建筑结构在长期服役过程中，受环境侵蚀、材料老化、荷载、疲劳效应和突发灾害等因素作用，难以避免地会产生性能退化和结构损伤. 建筑结构的破坏，特别是大型公共建筑及设施的破坏会造成重大的人员伤亡和经济损失. 因此，有必要对既有结构进行全寿命周期的监控与安全性评估^[1]. 相比于传统的确定性评价方法（如专家打分法），基于结构可靠度理论的概率评价方法从概率的角度度量了结构在规定的时间和条件下完成预定功能的能力，能够以更加客观统一的标准对结构安全性进行度量^[2]. 结构健康监测系统则为结构安全性的评估提供了宝贵的荷载输入和结构响应数据，为结构荷载效应水平估计及不确定性度量提供了可靠依据^[3]. 因此，基于健康监测数据的结构可靠度评估在结构工程领域已经有了较为广泛的研究和应用^[2-5]. 应力应变传感器一般布置于结构构件上，对构件实际应力状态进行监测，直接反映了构件荷载效应的大小. 因此，大部分基于监测数据的可靠度研究首先根据应变数据对结构构件可靠度进行评估^[6-7]，进而将结构体系视作串并联系统，得到结构整体可靠度^[8]. 然而，对于一些复杂结构，例如具有三维传力特征的空间结构，其构件与体系间的关系很难用串并联系统来清楚表达. 因此须发展能够描述结构构件破坏与体系破坏间关系的方法，来实现复杂结构的安全状态评价.

贝叶斯网络（Bayesian network, BN）是概率统计与图论相结合的一种概率图模型，最早由Pearl提出^[9]. 贝叶斯网络能够直观地表达随机变量间的相关性，被广泛应用于机电系统、机械系统、交通设施系统等各类系统可靠度的分析中^[10-13]. 建筑结构可以视作由各个构件作为“元件”构成的复杂系统. 一定数量和位置的构件失效会导致结构整体的失效. 根据结构失效模式建立的贝叶斯网络为结构安全状态定量评价提供了新的思路. 目前基于贝叶斯网络的结构可靠度评估方法已经被成功用于简单框架结构及桥梁结构^[14-17]，其中构件可靠度根据结构设计阶段的各种随机变量的不确定性计算. 一些学者还进一步将结构健康监测或定期检测信息与贝叶斯网络相结合，基于某些可观测的结构性能退化指标（如构件疲劳裂缝发展程度^[18-19]、构件腐蚀发展程度^[20]、结构动态特性^[21]等）建立BN模型，从而实现结构体系可靠度的更新. 然而，针对既有结构，考虑荷载效应的时变性，结合应力应变这一最常见监测指标的基于贝叶斯网络的体系安全状态实时评价还须进一步研究.

本研究基于应力应变监测数据和贝叶斯网络，对结构体系失效概率的计算方法进行研究. 首先根据结构健康监测数据和贝叶斯动态模型估计结构构件的荷载效应概率分布，得到构件可靠度，然后采用贝叶斯网络描述构件失效与结构体系失效间的依赖关系，进而得到结构体系的失效概率，以此来评价结构整体的安全状态.

贝叶斯网络是概率统计与图论相结合的模型，是有向非循环的图形模型，其中节点代表问题相关的随机变量，节点间的有向弧代表变量之间的直接依赖关系. 每个节点均附有一个条件概率分布表，用以表述该节点与相关节点间的依赖关系. 如图1所示为简单系统的可靠度计算的贝叶斯网络示例. 图中，M₁~M₄为系统基本元件对应的根节点；N₁、N₂为中间子系统对应的中间节点；(M₁，M₂)、(M₃，M₄)分别为N₁和N₂的父节点，N₁和N₂分别为(M₁，M₂)和(M₃，M₄)的子节点；A表示系统节点，其父节点为N₁、N₂. 若变量取1表示元件或系统失效，取0表示元件或系统未失效，则P(M_i=1)表示基本元件i的失效概率，P(M_i=0)表示相应元件的可靠度. 除了根节点以外，其他节点附有的条件概率分布表列出了此节点相对于其父节点所有可能的条件概率. 例如，系统节点A对应的条件概率表列出的 $ P\left(A=1 | {N}_{1}=1,{N}_{2}=0\right)=0.8 $表示当子结构N₁失效而子结构N₂未失效时，整个系统的失效概率为0.8.

