微电网（microgrid，MG）能够高效地集成各种分布式电源，提高可再生能源（renewable energy source，RES）的渗透率，具有孤岛和并网2种运行模式^[1-3]. 逆变器作为RES与MG的接口，当采用下垂控制和虚拟同步发电机（virtual synchronous generator，VSG）控制时，对外近似为电压源，具有在孤岛和并网模式间无缝切换、“即插即用”的优点，因而被广泛使用^[4-5]. 处于孤岛模式时由于缺乏电网电压支撑，在下垂控制和VSG控制功能层下还需要加入底层电压控制，以维持MG电压稳定，保证供电质量. 受死区时间、控制和采样延迟、参数摄动等因素的影响，逆变器表现为多变量、强耦合的非线性系统. 除传统双闭环比例积分（proportional integral，PI）控制外，有学者还提出了多种逆变器控制方法. 这些控制方法各有优缺点，如重复控制可以抑制谐波但响应较慢^[6]、滑模控制鲁棒性较强但存在抖振问题^[7].

自抗扰控制（active disturbance rejection control，ADRC）是韩京清^[8]提出的通用控制器，因其不依赖被控对象的精确模型、简单结构、强抗干扰能力而被广泛研究和应用. 但作为非线性控制方法，ADRC包含过多控制参数，其参数整定和应用较为困难. 为此，Gao^[9]利用线性化和带宽的概念推广出线性自抗扰控制（linear active disturbance rejection control，LADRC），将参数调节过程简化为控制器和观测器带宽选择问题，简化了参数调节过程，促进了自抗扰控制的工程化应用. 近年来ADRC在逆变器控制方面取得了较大的进展，如VSG功率控制^[10-11]、并网逆变器电流控制^[12-14]、微电网内无功支撑^[15]等. 在逆变器电压控制方面，曹永锋等^[16]在LADRC基础上加入微分前馈和部分已知模型补偿，但这与ADRC无模型设计的初衷相悖，而且加入模型补偿后，扩张状态观测器（extended state observer，ESO）的参数设计变得复杂. 杨林等^[17]在ESO中引入输出电压误差微分项，提高ESO抗扰动能力，但是参数增加不利于工程化应用. 袁晓冬等^[18]将LADRC应用于电压控制器的电压环，以抑制并网逆变器从并网切换至孤岛时的暂态振荡，但是为了简化设计流程，直接忽略了电流内环动态特性，且缺乏实验验证. 由文献[19]分析可知，观测器带宽越大，系统抗扰动能力越强. 在LADRC中，观测器带宽越大对传感器性能的要求就越高，同时系统对高频噪声更加敏感，过大的观测器带宽会引发系统振荡，导致系统不稳定，因此观测器带宽通常受限制. 当带宽受限时，如何提高LADRC的控制性能是重要的技术问题^[20].

针对以上问题，本文将LADRC应用于微电网逆变器电压外环，将补偿因子作为可调参数，用以改善系统抗负载扰动性能. 设计以 dq 同步旋转坐标系下逆变器输出电压为状态变量的二阶LADRC；在忽略采样和控制延迟前提下，对系统控制增益进行推导；利用根轨迹分析补偿因子对系统稳定性、动态性能的影响，利用在干扰下闭环传递函数频域特性分析补偿因子对系统抗干扰能力的影响，为补偿因子的调节提供理论依据；对不同补偿因子下电压控制器的电压跟踪性能和抗负载扰动能力进行对比仿真和实验.

如图1所示为MG逆变器的整体结构，包括分布式电源、三相逆变桥、LC滤波器，以及相应的控制算法. 图中，直流侧电压为 ${V_{{\rm{dc}}}}$，逆变桥侧输出电压为 ${e_{ {a,b,c}}}$， LC滤波器包括滤波电感 ${L_{\rm{s}}}$、等效串联电阻 ${R_{\rm{s}}}$和滤波电容 ${C_{\rm{f}}}$， ${i_{{La,b,c}}}$和 ${i_{{Ca,b,c}}}$分别对应流过滤波电感和滤波电容的电流，滤波电容两端电压为 ${u_{{a,b,c}}}$，并联有本地负载， ${i_{{oa,b,c}}}$表示输出电流， ${P_{{\rm{set}}}}$和 ${Q_{{\rm{set}}}}$分别为有功功率和无功功率的给定，P和Q分别为逆变器输出有功功率和无功功率， ${V_{\rm{m}}}$为输出电压幅值. 逆变器的控制可分为功能层、控制层和脉宽调制层^[17]，功能层主要实现有功/频率、无功/电压下垂控制或者VSG控制，并生成输出电压参考；控制层为电压电流控制层，实现参考电压或电流跟踪、调节输出阻抗等功能；脉宽调制层实现正弦脉宽调制（sinusoidal pulse width modulation，SPWM）算法、生成控制信号、驱动各桥臂开关管的开断.

