干线绿波控制是通过合理设定干线交叉口的相位差、相序等控制参数，使得车队能够在该干线上实现连续通行，是提升交通效率、缓解交通拥堵的关键交通控制方法之一^{[1- 2]}. Little ^[3]首次提出完整的双向干线协调控制的数学描述与优化模型MAXBAND，通过求解公共周期时长、绿波速度和相位差来最大化双向带宽之和. Little等^[4]对MAXBAND进行改进，加入了左转相位的放行顺序，使得模型能够更普遍地适用于各类交叉口. Zhang等^[1,5]致力于松弛MAXBAND模型中的各种假设，以获得更大的干线控制效益. Gartner等^[5]通过为每一交叉口设定独立的带宽参数，构造MULTIBAND模型，实现了干线单一绿波带宽到可变绿波带宽的转化，获得了更好的干线控制效益. 在MULTIBAND模型的基础上，Zhang等^[1]通过取消MULTIBAND绿波带中心对称的性质，获得了非对称形式的绿波带宽，优化了绿波带宽和，提升了干线协调控制效率. 协调控制的规模从干线拓展到多路径及网络.

在干线绿波优化模型中，干线所包含的交叉口越多，约束条件越多，则带宽越小，甚至导致无可行解. Tian等^[6]依据交叉口的空间位置、交通流特征和交叉口排队情况，将长干线划分为若干子段，利用PASSERII给每一子段进行绿波控制方案设计，验证了该方法与传统的绿波控制相比，效果更好，但分步的操作使得方案设计工作量较大，且无法保证获得全局最优方案. Zhang等^[7-8]建立子段划分与带宽优化一体的模型，用于长干线的分段绿波协调控制，可以从全局的角度对控制方案进行优化，但需要提前确定子段划分数量或目标函数中的各项目标权重，在信息不够完备的场景下难以判断输入变量的值是否合理，且二者均未考虑绿波断点处的带宽损失，导致所求方案的带宽总和高于实际值，易造成优化过程中的决策失误.

综上所述，以MAXBAND模型为基础发展的干线绿波协调控制理论与方法已经较成熟，但关于长干线分段绿波控制的研究较少，对长干线分段方法与断点成本方面的研究不够全面. 本文通过对长干线每一交叉口标注状态变量的方式，使得相邻交叉口能够灵活组合，在带宽优化过程中综合考虑子段交叉口的组合形式，借助状态变量剔除断点处的绿波带宽，获得最优的长干线分段方法与实际绿波带宽总和.

图1中，S为距离，t为时间. 如图1（a）所示，当需要进行绿波控制的交叉口数量较多时，受每个交叉口的交通状态约束，绿波带宽往往较小，难以实现理想的控制效果. 在适当的位置打断绿波带，将长干线划分为若干子段进行绿波控制，每个子段的带宽与长干线带宽总和均能够得到较大的提升，如图1（b）所示. 为了寻找最优的子段划分方法，以MAXBAND经典模型为基础，以实际绿波带宽总和最大为目标，建立子段划分求解算法. 将子段划分动作定义为带宽优化过程中的决策变量，对目标函数及约束条件进行修改，完成子段划分与绿波控制的同步优化求解.

为长干线上每一交叉口设置状态变量 ${n_i}$，用于记录子段划分信息. ${n_i} = 0$表示交叉口i为任意子段的首个交叉口； ${n_i} = {\text{1}}$表示交叉口i不是任何子段的首个交叉口. 长干线被分段的数量与状态变量值为0的交叉口数量相等. 以包含15个交叉口的长干线为例，若各交叉口状态变量如图2所示，则该长干线被分为3个子段，断点分别在交叉口1、5、11处，每个子段分别包含4个、6个、5个交叉口. 状态变量为0的交叉口为每个分段绿波的首个交叉口，参与构成下游交叉口的绿波，并非单独独立出来.

长干线的第1个交叉口必然为第1个子段首个交叉口，如下所示：

(1) $ {n_1} = 0. $

在绿波控制过程中，若长干线被分为过多子段，则会影响整条干线的控制效果. 在信号设计时，限制可允许的最大分段数量为

(2) $ \sum\nolimits_{i = 1}^{ N} {{n_i} \geqslant N - c} . $

式中：N为长干线交叉口总数，c表示长干线最多能被分为c个子段.