建筑结构可以视作由各个构件构成的复杂系统，一定数量和位置构件的失效就可能引起结构整体的失效. 因此，若用贝叶斯网络的根节点代表结构构件，系统节点代表结构体系，利用网络拓扑和条件概率表描述构件失效与整体失效间的关系，就能够由构件失效概率递推得到结构体系失效概率. 特定荷载形式作用下的构件失效与结构整体失效间的关系可以根据结构失效模式得到^[17]. 须注意的是，实际结构构件众多，构件失效与结构失效间的因果关系也较为复杂，往往较难直接获得所有潜在的失效模式. 因此，可以首先利用β约界法或无路径依赖法识别出失效概率较大的主要失效模式^[22]，并根据识别结果建立相应的贝叶斯网络进行分析.

在贝叶斯网络中，当一个节点的父节点、子节点以及共享子节点的配偶节点给定后，该节点与其他所有节点都是独立的. 利用这一特性，一个包含n个节点的贝叶斯网络所有节点的联合概率密度表达式如下：

(1) $ P(U) = P\{ {X_1}, \cdots ,{X_n}\} = \prod\limits_{i = 1}^n {P({X_i}|{{\rm{parents}}} ({X_i}))} . $

式中： $ {X_i} $为贝叶斯网络中的节点变量； $ {{\rm{parents}}} ({X_i}) $为 $ {X_i} $的所有父节点，即对变量 $ {X_i} $有直接影响的变量节点. 变量间的联合概率分布是求解所有概率问题的基础，由联合概率分布可以计算任一随机变量的边缘概率：

(2) $ P({X_i}) = \sum\limits_{{\rm{except}}{\text{ }}{X_i}} {P(U)} = \sum\limits_{{\rm{except}}{\text{ }}{X_i}} {P\{ {X_1}, \cdots ,{X_n}\} } . $

根据式（2），贝叶斯网络中任一节点的概率可以由根节点的概率分布出发，逐步经过概率推理得到. 不过，贝叶斯网络的精确推理过程仅适用于父节点数目有限的单连通的贝叶斯网路的推理. 节点概率分布计算的复杂程度随父节点的数目的增多而显著增加，因此若要采用这种精确推理，须在贝叶斯网络的建立中尽量减少父节点的数目.

在结构体系失效概率计算的贝叶斯网络中，根节点的概率代表结构构件的状态. 因此，根节点的概率评估，即构件的失效概率评估是结构状态评价的基础. 应力应变传感器一般直接布置于结构构件上，对构件实际应力状态进行监测. 因此，本研究采用应力应变监测数据对结构构件的失效概率进行评估. 根据结构可靠度理论，假定t时刻结构的抗力随机变量为R_t，荷载效应随机变量为S_t，其相应的概率密度函数为 $ {f_{{R_t}}}(r) $和 $ {f_{{S_t}}}(s) $，且R_t与S_t相互独立，则结构功能函数和结构失效概率表达式分别如下：

(3) $ \left.\begin{aligned} {Z_t} = \;&g({R_t},{S_t}) = {R_t} - {S_t}, \\ {P_{{f_t}}} =\;& P({Z_t} < 0) = \iint\limits_{r < s} {{f_{{R_t}}}(r){f_{{S_t}}}(s)}{{\rm{d}}} r{{\rm{d}}} s . \end{aligned}\right\} $

