在亚稳态区以及在拥挤区存在同步流区域，这都表明在较大交通流密度工况下车流量和车流速会产生随机分裂^[20]. Baër等^[21]建立的路段交通流模型能够表达随机车流基本图的各种形状，从而适应车流参量的随机变化. Wang等^[22]提出了一种测量交通震荡幅度的新方法，揭示了随机线性跟驰模型的震荡特性. 目前，交通流随机性研究主要集中在离散选择^[23]、跟驰模型^[24-26]、行程时间可靠性^[27-29]、网络交通流分配^[30-31]、车辆换道等多个方面. 虽然随机交通流逐步成为交通研究的热点问题，但利用随机微分方程研究交通流随机性的成果尚不多见.

车辆换道是常见的交通行为，在低速高密度工况下车辆换道、交织行为常常诱发交通流速度的明显变化. Laval等^[32]基于运动波理论分析，将LWR方程右端的产生/离去率改为净车道变换率，提出了车辆换道竞争与平衡模型. 模型的核心是通过换道折减系数表示影响单位时间、单位长度的侧向换道率，通过驶入车道最大可用容量对强制换道流率进行限制. 这种限制反映了驶入车道密度增加，换道难度随之增加的交通现象，但Laval模型不表达换道时间与车速的随机性，只表达了平衡状态，方程的具体表达式如下.

(1) $ \frac{{\partial {k_l}}}{{\partial t}}+\frac{{\partial {q_l}}}{{\partial x}} = \sum\limits_{l' \ne l} {({\phi _{l'l}} - } {\phi _{ll'}}). $

式中： ${k_l}$、 ${q_l}$分别为 $l$车道的密度和流量； ${\phi _{l'l}}$、 ${\phi _{ll'}}$为单位时间内相邻车道的侧向换道流率，前者为由车道l'向车道l变换，后者则为相反换道方向.

文献[33]在交通流速度梯度模型基础上，引入了换道过程影响项和换道完成后的滞后变化项描述换道过程和换道流量对交通流状态的影响，继承了Laval模型换道难度随驶入车道密度变化的思想，提出了考虑换道难度和过程影响的交通流动力学方程. 表达式如下.

(2) $ \frac{{\partial {u_l}}}{{\partial t}}+{u_l} \frac{{\partial {u_l}}}{{\partial x}} = \frac{{\left( {{u_{{\rm{e}},l}} - {u_l}} \right)}}{\tau }+{{{c}}_0} \frac{{\partial {u_l}}}{{\partial x}} - \eta - \xi .$

(3) $ \eta {\text{ = }}\frac{{\delta {u_l}}}{{{k_l}}}\left[ {\left( {{Q_{l - 1 \to l}} - {Q_{l \to l - 1}}} \right)+\left( {{Q_{l+1 \to l}} - {Q_{l \to l+1}}} \right)} \right] . $

(4) $ \xi {\text{ = }}\left\{ \begin{aligned} & 0, \;\;{{k_l} < {k_{\rm{m}}}} ; \\& \frac{1}{{2{k_l}}}[ {u_l}\left( {{Q_{l - 1 \to l}}+{Q_{l+1 \to l}}} \right)\varphi \left( {{\varepsilon _l}} \right)+ \\&\qquad {u_{l - 1}}{Q_{l \to l - 1}}\varphi \left( {{\varepsilon _{l - 1}}} \right)+ \\&\qquad {u_{l+1}}{Q_{l \to l+1}}\varphi \left( {{\varepsilon _{l+1}}} \right) ], \;\; {{k_l} \geqslant {k_{\rm{m}}}} . \end{aligned}\right. $

式中： ${{{c}}_0}$为最小扰动波速^[34]，通常情况下取常数，用阻塞波速w替代；τ表示因驾驶员反应的滞后性而产生的延迟； ${u_{{\rm{e}},l}}$为车道 $l$平衡车流速； $ \eta $为换道完成加速度影响项； $\delta = \left( {{u_l} - {u_{{\rm{e}},l}}} \right)/{u_l}$； $\xi $为换道难度影响项； ${k_{\rm{m}}}$为车道最佳密度；Q为车道的侧向换道流率；式（2）左端为车流加速度，右端第1项为加减速回归项，右端第2项为前端速度梯度变化引起的后端车流加速度变化项； ${u_l}$为换道进入l车道的平均换道速度，因为不考虑 ${u_l}$的随机性，l车道的车流速也受 $ {u_l} $的控制，方程中l车道的车流速与换道进入l车道的平均换道速度相等； $\varphi \left( {{\varepsilon _l}} \right)$为 $ l $车道无量纲换道难度系数， $ {\varepsilon _l} $为Laval方程所提出的换道难度项.

