索承人行桥因结构刚度低、自重轻，在行人和风荷载作用下容易产生大幅振动，影响结构的使用性. 迄今，不少索承人行桥因步伐荷载影响使用性，如日本一座跨度为134 m的人行斜拉桥和一座跨度为320 m的人行悬索桥在人群脚步荷载作用下发生大振幅振动，引起了行人的不适^[1]；英国伦敦跨度为144 m的人行悬索桥（千禧桥）在开通之日因侧向大幅振动而被迫关闭^[2]. 近年来，许多学者研究柔性索承桥梁的振动舒适性，提出多种人致振动荷载模型^[3]、计算方法^[4]及减振措施^[5]，但是对横向风作用下的振动舒适性研究相对较少.

风荷载不同于行人荷载，本身没有明显的周期，不易引起共振. 大跨度柔性结构对风较敏感，抖振问题突出. 熊耀清等^[6]采用简化的风荷载模式，对主跨为199 m的型钢组合加劲梁窄桥面人行悬索桥进行风振时域分析，通过风压考虑风荷载，忽略了自激力对抖振响应的影响. 刘健新等^[7]对主跨为278 m的钢桁架加劲梁窄桥面悬索桥进行抖振时域分析，研究位移响应特点，对比自激力的影响，认为自激力具有减小桥梁竖向振动位移的作用. 陈代海等^[8]根据主跨为276 m的钢桁架加劲梁窄桥面悬索桥抖振分析结果，得出与上述相反的结论. 既有研究主要以结构刚度大的钢桁架加劲梁悬索桥为对象，相对于柔性加劲梁悬索桥，抖振对舒适性的影响小.

本文以一座主跨为460 m的柔性人行悬索桥为对象，建立有限元模型并进行动力特性计算. 利用谱表示法，生成具有不同湍流强度的脉动风时程. 基于数值模拟识别的18个颤振导数，计算有理函数表达的自激力. 通过非线性抖振时域分析，探究并比较自激力与结构阻尼对抖振响应的影响. 计算桥梁在不同湍流强度下的振动响应，开展舒适性评价. 比较具有不同设计参数的中央扣与抗风缆对桥梁的减振效果. 结果为大跨度人行桥安全管理和设计提供参考.

以图1所示的一座跨度为460 m的单跨地锚式人行悬索桥为对象进行分析. 桥梁宽为4.9 m，梁高为0.296 m. 桥塔采用钢筋混凝土结构，塔高36 m，塔柱底横向中心距为6 m，塔柱顶横向中心距为9.5 m. 主缆采用环氧钢绞线作为索股的空间索，垂直平面内的垂跨比为1/14.375. 吊杆采用圆形钢棒，标准间距为4.8 m，倾角为85.5°. 桥面采用型钢组成的水平框架，桥面中间铺设钢化玻璃，左、右两侧铺设钢格栅，格栅外侧为带立柱的栏杆. 为了增大结构的抗风性能，桥梁的左、右两侧对称设置抗风缆，桥面横梁底部设置4根钢丝绳辅助索，纵梁外侧设置风嘴. 抗风缆角度约为45°，抗风缆和辅助索张力为200 kN.

计算在通用有限元ANSYS15.0平台上开展. 主缆、吊杆、抗风缆、抗风吊索和桥面辅助索采用LINK180单元，初拉力通过初应变施加，桥塔和加劲梁采用BEAM188单元，钢格栅采用SHELL63单元，玻璃质量和质量惯性矩采用MASS21单元模拟. 如图2（a）所示为桥梁精细有限元模型，为了减少振动分析计算量，采用等效单主梁模型近似，如图2（b）所示. 等效模型的纵梁质量惯性矩通过附加质量惯性矩法获得^[9]，截面惯性矩根据悬臂梁法试算获得. 如表1所示为2种模型的主梁侧弯、竖弯和扭转前3阶动力特性计算结果的对比. 表中，f_nat为自振频率. 2种模型的频率偏差小于6%，表明等效模型能够替代精细模型用于横风作用下的结构振动分析.

