带内全双工（in-band full duplex，IBFD）技术通过在相同的载波频率上同时收发电磁波信号，能够有效地提升频谱利用效率，实现传输资源的灵活配置. 由于收发信号同时同频，射频发射信号将耦合到接收天线上，该耦合分量被称为自干扰（self-interference，SI）信号. 在实际通信系统中，由于路径损耗，远端设备传输来的有用信号（signal of interest，SOI）功率往往比SI信号低60~100 dB^[1]，有效地抑制SI信号是实现IBFD系统的关键.

为了将SI信号抑制到噪声基底附近，需要采用传播域、模拟域和数字域联合抑制技术.传播域通过定向天线、天线极化、物理隔离等方法实现一定的收发隔离度.主流的模拟域方法通过可调谐的硬件电路对射频SI信号进行重建与抵消，避免接收射频前端饱和^[2]. 数字域方法将发射基带信号作为参考，通过建模和信道估计方法重建残余SI信号，将重建出的信号估计样本与接收信号抵消^[3]，从而将SI信号功率消除到噪声基底附近.在实际实现中，由于射频链路的非理想特性和传输信道的各类衰落与效应，SI信号不仅包含发射信号的线性分量，还包含许多非线性分量^[4]. 这些非线性分量很难通过模拟域方法精确估计，而在数字域可以通过复杂模型和滤波算法实现更精确的信号重建与抵消.

数字域方法包括建模与估计. 建模主要针对SI信号中由射频器件的非理想特性引起的失真. Sahai等^[5]分析IBFD系统中相位噪声的影响，Korpi等^[6]用广义线性模型对I/Q不平衡导致的镜像分量进行建模，Austin等^[7]在发射链路通过数字预失真技术对PA线性化，Anttila等^[8]基于增广Hammerstein模型对发射机非理想特性进行建模. Yilan等^[9]结合线性消除方案与基于记忆多项式模型的非线性消除方案来建模. 除上述方法外， Balatsoukas-Stimming等^[10-11]研究利用神经网络，对SI信号中的非线性成分进行建模. 在估计方法中，可以采用最小二乘估计^[6]、最大似然估计^[12]的方法，也可以采用自适应方法，如最小均方（least mean squares，LMS）算法^[13-14]、递推最小二乘（recursive least squares，RLS）算法^[14-15]及其增广算法^[16].

在零中频发射机中，相位噪声、I/Q不平衡度、功率放大器（power amplifier，PA）非线性等因素都将导致实际射频发射信号失真. 本文采用广义线性模型对正交混频器I/Q不平衡度引起的镜像分量进行建模，设计基于广义线性模型的数字域LMS自干扰消除器，通过仿真验证了该消除器在不同镜像抑制比条件下对镜像分量的消除能力. 引入扩频技术，利用伪随机码良好的相关特性，从理论上分析了在IBFD应用场景下，自干扰信号和有用信号间的相关性对自适应滤波性能的影响，通过仿真验证了引入扩频伪码能够为数字域自干扰消除带来收益.

IBFD零中频收发机框图如图1所示. 对于典型的IBFD系统，传播域方法采用天线分离或环行器方案实现收发隔离，由此产生的抑制量作用于SI信号的所有分量. 考虑到对发射链路引入的非线性分量的抑制能力，模拟域方法将PA输出信号的不同幅相和延迟样本的线性组合作为抵消信号，主要针对SI信号中功率最大的直射信号分量（采用天线分离方案）或泄露分量（采用环行器方案）进行抵消，降低接收信号的整体功率，从而避免过高的SI信号功率占用大量模/数转换器（analog-to-digital converter，ADC）的动态范围. 数字域方法利用发射基带信号重建出残余SI信号，尽可能将残余SI信号消除到噪底附近. IBFD系统中各信号的功率量级和参数含义分别如图2与表1所示. 在设计接收链路时，应尽量选择高精度ADC，原因如下. 1）为高峰均比（peak-to-average power ratio，PAPR）信号留有一定的余量. 2）传播域和模拟域实现的抑制量可能因自干扰信道突发的强干扰而下降，使得 $ {P}_{{\rm{SI}},{\rm{ADC}}} $增大. 3）较低的输入信干比（signal-to-interference ratio，SIR）会减少实际分配给有用信号的ADC位数，增大量化误差.

对于正交调制和解调，若I/Q支路失配，如两支路上低通滤波器的幅相响应不完全相同或正交混频器的非理想特性，都将导致I/Q不平衡产生. 在实际收发机中，在信号带宽内各器件的频率响应并非平坦，故引入的I/Q幅相不平衡度是频率相关的.为了简化建模过程，考虑恒定的I/Q不平衡度，通过本振信号来建模^[17].