由于不同交叉口可能属于不同子段，即不属于同一条绿波带，带宽大小会产生差异，设置 ${b_i}$和 ${\bar b_i}$分别为交叉口i处的上行与下行绿波带宽. 若2个相邻交叉口i和i+1属于同一子段，则二者的带宽相等， ${b_i} = {b_{i + 1}}$. 若二者不属于同一子段，则带宽 ${b_i}$和 ${b_{i + 1}}$之间无约束. 为了将相邻交叉口之间的这种带宽关系用数学方法进行表达，设定一个极大正常量M. 当交叉口i和i+1属于同一子段时，交叉口i+1必然不是任何一个子段的首个交叉口，状态变量 ${n_{i + {\text{1}}}} = {\text{1}}$. 当交叉口i和i+1不属于同一子段时，交叉口i为某一子段最后一个交叉口，且交叉口i+1为下一子段的第一个交叉口，有 ${n_{i{\text{ + 1}}}} = {\text{0}}$. 相邻交叉口之间的带宽关系可以表示为

(3) $ - M(1 - {n_{i + 1}}) \leqslant {b_i} - {b_{i + 1}} \leqslant M(1 - {n_{i + 1}}),{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N - 1; $

(4) $ - M(1 - {n_{i + 1}}) \leqslant {\bar b_i} - {\bar b_{i + 1}} \leqslant M(1 - {n_{i + 1}}),{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N - 1. $

当交叉口i和i+1属于同一子段时，有 ${n_{i + {\text{1}}}} = {\text{1}}$， $M(1 - {n_{i + 1}}) = {\text{0}}$，则式（3）可以转化为 ${\text{0}} \leqslant {b_i} - {b_{i + 1}} \leqslant {\text{0}}$，即 ${b_i} = {b_{i + 1}}$. 当交叉口i和i+1不属于同一子段时， $ - M \leqslant {b_i} - {b_{i + 1}} \leqslant M$，即 ${b_i}$和 ${b_{i + 1}}$之间无约束. 下行绿波带宽同理.

在MAXBAND经典模型中，整环约束（loop integer constraints）用来规定绿波在通过交叉口i后能够顺利在绿灯时间范围内穿过交叉口i+1. 原模型中的整环约束是利用上下行绿波带在图3中的几何关系进行构建的，通过图3中的各个变量分别表示C到D与 $\bar C$到 $\bar D$，如下所示^[4]：

(5) $ CD = \frac{1}{2}{r_i} + {w_i} + {t_i} = {\tau _{i + 1}} + {w_{i + 1}} + \frac{1}{2}{r_{i + 1}} + {\theta _i}, $

(6) $ \bar C\bar D = \frac{1}{2}{\bar r_i} + {\bar w_i} - {\bar \tau _i} + {\bar t_i} = {\bar w_{i + 1}} + \frac{1}{2}{\bar r_{i + 1}} + {\bar \theta _i} .$

式中： ${r_i}$和 ${\bar r_i}$分别为交叉口i的上行与下行红灯时长， ${w_i}$为在交叉口i处上行绿波带最左侧距离最近的红灯终点的时间跨度， ${\bar w_i}$为在交叉口i处下行绿波带最右侧距离最近的红灯起点的时间跨度， ${\tau _i}$和 $ {\bar \tau _i} $分别为交叉口i处的上、下行排队清空时间， ${\theta _i}$和 ${\bar \theta _i}$分别为交叉口i和i+1之间的上、下行相位差， ${t_i}$和 ${\bar t_i}$分别为绿波带从交叉口i到i+1所需的上、下行时间. 相位差与周期之间的关系如下：

(7) $ {\theta _i} + {\bar \theta _i} + {\varDelta _i} - {{\varDelta} _{i + 1}} = {m_i} .$

式中： ${{\varDelta} _i}$为交叉口i处上下行红灯中点的偏移时长（见图3）； ${m_i}$为周期长度的整数倍，本文中时长相关的变量单位均为周期长度，所以 ${m_i}$为整数变量.