为了简化计算，一般采用可靠指标来表达结构失效概率. 若暂时不考虑抗力随时间的退化，结构抗力R的概率分布可以根据材料特性试验统计得到^[23]，假设其服从正态分布 $ N({\mu _R},\sigma _R^2) $. 荷载效应S_t的概率分布则可以通过对该段时间结构响应监测数据进行概率估计得到. 若t时刻估计得到的荷载效应S_t的概率分布为 $ N({\mu _{{S_t}}},\sigma _{{S_t}}^2) $，则相应的构件可靠指标表达式为

(4) $ {\beta _t} = \frac{{{\mu _R} - {\mu _{{S_t}}}}}{{\sqrt {\sigma _R^2+\sigma _{{S_t}}^2} }} . $

可靠指标 $ \,{\beta _t} $与结构失效概率的关系如下：

(5) $ {P_{{f_t}}} = P({Z_t} < 0) = F( - {\beta _t}) . $

式中： $ F( \cdot ) $表示标准正态分布 $ N(0,1) $的累积分布函数，即来自标准正态分布的随机变量落在区间 $ ( - \infty , - {\beta _t}] $的概率. 由式（5）可以看出，可靠指标越小，则结构失效概率越大，结构越不安全. 根据规范规定，本研究取 $ {\beta _{\lim }} = 3.4 $作为可靠指标的限值.

贝叶斯动态线性模型（Bayesian dynamic linear model, BDLM）是基于贝叶斯预测思想建立的一种针对时间序列数据的动态预测模型，能实时地量化监测数据中的不确定性^[24]. 本研究采用一个简单的常均值BDLM对监测数据进行建模，以动态量化结构响应中的不确定性，进而得到结构荷载效应的概率分布估计. 若 $ {y_t} $表示t时刻观测到的结构响应，定义关于 $ {y_t} $的常均值BDLM^[25]，观测方程、状态方程、BDLM的初始先验方程分别如下：

(6) $ {y}_{t}={S}_{t}+{\nu }_{t};\;\; {\nu }_{t}\sim N(0,{V}_{t}) . $

(7) $ {S}_{t}={S}_{t-1}+{\omega }_{t}; \;\;{\omega }_{t}\sim N(0,{W}_{t}) . $

(8) $ ({S_0}|{D_0})\sim N({\mu _{{S_0}}},\sigma _{{S_0}}^2) . $

式中： $ {S_t} $表示结构荷载效应序列在t时刻的水平； $ {\nu _t} $为考虑了不确定性的观测误差； $ {\omega _t} $为系统噪声，表示荷载效应水平 $ {S_t} $在相邻时间步之间的变化； $ {\nu _t} $和 $ {\omega _t} $相互独立，并分别服从零均值的正态分布，其分布的方差分别为 $ {V_t} $和 $ {W_t} $； $ N({\mu _{{S_0}}},\sigma _{{S_0}}^2) $表示荷载效应水平 $ {S_0} $基于历史数据（ $ {D_0} $）的初始分布.

通过式(6)~(8)，即可采用贝叶斯递推（或称卡尔曼滤波），根据新的监测数据 $ {y_t} $实时修正各时刻的荷载效应水平的后验概率分布 $ ({S_t}|{D_t})\sim N({\mu _{{S_t}}},\sigma _{{S_t}}^2) $，其中，

(9) $ \left. \begin{gathered} {\mu _{{S_t}}} = {\mu _{{S_{t - 1}}}}+{A_t}({y_t} - {\mu _{{S_{t - 1}}}}), \\ \sigma _{{S_t}}^2 = {A_t}{v_t}, \\ {A_t} = {{\left( {\sigma _{{S_{t - 1}}}^2+{W_t}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\sigma _{{S_{t - 1}}}^2+{W_t}} \right)} {\left( {\sigma _{{S_{t - 1}}}^2+{W_t}+{V_t}} \right)}}} \right. } {\left( {\sigma _{{S_{t - 1}}}^2+{W_t}+{V_t}} \right)}} . \\ \end{gathered} \right\} $