为了提高计算精度，桥梁抖振分析考虑自重、静风力、抖振力和自激力的作用，运动方程为

(1) $ {\boldsymbol{M\ddot Y}} + {\boldsymbol{C\dot Y}} + {\boldsymbol{KY}} = {{\boldsymbol{F}}_{\rm{g}}} + {{\boldsymbol{F}}_{\rm{s}}} + {{\boldsymbol{F}}_{\rm{b}}} + {{\boldsymbol{F}}_{{\rm{se}}}}. $

式中：M、C和K分别为结构质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，Y为结构位移向量，F_g为结构自重，F_s为静风力，F_b为抖振力，F_se为自激力，上标“·”和“··”分别表示位移对时间的一阶导数和二阶导数. 以下分别阐述静风力、抖振力和自激力的计算方法.

作用在主梁上的静风力通常分解到风轴坐标下，如图3所示. 图中，O为剪切中心； $\bar \alpha $为有效风攻角，是初始风攻角α₀与扭转变形引起的攻角改变量α′之和，横向风作用下α₀为0. 单位长度主梁静风力F_s三分量通过三分力系数表示为

(2) $\left. \begin{array}{l} {F_{\rm{D}}} = 0.5\rho {U^2}{C_{\rm{D}}}\left( {\bar \alpha } \right)H, \\ {F_{\rm{L}}} = 0.5\rho {U^2}{C_{\rm{L}}}\left( {\bar \alpha } \right)B, \\ {F_{\rm{M}}} = 0.5\rho {U^2}{C_{\rm{M}}}\left( {\bar \alpha } \right){B^2}. \\ \end{array} \right\}$

式中：F_D、F_L和F_M分别为风轴坐标下的静风阻力、升力和升力矩分量；ρ为空气密度，ρ=1.225 kg/m³；U为平均风速；C_D、C_L和C_M分别为阻力系数、升力系数和升力矩系数；H为梁高；B为梁宽.

抖振力是由脉动风引起的. 根据准定常理论，单位长度的抖振力F_b三分量采用下式^[10]计算：

(3) $\left. \begin{array}{l} {D_{\rm{b}}}\left( t \right) = \dfrac{{\rho {U^2}B}}{2}\left\{ {2{C_{\rm{D}}}\left( {\bar \alpha } \right)\dfrac{H}{B}\dfrac{{u\left( t \right)}}{U} + \left[ {{{C'}_{\rm{D}}}\left( {\bar \alpha } \right)\dfrac{H}{B} - {C_{\rm{L}}}\left( {\bar \alpha } \right)} \right]\dfrac{{w\left( t \right)}}{U}} \right\}, \\ {L_{\rm{b}}}\left( t \right) = \dfrac{{\rho {U^2}B}}{2}\left\{ {2{C_{\rm{L}}}\left( {\bar \alpha } \right)\dfrac{{u\left( t \right)}}{U} + \left[ {{{C'}_{\rm{L}}}\left( {\bar \alpha } \right) + {C_{\rm{D}}}\left( {\bar \alpha } \right)\dfrac{H}{B}} \right]\dfrac{{w\left( t \right)}}{U}} \right\}, \\ {M_{\rm{b}}}\left( t \right) = \dfrac{{\rho {U^2}{B^2}}}{2}\left[ {2{C_{\rm{M}}}\left( {\bar \alpha } \right)\dfrac{{u\left( t \right)}}{U} + {{C'}_{\rm{M}}}\left( {\bar \alpha } \right)\dfrac{{w\left( t \right)}}{U}} \right]. \\ \end{array} \right\}$

式中：D_b、L_b和M_b分别为抖振阻力、升力和升力矩，上标“′”表示三分力系数对攻角 $\bar \alpha $的一阶导数，u（t）为横桥向脉动风速，w（t）为竖向脉动风速.