对于零中频发射机，存在I/Q不平衡的本振信号：

(1) $ {x_{{\text{LO}}}}\left( t \right) = \cos\; \left( {{\omega _{{\text{LO}}}}t} \right)+{\rm{j}}a\sin \;\left( {{\omega _{{\text{LO}}}}t+\varphi } \right). $

考虑I、Q支路基带信号分别为 $ {x}_{{\rm{I}}}\left(t\right) $和 $ {x}_{{\rm{Q}}}\left(t\right) $，则复基带信号表示为

(2) $ x\left( t \right) = {x_{\text{I}}}\left( t \right)+{\rm{j}}{x_{\text{Q}}}\left( t \right). $

经混频器后，输出射频信号为

(3) $ \begin{split} \, y \left( t \right) =& \,{{\rm{Re}}} \left\{ {x\left( t \right) \cdot {x_{{\text{LO}}}}\left( t \right)} \right\} =\\ & {x_{\text{I}}}\left( t \right)\cos \; \left( {{\omega _{{\text{LO}}}}t} \right) - a {x_{\text{Q}}}\left( t \right)\sin \left( {{\omega _{{\text{LO}}}}t+\varphi } \right) = \\ & {{\rm{exp}}\;{({\rm{j}}{\omega _{{\text{LO}}}}t})}\left[ {{x_{\text{I}}}\left( t \right)+{\rm{j}}a{{\rm{exp}}\;{({{\rm{j}}}\varphi )}}{x_{\text{Q}}}\left( t \right)} \right]/2\; + \\ & {{\rm{exp}}\;({ - {\rm{j}}{\omega _{{\text{LO}}}}t})}\left[ {{x_{\text{I}}}\left( t \right) - {\rm{j}}a{{\rm{exp}}\;{( - {\rm{j}}\varphi )}}{x_{\text{Q}}}\left( t \right)} \right]/2= \\ & {{\rm{exp}}\;{({\rm{j}}{\omega _{{\text{LO}}}}t)}}\left[ {\frac{{1+a{{\rm{exp}}\;({{\rm{j}}\varphi })}}}{4}x\left( t \right)+\frac{{1 - a{{\rm{exp}}\;({{\rm{j}}\varphi })}}}{4}{x^ * }\left( t \right)} \right] + \\ & {{\rm{exp}}\;{ (- {\rm{j}}{\omega _{{\text{LO}}}}t)}} \left[ {\frac{{1 - a{{\rm{exp}}\;({ - {\rm{j}}\varphi })}}}{4}x\left( t \right) + \frac{{1 + a{{\rm{exp}}\;{( - {\rm{j}}\varphi) }}}}{4} {x^ * } ( t ) } \right] . \end{split} $

若下变频过程中的本振信号理想，未引入额外的I/Q不平衡，则经过下变频和低通滤波器后，输入给接收端ADC的基带信号为

(4) $ z\left( t \right) = {g_1}x\left( t \right)+{g_2}{x^ * }\left( t \right). $

式中：

(5) $ \left. \begin{split} &{g_1}{\text{ = }}\frac{{1+a{{\rm{exp}}\;{({\rm{j}}\varphi )}}}}{4}, \\ &{g_2}{\text{ = }}\frac{{1 - a{{\rm{exp}}\;({{\rm{j}}\varphi })}}}{4} . \\ \end{split} \right\} $

在接收端信号中出现了镜像分量 $ {x}^{*}\left(t\right) $.正交混频器的I/Q不平衡指标可以用原始信号和镜像分量的功率比来衡量，即镜像抑制比（image rejection ratio，IRR）.根据式(5)，可得

(6) $ {\rm{IRR}} = 10\lg \frac{{\left| {{g_1}^2} \right|}}{{\left| {{g_2}^2} \right|}} = 10\lg \frac{{\left| {1+2a\cos \; \varphi +{a^2}} \right|}}{{\left| {1 - 2a\cos \; \varphi +{a^2}} \right|}}. $

当考虑频率相关的I/Q不平衡情况时，用 $ {g}_{1}\left(t\right) $和 $ {g}_{2}\left(t\right) $分别表示原始信号和镜像分量传输路径的单位冲激响应，此时式(4)进一步扩展为

(7) $ z\left( t \right) = {g_1}\left( t \right) * x\left( t \right)+{g_2}\left( t \right) * {x^ * }\left( t \right), $

即广义线性（widely linear，WL）模型^[18]，有

(8) $ {\rm{IRR}} = 10\lg \frac{{E\; [{{{| {{g_1}\left( t \right)} |}^2}}] }}{{E\; {[{{| {{g_2}\left( t \right)} |}^2}]} }}. $

接收链路上的I/Q不平衡会进一步增大镜像分量的功率，但通过WL模型可以同时对收发链路上的I/Q不平衡建模.

零中频IBFD收发机中的非线性SI信号分量主要因正交混频器和PA的非理想特性而产生.对于非理想的正交混频器，由式(7)可得，输出信号中会额外出现镜像分量：

(9) $ {x_{{\text{Mixer}}}}\left( t \right) = \underbrace {{g_1}\left( t \right) * x\left( t \right)}_{{\text{S}}{{\text{I}}_{{\text{base}}}}}+\underbrace {{g_2}\left( t \right) * {x^ * }\left( t \right)}_{{\text{S}}{{\text{I}}_{{\text{im}}}}}. $

根据镜像抑制比的定义可知， $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{base}}} $分量与 $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量的功率比为IRR.