对式（5）~（7）进行初等变换，可得

(8) $ \begin{split} & \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}({r_i} + {{\bar r}_i}) + ({w_i} + {{\bar w}_i}) + ({t_i} + {{\bar t}_i}) = ({\tau _{i + 1}} + {{\bar \tau }_i}) + \hfill \\ & ({w_{i + 1}} + {{\bar w}_{i + 1}}) + \frac{{\text{1}}}{{\text{2}}}({r_{i + 1}} + {{\bar r}_{i + 1}}) + {m_i} + ({\varDelta _{i + 1}} - {\varDelta _i}){\text{ }}. \end{split} $

若交叉口绿波所覆盖的进口方向左转与直行不是同一相位或相位时长不同，则需要判断左转相位在直行相位前端放行还是后端放行能够达到最优控制效果. 具体分析参见文献[4]，本文仅对关键结论进行罗列.

交叉口i的红绿灯时长之和等于一个完整的信号周期，单位信号周期长度记为1，有 ${r_i} + {g_i} = 1$， $ {\bar r_i} + {\bar g_i} = 1 $，其中 ${g_i}$和 $ {\bar g_i} $分别为交叉口i处的上下行绿灯时长. 红灯时长可以分解为上下行公共红灯时长（即与绿波带垂直方向车流的放行时间）与对向左转时长，即

(9a) $ \tag{9a}{r_i} = R + {\bar l _i}, $

(9b) $ \tag{9b}{\bar r_i} = R + {l _i}. $

式中：R为上下行方向的公共红灯时长， ${l _i}$和 ${\bar l _i}$分别为上、下行车流在交叉口i处的左转绿灯放行时间.

定义 ${\delta _i}$与 ${\bar \delta _i}$分别表示左转相位在周期中位置的0-1变量，且满足 ${\delta _i} + {\bar \delta _i} = 1$，则有^[4]

(9c) $ \tag{9c}{\varDelta _i} = \frac{1}{2}[(2{\delta _i} - 1){l _i} - (2{\bar \delta _i} - 1){\bar l _i}]. $

根据式（9a）、（9b）和（9c），式（8）可以转换为

(10) $ \left. \begin{array}{l} ({w_i} + {{\bar w}_i}) - ({w_{i + 1}} + {{\bar w}_{i + 1}}) + ({t_i} + {{\bar t}_i}) + {\delta _i}{l_i} - {{\bar \delta }_i}{{\bar l}_i} - \\ {\delta _{i + 1}}{l_{i + 1}} + {{\bar \delta }_{i + 1}}{{\bar l}_{i + 1}} - {m_i} = ({r_{i + 1}} - {r_i}) + ({{\bar \tau }_i} + {\tau _{i + 1}}){\rm{ }};\\ i = 1,2, \cdots ,N - 1. \end{array} \right\} $

对于本文的研究对象，同一子段内的相邻交叉口满足式（10）的约束，但属于不同子段的相邻交叉口之间不受该约束，所以对式（10）的约束进行修改，可得

(11) $ \left. {\begin{array}{*{20}{l}} { - M(1 - {n_{i + 1}})\leqslant[({w_i} + {{\bar w}_i}) - ({w_{i + 1}} + {{\bar w}_{i + 1}}) + }\\ {({t_i} + {{\bar t}_i}) + {\delta _i}{l_i} - {{\bar \delta }_i}{{\bar l}_i} - {\delta _{i + 1}}{l_{i + 1}} + {{\bar \delta }_{i + 1}}{{\bar l}_{i + 1}} - {m_i}] - }\\ {[({r_{i + 1}} - {r_i}) + ({{\bar \tau }_i} + {\tau _{i + 1}})]\leqslant M(1 - {n_{i + 1}});}\\ {i = 1, \cdots ,N - 1.} \end{array}} \right\} $

式中：M为极大正常数.