自激力由流固耦合产生. 单位长度的自激力F_se三分量可以采用卷积^[11]表示为

(4) $\left. \begin{array}{l} {D_{{\rm{se}}}}\left( t \right) = 0.5{{\rho {U^2}}}\left[ {\int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{Dp}}}}\left( {t - \tau } \right)} p\left( \tau \right){\rm d}\tau + } \right. \\ \left. {{\rm{ }}\int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{Dh}}}}\left( {t - \tau } \right)} h\left( \tau \right){\rm d}\tau + \int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{D\alpha }}}}\left( {t - \tau } \right)} \alpha \left( \tau \right){\rm d}\tau } \right], \\ {L_{{\rm{se}}}}\left( t \right) = 0.5{{\rho {U^2}}}\left[ {\int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{Lp}}}}\left( {t - \tau } \right)} p\left( \tau \right){\rm d}\tau + } \right. \\ \left. {{\rm{ }}\int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{Lh}}}}\left( {t - \tau } \right)} h\left( \tau \right){\rm d}\tau + \int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{L\alpha }}}}\left( {t - \tau } \right)} \alpha \left( \tau \right){\rm d}\tau } \right], \\ {M_{{\rm{se}}}}\left( t \right) = 0.5{{\rho {U^2}}}\left[ {\int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{Mp}}}}\left( {t - \tau } \right)} p\left( \tau \right){\rm d}\tau + } \right. \\ \left. {{\rm{ }}\int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{Mh}}}}\left( {t - \tau } \right)} h\left( \tau \right){\rm d}\tau + \int_{ - \infty }^t {{I_{{\rm{M\alpha }}}}\left( {t - \tau } \right)} \alpha \left( \tau \right){\rm d}\tau } \right]. \\ \end{array} \right\}$

式中：D_se、L_se和M_se分别为自激阻力、升力和升力矩；I_jk （j=D、L、M，k=p、h、α）为单位脉冲响应函数；p、h和α分别为横向、竖向位移和扭转角.

以横向振动引起的自激阻力D_se,p为例，式（4）中的对应项通过傅里叶变换得到传递函数 ${\bar I_{{\rm{Dp}}}}$，可以用有理函数表示为

(5) ${\bar I_{{\rm{Dp}}}}\left( {{\rm{i}}\omega } \right) = {A_{{\rm{Dp}}1}} + {A_{{\rm{Dp}}2}}\left( {\dfrac{{{\rm{i}}\omega B}}{U}} \right) + \sum\limits_{i = 3}^m {\dfrac{{{A_{{\rm{Dp}}i}}{\rm{i}}\omega }}{{{\rm{i}}\omega {\rm{ + }}{{{d_{{\rm{Dp}}i}}U}}/{B}}}} .$

式中：ω为圆频率，A_Dp1、A_Dp2、A_Dpi 、d_Dpi（d_Dpi≥0; i=3,···, m）为与频率无关的参数.

式（5）通过傅里叶逆变换，可得

(6) $\begin{split} {I_{{\rm{Dp}}}}\left( t \right) =& {A_{{\rm{Dp}}1}}\delta \left( t \right) + {A_{{\rm{Dp}}2}}\frac{B}{U}\dot \delta \left( t \right) + \delta \left( t \right)\sum\limits_{i = 3}^m {{A_{{\rm{Dp}}i}}} - \\ & \sum\limits_{i = 3}^m {\frac{{{A_{{\rm{Dp}}i}}{d_{{\rm{Dp}}i}}U}}{B}\exp \;\left( { - \frac{{{d_{{\rm{Dp}}i}}U}}{B}t} \right)} . \end{split} $

式中：δ（t）为Dirac函数.

将式（6）代入式（4），化简后可得^[12]

(7) $\begin{split} {D_{{\rm{se,p}}}}\left( t \right) =& \frac{1}{2}\rho {U^2}\left[ {{A_{{\rm{Dp}}1}}p\left( t \right) + {A_{{\rm{Dp}}2}}\frac{B}{U}\dot p\left( t \right) + } \right. \\ &\left. {\sum\limits_{i = 3}^m {{A_{{\rm{Dp}}i}}\int\limits_{ - \infty }^t {{{\rm{exp}}\;{\left( - \frac{{{d_{{\rm{Dp}}i}}U}}{B}\left( {t - \tau } \right)\right)}}\dot p\left( \tau \right){\rm{d}}\tau } } } \right]. \end{split} $

将式（4）中的其余卷积项表示为式（7）的形式，式（7）中的卷积项可以通过递推计算.

