随着风电渗透率的提高，风电对电网频率稳定性的影响愈加严重，将增加电网调频的需求. 风电参与电网的调频能力研究更加必要. 目前，风电机组参与调频的思路是让风电自行提供一部分调频容量. 设置合理的市场机制，确定风电参与调频市场的投标策略，将有助于缓解电网调频压力，提升风电场收益^[1].

目前国内外学者对风电参与调频市场已有一定的分析研究. 风电场参与能量和调频市场时，主流投标策略有风电场考虑自身收益自行选择投入2种市场^[1-3]、按比例投标^[4-6]和常量投标^[4-6]等. 按比例投标和常量投标策略易于操作和实现，但可能会降低风电场收益.

在风电场参与调频市场投标策略的相关研究中，对风电功率预测的主流方法有多场景法^[1,3]和采用正态分布、Beta分布^[2,4]等概率分布进行假设. 先验分布假设存在参数估计偏离问题，带来的预测误差可能会影响后续风电场投标功率的确定和相应的市场收益. 求解风电场参与2种市场投标功率的方法有Karush-Kuhn-Tucker（KKT）条件^[2]、莱布尼茨法则（Leibniz rule）^[4]、混合整数规划算法^[1,3]等. KKT条件和莱布尼茨法则可以求解较简单的模型.当风电功率预测采用概率密度形式且模型较复杂时，须进一步研究更适用和简单易懂的求解算法.

本文提出考虑风电不确定性的风电场参与电网调频的分析方法，求解得到风电机组参与能量和调频市场的投标功率. 在风电场收益机制方面，调频市场收益中引入调频性能指标，以有效地反映风电场真实的调频收益，提出调频性能指标的估值方法. 在风电功率预测方面，基于粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）算法，结合核极限学习机（kernel extreme learning machine，KELM）和核密度非参数估计的特点，建立风电功率的概率密度预测模型. 基于该概率密度预测结果，建立以风电场收益最大为目标函数的优化模型. 利用蚁狮优化（ant lion optimization，ALO）算法求解模型，确定次日风电场参与能量与调频市场的最优投标功率. 利用风电场数据，开展仿真验证. 结果表明，本文提出的风电场参与能量和调频市场的投标策略更加灵活，可以提高风电场收益，具有优越性和普适性.

由于国内风电参与电力市场辅助服务的交易规则还需完善，以美国的宾夕法尼亚州-新泽西州-马里兰州电力联营体（PJM）能量交易市场的交易规则为依据，展开风电场的相关收益分析. 根据PJM的日前市场交易规则可知，风电场在能量市场的收益可以表示为

(1) $ {R}_{{\rm{e}}}={P}_{{\rm{e}}}{L}_{{\rm{e}}}+{f}_{{\rm{e}}}. $

(2) $ {f_{\rm{e}}} = \left\{ \begin{array}{l} {L_{{\rm{e}} -}} \left( {{P_{{\rm{te}}}} - {P_{\rm{e}}}} \right),{P_{{\rm{te}}}} \leqslant {P_{\rm{e}}};\\ {L_{{\rm{e}} +}} \left( {{P_{{\rm{te}}}} - {P_{\rm{e}}}} \right),{P_{{\rm{te}}}} > {P_{\rm{e}}}. \end{array} \right.$

式中： $ {P}_{{\rm{e}}}{L}_{{\rm{e}}} $为风电场在日前能量市场的收益， $ {P_{\rm e}} $为风电场在日前能量市场的投标功率， $ {L_{\rm e}} $为风电在日前能量市场的价格， $ {P_{\rm te}} $为实际的风电上网功率， $ {f_{\rm e}} $为当 $ {P_{\rm e}} $与 $ {P_{\rm te}} $存在偏差时的考核收益（可能为负）， $ {L_{{\rm{e}} + }} $和 $ {L_{{\rm{e}} - }} $分别为能量市场的正向和负向惩罚电价.