动力学方程（式（2）~（4））可以描述包括换道行为的交通流的非稳定流态，刻画交通过程中交通流在时间和空间上的确定变化，虽然方程不描述随机性，但它为构建考虑换道时间随机性的偏微分方程提供了基础.

车辆换道是一个复杂的过程，包括加速、减速、转向、避让、停车等候和竞争等多个过程，换道车辆会与周边的其他车辆发生相互作用，完成换道耗费的时间无法确定. 随着驶入和驶出车道车流密度的增加，车辆之间相互作用的概率也相应提高. 即使在相同的交通流参数下，不同车辆完成换道所耗费的时间也不尽相同. 车辆换道时间的随机性对驶入和驶出车道车流稳定性产生直接影响，同时也改变相关车道局部的车流密度和车流速，影响换道后车流的随机演化的过程.

以往研究表明，同一路段上道路交通车辆行程(走行)时间符合对数正态分布^[35]，将车辆换道时间看成完成一个车道宽度行程的侧向行程的时间，车道宽度被视为“同一路段”，换道时间 ${t_{\text{c}}}$也应符合对数正态分布. 设 ${t_{\text{c}}} = {{\rm{e}}^x}$， $x \sim N\left(\mu ，{\sigma }^{2}\right) $（ $\mu $为对数换道时间均值， ${\sigma ^2}$为对数换道时间方差， $\mu $和 ${\sigma ^2}$根据车辆换道时间标定），其换道时间分布概率密度函数如下：

(5) $ f\left( {{t_{\text{c}}}} \right) = \frac{1}{{\sqrt {2{\text{π}}} \sigma {t_{\text{c}}}}}\exp \;\left[ { - \frac{{{{\left( {\ln\; {t_{\text{c}}} - \mu } \right)}^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right];{t_{\text{c}}} > 0. $

一般情况下有换道时间t_c的期望与方差如下：

(6) $ E\left( {{t_{\rm{c}}}} \right) = \exp \;\left( {\mu +{{{\sigma ^2}}}/{2}} \right). $

(7) $ {S^2}\left( {{t_{\text{c}}}} \right) = \left[\exp\; \left( {2\mu +{\sigma ^2}} \right) \right]\left[ {\exp\; \left( {{\sigma ^2}} \right) - 1} \right]. $

采集一周南京市鼓楼区江东快速路草场门隧道至定淮门隧道入口交织段在8:00—8:30的车辆早高峰期换道时间数据. 由于拥堵和来车随机，车流车辆换道时间方差较大，换道时间在1~14 s变动. 具体分布图及对其进行对数正态分布拟合后的曲线如图1所示. 图中，黑色点线表示拟合后对数正态分布曲线，F为换道频次. 拟合后分布表达式如下：

(8) $ f\left( t_{\rm{c}} \right) = \frac{{877.434}}{{\sqrt {2 {\text{π}} } t_{\rm{c}} \times 0.349}}\exp\; \left[ { - \frac{{{{\left( {\ln \;t_{\rm{c}} - 1.790} \right)}^2}}}{{2\times{{\left( {0.349} \right)}^2}}}} \right];\;t_{\rm{c}} > 0. $

拟合优度为0.932，符合对数正态分布的长尾性特征. 因此，对数正态分布可以作为换道时间的概率密度分布函数以简化相关计算.

