浙江大学学报(工学版)

浙江大学学报(工学版), 2022, 56(7): 1310-1319 doi: 10.3785/j.issn.1008-973X.2022.07.006

土木工程、水利工程、交通工程

水平循环荷载下砂土中斜单桩累积变形特性

赵爽,, 王奎华,, 吴君涛

1. 浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心，浙江 杭州 310058

2. 浙江大学 软弱土与环境土工教育部重点实验室，浙江 杭州 310058

Accumulated response of single batter pile under lateral cyclic loading in sand

ZHAO Shuang,, WANG Kui-hua,, WU Jun-tao

1. Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China

2. Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering of Ministry of Education, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China

通讯作者: 王奎华，男，教授. orcid.org/0000-0002-9362-0326. E-mail： zdwkh0618@zju.edu.cn

收稿日期: 2021-06-29  

基金资助: 国家自然科学基金资助项目(52178358, 52108349); 浙江省自然科学基金资助项目(LXZ22E080001)

Received: 2021-06-29  

Fund supported: 国家自然科学基金资助项目(52178358,52108349);浙江省自然科学基金资助项目(LXZ22E080001)

作者简介 About authors

赵爽（1996—），男，博士生，从事桩基动力学理论与土工测试方法的研究.orcid.org/0000-0001-5244-4760.E-mail：gnauhszhao@163.com , E-mail：gnauhszhao@163.com

摘要

研究斜单桩在风、浪、洋流等循环荷载作用下的累积特性. 通过用户开发子程序将砂土刚度衰减模型嵌入桩-土体系有限元模型中，实现了单桩循环受荷特性的数值分析，研究不同循环幅值及循环次数下斜单桩的变形累积规律. 研究结果表明，当桩身倾斜角由−25°逐渐过渡到25°时，在相同的静力荷载作用下，斜单桩桩顶位移及桩身相同位置处弯矩会不断增加，但在循环荷载作用下，桩顶位移与桩身最大弯矩的累积速度会逐渐下降. 当循环荷载幅值较大时，负斜桩的桩顶位移和桩身位移段深度均小于竖直桩，正斜桩的桩顶位移和桩身位移段深度均最大. 基于数值计算结果，对不同循环幅值和循环次数下的斜单桩桩顶累积位移和桩身最大弯矩进行拟合分析，提出适用于斜单桩的累积变形特性预测方法.

关键词： 斜单桩 ; 水平循环荷载 ; 累积变形 ; 预测模型

Abstract

The accumulated responses of single batter pile under cyclic loadings (e.g., winds, waves and ocean current) were analyzed. The degradation stiffness model of sand was incorporated into the pile-soil finite element model through the user subroutine. The numerical analysis of cyclic loading characteristics of single pile was realized. Then the accumulated response of single batter pile under various load levels and cycle numbers was analyzed. Results show that the displacement at pile head and the bending moment of pile are gradually increased under lateral static loads when the batter angle changes from −25° to 25°. The accumulated speeds of the displacement at pile head and the maximum bending moment of pile are decreased under lateral cyclic loads. When the amplitude of the cyclic load is relatively large, the displacement at pile head and the depth of deformation region of the negative batter pile are both smaller than these of the vertical pile, while these of the positive batter pile are the greatest. Fitting analysis of the accumulated displacement at pile head and the maximum bending moment of single batter pile was conducted based on the numerical simulation results. The corresponding methods for predicting the accumulated responses of single batter piles were proposed.

Keywords： single batter pile ; lateral cyclic loading ; accumulated deformation ; prediction model

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本文引用格式

赵爽, 王奎华, 吴君涛. 水平循环荷载下砂土中斜单桩累积变形特性. 浙江大学学报(工学版)[J], 2022, 56(7): 1310-1319 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2022.07.006

ZHAO Shuang, WANG Kui-hua, WU Jun-tao. Accumulated response of single batter pile under lateral cyclic loading in sand. Journal of Zhejiang University(Engineering Science)[J], 2022, 56(7): 1310-1319 doi:10.3785/j.issn.1008-973X.2022.07.006

斜桩被广泛用作桥梁、码头、海洋平台等近海工程的基础，主要用于抵抗水平荷载. 现有的研究普遍表明，如果应用得当，斜桩基础能够提供更大的水平静力承载力[1-2]，因此拥有较大的应用潜力. 在近海工程中，斜桩基础普遍遭受风、浪、洋流等循环荷载，研究斜桩基础的循环受荷特性，对于指导斜桩基础的设计而言具有重要的意义.