除上述交叉口之间的约束关系，须保证每一交叉口绿波带宽不超过该相位绿灯时长，通过下式完成该约束：

(12) $ {w_i} + {b_i} \leqslant 1 - {r_i},{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N; $

(13) $ {\bar w_i} + {\bar b_i} \leqslant 1 - {\bar r_i},{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N .$

上下行绿波带宽之间的约束关系以及车流在相邻交叉口之间的路段上通行所花费时间的约束参照MAXBAND经典模型^[4]，如下所示：

(14) $ (1 - k){\bar b_i} \geqslant (1 - k)k{b_i},{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N; $

(15) $ \frac{{{d_i}}}{{{f_i}}}z \leqslant {t_i} \leqslant \frac{{{d_i}}}{{{e_i}}}z,{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N - 1 ;$

(16) $ \frac{{{{\bar d}_i}}}{{{{\bar f}_i}}}z \leqslant {\bar t_i} \leqslant \frac{{{{\bar d}_i}}}{{{{\bar e}_i}}}z,{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N - 1 ;$

(17) $ \frac{{{d_i}}}{{{h_i}}}z \leqslant \frac{{{d_i}}}{{{d_{i + 1}}}}{t_{i + 1}} - {t_i} \leqslant \frac{{{d_i}}}{{{g_i}}}z,{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N - 2 ;$

(18) $ \frac{{{{\bar d}_i}}}{{{{\bar h}_i}}}z \leqslant \frac{{{{\bar d}_i}}}{{{{\bar d}_{i + 1}}}}{\bar t_{i + 1}} - {\bar t_i} \leqslant \frac{{{{\bar d}_i}}}{{{{\bar g}_i}}}z,{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N - 2. $

式中：k为下行绿波带宽相对于上行绿波带宽的权重； ${d_i}$与 ${\bar d_i}$分别为交叉口i到i+1之间的上行距离和下行距离，本文中两者相等； ${f_i}$与 ${e_i}$为上行车流在交叉口i到i+1之间行驶速度的上限与下限；z为周期时长的倒数； ${g_i^{-1}}$和 ${h_i^{-1}}$分别为上行绿波带在交叉口i处速度变化的上限与下限. 下行绿波带的相关参数同理.

据此，可得将子段划分动作作为决策变量的绿波带宽优化模型M1，通过求解决策变量 ${b_i}、{\bar b_i}、{n_i}、z、{w_i}、{\bar w_i}、{t_i}、{\bar t_i}、{\delta _i}、{\bar \delta _i}、{m_i}$，最大化长干线交叉口带宽总和.

(19) $\left. { \begin{split} &{\rm{M}}1: \min\; \left[ - \sum\nolimits_{i = 1}^{ N} {({b_i} + k{{\bar b}_i})}\right].\\ &{\rm{s.t.}} \; 式(1) \sim (4), (11) \sim (18);\\ &{b_i}、{\bar b_i}、z、{w_i}、{\bar w_i}、{t_i}、{\bar t_i} \geqslant 0,i = 1,2,\cdots,N ;\\ &{m_i}{\text{ 为整数变量}}, {n_i}、{\delta _i}、{\bar \delta _i}{\text{ 为0-1变量 }}， i = 1,2,\cdots,N. \end{split} } \right\}$

M1为混合整数线性规划（mixed-integer linear program, MILP），可以通过精确求解算法（如分支定界法）直接进行求解.

分析M1的划分原理可知，当进行绿波控制的交叉口数量减少时，绿波带宽优化过程中的约束减少，相对于原情况，求解结果会更好或不变. 当绿波带断开时，在每一子段绿波的首个交叉口处，若车辆不是在绿波时间到达该交叉口，则均需要等待才能够进入绿波带，实现后续交叉口的连续通行. 在每段绿波带的首个交叉口处应有带宽损失.

根据上述分析，采用悲观方法对绿波断点处的带宽进行折减，即假设断点处的带宽为0. 在实际中，往往会有部分车队在绿波断点处恰好实现连续通行，但因这个具有偶然性，难以估计，因此不纳入考虑.

由于每个交叉口都有状态变量 ${n_i}$，当交叉口i为每个子段的首个交叉口时， ${n_i} = 0$，其他情况 ${n_i} = {\text{1}}$. 剔除断点交叉口处绿波带宽的长干线带宽总和可以表示为

(20) $ \sum\nolimits_{i = 1}^{ N} {{n_i}({b_i} + k{{\bar b}_i})}. $

在约束条件不变的情况下，将M1的目标函数替换为式（20），则模型转化为M2.