逆变器在dq同步旋转坐标系下的数学模型为

(1) $\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_{d}} - {u_{d}} = {L_{\rm{s}}}\dfrac{{{\rm{d}}{i_{{Ld}}}}}{{{\rm{d}}t}} + {R_{\rm{s}}}{i_{{Ld}}} - \omega {L_{\rm{s}}}{i_{{Lq}}}{\rm{,}}} \\ {{e_{q}} - {u_{q}} = {L_{\rm{s}}}\dfrac{{{\rm{d}}{i_{{Lq}}}}}{{{\rm{d}}t}} + {R_{\rm{s}}}{i_{{Lq}}} + \omega {L_{\rm{s}}}{i_{{Ld}}},} \\ {{C_{\rm{f}}}\dfrac{{{\rm{d}}{u_{d}}}}{{{\rm{d}}t}} = {i_{{Ld}}} - {i_{{\rm{o}}{d}}} + \omega {C_{\rm{f}}}{u_{q}},} \\ {{C_{\rm{f}}}\dfrac{{{\rm{d}}{u_{q}}}}{{{\rm{d}}t}} = {i_{{Lq}}} - {i_{{\rm{o}}{q}}} - \omega {C_{\rm{f}}}{u_{d}}.} \end{array} } \right\}$

式中： ${e_{d}}$、 ${e_{q}}$分别为逆变桥侧输出电压的d、q轴分量； ${u_{d}}$、 ${u_{q}}$分别为滤波电容两端电压的d、q轴分量； ${i_{{Ld}}}$、 ${i_{{Lq}}}$分别为滤波电感电流的d、q轴分量； ${i_{{od}}}$、 ${i_{{oq}}}$分别为逆变器输出电流的d、q轴分量. 将式（1）进行拉氏变换，得到逆变器模型

(2) $ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {{E_{d}}(s) - {U_{d}}(s) = {L_{\rm{s}}}{I_{{Ld}}}(s)s + {R_{\rm{s}}}{I_{{Ld}}}(s) - \omega {L_{\rm{s}}}{I_{{Lq}}}(s){\rm{,}}} \\ {{E_{q}}(s) - {U_{q}}(s) = {L_{\rm{s}}}{I_{{Lq}}}(s)s + {R_{\rm{s}}}{I_{{Lq}}}(s) + \omega {L_{\rm{s}}}{I_{{Ld}}}(s),} \\ {{C_{\rm{f}}}{U_{d}}(s)s = {I_{{Ld}}}(s) - {I_{{{\rm{o}}d}}}(s) + \omega {C_{\rm{f}}}{U_{q}}(s),} \\ {{C_{\rm{f}}}{U_{q}}(s)s = {I_{{Lq}}}(s) - {I_{{{\rm{o}}q}}}(s) - \omega {C_{\rm{f}}}{U_{d}}(s).} \end{array} } \right\}$

式中：s为拉氏变换算子； ${E_{d}}(s)$、 ${E_{q}}(s)$、 ${U_{d}}(s)$、 ${U_{q}}(s)$、 ${I_{{Ld}}}(s)$、 ${I_{{Lq}}}(s)$、 ${I_{{\rm{o}}{d}}}(s)$和 ${I_{{\rm{o}}{q}}}(s)$分别表示其对应小写变量的拉氏变换.

采用双闭环电压控制器，为了提高响应速度，电流环采用比例调节器，比例系数为 ${K_{{\rm{pi}}}}$，交叉解耦项 $\omega {L_{\rm{s}}}$可以减弱d、q轴间耦合，电压前馈项 ${U_{{d,q}}}$可以提高系统抗扰动能力和响应速度，电压环采用LADRC设计，如图2所示.