图1中，*表示风电场理想情况下的收益，即 $ {P_{{\rm{te}}}} $与 $ {P_{\rm{e}}} $一致时的收益. 由于风电功率的预测存在无法消除的误差， $ {P_{\rm{e}}} $不可能与 $ {P_{{\rm{te}}}} $一致. 实线为风电场收益随实际上网功率的变化曲线，当 $ {P_{{\rm{te}}}} \ne {P_{\rm{e}}}{\text{ }} $时，风电场会损失一定的收益.

风电场在调频市场参与二次调频服务^[1]. 根据PJM的日前市场交易规则可知，收益可以表示为

(3) $ {R_{\rm{r}}} = {R_{\rm{c}}} + {R_{\rm{p}}} . $

式中： $ {R_{\rm{c}}} $为调频容量收益； $ {R_{\rm{p}}} $为调频性能收益，

(4) $ {R}_{{\rm{p}}}={P}_{{\rm{r}}} K\lambda {L}_{{\rm{pr}}} .$

式中： $ {P_{\rm{r}}} $为风电场在日前调频市场的投标功率； $ K $为调频性能指标； $ \lambda $为里程效益因子，根据PJM调频市场实际数据的经验值，设定 $ \lambda $=2； $ {L_{{\rm{pr}}}} $为调频市场的性能出清价格.

$ {R_{\rm{c}}} $包含对实际调频容量的考核收益，可以表示为

(5) $ {R}_{{\rm{c}}}={P}_{{\rm{r}}} K{L}_{{\rm{cr}}}+{f}_{{\rm{cr}}} . $

(6) $ {f_{{\rm{cr}}}} = \left\{ \begin{array}{l} {L_{{\rm{r}} - }} \left( {{P_{{\rm{tr}}}} - {P_{\rm{r}}}} \right),{P_{{\rm{tr}}}} \leqslant P_{\rm{r}};\\ {L_{{\rm{r}} + }} \left( {{P_{{\rm{tr}}}} - {P_{\rm{r}}}} \right),{P_{{\rm{tr}}}} > {P_{\rm{r}}}. \end{array} \right. $

式中： $ {L_{{\rm{cr}}}} $为调频容量出清价格， $ {P_{{\rm{tr}}}} $为实际的调频备用功率， $ {f_{{\rm{cr}}}} $为当 $ {P_{\rm{r}}} $与 $ {P_{{\rm{tr}}}} $存在偏差时的考核收益（可能为负）， $ {L_{{\rm{r}} + }} $和 $ {L_{{\rm{r}} - }} $分别为调频容量正向和负向惩罚电价.

$ K $反映了调频资源跟踪调频信号的紧密程度. 理论上， $ K $应在事后根据实际的调用情况计算. 事实上，日前调频市场的投标是提前完成的，所以风电需要提前对 $ K $进行估值. 根据文献[1]可知， $ K $受 $ {P_{{\rm{te}}}} $、 $ {P_{{\rm{tr}}}} $、 $ {P_{\rm{e}}} $和 $ {P_{\rm{r}}} $的影响，可以把 $ K $记作上述变量的多元函数，表示为

(7) $ K = f\left( {{P_{\rm{e}}},{P_{\rm{r}}},{P_{{\rm{te}}}},{P_{{\rm{tr}}}}} \right). $

通过对具体数据的回归分析，可以得到K与多元变量的关系，实现在日前投标时精确考虑风电的动态调频性能，有效地反映风电场真实的调频收益.

图2中，*表示理想情况下风电场在调频市场中的收益，即风电场的实际调频功率与日前调频市场的投标功率一致时的收益；实线为风电场在调频市场中的收益随风电场实际提供的调频功率的变化情况.

风电场单独参与能量市场时风电功率的波动会降低风电场的经济效益. 风电场同时参与能量市场与调频市场并进行最优投标时，能够利用风电功率的波动提供调频备用，在提供调频备用的同时提高风电场经济收益. 根据1章的描述可知，风电场同时参与2种市场的总收益为

(8) $ R={R}_{{\rm{e}}}+{R}_{{\rm{r}}}={P}_{{\rm{e}}} {L}_{{\rm{e}}}+{f}_{{\rm{e}}}+{P}_{{\rm{r}}} K\left({L}_{{\rm{cr}}}+\lambda {L}_{{\rm{pr}}}\right)+{f}_{{\rm{cr}}} . $

