在“双碳”目标下，光伏因其绿色、低碳和低维护成本等优势，成为最有发展前景的新能源之一^[1]. 光伏的输出功率总是受温度和辐照度的影响，存在不确定性和随机性波动. 学者们一直致力于提升光伏输出性能，以满足不同的电网需求^[2–4]. 通常，光伏控制方法追求无稳态振荡和快速收敛，因为稳态振荡会导致功率损耗并恶化电能质量，而缓慢的收敛意味着长时间运行偏离最大功率点，导致光伏利用率降低.

扰动观测法(perturb and observe，P&O)^[5–7]和增量电导法(incremental-conductance，InC)^[8-9]因其结构简单和实施方便，得到了广泛的应用. 传统的P&O和InC方法基于试错，寻找和跟踪最大功率点(maximum power point，MPP). 在选择扰动步长时需要权衡：较大的值带来更快的动态响应，但在稳态下会增加MPP周围的振荡；较小的值能够弱化稳态振荡，但会减慢动态响应. 在选择迭代步长时，存在动态性能和稳态性能之间的权衡.

有些学者通过优化扰动步长，改善稳态和动态性能. Liu等^[10]提出变步长的增量电导法，扰动步长正比于功率关于电压导数(dP/dV)的绝对值. 在MPP附近，dP/dV趋近于零，则步长也能趋于零. Fathabadi^[11]同时考虑功率关于电压的导数(dP/dV)和功率关于电流的导数(dP/di)，根据两者的值设置5个阈值来选取合适的步长. Zhou等^[12]利用电流和功率关于电压的导数(dP/dV)来设置步长变化系数，以期获得平滑的步长变化曲线. Tafti等^[13]提出柔性的自适应扰动观测方法跟踪指定功率，根据dP/dV设计稳态期间的迭代电压步骤，以实现稳定的恒功率输出. 上述的步长优化方法都利用了以下光伏特性：越接近MPP，dP/dV的绝对值越小. 虽然动态跟踪速度有所提高，但是由于零分母约束和时域dP/dV或dP/di计算的噪声敏感性，稳态振荡仍然存在. 有些方法尝试引入状态识别模块，通过模式切换暂停扰动，以消除振荡. 李向丽等^[14]利用MPP点附近压差符号变化的特性来识别稳态. Bhattacharyya等^[15]在变步长的P&O和InC方法基础上，增加了稳态识别模块. 当光伏电压连续3次符合稳态电压振荡模式时，暂停扰动，以消除稳态振荡. 为了在环境变化下重启扰动观测模块，需要增加动态识别模块，这会增大控制复杂度，为了防止误判而增加的阈值又会影响输出性能.

光伏控制需要简单、高效的方法，光伏的P-dP/dV特性提供了这种潜力. 由于dP/dV和光伏输出功率之间存在对应关系，Cai等^[16]把dP/dV当作控制量直接进行控制，将光伏输出的dP/dV控制为零，能够实现最大功率输出，无需试错和其他先验知识. 将输出的dP/dV控制在负值，还能使光伏运行在功率热备模式. 光伏输出性能不是文献[16]的重点，使用的是时域的dP/dV计算方法，由于零分母问题，稳态振荡仍然存在. 当前的研究空白是缺乏有效、鲁棒的dP/dV计算方法来提高基于dP/dV控制方法的性能.

本文提出基于空间域dP/dV计算的控制方法，旨在为上文提出的问题提供可行的解决方案. 本文采用二维数组来构建空间域，利用基于电压索引的历史运行数据维护空间域. 每一次dP/dV计算都使用当前的运行数据和在空间域中相邻的历史数据，可以避免零分母问题，以实现不同dP/dV参考值下的零误差跟踪和零稳态振荡. 该方法在最大功率跟踪(maximum power point tracking, MPPT)(dP/dV = 0)和功率热备运行模式(dP/dV < 0)下都取得了较好的输出性能.

基于均匀光照下的光伏数学模型揭示光伏 $P - V$和 $P - {\text{d}}P/{\text{d}}V$的特性，以明确dP/dV在光伏控制中的作用.

