矩阵变换器(matrix converter, MC)是一种直接交-交变换器，具有控制灵活、结构紧凑、易于实现单位功率因数等优点. 现有对矩阵变换器的研究包括调制方法^[1-3]、换流策略^[4]、拓扑结构^[5-7]及容错与故障诊断^[8-10]等方面，其在工业界的应用主要集中在电机驱动^[11-12]、电动汽车充电^[13]和海上风能传输^[14]等领域.

在矩阵变换器输入侧安装LC滤波器，滤除开关频率附近的高频谐波，以提升性能，因此研究输入滤波器中参数的优化设计具有重要意义. 夏益辉等^[15-17]对输入滤波器的研究主要集中在参数设计方面. 夏益辉等^[15]提出将基波压降、输入功率因数及阻尼电阻的损耗等作为LC滤波器的设计依据. 王红红等^[16]提出通过静态寻优，确定输入滤波器阻尼电阻的最优值. 童诚^[17]提出输入滤波器中电感及电容参数的选择方法. 上述研究集中在滤波器中电感与电容参数的选择方法方面. 由于LC滤波器是二阶无阻尼系统，易受到变换器输入电压或输入端电流以及动态切换过程中产生谐波的影响，使得输入侧引起谐振，影响输入性能.

现有的矩阵变换器输入侧谐振抑制方法主要包括被动阻尼法^[15-17]和主动阻尼法^[18-21]两大类. 前者引入结构简单的电阻，能够起到阻尼系统谐振的目的. 阻尼电阻对系统的性能影响较大，如何兼顾谐振抑制、高频段谐波衰减及系统损耗是被动阻尼法的核心问题. 主动阻尼法采用算法实现谐振的抑制，许宇翔等^[18]提出采集输出侧电流中高频谐波分量至输出侧闭环控制，以实现矩阵变换器的输入谐振抑制. Lei等^[19]提出基于电流预测策略的谐振抑制新型方法. 陆松等^[20]提出通过反馈滤波电感电流与滤波电容电压中的高频量至闭环控制中的谐振方法. Nunokawa等^[21]提出基于复杂框架下的矩阵变换器谐振抑制方法，该方法通过高通滤波器(HPF)采集输入侧中主要频率点附近的多个谐波电流，但HPF的过渡带较长，容易引入谐振点频率段外的无用信号，是开环的控制方法，静态与动态性能不足.

针对矩阵变换器输入侧谐振问题及现有抑制方法存在的缺陷，本文综合多个参数约束条件，获取滤波电感和电容的最优参数值，将抑制谐振点附近的谐波作为被动阻尼法中阻尼电阻的设计依据. 将该方法的思想进行拓展，提出采用陷波滤波器(notch filter)提取滤波电容电压中特定谐波至闭环控制，以有效地抑制输入谐振点附近的谐波电流. 通过仿真结果验证了所提方法的有效性.

如图1所示为常规的三相-三相矩阵变换器(3-3MC)拓扑结构. 图中，e_a、e_b和e_c分别为三相输入电压，i_a、i_b和i_c分别为三相输入电流，L_f、R_f分别为滤波电感及等效电阻，C_f为滤波电容， $i_a^{'} $、 $i_b^{'} $和 $i_c^{'} $分别为矩阵变换器三相输入端电流，S_ij（i = a、b、c， j = u、v、w）为双向开关管，i_u、i_v和i_w分别为三相输出电流，Z_L为负载阻抗.

假设输入为三相对称电压信号，输出为三相对称负载，则3-3MC可以等效为3个独立的单相-单相矩阵变换器，输入侧等效电路如图2所示.