式中： $ {\mu _{{S_{t - 1}}}} $和 $ \sigma _{{S_{t - 1}}}^2 $分别为t−1时刻得到的后验概率分布均值和方差. 初始先验的均值和方差可以通过对一段长度的历史数据进行概率统计得到. 观测误差的分布方差 $ {V_t} $可以根据监测设备的测量误差确定，即 $ {V_t} = \sigma _e^2 $，其中 $ {\sigma _e} $为监测设备给定的均方根误差统计值. 当监测设备仅给定最大测量误差（ $ \pm |{e_{\max }}| $）时，可以假设测量误差为高斯分布，取 $ {\sigma _e} = {{|{e_{\max }}|} \mathord{\left/ {\vphantom {{|{e_{\max }}|} 3}} \right. } 3} $（即认为最大测量误差处于超越概率99.87%的分位点处）. 系统噪声的分布方差 $ {W_t} $一般是未知的，且不易直接得到. 本研究采用引入折扣因子 $ \delta $（ $ 0 < \delta < 1 $.0）的方式来计算 $ {W_t} $，即

(10) $ {W_t} = \sigma _{{S_{t - 1}}}^2(1 - \delta )/\delta . $

式（10）可以写为 $ \delta = {{\sigma _{{S_{t - 1}}}^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{\sigma _{{S_{t - 1}}}^2} {\left( {\sigma _{{S_{t - 1}}}^2+{W_t}} \right)}}} \right. } {\left( {\sigma _{{S_{t - 1}}}^2+{W_t}} \right)}} $，即折扣因子定义了t−1时刻后验方差与t时刻状态参量的先验方差的比值. 折扣因子越小，则先验方差 $ \left( {\sigma _{{S_{t - 1}}}^2+{W_t}} \right) $越大， $ {W_t} $越大，状态参量相比于上一个时间步的不确定性越大. 折扣因子的取值可以通过一段时间的模型训练在0~1.0进行优化选取，即选取使得训练数据的预测均方根误差最小的 $ \delta $作为模型预测的最佳折扣因子. 此时，无论初始分布的方差 $ \sigma _{{S_0}}^2 $取何值， $ {W_t} $都将随着后验分布一起逐渐更新到合适的值^[25].

对于本研究所采用的简单常均值BDLM，在采用上述方式确定 $ {V_t} $和最佳折扣因子之后，基本就能够达到较好的预测效果. 但对于其他一些较为复杂的BDLM，或当监测环境较恶劣，实际测量误差与设备出厂数据相差较大时，还须引入其他方法来有效估计系统噪声和测量噪声的相关参数，如贝叶斯概率估计法^[26-27]、贝叶斯实时更新法^[28]、期望最大化算法^[29]等.

以一个由3根轴向受拉杆件构成的简单桁架结构的破坏过程模拟数据为例，进一步说明上述可靠度评估方法的计算过程，结构简图如图2所示. 杆件 $ {M_1} $、 $ {M_2} $和 $ {M_3} $均为Q235钢的实心圆杆，直径分别为18、20、20 mm. 通过Abaqus模拟结构受一个从0开始不断增加的竖向拉力P作用，直至结构3根杆件全部进入屈服的全过程，得到应变ε数据如图3所示. 其中，为了考虑测量误差，在原始模拟数据中加入了标准差为1.5×10⁻⁵的白噪声（相当于最大测量误差约为±4.5×10⁻⁵）.

为了建立该三杆桁架结构体系可靠度评估的贝叶斯网络，首先对其可能的失效模式进行分析. 当3根杆件中的任意2根失效时，该结构转变为机构，则认为此结构体系失效，如图2(b)所示. 根据上述失效模式，可以建立该结构可靠度评估的贝叶斯网络，如图4所示. 图中，随机变量 $ {M_i} $表示杆件i的状态， $ {M_i} = 1 $代表杆件i失效， $ {M_i} = 0 $代表杆件未失效；随机变量A表示该结构体系的状态， $ A = 1 $代表结构失效， $ A = 0 $代表结构未失效；节点A的条件概率表（见表1）描述了结构所有可能的失效模式.