理想的光伏阵列数学模型为

(1) $ {i_{{\rm{pv}}}} = {N_{\rm{p}}}\left[{I_{{\rm{sc}},N}} - {I_{0,N}}\left({\rm{exp}}\left(\frac{{q{V_{{\rm{pv}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\right) - 1\right)\right]. $

式中： ${i_{{\rm{pv}}}}$和 ${V_{{\rm{pv}}}}$分别为光伏输出电流和电压； ${N_{\rm{p}}}$和 ${N_{\rm{s}}}$分别为串联和并联的光伏模块个数，每个光伏模块由 $N$个单元构成； $q、K、T$分别为元电荷数、波尔兹常数和模块温度； ${I_{{\rm{sc}},N}}、{I_{0,N}}$和 $a$分别为光伏模块短路电流、二极管漏电流和二极管理想常数. ${I_{{\rm{sc}},N}}$和 ${I_{0,N}}$是随辐照度 $E$和温度 $T$改变的. 光伏模型的进一步阐述可以参照文献[17,18].

由此，光伏阵列的输出功率可以表示为

(2) $ {P_{{\rm{pv}}}} = {N_{\rm{p}}}{V_{{\rm{pv}}}}\left[{I_{{\rm{sc}},N}} - {I_{0,N}}\left({\rm{exp}}\left(\frac{{q{V_{{\rm{pv}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\right) - 1\right)\right]. $

从式(2)可知，光伏输出功率和电压之间是非线性相关的，且受环境辐照度和温度的影响. 这意味着在不确定的环境条件下，光伏的输出具有随机性和间断性. 如图1 (a)所示，为了直观地理解这一特性，绘制了KC200GT光伏阵列在不同辐照度和温度下的P-V曲线. 图中，每条曲线都有1个最大点和2段被最大点分割的线段，最大点表示光伏阵列在特定环境条件下能产生的最大电量. 在最大点左侧，输出功率随着电压的增加而增加；在最大点右侧，输出功率随着电压的增加而下降. 在不断变化的环境条件下，可用功率（最大功率）随之波动.

功率对电压的导数可以表示为

(3) $ \begin{split} & \frac{{{\text{d}}P}}{{{\text{d}}V}} = \\ & {N_{\rm{p}}}\left[\left({I_{{\rm{sc}},N}}+{I_{0,N}}\right) - {I_{0,N}}\left(1+\frac{{q{V_{{\rm{pv}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\right){\rm{exp}}\left(\frac{{q{V_{{\rm{pv}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\right)\right]. \end{split} $

功率对电压的二阶导数为

(4) $ \frac{{{{\text{d}}^2}P}}{{{\text{d}}{V^2}}} = - \frac{{q{N_{\rm{p}}}{I_{{\rm{sc}},N}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\left(2+\frac{{q{V_{{\rm{pv}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\right){\rm{exp}}\left(\frac{{q{V_{{\rm{pv}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\right). $

显然，式(4)恒小于零，即dP/dV是单调递减的. dP/dV的极值点为

(5) $ \left. \begin{gathered} \frac{{{\text{d}}P}}{{{\text{d}}V}}{|_{{V_{{\rm{pv}}}} = 0}} = {N_{\rm{p}}}{I_{{\rm{sc}},N}} > 0 , \\ \frac{{{\text{d}}P}}{{{\text{d}}V}}{|_{{V_{{\rm{pv}}}} = {U_{{\rm{oc}}}}}} = - {N_{\rm{p}}}{I_{0,N}}\frac{{q{U_{{\rm{oc}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}{\rm{exp}}\left(\frac{{q{U_{{\rm{oc}}}}}}{{{N_{\rm{s}}}aKT}}\right) < 0. \\ \end{gathered} \right\} $

由式(2)~(5)可得以下结论. 1）在区间 $[0,{U_{{\rm{oc}}}}]$内存在一点 ${V_{{\rm{pv}}}} = {U_{{\rm{mp}}}}$，该点处的输出功率为最大值 ${P_{{\rm{pv}}}} = {P_{\max }}$且dP/dV = 0. 2）在区间 $[0,{U_{{\rm{mp}}}}]$内，随着电压的增加，dP/dV减小，功率增大. 3）在区间 $[{U_{{\rm{mp}}}},{U_{{\rm{oc}}}}]$内，随着电压的增加，dP/dV减小，功率减小. 4）在区间 $[{U_{{\rm{mp}}}},{U_{{\rm{oc}}}}]$内，功率相对于电压的变化率更大.