现有针对斜桩基础的研究普遍集中在斜单桩的静力承载特性. Zhang等[3]开展离心机模型试验，发现在砂土地基中，相较于竖直桩而言，负斜桩的水平承载力会有所提升，正斜桩会降低，为了便于比较，本文所述的正斜桩与负斜桩均与Zhang等[3]所定义的一致，当桩身与加载方向的夹角大于90°时为负斜桩，小于90°时为正斜桩. Rajashree等[4-6]分别开展探究斜单桩水平承载特性的模型试验，研究结果均表明，在各种长径比条件下，负斜桩的水平承载力均高于相应的竖直桩，正斜桩的水平承载力最低. 曹卫平等[7-12]分别基于数值分析方法、广义弹性理论法、Mindin弹性解、变形楔模型、桩侧被动区楔形体模型以及p-y曲线法，分析斜桩水平承载特性，研究结果均表明，负斜桩的水平静力承载力高于相应的竖直桩，且在一定的倾斜角范围内，负斜桩的水平承载力随着倾斜程度的增加而提升.

近海环境中的斜桩基础主要承受风、浪、洋流等循环荷载，在长期循环加卸载的作用下，斜桩基础会产生循环累积变形，使得静力荷载作用下斜桩基础的设计方法不再适用. 曹卫平等[13]通过室内1g模型试验发现，在经历20次循环加卸载后，负斜桩桩顶残余水平位移小于正斜桩. 现有研究普遍集中于竖直单桩的水平循环受荷特性探究. Long等[14-15]基于现场试验，提出用于预测水平循环荷载作用下竖直单桩位移累积的对数函数和幂函数显式模型. Rosquoet等[16-18]通过离心模型试验，探究水平循环荷载作用下单桩变形的累积规律. Leblanc等[19-20]开展不同循环加载路径下的单桩循环加载模型试验，循环加载次数达到上万次. Giannakos等[21-23]分别基于摩尔-库仑准则的运动硬化土体模型、砂土刚度循环衰减模型及砂土加卸载刚度演化模型，构建单桩循环受荷特性的数值分析方法，取得了较好的模拟效果. 目前针对斜单桩在水平循环荷载作用下受荷特性的研究较竖直桩而言较少，斜单桩的循环受荷设计方法远滞后于斜单桩的实际工程应用.

针对斜单桩循环受荷特性研究的不足，本文基于Achmus等[22]结合砂土刚度衰减模型提出的单桩循环受荷特性数值分析方法，探究斜单桩的循环受荷特性，为近海工程中斜桩基础的设计提供参考.

1. 桩周砂土循环受荷特性分析方法

1.1. 桩周砂土的循环弱化

在循环荷载作用下，桩周砂土塑性变形的不断累积导致砂土中的单桩桩身位移逐渐增大. 砂土在循环荷载作用下的应力-应变关系如图1所示. 当忽略弹性应变时，砂土在N次循环荷载作用下的割线模量EsN与初次循环荷载作用下的塑性应变 $\varepsilon _{{\text{p}},1}^{\text{a}}$和割线模量Es1及N次循环荷载作用下的塑性应变 $\varepsilon _{{\text{p}},N}^{\text{a}}$存在如下关系[24]：

图 1

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图 1   砂土在循环荷载作用下的应力-应变关系

Fig.1   Stress-strain relationship of sand under cyclic loads


$ \frac{{{E_{{\text{s}}N}}}}{{{E_{{\text{s}}1}}}} = \frac{{\varepsilon _{{\text{p}},1}^{\text{a}}}}{{\varepsilon _{{\text{p}},N}^{\text{a}}}} = {N^{ - {b_1}{{(X)}^{{b_2}}}}}, $

$ X = \frac{{{\sigma _{1,{\text{cyc}}}}}}{{{\sigma _{1,{\text{sf}}}}}}, $

$ {\sigma _{1,{\text{sf}}}} = \frac{{{\sigma _3}\left( {1 + \sin \varphi } \right) + 2c \cos \varphi }}{{1 - \sin \varphi }}. $

式中：X为循环应力比， ${\sigma _{1,{\text{cyc}}}}$为施加循环荷载时土单元的最大主应力，c、φ为土的黏聚力和内摩擦角， ${\sigma _{1,{\text{sf}}}}$为土单元加载破坏时的最大主应力，b1、b2为描述砂土循环弱化特性的回归系数.