采用非线性振动分析计算桥梁时域抖振响应，通过APDL命令实现非线性迭代过程. 计算流程如图4所示. 计算过程包括桥梁成桥状态、静风作用下的平衡状态和非线性抖振时程分析等几个方面. 计算均考虑几何非线性的影响，静风力和抖振力中的风攻角均采用实时风攻角. 加劲梁考虑静风力、抖振力和自激力，桥塔和主缆只考虑静风阻力和抖振阻力，抗风缆和吊杆只考虑静风阻力. 自激力计算所采用的位移均为振动位移，不计静风位移.

脉动风一般简化为多个一维多变量随机过程，采用谱表示法生成随机风速^[13]，模拟风速目标谱采用von Karman谱^[14]. 主梁考虑水平横向和竖向2个方向脉动风，桥塔和主缆仅考虑水平横向脉动风，忽略竖向分量对桥塔和主缆振动的影响.

水平横向和竖向风谱表示为

(8) $\left. \begin{array}{l} \dfrac{{n {S_{\rm{u}}}\left( {n,z} \right)}}{{\sigma _{\rm{u}}^2}} = \dfrac{{\dfrac{{4{L_{\rm{u}}} n}}{U}}}{{{{\left[ {1 + 70.8{{\left( {\dfrac{{{L_{\rm{u}}} n}}{U}} \right)}^2}} \right]}^{5/6}}}},\\ \dfrac{{n {S_{\rm{w}}}\left( {n,z} \right)}}{{\sigma _{\rm{w}}^2}} = \dfrac{{\dfrac{{4{L_{\rm{w}}} n}}{U}\left[ {1 + 755{{\left( {\dfrac{{{L_{\rm{w}}} n}}{U}} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left[ {1 + 283{{\left( {\dfrac{{{L_{\rm{w}}} n}}{U}} \right)}^2}} \right]}^{11/6}}}}. \end{array} \right\}$

式中：S_u（n, z）和S_w（n, z）分别为横向和竖向脉动风功率谱；n为脉动风频率；z为高度；σ_u和σ_w分别为横向和竖向脉动风标准差；L_u和L_w分别为横向和竖向湍流积分尺度，加劲梁基准高度为109.3 m，湍流积分长度为L_u=160 m，L_w=80 m^[15].

考虑到山区脉动风湍流强度具有较强的离散性^{[14, 16]}. 为了比较湍流强度对桥梁振动的影响，取3组湍流强度进行分析，分别为I_u=0.085、I_w=0.0425（工况Ⅰ）；I_u=0.170、I_w=0.085（工况Ⅱ）；I_u=0.255、I_w=0.127 5（工况Ⅲ）. 因7级风环境下迎风步行不便^[17]，设定加劲梁的平均风速为15 m/s. 桥塔和主缆平均风速根据指数律风剖面计算，山区的地表粗糙度系数按C类地表选用，取为0.22^[15].

相干函数采用Devenport提出的表达式^[18]：

(9) ${c_{{\rm{coh}}}}\left( {r,n} \right) = {\rm{exp}}\;\left( { - \lambda \frac{{n r}}{U}} \right).$

式中：r为两模拟点之间的距离，衰减系数λ取7.

脉动风模拟点布置如图5所示，模拟参数如表2所示，截止频率为2 Hz，频率分割数为2 048，时间间隔为0.25 s. 表中，t_tot为总采样时长. 以主梁跨中横向脉动风为例，3种工况250 s内的脉动风模拟时程如图6（a）所示. 工况Ⅰ脉动风速为−2.9~3.3 m/s，工况Ⅱ脉动风速为−5.8~6.6 m/s，工况Ⅲ脉动风速为−8.7~10.0 m/s. 以工况Ⅱ的横桥向脉动风为例，开展风谱、相关函数和相干函数检验，结果如图6（b）~（e）所示. 图6（c）中，t_int为时间间隔，R_j,k为模拟点j与模拟点k的相关函数，通过功率谱密度的傅里叶逆变换获得. 图6（d）中，c_j,k为模拟点j与模拟点k的相干函数，K为折减频率，K=2πnB/U. 图6（e）中，c_i,25为模拟点i（i=1,···,24）与模拟点25的相干函数. 模拟值与目标值吻合，表明模拟的风场有效、可靠.