为了简化分析过程，忽略采样和开关引入的延迟，SPWM中载波幅值为 ${V_{{\rm{dc}}}}/2$. 电流环的闭环传递函数为

(3) ${\varPhi _{I}}(s) = \frac{{{I_{{Ld}}}(s)}}{{{I_{{\rm{ref}}{d}}}(s)}} = \frac{{{I_{{Lq}}}}(s)}{{{I_{{\rm{ref}}{q}}}(s)}} = \frac{{{K_{{\rm{pi}}}}}}{{{L_{\rm{s}}}s + {R_{\rm{s}}} + {K_{{\rm{pi}}}}}}.$

结合式（2）、（3），忽略滤波电感等效电阻 ${R_{\rm{s}}}$，得到电压外环的控制对象模型为

(4) $\left. \begin{array}{l} {U_{d}}(s){s^2} = \dfrac{{{K_{{\rm{pi}}}}}}{{{L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}}}{I_{{\rm{ref}}{d}}}(s){\rm{ + }}{F_{d}}(s){\rm{,}} \\ {U_{q}}(s){s^2} = \dfrac{{{K_{{\rm{pi}}}}}}{{{L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}}}{I_{{\rm{ref}}{q}}}(s){\rm{ + }}{F_{q}}(s). \\ \end{array} \right\}$

式中： ${F_{d}}(s)$和 ${F_{q}}(s)$分别为d、q轴总扰动 ${f_{d}}$和 ${f_{q}}$的拉氏变换

(5) $\left. \begin{array}{l} {F_{d}}(s) = \dfrac{{\left( {s{L_{\rm{s}}} + {K_{{\rm{pi}}}}} \right)\left( {{I_{{\rm{o}}{d}}}(s) - \omega {C_{\rm{f}}}{U_{q}}(s)} \right) + {K_{{\rm{pi}}}}{C_{\rm{f}}}{U_{d}}(s)s}}{{ - {L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}}}{\rm{,}} \\ {F_{q}}(s) = \dfrac{{\left( {s{L_{\rm{s}}} + {K_{{\rm{pi}}}}} \right)\left( {{I_{{\rm{o}}{q}}}(s) + \omega {C_{\rm{f}}}{U_{d}}(s)} \right) + {K_{{\rm{pi}}}}{C_{\rm{f}}}{U_{q}}(s)s}}{{ - {L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}}}{\rm{.}} \\ \end{array} \right\}$

将式（4）、（5）进行反拉氏变换

(6) $\left. \begin{array}{l} {{\ddot u}_{d}} = \dfrac{{{K_{{\rm{pi}}}}}}{{{L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}}}{i_{{\rm{ref}}{d}}} + {f_{d}}{\rm{,}} \\ {{\ddot u}_{q}} = \dfrac{{{K_{{\rm{pi}}}}}}{{{L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}}}{i_{{\rm{ref}}{q}}} + {f_{q}}. \\ \end{array} \right\}$

(7) $\left. \begin{array}{l} {f_{d}} \!=\! - {K_{{\rm{pi}}}}{{\dot u}_{d}}\!/\!{L_{\rm{s}}} \!-\! {{\dot i}_{{\rm{o}}{d}}}\!/\!{C_{\rm{f}}} \!+\! \omega {{\dot u}_{q}} \!-\! {K_{{\rm{pi}}}}\left( {{i_{{\rm{o}}{d}}} \!-\! \omega {C_{\rm{f}}}{u_{q}}} \right)\!/\! \left( {{L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}} \right){\rm{,}} \\ {f_{q}} \!=\! - \!{K_{{\rm{pi}}}}{{\dot u}_{q}}/{L_{\rm{s}}} \!-\! {{\dot i}_{{\rm{o}}{q}}}/{C_{\rm{f}}} \!-\! \omega {{\dot u}_{d}} \!-\! {K_{{\rm{pi}}}}\left( {{i_{{\rm{o}}{q}}}{\rm{\! +\! }}\omega {C_{\rm{f}}}{u_{d}}} \right)/\left( {{L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}} \right). \\ \end{array} \right\}$

由图2和式（6）可以看出，被控制对象为二阶系统，需要设计2个二阶LADRC控制器. 当把d、q轴间的耦合量视为扰动时，d、q轴具有相同的LADRC结构^[17]。