由于桩-土体系中土单元存在初始应力，当受循环荷载时，桩周各位置的土单元应力状态均不同. 为了使式（1）能够用于砂土中单桩循环受荷特性的分析，Achmus等[22]引入特征循环应力比Xc替换式（1）的循环应力比X：

$ \frac{{{E_{{\text{s}}N}}}}{{{E_{{\text{s}}1}}}} = {N^{ - {b_1}{{({X_{\text{c}}})}^{{b_2}}}}}, $

$ {X_{\text{c}}} = \frac{{{X^{\left( 1 \right)}} - {X^{\left( 0 \right)}}}}{{1 - {X^{\left( 0 \right)}}}}, $

$ {X^{\left( 1 \right)}} = \frac{{\sigma _{1,{\text{cyc}}}^{\left( 1 \right)}}}{{\sigma _{1,{\text{sf}}}^{\left( 1 \right)}}}, $

$ {X^{\left( 0 \right)}} = \frac{{\sigma _1^{\left( 0 \right)}}}{{\sigma _{1,{\text{sf}}}^{\left( 0 \right)}}}. $

式中：X(1)为循环荷载施加后土单元的循环应力比，X(0)为初始应力状态下土单元的循环应力比.

1.2. 数值实现步骤

Achmus等[22, 25]基于引入的特征循环应力比Xc，提出通过砂土动三轴试验结果分析砂土中单桩水平循环受荷特性的数值方法. 采取的数值分析流程如图2所示，相应的步骤具体如下.

图 2

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图 2   单桩循环受荷特性数值分析的流程图

Fig.2   Flow chart of numerical analysis of cyclic loading characteristics of single pile


1）仅考虑自重及恒载作用，获得桩周各土单元的初始应力状态，基于各土单元应力状态求解循环应力比X(0).

2）施加初次水平循环荷载，计算各土单元在循环荷载作用下的应力状态，求解各土单元的循环应力比X(1)，之后移除该水平荷载.

3）基于式（4）、（5），求解N次循环加卸载后各土单元弹性模量的折减系数 ${N^{ - {b_1}{{({X_{\text{c}}})}^{{b_2}}}}}$. 重新施加水平荷载，对加载过程中桩周土的弹性模量进行实时折减，求得循环加载N次后桩身的内力及变形.

采用ABAQUS构建单桩循环受荷特性分析模型，分析斜单桩循环受荷特性. 基于ABAQUS子程序USDFLD进行二次开发，以嵌入砂土刚度衰减模型，实现单桩循环受荷特性的数值分析.

2. 数值模型的构建与验证

2.1. 数值模型的构建

在数值模型中，采用摩尔-库仑模型模拟桩周砂土力学性质的非线性，土的非线性弹性模量随土中瞬时应力的变化而实时改变[26]：

$ {E_{\text{s}}} = \kappa {\sigma _{{\text{at}}}}{\left( {\frac{{{\sigma _{\text{m}}}}}{{{\sigma _{{\text{at}}}}}}} \right)^\lambda }. $

式中：κ、λ为土的刚度系数； ${\sigma _{{\text{at}}}}$为大气压，一般取101 kPa； ${\sigma _{\text{m}}}$为土单元的瞬时平均主应力.

基于式（4）、（8），经过N次循环加卸载后，桩周土瞬时弹性模量计算公式变为

$ {E_{{\text{s}}N}} = {N^{ - {b_1}{{({X_{\text{c}}})}^{{b_2}}}}} \kappa {\sigma _{{\text{at}}}}{\left( {\frac{{{\sigma _{\text{m}}}}}{{{\sigma _{{\text{at}}}}}}} \right)^\lambda }. $