对于该等效电路，采用基尔霍夫电压定律，可得矩阵变换器输入侧电压与电流之间相互关系的时域表达式：

(1) $ \left. \begin{gathered} {u_i}(t) = {e_i}(t) - {R_{\text{f}}}{i_i}(t) - {L_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_i}(t)}}{{{\rm{d}}t}}, \\ i_i^{'}(t) = {i_i}(t) - {C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{u_i}(t)}}{{{\rm{d}}t}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：u_i (i = a、b、c)为输入端滤波电容电压，i_i为输入电流， $i_i^{'} $(t)为输入端电流.

对式(1)进行拉氏变换，可得s域下输入滤波器中电压与电流相互关系的表达式：

(2) $ \left. \begin{gathered} {U_i}(s) = {E_i}(s) - {R_{\text{f}}}{I_i}(s) - {I_i}(s){L_{\text{f}}}s, \\ I_i^{'}(s) = {I_i}(s) - {U_i}(s){C_{\text{f}}}s. \\ \end{gathered} \right\} $

由式（2）可得，输入电流与输入电压、输入端电流之间的s函数关系式为

(3) $ \begin{gathered} {I_i}(s) = \frac{1}{{{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{s^2}+{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}s+1}}I_i^{'}(s) +\frac{{{C_{\text{f}}}s}}{{{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{s^2}+{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}s+1}}{E_i}(s). \end{gathered} $

由式(3)可得，该s函数分母中固有频率 $\omega _{\rm{n}}' $和图2所示输入滤波器的阻尼系数ξ ' 的表达式分别为

(4) $ \left. \begin{gathered} \omega _{\rm{n}}' = \frac{1}{{\sqrt {{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}} }}, \\ {\xi ^{'}} = \frac{1}{2}{R_{\text{f}}}\sqrt {\frac{{{C_{\text{f}}}}}{{{L_{\text{f}}}}}} . \\ \end{gathered} \right\} $

分析式(4)可知，在无阻尼电阻的情况下，滤波器中C_f ≪ L_f，滤波电感等效电阻R_f ≪ 1 Ω,则阻尼系数ξ' ≈ 0，因此矩阵变换器输入LC滤波器是近似二阶无阻尼系统，输入电压与输入端电流中谐振频率点附近的谐波容易激发产生输入谐振电流.

为了抑制输入LC滤波器引起的输入电流谐振，一般采用在滤波电感L_f或滤波电容C_f上并联或串联电阻的方式. 综合考虑谐振抑制效果和系统损耗降低等，常采用在电感上安装阻尼电阻R_d的被动阻尼法抑制谐振，等效电路如图3所示.

从图3可知，输入LC滤波器中电压与电流相互关系的时域表达式为

(5) $ \left. \begin{gathered} {u_i}(t) = {e_i}(t) - {R_{\text{f}}}{i_{i{\text{1}}}}(t) - {L_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{i{\text{1}}}}(t)}}{{{\rm{d}}t}} - {R_{\text{d}}}{i_{i2}}(t), \\ {i_i}(t) = {i_{i1}}(t)+{i_{i2}}(t), \\ i_i^{'}(t) = {i_i}(t) - {C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{u_i}(t)}}{{{\rm{d}}t}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：i_i1、i_i2分别为滤波电感和阻尼电阻的支路电流，R_d为阻尼电阻.

对式(5)进行拉氏变换可知，s域下输入LC滤波器中电压与电流相互关系的表达式为

(6) $ \left. \begin{gathered} {U_i}(s) = {E_i}(s) - {I_i}(s){R_{\text{d}}}||\left( {{R_{\text{f}}}+{L_{\text{f}}}s} \right), \\ I_i^{'}(s) = {I_i}(s) - {U_i}(s){C_{\text{f}}}s. \\ \end{gathered} \right\} $