根据贝叶斯网络递推的原则，系统节点A的概率分布为

(11) $ \begin{split} P(A) =\; &\sum\limits_{{M_3}{\rm{ = }}0}^1 {\sum\limits_{{M_2}{\rm{ = }}0}^1 {\sum\limits_{{M_1}{\rm{ = }}0}^1 {P(A,{M_1},{M_2},{M_3})} } } = \\& \sum\limits_{{M_3}{\rm{ = }}0}^1 {\sum\limits_{{M_2}{\rm{ = }}0}^1 {\sum\limits_{{M_1}{\rm{ = }}0}^1 {P(A|{M_1},{M_2},{M_3})P({M_1})P({M_2})P({M_3})} } } , \end{split} $

则系统节点A的失效概率为

(12) $\begin{split} P(A = 1) =& P({M_1} = 1)P({M_2} = 1)P({M_3} = 1)+\\ &P({M_1} = 0)P({M_2} = 1)P({M_3} = 1)+\\ &P({M_1} = 1)P({M_2} = 0)P({M_3} = 1)+ \\ &P({M_1} = 1)P({M_2} = 1)P({M_3} = 0). \end{split}$

式中： $ P({M_i}{\text{ = }}1) $和 $ P({M_i}{\text{ = }}0) $分别为节点 $ {M_i} $的失效概率和可靠度. 失效概率可以由式（5）根据可靠指标计算得到，可靠度 $ P({M_i}{\text{ = }}0) = 1 - P({M_i}{\text{ = }}1) $.

为了得到结构体系失效概率，首先根据构件应变数据计算网络根节点的失效概率. 为了方便计算，采用可靠指标代替失效概率评估构件状态. 其中，Q235钢的轴向抗拉屈服应变（即抗力）的均值和方差可以按规范对结构用钢材的材料性质要求进行取值，即 $ {\mu _R} = 1.119\times 10^{-3} $， $ {\sigma _R} = 9.524\times 10^{-5} $（分别对应Q235钢的屈服应力 $ 235\;{{\rm{MPa}}} $和屈服应力分布均方根 $ 20\;{{\rm{MPa}}} $）. 构件荷载效应的概率分布则通过对应变数据建立BDLM模型进行实时估计得到. 其中，观测误差的方差根据所施加的白噪声水平，取 $ {V_t} = {(1.5\times 10^{-5}})^2 $. 3根杆件BDLM对应的折扣因子分别取0.55、0.40和0.70. 如图5所示为所建立的BDLM的预测分布结果. 图中，实测值附近阴影表示相应的预测分布（μ±1.645σ）. 如图6所示为根据BDLM估计结果计算得到的3根杆件的可靠度指标. 可靠指标越低，表示构件的失效概率越大. 当可靠指标低于限值时，说明构件可靠度已经不满足规范规定，构件内力已经超出了设计值，应当发出预警. 由图6可以看出，3根杆件的可靠指标在屈服前均已小于限值，构件可靠指标成功对构件破坏进行了预警.

将构件可靠指标代入式（5），即可得到构件的失效概率，进而可以根据前文所述的贝叶斯网络的递推计算求得结构体系的失效概率和相应的时变可靠指标，如图7所示. 其中结构失效概率仅给出了可靠指标小于限值到结构失效这段时间范围的曲线，可靠指标大于限值阶段的结构失效概率是一个非常接近0的值. 由图7可以看出，结构体系可靠指标在第166个时间步开始小于可靠度限值，说明此时结构体系已不再具备足够的安全储备，应当发出预警. 在杆件 ${M_2}$、 ${M_1}$和 ${M_3}$的应变首次超过屈服极限应变时，结构体系失效概率分别为1.8%、58.0%和100.0%. 并且在 ${M_1}$屈服后，结构失效概率在2个时间步内就迅速增大到100.0%，说明此时结构整体已经失效. 而这与三杆桁架体系的实际破坏过程是相符的，即2根杆件失效后，结构体系即失效.综上所述，贝叶斯网络计算得到的结构可靠度能够正确反映结构整体的安全状态，并且能够在结构破坏前事先发出预警.