仅以d轴为例进行控制器设计. 令 ${i_{{\rm{ref}}{d}}}$为系统输入量，u， ${u_{d}}$分别为状态量 ${x_1}$和输出量y，状态量 ${x_2}$为 ${x_1}$的导数，根据式（6）推导系统状态空间形式为

(8) $\left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2}{\rm{,}} \\ {{\dot x}_2} = \dfrac{{{K_{{\rm{pi}}}}}}{{{L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}}}}u + {f_{d}} = {b_0}u + {f_{d}}. \\ \end{array} \right\}$

得到系统控制增益 ${b_0}$为 ${K_{{\rm{pi}}}}/({L_{\rm{s}}}{C_{\rm{f}}})$. 可以看出，由于引入电流环，系统控制增益不仅与LC参数有关，还与电流环比例系数有关.

在得到被控对象的状态空间模型后，进行电压外环的LADRC设计，包括线性扩张状态观测器（linear extended state observer，LESO）设计、扰动前馈补偿和线性状态误差反馈（linear state error feedback，LSEF）设计3部分. 其核心思想是通过LESO将系统内、外扰动总和观测出来，再通过扰动补偿，将系统转换为积分串联标准型，最后通过LSEF配置系统极点，保证系统稳定. 通过将极点配置成特殊形式，在一定程度上解决超调和快速性的矛盾.

LESO是LADRC的核心部分，可以实时估计系统的总扰动，并进行前馈补偿. 式（8）等效为

(9) $\left. \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2}{\rm{,}} \\ {{\dot x}_2} = {b_0}u + {f_{d}} = bu + ({b_0} - b)u + {f_{d}} = bu + f{'}_{d}. \\ \end{array} \right\}$

式中：b为LADRC中补偿因子，一般有 $b \approx {b_0}$； $({b_0} - b)u$表示补偿因子偏离系统控制增益的部分，会被当作系统总扰动 $f{'}_{d}$的一部分. 加入扩展状态 ${x_3}$为总扰动 $f{'}_{d}$，式（8）可写成状态空间的形式

(10) $\left. \begin{array}{l} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1}} \\ {{{\dot x}_2}} \\ {{{\dot x}_3}} \end{array}} \right]{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {{x_3}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ b \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u \\ h \end{array}} \right]{\rm{,}} \\ y = {x_1}{\rm{.}} \\ \end{array} \right\}$

式中：h表示 $f{'}_{d}$的微分.根据式（9）建立三阶LESO：

(11) $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot z}_1}} \\ {{{\dot z}_2}} \\ {{{\dot z}_3}} \end{array}} \right]{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\;\beta _1}}&1&0 \\ { - {\;\beta _2}}&0&1 \\ { - {\;\beta _3}}&0&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1}} \\ {{z_2}} \\ {{z_3}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ b \\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{\;\beta _1}} \\ {{\;\beta _2}} \\ {{\;\beta _3}} \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u \\ y \end{array}} \right].$

式中： ${z_1}$、 ${z_2}$、 ${z_3}$为LESO选取变量； ${\;\beta _1}$、 ${\;\beta _2}$、 ${\;\beta _3}$为LESO的增益. 通过选择合适的观测器增益，LESO能够对式（9）中各状态变量进行观测，即 ${z_1} \to {x_1}$、 ${z_2} \to {x_2}$、 ${z_3} \to {x_3}$.LESO的特征方程为λ(s)=s³+β₁s²+β₂s+β₃，将其特征值配置在同一处 $ - {\omega _{\rm{o}}}$时， ${\omega _{\rm{o}}}$为观测器带宽，此时LESO增益分别为

(12) ${\;\beta _1} = 3{\omega _{\rm{o}}}{\rm{, \;}}{\;\beta _2} = 3\omega _{\rm{o}}^2{\rm{, }\;}{\;\beta _3} = \omega _{\rm{o}}^3.$

在忽略 ${z_3}$对 $f{'}_{d}$的估计误差基础上，取

(13) $u = \left( {{u_0} - {z_3}} \right)/b.$

式中： ${u_0}$为中间控制量. 根据式（13）可以将系统简化为串联积分型. 为了克服系统快速响应和超调的矛盾，设计LSEF为

(14) ${u_0} = r\omega _{\rm{c}}^2 - \omega _{\rm{c}}^2{z_1} - 2{\omega _{\rm{c}}}{z_2}.$