由式（6）可得，输入电流与输入电压、输入端电流之间的s函数关系式为

(7) $ \begin{split} {I_i}(s) =& \frac{{{L_{\text{f}}}s+{R_{\text{f}}}+{R_{\text{d}}}}}{{{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{R_{\text{d}}}{s^2}+\left( {{L_{\text{f}}}+{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{R_{\text{d}}}} \right)s+{R_{\text{f}}}+{R_{\text{d}}}}}I_i^{'}(s)\;+ \\ & \frac{{{C_{\text{f}}}s\left( {{L_{\text{f}}}s+{R_{\text{f}}}+{R_{\text{d}}}} \right)}}{{{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{R_{\text{d}}}{s^2}+\left( {{L_{\text{f}}}+{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{R_{\text{d}}}} \right)s+{R_{\text{f}}}+{R_{\text{d}}}}}{E_i}(s). \end{split} $

由于滤波电感的等效电阻R_f ≪R_d，则此时ω_n和图3所示滤波器的阻尼系数ξ的表达式分别为

(8) $ \left. \begin{gathered} {\omega _{\text{n}}} = \sqrt {\frac{{{R_{\text{f}}}+{R_{\text{d}}}}}{{{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{R_{\text{d}}}}}} \approx \omega _{\text{n}}^{'} = \frac{1}{{\sqrt {{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}} }}, \\ \xi = \frac{1}{{2{\omega _{\text{n}}}{C_{\text{f}}}{R_{\text{d}}}}}+{\xi ^{'}}. \\ \end{gathered} \right\} $

从式(8)可知，在输入电感上并联R_d后，增大了ξ，但ω_n几乎没有改变，因此系统的稳定性得到了提升. 在被动阻尼法中引入R_d后，ξ与R_d成反比. 如何设计合适的R_d使得ξ达到合理的水平，可以实现在不明显影响高频谐波衰减能力的同时，抑制了输入电流中谐振点附近谐波电流的幅值，这是被动阻尼法中参数优化设计的关键.

滤波器参数的设计主要包括滤波电感与滤波电容的选取，结合文献[15~17]的约束条件，同时限制R_d上的功率损耗，可以获得矩阵变换器输入LC滤波器的约束条件如下.

1) 截止频率f_c取值为开关频率f_s的1/10~1/5，且大于输入频率f_i的10倍.

2) 滤波器的ξ取值为 $0.1\sim \sqrt 2 /2 $.

3) 滤波电感上的基波压降不超过输入电压的3%.

4) R_d的功率损耗小于最大功率的0.5%.

5) 滤波电容的功耗不超过最大功率的5%.

为了提高滤波器在开关频率点处的高频谐波抑制能力，童诚^[17]定义滤波器的f_c为f_s的1/5~1/2. 为了减少引入R_d后高频段衰减能力不足带来的高频谐波抑制效果的下降，将f_c取为f_s (10 kHz)的1/10~1/5，f_c大于f_i(50 Hz)的10倍. 综合上述条件，约束条件1)中截止频率设为500~2 000 Hz.

输入电压的幅值为 $110 \sqrt 2 \; {\rm{V}}$，选用大于3倍输入电压幅值耐压的电容，因此滤波电容采用630 V耐压的CBB电容，现有耐压630 V的CBB电容的单个最大值为4.7 μF. 采用4个CBB电容并联构成该滤波电容，即实际滤波电容为18.8 μF.

滤波电容电感与f_c之间的关系如下：

(9) $ {f_{\text{c}}} = \frac{1}{{2{\text{π}} \sqrt {{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}} }}. $

由式(9)和约束条件1)可得，滤波电感的理论值为L_f = 1.8 mH. 由于常见的滤波电感取值为0.5~3.0 mH，一般步进为0.5 mH，因此实际滤波电感取为1.5 mH，则此时系统的实际截止频率为948 Hz，即符合约束条件1)的要求.