参考国外较成熟的电力市场中电价的设定^[4,7]，根据目前我国的风电上网价格和调频备用容量的价格^[8-9]，可以合理假设：

(9) $ 0 < {L_{{\rm{r}} + }} < {L_{{\rm{e}} + }} < {L_{{\rm{r}} - }} < {L_{{\rm{e}} - }}.$

风电场收益可以表示为

(10) $ {R = \left\{ \begin{array}{l} {L_{\rm e + }} {P_{t}} + \left( {{L_{\rm e}} - {L_{\rm e + }}} \right) {P_{\rm e}} + \left( {{L_{\rm r}} - {L_{\rm e + }}} \right) {P_{\rm r}},{P_{t}} \in \left[ {{P_{\rm e}} + {P_{\rm r}},{P_{{t\rm{,max}}}}} \right];\\ {L_{\rm r - }} {P_{t}} - \left( {{L_{\rm r - }} - {L_{\rm e}}} \right) {P_{\rm e}} - \left( {{L_{\rm r - }} - {L_{\rm r}}} \right) {P_{\rm r}},{P_{t}} \in \left( {{P_{\rm e}},{P_{\rm e}} + {P_{\rm r}}} \right);\\ {L_{\rm e - }} {P_{t}} - \left( {{L_{\rm e - }} - {L_{\rm e}}} \right) {P_{\rm e}} - \left( {{L_{\rm r - }} - {L_{\rm r}}} \right) {P_{\rm r}},{P_{t}} \in \left[ {0,{P_{\rm e}}} \right]. \end{array} \right.} $

式中： $ {P_{t}} $为风电场的实际发电功率， $ {P_{{t\rm{,max}}}} $为风电功率预测的最大值， ${L_{\rm{r}}} = K\left( {{L_{{\rm{cr}}}} + \lambda {L_{{\rm{pr}}}}} \right)$.

如图3所示为风电场同时参与能量市场和调频市场的投标策略及风电场收益随 $ {P_{\rm{t}}} $的变化情况. $0 < {L_{{\rm{r}} + }} < {L_{{\rm{e}} + }} < {L_{{\rm{r}} - }} < {L_{{\rm{e}} - }} $，故当 $ {P_{\rm{t}}} \leqslant {P_{\rm{e}}} $时，风电场优先在能量市场提供功率. 当 $ {P_{\rm{e}}} < {P_{\rm{t}}} < {P_{\rm{e}}} + {P_{\rm{r}}} $时，风电场将多于 $ {P_{\rm{e}}} $的功率提供给调频备用. 当 $ {P_{\rm{t}}} \geqslant $ $ {P_{\rm{e}}} + {P_{\rm{r}}} $时，风电场将多余的功率投入能量市场.

从图3可知，风电场在日前市场投标的并网功率和调频备用功率直接影响风电场收益. 风电场想要确定在日前能量市场和调频市场的投标功率，必须借助风电功率的预测. 若风电功率的单点预测是精确的，则风电场只需要依据单点预测结果在能量市场投标，即可获得最大收益. 由于风电功率的单点预测存在无法消除的误差，风电的概率预测能够更好地描述功率分布的情况，为风电场的投标策略提供参考. 提出结合核极限学习机（KELM）、粒子群优化（PSO）算法和核密度估计（kernel density estimation，KDE）的风电功率概率密度预测模型.

Huang等^[10]提出极限学习机（extreme learning machine，ELM）. KELM是改进ELM模型，具有更强的泛化能力和稳定性. KELM模型为

(11) $\varphi ({\boldsymbol{x}}){\text{ = }} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{\rm{e}}}({\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{x}}_1})} \\ \vdots \\ {{k_{\rm{e}}}({\boldsymbol{x}},{{\boldsymbol{x}}_N})} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}{\left( {\frac{{\boldsymbol{I}}}{C} + {{\mathbf{\boldsymbol \varOmega }}_{{\rm{EML}}}}} \right)^{ - 1}}{\boldsymbol{T}}. $

式中：x_i为风速； $\varphi ({\boldsymbol{x}}) $为核极限学习机的输出；T为预测目标值向量；I为单位矩阵；C为核参数； ${k_{\rm{e}}}$为核函数，一般选取高斯核函数：

(12) $ {k_{\rm{e}}}({\boldsymbol{a}},{\boldsymbol{b}}) = \exp \;\left[ {{{ - \left\| {{\boldsymbol{a}} - {\boldsymbol{b}}} \right\|}^2}/(2{\sigma ^2})} \right], $

其中σ为核参数.