如图1 (b)所示为同一个KC200GT光伏面板的P-dP/dV曲线. 各P-dP/dV曲线特性均符合上述结论：光伏输出功率可以通过dP/dV调节；当dP/dV = 0时，无论环境条件如何变化，光伏面板始终工作在最大功率点；当dP/dV为负值时，光伏面板削减一部分功率而工作在功率热备模式，且dP/dV越小，削减的功率比例越大.

如图2所示为基于空间域dP/dV计算的控制结构. 所提方法移除了P&O模块，把dP/dV作为控制变量直接进行控制. dP/dV参考值由上层控制给定， dP/dV实际值基于当前工作点电压和电流计算得到，两者之间的差值经过比例积分模块生成占空比d. 实现该控制方法的关键在于dP/dV的计算，也是本文的创新之处，即空间域dP/dV的计算方法.

通过和时间域dP/dV计算原理的对比，揭示空间域dP/dV计算原理. 在时间域dP/dV计算中，一般用2个连续时刻的运行点数据计算dP/dV，表达式为

(6) $ {\left( {\frac{{{\text{d}}P}}{{{\text{d}}V}}} \right)^t} \approx \frac{{{P^t} - {P^{t - 1}}}}{{{V^t} - {V^{t - 1}}}} . $

式中： ${({\text{d}}P/{\text{d}}V)^t}$为t时刻的dP/dV， $({P^t},{V^t})$为t时刻的功率和电压， $({P^{t - 1}},{V^{t - 1}})$为t−1时刻的功率和电压.

式(6)的计算方法存在缺陷：当输出趋于稳态的时候会发生零分母问题，即 $|{V^t} - {V^{t - 1}}| \to 0$. 一般有2种方法来识别零分母问题. 1）检测电压的变化，当2个电压接近到一定程度（ $|{V^t} - {V^{t - 1}}| < {U_{{\text{TH}}}}$）时，这2个电压视为相等. 2）检测异常计算值，当零分母情况出现的时候，dP/dV的计算值会超过正常范围，即 $|{({\text{d}}P/{\text{d}}v)^t}| > {\rm{MAX}}{_{{\text{TH}}}}$. 在传统的扰动观测算法中，当零分母情况被识别后，会停止扰动，以实现稳态下的无振荡输出. 在环境变化后，需要动态检测模块来重启扰动观测算法，以跟踪最新的运行点. 状态检测和模式切换的方式不但增加了控制的复杂度，而且会影响算法的输出性能.

提出空间域dP/dV计算方法，避免稳态下的零分母问题. 通过2个空间上相邻的运行点来计算dP/dV，运算表达式为

(7) $ {\left( {\frac{{{\text{d}}P}}{{{\text{d}}V}}} \right)^t} \approx \frac{{{P^t} - {P^{t - k}}}}{{{V^t} - {V^{t - k}}}}；{\text{ }}k \geqslant 1. $

式中： $({P^{t - k}},{V^{t - k}})$为t−k时刻的功率和电压，其在空间上和当前t时刻的值相邻.

对比式(6)、(7)可知，空间域和时间域之间的区别在于 $({P^{t - k}},{V^{t - k}})$的选择. 在时间域中k始终取1，在空间域中n可能是任意正整数，只要满足 $({P^{t - k}},{V^{t - k}})$在空间上和当前运行点 $({P^t},{V^t})$相邻. 因为空间上的两点始终存在一定的距离，可以避免稳态下零分母问题的出现.

为了建立空间域，定义如图3所示的二维数组 ${\rm{Data}}(\;)$. 图中，每一列表示空间域中的一个位置，用来存放某一时刻的电压、电流. 每一处存放的电压 ${U_i}$和列序号 $i$之间都满足下式：

(8) $ i = \left\lfloor {{U_i}/\delta } \right\rfloor ；{\text{ }}i \in \{ 1,2,\cdots,M\} . $

式中：M为数组长度， $\delta $为空间间隔， $ \lfloor \cdot \rfloor $为向下取整运算符.