根据电感上电流与电压之间的关系，输入LC滤波器中电感上电压u_L(t)的表达式为

(10) $ \left. \begin{gathered} {i_{\text{s}}}(t) = {I_{\rm{m}}}\cos\; ({\omega _{\text{i}}}t) = \frac{{2{P_{\text{i}}}}}{{3{E_{\text{m}}}}}\cos \;({\omega _{\text{i}}}t), \\ {u_{\text{L}}}(t) = {L_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{\text{s}}}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = {I_{\rm{m}}}{L_{\text{f}}}{\omega _{\text{i}}}\cos \;({\omega _{\text{i}}}t+\varDelta ). \\ \end{gathered} \right\} $

式中：I_m为输入电流的幅值. 矩阵变换器最大输入功率P_i = 2 000 W，输入电压幅值E_m = $110\sqrt 2 $ V，滤波电感L_f = 1.5 mH，输入角频率ω_i = 314 rad/s， $ \varDelta $为电感电压与电流之间的相位差. 由上述参数可得，滤波电感上的最大电压U_L = 4.04 V.

从式(10)可知，电感引起的压降与输入电压幅值之比为

(11) $ {\lambda _{\text{u}}} = \frac{{{U_{\text{L}}}}}{{{E_{\text{m}}}}} = \frac{{{I_{\rm{m}}}{L_{\text{f}}}{\omega _{\text{i}}}}}{{{E_{\text{m}}}}}. $

从式（11）可知，电感引起的压降比λ_u = 2.6% < 3%，即符合约束条件3)的要求.

阻尼电阻的损耗表达式为

(12) $ {P_{{\text{Rd}}}} = \frac{{3U_{\text{L}}^{\text{2}}}}{{2{R_{\text{d}}}}} = \frac{{3{{\left( {{I_{\rm{m}}}{L_{\text{f}}}{\omega _{\text{i}}}} \right)}^2}}}{{2{R_{\text{d}}}}}. $

从式(12)可得ξ = $\sqrt 2 $/2时的P_Rd= 2.45 W < 0.5% P_i，即符合约束条件4)的要求.

输入滤波电容上的损耗表达式为

(13) $ {P_{\text{c}}} = \frac{1}{2}{\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}E_{\text{m}}^{\text{2}}{\text{ = }}{\text{π}} {f_{\text{i}}}{C_{\text{f}}}E_{\text{m}}^{\text{2}}. $

从式(13)可得，P_c与P_i的比值为

(14) $ {\lambda _{\text{c}}} = \frac{{{P_{\text{c}}}}}{{{P_{\text{i}}}}} = \frac{{{\text{π}} {f_{\text{i}}}{C_{\text{f}}}E_{\text{m}}^{\text{2}}}}{{{P_{\text{i}}}}}. $

从式(14)可知，电容功耗与最大输入功率的比值为λ_c = 3.6% < 5%，符合约束条件5)的要求.

现有输入性能方面的规定包括：国家标准GB/T14549-93和国际电工委员会IEC技术分会颁布的标准IEC6100-3-2. 前者规定了输入电流和滤波电容电压总谐波畸变率(THD)均小于5%，各奇数次谐波含有率小于3%. 后者规定了设备中输入电流奇数次谐波含量，由于谐振频率为948 Hz，该频率为基波频率的19次，以10%的滤波电感误差、5%的电容误差为例，谐振频率为882~1 197 Hz，即谐振频率段为基波的16~24次谐波. 假设输入电流中无偶数次倍谐波和3的倍数次谐波，需要研究并分析所设计的阻尼电阻对输入电流中13、17、19、23和25次共5个特定谐波的抑制效果，作为衡量阻尼电阻抑制谐振效果的依据之一.

抑制不同次谐振电流的理想阻尼电阻计算表达式为

(15) $ {R_{{\rm{d\_}}i}}=\frac{{i{\omega _{\rm{i}}}{L_{\rm{f}}}}}{{\left| {1 - {{\left( {i{\omega _{\rm{i}}}} \right)}^2}{L_{\rm{f}}}{C_{\rm{f}}}} \right|}}\sqrt {\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{i_i}}}{{{\lambda _i}{i_0}}}} \right)}^2}}}{{1 - {{\left( {\dfrac{{{i_i}}}{{{\lambda _i}{i_0}}}} \right)}^2}}}} ;\;{\kern 1pt} {i = 13 \sim 25} . $

式中：i_i为标准IEC6100-3-2规定的第i次谐波电流含量的上限，λ_i为经快速傅里叶变换(FFT)分析后的第i次谐波电流的实际含有率，i₀为基波电流幅值.