式中：r为参考输入， ${\omega _{\rm{c}}}$为控制器带宽. 将（13）、（14）带入式（8），并忽略LESO对扰动的观测误差，得到系统闭环传递函数为

(15) ${{\varPhi} _{{\rm{cl}}}}(s) = \frac{{\omega _{\rm{c}}^2}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{c}}}} \right)}^2}}}.$

式（10）、（12）、（13）构成基于LADRC的d轴电压外环控制器，控制结构如图3所示. 从式（11）、（14）可以看出，LADRC中参数配置问题可以转换为 ${\omega _{\rm{o}}}$和 ${\omega _{\rm{c}}}$的设计问题. q轴电压控制器可以参照d轴进行设计，不再赘述.

文献[19]中仅考虑补偿因子不确定的情况，利用李纳德−戚帕特稳定性判据分析补偿因子对系统稳定性的影响，并未将补偿因子视为可调参数. 本文利用根轨迹分析补偿因子对系统稳定性和动态性能的影响，利用干扰下闭环传递函数频域特性分析补偿因子对系统抗干扰能力的影响，为可调参数b的调节提供理论依据.

根据式（11）、（12），推导LESO输出表达式为

(16) $\left. \begin{array}{l} {z_1} = \dfrac{{3{\omega _{\rm{o}}}{s^2} + 3\omega _{\rm{o}}^2s + \omega _{\rm{o}}^3}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}y + \dfrac{{bs}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}u{\rm{,}} \\ {z_2} = \dfrac{{\left( {3\omega _{\rm{o}}^2s + \omega _{\rm{o}}^3} \right)s}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}y + \dfrac{{b\left( {s + 3{\omega _{\rm{o}}}} \right)s}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}u, \\ {z_3} = \dfrac{{\omega _{\rm{o}}^3{s^2}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}y - \dfrac{{b\omega _{\rm{o}}^3}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}u. \\ \end{array} \right\}$

将式（13）、（14）带入式（16）中，考虑系统模型式（8），得到的简化结构如图4所示. 令 $\;\rho = b/{b_0}$，表示LADRC中补偿因子与系统控制增益的比值. 根据图3得到系统输出为

(17) $Y(s) = \frac{{{G_1}\omega _{\rm{c}}^2}}{{\rho {s^2} + {G_1}H}}R(s) + \frac{\rho }{{\rho {s^2} + {G_1}H}}{F_{d}}(s).$

式中： $Y(s)$、 $R(s)$、 ${F_{d}}(s)$分别表示y、r、 ${f_{d}}$的拉氏变换， ${G_1}(s)$和 $H(s)$分别为

(18) $ \left.\begin{array}{l} {G_1}(s) = \dfrac{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3} + 2{\omega _{\rm{c}}}{s^2} + \left( {\omega _{\rm{c}}^2 + 6{\omega _{\rm{o}}}{\omega _{\rm{c}}}} \right)s - \omega _{\rm{o}}^3}}{\rm{,}} \\ H(s) = \dfrac{{\left( {3\omega _{\rm{c}}^2{\omega _{\rm{o}}} + 6{\omega _{\rm{c}}}\omega _{\rm{o}}^2 + \omega _{\rm{o}}^3} \right){s^2} + 3\omega _{\rm{c}}^2\omega _{\rm{o}}^2s}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}} + \\ \quad\quad \quad \dfrac{{2{\omega _{\rm{c}}}\omega _{\rm{o}}^3s + \omega _{\rm{c}}^2\omega _{\rm{o}}^3}}{{{{\left( {s + {\omega _{\rm{o}}}} \right)}^3}}}. \\ \end{array}\right\} $

根据式（17）得到参考作用下闭环传递函数为

(19) ${\varPhi _{\rm{r}}}(s) = \frac{{{G_1}\omega _{\rm{c}}^2}}{{\rho {s^2} + {G_1}H}}.$