下面通过举例说明空间域的存储过程. 设在 ${t_{\rm{a}}}$时刻，运行点数据为 $({U_{\rm{a}}},{I_{\rm{a}}})$，则数据应该存储在列序号为 $ \left\lfloor {{U_{\rm{a}}}/\delta } \right\rfloor $的位置，即

(9) $ \left. \begin{gathered} {\rm{Data}}(1,\left\lfloor {{U_{\rm{a}}}/\delta } \right\rfloor ) = {U_{\rm{a}}}, \\ {\rm{Data}}(2,\left\lfloor {{U_{\rm{a}}}/\delta } \right\rfloor ) = {I_{\rm{a}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

在另一时刻 ${t_{\rm{b}}}$，运行点数据为 $({U_{\rm{b}}},{I_{\rm{b}}})$，则数据应存储在列序号为 $ \left\lfloor {{U_{\rm{b}}}/\delta } \right\rfloor $的位置，即

(10) $ \left. \begin{gathered} {\rm{Data}}(1,\left\lfloor {{U_{\rm{b}}}/\delta } \right\rfloor ) = {U_{\rm{b}}} , \\ {\rm{Data}}(2,\left\lfloor {{U_{\rm{b}}}/\delta } \right\rfloor ) = {I_{\rm{b}}} . \\ \end{gathered} \right\} $

若 $ \left\lfloor {{U_{\rm{b}}}/\delta } \right\rfloor $等于 $ \left\lfloor {{U_{\rm{a}}}/\delta } \right\rfloor $，则相同序号的列数据会被后一时刻的数据更新. 通过这样的存储机制，用当前的运行数据实时更新空间域的数据.

每一次dP/dV的计算都取空间域中的2列数据，一个是当前运行点数据，另一个是空间上相邻的数据. 如图4所示为空间域dP/dV计算的流程图. 在数组初始化后，控制器循环执行以下操作：

采样当前光伏运行点的电压 ${U_m}$和电流 ${I_m}$，并存储到相应位置：

(11) $ \left. \begin{gathered} {\rm{ Data}}(1,m) = {U_m} , \\ {\rm{Data}}(2,m) = {I_m} . \\ \end{gathered} \right\} $

式中： $m = \left\lfloor {{U_m}/\delta } \right\rfloor $.

向后找到距离m列最近的非空列n，即

(12) $ n = \arg \mathop {\min }\limits_{j \in \varOmega }\; \{ j - m\} {\text{ ， }}{\rm{Data}}(1,n) \ne 0. $

式中： $\varOmega = \{ m+1,\cdots,M\}$.

计算dP/dV，即

(13) $ \frac{{{\text{d}}P}}{{{\text{d}}V}} = \frac{{{U_m}{I_m} - {U_n}{I_n}}}{{{U_m} - {U_n}}} . $

式中： $({U_m},{I_m})$为当前时刻的运行点数据， $({U_n},{I_n})$为在空间域中和当前时刻相邻的数据.

1）数组长度M. 数组是用来存储运行中采样的数据，必须能够存放运行中最大电压下的数据，即

(14) $ M \geqslant \frac{{U_{{\rm{oc}}}^{\max }}}{\delta } . $

$U_{{\text{oc}}}^{\max }$可由下式^[19]求得：

(15) $ U_{{\text{oc}}}^{\max } = {U_{{\text{oc,ref}}}}\left[1+a\ln \frac{{{E_{\max }}}}{{{E_{{\text{ref}}}}}}+\beta ({\theta _{\max }} - {\theta _{{\text{ref}}}})\right] . $

式中： ${E_{{\text{ref}}}}、{\theta _{{\text{ref}}}}$为标准测试条件( $1\;000\;{\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$、25 ℃)下的参考辐照度和温度； ${\theta_{\max }}$为最大辐照度， ${\theta_{\max }}$为最大温度，均由运行环境决定； $\;\beta $为 ${U_{{\text{oc}}}}$的温度系数， $a$为温度修正系数，均由光伏面板厂家提供.

2）空间间隔 $\delta $. $\delta $和dP/dV的跟踪精度和速度有关，下面将从这2个角度展开分析.

a)如图5所示为dP/dV在不同 $\delta $下的跟踪精度. B点是 ${\text{d}}P/{\text{d}}{V^{{\text{ref}}}}$对应的理想工作点，图中不同色块表示电压存储间隔. 如图5(a)所示为在较大的空间间隔 ${\delta _1}$下的跟踪过程，如图5(b)所示为在较小的空间间隔 ${\delta _2}$下的跟踪过程.