(21) $ \left. {\begin{split} &{\rm{M}}2: \min\;\left[ {\text{ }} - \sum\nolimits_{i = 1}^{ N} {{n_i}({b_i} + k{{\bar b}_i})} \right].\\ &{\rm{s.t.}}\; 式 (1) \sim (4), (11) \sim (18);\\ &{b_i}、{\bar b_i}、z、{w_i}、{\bar w_i}、{t_i}、{\bar t_i} \geqslant 0,{\text{ }}i = 1,2,\cdots,N ;\\ &{m_i}{\text{ 为整数变量,}}\;{n_i}、{\delta _i}、{\bar \delta _i}{\text{ 为0-1变量 }}，i = 1,2,\cdots,N. \end{split}} \right\}$

M2是混合整数二次规划（mixed-integer quadratic program, MIQP）问题，需要证明该优化模型的凸性. M2中约束条件均为线性的，为凸约束，目标函数式（21）为多元二次函数，Hessian矩阵半正定，目标函数为凸函数；因此，M2为凸模型，可以由CPLEX或GUROBI直接求得最优解.

为了对比所提方法与MAXBAND-81模型的控制效果，参考文献[7]的案例分析方法，随机生成20个交叉口的流量数据进行算例分析. 通过Webster理论获得每一交叉口的绿时分配情况，相关流量数据如表1所示，交叉口分布如图4所示. 各路段行驶速度限速为50 km/h，交叉口为两相位信号控制，东西向直行左转为同一相位、南北向直行左转为同一相位. 交叉口处车道划分情况如图5所示，东西向为双向三车道，南北向为双向四车道，各交叉口车道的划分情况一致. 算例中的所有模型均通过CPLEX优化求解器进行求解.

MAXBAND-81模型、本文模型（c = 5）的优化结果如表2所示，模型求解时间均小于3 s. MAXBAND-81模型的结果显示，上行和下行的绿波带宽分别为0.26和0.18个周期. 本文模型的结果显示，长干线被分为5段，分别包含5个、2个、4个、6个和3个交叉口，子段双向绿波带宽分别为0.51+0.29、0.59+0.28、0.58+0.19、0.51+0.30、0.49+0.08个周期. 如图6所示，相对于MAXBAND求解结果，所提模型的求解结果在绿波带宽方面有大幅度的提升.

对于本文模型，当c取不同值时，控制结果如表3所示. 当c = 4时，长干线被分为4个子段，分别包含5个、6个、6个和3个交叉口. 当c≥5时，长干线的最优分段方法始终为5段，划分结果与绿波带宽均不再发生变化. 结果表明，所提模型的控制结果不会随着绿波分段数量限制的增加而增加，而是在该范围内，寻找分段绿波带宽增大与断点成本增加之间的均衡点. 在无法确定c值的情况下，可以将c设定为长干线交叉口总数，直接求得全局最优的长干线分段方法与带宽总和.

针对MAXBAND与所提模型（c = 5）的求解结果，通过SUMO对该控制方案进行仿真，如表4所示为主路的各项交通指标结果，包括平均速度v_avg、主路平均行程时间t_tr和所有通过主路的车辆总延误D. 仿真结果表明，相对于MAXBAND模型的控制效果，本文模型能够将主路行程时间和延误分别缩短了14.84%和29.15%，有效提升了长干线主路交通的运行效率. 在MAXBAND与本文模型的控制下，主路各路段平均速度与总延误的对比如图7所示.

（1）本文提出长干线分段绿波控制的求解算法，该模型可以同时求解获得长干线的最优分段方法与分段绿波最大带宽总和. 通过为每一交叉口赋予0-1状态变量判断其是否为绿波分段点的方式，将长干线分段步骤转化为决策变量，调整相关的约束条件，获得完整的分段绿波优化控制方法.

（2）本文在长干线分段绿波优化控制求解算法的基础上，考虑绿波分段点的带宽损失. 通过交叉口状态变量与断点损失之间的关联，对目标函数进行修正，获得长干线分段绿波的实际带宽总和，使得所提方法能够在全局范围内求得长干线最优分段数量与分段方法.

（3）算例分析表明，考虑断点成本的长干线分段绿波协调控制方法能够获得比经典MAXBAND模型更大的绿波带宽总和，有效地提升主路交通运行效率，在无法输入任何主观变量（如c的取值）的情况下，通过所提模型可以求解获得合理的长干线分段方法.

（4）本文模型求解结果的对比均处于理论的层面，但在车辆的实际行驶过程中会出现许多不确定的因素，后续需要对模型求解结果进行仿真验证.