加劲梁静风三分力以及抖振力计算中需要的三分力系数由计算流体动力学（computational fluid dynamics, CFD）模拟获得，三分力系数导数通过三分力系数拟合曲线求导获得. 通过数值模拟对断面进行适当简化，忽略立柱的影响，将栏杆简化为4个圆形壁面. 计算采用如图7所示的二维混合网格，结果如图8所示. 计算平均风速较大，桥面行人较少，加劲梁CFD模拟不考虑行人对风场的影响. 桥塔阻力系数取为1.8，主缆、抗风缆和吊杆阻力系数取为0.7^[15].

有理函数表达的自激力参数通过拟合颤振导数获得，有理函数的级数取前2项. 颤振导数P_i^*、H_i^*、A_i^*（i=1~6）通过分状态强迫振动CFD模拟获得，计算采用图7所示的网格，结果如图9所示. 图中， $\tilde U$=U/（fB）为折减风速，f为振动频率.

以工况Ⅱ为荷载条件，分别计算考虑自激力（W）和不考虑自激力（O）在结构阻尼比为0.5%、1.0%和1.5%情况下的抖振响应. 用W-0.5%表示考虑自激力且阻尼比为0.5%，O-0.5%表示不考虑自激力且阻尼比为0.5%. 计算采用Rayleigh阻尼，主梁断面中心位移均方根（RMS）沿桥梁轴向的分布如图10所示. 图中，X为桥梁轴向坐标，0表示跨中， ${p_{{\rm{RMS}}}}$和 ${h_{{\rm{RMS}}}}$分别为横桥向和竖向位移RMS. 从图10可知，自激力对大跨度人行悬索桥的抖振响应影响显著，考虑自激力的位移结果明显小于不考虑自激力的结果. 当结构阻尼比为0.5%时，不考虑自激力的跨中横桥向、竖向位移RMS最大值分别是考虑自激力的1.25、1.32倍，自激力对横桥向和竖向振动的抑制作用比增加结构阻尼比0.5%的振动抑制作用明显.

在不考虑自激力的情况下，结构阻尼比由0.5%增加到1%、1.5%，竖向抖振位移减小比例由17.0%增加到24.8%；横桥向抖振位移减小比例由16.5%增加到26.2%. 在考虑自激力的情况下，结构阻尼比由0.5%增加到1%、1.5%，竖向抖振位移减小比例由0.3%增加到0.5%；横桥向抖振位移减小比例由8.6%增加到14.5%. 结构阻尼对抖振响应影响显著，但是考虑自激力后竖向抖振位移响应对结构阻尼比不敏感，横桥向位移响应对结构阻尼比的敏感性降低.

鉴于自激力对抖振响应的影响明显，以下计算均考虑自激力的影响；结构阻尼比采用0.5%. 为了考虑主梁扭转振动对竖向响应的贡献，竖向响应均取主梁断面中心与吊杆下端点中的峰值响应最大点.

如图11所示为不同湍流强度下的主梁跨中位移和加速度响应时程. 图中，a_y和a_z分别为横桥向和竖向加速度. 由图11可知，3个工况的横桥向和竖向位移响应峰值分别为0.11~0.25、0.26~0.81 m；横桥向和竖向加速度响应峰值分别为0.40~1.03、0.76~3.40 m/s². 随着湍流强度的增大，桥梁的振动响应增加显著.