标准IEC6100-3-2对输入电流谐波含量进行限定，其中13~25次谐波含量规定如下：13次谐波含量i₁₃ = 0.21 A，17次谐波含量i₁₇ = 0.132 A，19次谐波含量i₁₉ = 0.118 A，23次谐波含量i₂₃ = 0.098 A，25次谐波含量i₂₅ = 0.09 A. 无阻尼条件(R_d = +∞) 下的仿真参数如表1所示. 若输出电流设定值为6.5 A，则输入电流中13~25次谐波电流含有率分别为：λ₁₃ = 5.86%、λ₁₇ = 13.98%、λ₁₉ = 119.7%、λ₂₃ = 18.98%、λ₂₅ = 10.76%，基波电流幅值为i₀ = 1.661 A. 从式(15)可得，输入侧13~25次谐波对应的R_d分别如下：R_{d_13} = 17.405 Ω，R_{d_17}= 37.872 Ω，R_{d_19} = 150.104 Ω，R_{d_23} = 9.987 Ω，R_{d_25} = 12.381 Ω. 根据约束条件2)的要求，当R_d = 150.104 Ω时，滤波器的ξ < 0.1，该电阻的取值情况不作考虑，只需考虑其他4个理想阻尼电阻附近的实际阻尼电阻对输入谐振抑制的效果. 9.987~37.872 Ω的常见电阻系列如下：10、15、20、22、30、33 Ω. 可知， R_d可以选择10、15和33 Ω，取上述3种不同的实际阻尼电阻进行仿真，对输入性能进行对比分析.

由上述分析可得，滤波器的设计步骤如下.

1）按照3.1节的约束条件设计滤波电感与电容，依据元件的易购性，选择合适的滤波电容与电感.

2）根据谐振频率，选择需要抑制的特定谐波频率. 利用仿真软件中的FFT分析模块，获得无阻尼电阻情况下输入电流谐振点附近的主要谐波电流含有率λ_i与基波电流幅值i₀.

3）通过国际标准IEC6100-3-2获得上述谐振点附近主要谐波电流含量的上限，根据式(15)计算获得抑制不同谐波电流的理想阻尼电阻.

4）将理论计算的阻尼电阻与表2对照，获得可选的多个实际阻尼电阻.

5）分析不同阻尼电阻条件下矩阵变换器的输入与输出性能，以不低于标准GB/T 14549-93和IEC 6100-3-2的要求，选取最优输入性能下的实际阻尼电阻.

提出采用Notch Filter对输入端电压谐振点附近的特定谐波量进行提取，该滤波器的传递函数为

$ \frac{{s}^{2}+{\left(i{\omega }_{\text{i}}\right)}^{\text{2}}}{{s}^{2}+({i{\omega }_{\text{i}}}/{Q})s+{\left(i{\omega }_{\text{i}}\right)}^{\text{2}}}\left(i=13\sim 25\right). $

其中，Q为品质因数，用以限制陷波点的宽度，仿真中Q取为500.

如图4所示为特定谐波提取模块框图. 图中，i_{αβ_13}、i_{αβ_17}、i_{αβ_19}、i_{αβ_23}和i_{αβ_ 25}分别为矩阵变换器滤波电容电流中的13、17、19、23和25次谐波在αβ坐标系下的值.