核矩阵为

(13) $ {{{\varOmega}} _{{\rm{EML}}}(i,j)} = {k_{\rm{e}}}({{\boldsymbol{x}}_i},{{\boldsymbol{x}}_j}). $

选取KELM为风电功率点预测模型，其中核参数σ和C的取值会影响预测性能. 采用粒子群优化（PSO）算法优化σ和C 2个核参数，以提高核极限学习机模型的拟合精度. PSO算法^[11]迭代寻优的详细过程见文献[12]. 根据绝对误差建立适应度函数：

(14) $ F{\rm{ = min}}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {{y_i} - \varphi \left( {{{\boldsymbol{x}}_i}} \right)} \right|} . $

式中： $y_i $为真实的风电功率，n为训练集的数据个数.

利用建立的风电功率点预测模型和获得的历史预测误差，可以得到风电功率在t时刻的独立同分布数据 ${{ {\boldsymbol{\varepsilon}}}}^t=\left[ {\varepsilon _1^t, \cdots ,\varepsilon _N^t} \right]{\rm{ }}$^[13]为

(15) $ {{{\varepsilon _i}^t}} = {w_t} + {e_i} . $

式中： ${w_t} $为t时刻的风电功率点预测， ${e_i} $为风电功率的历史预测误差，i=1, 2, ···, N.

核密度估计方法作为有效的非参数估计方法之一，无需先验分布假设，可以直接估计被求变量的概率密度函数. 使用KDE估计风电功率的概率密度，具有更强的适应性.

给定 ${\boldsymbol{\varepsilon }}^t $进行核密度估计，可得风电功率的概率密度函数：

(16) $ {f_t} \left( {{{\boldsymbol{\varepsilon}} ^t}} \right) = \frac{1}{{N{h_t}}}{k_{\rm{e}}}\left( {\frac{{{{\boldsymbol{q}}^t}}}{{{h_t}}},\frac{{{{\boldsymbol{\varepsilon }}^t}}}{{{h_t}}}} \right).$

式中：h_t > 0为平滑参数，称为带宽（bandwidth）； q^t为通过h_t和 ${\boldsymbol{\varepsilon}} ^t $确定的风电功率在t时刻的测试样本向量.

将KELM、PSO算法和KDE组合，提出基于PSO算法优化的核极限学习机核密度估计的风电功率概率密度预测模型KELM-PSO-KDE，示意图如图4所示. 具体步骤如下.

1）结合PSO算法与KELM模型，通过PSO算法优化得到最优的核参数σ和C，代入KELM中，得到KELM-PSO模型.

2）将历史预测风速数据代入KELM-PSO模型中，通过式(11)得到历史风电功率点预测结果，并将此预测结果与真实风电功率数据比较后得到 ${e_i} $.

3）将次日预测风速数据代入KELM-PSO模型中，通过式(11)得到次日风电功率的点预测结果，将此预测结果与 ${e_i} $代入式(15)，可得 $\varepsilon _i^t $.

4）对 ${\boldsymbol{\varepsilon}}^t $通过式(16)进行核密度估计（KDE），得到次日风电功率的概率密度函数.

在提出的风电功率概率密度预测模型中，KELM模型较神经网络具有更快的学习速度和更好的非线性拟合能力，可以拟合风速与风电功率的非线性关系. KDE不给任何分布的假定，通过设置合适的带宽和核函数，可以完整地估计对象风电功率的概率密度. 在模型中，将两者结合，能够很好地把握风电功率预测中的不确定信息变化情况，生成风电功率的概率密度函数，避免传统功率概率预测方法中模型复杂、需要先验分布的假设、参数估计偏离等带来的预测误差问题，为后续得到能量和调频市场最优投标功率奠定基础.