在发射机中，PA的非线性特性会导致发射信号失真，尤其当信号的PAPR较高时. 在综合考虑模型的复杂度和精确性后，忽略功率相对较小的非线性信号分量，选择简化的Hammerstein非线性模型对PA建模^[19]. 当PA输入信号为 $ x\left(t\right) $时，输出为

(10) $ {x_{{\text{PA}}}}\left( t \right) = \left( {{\alpha _0}x\left( t \right)+\underbrace {{\alpha _1}x\left( t \right){{\left| {x\left( t \right)} \right|}^2}}_{{\text{IMD}}}} \right) * {h_{\rm{m}}}\left( t \right). $

式中： $ {h}_{{\rm{m}}}\left(t\right) $表征了PA的记忆效应， $ {\rm{IMD}} $为PA输出的3阶交调失真（inter-modulation distortion，IMD）分量. 参数 $ {\alpha }_{0} $和 $ {\alpha }_{1} $分别为基波分量和 $ {\rm{IMD}} $的幅度增益，与PA的输入功率 $ {P}_{{\rm{in}}} $、增益 $ {G}_{{\rm{PA}}} $和输入3阶交调截取点功率（input 3-order intercept point，IIP₃）有关，

(11) $ \begin{split} 10\lg \frac{{E\left[ {{{\left| {{\alpha _0}} \right|}^2}} \right]}}{{E\left[ {{{\left| {{\alpha _1}} \right|}^2}} \right]}} =& \left( {{P_{{\text{in}}}}+{G_{{\text{PA}}}}} \right) - \left( {3{P_{{\text{in}}}} - 2{\rm{II}}{{\rm{P}}_3}+{G_{{\text{PA}}}}} \right) =\\ & 2{{\rm{IIP}}_3} - 2{P_{{\text{in}}}} = 2{{\rm{IIP}}_3} - 2{P_{{\text{out}}}}+2{G_{{\text{PA}}}}. \\ \end{split} $

非线性SI信号模型仅考虑收发机中I/Q不平衡及PA非线性的影响. 假设收发链路上的滤波器及其他射频器件均为理想器件，传播域和模拟域的自干扰抑制过程不会引入其他非线性噪声或使实际信道情况变得更加复杂，则可对SI信号所经过的自干扰信道进行简化，如图3所示.

PA输出信号 $ {x}_{{\rm{PA}}}\left(t\right) $中包含的主要信号分量为 ${ {\rm{SI}}}_{{\rm{base}}} $分量、 $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量和 $ {\rm{IMD}} $分量. $ {y}_{{\rm{RF}}}\left(t\right) $为经传播域抑制和模拟域抵消之后的自干扰信号.

按照各信号分量的来源，参考式(9)、(10)可知，接收链路正交混频器输出 $ {y}_{{\rm{Mixer}}}\left(t\right) $可以表示为

(12) $ \begin{split} {y_{{\text{Mixer}}}}\left( t \right){\text{ = }}\;&{h_1}\left( t \right) * {x_{{\text{S}}{{\text{I}}_{{\text{base}}}}}}\left( t \right)+{h_2}\left( t \right) * {x_{{\text{S}}{{\text{I}}_{{\text{im}}}}}}\left( t \right) + \\ &{h_3}\left( t \right) * {x_{{\text{IMD}}}}\left( t \right)+{h_4}\left( t \right) * {x_{{\text{IM}}{{\text{D}}_{{\text{im}}}}}}\left( t \right) +{n_{{\text{total}}}}\left( t \right). \end{split} $

式中： $ {h}_{i}\left(t\right) $为对应信号分量在传输过程中经过的自干扰信道的单位冲激响应，下标 $ \mathrm{i}\mathrm{m} $表示镜像分量.

对各信号分量的功率量级进行比较分析. 假设传播域和模拟域方法实现的消除量 $ {{\rm{SIC}}}_{{\rm{P}}+{\rm{A}}} $作用于整个 $ {x}_{{\rm{PA}}}\left(t\right) $信号.令PA输出信号中基波分量的功率为 $ {P}_{{\rm{out}}} $，则各信号分量的功率变化如表2所示. 可以看出，即使 ${ {\rm{SI}}}_{{\rm{base}}} $分量被完全消除， ${ {\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量仍然会在解调端作为噪声恶化信噪比. 表2中的功率对应图3中的简化信道，未考虑实际完整自干扰信道中其他器件和特性引起的功率变化.

假设IBFD系统中收发链路的正交混频器有相等的IRR参数，假设 $ {{\rm{IRR}}}_{{\rm{TX}}}={{\rm{IRR}}}_{{\rm{RX}}} $，则有

(13) $ {P_{{\text{S}}{{\text{I}}_{{\text{im}}}}}} - {P_{{\text{IMD}}}} = 3 - {{\rm{IRR}}_{{\text{TX}}}}+2{G_{{\text{PA}}}}\;{\text+}\;2{{\rm{IIP}}_3} - 2{P_{{\text{out}}}}. $

式(13)表明，元器件参数和信号功率决定了原始信号的镜像分量和3阶交调分量的相对功率.