对式(1)进行abc/dq坐标变换，可得矩阵变换器在同步旋转dq轴下的输入微分方程为

(16) $ \left. \begin{gathered} {L_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{{d}}}}}{{{\rm{d}}t}}+{R_{\text{f}}}{i_{{d}}} - {\omega _{\text{i}}}{L_{\text{f}}}{i_{{q}}}+{u_{{d}}} = {e_{{d}}}, \\ {L_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{{q}}}}}{{{\rm{d}}t}}+{R_{\text{f}}}{i_{{q}}}+{\omega _{\text{i}}}{L_{\text{f}}}{i_{{d}}}+{u_{{q}}} = {e_{{q}}}. \\ \end{gathered} \right\} $

(17) $ \left. \begin{gathered} {i_{{d}}} = {C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{u_{{d}}}}}{{{\rm{d}}t}} - {\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{u_{{q}}}+i'_{{d}}, \\ {i_{{q}}} = {C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{u_{{q}}}}}{{{\rm{d}}t}}+{\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{u_{{d}}}+i'_{{q}}. \\ \end{gathered} \right\} $

双闭环控制系统以输入电流i_a、i_b和i_c的dq轴分量i_d和i_q为控制对象，矩阵变换器三相输入端电流 $i'_a $、 $i'_b $和 $i'_c $的dq轴分量 $i'_d $和 $i'_q $为控制量，两者之间的关系为

(18) $ \left. \begin{gathered} i_{{d}}^{'} = {L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{i_{{d}}}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} - 2{\omega _{\text{i}}}{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{{q}}}}}{{{\rm{d}}t}}+{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{{d}}}}}{{{\rm{d}}t}} - {\omega _{\text{i}}}{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{i_{{q}}}\; + \\ \;\;\;\;\;\;\;(1 - \omega _{\text{i}}^{\text{2}}{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}){i_{{d}}}+{\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{e_{{q}}} - {C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{e_{{d}}}}}{{{\rm{d}}t}}, \\ i_{{q}}^{'} = {L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{i_{{q}}}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} - 2{\omega _{\text{i}}}{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{{d}}}}}{{{\rm{d}}t}}+{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{i_{{q}}}}}{{{\rm{d}}t}} - {\omega _{\text{i}}}{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{i_{{d}}} \;+ \\ \;\;\;\;\;\;\;\;(1 - \omega _{\text{i}}^{\text{2}}{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}){i_{{q}}}+{\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{e_{{d}}} - {C_{\text{f}}}\frac{{{\rm{d}}{e_{{q}}}}}{{{\rm{d}}t}}. \\ \end{gathered} \right\} $

因为dq轴分量都为直流量，稳态时各变量的微分都为零，令式(18)的微分量为零，得到dq轴下的稳态方程为

(19) $ \left. \begin{gathered} i_{d}^{'} = (1 - \omega _{\text{i}}^{\text{2}}{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}){i_{d}} - {\omega _{\text{i}}}{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{i_{q}}+{\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{e_{q}}, \\ i_{q}^{'} = (1 - \omega _{\text{i}}^{\text{2}}{L_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}){i_{q}}+{\omega _{\text{i}}}{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{i_{d}} - {\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{e_{d}}. \\ \end{gathered} \right\} $

根据电流前馈解耦原则，忽略滤波电容电压dq轴分量u_d和u_q与输入电压dq轴分量e_d和e_q之间的差异，可得以输入电流的dq轴分量i_d、i_q作为控制对象的电流内环方程式：

(20) $ \left. \begin{gathered} i_{d}^{'*} = \left({k_{\text{p}}}+\frac{{{k_{\text{i}}}}}{s}\right)(i_{d}^{\text{*}} - {i_{d}}) - {\omega _{\text{i}}}{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{i_{q}}+{\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{u_{q}}, \\ i_{q}^{'*} = \left({k_{\text{p}}}+\frac{{{k_{\text{i}}}}}{s}\right)(i_{q}^{\text{*}} - {i_{q}})+{\omega _{\text{i}}}{R_{\text{f}}}{C_{\text{f}}}{i_{d}} - {\omega _{\text{i}}}{C_{\text{f}}}{u_{d}}. \\ \end{gathered} \right\} $

式中：k_p和k_i分别为电流内环PI调节器的比例和积分系数.