桩采用线弹性模型模拟，在码头和桥梁工程中，桩材一般选用混凝土，因此采用C30混凝土强度参数作为桩的力学参数输入，弹性模量Ep取30 GPa，泊松比υp为0.15. 桩周土选为中密砂，根据郭玉樹等[25]的推荐取值，土的刚度系数（λ和κ）、泊松比υs、φ、剪胀角ψ及ｃ的取值如表1所示，桩周土单元刚度衰减回归系数b1、b2根据Kuo[27]的推荐取值，分别取0.16和0.38. 采用的有限元计算模型如图3所示，桩和土单元均采用6面体8节点线性缩减积分单元（C3D8R）模拟. 图中，UY为沿Y轴方向的位移，RX、RZ分别为绕X轴和Z轴的转角. ABAQUS中，根据桩-土表面定义接触属性，以模拟桩-土之间的相互作用，桩侧及桩底均采用主-从接触算法. 选择刚度较大的桩面作为主控面，刚度较小的土体表面作为从属面，桩-土接触采用摩尔-库仑摩擦罚函数的形式，界面摩擦系数选取u = tan (0.67φ)[22,25]. 为了保证计算结果的收敛性，桩-土弹性滑移变形设置为单位典型长度的5%. 为了消除场地边界对计算结果的影响，桩周土径向计算范围为25倍的桩径，底面边界距离桩端10倍桩径，以上模型尺寸可以忽略边界条件对计算结果的影响[28].

表 1   砂土的计算参数

Tab.1  Computational parameters of sand

土的刚度系数 υs φ / (°) ψ / (°) c / kPa b1 b2
λ κ
600 0.6 0.25 35.0 5.0 0.1 0.16 0.38

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图 3

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图 3   单桩循环受荷特性分析数值模型的示意图

Fig.3   Schematic of numerical model for analyzing cyclic loading characteristics of single piles


2.2. 数值模型的验证

Zhu等[29]基于离心机模型试验开展单桩的水平受荷特性分析，分别进行竖直单桩的单向和循环加载试验. 离心机模型试验对应的原型桩身参数如下：桩为管桩，桩径为2.5 m，桩长为65 m，壁厚为45 mm，埋深为50 m. 刘晋超等[28,30]分别对Zhu等[29]离心机模型试验中所采用的60%密实度福建砂，开展静力和循环剪切三轴试验. 基于单元试验结果，本文中砂土的相关计算参数取值如表2所示.

表 2   验证模型中的砂土计算参数

Tab.2  Computational parameters of sand in validation model

土的刚度系数 υs φ / (°) ψ / (°) c / kPa b1 b2
λ κ
560 0.6 0.25 34.8 2.9 0.1 0.17 0.43

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选取静力加载试验（S1-1）和循环加载试验（S2-2、2-3、2-4）作为验证试验，单桩静力加载和循环加载的数值计算结果和试验结果对比如图4所示. 图中，H为水平荷载，y1、yN为初次加载时加载处的水平位移及加载处的水平循环累积位移.

图 4

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图 4   数值模拟和离心机模型试验结果的对比

Fig.4   Comparison of numerical model results and centrifuge model test results


从图4可以看出，无论是水平静力加载还是循环加载，数值模拟结果和试验结果均吻合较好，说明采用该方法能够较好地分析单桩静力及循环受荷特性，为分析结果的准确性提供了保障.

3. 结果及分析

3.1. 斜单桩水平承载力

本文中斜桩的定义与Zhang 等[3]一致，如图5所示. 桩身轴向与加载方向的夹角θ大于90°时为负斜桩，小于90°时为正斜桩，桩身轴向与竖直方向所夹的锐角为倾斜角γ. 为了便于区分，负斜桩桩身倾斜角取负值，正斜桩取正值.

图 5

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图 5   正、负斜桩的示意图

Fig.5   Schematic of positive batter pile and negative batter pile


斜单桩倾斜角分别设置为0、±5°、±10°、±15°、±20°及±25°，桩长L设置为25 m，桩径D为1 m. 不同倾斜角斜单桩的荷载-位移曲线如图6所示.

图 6

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图 6   斜单桩的水平荷载-位移曲线

Fig.6   Lateral load-displacement curves of single batter piles


图6的结果表明，在相同的水平荷载作用下，倾斜角为−25°~25°，负斜桩桩顶位移随着桩身倾斜程度的增加而减小，正斜桩反之；较竖直桩而言，负斜桩桩顶位移更小，正斜桩更大，这与Zhang等[3]的研究结果基本一致. 各桩的静载曲线均为缓变型，拐点不明显，因此本文均采用桩顶位移达到10%D时对应的水平荷载为桩的水平极限承载力[31-32]. 采用指数函数模型分析斜单桩水平承载力Hu，该模型的表达式为

$ {H_{\text{u}}}{\text{ = }}{H_{{\text{u0}}}}{{\rm{exp}}\;\left[a\left(\dfrac{\gamma }{{180}}\right)\right]} . $

式中：Hu0为竖直桩的水平极限承载力，a为拟合系数.