将随机换道时间引入交通流方程(式（2）~（4）)，构建随机交通流偏微分动力学方程. 方程中换道难度影响项 $\xi $反映了驶入车道不同剩余容量下换道的困难程度，换道时间随机性决定了换道车速随机分布特性，分布特性与难度项对应工况应该基本一致. 作为随机变量的换道车速 ${u_{\rm{c}}}$，其分布受换道时间 ${t_{\rm{c}}}$的控制. 车辆在换道过程中的侧向行驶距离一定，则 ${u_{\rm{c}}}$分布包含服从对数正态分布的换道时间 ${t_{\rm{c}}}$的随机因子，换道车速与换道时间的关系如下：

(9) $ {u_{\rm{c}}} = \frac{{{S_{\rm{c}}}}}{{{t_{\rm{c}}}}} = \frac{{{S_{\rm{c}}}}}{{t_{\rm{d}} \left( {{{f\left( {{t_{\text{c}}}} \right)}}/{{E\left( {{t_{\rm{c}}}} \right)}}} \right)}} \approx {S_{\rm{c}}} {\left( {f\left( {{t_{\rm{c}}}} \right)} \right)^{ - 1}}. $

式中： ${S_{\rm{c}}}$为换道侧向行驶距离，t_d为实测车辆完成换道的持续时间. 换道难度项中的换道车速u_l被表达为随机速度u_c,l，其表达式如下：

(10) $\begin{split} \xi =& \frac{1}{{2{k_l}}}[ {u_{{\rm{c}},l}}({Q_{l - 1 \to l}}+{Q_{l+1 \to l}})\varphi \left( {{\varepsilon _l}} \right)+ {u_{{\rm{c}},l - 1}}{Q_{l \to l - 1}}\varphi \left( {{\varepsilon _{l - 1}}} \right)+ \\ & {u_{{\rm{c}},l+1}}{Q_{l \to l+1}}\varphi \left( {{\varepsilon _{l+1}}} \right) ];\; {{k_l} \geqslant {k_{\rm{m}}}} .\\[-12pt] \end{split} $

随机换道时间的交通流随机微分方程组由式（2）、（3）、（9）、（10）组成，其中式（10）中 ${u_{{\rm{c}},l}}$即为引入随机换道时间的随机项. 方程组同时还须并列基本图方程和路段交通流三参数关系. 须强调的是，由于考虑随机影响，式（10）中的换道车速不能由车道车速替代. 式（10）中右端求和的3项分别表达了左右两侧车道驶入本车道与本车道向左、右两侧车道驶出换道随机量对本车道车流加速度的影响. 在引入随机量后，式（2）中 ${u_l}$、 $ \eta $和 $\xi $都成为随机变量.

大部分随机偏微分方程难以求出解析解，交通流的随机微分方程也必须通过剖分计算区域、离散时间和空间参量，求得数值解. 与普通偏微分方程不同的是，已知输入的连续随机量必须在概率密度上进行分割，通过各分割概率密度区间对应的离散参量求解方程组. 各离散参量的对应解拼接成完整的随机偏微分方程的解，获得所求随机变量不同发生概率的数值解和分布的概率密度函数. 交通流随机偏微分方程的求解必须转换为时空剖分的离散方程的求解.

如图2所示为某快速路交织区网格剖分图，以图2为算例进行说明，在算例中输入换道时间概率密度分布，概率密度分布与难度项取值同属早高峰拥挤工况，求解时空车流速度密度分布演化.

图中，某快速路A型交织区主车道由2车道组成，根据车道进行网格剖分. 上行匝道与车道1网格0相接，下行匝道与车道1网格9相接. 其中，车道1、2的网格0设置为输入边界，车道1与2的网格9设置为输出边界，其余网格为计算区域内网格. 车道1输入边界单元（即0号网格）在给定主干道输入车流量的基础上还要考虑加入上行匝道的输入量；车道1网格9输出边界同样也包括下行匝道的输出量.