3阶交调分量及镜像分量的功率比为

(14) $ {P_{{\text{IMD}}}} - {P_{{\text{IM}}{{\text{D}}_{{\text{im}}}}}} = {{\rm{IRR}}_{{\text{RX}}}}. $

考虑PA参数 $ {G}_{{\rm{PA}}}=27\;{\rm{dB}} $， $ {{\rm{IIP}}}_{3}=20\;{\rm{dBm}} $，正交混频器 $ {{\rm{IRR}}}_{{\rm{TX}}}={{\rm{IRR}}}_{{\rm{RX}}}=30\;{\rm{dB}} $，假设PA输出功率恒定， $ {P}_{{\rm{out}}}=20\;\mathrm{d}\mathrm{B}\mathrm{m} $. 当 ${ {\rm{SIC}}}_{{\rm{P}}+{\rm{A}}} $在一定范围内波动时， $ {y}_{{\rm{Mixer}}}\left(t\right) $中各分量的功率如图4所示. 在给定上述参数的条件下，从图4可知，当 $ {{\rm{SIC}}}_{{\rm{P}}+{\rm{A}}} $超过66 dB时，PA非线性引起的 $ {\rm{IMD}} $分量功率将低于−100 dBm，即接收带宽超过10 MHz的接收机的噪声基底. 在设计数字域自干扰消除器时，更应该关注功率更高的 $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量，此时影响数字域对SI信号重建精确性的主要因素为收发链路的I/Q不平衡.

LMS自适应滤波器有稳定性好、复杂度低的优点，具备对自干扰信道时变特性的跟踪能力，当信道相干时间较小时，自适应方法的估计性能更优. 如图5所示为LMS自适应滤波器的示意图.

考虑LMS滤波器应用于IBFD系统时面临的实际场景. 为了突出信号间的影响，在期望信号中忽略功率相对较小的噪声，则图中各信号可以表示为

(15) $ {\boldsymbol{u}}(n) = {\boldsymbol{a}}(n), $

(16) $ d(n) = {\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}(n){\boldsymbol{a}}(n)+\alpha {\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{b}}^{\rm{H}}(n){\boldsymbol{b}}(n), $

(17) $ e(n) = d(n) - y(n) = d(n) - {{\boldsymbol{w}}^{\rm{H}}}\left( n \right){\boldsymbol{a}}(n). $

式中：各向量为 $ M\times 1 $的列向量，其中 $ M $为滤波器长度； $ \boldsymbol{w}\left(n\right) $为滤波器系数； $ \boldsymbol{a}\left(n\right) $和 $ \boldsymbol{b}\left(n\right) $分别为自干扰信号和有用信号的数字基带信号；单位向量 $ {\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{a}}\left(n\right) $和 $ {\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{b}}\left(n\right) $分别为自干扰信号和有用信号从基带到滤波器输入之间的信道响应； $ \alpha $为有用信号与自干扰信号的幅度比值，则输入信干比表示为 $ {{\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}}=20{\rm{lg}}\;\alpha $；符号 $ \mathrm{H} $表示向量或矩阵的共轭转置.

LMS算法^[20]基于随机梯度下降方法更新滤波器系数，使其逼近最优维纳滤波解，更新公式为

(18) $ {\boldsymbol{w}}\left( {n+1} \right) = {\boldsymbol{w}}\left( n \right)+\mu {e^ * }\left( n \right){\boldsymbol{u}}\left( n \right). $

式中： $ \;\mu $为步长参数. 考虑该场景的维纳滤波问题，由正交性原理可知，当滤波器工作在最优条件下时，满足^[20]

(19) $ {E}\left[a^{\rm{s}}(n-k) e^{*}(n)\right]=0 .$

式中： $a^{\rm{s}}(n-k) $为n−k时刻自干扰信号的采样值. 将式(17)代入式(19)，并将向量乘积展开，可得

(20) $ \begin{split} &{E}\left[{\displaystyle \sum _{i=0}^{M-1}\left({h}_{ai}-{w}_{i}\right)}a^{\rm{s}}(n-k){a}^{{\rm{s}}*}(n-i)\right] + \\ &\quad\alpha {E}\left[{\displaystyle \sum _{i=0}^{M-1}{h}_{bi}}a^{\rm{s}}(n-k){b}^{{\rm{s}}*}(n-i)\right]=0.\end{split} $

式中： ${b}^{{\rm{s}}}(n-i) $为n−i时刻有用信号的采样值. 对于零均值平稳随机序列，相关函数为

(21) $ r_{x y}(i-k)={E}\left[x(n-k) y^* (n-i)\right]. $

代入式(20)，则有

(22) $ \sum\limits_{i = 0}^{M - 1} {\left( {{h_{ai}} - {w_i}} \right)} {r_{aa}}(i - k)+\alpha \sum\limits_{i = 0}^{M - 1} {{h_{bi}}{r_{ab}}(i - k) = 0} . $

移项并用矩阵描述，得到

(23) $ {{\boldsymbol{R}}_{{\boldsymbol{aa}}}}\left( {{\boldsymbol{w}} - {{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{a}}}} \right) = \alpha {{\boldsymbol{R}}_{{\boldsymbol{ab}}}}{{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{b}}}. $

式中： $ {\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}} $为 $ \boldsymbol{a}\left(n\right) $的自相关矩阵， $ {\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}} $为 $ \boldsymbol{a}\left(n\right) $和 $ \boldsymbol{b}\left(n\right) $的互相关矩阵，矩阵的具体形式分别为