基于式（10），通过最小二乘法对斜单桩水平极限承载力进行拟合分析，结果如图7所示. 图中，a = −1.757，决定系数 R2 = 0.9933. 对比拟合结果发现，采用指数函数模型能够较好地反映斜单桩极限承载力随倾斜角的发展规律.

图 7

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图 7   斜单桩水平极限承载力的拟合分析

Fig.7   Fitting analysis of lateral ultimate bearing capacity of single batter piles


采用单向循环加卸载，基于单桩水平极限承载力，循环荷载幅值Hmax取为28%Hu0（326 kN）、50%Hu0（587 kN）及73%Hu0（848 kN）这3个等级，分别对应较低幅值、中幅值和较高幅值的循环荷载，循环加卸载次数最多为10 000次.

3.2. 桩顶累积位移

图8分别给出各级循环荷载作用下各桩桩顶累积位移 ${y_N}$随循环次数N增加的发展趋势. 可以看出，当N < 1 000时，各桩桩顶位移均迅速增加；当 N > 1 000时，各桩桩顶位移均基本趋于稳定. 当循环荷载幅值为28% Hu0，N < 1 000时，负斜桩的桩顶位移小于竖直桩和正斜桩；当 N > 1 000时，负斜桩桩顶位移略微大于竖直桩. 在其他各级循环荷载幅值及循环加卸载次数下，负斜桩桩顶水平位移显著小于竖直桩，正斜桩最大.

图 8

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图 8   不同荷载幅值下的桩顶累积位移

Fig.8   Accumulated displacement at pile head of single piles under various load levels


Little等[33-35]均指出在长期循环荷载下， ${y_N}$和 ${y_1}$的比值与N呈幂函数关系. 本文采用张勋等[35]提出的沉井加桩复合基础水平循环累积位移预测模型分析桩顶累积位移，当水平受荷桩受单向循环荷载时，该模型的表达式为

$ {y_N} = {\delta _{\text{s}}}\eta _{\text{b}}^2{N^\beta }, $

$ {y_1} = {\delta _{\text{s}}}\eta _{\text{b}}^2. $

式中： $  {\eta }_{\text{b}} $=Hmax/Hu，δs、β为拟合参数.

基于式（12）对各桩初次加载时桩顶位移 ${y_1}$进行拟合分析，图9给出拟合分析结果. 图9的结果表明，采用式（12）对 ${y_1}$的拟合结果较好，拟合的决定系数R2均大于0.98. 图10给出各桩δs的取值. 可以看出，当桩身倾斜角逐渐由−25°过渡到25°时，相应单桩的δs取值会逐渐减小. 与式（10）类似，采用指数函数模型对斜单桩δs的取值进行拟合分析，具体表达式为

图 9

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图 9   y1的拟合分析结果

Fig.9   Fitting analysis results of y1


图 10

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图 10   δs的拟合分析结果

Fig.10   Fitting analysis results of δs


$ {\delta _{\text{s}}}{\text{ = }}{\delta _{{\text{s0}}}}{\text{exp}\;\left[c\left(\dfrac{\gamma }{{180}}\right)\right]}. $

式中： ${\delta _{{\text{s}}0}}$为竖直桩对应的 ${\delta _{\text{s}}}$，取0.113 4；c为拟合参数.

拟合结果如图10所示. 可以看出，当c取−0.987时，R2达到0.993 5，说明采用指数函数模型对 ${\delta _{\text{s}}}$进行拟合分析，可以取得较好的结果.