光伏P-V曲线可以近似地拟合成抛物线^[20]：

(16) $ P(V) = {a_2}{V^2}+{a_1}V+{a_0}. $

式中： ${a_2}、{a_1}、{a_0}$为二次项系数.

设B点和C点的坐标为

(17) $ \left. \begin{gathered} B({U_B},P({U_B})) , \\ C({U_B}+\lambda \delta ,P({U_B}+\lambda \delta )) . \\ \end{gathered} \right\} $

式中： ${U_B}、P({U_B})$分别为B点的电压和功率； $\lambda $为常系数 $(0 < \lambda < 1.0)$； $\lambda \delta $为B点和C点之间的距离，距离和 $\delta $有关.

如图5所示，在稳态时AC直线的斜率等于B点的斜率，满足下式：

(18) $ \frac{{P({U_B}+\lambda \delta ) - P({U_A})}}{{{U_B}+\lambda \delta - {U_A}}} = {P^{'}}({U_B}) . $

式中： ${U_A}、P({U_A})$分别为A点的电压和功率， ${P^{'}}({U_B})$为B点的一阶导数.

结合式(16)、(18)，可得

(19) $ {U_A} = {U_B} - \lambda \delta \text{，} $

即稳态点和理想点的电压偏差为 $\lambda \delta $. 由此可得， $\delta $越小，则电压偏差越小，跟踪精度越高. 该结论体现在图5中，空间间隔较小的稳态点A更接近B点.

b)如图6所示为在环境变化时不同的 $\delta $下dP/dV的跟踪响应速度. 图6 (a)中，曲线 ${l_1}$和 ${l_2}$是光伏在不同环境条件下的P-V曲线，而曲线 ${l_1}$的最大功率点更高. 以曲线从 ${l_2}$到 ${l_1}$变化为例，空间域计算的直线斜率变化是从 ${K_{{A_2}{C_2}}}$到 ${K_{{A_1}{C_2}}}$.

为了从数学角度阐明 $\delta $的影响，设 ${B_2}$点和 ${C_2}$点之间的电压差是 $\delta $，直线 ${B_2}{C_2}$的斜率是 ${K_{{B_2}{C_2}}} = k$，从 ${B_2}$点到 ${B_1}$点功率增加 $\Delta P$.

由此，可以确定 ${B_1}$和 ${C_2}$点的坐标如下：

(20) $ \left. \begin{gathered} {B_1}({U_i},k{U_i}+b+\Delta P) , \\ {C_2}({U_i}+\delta ,k({U_i}+\delta )+b). \\ \end{gathered} \right\} $

则直线 ${B_1}{C_2}$的斜率为

(21) $ {K_{{B_1}{C_2}}} = k - {{\Delta P}}/{\delta } . $

环境变化导致空间域计算下dP/dV的改变量为

(22) $ \Delta \frac{{{\text{d}}P}}{{{\text{d}}V}} = {K_{{B_1}{C_2}}} - {K_{{B_2}{C_2}}} = - \frac{{\Delta P}}{\delta } , $

其中 $\Delta P > 0$. 在同样的环境变化下， $\delta $越小，则dP/dV的改变量越大，即响应速度更快.

空间间隔越小，则跟踪精度越高，且对环境变化的响应速度越快，所以理想情况下 $\delta $的取值越小越好. 在实际部署时，需要考虑2个硬件限制条件. 1）存储空间有限， $\delta $越小，则空间域数组越长，占用存储空间越大. 2）采样分辨率有限制， $\delta $越小，则电压差受测量误差的影响越大. 根据实验测试经验，推荐取最小采样刻度 $\varepsilon $的5到10倍.

(23) $ \varepsilon = {{U_{{\text{oc}}}^{\max }}}/{{{2^N}}} . $

式中：N为数字采样分辨率.

为了验证所提算法的有效性，在MATLAB/Simulink中进行一些测试. 光伏系统的电路结构和图5中一致，标准测试条件（辐照度为1 000 W/m²，温度为25 ℃）下的系统参数如表1所示.