以文献[30]中的单层网壳的破坏试验过程为例，对该试验缩尺模型建立贝叶斯网络进行分析，并采用应变实测数据进行结构时变可靠度评估. 如图8所示为单层网壳试验模型的基本构造及试验现场照片. 该网壳为再分式板片结构，其主要构件为由螺栓连接的双肢弧形板片，次级构件为单肢弧形板片，构件材料为Q235钢材. 竖向荷载通过重物挂载的方式施加于结构中部的主节点上，加载共分7级进行，每级在单个测点增加0.2 kN的竖向荷载，结构于第7级加载的过程中发生失稳破坏.

根据有限元模型分析可知，在竖向荷载作用下，结构的前2个主要屈曲模态如图9(a)、(c)所示，对应的主要构件失效截面位置如图9(b)、(d)所示. 其中第1个屈曲破坏模态主要是与节点 $ {J_1} $相连的杆件截面发生失稳破坏，造成节点处整体转动，进而导致结构整体失稳破坏. 第2个屈曲破坏模态则主要是节点 $ {J_2} \sim {J_5} $附近的杆件发生失稳破坏，造成相应的节点转动，导致了结构整体的破坏. 基于上述理论模拟结果在最可能先发生破坏的14个主要构件截面布置结构应变测点，如图10所示. 在每个截面处对称地布置4个应变测点，在试验过程中在结构破坏前的第0~6个荷载步各采集20组应变数据，共140组应变数据. 如图11所示为截面3对应的由4个测点应变数据计算得到的应力数据示例. 可以看出，截面3中的4个测点应力均未达到屈服应力，仅从监测数据无法判断结构是否即将发生失稳.

对试验网壳建立结构整体可靠度评估的贝叶斯网络，其拓扑结构如图12所示. 图中，节点 $ {M_i} $对应图10中布置测点的截面，节点A代表结构整体. 由于失效模式涉及的杆件数目较多，直接从杆件到结构整体建立贝叶斯网络会使得推理过程极为复杂，因此额外加入代表网壳节点子结构的中间节点 $ {J_i} $来简化推理过程. 各变量为1代表该节点对应的构件或结构失效，为0则代表对应的构件或结构未失效.

对结构整体节点A，根据图9中的破坏模式，当失效模式1或失效模式2单独出现以及2种失效模式同时出现时，结构发生整体破坏. 结构整体节点A对应的条件概率表如表2所示.

对中间节点 $ {J_i}(i = 1,2, \cdot \cdot \cdot ,5) $，当其所有父节点对应的构件截面失效时，节点 $ {J_i} $即失效. 在实际结构中，由于结构及其所受荷载并非完全对称，且一直处于受荷状态，因此节点 $ {J_i} $中受力较大的构件会先发生失稳，此时节点 $ {J_i} $可能因为这部分构件的失稳而发生一定扭转，从而导致剩余杆件弱轴方向受到更大的弯矩，进一步导致剩余杆件的连续失稳破坏. 这一过程的发展较为迅速且后果严重，须在安全性评估中予以提前考虑. 因此，对试验网壳结构建立3个贝叶斯网络，对应3种节点 $ {J_i} $的条件概率表来考虑上述连续失稳对结构整体可靠度的影响.

如表3所示为以 $ {J_1} $节点为例的3个贝叶斯网络对应的条件概率表，其中网络1对应于当节点 $ {{J} _1} $所有父节点截面失效时，节点才失效. 网络2对应于当节点 $ {J_1} $的3个父节点失效时，就判断节点失效. 网络3对应于当节点 $ {J_1} $的2个父节点失效时，即判断节点失效. 节点 $ {J_2} $的条件概率表与节点 $ {J_1} $类似，只是父节点变为截面5~8. 对节点 $ {J_3} \sim {J_5} $，由于其父节点数只有2个，条件概率表统一为2个父节点对应截面都失效时，即判断节点失效. 如表3所示的条件概率表是基于如图8(a)所示的加载点竖向荷载作用下的主要失效模式建立的. 当结构由于构件初始缺陷或其他荷载作用，存在其他潜在的主要失效模式时，还应当进一步进行失效模式识别分析^[22]，并补充建立相应的条件概率信息.