由式（18）、（19）可以看出， $\;\rho $并不影响系统闭环零点，仅影响系统闭环极点位置. 为了取得较好的观测效果，工程实践中观测器带宽一般为控制器带宽的2~5倍^[17]. 在LADRC中当 ${\omega _{\rm{c}}}$和 ${\omega _{\rm{o}}}$分别取2 094 rad/s和6 283 rad/s时，根据式（19）画出当参数 $\;\rho $变化时系统根轨迹，如图5所示。图中，阴影部分表示不稳定区域，黑色实线箭头表示当 $\;\rho $从0变化到1时闭环极点的变化情况；黑色虚线箭头表示当 $\;\rho $从1变化到无穷时闭环极点的变化情况. 由图可看出：1）当 $\;\rho = 1$时，闭环极点位于实轴上的A点、B点，分别对应 ${\omega _{\rm{o}}}$和 ${\omega _{\rm{c}}}$，此时系统动态性能最佳，无超调，调节时间短. 2）当 $\;\rho $变化时，均有部分根轨迹位于实轴的正半轴平面，此时系统不稳定，让系统稳定的 $\;\rho $取值范围见表1. 随着 ${\omega _{\rm{o}}}$增大，观测器响应变快，观测精度逐渐增加，使系统稳定的 $\;\rho $取值范围变大. 3）当 $\;\rho $从0增加到1时，系统逐渐进入稳定区域，根轨迹向A点和B点靠近. 由于 ${\lambda _1}$、 ${\lambda _2}$更靠近虚轴，因此作为主导极点分析. 随着 $\;\rho $增加， ${\lambda _1}$、 ${\lambda _2}$逐渐远离虚轴，向实轴靠近，响应加快，阻尼增加，超调减小. 但由图可以看出， ${\lambda _1}$、 ${\lambda _2}$的变化范围有限，系统响应速度和超调变化较小；在ρ从1增加到1.01(C点)期间， ${\lambda _1}$、 ${\lambda _2}$、 ${\lambda _3}$均在实轴上，响应无超调；当 $\;\rho $继续增加时， ${\lambda _1}$、 ${\lambda _2}$、 ${\lambda _3}$向虚轴靠近，阻尼变小，表现为响应变慢，同时存在超调和阻尼振荡；然后 ${\lambda _1}$、 ${\lambda _3}$越过负半轴，系统不稳定.

由式（8）可知，扰动项 ${f_{d}}$和 ${f_{q}}$构成复杂，数值大无法忽略，如果干扰作用下闭环传递函数不能提供足够的衰减，会严重影响系统抗干扰能力. 由式（17）可知，干扰作用下闭环传递函数为

(20) ${\varPhi _{d}}(s) = \frac{\rho }{{\rho {s^2} + {G_1}H}}{F_{d}}(s).$

LADRC中当 ${\omega _{\rm{c}}}$和 ${\omega _{\rm{o}}}$分别取2 094 rad/s和6 283 rad/s 时，在保证系统稳定前提下，分别取 $\;\rho = $0.4、0.7、1、2、3，画出 ${\varPhi _{d}}(s)$的频域特性曲线，如图6所示. 图中，f为频率，M为幅值， ${\varPhi }$为相位.由图可以看出，在低频段， $\rho $取越小， ${\varPhi _{d}}(s)$增益越小，抗干扰能力越强；在中频段， $\rho $取过大或过小时，都会导致 ${\varPhi _{d}}(s)$出现谐振，容易造成系统不稳定；在高频段， ${\varPhi _{d}}(s)$增益很小， $\rho $取值对其影响较弱. 从上述分析可知：1）采用LADRC设计的电压控制器对补偿因子b的取值有较好的鲁棒性，在偏离控制增益 ${b_0}$较大范围内，均能保持系统稳定；2）由根轨迹分析可知，当 $b = {b_0}$时，动态性能最佳，无超调，调节时间短，在b偏离 ${b_0}$的合适范围内，由于极点靠近实轴，阻尼比较大，动态响应存在超调，但是超调较小；3）由频域特性曲线可知，当b< ${b_0}$时，可以有效提高系统抗干扰能力，过小会导致系统不稳定.