基于风电功率概率密度预测结果，构建风电场期望收益模型. 通过蚁狮优化（ALO）算法，求解得到风电场参与能量市场和调频市场的最优投标功率，获得风电场的最大收益.

利用式(16)得到次日t时刻的风电功率概率密度预测函数 $ f\left( {{P_t}} \right) $，计算风电场该时刻的期望收益^[4]：

(17) $ E\left[R\left({P}_{{\rm{e}}},{P}_{{\rm{r}}}\right)\right]={\displaystyle {\int }_{0}^{{P}_{t,\mathrm{max}}}R\left({P}_{t}|{P}_{{\rm{e}}},{P}_{{\rm{r}}}\right)} f\left({P}_{t}\right){\rm{d}}{P}_{t}. $

式中： $ {P_{t,{\rm{max}}}} $为t时刻风电功率预测的最大值.

构建风电场t时刻的期望收益模型：

(18) $ {\rm{max}} \; E\left[ {R\left( {{P_{\rm{e}}},{P_{\rm{r}}}} \right)} \right]. $

(19) $ {\rm{s.t}} \quad {P_{t,{\rm{max}}}} - {P_{\rm{e}}} - {P_{\rm{r}}} \geqslant 0,{P_{\rm{e}}} \geqslant 0,{P_{\rm{r}}} \geqslant 0. $

式(18)中含有调频性能指标K，满足关系 $ K = $ $ f\left( {{P_{\rm{e}}},{P_{\rm{r}}},{P_{{\rm{te}}}},{P_{{\rm{tr}}}}} \right) $，所以模型具有复杂的非线性，不易求解. 选择蚁狮优化（ALO）算法，求解上述优化问题. ALO算法是由刘颖明等^[14]提出的新型优化算法，具有良好的自适应边界收缩机制和精英主义优势，所以收敛速度快，全局搜索能力良好，需要调节的参数少. 与遗传算法和粒子群算法相比，ALO算法具有更好的优化效果^[15-16]. 在求解过程中，ALO算法以式(18)为目标函数优化 $ {P_{\rm{e}}} $、 $ {P_{\rm{r}}} $ 2个参数，得到日前最优的投标计划. ALO算法迭代寻优的详细过程见文献[14].

提出的确定风电场最优投标功率的步骤如下.

1）根据市场交易规则，确定风电场同时参与能量市场和调频市场的投标策略，计算风电场收益随实际发电功率的变化情况.

2）利用风电功率概率密度预测模型KELM-PSO-KDE，求得次日每一时刻的风电功率概率密度预测函数.

3）根据风电功率概率密度预测结果，以风电场期望收益最大为目标，建立风电场同时参与能量市场和调频市场的优化模型. 利用ALO算法获得风电场在2种市场日前最优的投标计划，使风电场的收益最大化.

以内蒙古某风电场为例，该风场装机容量为50 MW，分辨率为10 min. 取该风场 2014 年的风电功率数据，包括实际功率数据和对应的数值天气预报数据中的风速信息.

根据3.3节的具体步骤，利用KELM-PSO-KDE模型对次日所有时刻进行风电功率的概率密度函数预测. 该天一些时刻的风电功率概率密度预测曲线如图5所示. 图中，f为概率密度，P为风电功率.

KEIM具有非线性拟合能力强的特点，因此利用KELM拟合 $ \left( {{P_{\rm{e}}},{P_{\rm{r}}},{P_{{\rm{te}}}},{P_{{\rm{tr}}}}} \right) $与Ｋ的关系. 给定PJM调频市场2019年7月19日的调频信号 $ {P_{{\rm{agc}}}} $. 根据文献[11],利用随机生成的125组 $ \left( {{P_{\rm{e}}},{P_{\rm{r}}},{P_{{\rm{te}}}},{P_{{\rm{tr}}}}} \right) $参数组合进行模拟分析，对风电跟随上述调频信号的出力进行仿真. 参考美国PJM调频市场的性能指标计算规则^[17]，得到调频性能指标Ｋ. 利用100组数据训练KELM模型，利用该回归模型对另外25组数据进行测试. 结果显示，该回归模型在测试数据下的结果与仿真得到结果的平均偏差约为4.97%，满足工程中的计算需要. 利用KELM可以有效地估算调频性能指标，该回归模型可供投标出清事前估算使用.