由式(20)和图4可得，基于特定谐波消除法的矩阵变换器双闭环控制策略框图如图5所示.

建立矩阵变换器的仿真模型，采用Matlab/ Simulink对无阻尼法、被动阻尼法和基于特定谐波消除法的双闭环控制策略进行仿真与对比分析，仿真参数如表2所示. 无阻尼法和被动阻尼法均采用如图5所示的双闭环控制策略，其中图5的i_{α_th}和i_{β_th}设置为i_{α_th} = i_{β_th} = 0.

如图6所示为无阻尼法下矩阵变换器的静态仿真结果. 图中，M_ag为各次谐波与基波的相对幅度之比. 从图6(a)可知，输入LC滤波器的阻尼非常小，输入电流出现了明显的谐振. 从图6(b)的FFT分析结果可知，输入电流的THD为203.52%，主要谐波集中在谐振频率点(948 Hz)附近.

如表2所示为当 $I^*_{\rm{o}} $分别为3.5和6.5 A时，不同阻尼电阻输入电流中谐振点附近13、17、19、23和25次谐波的FFT分析结果，η_i（i = 13、17、19、23、25）为各次谐波含量. 可知，上述3种阻尼电阻使得输入电流中谐振点附近的谐波含有率均低于国标GB/T14549-93规定的各奇数次谐波含有率小于3%的上限，满足IEC6100-3-2对上述谐波含量的要求. 阻尼电阻越小，谐振点附近主要谐波的抑制效果越好.

如图7所示为当 $I_{\rm{o}}^* $ = 3.5 A时，3种不同阻尼电阻条件下输入电流的静态仿真波形及开关频率点附近主要谐波含有率的分析结果. 从图7(a)、(c)可知，阻尼电阻越大，高频谐波的衰减效果越好. 从图7(b)、(d)的FFT分析可知，在R_d = 10、15 Ω的条件下，输入电流中开关频率(10 kHz)附近的高频谐波电流含有率分别为λ₂₀₁ = 7.6%和λ₂₀₁ = 5.12%，均高于国标GB/T14549-93规定的3%上限，该高频谐波电流含有率随着阻尼电阻的增加而减少. 从图7(b)、(d)的FFT分析结果可知，在R_d = 10、15 Ω的条件下，输入电流的THD分别为8.72%和5.95%. 由该THD及高频谐波电流含有率可知，开关频率点附近的谐波含有率决定了输入电流THD.

如图8所示为当R_d = 33 Ω时的动态仿真结果. 图中，在200 ms时，输出设定电流由3.5 A切换到6.5 A. 从图8(a)~(c)可知，输入与输出电流切换前、后均无明显振荡，输入电压与电流之间的相位差很小. 从图8(d)的FFT分析结果可知，开关频率附近的高频谐波被抑制为λ₂₀₁ = 2.43%，输入电流的THD为3.07%，与图7的结论类似，开关频率点附近谐波的含有率决定了输入电流THD. 当R_d = 33 Ω时的ξ = 0.14∈(0.1， $\sqrt 2 /2 $)，符合约束条件2)的要求，即在该特定条件下，R_d = 33 Ω为被动阻尼法中的最优阻尼电阻.