由于加速度易于测量，英国BS5400、欧盟HiVoSS、国际标准ISO10137等标准均以加速度响应为舒适性的验算指标，其中ISO10137建议采用1 s加速度均方根作为验算参数. Caprani等^[19]在人致振动研究中，采用5 s加速度均方根（5 s RMS加速度）作为验算参数. 考虑到柔性结构自振周期长，以5 s RMS加速度作为验算参数，参考HiVoSS指南^[20]对桥梁抖振引起的振动舒适性进行评价. HiVoSS根据横向加速度峰值a_y,peak和竖向加速度峰值a_z,peak，将舒适性分为如表3所示的4个等级. 评估时假定振动为正弦形式，表3中的加速度取等效值.

如图12（a）所示为工况Ⅱ主梁跨中横桥向加速度时程及舒适性评价指标5 s RMS加速度结果，如图12（b）所示为沿桥梁轴向的舒适性评价结果. 图中，a_y,5sRMS和a_z,5sRMS分别为横桥向和竖向5 s RMS加速度. 从图12（b）可知，该桥在15 m/s平均风速下，随着湍流强度的增大，桥梁的振动舒适度从中等舒适（CL2）变为不太舒适（CL3），表明湍流强度对舒适性评价结果的影响较大，抖振舒适性评价宜根据实测湍流强度变化范围进行分析，以获得更可靠的结果.

上述结果表明，大跨度柔性人行悬索桥在横风作用下会发生影响舒适性的振动，需要采取减振措施. 为了分析减振措施的效果，通过在原模型上设置中央扣和增大抗风缆面积2种措施，比较桥梁的抖振响应.

中央扣能够增加结构刚度，提高扭转频率，在悬索桥中运用比较广泛. Wang等^[21]研究刚性中央扣对润扬悬索桥抖振的影响，表明刚性中央扣对抖振能够起到一定的抑制作用. 为了分析这种措施对大跨度人行悬索桥抖振响应的减振效果，在原模型上设置扣索并进行抖振分析. 中央扣的截面与吊杆相同，根据扣索数量分为B-1~B-5的5种模型，如图13所示.

主梁位移响应沿桥梁轴向的分布如图14所示. 图中，B-0为原模型. 结果表明，中央扣具有较好的竖向减振效果，对1/4跨和3/4跨的竖向减振效果明显，对跨中的竖向减振作用较小；对横桥向无明显的减振效果. 设置1联中央扣，1/4跨和3/4跨竖向位移RMS分别减小18.7%、17.7%. 继续增加中央扣的数量，对应的减振效果不明显.

抗风缆可以增加结构的约束，提高结构刚度. 熊耀清等^[6]认为抗风缆是有效的减振措施. 为了研究抗风缆断面面积对抖振响应的影响，对2种工况进行对比分析：抗风缆系统的截面积分别增加1倍（C-1）和2倍（C-2）.

2种工况按图4所示的流程计算，成桥状态分析保持抗风缆最大应变相同. 动力特性的计算结果如表4所示. 对比分析表1、4的结果可知，增大抗风缆系统的截面积后，抗风缆系统和主缆的切线刚度增大使得自振频率增大.

主梁位移响应沿桥梁轴向的分布如图15所示. 可知，增大抗风缆系统断面面积能够显著减小全桥竖向位移和跨中横桥向位移，当面积增加1倍和2倍时，跨中的横桥向位移RMS分别减小21.5%、57.7%，竖向位移RMS分别减小13.3%、22.9%.

对象桥的振动舒适性由横桥向和竖向振动共同控制. 上述结果表明，增大抗风缆刚度对舒适性的改善效果比加中央扣的效果更好.

（1）在15 m/s的平均风速下，大跨度人行悬索桥的自激力表现出明显的振动抑制作用，忽略自激力的影响将使抖振计算结果偏大. 在考虑自激力后，竖向振动对结构阻尼不敏感.

（2）抖振响应对湍流强度敏感，湍流强度变化50%，响应变化30%~68%，对舒适性评价结果的影响较大.

（3）适当设置中央扣对人行悬索桥具有较好的竖向减振效果. 增大抗风缆的截面积可以减小桥梁的竖向抖振响应，对跨中横桥向的抖振响应减振效果明显，是有效的减振措施.