基于式（11）在双对数坐标系下对斜桩累积位移 ${y_N}$进行拟合分析，典型结果如图11所示. 可以看出，无论是斜桩还是竖直桩，利用幂指数模型都可以较好地用于预测桩顶累积位移. 各桩的β取值如图12所示. 结果表明，随着倾斜角从−25°逐渐过渡到25°，相应单桩的β逐渐减小，说明虽然负斜桩较竖直桩和正斜桩在初次加载时桩顶位移较小，但是随着循环加卸载次数的增加，桩顶位移的累积速度较竖直桩和正斜桩更快. 当循环荷载幅值为28%Hu0时，随着循环次数的增加，负斜桩桩顶累积位移逐渐与竖直桩桩顶累积位移趋于一致，甚至略大于竖直桩. Zhang等[3]指出，在强度更高的中密砂中，负斜桩的承载力较竖直桩提升幅度较大，在强度较低的松散砂中提升不明显. 在经历多次循环加卸载后，桩周土强度因循环弱化显著降低，导致负斜桩在承载力方面的优势较竖直桩逐渐减弱.

图 11

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图 11   ${\boldsymbol{y}}_{\boldsymbol{N}}$的拟合分析结果

Fig.11   Fitting analysis results of ${y_N}$


图 12

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图 12   β的拟合分析结果

Fig.12   Fitting analysis results of β


对于斜单桩的β取值，采用指数函数进行拟合分析，表达式为

$ {\beta }/{{{\beta _0}}}{\text{ = }}k{\text{exp}\;\left[d\left(\dfrac{\gamma }{{180}}\right)\right]} . $

式中：β0为竖直桩对应的β，取0.0747；k、d为拟合参数.

拟合结果如图12所示. 可以看出，当回归系数k = 0.942 1，d = −1.949时，采用最小二乘法得到的决定系数为0.967 3，说明采用式（14）对 β进行取值分析，可以取得较理想的结果.

综合以上分析，对于斜单桩而言，在循环荷载作用下，桩顶累积位移的预测公式为

$ {y}_{N}=\left\{ {\begin{array}{c}{\delta }_{\text{s0}}{\eta }_{\text{b}}^{2}{N}^{{\beta }_{0}},\\ k{\delta }_{\text{s0}}{\text{exp}}\;[{c\left({\gamma }/{180}\right)}]{\eta }_{\text{b}}^{2}{N}^{{\beta }_{0}{\text{exp}}\;{\left[d\left({\gamma }/{180}\right)\right]}},\end{array}\begin{array}{c}\gamma ＝0°;\\ \gamma \ne 0°.\end{array} } \right.$

各参数取值分别为：δs0 = 0.113 4，β0 = 0.074 7，k = 0.942 1，c = −0.987， d = −1.949.

3.3. 桩身位移

图13给出在28%Hu0和73%Hu0幅值的循环荷载作用下，竖直桩、−15°及15°斜单桩的桩身位移随深度的分布图. 图中，y为桩身水平位移，Dp为桩截面沿桩身距桩顶的距离. 从图13可以看出，随着循环加卸载次数的增加，桩身位移段内各位置的累积位移逐渐增大；当循环荷载幅值达到73%Hu0时，各桩桩身均存在不同程度的反弯现象. 在循环荷载幅值分别为28%Hu0及73%Hu0，初次循环加载的条件下，竖直桩的位移段深度Lc分别为9.1D、10.2D，−15°斜桩的位移段深度分别为8.6D、9.7D，15°斜桩的位移段深度Lc分别为9.3D、10.5D.当循环加载次数达到10 000时，竖直桩的Lc分别为11.8D、13.9D，−15°斜桩的Lc分别为11.8D、13.7D，15°斜桩的Lc分别为11.9D、14.6D. 可以看出，在循环荷载幅值较小（28%Hu0）的条件下，当循环次数达到一定时，负斜桩桩身位移段深度几乎与竖直桩一致. 当循环荷载幅值较大时，采用负斜桩能够显著地减小桩身位移段深度，随着循环次数的增加，减小的幅度会有所下降.

图 13

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图 13   循环荷载下桩身水平位移随深度的分布

Fig.13   Distribution of lateral displacement of pile with depth under cyclic loading


在循环荷载幅值分别为28%Hu0、50%Hu0及73%Hu0，初次施加循环荷载的条件下，−15°斜桩的桩顶水平位移较竖直桩分别减少了4.10%、8.67%和11.2%，15°斜桩的桩顶水平位移较竖直桩分别增大了27.1%、30.1%和31.8%. 当循环次数达到10000时，−15°斜桩的桩顶位移较竖直桩分别降低了0.2%、3.7%和6.4%，15°斜桩的桩顶位移分别较竖直桩提升了19.6%、10.3%和13.2%.