(24) $ {{\boldsymbol{R}}_{{\boldsymbol{aa}}}}{\text{ = }}\left[ \begin{gathered} {r_{aa}}(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{r_{aa}}(1)\;\;\;\;\;\;\;\; \\ {r_{aa}}( - 1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{r_{aa}}(0)\;\;\;\;\;\;\;\; \\ \;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \; \\ {r_{aa}}(1 - M)\;\;\;\;\;\;{r_{aa}}(2 - M) \\ \end{gathered} \right.\left. \begin{gathered} \cdots \;\;\;\;{r_{aa}}(M - 1) \\ \cdots \;\;\;\;{r_{aa}}(M - 2) \\ \;\;\; \;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ \cdots \;\;\;\;{r_{aa}}(0) \\ \end{gathered} \right], $

(25) $ {{\boldsymbol{R}}_{{\boldsymbol{ab}}}}{\text{ = }}\left[ \begin{gathered} {r_{ab}}(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{r_{ab}}(1)\;\;\;\;\;\;\;\; \\ {r_{ab}}( - 1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{r_{ab}}(0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ \;\; \vdots \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \; \\ {r_{ab}}(1 - M)\;\;\;\;\;\;{r_{ab}}(2 - M) \\ \end{gathered} \right.\left. \begin{gathered} \cdots \;\;\;\;{r_{ab}}(M - 1) \\ \cdots \;\;\;\;{r_{ab}}(M - 2) \\ \;\;\; \;\;\;\;\;\;\; \vdots \\ \cdots \;\;\;\;{r_{ab}}(0) \\ \end{gathered} \right]. $

对于离散时间随机过程， $ {\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}} $几乎总是正定的^[20]，故 $ {\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}} $存在逆矩阵. $ {\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}} $和 $ {\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}}^{-1} $均为Hermitian矩阵，其共轭转置等于它本身^[21]. 式(23)两端左乘 $ {\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}}^{-1} $后，取Euclid范数，得到

(26) $ {\left\| {{\boldsymbol{w}} - {{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{a}}}} \right\|_2} = \alpha {\left\| {{\boldsymbol{R}}_{{\boldsymbol{aa}}}^{ - 1}{{\boldsymbol{R}}_{{\boldsymbol{ab}}}}{{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{b}}}} \right\|_2}. $

式中： $ {\| \boldsymbol{w}-{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{a}}\|}_{2} $为滤波器系数 $ \boldsymbol{w} $与自干扰信号传输过程的信道响应 $ {\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{a}} $之间的偏差. 在理想情况下，该偏差为零，误差信号 $ e\left(n\right) $中只剩下 $ {\alpha \boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{b}}^{\rm{H}}\left(n\right)\boldsymbol{b}\left(n\right) $，即自干扰信号被滤波器滤除，有用信号以误差信号的形式输出. 该偏差越大，误差信号偏离理想信号越多，即滤波器输出的自干扰信号估计样本将包含有用信号的一部分，从而引入新的噪声. 从式(26)可以看出，当 $ \alpha $或 $ {\|{\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}}^{-1}{\boldsymbol{R}}_{\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{h}}_{\boldsymbol{b}}\|}_{2} $增大时，估计偏差增大.

为了说明信号之间的相关性对估计偏差的影响，考虑单抽头滤波器问题，则期望信号和滤波器输出分别退化为 $ \boldsymbol{d}=A \boldsymbol{a}\left(n\right)+B \boldsymbol{b}\left(n\right) $和 $ \boldsymbol{y}= W \boldsymbol{a}\left(n\right) $. 其中， $ A $和 $ B $分别为自干扰信号和有用信号的幅度，有 $ \alpha =B/A $； $ W $为单抽头滤波器的系数估计值.

LMS算法基于随机梯度下降法，在每次迭代中，误差信号朝着令 $ {\boldsymbol{e}}^{\rm{H}}\boldsymbol{a}\left(n\right)=0 $的方向逼近，将 $ \boldsymbol{d}$代入，有

(27) $ \left( {A - W} \right) {{\boldsymbol{a}}^{\rm{H}}}\left( n \right){\boldsymbol{a}}\left( n \right)+B {{\boldsymbol{b}}^{\rm{H}}}\left( n \right){\boldsymbol{a}}\left( n \right) = 0. $

有限长度时间序列的相关函数可以展开为 $ {r}_{ab}\left(k\right)={N}^{-1}{\displaystyle\sum }_{n=1}^{N}a^{\rm{s}}\left(n\right){b}^{{\rm{s}}*}\left(n-k\right) $，代入式（27）后再移项，可得式(26)的退化形式：

(28) $ W - A = \frac{{{r_{ab}}\left( 0 \right)}}{{{r_{aa}}\left( 0 \right)}}B. $

此时，误差信号为

(29) $ {\boldsymbol{e}} = {\boldsymbol{d}} - {\boldsymbol{y}} = B {\boldsymbol{b}}\left( n \right) - B \frac{{{r_{ab}}\left( 0 \right)}}{{{r_{aa}}\left( 0 \right)}}{\boldsymbol{a}}\left( n \right). $

从式（29）可以看出，2个离散序列的互相关峰值将影响误差信号，互相关峰值的绝对值越大， $ \boldsymbol{b}\left(n\right) $受 $ \boldsymbol{a}\left(n\right) $的影响越大. 对式(29)中的两项正交化，得到