如图9所示为基于特定谐波消除法的双闭环控制策略下的输入与输出动态仿真结果. 图中，200 ms时，输出电流设定值由3.5 A切换到6.5 A. 被动阻尼法中，R_d = 150.104 Ω时的滤波器阻尼系数ξ < 0.1，则 图4中反馈系数R_{d_19}=150.104 Ω修正为ξ = 0.1时的值，即R_{d_19} = 46 Ω. 在被动阻尼法中，若R_d = 17.405、9.987或12.381 Ω，则输入性能不满足国标GB/T14549-93规定3%的上限，因此图4中R_{d_i}的取值为：R_{d_13} = R_{d_17} = R_{d_23} =R_{d_25} = 37.872 Ω，R_{d_19} = 46 Ω. 从图9(a)可知，输入电流正弦度得到了进一步提升；从图9(b)可知，由于双闭环控制中的电流内环q轴电流取值为 $i^*_q =0 $，因此输入电压与电流几乎同相位，输入功率因数高. 从图9(a)、(c)可知，切换点处无明显振荡，动态响应快，切换前、后均能够保持良好的输入与输出性能. 从i_a的FFT分析结果可知，谐振点附近的13次、17次、19次、23次和25次谐波电流被极大地抑制，含量分别被抑制到0.08%、0.31%、0.59%、0.25%和0.11%. 从图9(d)的FFT分析结果可知，开关频率附近的高频谐波被抑制为λ₂₀₁ = 0.8%，输入电流的THD为1.51%. 与被动阻尼法(R_d = 33 Ω)相比，利用提出的方法，使得开关频率附近的高频谐波电流抑制效果更加明显.

如图10、11所示分别为Nunokawa等^[21]所提的HPF方法与本文所提的特定谐波消除法的输入三相电流仿真波形及i_a的FFT仿真结果，其中HPF的时间常数T = 3 ms. 从图10(a)、(b)可知，2种方法均能够在较短时间内抑制输入谐振. 由于Nunokawa等^[21]采用了过渡带较长的HPF提取谐振点附近谐波电压，谐振电流的衰减时间较本文方法的时间长，收敛速率较后者低. 从图11(a)、(b)可知，采用本文方法，稳态输入电流i_a的THD从1.98%下降到1.51%，输入侧性能得到进一步的改善. 由此可见，采用本文的控制策略较文献[21]方法具有更低的THD，对应抑制的谐波主要集中在谐振点附近.

如表3所示为被动阻尼法和特定谐波消除法下的输入电流13~25次谐波含量的对比图. 表3中的方法1为被动阻尼法（R_d = 33 Ω），方法2为特定谐波消除法. 可知，2种方法下的输入电流含量均远低于电气标准IEC6100-3-2的含量，两者在谐振点附近的谐波抑制能力非常接近.

如图12所示为文献[21]方法、动阻尼法(R_d = 33 Ω)和特定谐波消除法下矩阵变换器的输出相电压u_u的仿真分析结果. 根据FFT分析可知，利用文献[21]方法及所提的2种方法可得，输出相电压基波幅值分别为75.74、75.60和75.73 V，THD分别为50.42%、50.30%和50.24%，与文献[21]方法相比，本文方法下输出相电压中基波的幅值和THD均非常接近，输出相电压中高频谐波集中在f_s = 10 kHz的整数倍上. 随着频率的增加，高频谐波的电压幅值不断减小，即所提2种方法均没有改变输出性能.

本文根据截止频率、理想阻尼系数、电感压降、系统损耗及器件的易购性等多个约束条件，设计矩阵变换器输入LC滤波器，将谐振点附近特定谐波的抑制作为阻尼电阻优化设计的依据. 通过将特定谐波抑制的思想进行延伸，提出基于特定谐波抑制消除方法的矩阵变换器双闭环控制策略，给出该算法中参数的优化设置方法. 通过仿真，将现有方法与所提方法进行对比分析. 仿真结果表明，所提的基于特定谐波消除的输入LC滤波器参数优化与主动谐振抑制方法具有如下特点.

（1）利用所提的方法，能够使输入电流中谐振点附近典型谐波含有率和THD值均下降至标准范围内.

（2）LC滤波器的参数优化设计方法实现简单，能够较好地兼顾谐振点附近谐波的抑制与高频段谐波的衰减，硬件成本低，整机的经济性较好.

（3）基于特定谐波消除的主动谐振抑制控制策略具有算法灵活、谐振电流衰减时间较现有文献的时间短的优点.