综上可以看出，当循环荷载幅值较小（28%Hu0）时，随着循环次数的增加，负斜桩较竖直桩而言，在桩身位移段深度及桩顶水平累积位移控制方面的优势明显减弱. 当循环荷载幅值较大（50%Hu0、73%Hu0）时，在各级循环次数下，采用负斜桩能够显著降低桩顶位移和桩身位移段深度.

3.4. 桩身弯矩

图14给出竖直桩、−15°及15°斜单桩在73%Hu0循环荷载作用下桩身弯矩Mp随循环次数的累积趋势. 可以看出，随着循环次数的增加，各桩桩身的最大弯矩及对应的深度均略增大. 当循环加卸载次数逐渐增加到10 000时，竖直桩桩身最大弯矩对应的深度由4.2D增加到5.5D，−15°斜单桩桩身最大弯矩对应的深度由4D增加到5D，15°斜单桩由4.8D增加到5.7D，各级循环荷载作用下负斜桩的桩身弯矩均小于竖直桩，正斜桩的桩身弯矩最大.

图 14

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图 14   循环荷载作用下桩身弯矩随循环次数的累积

Fig.14   Accumulation of bending moment of pile with cycle numbers under cyclic loading


在一般工程中，基于桩身最大弯矩进行桩身截面抗弯设计，采用幂指数函数拟合桩身最大弯矩，表达式为

$ {M_{\max N}} = {M_{\max 1}}{N^m}. $

式中：Mmax1和MmaxN分别为初次加载和第N次加载时的桩身最大弯矩，m为拟合参数. 拟合结果如图15所示. 可以看出，采用幂指数函数拟合桩身最大弯矩的效果较好. 图16给出各桩对应的m. 可以看出，当桩身倾斜角度从−25°逐渐过渡到25°时，各桩对应的m不断减小. 在相同的水平静力荷载作用下，负斜桩桩身弯矩小于竖直桩和正斜桩；在循环荷载作用下，桩身弯矩的累积速度更快.

图 15

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图 15   MmaxN的拟合分析结果

Fig.15   Fitting analysis results of MmaxN


图 16

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图 16   m的拟合分析结果

Fig.16   Fitting analysis results of m


对于斜单桩的m取值，采用二次函数进行拟合分析，表达式为

$ m{\text{ = }}{m_0} \left[{h_1} {\left(\frac{\gamma }{{180}}\right)^2} + {h_2} \frac{\gamma }{{180}} + 1\right] . $

式中：m0为竖直桩对应的m，取0.026 5；h1和h2均为拟合系数.

拟合结果如图16所示. 可以看出，当h1 = −4.3890， h2 = −1.7512时，采用最小二乘法对 m取值进行分析得到的决定系数为0.967 3. 采用二次函数对m进行拟合分析是可行的，能够取得较好的拟合结果.

综上分析可知，对于斜单桩而言，N次循环荷载作用下的桩身最大弯矩预测公式为

$ {M}_{\mathrm{max}N}={M}_{\mathrm{max}\text{V}1}{N}^{{m}_{0} [{h}_{1} {({\gamma }/{180})}^{2}+{h}_{2}\; {\gamma }/{180}+1]} . $

式中： ${M_{\max {\text{V}}1}}$为竖直桩初次加载时的桩身最大弯矩. 本文中m0、h1和h2的取值分别为0.026 5、−4.389及−1.751 2.

4. 结　论

（1）当斜单桩倾斜角由−25°过渡到25°时，水平承载力逐渐降低. 在以承受静力荷载为主的工况中，可以采用负斜桩，提高单桩水平承载力.

（2）在低幅值循环荷载作用下，超过一定循环次数后，负斜桩桩顶累积位移甚至会略高于竖直桩. 在实际工程中，当主要遭受的循环荷载幅值较小时，采用负斜桩的优势不明显.

（3）在长期循环荷载的作用下，负斜桩桩身位移和桩身最大弯矩累积速度略高于竖直桩和正斜桩；当循环荷载幅值较大时，采用负斜桩，可以明显提升桩基受荷循环服役的表现.

（4）基于数值计算结果，结合相关的经验预测模型，对砂土中的斜单桩循环累积位移及桩身最大弯矩进行拟合分析.

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