根据前述分析，结合仿真和实验情况，仿真和实验中电压控制器的参数设计过程：1）初步确定b. 对系统进行建模，根据系统控制增益初步确定补偿因子，见式（7）. 2）确定比例系数 ${K_{{\rm{pi}}}}$. 根据电压电流采样频率确定电流环带宽，一般取1/5~1/10开关角频率 $2{\text{π}}{f_{{\rm{sw}}}}$，本文仿真和实验取1/10，即电流环带宽为 $2{\text{π}}{f_{{\rm{sw}}}}/10 \approx 6\;283$ rad/s，忽略 ${R_{\rm{s}}}$，由式（3）计算得电流环带宽为 ${K_{{\rm{pi}}}}/{L_{\rm{s}}} \approx 2{\text{π}}{f_{{\rm{sw}}}}$/10，即 ${K_{\rm{pi}}} \approx {\rm{18}}{\rm{.85}}$. 3）确定ω_c. 根据步骤2）中确定的电流环带宽，确定电压外环带宽，一般小于1/3电流环带宽，即 ${\omega _{\rm{c}}} \leqslant 2{\text{π}}{f_{{\rm{sw}}}}/30 \approx $ $ 2\;094$ rad/s. 4）确定ω_o. 根据步骤3）中确定的 ${\omega _{\rm{c}}}$，一般选择 ${\omega _{\rm{o}}}$为2~5倍的 ${\omega _{\rm{c}}}$^[16]，即 ${\omega _{\rm{o}}}$取4 188~10 470 rad/s，考虑到数字信号处理器(digital signal processor, DSP)采样和控制带宽限制^[21-22]，一般小于1/10采样角频率，即6 283 rad/s. ${\omega _{\rm{o}}}$取值过大，高频增益的增加，将导致噪声放大作用明显； ${\omega _{\rm{o}}}$取值过小，电压环带宽减小，将导致逆变器抗负载扰动能力降低. 5）适当调节b. 根据设计参数进行电压跟踪和负载扰动实验，观察输出电压波形，若不满足电压跌落要求，可以适当调整b. 减小b，可以提高系统响应速度，提高抗负载扰动能力，但是b过小容易造成控制量饱和，使系统不稳定. 6）为了避免LESO初始误差较大的问题，可以在LESO输出电压微分观测值后增加限幅或低通滤波器模块^{[19, 23]}.

为了验证本文方案的有效性，搭建微电网逆变器带载系统仿真和实验平台，分别对不同补偿因子下电压控制器跟踪性能和抗负载扰动能力进行对比实验. 仿真和实验模型参数相同，如表2所示.

仿真的控制部分采用触发模式，触发频率与开关频率一致，控制和滤波算法均采用离散形式. 仿真的LADRC中 ${\omega _{\rm{c}}}$和 ${\omega _{\rm{o}}}$取值见表1，由根轨迹分析可知，使系统稳定的b取值为(0.226~4.65)b₀，分别取0.4b₀、0.7b₀、b₀、2b₀、3b₀进行对比. 当时间t = 0 s时，仿真开始，逆变器空载，参考电压幅值为63 V；当t = 0.205 s时，此时A相电压最大，参考电压幅值从63 V变为126 V，并保持不变；当t = 0.405 s时，接入20 Ω纯阻性负载，0.6 s仿真结束，仿真中频率保持50 Hz不变.

如图7所示为在不同补偿因子下参考电压幅值变化时，逆变器输出电压幅值的仿真结果. 三相电压幅值 ${V_{{{\rm{m}}}}} = 2\sqrt { - ({u_{{a}}}{u_{{b}}} + {u_{{b}}}{u_{{c}}} + {u_{{c}}}{u_{{a}}})/3} $. 图中，输出电压中存在2倍频波动，这是滤波、采样引入的延迟，导致LESO观测的电压、电压微分和总扰动存在相位滞后. 另外，b取值越大，系统响应越慢，调节时间越长，稳态电压波动越大. 由式（19）可以看出，b越大， $\;\rho $越大，闭环增益越小，因此响应越慢，稳态误差越大.

如图8所示为在不同补偿因子下逆变器负载切换时，输出电压幅值的仿真结果. 图中，当b取0.4b₀、0.7b₀、b₀、2b₀、3b₀时，突加负载均会导致电压跌落，分别跌落至67.9 V、54.8 V、48.2 V、35.6 V、28.6 V. 可以看出，b取值越大，突加负载的电压跌落越严重，且恢复时间越长，无明显超调. 另外，带载的输出电压波动明显小于空载.

为了进一步验证本文所提方案的有效性，搭建以LaunchPad28379D为核心的三相微电网逆变器实验平台，如图9所示. 直流母线用300 V直流电源代替，电流和电压传感器分别采用TBC10SYW和TBV10/25A，系统参数见表2. 控制算法采用基于模型的快速硬件代码生成技术产生，由Altair公司提供Altair Embed 2019软件支持.