随机微分方程（式（2）、（3）、（10））的稳定离散求解形式如下：

(11) $\begin{split} {u}_{l,i}^{n}=\;&\frac{1}{2}\left({u}_{l,i+1}^{n-1}+{u}_{l,i-1}^{n-1}\right) -\Delta t\frac{{u}_{l,i+1}^{n-1}-{u}_{l,i-1}^{n-1}}{2\Delta x}\left({u}_{l,i}^{n-1}-{c}_{0}\right)+\\ \;&\frac{\Delta t}{\tau }\left({u}_{{\rm{e}}l,i}^{n-1}-{u}_{l,i}^{n-1}\right)+ \frac{\Delta t}{{k}_{l,i}^{n-1}}\left({u}_{{\rm{e}}l,i}^{n-1}-{u}_{l,i}^{n-1}\right)\times\\ \;&{\left[ \left({Q}_{l-1\to l}-{Q}_{l\to l-1}\right)+\left({Q}_{l+1\to l}-{Q}_{l\to l+1}\right)\right]}_{i}^{n-1}-\\ \;&\frac{\Delta t {u}_{{\rm{c}}}}{2{k}_{l,i}^{n-1}}[\left({Q}_{l+1\to l}+{Q}_{l-1\to l}\right)\varphi \left({\varepsilon }_{l}\right)+{Q}_{l\to l-1}\varphi \left({\varepsilon }_{l-1}\right)+\\ \;&{Q}_{l\to l+1}\varphi \left({\varepsilon }_{l+1}\right)]_{i}^{n-1}. \end{split} $

式中： ${u_{\rm{c}}}$为输入随机变量， $u_{{\rm{e}}l,i}^{n-1}$为l车道第i网格n−1时刻的平衡速度， $k_{l,i}^{n-1}$为l车道第i网格n−1时刻车流密度， $Q_{l,i}^n$为l车道第i网格n时刻交通量， $u_{l,i}^n$为l车道第i网格n时刻车流速.

基本图与三参数关系的离散如下：

(12) $ u_{{\rm{e}}l,i}^n = {u_{\rm{f}}}\left( {1 - {{k_{l,i}^n}}/{{{k_{\rm{j}}}}}} \right). $

(13) $ Q_{l,i}^n = u_{l,i}^n k_{l,i}^n. $

式中： ${u_{\text{f}}}$为车道最大速度， ${k_{\text{j}}}$为阻塞密度.

高峰期车流的交织运行工况按照如表1所示的OD矩阵进行计算，计算依据OD矩阵展开（O表示入口，即上行匝道以及车道1、2上游路段驶入车辆；D表示出口，即下行匝道和车道1、2下游路段驶出车辆）. 表中，数据表示交织区单位时间的流量流向.

计算过程如图1所示. 将换道时间密度函数分布分为14个区间，每个分区对应一个定常的 ${u_{\rm{c}}}$ (可以任意分区，分区越多越精确)，每次计算依次取其中区间之一. 区内的 ${u_{\rm{c}}}$中值被视为代表该区间换道时间的定量，密度函数分区的发生概率为区间时间横轴和概率密度曲线围成的面积. 随机方程的求解转化为14个定常 ${u_{\rm{c}}}$的微分方程的求解. 任一分区定常 ${u_{\rm{c}}}$求得速度为所求车流速度时空分布中的组成部分，所求速度发生概率与对应 ${u_{\rm{c}}}$分区概率相同. 在14个分区计算完毕后按所求速度进行拼接，形成完整的随机方程车流速的密度分布时空解.

计算t = 0 s时刻，须对所有计算网格进行交通流初始状态（u，k）的赋值，包括边界网格和内网格. 状态数据来自于现场实测或初始设定，所赋交通流参数必须满足模型（式（12）、（13））.

时间步长为 $\Delta t$，N表示总的时步数量， $ t=N\Delta t $即为总的计算时长. 在每个 $\Delta t$时间步长内，依次执行：1）分别对车道1和2的输入边界网格0进行输入流量赋值，由此给定 $\Delta t$时间内上游来车量. 车道1网格0赋值量包括上游主线和上行匝道的驶入量；2）依次利用方程（式（10）~（13））计算车道1和2网格1~8的交通状态，计算中包括车道1和2之间的换道行为；3）车道1和2网格9为输出边界，采用无反射开边界条件计算. 输出边界在第n时刻的状态等于输出边界同车道上游紧邻网格 $ {n - 1} $时刻的状态. 以 $\Delta t$为时间步长，按上述方法依次计算总计算时长内各时步2车道各网格单元的交通状态.

车辆换道分为强制换道和自由换道，强制换道为依据表1的OD矩阵所必须的换道. 自由换道则是由于两车道车流速度差而产生，车辆由低速车道向高速车道变换. 由于研究重点分析高密度工况，在计算中暂不考虑自由换道.

各方向换道车辆数或单位时间换道率必须与OD矩阵一致. 换道位置在网格1~8处，换道地点由实测或按先验分布计算确定，一般可以按泊松分布进行预算，以表达空间位置的随机分布. 计算结果为随机微分方程提供换道网格地点依据.