本算例中的构件可以视为双肢格构式构件，应变测点所在位置的纤维对应的应力大小不能直接代表整个截面的受力情况，截面整体的受力应当满足《钢结构设计规范》（GB—50017）^[31]的要求. 对于本研究算例中的单层网壳结构，各杆件为压弯破坏，首先会发生失稳破坏，因此根据规范中关于稳定性的要求计算构件可靠指标. 理想结构中的构件为单向压弯构件，但由于板片制作和安装误差以及各节点加载不同步的原因，构件实际上为双向压弯构件. 规范规定，弯矩作用在2个主平面内的双肢格构式压弯构件应分别按整体和分肢计算其稳定性要求. 在平截面假定的基础上，根据材料力学可以由4个测点处应变计算得到构件整体弯矩和轴力：

(13) $ \left. \begin{gathered} {N / {{A_n}}} = {{\left( {{s_1}+{s_2}+{s_3}+{s_4}} \right)} / 4} ,\\ {{{M_x}} / {{W_x}}} = {{\left[ {({s_1}+{s_3}) - ({s_2}+{s_4})} \right]h} / ({4{h_s}})}, \\ {{{M_y}} / {{W_y}}} = \{ {\left[ {({s_1}+{s_2}) - ({s_3}+{s_4})} \right]ht(a+t)} \times\\ {{ {(3a+6t)} \}} / {\left\{ {2h\left[ {{{(2t+a)}^3} - {a^3}} \right]} \right\}}}. \end{gathered} \right\} $

式中： $N $、 $A_n $分别为构件轴力和静截面面积； $M_x $、 $M_y $为构件x、y方向弯矩； $ W_x$、 $W_y $为构件x、y方向截面模量；S1~S4为测点S1~S4测得的应变.

同理，可以求得构成该格构式构件的各分肢的轴力和弯矩：

(14) $ \left. \begin{gathered} {{{N_i}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{N_i}} {{A_{n,i}}}}} \right. } {{A_{n,i}}}} = {{\left( {{s_{i,1}}+{s_{i,2}}} \right)} / 2} ,\\ {{{M_{i,x}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{M_{i,x}}} {{W_{i,x}}}}} \right. } {{W_{i,x}}}} = \left( {{s_{i,1}} - {s_{i,2}}} \right){h / ({2{h_s}})} . \end{gathered} \right\} $

式中： $N_i $、 $A_{n,i} $分别为构件第i个分肢的轴力和静截面面积， $M_{i,x} $、 $W_{i,x} $分别为构件第i个分肢的x方向弯矩和截面模量， $ {s_{i,1}} $和 $ {s_{i,2}} $分别为该分肢对应的2个测点应力数据.

由整体轴力和弯矩，根据规范[31]可以求得构件整体稳定性的等效应力 $ {s_{t,1}} $，根据各分肢轴力和弯矩，可以求得分肢平面内和平面外的等效应力 $ {s_{t,2}} $和 $ {s_{t,3}} $（取2个分肢中的较大值）. 则构件稳定性对应的功能函数可以表示为

(15) $ Z = R - \max\; ({s_{t,1}},{s_{t,2}},{s_{t,3}}) . $

抗力R的统计参数根据实际Q235材料力学性能相关文献^[23]，取 $ {\mu _R} = 262.70\;{{\rm{MPa}}} $， $ {\sigma _R} = 20.23 \;{{\rm{MPa}}} $. 等效应力概率分布可以通过对等效应力数据 $ {s_{t,1}} $、 $ {s_{t,2}} $和 $ {s_{t,3}} $中的最大值建立BDLM实时估计得到. 其中，观测误差的方差根据试验所用应变片测量误差的均方根统计值 $ {\sigma _e} = 1.97\;{{\rm{MPa}}} $，取 $ {V_t} = \sigma _e^2 $. 各截面对应的折扣因子分别根据前40个数据进行优化选取. 如图13所示为截面1和3对应的最大等效应力及相应的BDLM预测结果示例（最佳折扣因子取0.7）. 图中，点线附近阴影表示相应的预测分布（μ±1.645σ）.