基于获得的一天所有时刻的功率概率密度预测曲线和调频性能指标估值模型，建立式(18)所示的所有时刻的优化模型. 风电上网电价 $ {L_{\rm{e}}} = 477 $元/( $ {\rm{MW}} \cdot {\rm{h}} $)^[18]，合理假设调频市场的价格 $ {L_{{\rm{cr}}}} = 110 $元/( $ {\rm{MW}} \cdot {\rm{h}} $)， $ {L_{{\rm{pr}}}} = 40 $元/（ $ {\rm{MW}} \cdot {\rm{h}} $)，2种市场的惩罚电价分别设定为 $ {L_{{\rm{r}} - }} = 1.3{L_{{\rm{cr}}}}, $ $ {L_{{\rm{r}} + }} = 0.1 {L_{{\rm{cr}}}}, $ ${L_{{\rm{e}} - }} = 1.9 {L_{\rm{e}}},$ $ {L_{{\rm{e}} + }} = 0.1{L_{\rm{e}}}$^[1,8-9].

利用ALO算法对所有时刻的优化模型进行求解，ALO算法的初始参数如表1所示.

利用ALO算法求得的风电场同时参与2种市场的日前最优投标功率，如图6所示. 为了进行对比，图6给出风电场单独参与能量市场时的投标功率 $ {P_{{\rm{only E}}}} $. $ {P_{{\rm{only E}}}} $是按KELM-PSO模型预测的次日风电功率点预测结果确定的.

如表2所示为2种参与方式下风电场在该天某些时刻的收益和一天的总收益. 可知，该天风电场参与2种市场并进行最优投标时的收益比风电场单独参与能量市场时的收益增加3 289元，原因如下. 当风电场单独参与能量市场时，实际的发电功率为并网功率，因投标功率与并网功率的误差较大，风电场收益减小.当风电场参与2种市场并进行最优投标时，风电场不仅向能量市场提供功率，而且可以将多余的功率放入调频市场，提供调频备用，缓解电网调频压力. 这种投标策略更加灵活，可以提高风电场收益.

图7给出风电场参与电力市场的2种方式下， $ {P_{\rm{e}}} $与第2天实际在能量市场提供功率 $ {P_{{\rm{te}}}} $的对比图. 可知，风电场参与2种市场并进行最优投标时， $ {P_{\rm{e}}} $与 $ {P_{{\rm{te}}}} $之间的误差明显小于风电场单独参与能量市场时的误差.

表3给出风电场参与电力市场的2种方式下，一天部分时刻 $ {P_{\rm{e}}} $与 $ {P_{{\rm{te}}}} $的误差和一天的平均误差. 表中，E_E-FR为同时参与2种市场时的投标误差，E_onlyE为单独参与能量市场时的投标误差. 可知，参与2种市场并进行最优投标时，风电场一天的平均投标误差比单独参与能量市场时的平均投标误差减小0.471 7 MW. 参与能量市场的投标功率与实际提供功率之间的误差越小，电力系统的调度越容易，因此提出的风电场同时参与能量市场和调频市场的最优投标策略，不仅对风电场侧可以获得最大的经济效益，而且有利于电网调度.

为了验证提出的风电场同时参与能量和调频市场的最优投标策略的优越性，选用同时参与2种市场的常量投标策略进行对比分析.

根据文献[4~6]可知，当风电场同时参与2种市场时，可以按照常量投标策略进行投标. 这种投标策略因为调频备用功率的固定，只需要简单控制器，在工程实践中易于实现^[4].常量投标策略表示如下.

根据文献[4]，可以设定当风电功率点预测值大于装机容量的6%，即在本文中大于3 MW时，风电场参与能量市场和调频市场，此时2种市场的投标功率分别为

(20) $ {P_{\rm{e}}} = w - {P_{\rm{r}}} , $

(21) $ {P_{\rm{r}}} = a . $

式中： $w $为风电功率的点预测值； $ a $为常数，参考西班牙电力市场规定：风电机组应具有装机容量1.5%的调频能力，故设定 $ a $= 0.75 MW.