在高密度工况 $\left( {{k_{\rm{m}}} < k < {k_{\rm{j}}}} \right)$下进行研究分析. 设置空间步长 $\Delta x = $20 m，时间步长 $\Delta t = $1 s. 主线车道限速 $ {u_{\rm{f}}} = $60 km/h，交通流阻塞波波速 $w = $20 km/h，即为最小扰动波速 ${c_0}$； ${k_{\rm{j}}} = $150 pcu/km，平均滞后时间 $\tau = $3 s. 计算初始条件为拥堵状态，上游边界给定条件和换道方向，次数由如表1所示的OD矩阵推算.

以如图1所示的概率分布直方图作为输入，依据数值解法，得到所有计算域单元的历时速度概率分布直方图，如图3所示. 图中，p为概率， $u_{1,3}^{30}$为车道1第3网格第30 s速度. 须注意的是，图1直方图时段分割是等份的，而通过方程计算的速度分段区间 (见图3) 是递减变化的，这是交通流动力学方程作用的结果，也是随机偏微分方程所表达出的换道时间分布在其他约束条件作用下，和车流速分布的关系. 每个速度分割区间出现的概率继承了图1中所对应的换道时间段概率. 将图3中每个速度分段的概率除以其分段的速度宽度，可以得到近似的速度概率密度曲线，如图4所示. 图中， $\,\rho $为概率密度，通常没有单位. 可以看出，较慢的车流速占据了较大的概率，较快的车流速占据较小的概率，这是合理的.

交通流随机动力学方程是时间发展型偏微分方程，其求解结果的特征是在时间历程和空间计算域上给出变化的网格单元速度概率分布. 如图5所示为车道1网格3单元的0~60 s历时30个离散时刻点上的速度密度的变化. 图中， ${u_1}$为车道1各时刻速度. 由于初始给定的计算域密度较大、速度较小，当上游给定边界单元逐时输入车辆时，网格3对应的车流速度经历了较小-更小-快速增大-缓慢增大-逐渐稳定的过程. 在50~60 s时段内，单元车流速稳定在38 km/h. 图5还给出了各个时刻主要由交织换道引起的车流速的概率密度变化的历时过程，可以看出，各时刻速度可能分布的范围也不相同. 车流速在不同时段的概率密度分布形态变化既表达了交通流演变的可能性，也反映了交通流的秩序与潜在交通事故产生的风险情况，同时也表达了在某种工况、某种交通控制策略或某种交通设施设计下的通行能力、行车安全性与时间可靠性.

将一段时间内交织区所有网格单元的历时速度概率密度按速度坐标进行求和平均以降低方差并取得交织区时间平均的密度分布，其反映了交织区交织车辆与非交织车辆在该时段整个交织区域内车流速度的平均概率密度. 如图6所示为车道2网格单元8时均车流速度概率密度图. 图中， ${u_{2,8}}$为车道2网格8时均速度. 可以看出，不同置信度(保证率)所对应的车流速是不同的，图6表达了交织区车流速与置信度的关系. 结合给定工况与交通设施设计的换道时间分布，这种由随机交通流动力学方程所计算的区域时均车流速概率密度图可以作为设施保证率和通过量置信度预测的依据.

（1）由换道过程时间随机性构建的交通流随机微分方程可以描述复杂交通流相关参量演变的随机变化特征.

（2）所提的随机偏微分方程数值解法可以求解描述包括换道行为在内的交通流随机动力学方程.

（3）在低速高密度工况下，交织与换道对局部车流速的概率密度分布影响较大，也降低了车流的稳定性. 随机交通流方程提供了交通设施、管理与控制和交通可靠性研究的新方法. 对复杂交通环境下的设施设计以及通行能力估算有积极意义.

（4）所提随机微分方程主要表达了换道耗费时间上的随机，对于换道空间上的随机性，除了采用先验预算外，也可以在给定约束条件下采用蒙特卡罗的方法多次利用随机微分方程迭代求解.

（5）随机动力学微分方程在交通流研究上的应用尚处于起步阶段，在换道影响项的细化和准确表述上须进一步完善，对于时空联合随机性的表达和求解还须深入探索.