(30) $ \begin{split} {\boldsymbol{e}} = & \;B\left( {1 - \frac{{r_{ab}^2\left( 0 \right)}}{{{r_{aa}}\left( 0 \right){r_{bb}}\left( 0 \right)}}} \right){\boldsymbol{b}}\left( n \right) + \\ &B\left( {\frac{{ - {r_{ab}}\left( 0 \right)}}{{{r_{aa}}\left( 0 \right)}}{\boldsymbol{a}}\left( n \right)+\frac{{r_{ab}^2\left( 0 \right)}}{{{r_{aa}}\left( 0 \right){r_{bb}}\left( 0 \right)}}{\boldsymbol{b}}\left( n \right)} \right). \end{split} $

式中： $ {r}_{aa}\left(0\right)=r{\text{­}}_{bb}\left(0\right)=1 $.对于n阶长度为 $ N $的伪随机码，如Gold码，互相关峰值取值为

(31) $ {r_{ab}}\left( k \right) \in \left\{ {\dfrac{{{2^m} - 1}}{N},\dfrac{{ - 1}}{N},\dfrac{{ - {2^m} - 1}}{N}} \right\}. $

式中：m = ${\left\lfloor {{({n+2})}/{2}} \right\rfloor }$. 当n为偶数时，这3个互相关峰值的出现概率分别为0.125、0.75和0.125^[22].

考虑外部噪声 $ \mathrm{\varepsilon } $，代入已知参数并化简，得到的输出信干比为

(32) $ {{\rm{SIR}}_{{\rm{out}}}} = 10\lg \frac{{{B^2} \cdot {E}\left[ {1 - 2r_{ab}^2\left( 0 \right)+r_{ab}^4\left( 0 \right)} \right]}}{{{E}\left( {{{\left| \varepsilon \right|}^2}} \right)+{B^2} \cdot {E}\left[ {r_{ab}^2\left( 0 \right) - r_{ab}^4\left( 0 \right)} \right]}}. $

信号间相关性越大，互相关峰值的绝对值越大. 此时 $ ，{{\rm{SIR}}}_{{\rm{out}}} $将减小，引入扩频伪码能够改善该问题.

除了对自干扰消除性能的提升外，在IBFD系统中引入扩频技术的优点如下. 1） 扩频信号抗干扰能力强，安全性能好，伪随机码具有一定的多址能力. 2）在低信噪比环境和复杂信道的条件下，各级消除器性能下降，此时残余SI信号会恶化接收信噪比，通过解扩能够提供一定的扩频增益，从而提高通信系统的鲁棒性.

从式(12)可知，要想精确重建SI信号，需要分别对各信号分量进行重建. 在设计时，需要折中考虑消除器复杂度与重建精度. 从式(13)、(14)与图4可知，当采用线性度较好的PA时，对 $ {\rm{IMD}} $分量和 $ {{\rm{IMD}}}_{{\rm{im}}} $分量单独设计一路FIR滤波器，对整体消除性能的收益较小. 由于PA输出中基波分量与对应的高阶交调失真分量之间存在相关性，针对基波分量设计的LMS滤波器对高阶交调分量有一定的估计能力.综合上述两方面原因，采用的消除器方案基于广义线性模型，主要针对功率相对较大的由I/Q不平衡引起的 $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量.

设计的LMS消除器如图6所示. 该LMS消除器通过2个权重系数可变的FIR滤波器，分别跟踪 $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{base}}} $分量和 $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量经过的自干扰信道响应. 两路FIR滤波器输出之和为期望信号的估计，式(18)的系数更新准则使得滤波器朝着最小化均方误差的方向收敛.

考虑发射基带信号 $ x\left(n\right) $，参考广义线性模型可知，经接收链路ADC量化后的信号 $ {y}_{{\rm{ADC}}}\left(n\right) $为

(33) $ {y_{{\rm{ADC}}}}\left( n \right) = {h_1}\left( n \right) * x\left( n \right)+{h_2}\left( n \right) * {x^ * }\left( n \right)+z\left( n \right). $

$ \mathrm{式}\mathrm{中}：{z}(n)$为各类随机噪声总和. 式(33)的矩阵表示为

(34) $ {{\boldsymbol{y}}_{{\text{ADC}}}} = {\boldsymbol{X}}{{\boldsymbol{h}}_1}+{{\boldsymbol{X}}^ * }{{\boldsymbol{h}}_2}+{\boldsymbol{z}} = \left[ {{\boldsymbol{X}}\;{{\boldsymbol{X}}^ * }} \right]\left[ \begin{gathered} {{\boldsymbol{h}}_1} \\ {{\boldsymbol{h}}_2} \\ \end{gathered} \right]+{\boldsymbol{z}}. $

式中： $ {\boldsymbol{y}}_{{\rm{ADC}}} $和 $ \boldsymbol{z} $为 $ N\times 1 $向量； $ {\boldsymbol{h}}_{1} $和 $ {\boldsymbol{h}}_{2} $为 $ M\times 1 $向量； $ \boldsymbol{X} $和 $ {\boldsymbol{X}}^{*} $为 $ N\times M $矩阵，其中 $ N $为序列长度， $ M $为单个滤波器的抽头数. 考虑自干扰信道的记忆特性，滤波器总抽头数由前导抽头和后继抽头组成^[6]，即 $ M={M}_{{\rm{pre}}}+{M}_{{\rm{post}}}+1 $. 在确定滤波器抽头数时，考虑到实际应用中LMS滤波器的期望信号相对于参考信号多为滞后的，故可取较小的后继抽头数 $ {M}_{{\rm{post}}} $. $ {M}_{{\rm{pre}}} $需要综合考虑多径信号分量的时延和数字滤波器的时钟周期.