实验中各系统参数取值见表1，LADRC控制器和观测器带宽与仿真相同，补偿因子稳定范围也与仿真相同，为(0.226~4.65)b₀. 为了验证仿真结果的有效性，实验内容与仿真中基本一致，补偿因子b分别取0.4b₀、0.7b₀、b₀、2b₀、3b₀进行对比实验.

在A相电压最大时，触发参考变化程序，对应t = 0 s时，参考电压幅值从63 V变为126 V，频率保持不变，实验结果如图10所示. 图10（a）、（b）、（c）、（d）、（e）分别对应不同补偿因子下参考变化后逆变器输出电压变化情况，图中：C1、C2、C3分别表示A、B、C相输出电压. 由图可以看出，LADRC控制算法对补偿因子的选择具有较好的包容性，在偏离系统控制增益较大范围内均能保证系统稳定，与根轨迹分析和仿真结果吻合. 当b取0.4b₀、0.7b₀时，电压可以在半个周期内稳定；当b取b₀、2b₀时，电压经过2~3个周期稳定；当b取3b₀时，通过根轨迹分析可知，此时闭环极点靠近虚轴，阻尼较弱，同时对干扰衰减作用降低，在参考变化时，电压振荡较为剧烈.

为了对比不同补偿因子下，输出电压幅值变化情况，将示波器数据导出、计算后得到三相电压幅值，如图11所示. 为了减小噪声影响，保留变化趋势，计算结果经过低通滤波处理，截止频率与仿真中一致，均为1 kHz. 由图可以看出，当b越大，参考变化时，电压响应越慢，这是由于b越大， $\;\rho = {b_0}/b$越小，由式（19）可以看出，系统闭环增益越大，响应越快. 另外，稳态时输出电压存在2倍频波动，且b取越大，波动越大，与仿真结果基本一致. 与仿真不同的是，受传感器误差、参数摄动等影响，实验中电压2倍频波动较仿真中更为严重，参考变化时，输出电压幅值存在明显超调.

与仿真过程一致，负载切换前，逆变器空载，在负载切换时刻，即A相电压最大时，接入20 Ω纯阻性负载，实验结果如图12所示，图12（a）、（b）、（c）、（d）、（e）分别为不同补偿因子下负载切换的实验结果. 图中，b分别取0.4b₀、0.7b_0、b₀、2b₀、3b₀时，突加负载后，A相电压分别瞬时跌落至56.67、60、58.33、58.33、60 V，相差较小，且均能在一个周期内恢复正常.

如图13所示为在不同补偿因子下负载切换前后逆变器输出电压幅值变化情况. 由图可以看出，b越小，系统响应越快，电压跌落后恢复时间越短，抗负载扰动能力越强. 与仿真结果不同的是，不同补偿因子下，突加负载后跌落深度相差不大，且恢复过程存在明显超调，b越小，超调越大. 另外，受传感器误差、电感、负载参数摄动等影响，实验中增加负载后，输出电压波动变大，与仿真结果相差较大，特别对于电感、电容等参数摄动直接影响到系统控制增益的大小，对系统性能的影响较大.

（1）基于LADRC设计的电压控制器对补偿因子的选择具有较强的鲁棒性，在适当偏离系统控制增益时均能保持系统稳定，特别在仿真和实验中，受控制和采样延迟、死区等因素影响，理论推导系统控制增益会偏离实际值的情况下，仍能保持稳定.

（2）在保证系统稳定前提下，适当减小补偿因子可以提高系统响应速度，在保证系统稳定性和动态性能的同时，有效提高系统抗负载扰动能力. 当补偿因子过大时，阻尼小，抗干扰能力差，容易导致电压振荡和畸变，当补偿因子过小时，系统响应过快，容易导致控制量饱和，造成系统不稳定.

（3）文中仅对补偿因子在提高抗干扰能力和动态性能之间折中进行了定性分析，未提供最优参数的计算方法。本文设计电压控制器采用的是二阶LADRC，在受限的观测器带宽下，观测效果欠佳，从而影响系统抗扰动能力，下一步计划通过模型补偿或扰动补偿的方式来进一步提高系统稳态性能和抗扰动能力。