根据5.1节KELM-PSO模型得到的风电功率的点预测结果，可得风电场参与2种市场的投标功率，如图8所示. 风电场收益和在能量市场的日平均投标误差E_b如表4所示. 可以看出，提出投标策略下的风电场收益比常量投标策略下的收益高出6 177元，日平均投标误差减少0.345 6 MW，说明所提的投标策略具有一定的优越性.

为了验证提出的KELM-PSO-KDE的优越性，基于相同的风电功率数据，选用风电概率密度预测模型KELM-PSO-Beta和BP-Beta进行对比分析.

利用KELM-PSO-Beta模型进行风电功率概率密度预测，与KELM-PSO-KDE模型进行对比分析. 在KELM-PSO-Beta模型中，基于KELM-PSO模型得到 ${e_i} $和次日风电功率的点预测结果，步骤与3.3节的描述类似. 根据文献[2,4]，假设风电功率为Beta分布 $ B\left( {\alpha ,\beta } \right) $，其中ɑ和β为形状参数. 参考文献[2,19]，利用次日风电功率的点预测值和方差 $ {\sigma ^2} $可得ɑ和β，从而可得该天每一时刻的风电功率概率密度预测曲线.

利用前馈（back propagation，BP）神经网络和Beta分布构成风电概率密度预测模型BP-Beta，与KELM-PSO-KDE模型进行对比分析.在BP-Beta模型中，基于BP神经网络模型得到 ${e_i} $和次日风电功率的点预测结果，步骤与3.3节的描述类似. 利用Beta分布拟合风电功率概率密度曲线，具体步骤参见文献[2,19]，可得该天每一时刻的风电功率概率密度预测曲线.

利用以上不同模型求得的该天的功率概率预测结果，利用ALO算法求解模型，得到该天风电参与能量和调频市场的投标功率，如图9所示. 风电场收益和能量市场的日平均投标误差如表5所示.

从表5可知，与另外2种风电功率概率密度预测模型相比，在KELM-PSO-KDE模型下得到的风电场收益更高，能量市场日平均投标误差更小，说明该模型具有优越性，可以避免不准确的先验分布假设所造成的预测误差，更准确地描述风电不确定性，提高风电场收益.

为了验证所提的ALO算法的优越性，基于相同的风电功率数据，选用粒子群优化(PSO)算法求解模型，开展对比分析.

因为本文的期望收益模型复杂非线性，利用常规的KKT条件^[2]或Leibniz rule^[4]求解模型较复杂和困难，采用PSO算法与本文所提的ALO算法进行对比分析.基本的PSO算法参数设置如下：种群数目为50，迭代次数为100，加速度因子c₁、c₂均为2. ALO算法选取合适的蚁狮数量和迭代次数可以进行优解，避免了参数设置不合理对优化结果的影响.

利用PSO算法和ALO算法分别求解该天所有时刻的优化模型，得到PSO算法的每一时刻平均求解时间为292.295 s，ALO算法的每一时刻平均求解时间为274.740 s. ALO算法的计算时间少于PSO算法，求解效率更高. 利用2种算法求解模型的结果如表6所示. 可知，在ALO算法下得到的风电场收益更高，能量市场的日平均投标误差更小，证明了ALO算法具有优越性.

为了验证提出的风电场同时参与能量市场和调频市场的投标策略的普适性，选用另外一天的风电功率数据进行仿真验证. 风电场收益和能量市场日平均投标误差如表7所示. 可以看出，在本文提出策略下得到的风电场收益最大，比表7的最小收益高出7 490元. 能量市场的日平均投标误差最小，比表7的最大投标误差减少1.207 6 MW，说明本文策略具有较好的普适性.

本文提出考虑风电不确定性的风电场同时参与能量与调频市场的日前投标方法. 基于表征风电不确定性的KELM-PSO-KDE模型，利用ALO算法求解得到风电场在2种市场的日前最优投标功率. 该研究方法为风电机组同时参与2种市场及确定最优投标功率提供了新思路. 如何提高风电功率预测模型KELM-PSO-KDE的预测精度，使风电场参与2种市场的投标计划更加准确，是下一步的研究重点.