将抗力和各截面BDLM估计得到的荷载效应概率分布估计结果代入式（4）即可得到构件基于稳定性要求的各截面可靠指标，如图14所示.可以看出，大部分构件在第6个荷载步的可靠指标就开始小于阈值，部分截面的可靠指标在第6个荷载步之前就已经小于阈值，说明这些截面所在的构件存在较大的发生失稳破坏的可能性，不再满足结构对安全性的要求. 部分截面（截面3、5、6、7、8、11、12）的可靠指标甚至减小到了负值，发生失稳破坏的失效概率超过了50%，极有可能已经发生了局部的失稳破坏. 实际结构在第7个荷载步发生破坏，这些可靠指标小于0的截面对应构件的变形也非常明显.

如图15所示为根据贝叶斯网络推理得到的结构可靠指标及相应的结构失效概率. 3种贝叶斯网络对应的结构可靠指标在第6个荷载步均小于了阈值3.2，说明结构有可能发生失效. 其中网络3的可靠指标减小为负值，对应的结构失效概率也较大. 在最后一个加载步，3种网络得到的失效概率分别为1.8%、15.8%和59.7%. 在实际试验中虽然此时结构还未发生整体失效，但在下一个荷载步加载的过程中即发生了整体失稳破坏. 3种贝叶斯网络得到的结构可靠度结果都成功预警了结构的破坏，其中网络3的预警最为有效.

实际结构的破坏情况如图16所示，结构破坏后结构各节点均发生一定的扭转和大变形. 结构失稳破坏发展的过程更接近失效模式1，即由中间节点 $ {J_1} $附近的构件失稳引起节点扭转，进而导致结构其他杆件也发生失稳，最终造成结构整体失稳破坏. 从破坏后的结构可以看出，中间节点 $ {J_1} $附近的4个构件并非全部发生了失稳破坏，而是截面3和4所在的2根构件发生了较明显的失稳破坏. 这说明贝叶斯网络3所采用的条件概率表更能够反映结构真实的失效过程. 因此，在实际结构的失效概率评估中，对涉及杆件较多的节点或子结构，应当利用有限元模拟更细化地分析部分杆件失稳对结构整体破坏过程的影响^[32]. 当分析结果表明部分杆件失稳会诱发节点或子结构失稳时，应当据此调整对应的条件概率表，以提升贝叶斯网络建立的准确性.

综上所述，本研究所提出的基于贝叶斯网络的结构整体可靠度能够较好地反映结构状态，并对结构可能出现的破坏做出提前预警.

(1) 基于结构健康监测数据和贝叶斯动态模型的构件可靠度评估考虑了健康监测中的不确定性，从概率的角度给出构件发生某种破坏的可能性，较好地反映了构件的工作状态，并成功预警了构件的破坏.

(2) 贝叶斯网络能够通过拓扑结构和条件概率表描述结构构件失效与整体失效间的因果关系，从而将结构整体可靠度计算转化为概率推理过程，实现了体系可靠度的实时评估. 基于贝叶斯网络和构件可靠度计算得到的结构整体可靠度从概率的角度给出了结构发生整体破坏的可能性，较好地反映了结构整体的工作状态.

(3) 上述数值模拟算例和缩尺模型试验中所建立的贝叶斯网络主要基于某种荷载作用形式下的已知失效模式建立. 未来针对更复杂的结构系统，还须进一步引入其他先进的潜在失效模式识别方法，对结构失效概率评估的贝叶斯网络作进一步深化研究.