测试分为以下2个场景. 1）最大功率跟踪性能. 评估所提控制算法在辐照度恒定、斜坡变化和阶跃变化下的最大功率点跟踪性能，和其他2种算法进行对比. 2）功率热备性能. 在辐照度恒定的环境条件下，评估所提控制算法在不同dP/dV参考值下的输出性能，并和基于时域dP/dV计算的算法进行对比.

所提算法中的dP/dV参考值设置为0，以实现MPPT功能. 在相同的环境条件下，对提出的方法、最流行的经典P&O-MPPT算法和最新的SOFT-MPPT算法^[15]进行比较. 温度恒定为25 ℃，辐照度变化如下. 1) 辐照度的初始值为600 ${\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$. 2) 第4 s时，辐照度跃变上升到1200 ${\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$；第4.0~7.0 s时，辐照度保持在1200 ${\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$. 3) 第7.0~11.0 s时，辐照度以50 ${\text{W/}}({{\text{m}}^{\text{2}}}\cdot{\text{s}})$的速率减小. 4) 第11.0~12.0 s时，辐照度保持在1000 ${\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$.

如图7 (a)所示为经典P&O MPPT算法的仿真结果. 图中，V_e为电压误差，P_e为功率误差. 经典P&O方法以固定步长搜寻MPP. 利用该算法，实现了3种不同太阳辐照度下的最大功率点跟踪. 固定步长扰动会在MPP附近带来稳态振荡. 可用功率越高，功率损耗越大. 减小稳态振荡的一种自然方法是减小步长. 较小的步长会导致较慢的动态响应，反之亦然.

SOFT-MPPT方法采用基于dP/dV的变步长扰动观测和稳态识别机制，以实现快速的动态响应和零稳态振荡. 如图7 (b)所示，当辐照度在4 s时以阶跃方式变化时，dP/dV的计算偏差导致电压发生较大偏移，这种偏移需要较多的扰动步骤才能达到稳态. 由于时域dP/dV计算的零分母问题，在稳态时存在振荡，SOFT-MPPT算法利用稳态检测模块来识别稳态振荡的电压模式. 一旦检测到电压模式，则算法会停止扰动观测模块，并工作在恒电压模式. 为了在环境变化后重启扰动观测模块以跟踪新的最大功率点，算法增加了动态检测模块. 为了防止误判，动态检测模块需要满足一定的裕量，这导致了动态响应的滞后. 如图7(b)所示，虽然辐照度从第7 s时开始变化，但是算法在0.5 s后才重启扰动观测模块. 因为稳态检测模块存在裕量以防止误判，当辐照度从斜坡变化变为恒定时，辐照度变化积累的误差仍在裕量内，导致过早的收敛而存在电压偏差，即11 s后，扰动观测模块没能重启以跟踪新的最大功率点.

如图7 (c)所示，利用本文方法实现了更快的动态跟踪和无稳态振荡. 虽然在第4 s辐照度发生突变时，光伏电压发生了较大的振荡，但是在极短的时间内达到了稳态. 这一快速动态响应得益于以dP/dV作为控制变量，跟踪误差可以通过反馈控制实时响应输出. 在所提的空间域dP/dV计算模块中，dP/dV的计算不会出现零分母问题. dP/dV可以稳定在参考值，利用光伏系统可以实现无误差跟踪并消除稳态振荡. 虽然在辐照度斜坡变化下，与SOFT-MPPT算法相比，所提算法表现不突出，但是所提算法对辐照度变化的响应更快，且在辐照度稳定后能够更精确地跟踪新的最大功率点. 在第7 s辐照度开始变化时，所提算法在极短时间内响应了该变化. 在第11 s辐照度停止变化后，快速跟踪到了最新的最大功率点.

基于dP/dV调节光伏输出是便捷的方法. Cai等^[16]用dP/dV控制作为内环来满足外环的控制需求，但是用到了时间域dP/dV的计算方法. 为了表明本文所提空间域dP/dV计算方法的优势，在相同的条件下进行对比. 环境参数保持在标准条件(1000 ${\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$, 25 ℃)；第2~6 s时，dP/dV参考值为0；第6~10 s时，dP/dV参考值为−100；第10~14 s时，dP/dV参考值为−150.