LMS滤波器的抽头系数估计向量为

(35) $ \begin{split} &{\hat{\boldsymbol w}}\;{\text{ = }}\\ &\left[ {{\hat w}_1}\left( 0 \right),\;{{\hat w}_1}\left( 1 \right),\; \cdots \;{{\hat w}_1}\left( {M - 1} \right),\;{{\hat w}_2}\left( 0 \right),\;{{\hat w}_2}\left( 1 \right),\; \cdots \;\right. \\ &\left.{{\hat w}_2}\left( {M - 1} \right) \right]^{\rm{T}}. \end{split} $

参考信号向量为

(36) $ {\boldsymbol{u}}\left( n \right){\text{ = }}{\left[ {{{\boldsymbol{u}}_1}\left( n \right)\;\;{{\boldsymbol{u}}_2}\left( n \right)} \right]^{\rm{T}}}. $

式中：

(37) $ {{\boldsymbol{u}}_1} \left( n \right) = \left[ {x \left( {n + {M_{{\rm{post}}}}} \right),\;x \left( {n+{M_{{\rm{post}}}} - 1} \right),\;\cdots,\;x \left( {n - {M_{{\rm{pre}}}}} \right)} \right], $

(38) $\begin{split} &{{\boldsymbol{u}}_2}\left( n \right) = \\ &\quad \left[ {x^ * }\left( {n+{M_{{\rm{post}}}}} \right),\;{x^ * }\left( {n+{M_{{\rm{post}}}} - 1} \right),\;\cdots,\;{x^ * }\left( {n - {M_{{\rm{pre}}}}} \right) \right]. \end{split} $

考虑LMS滤波器算法的扩展性，为每个抽头分配相应的步长，步长矩阵即为对角阵 $\boldsymbol{\varLambda }= {\rm{diag}}\;[{\mu }_{1},{\mu }_{2},\cdots ,{\mu }_{M},{\lambda }_{1},{\lambda }_{2},\cdots ,{\lambda }_{M}]$，此时式(18)可以重写为

(39) $ {\hat{\boldsymbol w}}\;\left( {n+1} \right){\text{ = }}\;{\hat{\boldsymbol w}}\left( n \right)+{\boldsymbol{\varLambda }}{e^ * }\left( n \right){\boldsymbol{u}}\left( n \right). $

仿真中步长更新函数采用分段函数. 步长更新算法对LMS滤波器性能的影响为后续的研究内容.

在接收链路可变增益放大器（variable gain amplifier，VGA）的输入信号中，经传播域和模拟域消除后的SI信号功率通常高于有用信号. 假设ADC输入信号均被VGA放大到恒定量级，则此时VGA增益由SI信号功率决定. 参考图2所示的功率关系可知，与无SI信号影响的半双工系统相比，由SI信号带来的ADC位数损失 $ {b}_{{\rm{lost}}} $与ADC量化前SI信号与有用信号的功率比有关：

(40) $ {b_{{\text{lost}}}} = \;\frac{{{P_{{\text{SI,ADC}}}} - {P_{{\text{SOI}}}}}}{{6.02}}\; = \;\frac{{ - {{\rm{SIR}}_{{\rm{in}}}}}}{{6.02}}. $

IBFD收发机的参数如表3所示. 根据表3的数据计算可知， $ {\rm{QNF}}=-105.9\; {\rm{dBm}} $，ADC可量化的最大输入信号功率同量化噪底与ADC位数有关. 当采用12位ADC时，该信号功率为 $ {\rm{QNF}}+ 6.02\times 12+1.76=-31.9 \;{\rm{dBm}} $；对于14位ADC来说，该信号功率约为−19.9 dBm. 考虑实际应用中，通常情况下传播域和模拟域至少能够实现50 dB的自干扰消除量^[2]，则当发射信号功率为20 dBm时，经初步消除后的信号功率为−30 dBm. 在工程中需要留有一定的余量，选择采用14位ADC. 假设LMS滤波器工作在20.46 MHz时钟下，取 $ {M}_{\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}} $=45， $ {M}_{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}} $=15，则滤波器对延时小于 $(1/20.46\;{\rm{MHz}})\times 45\approx 2.20 \; {\text{μ}} {\rm{s}}$的信号分量都具有一定的跟踪能力.