如图8所示为2种方法在不同dP/dV参考值下的仿真结果. 光伏输出与1节分析吻合. 当dP/dV=0时，光伏输出最大功率；当dP/dV<0时，光伏预留一定功率，且dP/dV越小，光伏预留功率越大. 如图9 (a)所示，基于时间域dP/dV计算方法会引入严重的稳态振荡. 第6~8 s时，功率振荡幅值高达150 W. 振荡的发生源于时间域计算在稳态下存在零分母问题，Cai等^[16]人为地施加扰动，以避免零分母问题. 图9 (b)中，利用本文方法得到的稳态功率振荡值最大为3 W(0.2%)，得益于空间域计算方法的无零分母优势.

为了进一步说明所提算法的有效性，开展实物实验，实验设备如图9所示，电路结构和图2一致. 升压变流器输入侧为光伏面板，型号为DJB-18V100WK，输出侧接48 V锂电池. 主控芯片为STM32F030K6T6，主频为48 MHz，闪存为16 kB，静态随机存取存储器为4 kB. 将光伏面板安装在无遮挡的实际环境中，以获取均匀的辐照度.

由于实际环境条件复杂且具有不确定性，为了获得相对公平的结果，在70 s内依次对比了各算法的表现，各算法的环境条件视为一致. 温度θ和辐照度E的变化曲线如图10所示，温度最高为33.4 ℃，最低为32.9 ℃，辐照度最高为547 ${\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$，最低为545 ${\text{W/}}{{\text{m}}^{\text{2}}}$，忽略随机的波动，环境条件可以看作为恒温、恒辐照度.

与仿真类似，测试2种场景下的算法性能对比：最大功率跟踪和功率热备运行. 每一种算法的参数都调整到最优，以输出最佳性能. 在各算法启动前，光伏系统保持在17 V恒压输出. 如图11~15所示为各算法的示波器输出波形图，每张图下方的左侧箭头表示算法启动，右侧箭头表示算法停止.

如图11~13所示为3种不同MPPT算法的实验结果. 3种算法都从输出电压17 V开始搜寻最大功率点，实现了最大功率跟踪达到稳态. 从图11~13中虚线框内的系统表现可知，所提算法的收敛时间最短，传统P&O算法的收敛时间最长. 因P&O算法步长是固定的，SOFT-MPPT算法用到了可变步长，第1步步长较大，因此SOFT-MPPT算法较传统P&O算法更快.

这3种方法的稳态性能与仿真结果一致. 采用所提算法实现了无稳态振荡，传统的扰动观测方法围绕MPP振荡，SOFT-MPPT方法在检测到振荡的电压模式时暂停扰动观测模块，以消除振荡. 与仿真结果不同，SOFT-MPPT方法会花费更多的步骤来识别稳态，因为稳态识别的判断受到噪声和测量误差的影响.

如图14、15所示为基于时间域dP/dV计算的算法^[16]和基于所提空间域dP/dV计算的算法的实验结果. 2种算法采用相同的控制参数，以对比2种dP/dV计算模块的性能. 各算法的测试都持续15 s，可以分为3个阶段，每个阶段的dP/dV参考值不同. 阶段I的dP/dV参考值为0，阶段II的dP/dV参考值变为−5，阶段III的dP/dV参考值为−10. 2种算法都在阶段I实现了最大功率跟踪，并在阶段II、III实现了功率热备运行，且dP/dV参考值越小，预留的热备功率越多，与1节分析的P-dP/dV特性相符. 受开关器件和噪声的影响，实际输出波形不如仿真结果理想，但控制效果可以在波动幅度上进行比较. 结果表明，由于时域dP/dV计算的零分母问题增加了稳态振荡，时域方法的电压波动几乎是空间域方法的2倍.

(1)本文阐述了所提控制方法的运行机制和空间域dP/dV计算的工作原理，说明了该控制方法相对于时间域dP/dV计算的优越性.

(2)提供了空间域dP/dV计算的实施流程图和参数设置方法.

(3)通过仿真和实验测试，验证了基于空间域dP/dV计算的控制方法的有效性. 与传统的P&O方法和最新的SOFT-MPPT方法进行比较，证明了所提方法在最大功率跟踪方面的优越性；与基于时间域dP/dV计算的控制方法进行比较，证明了在功率热备运行控制上的优势.