通过仿真验证WL模型的有效性和引入扩频技术对自干扰消除器性能的增益，仿真软件平台为MATLAB R2016b，采用蒙特卡罗仿真，取相同条件下多次仿真结果的均值. 基带部分包括数据帧生成、扩频调制和成形滤波. 收发链路上I/Q不平衡的引入通过对本振信号的调整实现，即参考式(1). 对于完整的IBFD系统，较高的传播域抑制度和模拟域抑制度是保证接收链路前端和ADC不饱和的前提条件，目前传播域和模拟域一般能够实现65~90 dB的前级自干扰抑制量^[2]. 该参数直接影响了ADC输入信号的信干比，确定了实际分配给有用信号的ADC有效位数. 在仿真取值时，假设传播域和模拟域共实现了50~85 dB的自干扰抑制.选择较保守的前级抑制是因为考虑到实际自干扰信道的不确定性. 在实际应用中，由于无线信道干扰的复杂性，传播域和模拟域实现的自干扰抑制量是不断波动的，可能因信道情况恶化而大幅下降，在设计时必须考虑前级抑制性能不佳的情况.

对采用广义线性模型的自干扰消除器在较低IRR时的有效性及在不同IRR条件下的稳定性进行仿真.假设收发链路正交混频器参数相同，如图7所示为在输入SIR为−25 dB的条件下，当正交混频器的镜像抑制比取不同值时各方法实现的数字域自干扰消除量.

当引入扩频信号时，在较低IRR的条件下，广义线性方法的效果明显优于传统线性方法，例如当收发链路IRR为25 dB时，广义线性方法较线性方法有大约22 dB的消除性能提升. 广义线性方法具有良好的稳定性，在图7所示的IRR条件下均能够达到42.8 dB以上的消除量；线性方法对镜像分量基本没有消除能力，实现的消除量随着IRR的降低而减少.

当未引入扩频信号时，在较低IRR的条件下，广义线性方法的效果优于传统线性方法. 当IRR较高时，广义线性方法较线性方法会下降约1.5 dB. 这是因为广义线性方法增加了重建镜像分量的滤波器，当该滤波器收敛时，其系数逼近维纳解，会受到式(26)所描述的估计偏差影响；信号间的相关性使得估计偏差增大，导致消除器性能下降.

从图7可知，在 $ {{\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}} $= −25 dB的条件下，当采用广义线性模型时，引入扩频信号能够增加5.6~6.6 dB的消除量，说明利用扩频伪码的良好相关特性，能够减小滤波器的估计偏差，提高消除器的性能.

输入信干比是数字域自干扰消除器工作环境的重要参数. 根据式(40)可知， $ {{\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}} $越小，实际分配给有用信号的ADC位数越少，这将导致有用信号的量化信噪比减小. LMS滤波器较维纳解的次优性^[20]及有限字长效应意味着消除器所能实现的消除量存在极限，同时滤波器系数所需的收敛时间会随着 ${ {\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}} $的减小而增加.

假定收发链路正交混频器IRR为30 dB，输入信干比 $ {{\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}}\in [-50\;{\rm{dB}},-15\;{\rm{dB}}] $. 从图8可知，传统线性方法只能实现25~27 dB的自干扰消除量，广义线性方法最高能够实现约47 dB的消除量. 在给定参数下， $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量的功率比 $ {{\rm{SI}}}_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}} $分量低约27 dB，由于线性方法不具备对 $ {{\rm{SI}}}_{{\rm{im}}} $分量的消除能力，理论上，利用线性方法只能实现约27 dB的消除量.

对于采用广义线性方法的2组实验，从式(26)可知，随着 $ {{\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}} $的增大，估计偏差增加，消除量减少（见图8）. 引入扩频伪码使得估计偏差减小，故实现的消除量高于未引入伪码时的消除量. 当 $ {{\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}} $为−15 dB时，引入扩频伪码带来了约7.5 dB的消除量提升，联合传播域和模拟域的抑制量，将自干扰信号功率抑制到噪声基底附近.

LMS滤波器的误差向量为有用信号的估计. 如图9所示为在 $ {{\rm{SIR}}}_{{\rm{in}}} $= −15 dB的条件下，利用上述2种方法得到的归一化后误差 $ \bar{e}\left(n\right) $与有用信号真实值的差异. 图中，A为归一化后的理想SOI信号幅度. 从图9可知，当未引入扩频伪码时，误差存在更严重的失真；在引入扩频伪码后，自适应滤波器的跟踪性能更好，误差与真实有用信号的吻合度更高.

本文对基于扩频信号和广义线性模型的数字域自干扰消除器进行理论分析和仿真验证，结论如下. 1）基于广义线性模型的消除器对自干扰信号中由正交混频器的I/Q不平衡引起的镜像分量具有消除能力，在 $ \mathrm{S}\mathrm{I}{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}} $= −25 dB， $ \mathrm{I}\mathrm{R}\mathrm{R} $= 25 dB的条件下，广义线性方法最高能够带来22 dB的消除量提升. 2）引入扩频伪码能够改善自干扰信号和有用信号之间的互相关特性，提升滤波器的性能，在 $ \mathrm{S}\mathrm{I}{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}\mathrm{n}} $= −15 dB的条件下，引入扩频伪码能够带来约7.5 dB的消除量提升.

在自适应滤波器收敛前，无法将输出视为有用信号，因此如何提高收敛速度，设计能与硬件高效配合的MAC层协议，是需要进一步考虑的问题. 现实中的无线信道和自干扰信道更复杂，如何联合其他信道抗衰落技术进行IBFD系统的整体设计是工程化的前提.